POZNÁMKY K MODELOVÁNÍ REGIONŮ

POZNÁMKY K MODELOVÁNÍ REGIONŮ Bohuslav Sekerka Ústav ekoomie, Fakulta ekoomicko-správí, Uiverzita Pardubice Abstrakt: V čláku se popisuje regioálí model založeý a iput-output přístupu, tak jak je běžé v současé literatuře, formuluje se obecější model a studují se metody vhodé při regioálím modelováí. Formulovaý model může být ápomoce při bilacováí pláováí rozvoje regioů, i když dyamizace modelu eí explicitě uvažováa. V krátkém čláku elze postihout spektrum aspektů, které se dotýkají daé problematiky. Zaměřil jsem se jeom a vybraé aspekty. Klíčová slova: modely iput-output, regioálí model, zobecěé řešeí, pseudoiverze, eurčitost v regioálím modelováí V čláku se vychází ze základích pozatků sektorového modelováí. Použité pramey jsou uváděy spolu s textem.. Modely iput output Tyto modely ejsou zahruty do hlavích proudů ekoomie, ale umožňují souhrý pohled a ekoomiku určitého regiou, či státu. Uvedeme základí myšleky statického Leotiefova modelu pro porozuměí avržeého multiregioálího modelu v ásledujícím odstavci. 2 Aalýza regiou musí vycházet ze základích proporcí mezi výrobou a spotřebou eje za celý regio, ale též za sektory v regiou uvažovaé. Soustava vztahů vztahujících se k určitému časovému úseku musí být přesá a komplexí. Přesost spočívá ve vymezeí áplě jedotlivých položek a komplexost zameá, že model pokrývá všechy podstaté vztahy v sektoru. Budeme předpokládat, že veličiy jsou vyjádřey v hodotovém tvaru... Formulace iput-output modelu Celkové (hrubé) zdroje spotřeby tvoří produkce, dovoz a úbytek zásob a rezerv. Tyto zdroje se používají a výrobí spotřebu v sektorech a a fiálí užití. Položky fiálího užití jsou spotřeba domácostí, hrubé ivestice, tj. ivestice včetě ahrazovacích, vládí výdaje, přírůstky zásob a rezerv a vývoz. Z hodotového hlediska hodotu výroby získáme tak, že k výrobí spotřebě (bez zahruté amortizace) přidáme amortizaci, áklady práče, zisk před zdaěím, dávky a další aalogické položky. V dalším budeme uvažovat reprezetativí položky přidaé hodoty: amortizaci, mzdy a zisk. Chceme-li získat hodotu zdrojů, je uté k hodotě výroby přidat hodotu dovozu a hodotu úbytku zásob. Chceme-li bilacovat výrobu, potom v rozdělovacích vztazích musíme ve fiálím užití uvažovat čistý vývoz, tj. vývoz zmešeý o dovoz, a aalogicky od přírůstku zásob odečíst úbytek zásob. Uvažujme a sektorů,,. Ozačme x j produkci sektoru j, x ij produkci sektoru i, která se spotřebovává v sektoru j, Wassily Leotief (906-999) profesor Harvardské uiversity. V roce 979 získal Nobelovu ceu za ekoomii za rozvoj Iput-Output modelů a za jejich aplikaci v důležitých ekoomických problémech. 2 Ve výkladu se vycházíz publikace Sekerka, B., Vysušil, J.: Makroekoomie, Profess Cosultig. 396

y i fiálí užití produkce v sektoru i, z j hodotu přidaou zpracováím v sektoru j. Hodota z j sestává zjedodušeě z ásledujících složek z aj amortizace v sektoru j, z mj mzdy v sektoru j, z zj zisk v sektoru j. S ohledem a tuto pozámku lze pro j=,, psát z j = z aj +z mj +z zj. Zisk v aší úvaze představuje reziduálí položku, která emusí eodpovídat účetímu zisku. Mohou však být a tuto položku kladey určité požadavky: S ohledem a defiice jedotlivých položek dostaeme soustavy bilací x j= ij + y i =x i,,, x ij + z j =x j, j=,,. Prví soustava představuje distribučí vztahy, druhá hodotové vztahy. Výrobí spotřeba produkce sektoru i v sektoru j zřejmě závisí a produkci sektoru j. Z toho vyplývá, že hodoty x ij jsou fukcemi hodot x j. Abstrahujeme-li od ostatích vlivů, lze psát x ij = f ij (x j ). Vezmeme-li za f ij přímou úměru, kde koeficiety přímé úměrosti jsou a ij, můžeme psát x ij = a ij x j. Koeficiety a ij se azývají přímé ormy spotřeby. Předpokládá se o ich, že jsou relativě stálé. Tyto koeficiety jsou ezáporé. Přijmeme-li předpoklad, že hodoty z j jsou kladé, z hodotových vztahů plye, že a tedy a ij + z j /x j =, j=,, a ij <, j=,,. Uvedeé vlastosti přímých orem spotřeby zaručí řešitelost rovic, které uvedeme v ásledujícím výkladu. Pozameejme, že lze též defiovat koeficiety vztahující se k hodotám z j, z aj, z mj, z zj..2. Vztah mezi fiálím užitím a produkcí sektorů Pomocí přímých orem spotřeby dostaeme základí systém vztahů a ij x j + y i =x i,,,. j= V dalším výkladu budeme používat maticového vyjadřováí. Ozačíme x vektor vytvořeý z hodot x i,,,, y vektor vytvořeý z hodot y i,,,, A matici vytvořeou z hodot a ij,,,, j=,,. Využitím maticového počtu můžeme základí systém vztahů přepsat ve tvaru 397

A x + y = x. Máme-li yí dvě dvojice vektorů [x, y] a [x, y], které vyhovují uvedeému vztahu, můžeme psát Odečteím těchto vztahů získáme A x + y = x, A x + y = x. A (x-x) + (y-y) = (x-x). Položíme-li Δx = (x-x) a Δy = (y-y), dostaeme A Δx + Δy = Δx. Uvedeý vztah vyjadřuje, že základí vztah A x + y = x platí též pro přírůstky vektorů x a y. Úpravou vztahu A x + y = x dostaeme y = x - A x = (E-A) x. Záme-li, ebo je-li dáo, y, pak lze za předpokladu, že existuje matice (E-A) -, určit x podle vztahu x = (E-A) - y. Dá se dokázat, že za předpokladu ezáporosti matice A a předpokladu matice (E-A) - existuje. Navíc platí a ij <, j=,, (E-A) - = E + A + A 2 + A 3 +. Posledí uvedeý vztah je východiskem růzých iteračích metod a postupů. Uveďme iterpretaci prvků matice (E-A) -. Proto vyjděme ze vztahu Δx = (E-A) - Δy. Volíme-li souřadice vektoru Δy ulové, kromě souřadice j-té, kterou položíme rovou jedotce, pak souřadice vektoru Δx budou odpovídat j-tému sloupci matice (E-A) -. Odtud plye, že prvek v i-tém řádku a j-tém sloupci matice (E-A) - začí možství produkce sektoru i, které je uté k tomu, aby se fiálí užití sektoru j zvětšilo o jedotku při ezměěém fiálím užití ostatích sektorů. Prvky matice (E-A) - se azývají koeficiety komplexí (plé) spotřeby..3. Vztahy mezi primárími zdroji a fiálím užitím K tomu, aby se mohla uskutečit produkce, je uté mít k dispozici potřebé kapacity (produkčí plochy, stroje, zařízeí apod.) a práci v čleěí profesím ebo kvalifikačím. V ěkterých případech je uté mít k dispozici speciálí suroviy ebo výrobky, které se v daém teritoriu eprodukují, a proto musí být dovezey. Všechy uvedeé faktory ozačíme společým ázvem primárí zdroje. Model umožňuje odhadout potřebu primárích zdrojů v závislosti a produkci a fiálím užití. Předpokládejme, že máme p skupi primárích zdrojů a ozačíme r ij možství primárího zdroje skupiy i, které figuruje při produkci v sektoru j, j=,,. Stejě jako v předcházejícím případě budeme předpokládat, že toto možství závisí a produkci sektoru j, takže lze psát 398

r ij = t ij x j, kde t ij jsou koeficiety úměrosti, které začí možství primárího zdroje skupiy i, které je uté k jedotce produkce sektoru j. Pozameejme, že tyto koeficiety mají pouze omezeou platost pro okolí stávající produkce a jejich závislost a produkci je uté podroběji aalyzovat. Ozačíme r i celkové možství primárího zdroje skupiy i, které je v systému zapotřebí pro výrobu, sado ahlédeme, že lze psát r i = t ij x j,,,. V maticovém vyjádřeí lze uvedeý vztah přepsat ásledově j= r = T x. Teto vztah umožňuje k daému x určit vektor r. Uvědomíme-li si, že platí dostaeme x = (E-A) - y, r = T (E-A) - y. Prvky matice T (E-A) - lze iterpretovat jako možství primárího zdroje skupiy i, které je uté k tomu, aby se fiálí užití sektoru j zvětšilo o jedotku při ezměěém fiálím užití ostatích sektorů. Prvky matice T(E-A) - se azývají podle povahy primárího zdroje komplexí (plé) koeficiety pracosti, komplexí (plé) dovozí koeficiety apod..4. Ceotvoré složky produkce Na začátku výkladu jsme uvedli vztahy x ij + z j = x j, j=,,, kde veličiy x ij a x j byly v hodotovém vyjádřeí, tj. odpovídaly agregátům možství, které bylo vyásobeo příslušými ceami. V tomto případě ceové idexy jsou rovy jedotkám, tj. můžeme psát x ij + z j = x j, j=,,. Změí-li se z j, pak tato změa vyvolá sahu o změu ce. Ozačíme-li p i,, příslušé ceové idexy, pak můžeme výše uvedeý vztah přepsat a tvar p i x ij + z j = p j x j, j=,,. Vydělíme-li tyto vztahy příslušými x j a přihlédeme-li ke vztahu a ij = x ij / x j, můžeme psát p i a ij + z j /x j = p j, j=,,, což lze v maticovém vyjádřeí přepsat ve tvaru A p + diag(x) - z = p, kde diag(x) začí diagoálí matici vytvořeou z vektoru x. Z uvedeého vztahu lze odvodit základí vztah pro ceové idexy p = (E -A ) - diag(x) - z, který, s ohledem a zaměitelost operací traspozice a iverze, lze přepsat ve tvaru p = [(E -A) - ] diag(x) - z. 399

Tak lze z předpokládaého pohybu vektoru z usuzovat a předpokládaý pohyb ceových idexů p..5. Začleěí dovozu a vývozu Přístup ke zkoumáí zahraičího obchodu se řídí účelem ebo cílem aalýzy. V zásadě rozlišujeme dva přístupy. Jedak lze zkoumat závislost dovozu mezi produkcí, resp. fiálím užitím, ebo zkoumat efektivost zahraičího obchodu. Nejprve azačíme prví případ a poté přikročíme k případu druhému. Závislost dovozu mezi produkcí, resp. fiálím užitím Lze uvažovat dva přístupy. V prvím přístupu budeme uvažovat vztah A x + y dom + y ex = x + d, ve kterém ve vektoru y sestává z domácí spotřeby y dom a exportu y ex j. V tomto přístupu se dále předpokládá vztah d = diag(m) x, kde vektor m představuje koeficiety přímé úměrosti mezi dovozem a produkcí. Teto vztah vyjadřuje hrubý, velmi aproximativí přístup. Za tohoto předpokladu máme tyto vztahy A x + y = [E + diag(m)] x x = [ E + diag(m) - A] - y mezi produkcí a fiálím užitím. Někdy se teto vztah modifikuje tak, že uvažujeme veličiu Vyásobíme-li výrazem [E + diag(m)], dostaeme u = x + d = [E + diag(m)] x. x = [ E + diag(m) - A] - y u = [E + diag(m)][e + diag(m) - A] - y. Druhý přístup spočívá v tom, že se uvažuje odděleě tuzemská a zahraičí produkce. Stačí vzít v úvahu, že vztah A x + y = x + d vzikl sloučeím vztahů A domácí x + y domácí = x A dovezeé x + y dovezeé = d, kde je A domácí matice vytvořea z přímých orem spotřeby domácí produkce, A dovezeé matice vytvořea z přímých orem spotřeby dovezeých produktů, y domácí vektor fiálího užití domácí produkce obsahující export a ikoli saldo zahraičího obchodu, y dovezeé vektor fiálího užití dovezeých produktů. 400

Za předpokladu stálosti matic A domácí a A dovezeé lze provádět růzé alterativí propočty. Je-li apř. zámo x, lze určit vektory y domácí a d - y dovezeé apod. Pozameejme, že předpoklad relativí stálosti uvažovaých matic eí tak oprávěý s ohledem a zastupitelost domácí a dovezeé produkce jako předpoklad stálosti matice A. Efektivost vývozu a dovozu Vyjdeme ze vztahu A domácí x + y domácí = x, ve kterém vektor y domácí rozdělíme a dvě složky. Prví složka exp y domácí bude vyjadřovat užití domácí produkce pro export a druhá složka ost y domácí bude vyjadřovat ostatí užití domácí produkce. Platí y domácí = exp y domácí + ost y domácí. Sado ahlédeme, že platí x = (E - A domácí ) - y domácí = (E - A domácí ) - exp y domácí + (E - A domácí ) - ost y domácí. Sečteme-li všechy vztahy v bilaci, tj. vyásobíme-li zleva teto vztah A dovezeé x + y dovezeé = d řádkovým vektorem e sestávajícím ze samých jedotek, vektorem, dostaeme e A dovezeé x + e y dovezeé = e d, získáme r x + ω = γ, kde r = e A dovezeé, ω = e y dovezeé, γ = e d. Položíme-li δ = γ - ω, dostaeme vztah r x =δ. Veličia δ představuje celkový dovoz pro výrobí spotřebu. Ze vztahu r x =δ sado odvodíme vztah δ = r (E - A domácí ) - y domácí, který určuje dovozí áročost vzhledem k celkovému fiálímu užití domácí produkce. Veličia δexp = e exp y domácí - r (E - A domácí ) - exp y domácí = [e - r (E - A domácí ) - ] exp y domácí vyjadřuje čistý příos zahraičího obchodu. Veličia r (E - A domácí ) - ] exp y domácí představuje plou dovozí áročost exportu. Čistý příos jedotlivých sektorů lze získat tak, že od vývozu daého sektoru odečteme plou dovozí áročost plyoucí z výroby pro export. 2. Regioálí model V tomto odstavci je formulová regioálí model. Opouští se předpoklad jedotkové matice výstupů a uvažují se agregáty komodit a čiostí. 40

2.. Formulace modelu Uvažujme soustavu k regioů a formulujme meziregioálí model. Regio k může představovat regio, který tvoří okolí regioů, 2,, k-. Předpokládejme, že se v regioech provádějí čiosti j, j=,, při ichž se vytvářejí a spotřebovávají komodity i,,, m. Teto předpoklad by bylo možé zobecit tak, že prováděé čiosti jsou specifické ějakému regiou, řekěme s. V tomto případě by se užívala místo veličia s. Položme q st vektor, jehož souřadice q st i vyjadřují výstup komodity i z regiou s do regiou t s y st vektor, jehož souřadice yi st vyjadřují fiálí spotřebu komodity i vytvořeé v regiou s, a spotřebovaé v regiou t A st matice, jejíž prvky a st ij začí spotřebu komodity i vytvořeé při jedotkové itezitě čiosti j v regiou s použité v regiou t B st matice, jejíž prvky b st ij začí výstup komodity i při jedotkové itezitě čiosti j v regiou s použité v regiou t Pokud se v ějakém regiou evytváří ebo espotřebovává ějaká komodita, budou příslušé hodoty ulové. Předpokládejme, že pro každý regio s platí q ss = 0. Ozačíme symbolem * součet přes všechy hodoty příslušého idexu a symbolem + součet přes všechy hodoty příslušého idexu, kromě uvažovaého idexu. 3 Položme dále x s vektor, jehož souřadice x s j vyjadřují itezitu čiosti j v regiou s y *s vektor, jehož souřadice y *s i vyjadřují fiálí spotřebu komodity i v regiou s q *s vektor, jehož souřadice q i *s vyjadřují vstup komodity i do regiou s z ostatích regioů q s* vektor, jehož souřadice q s* i vyjadřují výstup komodity i z regiou s do ostatích regioů A *t matice, jejíž prvky a *t ij začí spotřebu komodity i při jedotkové itezitě čiosti j v regiou t B s* matice, jejíž prvky b s* ij začí výstup komodity i při jedotkové itezitě čiosti j v regiou s S využitím výše uvedeých veliči defiujeme pro regio s model A *s x s + y *s + q s* = B s* x s + q *s ss s ss +s s +s ss s+ ss s s+ s ss +s A x + y + A x + y + q + q = B x + B x + q + q, Za předpokladu, že se euvažuje trasfer komodit z jedoho regiou do druhého prostředictvím třetího regiou lze psát A ts x s + y ts = q ts st s B x = q st, kde t s. Spojeím uvedeých vztahu plye B ts x t = A ts x s + y ts. 3 Pozameejme, že se ěkdy ve výrazech používá symbolu tečka a místě idexu, přes který se sčítá, apř. j a ij x j pomocí tohoto ozačeí lze zjedodušeě psát ve tvaru a i. x.. 402

Uvedeý vztah představuje podmíku rovováhy v meziregioálích vztazích. Výraz B ts x t představuje abídku regiou t pro regio s. Výraz A ts x s + y ts představuje poptávku regiou s po komoditách produkovaých regioem t. Z uvedeého plye, že - vstup do regiou s z regiou t je použit pro prováděí čiostí v regiou s a pro fiálí užití v regiou s. Při tom vstup pro zabezpečeí čiostí závisí a itezitě prováděých čiostí v regiou s a příslušých maticích A ts. - výstup z regiou s do regiou t je dá itezitou čiostí v regiou s a příslušou maticí B st. Z platosti A +s x s + y +s = q +s B s+ x s = q s+. a ze vztahu A ss x s + y ss + A +s x s + y +s + q ss + q s+ = B ss x s + B s+ x s + q ss + q +s, plye A ss x s + y ss = B ss x s. Uvedeý vztah může sloužit k určeí itezity čiostí v regiou s a základě matic B ss, A ss a vektoru y ss. Pro přiblížeí vyjádřeme vztah A *s x s + y *s + q s* = B s* x s + q *s, v souřadicovém tvaru t j a ts ij x s j + t y ts i + t q st i = j b st ij x s j + t q ts i. Podle dříve zavedeé otace platí j a *s ij x s j + y *s i + q s* i = j b s ij x s j + q *s i. Z uvedeého plye, že v uvedeém vztahu ezáleží a hodotě q ss i, která se vyruší. Proto bylo možé předpokládat její ulovost. Z uvedeého vztahu plye Ze vztahů dostaeme rozepsaý tvar To vede ke vztahu j b s ij x s j + q *s i - j a *s ij x s j - y *s i - q s* i = 0. j b s ij x s j - j a *s ij x s j = y *s i + q s* i - q *s i. j (b s ij -a *s ij ) x s j = y *s i + q s* i - q *s i. A ts x s + y ts = q ts B st x s = q st, j a ij ts x j s - y i ts = q i ts j b ij st x j s = q i st 403

j (b ij s -a ij ss ) x j s = y i ss. Při daých výstupech, vstupech a fiálím užití budeme hledat vektor řešeí x s souřadicemi x s j. Problémem je, že počet komodit a počet čiostí emusí být shodý. 2.2. Řešeí modelu Pokud je počet čiostí větší ež počet komodit, lze teto problém lze řešit zavedeím vhodé účelové fukce pomocí lieárího programováí. Optimálí řešeí však obvykle vyřadí ěkteré čiosti. Použijeme proto metody zobecěí řešeí systému lieárích rovic. 2.2.. Zobecěé řešeí soustavy lieárích rovic V uvedeém rozboru vyjdu z elektroických skript katedry matematiky fakulty stavebí ČVUT 4 Buď A matice typu (m,). V praktických aplikacích se často uvažuje soustava lieárích vztahů A x = b. Bylo by vhodé, aby každá taková soustava měla řešeí. To však emůže platit pro klasické řešeí s ohledem a podmíku o hodostech matice soustavy a rozšířeé matice soustavy. Proto vhodým způsobem se pojem řešeí soustavy vztahů zobecňuje. Pro účely zobecěí defiujme skalárí souči vektorů u a v se souřadicemi u i a v i vztahem (u, v) = i u i v i. Zavedeme kvadratickou formu Dá se ukázat, že existuje x, pro které platí F(x) = (Ax-b, Ax-b). F(x) = mi x F(x) = d. Uvažujme M = {x; F(x) = d} Tato možia je eprázdá a uzavřeá a kovexí. Existuje proto právě jede prvek x * M takový, že x * = mi x M x. Vektor x * se azývá ormálím řešeím soustavy Ax = b. Někdy se používá ázvu řešeí ve smyslu ejmeších čtverců. 2.2.2. Zobecěé iverzí operátory Vyšetřujme soustavu relací 5 AXA = A, XAX = X, (AX) * = AX, (XA) * = XA. Této soustavě odpovídá právě jeda matice X typu (,m), která se azývá (Mooreovou - Peroseovou) pseudoiverzí maticí k matici A a ozačuje se A +. Je-li A čtvercová regulárí matice, pak sado ahlédeme, že A + =A -. se 4 Viz apř. Ivo Marek, Petr Mayer a Bohuslav Sekerka: Úvod do umerické matematiky. Předáška pro posluchače iformatiky. Zimí resp. Letí semestr 2/2, elektroický text katedry matematiky fakulty stavebí ČVÚT, http://mat.fsv.cvut.cz/skripta/ummet/ams.pdf 5 Pozameejme, že A * začí matici Hermitovsky sdružeou k matici A. 404

2.2.3. Řešeí soustavy A x = b Vyjděme ze soustavy A x = b, kde A je matice typu (m,), x je vektor mající souřadic a b je vektor mající m souřadic. Defiujme vektory b a b 2 takové, že existuje vektor c, že platí 6 Platí Soustava b = A c A * b 2 = 0. A * A x = A * b = A * b + A * b 2 = A * A c A * A x = A * b se azývá ormálí soustavou. Tato soustava má vždy klasické řešeí. Položme yí Dá se dokázat, že x = (A * A) - A * b. x + = A + b. x = x + + y, kde A y = 0. Důkaz se vymyká z rámce čláku. 3. Neurčitost ve strukturích modelech Možství podětů z této problematiky lze alézt a iteretu. Z čláků tam obsažeých mě zaujal apř. čláek Sergio J. Rey, Guy R. West, Mark V. Jaikas: Ucertaity I Itegrated Regioal Models, December 2, 2003 3.. Problém pevých struktur Při formulaci modelu jsme pracovali s maticemi, jejichž koeficiety vyjadřovaly příslušé struktury. V růzých modelech eí však stálost koeficietů zabezpečea. Nuto tedy uvažovat stabilitu modelů ve smysl jejich citlivosti a změy. Při problematice vstupu a výstupu jsme pracovali s maticí meziregioálích vztahů. V této úvaze budeme uvažovat matici Q s prvky q st. Tyto prvky získáme sečteím (v případě potřeby po vyásobeím ceou) dříve defiovaých veliči q st i. Předpokládejme, že máme k dispozici hodoty q s*, q *t. Při změách výchozích hodot bude uté upravit hodoty q st tak, aby ové hodoty splňovaly požadovaé součty. Přirozeým postupem je použít metody změ - řádků ásobeím každého řádku vhodým číslem - sloupců ásobeím každého sloupce vhodým číslem - uvažovat iteračí proces, ve kterém se střídají výše uvedeé přístupy 7. 6 b rage(a), b 2 ker(a * ) 7 V Leotiefově modelu jde o metodu RAS. 405

Zmíěý proces skočí pokud ejsou přibližě splěy součtové vztahy. Postup lze modifikovat v tom smyslu, že ěkteré prvky epodléhají změám. 3.2. Ekoometrické modely Dalším možým aspektem je kombiace ekoometrického modelováí se strukturím přístupem. Např. určováí itezity čiosti v aalyzovaém modelu emusí být pouze výsledkem fiálího užití a matic vstupů a výstupů. Tyto itezity mohou být ovlivňováy dalšími faktory, které se zahrují do praktických realizací apř. pomocí regresích vztahů. Tyto vztahy mohou vášet další eurčitosti. Kotaktí adresa: prof. RNDr. Bohuslav Sekerka, CSc. Ústav ekoomie, Fakulta ekoomicko-správí, Uiverzita Pardubice Studetská 84 532 0 Pardubice e-mail: bohuslav.sekerka@upce.cz 406