Přednášk 1 Určitý integrál V této přednášce se budeme zbývt určitým integrálem. Eistuje několik definic určitého integrálu funkce jedné reálné proměnné. Jednotlivé integrály se liší v tom, jké funkce lze integrovt. Obecně lze le říct, že pokud eistuje určitý integrál funkce podle různých definic, má pro všechny tkové definice stejnou hodnotu. Nejznámější jsou Newtonův integrál, protože pomocí tohoto integrálu se počítjí v podsttě všechny určité integrály funkce jedné reálné proměnné, Riemnnův integrál, protože má velmi názornou interpretci lze jej jednoduše rozšířit n integrál přes plochy těles, Lebesgueův integrál, který má mezi jinými určitými integrály podobnou vlstnost úplnosti, jko mjí reálná čísl mezi rcionálními čísly limit posloupnosti rcionálních čísel může být reálné číslo) je definován pro největší množinu funkcí. V přednášce budeme definovt Newtonův integrál pk se budeme podrobněji zbývt konstrukcí Riemnnov integrálu. Lebesgueovým integrálem se zbývt nebudeme, protože by to vyždovlo mnohem více čsu. Newtonův určitý integrál Uvžujme bod, který se pohybuje. Dráhu, kterou urzil v t oznčme st). Pk v čsovém intervlu t 1, t 2 urzí dráhu st 1, t 2 ) = st 2 ) st 1 ). Protože okmžitá rychlost bodu v čse t je definován jko st + ) st) vt) = lim = s t), je funkce st) podle definice jedn z primitivních funkcí k funkci vt). Jestliže tedy známe rychlost bodu vt) v intervlu t 1, t 2 ), njdeme dráhu, který urzil bod v tomto čsovém intervlu jko st 1, t 2 ) = st 2 ) st 1 ), kde st) je primitivní funkce k funkci vt) n intervlu t 1, t 2 ). Protože jde o primitivní funkci n intervlu, liší se všechny primitivní funkce o konstntu, tj. jsou-li s 1 t) s 2 t) dvě primitivní funkce k funkci vt) n intervlu t 1, t 2 ), eistuje konstnt c tková, že s 2 t) = s 1 t) + c pro kždé t t 1, t 2 ). Proto pro dráhu, kterou urzil bod v čsovém intervlu t 1, t 2, pltí st 1, t 2 ) = s 2 t 2 ) s 2 t 1 ) = s 1 t 2 ) s 1 t 1 ), tedy nezávisí n tom, jko primitivní funkci zvolíme. Pro dráhu st 1, t 2 ), kterou urzil bod v čsovém intervlu t 1, t 2, pk používáme oznčení st 1, t 2 ) = t2 t 1 vt) dt = [ st) ] t2 t 1 = st 2 ) st 1 ), kde st) je primitivní funkce k funkci vt) n intervlu t 1, t 2 ). To nás vede k následující definici. 1
Definice. Necht je F ) primitivní funkce k funkci f) n intervlu, b. Pk se reálné číslo f) d = [ F ) ] b = F b) F ) 1) nzývá Newtonův určitý integrál funkce f) přes intervl, b. Jk jsme se zmínili dříve, nezávisí hodnot výrzu v 1) n volbě primitivní funkce F ). Riemnnův integrál v R Podstt konstrukce Riemnnov integrálu je stejná pro všechny dimenze. Proto se ji pokusíme vysvětlit n příkldě těles V v R 3, tj. v obyčejném trojrozměrném prostoru. Těleso V rozdělíme n konečný počet nepřekrývjících se mlých těles V i, pro která umíme spočítt objem V i, tkové rozdělení oznčíme D. Nyní záleží n tom, co chceme spočítt. Jestliže chceme spočítt npříkld hmotnost celého těles, spočítáme hmotnost všech mlých těles V 1, která je m i = ρ i, y i, z i ) V i, kde ρ i, y i, z i ) je hustot v nějkém bodě i, y i, z i ) V i, jestliže počítáme npříkld moment setrvčnosti vzhledem k ose z, spočítáme moment setrvčnosti vzhledem k ose z pro kždé mlé těleso V i, který je možná znám z fyziky) J i = ρ i, y i, z i ) 2 i + yi 2 ) V i, kde bod i, y i, z i ) leží ve V i. Obecně spočítáme pro kždé mlé těleso V i hodnotu výrzu f i, y i, z i ) V i, kde bod i, y i, z i ) V i. Pro dné rozdělení D njdeme součet I D = n f i, y i, z i ) V i. 2) Tento součet závisí n tom, jk jsme těleso V rozdělili jk jsme vybrli body i, y i, y i ) V i. Oznčíme D = m ) V 1, V 2,..., V n objem největšího kousku, n který jsme těleso V rozdělili, ve výrzu 2) přejdeme jistým způsobem k limitě D. Tuto limitu oznčíme f, y, z) dv V budeme ji nzývt Riemnnův integrál funkce f, y, z) přes těleso V. Problém je v tom, že musíme zjistit, by limit nezávisel n rozdělení těles V n výběru bodu i, y i, y i ) V i. V této přednášce se budeme zbývt touto konstrukcí pro funkce jedné proměnné, tj. funkce f) bude funkce jedné proměnné těleso V bude intervl I =, b R. Je-li funkce f) nezáporná, budeme vlstně počítt obsh oblsti v rovině omezené osou, tj. přímkou y =, křivkou y = f) přímkmi = = b. Ale neměli byste si myslet, že těmito integrály počítáme pouze obshy tkových oblstí v rovině. Význm toho, co počítáme, závisí n interpretci funkce f). Npříkld pro těleso, které vznikne rotcí křivky y = f) kolem osy, je objem válečku v intervlu, + ) přibližně roven πf 2 ) integrál πf 2 ) d bude objem těles mezi rovinmi = = b. Nyní popíšeme konstrukci Riemnnov integrálu funkce y = f) přes intervl, b přesněji. Definice. Necht je I =, b omezený intervl. Kždou konečnou množinu bodů = < 1 < 2 <... < n = b 3) 2
nzveme dělení intervlu I budeme ji znčit D. Pro dné dělení D oznčíme I i intervly i 1, i, kde i = 1,..., n, i = i i 1 délku intervlu I i. Definice. Necht je f) omezená funkce n intervlu I =, b D je dělení intervlu I. Oznčme m i = inf f), i = sup f). I i I i Součty ) n ) n s D f) = m i i, resp. S D f) = i i nzveme dolní, resp. horní, integrální součet funkce f) příslušný dělení D. Protože pro kždé i pltí m i i, je zřejmé, že pro kždou omezenou funkci f) kždé dělení D je s D f) S D f). 4) Předpokld, že intervl I je omezený funkce f) je omezená n intervlu I, zručují, že pro kždé dělení D jsou součty s D f) S D f) konečné. Přesněji pro kždé dělení D pltí b ) inf f) s Df) S D f) b ) sup f). I Uvžujme množinu všech dělení D intervlu I. Protože je množin { } s D f) ; D shor omezená číslem b ) sup f), eistuje v R její supremum protože je množin I { } S D f) ; D omezená zdol číslem b ) inf f), eistuje v R její infimum. I Definice. Necht je I omezený intervl funkce f) je omezená n intervlu I. Reálná čísl sf) = sup sd f) ), resp. Sf) = inf SD f) ), D D nzýváme dolní, resp. horní, Riemnnův integrál funkce f) přes intervl I. Z nerovnosti 4) plyne, že pro kždou omezenou funkci f) pltí nerovnost sf) Sf). Pro funkci f) jsme v podsttě ztím udělli to, že jsme do oblsti O omezené osou, grfem funkce y = f) přímkmi = = b vepsli opsli obdélníky spočítli obsh tkových vepsných opsných obrzců, tj. s D f) S D f). Pk jsme vzli největší obsh vepsných obrzců sf) nejmenší obsh opsných obrzců Sf). Je-li největší obsh vepsných obrzců roven nejmenšímu obshu opsných obrzců, je přirozené nzvt toto číslo obshem oblsti O. Problém nstne, pokud dostneme při proimci obshu 3 I
oblsti O pomocí vepsných obrzců menší obsh, než když ji proimujeme opsnými obrzci. V tom přípdě prostě prohlásíme, že nemá smyslu mluvit o obshu oblsti O, tj. že obsh oblsti O neeistuje. Proto definujeme Definice. Necht je I =, b omezený intervl funkce f) je omezená n intervlu I. Jestliže sf) = Sf) nzýváme toto číslo Riemnnův integrál funkce f) přes intervl I budeme jej znčit I f) d = f) d = sf) = Sf). Funkce f), pro které eistuje Riemnnův integrál přes intervl I se nzývjí integrovtelné, přesněji Riemnnovsky integrovtelné, n intervlu I. Eistují funkce, které nejsou Riemnnovsky integrovtelné. Známý je příkld tzv. Dirichletovy funkce { 1 pro rcionální, D) = pro ircionální. Pro tuto funkci je pro kždé dělení D intervlu, 1 s D D) = S D D) = 1. Proto je sd) = < SD) = 1 Riemnnův integrál neeistuje. Je proto užitečné znát spoň nějké podmínky, které zručují eistenci Riemnnov integrálu funkce f) přes intervl I. Jednoduchá podmínk, které se používá při odvození dlších užitečnějších podmínek je dán v následující větě. Vět. Funkce f) je integrovtelná n intervlu I právě tehdy, když ke kždému ε > eistuje dělení D intervlu I tkové, že pltí S D f) s D f) < ε. 5) Z obecných vět uvedeme ještě jednu větu, ze které plyne, že pro integrovtelnou funkci f) n intervlu, b lze integrál njít tk, že zvolíme libovolnou posloupnost dělení D n s dělícími body n,i, i =, 1,..., k n, tkovou, že délk nejdelšího úseku D n dělení D n se blíží k nule, body ξ n,i n,i 1, n,i libovolně, je Vět. Necht eistuje Riemnnův integrál kn f) d = lim f ) ) ) ξ n,i n,i n,i 1. 6) n f) d. Pk ke kždému ε > eistuje δ > tkové, že pro kždé dělení D intervlu, b, pro které je D = mi i 1 ) < δ, pro kždou posloupnost bodů ξ i i 1, i, pltí I n fξ i ) i i 1 ) < ε. 4
Uvedeme spoň dv příkldy tříd funkcí, které jsou integrovtelné. Vět. Je-li funkce f) n intervlu, b monotonní, je integrovtelná. Důkz: Pro monotonní funkce totiž víme, ve kterých bodech nbývá funkce f) hodnoty m i i z definice horního dolního součtu. Necht je npříkld funkce f) neklesjící. Je-li fb) = f) je funkce konstntní integrál eistuje. Necht je fb) > f). Pk pro kždé dělení D dostneme m i = f i 1 ) i = f i ). Proto pltí S D f) s D f) = n f i ) i i 1 ) n f i 1 ) i i 1 ) = n fi ) f i 1 ) ) i i 1 ). ε Necht je dáno ε >. Zvolme dělení D tkové, že pro kždé i je i i 1 < fb) f). Protože je funkce f) neklesjící, je f i ) f i 1 ), proto pltí nerovnost S D f) s D f) < n fi ) f i 1 ) Tedy podle 5) integrál eistuje. ε fb) f) = fb) f) ) Vět. Je-li funkce f) n intervlu, b spojitá, je integrovtelná. ε fb) f) = ε. Důkz této věty je zložen n tvrzení, že kždá funkce spojitá n kompktní množině je tzv. stejnoměrně spojitá nebudeme jej uvádět. Dlší vět pojednává závislosti určitého integrálu n intervlu I umožňuje nám rozšířit definici. Vět. Funkce f) je integrovtelná n intervlu, b právě tehdy, když je pro kždé c, b) integrovtelná n obou intervlech, c c, b. Pk pltí rovnost f) d = c f) d + c f) d. 7) Proztím jsme integrál definovli pouze pro < b. Předešlá vět nám umožňuje definovt pro b Pk pltí f) d = f) d = b f) d. f) d = vzth 7) pltí pro kždou trojici čísel, b c z předpokldu, že spoň dv integrály eistují. Riemnnův integrál lze ještě dále zobecnit n integrál přes omezenou množinu. Definice. Necht je omezená podmnožin R f) funkce omezená n množině. Necht je I =, b omezený intervl tkový, že I. Definujme funkci f) předpisem f) = { f) pro, pro I \. 5
Pokud eistuje Riemnnův integrál n množině píšeme f) d, řekneme, že je funkce f) integrovtelná f) d = f) d. Dlší vlstnost integrálu je jeho linerit vzhledem k integrndu, tj. pltí Vět. Necht jsou funkce f 1 ) f 2 ) integrovtelné n intervlu, b c 1, c 2 R. Pk je n intervlu, b integrovtelná funkce f) = c 1 f 1 ) + c 2 f 2 ) pltí c1 f 1 ) + c 2 f 2 ) ) d = c 1 f 1 ) d + c 2 f 2 ) d. Poznmenejme, že jsou-li n intervlu, b integrovtelné funkce f) g), je integrovtelný tké jejich součin f)g), le obecně nepltí rovnost f)g) d = b f) d g) d. Když je funkce f), interpretovli jsme geometricky Riemnnův integrál f) d jko obsh obrzce omezeného osou, grfem funkce y = f) přímkmi = = b. Dejme ještě geometrickou interpretci Riemnnov integrálu pro libovolnou integrovtelnou funkci. Necht je dán funkce f). Definujme funkce f + ) = m f), ) f ) = m f), ). Funkce f + ) se obvykle nzývá nezáporná část funkce f) funkce f ) její nekldná část. Pltí f + ), f ) rovnosti f) = f + ) f ) f) = f+ ) + f ). Vět. Funkce f) je integrovtelná n množině právě tehdy, když jsou n integrovtelné obě funkce f + ) f ), tj. je integrovtelná tké funkce f), pltí f) d = f + ) d f ) d, f) d = f + ) d+ f ) d. Z toho je zřejmé, že pro libovolnou integrovtelnou funkci f) je Riemnnův integrál rozdíl obshu plochy, která leží nd osou, obshu plochy, která leží pod osou. Nyní uvedeme některé nerovnosti, které jsou potřebné k důkzu dlších důležitých vět. Vět. Necht je funkce f) integrovtelná n intervlu I =, b pro kždé I pltí k f) K. Pk pltí nerovnost kb ) f) d Kb ). 6
Důkz: Pro kždé dělení D intervlu I pltí nerovnost kb ) s D f) S D Kb ). Jestliže přejdeme n levé strně k supremu n prvé strně k infimu, dostneme nerovnost kb ) sf) = f) d = Sf) Kb ). Vět. Necht jsou funkce f) g) integrovtelné n množině pro kždé pltí g) f). Pk je g) d f) d. 8) Důkz: plyne z nerovnosti f) g) předchozí věty. Vět. Je-li funkce f) integrovtelná n množině, pltí nerovnost f) d f) d. Důkz: plyne z nerovností f) f) f) předchozí věty. Riemnnův integrál jko funkce horní meze Je-li funkce f) integrovtelná n intervlu, b, je integrovtelná tké n intervlu, c pro kždé c, b. Proto můžeme n intervlu, b definovt funkci Nyní se budeme zbývt touto funkcí. F ) = ft) dt. 9) Vět. Je-li funkce f) integrovtelná n intervlu, b, je funkce F ) definovná vzthem 9) n intervlu, b spojitá. Důkz: áme dokázt, že pro kždé, b je F + h) F ) ) =. Podle definice funkce F ) je lim h F + h) F ) = +h ft) dt ft) dt = +h ft) dt. Protože je funkce f) omezená, eistuje číslo K tkové, že f) K. Podle výše uvedených nerovností je +h F + h) F ) = ft) dt +h +h ft) dt K dt = Kh. 7
Tedy pltí ) lim F + h) F ) =, tj. lim F + h) F ) =. h h Vět. Necht je funkce f) integrovtelná n intervlu, b eistuje konečná limit lim h + f ± h) = A ±. Pk je F ± h) F ) lim h + h = A ±. 1) Důkz: Tvrzení dokážeme pouze pro limitu zprv, tj. pro znménko +. Pro limitu zlev je důkz nlogický. Jk jsme ukázli dříve, je Proto je F + h) F ) = +h ft) dt. F + h) F ) A+ h +h ) +h = ft) A+ dt ft) A+ dt. Protože lim t + ft) = A +, eistuje ke kždému ε > číslo δ > tkové, že pro kždé t, pro které je < t < + δ, je ft) A+ < ε. Zvolíme-li tedy < h < δ, dostneme pro tková h nerovnost F + h) F ) A+ h +h < ε dt = hε. Proto pro kždé ε > eistuje δ > tkové, že pro kždé h, < h < δ je F + h) F ) F + h) F ) A + < ε, tj. lim = A +. h h + h Vět. Necht je funkce f) integrovtelná n intervlu, b spojitá v bodě. Pk je F ) = d d ) ft) dt = f). 11) Důkz: Je-li funkce f) spojitá v bodě, je lim f + h) = lim f h) = f), je h + h + tvrzení věty důsledkem vzthu 1). Příkld: Njděte limitu lim 1 cos t) dt. + 2 Řešení: Protože se jedná o limitu typu, můžeme použít l Hospitlovo prvidlo. Tk dostneme lim + 1 cos t) dt 2 = lim + 1 cos 2 8 sin = lim + 4 = lim cos + 4 = 1 4.
Víme, že když je funkce f) n intervlu, b spojitá, je n tomto intervlu integrovtelná. Vzth 11) le znmená, že funkce F ) definovná vzthem 9) je její primitivní funkce. Tedy pltí Vět. Je-li funkce f) spojitá n intervlu, b, eistuje k ní n tomto intervlu primitivní funkce. Vzth 11) nám poměrně jednoduše umožňuje počítt Riemnnův integrál. Pltí totiž Vět. Necht je funkce f) spojitá n intervlu, b. Pk je f) d = [ F ) ] b = F b) F ), 12) kde F ) je libovolná primitivní funkce k funkce f) n intervlu, b. Důkz: Necht je F ) primitivní funkce k funkci f) n intervlu, b. Protože je funkce definovná vzthem 9) primitivní funkce n tomto intervlu, eistuje konstnt c tková, že pro kždé, b pltí F ) = F b) F ) = ft) dt + c ft) dt + c. Tedy pltí ) ft) dt + c = ft) dt. Z této věty plyne, že pro omezenou spojitou funkci n intervlu, b je Riemnnův integrál roven Newtonovu. Následující věty jsou obdobou podobných vět pro neurčitý integrál. Vět o integrci per prtes). Necht jsou funkce f) g) spojitě diferencovtelné n intervlu, b. Pk pltí Důkz: Protože jsou funkce F ) = f ) g) d = fb) gb) f) g) f) g ) d. 13) f t) gt) dt F ) = f)g) f)g) ft) g t) dt dvě primitivní funkce k funkci f ) g) n intervlu, b, mohou se lišit pouze o konstntu. Ale protože pro = je F ) = F ) =, jsou tyto funkce rovny pro kždé, b. Rovnost 13) je pk rovnost F b) = F b). Příkld: Njděte integrál π/2 sin n d, kde n 2. Řešení: Oznčme f ) = sin g) = sin n 1. Protože f) = cos g ) = n 1) sin n 2 cos, dostneme z 13) π/2 sin n d = cos π 2 sinn 1 π 2 + cos sinn 1 + n 1) = n 1) π/2 sin n 2 cos 2 d. 9 π/2 sin n 2 cos 2 d =
Jestliže použijeme vzth cos 2 = 1 sin 2, dostneme π/2 S této rovnice plyne sin n d = n 1) π/2 π/2 sin n d = n 1 n Podobně lze ukázt, že pro n 2 pltí π/2 cos n d = n 1 n sin n 2 d n 1) π/2 π/2 π/2 sin n 2 d. cos n 2 d. Pomocí těchto vzthů lze snižovt v integrálech mocniny, ž dostneme π/2 sin d = 1 nebo π/2 sin d = π/2 sin n d. d = π 2. Nyní uvedeme dvě věty o substituci v určitém integrálu. Podobně jko v přípdě neurčitého integrálu mjí obě tyto věty tvr f) d = β α f ϕt) ) ϕ t) dt, 14) le předpokldy se liší podle toho, zd známý integrál, pomocí něhož počítáme druhý, je v rovnosti 14) integrál vprvo nebo vlevo. Vět první vět o substituci). Necht je funkce f) spojitá n intervlu A, B funkce ϕ : α, β A, B má spojitou derivci. Necht pltí ϕα) = ϕβ) = b. Pk pltí rovnost β α f ϕt) ) ϕ t) dt = V této větě předpokládáme, že známe integrál f) d. f) d počítáme druhý integrál. Důkz: Je-li F ) n intervlu A, B primitivní funkce k funkci f), je podle první věty o substituci pro neurčitý integrál funkce Φt) = F ϕt) ) n intervlu α, β primitivní funkcí k funkci f ϕt) ) ϕ t). Proto je integrál vlevo roven β α f ϕt) ) ϕ t) dt = Φβ) Φα) = F ϕβ) ) F ϕα) ) = F b) F ) = f) d. Vět druhá vět o substituci). Necht je funkce f) spojitá n intervlu, b funkce ϕ : α, β, b je spojitě diferencovtelná funkce, která zobrzuje intervl α, β n intervl, b. Necht je ϕ t). Pk pltí f) d = Zde předpokládáme, že známe integrál β α β α f ϕt) ) ϕ t) dt. f ϕt) ) ϕ t) dt počítáme integrál Důkz: je obdobný jko v přípdě první věty o substituci. 1 f) d.
Věty o střední hodnotě integrálního počtu Uvedeme ještě dvě věty, které jsou známy jko věty o střední hodnotě integrálního počtu. Vět první vět o střední hodnotě). Necht jsou funkce f) g) integrovtelné n intervlu, b, g) pltí k f) K. Pk pltí nerovnost k g) d f) g) d K g) d. Je-li nvíc funkce f) n intervlu, b spojitá, eistuje c, b) tkové, že f) g) d = fc) Důkz: Protože je g), pltí pro kždé, b nerovnost kg) f) g) Kg) g) d. 15) protože jsou funkce g) f) g) integrovtelné, plyne uvedená nerovnost z 8). Je-li nvíc funkce f) spojitá, zobrzuje intervl, b n intervl k, K, kde k = min f) K = m f). Tedy eistuje c, b) tkové, že pltí 15).,b,b Vět druhá vět o střední hodnotě). Necht je f) spojitá n intervlu, b g) je monotonní funkce, která má n, b spojitou derivci. Pk eistuje c, b) tkové, že f) g) d = gb) c f) d + g) c f) d. 16) Důkz: Z uvedených předpokldů lze druhou větu o střední hodnotě dokázt integrcí per prtes. Necht je F ) primitivní funkce k funkci f). Pk je podle 13) f) g) d = F b)gb) F )g) F )g ) d. Protože je funkce g) monotonní, nemění její derivce n intervlu, b znménko. Proto lze n poslední integrál použít první větu o střední hodnotě 15). Podle ní eistuje c, b) tkové, že f) g) d = F b)gb) F )g) F c) g ) d = = F b)gb) F )g) F c) gb) g) ) = = gb) F b) F c) ) + g) F c) F ) ). Ale protože je F ) primitivní funkce k funkci f), je tento vzth rovnost 16). 11
Použití Riemnnov integrálu Riemnnův integrál jsme zvedli tk, by pro nezápornou funkci f), byl jeho hodnot rovn obshu plochy omezené osou, grfem funkce y = f) přímkmi = = b. Postup, kterým jsme zvedli při definici Riemnnov integrálu lze plikovt i při výpočtu obshu jiných obrzců. Je-li npříkld oblst omezen spojitou křivkou r = rϕ), kde = r cos ϕ, y = r sin ϕ, polopřímkmi ϕ = α ϕ = β, lze postupovt tk, že intervl α, β rozdělíme n mlé úseky Φ i, které mjí délku ϕ i spočítáme přibližně obsh těchto mlých výsečí. Ten je S i = 1 2 r2 ϕ i ) ϕ i, kde ϕ i Φ i. Pro obsh celé výseče pk dostneme S i S i = i 1 2 r2 ϕ i ) ϕ i. A přejdeme-li k limitě ϕi, dostneme pro obsh výseče vzth S = 1 2 β α r 2 ϕ) dϕ. Z mnohých dlších použití Riemnnov integrálu ukážeme ještě výpočet délky křivky, která je dán prmetrickými rovnicemi = t), y = yt) z = zt), t b, kde funkce t), yt) zt) mjí n intervlu, b spojité derivce. Intervl, b rozdělíme n mlé dílky T i, které mjí délku t i. Obrz kždého dílku v prostoru oznčíme X i, Y i, Z i ). Podle Pythgorovy věty je délk křivky přibližně rovn s i i ) 2 + y i ) 2 + z i ) 2, kde i je délk intervlu X i, y i je délk intervlu Y i z i je délk intervlu Z i. Ty mjí přibližně velikost i t i ) t i, yi y t i ) t i, zi z t i ) t i, kde t i T i. Jestliže použijeme tuto proimci, dostneme po sečtení zjistíme, že s i t i ) ) 2 + y t i ) ) 2 + zti ) ) 2 ti s i s i = i t i ) ) 2 + y t i ) ) 2 + zti ) ) 2 ti. Když přejdeme k limitě ti, vede tto konstrukce k vyjádření délky křivky pomocí Riemnnov integrálu s = t) ) 2 + y t) ) 2 + zt) ) 2 dt. 12