11. Číselné a mocninné řady Aplikovaná matematika III, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2017/18
11.1 Základní pojmy Definice Necht {a n } C je posloupnost komplexních čísel. Pro m N položme s m = a 1 + a 2 + + a m. Číslo s m nazveme m-tým částečným součtem řady n=1 a n.
11.1 Základní pojmy Definice Necht {a n } C je posloupnost komplexních čísel. Pro m N položme s m = a 1 + a 2 + + a m. Číslo s m nazveme m-tým částečným součtem řady n=1 a n. Prvek a n budeme nazývat n-tým členem řady n=1 a n.
11.1 Základní pojmy Definice Necht {a n } C je posloupnost komplexních čísel. Pro m N položme s m = a 1 + a 2 + + a m. Číslo s m nazveme m-tým částečným součtem řady n=1 a n. Prvek a n budeme nazývat n-tým členem řady n=1 a n. Součtem nekonečné řady n=1 a n nazveme limitu posloupnosti {s m }, pokud tato limita existuje.
11.1 Základní pojmy Definice Necht {a n } C je posloupnost komplexních čísel. Pro m N položme s m = a 1 + a 2 + + a m. Číslo s m nazveme m-tým částečným součtem řady n=1 a n. Prvek a n budeme nazývat n-tým členem řady n=1 a n. Součtem nekonečné řady n=1 a n nazveme limitu posloupnosti {s m }, pokud tato limita existuje. Součet řady budeme značit symbolem n=1 a n.
11.1 Základní pojmy Definice Necht {a n } C je posloupnost komplexních čísel. Pro m N položme s m = a 1 + a 2 + + a m. Číslo s m nazveme m-tým částečným součtem řady n=1 a n. Prvek a n budeme nazývat n-tým členem řady n=1 a n. Součtem nekonečné řady n=1 a n nazveme limitu posloupnosti {s m }, pokud tato limita existuje. Součet řady budeme značit symbolem n=1 a n. Řekneme, že řada konverguje, je-li její součet konečné číslo. V jiném případě řekneme, že řada diverguje.
11.1 Základní pojmy (pokrač.) Věta 11.1 (nutná podmínka konvergence řady) Jestliže řada n=1 a n konverguje, pak lim a n = 0.
11.1 Základní pojmy (pokrač.) Věta 11.1 (nutná podmínka konvergence řady) Jestliže řada n=1 a n konverguje, pak lim a n = 0. Poznámka Právě uvedená nutná podmínka konvergence se používá především ve tvaru "Jestliže lim a n 0 nebo lim a n neexistuje, potom řada n=1 a n diverguje."
11.1 Základní pojmy (pokrač.) Věta 11.2 (i) Necht α C, α 0. Potom n=1 a n konverguje, právě když n=1 αa n konverguje. V tom případě platí αa n = α a n. n=1 n=1
11.1 Základní pojmy (pokrač.) Věta 11.2 (i) Necht α C, α 0. Potom n=1 a n konverguje, právě když n=1 αa n konverguje. V tom případě platí αa n = α a n. n=1 n=1 (ii) Necht n=1 a n a n=1 b n jsou konvergentní řady. Potom n=1 (a n + b n ) konverguje, a platí (a n + b n ) = n=1 a n + n=1 b n. n=1
11.2 Kritéria konvergence Věta 11.3 (srovnávací kritérium) Necht n 0 N. Dále necht n=1 a n a n=1 b n jsou dvě řady splňující 0 a n b n pro každé n N, n n 0. (i) Je-li n=1 b n konvergentní, je rovněž n=1 a n konvergentní.
11.2 Kritéria konvergence Věta 11.3 (srovnávací kritérium) Necht n 0 N. Dále necht n=1 a n a n=1 b n jsou dvě řady splňující 0 a n b n pro každé n N, n n 0. (i) Je-li n=1 b n konvergentní, je rovněž n=1 a n konvergentní. (ii) Je-li n=1 a n divergentní, je rovněž n=1 b n divergentní.
11.2 Kritéria konvergence (pokrač.) Věta 11.4 (limitní srovnávací kritérium) Necht n=1 a n a n=1 b n jsou řady s nezápornými členy a lim n + a n /b n = c R. (i) Necht c (0, ). Potom n=1 a n konverguje, právě když konverguje n=1 b n.
11.2 Kritéria konvergence (pokrač.) Věta 11.4 (limitní srovnávací kritérium) Necht n=1 a n a n=1 b n jsou řady s nezápornými členy a lim n + a n /b n = c R. (i) Necht c (0, ). Potom když konverguje n=1 b n. n=1 a n konverguje, právě (ii) Necht c = 0. Pak konverguje-li n=1 b n, konverguje i n=1 a n.
11.2 Kritéria konvergence (pokrač.) Věta 11.4 (limitní srovnávací kritérium) Necht n=1 a n a n=1 b n jsou řady s nezápornými členy a lim n + a n /b n = c R. (i) Necht c (0, ). Potom když konverguje n=1 b n. n=1 a n konverguje, právě (ii) Necht c = 0. Pak konverguje-li n=1 b n, konverguje i n=1 a n. (iii) Necht c =. Pak konverguje-li n=1 a n, konverguje i n=1 b n.
11.2 Kritéria konvergence (pokrač.) Věta 11.5 (Cauchyovo odmocninové kritérium) Necht n=1 a n je řada s nezápornými členy. Potom platí: (i) Existuje-li q (0, 1) takové, že n 0 N n N, n n 0 : n a n q, potom n=1 a n konverguje.
11.2 Kritéria konvergence (pokrač.) Věta 11.5 (Cauchyovo odmocninové kritérium) Necht n=1 a n je řada s nezápornými členy. Potom platí: (i) Existuje-li q (0, 1) takové, že n 0 N n N, n n 0 : n a n q, potom n=1 a n konverguje. (ii) Je-li lim n a n < 1, pak je n=1 a n konvergentní.
11.2 Kritéria konvergence (pokrač.) Věta 11.5 (Cauchyovo odmocninové kritérium) Necht n=1 a n je řada s nezápornými členy. Potom platí: (i) Existuje-li q (0, 1) takové, že n 0 N n N, n n 0 : n a n q, potom n=1 a n konverguje. (ii) Je-li lim n a n < 1, pak je n=1 a n konvergentní. (iii) Je-li lim n a n > 1, pak neplatí lim a n = 0 a n=1 a n je divergentní.
11.2 Kritéria konvergence (pokrač.) Věta 11.6 (d Alembertovo podílové kritérium) Necht n=1 a n je řada s kladnými členy.
11.2 Kritéria konvergence (pokrač.) Věta 11.6 (d Alembertovo podílové kritérium) Necht n=1 a n je řada s kladnými členy. (i) Existuje-li q (0, 1) takové, že n 0 N n N, n n 0 : a n+1 a n q, potom n=1 a n konverguje.
11.2 Kritéria konvergence (pokrač.) Věta 11.6 (d Alembertovo podílové kritérium) Necht n=1 a n je řada s kladnými členy. (i) Existuje-li q (0, 1) takové, že n 0 N n N, n n 0 : a n+1 a n q, potom n=1 a n konverguje. (ii) Je-li lim a n+1 a n < 1, pak je n=1 a n konvergentní.
11.2 Kritéria konvergence (pokrač.) Věta 11.6 (d Alembertovo podílové kritérium) Necht n=1 a n je řada s kladnými členy. (i) Existuje-li q (0, 1) takové, že n 0 N n N, n n 0 : a n+1 a n q, potom n=1 a n konverguje. (ii) Je-li lim a n+1 a n < 1, pak je n=1 a n konvergentní. (iii) Je-li lim a n+1 a n > 1, pak neplatí lim a n = 0 a n=1 a n je divergentní.
11.2 Kritéria konvergence (pokrač.) Věta 11.7 (integrální kritérium) Necht f je nezáporná, nerostoucí a spojitá na n 0, + ), kde n 0 N. Necht pro posloupnost reálných čísel {a n } n=1 platí a n = f(n) pro n n 0.
11.2 Kritéria konvergence (pokrač.) Věta 11.7 (integrální kritérium) Necht f je nezáporná, nerostoucí a spojitá na n 0, + ), kde n 0 N. Necht pro posloupnost reálných čísel {a n } n=1 platí a n = f(n) pro n n 0. Pak n 0 f(x) dx < + a n konverguje. n=1
11.2 Kritéria konvergence (pokrač.) Věta 11.7 (integrální kritérium) Necht f je nezáporná, nerostoucí a spojitá na n 0, + ), kde n 0 N. Necht pro posloupnost reálných čísel {a n } n=1 platí a n = f(n) pro n n 0. Pak n 0 f(x) dx < + a n konverguje. n=1 Věta 11.8 Necht α R. Řada 1 n=1 konverguje právě tehdy, když n α α > 1.
11.2 Kritéria konvergence (pokrač.) Věta 11.9 (Raabeovo kritérium) Necht n=1 a n je řada s kladnými členy.
11.2 Kritéria konvergence (pokrač.) Věta 11.9 (Raabeovo kritérium) Necht n=1 a n je řada s kladnými členy. ( ) a (i) Je-li lim n n a n+1 1 > 1, pak je n=1 a n konvergentní.
11.2 Kritéria konvergence (pokrač.) Věta 11.9 (Raabeovo kritérium) Necht n=1 a n je řada s kladnými členy. ( ) a (i) Je-li lim n n a n+1 1 > 1, pak je n=1 a n konvergentní. ( ) a (ii) Je-li lim n n a n+1 1 < 1, pak je n=1 a n divergentní.
11.2 Kritéria konvergence (pokrač.) Definice Řekneme, že řada n=1 a n je absolutně konvergentní, pokud řada n=1 a n konverguje.
11.2 Kritéria konvergence (pokrač.) Definice Řekneme, že řada n=1 a n je absolutně konvergentní, pokud řada n=1 a n konverguje. Věta 11.10 Je-li řada n=1 a n absolutně konvergentní, je rovněž konvergentní.
11.3 Neabsolutní konvergence Věta 11.11 (Abel-Dirichletovo kritérium) Necht {a n } n=1 je posloupnost a {b n} n=1 je omezená monotónní posloupnost. Jestliže je splněna některá z následujících podmínek, pak je n=1 a nb n konvergentní.
11.3 Neabsolutní konvergence Věta 11.11 (Abel-Dirichletovo kritérium) Necht {a n } n=1 je posloupnost a {b n} n=1 je omezená monotónní posloupnost. Jestliže je splněna některá z následujících podmínek, pak je n=1 a nb n konvergentní. (A) n=1 a n je konvergentní,
11.3 Neabsolutní konvergence Věta 11.11 (Abel-Dirichletovo kritérium) Necht {a n } n=1 je posloupnost a {b n} n=1 je omezená monotónní posloupnost. Jestliže je splněna některá z následujících podmínek, pak je n=1 a nb n konvergentní. (A) n=1 a n je konvergentní, (D) lim n b n = 0 a n=1 a n má omezenou posloupnost částečných součtů.
11.3 Neabsolutní konvergence (pokrač.) Věta 11.12 (Leibniz) Necht {a n } n=1 je posloupnost splňující n N : a n 0,
11.3 Neabsolutní konvergence (pokrač.) Věta 11.12 (Leibniz) Necht {a n } n=1 je posloupnost splňující n N : a n 0, n N : a n a n+1,
11.3 Neabsolutní konvergence (pokrač.) Věta 11.12 (Leibniz) Necht {a n } n=1 je posloupnost splňující n N : a n 0, n N : a n a n+1, lim a n = 0. Potom je řada n=1 ( 1)n a n konvergentní.
11.4 Přerovnávání řad Definice Necht p : N N je bijekce. Přerovnáním řady n=1 a n rozumíme řadu n=1 a p(n).
11.4 Přerovnávání řad Definice Necht p : N N je bijekce. Přerovnáním řady n=1 a n rozumíme řadu n=1 a p(n). Věta 11.13 Necht n=1 a n je absolutně konvergentní řada a n=1 a p(n) je její přerovnání. Pak řada n=1 a p(n) je absolutně konvergentní a má stejný součet jako n=1 a n.
11.5 Součin řad Definice Cauchyovým součinem řad n=1 a n a m=1 b m budeme rozumět řadu ( k ) a k+1 i b i. k=1 i=1
11.5 Součin řad Definice Cauchyovým součinem řad n=1 a n a m=1 b m budeme rozumět řadu ( k ) a k+1 i b i. k=1 Věta 11.14 (Mertens) i=1 Necht řady n=1 a n, m=1 b m konvergují, přičemž alespoň jedna z nich konverguje absolutně.
11.5 Součin řad Definice Cauchyovým součinem řad n=1 a n a m=1 b m budeme rozumět řadu ( k ) a k+1 i b i. k=1 Věta 11.14 (Mertens) i=1 Necht řady n=1 a n, m=1 b m konvergují, přičemž alespoň jedna z nich konverguje absolutně. Potom ( k ) ( ) ( ) a k+1 i b i = a n b m. k=1 i=1 n=1 m=1
11.5 Součin řad (pokrač.) Věta 11.15 (Abel) Necht n=1 a n, m=1 b m jsou konvergentní řady, takové, že i jejich Cauchyův součin konverguje. Pak platí ( k ) ( ) ( ) a k+1 i b i = a n b m. k=1 i=1 n=1 m=1
11.5 Součin řad (pokrač.) Shrnutí
11.5 Součin řad (pokrač.) Shrnutí Vztah absolutni konvergence a konvergence a n 0 AK K a n C AK = K
11.5 Součin řad (pokrač.) Shrnutí Vztah absolutni konvergence a konvergence a n 0 AK K a n C AK = K Aritmetické operace s řadami
11.5 Součin řad (pokrač.) Shrnutí Vztah absolutni konvergence a konvergence a n 0 AK K a n C AK = K Aritmetické operace s řadami operace stačí, když
11.5 Součin řad (pokrač.) Shrnutí Vztah absolutni konvergence a konvergence a n 0 AK K a n C AK = K Aritmetické operace s řadami operace stačí, když násobek konstantou řada konverguje
11.5 Součin řad (pokrač.) Shrnutí Vztah absolutni konvergence a konvergence a n 0 AK K a n C AK = K Aritmetické operace s řadami operace stačí, když násobek konstantou řada konverguje asociativita (uzávorkování) řada konverguje
11.5 Součin řad (pokrač.) Shrnutí Vztah absolutni konvergence a konvergence a n 0 AK K a n C AK = K Aritmetické operace s řadami operace stačí, když násobek konstantou řada konverguje asociativita (uzávorkování) řada konverguje součet, rozdíl obě řady konvergují
11.5 Součin řad (pokrač.) Shrnutí Vztah absolutni konvergence a konvergence a n 0 AK K a n C AK = K Aritmetické operace s řadami operace stačí, když násobek konstantou řada konverguje asociativita (uzávorkování) řada konverguje součet, rozdíl obě řady konvergují přerovnání (komutativita) řada konverguje absolutně
11.5 Součin řad (pokrač.) Shrnutí Vztah absolutni konvergence a konvergence a n 0 AK K a n C AK = K Aritmetické operace s řadami operace stačí, když násobek konstantou řada konverguje asociativita (uzávorkování) řada konverguje součet, rozdíl obě řady konvergují přerovnání (komutativita) řada konverguje absolutně násobení dvou řad obě řady konvergují,
11.5 Součin řad (pokrač.) Shrnutí Vztah absolutni konvergence a konvergence a n 0 AK K a n C AK = K Aritmetické operace s řadami operace násobek konstantou asociativita (uzávorkování) součet, rozdíl přerovnání (komutativita) násobení dvou řad stačí, když řada konverguje řada konverguje obě řady konvergují řada konverguje absolutně obě řady konvergují, alespoň jedna z nich absolutně
11.6 Mocninné řady Definice Mocninnou řadou o středu z 0 C rozumíme řadu k=0 a k(z z 0 ) k, kde z C a a k C pro každé k N {0}.
11.6 Mocninné řady (pokrač.) Věta 11.16 Necht k=0 a k(z z 0 ) k je mocninná řada. Pak existuje nezáporný prvek R R takový, že pro každé z C, z z 0 < R, uvedená řada konverguje absolutně,
11.6 Mocninné řady (pokrač.) Věta 11.16 Necht k=0 a k(z z 0 ) k je mocninná řada. Pak existuje nezáporný prvek R R takový, že pro každé z C, z z 0 < R, uvedená řada konverguje absolutně, pro každé z C, z z 0 > R, uvedená řada diverguje.
11.6 Mocninné řady (pokrač.) Věta 11.16 Necht k=0 a k(z z 0 ) k je mocninná řada. Pak existuje nezáporný prvek R R takový, že Platí pro každé z C, z z 0 < R, uvedená řada konverguje absolutně, pro každé z C, z z 0 > R, uvedená řada diverguje. R = lim k k 1 ak, pokud limita ve jmenovateli zlomku vpravo existuje.
11.6 Mocninné řady (pokrač.) Věta 11.16 Necht k=0 a k(z z 0 ) k je mocninná řada. Pak existuje nezáporný prvek R R takový, že Platí pro každé z C, z z 0 < R, uvedená řada konverguje absolutně, pro každé z C, z z 0 > R, uvedená řada diverguje. R = lim k k 1 ak, pokud limita ve jmenovateli zlomku vpravo existuje. Výrazu 1/0 zde přiřazujeme hodnotu R = + a výrazu 1/ přiřazujeme hodnotu R = 0.
11.6 Mocninné řady (pokrač.) Poznámka. Platí také R = 1 a lim k+1, k a k pokud limita ve jmenovateli zlomku vpravo existuje.
11.6 Mocninné řady (pokrač.) Poznámka. Platí také R = 1 a lim k+1, k a k pokud limita ve jmenovateli zlomku vpravo existuje. Výrazu 1/0 zde opět přiřazujeme hodnotu R = + a výrazu 1/ přiřazujeme hodnotu R = 0.
11.6 Mocninné řady (pokrač.) Poznámka. Platí také R = 1 a lim k+1, k a k pokud limita ve jmenovateli zlomku vpravo existuje. Výrazu 1/0 zde opět přiřazujeme hodnotu R = + a výrazu 1/ přiřazujeme hodnotu R = 0. Definice Prvek R z předchozí věty nazýváme poloměrem konvergence řady k=0 a k(z z 0 ) k.
11.6 Mocninné řady (pokrač.) Poznámka. Platí také R = 1 a lim k+1, k a k pokud limita ve jmenovateli zlomku vpravo existuje. Výrazu 1/0 zde opět přiřazujeme hodnotu R = + a výrazu 1/ přiřazujeme hodnotu R = 0. Definice Prvek R z předchozí věty nazýváme poloměrem konvergence řady k=0 a k(z z 0 ) k. Kruh v komplexní rovině K R (z 0 ) := {z C; z z 0 < R} nazýváme kruhem konvergence, a kružnici K R (z 0 ) := {z C; z z 0 = R} nazýváme konvergenční kružnicí dané řady.
11.6 Mocninné řady (pokrač.) Poznámka. V dalším textu budeme používat pojem derivace komplexní funkce konplexní proměnné, který je definován formálně zcela stejně jako pojem derivace reálné funkce reálné proměnné.
11.6 Mocninné řady (pokrač.) Poznámka. V dalším textu budeme používat pojem derivace komplexní funkce konplexní proměnné, který je definován formálně zcela stejně jako pojem derivace reálné funkce reálné proměnné. Tedy, řekneme, že f : C C má derivaci v bodě z C, pokud existuje limita f (z) := lim w z f(w) f(z) w z C.
11.6 Mocninné řady (pokrač.) Poznámka. V dalším textu budeme používat pojem derivace komplexní funkce konplexní proměnné, který je definován formálně zcela stejně jako pojem derivace reálné funkce reálné proměnné. Tedy, řekneme, že f : C C má derivaci v bodě z C, pokud existuje limita f (z) := lim w z f(w) f(z) w z C. Na rozdíl od reálných funkcí nedefinujeme v tomto případě pojem nevlastní limity (derivace), ani pojmy jednostranná limita (derivace).
11.6 Mocninné řady (pokrač.) Věta 11.17 Necht R > 0 je poloměrem konvergence mocninné řady n=0 a n(z z 0 ) n. Definujme f(z) := a n (z z 0 ) n, z z 0 < R. n=0
11.6 Mocninné řady (pokrač.) Věta 11.17 Necht R > 0 je poloměrem konvergence mocninné řady n=0 a n(z z 0 ) n. Definujme f(z) := a n (z z 0 ) n, z z 0 < R. n=0 Potom řada n=1 na n(z z 0 ) n 1 konverguje pro z z 0 < R a platí f (z) = na n (z z 0 ) n 1, z z 0 < R. n=1
11.6 Mocninné řady (pokrač.) Věta 11.18 Necht f je jako ve Větě 11.17. Potom má f derivace všech řádů pro z C, z z 0 < R, a platí: f (k) (z) = n(n 1)...(n k + 1)a n (z z 0 ) n k. n=k Speciálně platí f (k) (z 0 ) = k!a k.
11.6 Mocninné řady (pokrač.) Poznámka. Mocninnou řadu lze tedy uvnitř kruhu konvergence libovolněkrát derivovat (a integrovat) člen po členu, aniž se změní poloměr konvergence.
11.6 Mocninné řady (pokrač.) Poznámka. Mocninnou řadu lze tedy uvnitř kruhu konvergence libovolněkrát derivovat (a integrovat) člen po členu, aniž se změní poloměr konvergence. Stejně tak lze provádět uvnitř kruhu konvergence všechny výše sepsané aritmetické operace, včetně přerovnání řady.
11.6 Mocninné řady (pokrač.) Věta 11.19 (Abel) Necht f je jako ve Větě 11.17 a necht číselná řada n=0 a n(z z 0 ) n konverguje pro nějaké z C, ležící na konvergenční kružnici, tedy pro z = z 0 + Re iϕ, ϕ 0, 2π).
11.6 Mocninné řady (pokrač.) Věta 11.19 (Abel) Necht f je jako ve Větě 11.17 a necht číselná řada n=0 a n(z z 0 ) n konverguje pro nějaké z C, ležící na konvergenční kružnici, tedy pro z = z 0 + Re iϕ, ϕ 0, 2π). Potom existuje vlastní limita lim r R f(z 0 + re iϕ ) a platí: a n (z z 0 ) n = n=0 n=0 a n R n e inϕ = lim r R f(z 0 + re iϕ ).
11.6 Mocninné řady (pokrač.) Věta 11.19 (Abel) Necht f je jako ve Větě 11.17 a necht číselná řada n=0 a n(z z 0 ) n konverguje pro nějaké z C, ležící na konvergenční kružnici, tedy pro z = z 0 + Re iϕ, ϕ 0, 2π). Potom existuje vlastní limita lim r R f(z 0 + re iϕ ) a platí: a n (z z 0 ) n = n=0 n=0 a n R n e inϕ = lim r R f(z 0 + re iϕ ). Speciálně, pokud konverguje číselná řada n=0 a nr n, je n=0 a nr n = lim x R f(x), a podobně je n=0 ( 1)n a n R n = lim x R+ f(x) za předpokladu, že číselná řada n=0 ( 1)n a n R n konverguje.
11.6 Mocninné řady (pokrač.) Příklady: Některá z použití teorie číselných a mocninných řad: Rozvíjení funkcí do Taylorových řad pomocí integrovaní řady (ln(1 + x), arctg x).
11.6 Mocninné řady (pokrač.) Příklady: Některá z použití teorie číselných a mocninných řad: Rozvíjení funkcí do Taylorových řad pomocí integrovaní řady (ln(1 + x), arctg x). Sčítání některých číselných (i mocninných) řad (ln 2, = arctg 1). π 4
11.6 Mocninné řady (pokrač.) Příklady: Některá z použití teorie číselných a mocninných řad: Rozvíjení funkcí do Taylorových řad pomocí integrovaní řady (ln(1 + x), arctg x). Sčítání některých číselných (i mocninných) řad (ln 2, = arctg 1). π 4 Hledání řešení ODR ve tvaru řady.