A J E J I C H S O U S T A V Y

O S T R A V S K Á U N I V E R Z I T A P Ř Í R O D O V Ě D E C K Á F A K U L T A O B YČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE A J E J I C H S O U S T A V Y D A N I E L H R I V Ň Á K OSTRAVA 00

O B S A H M O D U L U Úvod 3 A Občejé difereciálí rovice rvího řádu A Základí ojm 5 A Difereciálí rovice se searovaými roměými A3 Homogeí difereciálí rovice 5 A4 Lieárí difereciálí rovice rvího řádu 7 A5 Eaktí difereciálí rovice A6 Rovice rvího řádu erozřešeé vzhledem k derivaci 5 B Občejé difereciálí rovice vššího řádu B Jedoduché difereciálí rovice vššího řádu 9 B Lieárí difereciálí rovice vššího řádu 33 B3 Homogeí lieárí difereciálí rovice s kostatími koeficiet 37 B4 Nehomogeí lieárí difereciálí rovice s kostatími koeficiet 4 C Soustav občejých difereciálích rovic C Základí ojm 49 C Normálí soustava lieárích difereciálích rovic 53 C3 Normálí soustava lieárích difereciálích rovic s kostatími koeficiet 57 Řešeí úloh 65 Literatura 69

3 Teto modul je urče ředevším studetům rvích ebo druhých ročíků řírodovědeckých a učitelských ematematických oborů jako součást základího kurzu alikovaé matematik Předokládá zalost středoškolské matematik, základů difereciálího očtu jedé i více reálých roměých a itegrálího očtu jedé reálé roměé Uváděý otřebý čas studia modulu a jedotlivých kaitol je třeba cháat jako čas miimálí, otřebý ro ečlivé ročteí (s orozuměím) robíraé teorie a hladké vřešeí úloh Pokud eí matematika Vaším koíčkem, asi budete otřebovat čas delší Předokládám, že v ejhorším říadě se může jedat asi o dvojásobý čas, jiak ravděodobě emáte uté vstuí vědomosti, uvedeé výše Po rostudováí modulu budete zát: defiici skalárího a vektorového ole; defiici a vlastosti oerátoru gradiet; defiici a vlastosti oerátoru divergece; defiici a vlastosti oerátoru rotace; defiici a vlastosti Lalaceova oarátoru; defiici smbolického abla oerátoru; vjádřeí základích difereciálích oerátorů omocí abla oerátoru; defiici hladi skalárího ole a vektorové čár vektorového ole; klasifikaci vektorových olí a vírová a evírová, zřídlová a ezřídlová; ejdůležitější vzorce laté ro difereciálí oerátor Budete schoi: alikovat oerátor gradietu, divergece, rotace a Lalaceův oerátor a zadaá skalárí ebo vektorová ole; klasifikovat vektorová ole Získáte: Ú V O D solidí řehled roblematik difereciálích oerátorů, dostatečý ro většiu raktických alikací; ředstavu o matematicko-fzikálím výzamu jedotlivých oerátorů; otřebou výočetí rutiu, která Vám umoží efektivě oužívat difereciálí oerátor ve Vaší secializaci Čas otřebý k rostudováí učiva modulu: 8 + 4 hodi (teorie + řešeí úloh) Průvodce studiem Secifikem matematického tetu jsou ozámk Prosím, echáejte je jako ěco odřadého Naoak, často jsou v ozámkách uvede velmi důležité věci, které edílě dolňují defiice, vět a důkaz a které objasňují jejich účel a motivaci

A Základí ojm 5 A O B YČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE P R V N Í H O ŘÁDU A Z Á K L A D N Í P O J M Y V této kaitole se dozvíte: co rozumíme ojmem občejá difereciálí rovice a jejím řádem; jak je defiováo řešeí ebo-li itegrál difereciálí rovice a jaké t řešeí rozlišujeme; co jsou to tzv očátečí odmík ro řešeí difereciálí rovice Budete schoi: ověřit, zda určitá fukce je v daém oboru řešeím daé difereciálí rovice Klíčová slova této kaitol: občejá difereciálí rovice -tého řádu, artikulárí řešeí, artikulárí itegrál, obecé řešeí, obecý itegrál, očátečí odmík, sigulárí řešeí, sigulárí itegrál Čas otřebý k rostudováí učiva ředmětu: 0,5 + 0,5 hodi (teorie + řešeí úloh) Defiice Občejou difereciálí rovicí -tého řádu ro ezámou fukci ( ) ezávislé roměé rozumíme rovici F(,,,, ) = 0, ebo, je-li takzvaě rozřešea vzhledem k ejvšší derivaci, rovici tvaru ( ) = f (,,,, ) Defiice Řešeím ebo také itegrálem (řesěji artikulárím řešeím či itegrálem) difereciálí rovice F(,,,, ) = 0 azýváme každou fukci = g, která v uvažovaém oboru vhovuje idetick této rovici

6 A Občejé difereciálí rovice rvího řádu Pozámka Uvažovaým oborem je ejčastěji ějaký iterval I, seciálě ař okolí ějakého bodu ebo celá možia R reálých čísel Formulace vhovuje idetick zameá, že o dosazeí řešeí do difereciálí rovice dostaeme idetitu, ebo-li vztah, který je slě ro všecha z uvažovaého oboru 3 Řešeí může být dáo také jako imlicití fukce, tz rovicí h(, ) = 0, ze které můžeme ro určité vočítat říslušou hodotu ( ) Obecě vzato emusí mít určitá difereciálí rovice v uvažovaém oboru žádé řešeí, ěkolik řešeí ebo i ekoečě moho řešeí V rai je ejdůležitější vědět, zda řešeí vůbec eistuje a zda (ří za jakých odmíek) je jedozačé O tom hovoří ásledující věta Věta Nechť je dáa difereciálí rovice ve tvaru ( ) = f (,,,, ) a bod P a, b,, b,, b f d f d df d jsou sojité (jako fukce + roměých) v okolí bodu P Pak v určitém okolí bodu a eistuje rávě jedo řešeí = g, které slňuje tzv očátečí odmík g( a) = b, g ( a) = b,, ( g ) ( a) = b Pozámka a) Věta má lokálí charakter (ojedává o řešeí v okolí bodu a) Silější větu, která b zaručovala eisteci a jedozačost řešeí v celém uvažovaém itervalu I, je možé formulovat ař ro tzv lieárí difereciálí rovice (budou uvede dále) Obecě však, alezeme-li řešeí určité difereciálí rovice s daými očátečími odmíkami v ějakém okolí bodu a, musíme všetřit, zda je možé toto řešeí rozšířit i mimo toto okolí a zda je toto rozšířeí jedozačé b) Obecější tvar rovice F(,,,, ) = 0 oužít elze, rotože ai za velmi rozumých odmíek ro fukci F elze zaručit jedozačost řešeí Nalezeé artikulárí řešeí (v okolí daého bodu a) je dáo volbou očátečích odmíek, tz -tice hodot b,, b,, b Ukazuje se, že je možé defiovat t řešeí, ve kterém elicitě vstuuje ezávislých arametrů (kostat) Defiice Nechť Ω je (+)-rozměrá oblast, složeá z takových bodů P a, b,, b,, b, ( ) ro které má rovice = f (,,,, ) rávě jedo řešeí Obecým řešeím (obecým itegrálem) vzhledem k oblasti Ω ak rozumíme fukci g(, C, C,, C ) roměé a kostat C, C,, C takovou, že ro každý bod P Ω lze těmto kostatám řiřadit (a to jedozačě!) takové číselé hodot, že vziklá fukce roměé = g(, C, C,, C ) je řešeím daé difereciálí rovice s očátečími odmíkami určeými bodem P

A Základí ojm 7 Pozámka Řečeo trochu jiak, obecé řešeí v sobě obsahuje všecha artikulárí řešeí, odovídající růzým očátečím odmíkám Tato artikulárí řešeí obdržíme vhodou volbou kostat Žádá z kostat C, C,, C v obecém řešeí emůže být zbtečá, tz elze ji vustit ai sojit s jiou kostatou Počet kostat musí být rove řádu rovice V rai se oměrě často objevuje říad, kd kromě obecého řešeí difereciálí rovice (vzhledem k ějaké oblasti Ω ) eistuje i řešeí, které elze získat z obecého řešeí žádou volbou kostat, které icméě slňuje daou difereciálí rovici ro určité očátečí odmík Toto řešeí řadíme mezi tzv sigulárí řešeí Defiice ( ) Sigulárím řešeím (sigulárím itegrálem) rovice = f (,,,, ) azýváme takové řešeí této rovice, v jehož každém bodě je orušea, tohoto řešeí rochází ještě jié řešeí jedozačost, tz každým bodem [ ] Pozámka a) Sigulárím řešeím je ejčastěji obálka arametrického sstému křivek, tvořeého obecým řešeím b) Předchozí věta o jedozačosti řešeí ovšem eí arušea, ouze v bodech, kterými sigulárí řešeí rochází, ejsou slě ředoklad její latosti Pojm obecé řešeí a sigulárí řešeí rozšiřujeme i a difereciálí rovice obecějšího tvaru F(,,,, ) = 0 Defiice jsou trochu komlikovaější, ale ro aše účel to eí odstaté Úloha A Je dáa difereciálí rovice a) Ověřte, že fukce = = C C je jejím obecým řešeím b) Nalezěte artikulárí řešeí, vhovující odmíce = c) Je fukce = sigulárím řešeím daé rovice? 4 d) Načrtěte ěkolik artikulárích řešeí do grafu!

8 A Občejé difereciálí rovice rvího řádu Příklad: Ilustrace základích ojmů z teorie difereciálích rovic a rovici 3 = 3 Rovice = je difereciálí rovicí rvího řádu, rotože ejvšší řítomá derivace je rví derivace Rovice je tzv rozřešea vzhledem k rví (ejvšší) derivaci Partikulárím řešeím, a to v celém oboru reálých čísel, je ař fukce 3 =,rotože o dosazeí do výchozí rovice dostaeme idetitu, 7 latou v R : 3 L 7 9 L = = =, P Obecým řešeím v oblasti kde kostata C R odmíce ( a) b = 3 3 C a b 6 3 6 3 3 3 3 3 P = = = = = =, 3 3 3 3 9 Ω = R R = R je sstém fukcí = ( C) 3, 7 Libovolé artikulárí řešeí, vhovující očátečí a, b Ω, dostaeme jedozačou volbou =, kde [ ] Eistece a jedozačost řešeí je zaručea všude, kde fukce f (, ) d f (, ) fukce d říadě je 3 f ( ) a jsou sojité jako fukce dvou roměých, V ašem f, =, což je fukce sojitá v celém ( ) R, a d, d 3 3 = = =, což je fukce sojitá v celém R d d 3 3 3 kromě římk = 0 (os ) Odtud le, že a římce = 0 emusí latit (a elatí!) jedozačost řešeí =, eboť tato fukce idetick Sigulárím řešeím je ulová fukce 0 slňuje v R výchozí rovici, ale elze ji získat z obecého řešeí žádou volbou kostat C Každým bodem a, ( a) [ a, 0] tohoto řešeí rochází (rávě jedo) další řešeí = ( a) 3 Situace je zázorěa a 7 obrázku Je vidět, že sigulárí řešeí vziká jako obálka sstému křivek obecého řešeí ) )

A Základí ojm 9 Shrutí kaitol: Občejou difereciálí rovicí rozumíme rovici, ve které vstuuje ezámá fukce jedé ezávislé roměé, její derivace růzého řádu a výraz s ezávislou roměou Řád ejvšší derivace řítomé v rovici je také řádem difereciálí rovice Difereciálí rovice, ve kterých je ejvšší derivace elicitě vjádřea, azýváme rozřešeé vzhledem k ejvšší ( -té) derivaci Řešeím či itegrálem, řesěji artikulárím řešeím či itegrálem difereciálí rovice je libovolá fukce, která tuto rovici v určité oblasti idetick slňuje Partikulárí řešeí slňuje kromě vlastí difereciálí rovice tzv očátečí odmík Počátečí odmík ředeisují hodotu hledaé fukce a všech jejích derivací kromě ejvšší ( -té) v určitém bodě uvažovaé oblasti Pokud jsou slě odmík jedozačosti řešeí daé difereciálí rovice, lze alézt tzv obecé řešeí, které obsahuje arametrů (kostat) a ze kterého se všecha artikulárí řešeí dají získat určitou volbou těchto kostat Pokud odmík jedozačosti řešeí slě ejsou, může se vsktout tzv sigulárí řešeí, které slňuje difereciálí rovici i určitou očátečí odmíku, ale elze je získat z obecého řešeí žádou volbou kostat Sigulárí řešeí je zravidla obálkou arametrického sstému křivek, daého obecým řešeím Otázk: Defiujte eaktě občejou difereciálí rovici v ejobecějším tvaru a ve tvaru rozřešeém vzhledem k ejvšší derivaci Vsvětlete ojem řešeí (itegrál) difereciálí rovice Co jsou to očátečí odmík? Defiujte eaktě obecé, artikulárí a sigulárí řešeí (itegrál) Průvodce studiem Prví kaitola je za Vámi! Neměla b Vám dělat velké roblém, jedá se o defiice základích ojmů, které je třeba bezečě zát

A Difereciálí rovice se searovaými roměými A D I F E R E N C I Á L N Í R O V N I C E S E S E P A R O V A N Ý M I P R O MĚNNÝMI V této kaitole se dozvíte: jak je defiováa difereciálí rovice rvího řádu se searovaými roměými (ebo-li searovatelá) a jakou metodou se řeší Budete schoi: řešit difereciálí rovici rvího řádu se searovaými roměými Klíčová slova této kaitol: difereciálí rovice rvího řádu se searovaými roměými (searovatelá), searace roměých Čas otřebý k rostudováí učiva kaitol: 0,5 +,5 hodi (teorie + řešeí úloh) Defiice Rovicí se searovaými roměými (také searovatelou difereciálí rovicí) azýváme rovici tvaru f = g Věta (metoda řešeí) Je-li fukce f ( ) sojitá v itervalu a, b a fukce g ( ) sojitá a růzá od ul v itervalu c, d, ak uvedeá rovice má v oblasti Ω = a, b c, d obecý itegrál d = g f d Partikulárí itegrál, rocházející bodem [ 0, 0 ] Ω, je dá rovicí g ( s) ds = f ( t) dt 0 0 Pozámka a) Řešíme ted searací roměých (odtud ázev tu rovice), kd a jedu strau rovice řevedeme čle s roměou a a druhou strau čle s roměou tak, abchom mohli obě stra itegrovat odle říslušé roměé b) Teto t difereciálí rovice v sobě zahruje dva jedodušší t: f = s řešeím f d d f = ( ) = a t f ( ) = s řešeím (imlicitím)

A Občejé difereciálí rovice rvího řádu Příklad Řešte difereciálí rovici se searovaými roměými + = 0 Nalezěte také artikulárí řešeí, vhovující očátečí odmíce ( 0) = Řešeí d Rozeíšeme derivaci jako odíl difereciálů = a rovici uravíme a tvar, d kd a jedé její straě bude výraz ouze s roměou a a druhé straě výraz ouze s roměou (tj rovedeme searaci roměých) Obdržíme d = d Itegrací obou stra d = d dostaeme rovici + C = + C Jedoduchou úravou a sloučeím obou itegračích kostat v jedu získáme obecé řešeí + = C Řešeí oecháme v uvedeém, tzv imlicitím tvaru, eboť elicití vjádřeí = f eí jedozačé a je komlikovaější ve tvaru Hledejme í artikulárí itegrál, slňující očátečí odmíku 0 = Dosazeím této odmík do obecého řešeí obdržíme ro kostatu C rovici 0 + = C, odkud C = 4 Příslušý artikulárí itegrál má ted tvar + = 4 Shrutí kaitol: Základí difereciálí rovicí rvího řádu je rovice se searovatelými roměými ebo-li searovatelá Metoda jejího řešeí sočívá v tzv searaci roměých, kd rozeíšeme derivaci jako odíl difereciálů a ak matematickými úravami řevedeme a jedu strau rovice čle s roměou a a druhou strau rovice čle s roměou tak, ab blo možé levou i ravou strau rovice římo itegrovat odle říslušé roměé Po itegraci obdržíme obecé řešeí většiou v imlicitím tvaru, které, je-li to možé, řevedeme a elicití tvar (tz vjádříme jako fukci ) Otázk: Defiujte searovatelou difereciálí rovici Jak tuto rovici řešíme? Čemu říkáme searace roměých?

A Difereciálí rovice se searovaými roměými 3 Úloha A Řešte difereciálí rovici se searovaými roměými: a) = 0, ( ) = 4 ; b) + = 0, ( ) = ; c) =, (0) = ; d) + = 0, e) f) () =, = e ; 4 = ; + = 0, ( ) = ; g) h) + = + ; + + + = 0 Průvodce studiem Ní již umíte řešit svou rví difereciálí rovici! Věřím, že Vás to ovzbudí do dalšího studia Rovice se searovaými roměými ebo-li searovatelá je základím tem difereciálí rovice Její řešeí je velmi jedoduché Problém ale můžete mít s výočtem vzikajících itegrálů Protože v tomto kurzu ejde o to, rocvičit metod výočtu itegrálů, dooručuji v rai obvklý ostu: složitější itegrál eočítat, ale alézt si je v tabulkách itegrálů

A3 Homogeí difereciálí rovice 5 A 3 H O M O G E N N Í D I F E R E N C I Á L N Í R O V N I C E V této kaitole se dozvíte: jak je defiováa homogeí difereciálí rovice rvího řádu a jakou metodou se řeší Budete schoi: rozozat a vřešit homogeí difereciálí rovici rvího řádu Klíčová slova této kaitol: homogeí difereciálí rovice rvího řádu Čas otřebý k rostudováí učiva kaitol: 0,5 +,5 hodi (teorie + řešeí úloh) Defiice Homogeí difereciálí rovicí rvího řádu azýváme rovici = f Předokládá se 0 ve všetřovaém oboru Metoda řešeí Řešíme zavedeím ové fukce z =, ebo-li z = Derivováím osledí rovice odle dostaeme vztah = z + z Dosadímeli za a do ůvodí rovice, dostaeme difereciálí rovici z + z = f z, kterou jedoduše uravíme a rovici se searovaými roměými z = f ( z) z Najdeme-li její řešeí = z rovice fukce z, je řešeím ůvodí Pozámka a) Termí homogeí v ázvu rovice zameá, že a ravé straě se jedá o f, se tzv homogeí fukci (ultého stuě) Přiomeňme, že fukce azývá homogeí s-tého stuě, latí-li f ( t, t) t s f (, ) = Nezaměňovat s termíem homogeí rovice ve smslu rovice bez ravé stra! a + b + c b) Na homogeí rovici lze řevést rovici = tak, že se a + b + c vhodou substitucí = u + A, = v + B zbavíme absolutích čleů c, c

6 A Občejé difereciálí rovice rvího řádu Příklad Řešte homogeí difereciálí rovici Řešeí Shrutí kaitol: Rovice homogeí má a ravé straě homogeí fukci ultého řádu v roměých, Řešíme ji substitucí z =, kterou tato rovice řejde a rovici searovatelou Otázk: Defiujte homogeí difereciálí rovici rvího řádu Jak tuto rovici řešíme? Odkud se vzal ázev homogeí rovice? Záte další výzam termíu homogeí rovice? Úloha A3 = Zadaou rovici vděleím řevedeme a tvar =, čímž jedak ověříme, že se oravdu jedá o rovici homogeí, tj obecého tvaru = f, jedak si řiravíme dosazeí substituce z = (ebo-li = z ) Po dosazeí dostaeme z + z = z z, což je rovice se searovaými roměými, kterou již dz d umíme řešit Řešeí vede a itegrálí rovici = z z, jejíž itegrací z obdržíme rovici l + C = l + C Odlogaritmováím a zavedeím z z ové kostat C získáme rovici = C Po zětém dosazeí z = z a elemetárích úravách obdržíme obecé řešeí = C Řešte homogeí difereciálí rovici Najděte obecé řešeí a také říslušé artikulárí řešeí, je-li uvedea očátečí odmíka a) = ; b) + = 0, ( ) = 0 ; c) cos = cos ; d) = +, = ; e) + = ( + ) ; f) = + =,

A4 Lieárí difereciálí rovice rvího řádu 7 A 4 L I N E Á R N Í D I F E R E N C I Á L N Í R O V N I C E P R V N Í H O ŘÁDU V této kaitole se dozvíte: jak je defiováa lieárí difereciálí rovice rvího řádu a jakou metodou se řeší Budete schoi: rozozat a vřešit lieárí difereciálí rovici rvího řádu Klíčová slova této kaitol: lieárí difereciálí rovice rvího řádu homogeí a ehomogeí, metoda variace kostat Čas otřebý k rostudováí učiva kaitol: 0,5 +,0 hodi (teorie + řešeí úloh) Defiice Lieárí difereciálí rovicí rvího řádu rozumíme rovici tvaru Věta Jsou-li fukce a ( ), rávě jedo řešeí + a = b b sojité v určitém itervalu, eistuje v tomto itervalu Metoda řešeí Nejrve řešíme rovici bez ravé stra, tzv homogeí rovici (ezaměňovat s ázvem ředchozí difereciálí rovice) + a = 0 Tato rovice se řeší sado searací roměých: d a d a d = a d l ( K) = a d K = e = Ce, C = K Obecý itegrál ůvodí ehomogeí rovice (s ravou straou) dostaeme tzv metodou variace kostat Předokládáme, že řešeí ehomogeí rovice má stejý tvar jako řešeí homogeí rovice, avšak itegračí kostatu ovažujeme d C e a = Teto výraz derivujeme odle a za fukci roměé : dosadíme do ůvodí rovice: variace kostat a d a d a d C e C a e a C e b a d C e b + = =

8 A Občejé difereciálí rovice rvího řádu Dostali jsme difereciálí rovici se searovaými roměými ro fukci C ( ), a( jejímž řešeím je )d C = b e d Dosazeím do ředokládaého řešeí ehomogeí rovice obdržíme akoec obecý itegrál ve tvaru a d a d = e b e d Pozámka a) Jedá se o vzácý říad, kd se dá řešeí vjádřit aaltickým vzorcem V rai ale většiou edosazujeme do výsledého vzorce, ale rovádíme uvedeý ostu krok o kroku b) Dá se ukázat, že výsledé řešeí má tvar součtu obecého řešeí rovice bez ravé stra a ějakého (jakéhokoliv) artikulárího řešeí rovice s ravou straou, což latí i ro lieárí rovice vššího řádu Příklad Řešte lieárí difereciálí rovici vhovující odmíce = 0 3 = Nalezěte také artikulárí řešeí, Řešeí Zadaá rovice má tvar + a = b, je to ted lieárí difereciálí rovice Fukce b( ) tvoří tzv ravou strau Nejrve řešíme rovici bez ravé stra 3 (zvaou homogeí), tj rovici = 0 Jedá se o rovici se searovaými d d roměými Již zámým ostuem dostaeme itegrálí rovici = 3, odkud itegrací l + C = 3l + C Po odlogaritmováí a zavedeí ové 3 kostat C obdržíme obecé řešeí homogeí rovice = C Dalším krokem je tzv metoda variace kostat Hledáme obecé řešeí ůvodí ehomogeí rovice ve tvaru obecého řešeí homogeí rovice = C 3, kd však kostatu C okládáme za (zatím ezámou) fukci roměé Dosazeím ředokládaého tvaru řešeí do ůvodí rovice obdržíme ro 3 3 3C ezámou fukci C ( ) rovici rvího řádu C + 3C =, odkud C =, a dále C = d K = + Získaou fukci dosadíme do obecého řešeí homogeí rovice a vrátíme se k ozačeí itegračí kostat C, čímž 3 dostaeme obecé řešeí ůvodí ehomogeí rovice = C Hledejme í artikulárí řešeí, slňující očátečí odmíku = 0 Dosazeím do alezeého obecého řešeí ehomogeí rovice dostaeme 3 3 rovici 0 = C, odkud C = Partikulárí řešeí má roto tvar =

A4 Lieárí difereciálí rovice rvího řádu 9 Shrutí kaitol: Lieárí difereciálí rovice rvího řádu je důležitým seciálím říadem obecé lieárí rovice vššího řádu, který je robírá dále v tetu Na levé straě této rovice je lieárí výraz v roměých a, a ravé straě libovolá fukce ezávisle roměé Je-li tato fukce ulová, hovoříme o homogeí lieárí rovici, v oačém říadě o ehomogeí lieárí rovic Lieárí difereciálí rovici řešíme ve dvou krocích Nejrve alezeme obecé řešeí říslušé homogeí rovice (tj ůvodí rovice bez ravé stra), což lze vžd rovést searací roměých Toto řešeí obsahuje rávě jedu volitelou kostatu Druhým krokem je tzv metoda variace kostat, kd ředokládáme, že také řešeí ehomogeí rovice má stejý tvar jako řešeí rovice homogeí, ale ůvodí kostata v homogeím řešeí je í ezámou fukcí roměé Tuto fukci určíme dosazeím ředokládaého tvaru řešeí do ehomogeí rovice Otázk: Defiujte lieárí difereciálí rovici rvího řádu Jaká je metoda řešeí této rovice? K čemu slouží metoda variace kostat? Úloha A4 Řešte lieárí difereciálí rovici Najděte obecé řešeí a také říslušé artikulárí řešeí, je-li uvedea očátečí odmíka e a) + = ; b) cos si = si, ( π ) = 0 ; c) + = l +, = ; d) ( + ) + =, ( 0) = ; 3 e) tg =, π = π ; f) + cos = si, π = 4 4 Průvodce studiem Asi se mou budete souhlasit, že řešeí lieárí difereciálí rovice rvího řádu již eí triviálí záležitostí Kromě ochoeí teoretického ostuu řešeí, který musíte umět samozřejmě zaměti, je třeba zvládout i kokrétí výočetí roblém každého říkladu (úrav rovic, logaritmováí a odlogaritmováí, řešeí itegrálů atd) Pokud se Vám to moc edaří, evěšte hlavu Musíte řekoat očátečí otíže zvýšeým úsilím, ale stojí to za to Brz zjistíte, že Vaše matematická zručost se zvšuje a že robíraá látka vlastě vůbec eí těžká

A5 Eaktí difereciálí rovice A 5 E X A K T N Í D I F E R E N C I Á L N Í R O V N I C E V této kaitole se dozvíte: jak je defiováa eaktí difereciálí rovice a jakou metodou se řeší Budete schoi: rozozat a vřešit eaktí difereciálí rovici Klíčová slova této kaitol: eaktí difereciálí rovice, totálí difereciál, kmeová fukce, itegračí faktor Defiice Mějme rovici Čas otřebý k rostudováí učiva kaitol: 0,5 +,0 hodi (teorie + řešeí úloh) f (, ) + = 0, kde fukce f (, ), (, ) g (, ) g mají v určité oblasti Ω sojité derivace rvího řádu Rovici můžeme řevést a difereciálí formu f, d + g, d = 0 Pokud je levá straa osledí rovice v Ω totálím difereciálem ějaké fukce, F, azýváme kmeovou F ( ), jedá se o tzv eaktí rovici Fukci fukcí kmeová fukce Metoda řešeí f, d + g, d je, jak víme, totálím difereciálem rávě tehd, Výraz latí-li v Ω rovost f g = Po ověřeí latosti této rovice alezeme kmeovou fukci F (, ) a obecý itegrál ůvodí rovice (v imlicitím tvaru) je ak dá rovicí F (, ) = C Nalezeí kmeové fukce F (, ) le z rovic f (, ) (, ), odkud F (, ) = f (, ) d + C ( ) F g (, ) = F (, ) = g (, ) d + C (viz říklad) (, ) F = a zároveň a

A Občejé difereciálí rovice rvího řádu Věta (itegračí faktor) Pokud rovice eí eaktí, můžeme se okusit ajít takovou fukci (, ) zvaou itegračí faktor, ab rovice m( ) f ( ) + m( ) g ( ) = m,,, d,, d 0 bla eaktí Najít takovou fukci eí obecě sadé, rotože musíme řešit arciálí ( mf ) ( mg ) difereciálí rovici = Dá se však sado ukázat, že okud je f g f g výraz, res fukcí ouze roměé, res, je také g f itegrující faktor fukcí ouze, res a alezeme jej řešeím rovice f g f g d l m d l m =, res = d g d f Příklad Řešte eaktí difereciálí rovici Řešeí 3 + d + 3 d = 0 Zaveďme stadardí ozačeí f (, ) = 3 +, g ( ), = 3 f g Nejrve zjistíme, zda latí rovost = Protože f = g a =, rovost latí a jedá se oravdu o eaktí rovici Levá straa zadaé rovice je ted d, F, (kterou musíme totálím difereciálem F ( ) kmeové fukce alézt) a obecé řešeí má tvar F (, ) = C F Pro fukci F latí, že = f, odkud dostaeme 3 F, = f d + C = 3 + d + C = + + C Itegračí kostata C je obecě fukcí, ři arciálím derivováí odle vmizí stejě jako občejá kostata K jejímu určeí vužijeme toho, že ro F fukci F dále latí = g, odkud obdržíme ostuě + C ( ) = 3, C ( ) = 3, C ( ) = ( 3) d = 3 Dosazeím získaé fukce 3 F (, ) = + 3 Itegračí kostatu zde eí třeba sát C do F dostaeme hledaou fukci Obecé řešeí výchozí rovice tudíž je 3 v elicitím tvaru 3 C = 3 F, = + 3 = C,

A5 Eaktí difereciálí rovice 3 Příklad Nalezěte itegračí faktor a řešte difereciálí rovici Řešeí Zavedeme stadardí ozačeí f (, ) =, g (, ) Shrutí kaitol: Eaktí rovice vjadřuje odmíku ulovosti totálího F,, zvaé kmeová fukce Tato difereciálu ějaké fukce d + d = 0 = f g Vočteme = a = Protože se oba výsledk liší, ejedá se o eaktí rovici Zkusíme alézt itegračí faktor, tj takovou fukci m(, ), ab rovice m(, ) f (, ) d + m(, ) g (, ) d = 0 bla eaktí f g Protože výraz Φ = je fukcí ouze roměé, lze, jak víme g z teorie, itegračí faktor hledat jako fukci roměé, vhovující rovici d l m = Φ Itegrací dostáváme l m = d = l d, odkud m = Itegračí kostatu ři této itegraci euvádíme (volíme rovu ule), rotože ám stačí jakýkoliv artikulárí itegrál Vásobeím výchozí rovice alezeým itegračím faktorem m dostaeme již eaktí rovici d d 0 + = Tuto rovici vřešíme již zámým ostuem, roto je stručě: F = g F = gd + C = d + C = + C ; F = f + C = + C = C = C = d = a ted F (, ) = + Obecé řešeí eaktí rovice a také rovice ůvodí tudíž je F (, ) = + = C, ebo-li = C odmíka se dá sado ověřit Řešeí sočívá v alezeí kmeové fukce a základě vztahů, loucích z vlastostí totálího difereciálu a oložeím této kmeové fukce rovou kostatě Pokud rovice eí eaktí, může se stát, že o vásobeí vhodou fukcí zvaou itegračí faktor se rovice eaktí stae Najít itegračí faktor je ale obecě dosti obtížá úloha

4 A Občejé difereciálí rovice rvího řádu Otázk: Defiujte eaktí difereciálí rovici Jaká je metoda řešeí této rovice? Jakou roli hraje tzv kmeová fukce? K čemu slouží itegračí faktor? Úloha A5 Řešte eaktí difereciálí rovici a) 4 d d 0 + = ; b) 3 3 e d ( e )d 0 + = ; c) e d + e d = 0 ; d) cos d + si d = 0 ; tg d + si d = 0 ; e) f) 3 d + d = 0 Návod U rovic e) a f) je třeba alézt itegračí faktor (, ) m Průvodce studiem Ai rovice eaktí eatří k ejjedodušším Základem je řesé ochoeí teoretické metod řešeí, ak je vše daleko sazší Každoádě řešte sám (sama) většiu říkladů a koci každé kaitol Je to oravdu jediá možost, jak se aučit matematiku oužívat v rai!

A6 Rovice rvího řádu erozřešeé vzhledem k derivaci 5 A 6 R O V N I C E P R V N Í H O ŘÁDU N E R O ZŘEŠENÉ VZHLEDEM K DERIVACI V této kaitole se dozvíte: jak se řeší vbraé t rovic rvího řádu erozřešeých vzhledem k derivaci Budete schoi: vřešit vbraé t rovic rvího řádu erozřešeých vzhledem k derivaci Klíčová slova této kaitol: difereciálí rovice rvího řádu erozřešeá vzhledem k derivaci, Clairautova rovice Čas otřebý k rostudováí učiva kaitol: 0,5 +,5 hodi (teorie + řešeí úloh) Víme již, že za rovice erozřešeé vzhledem k derivaci ovažujeme takové = f, Obecě se tto rovice, které elze ekvivaletě řevést a tvar rovice dají řešit tzv metodou dvou arametrů M robereme vbraé jedodušší seciálí říad Rovice vřešeá vzhledem k ezámé fukci Jedá se o rovici tvaru = f, Metoda řešeí Rovici řeíšeme a tvar f (, ) =, kde jsme zavedli tzv arametr Derivací odle a oětým dosazeím arametru za obdržíme rovici f f d d = +, o úravě = d d f f (, ) (, ) Toto je rovice rvího řádu ro ezámou fukci ( ), rozřešeá vzhledem k derivaci Nalezeme-li její obecý itegrál (ař ěkterou z dříve robraých metod) = g (, C), ak římým dosazeím do ůvodí rovice obdržíme její obecé řešeí = f (, g (, C )) Pozámka Lze také ejrve derivovat výchozí rovici odle, čímž dostaeme rovici f (, ) f (, ) druhého řádu = +, ve které chbí, a terve do této rovice dosadit za, čímž dosáheme sížeí jejího řádu (viz také sížeí řádu v kaitole Vbraé rovice všších řádů )

6 A Občejé difereciálí rovice rvího řádu Pozámka Zajímavý momet astává v okamžiku, kd již máme řešeí g (, C) = Místo dosazeí do ůvodí rovice se abízí také možost vrátit se k a řešit úlohu (, ) = g C Tím bchom však dostali řešeí rovice druhého řádu, uvedeé v ředchozí ozámce (s dvěma itegračími kostatami), což eí aším úkolem Rovice Clairautova Seciálím říadem uvažovaé rovice je rovice = + ϕ, zvaá Clairautova (čteme klerotova ) Uvedeým ostuem sado zjistíme, že = C + ϕ C a avíc objevíme, že eistuje i její obecé řešeí má tvar sigulárí řešeí, vhovující rovici dϕ + = 0 d Rovice vřešeá vůči ezávisle roměé Rovici tu = f (, ) můžeme sado řevést a ředchozí t Záměou ozačeí roměých = f, = f, f, d = obdržíme rovici již d = g,, kterou vřešíme už zámým ostuem a ve d a ásledou úravou ( d ) zámého tu výsledém řešeí oět zaměíme (v odstatě řešíme difereciálí rovici ro iverzí fukci) Pozámka Probraé t rovic zahrují také seciálí říad = f ( ) a f ( ) =

A6 Rovice rvího řádu erozřešeé vzhledem k derivaci 7 Příklad Řešte difereciálí rovici 4 = Řešeí Jedá se o rovici sadající od t f (, ) = Derivací obou stra této rovice odle roměé obdržíme rovici druhého řádu 4 =, ve které eí elicitě řítoma roměá Zavedeím arametru = dostaeme rovici rvího řádu 4 = ro fukci Tato rovice může být slěa dvěma zůsob Buď je = 0 ebo (o vděleí obou stra rovice arametrem ) musí latit 4 = Prví možost dává o dosazeí = = 0 do ůvodí rovice sigulárí řešeí = 0 Druhá možost vede a jedoduchou difereciálí rovici =, odkud itegrací = d = + C Dosazeím = = + C do ůvodí rovice dostaeme obecé řešeí 4 ( C ) = +, které uravíme a C elicití tvar = + a zavedeím ové C kostat C místo obdržíme otimálí vjádřeí = ( + C) Jedá se zřejmě o soustavu arabol, které se otevírají ahoru a dotýkají se os (viz obrázek) Osa ředstavuje sigulárí řešeí, které je obálkou soustav arabol ) ) 0 3 3 Shrutí kaitol: Metod řešeí rovic rvího řádu erozřešeých vzhledem k derivaci jsou obecě áročější a řesahují rámec tohoto modulu Podroběji je robráa rovice rozřešeá vůči ezámé fukci = f, Tuto rovici je možé zavedeím arametru = a derivací celé rovice odle roměé řevést a rovici rozřešeou vzhledem k derivaci Její obecé řešeí dosadíme do výchozí rovice za a obdržíme obecé řešeí ůvodí rovice Tickou rovicí tohoto tu je rovice Clairautova Na ředchozí t rovice lze sado řevést i rovici rozřešeou = f, vůči ezávisle roměé

8 A Občejé difereciálí rovice rvího řádu Otázk: Čím se vzačují rovice rvího řádu erozřešeé vzhledem k derivaci? Kterou rovici tohoto druhu umíte řešit a jakým ostuem? Jak vadá Clairautova rovice a jak se řeší? Úloha A6 Řešte difereciálí rovici rvího řádu erozřešeou vzhledem k derivaci Nalezěte i říadá sigulárí řešeí a) = + ; b) = ; c) d) = + ; e) = + ; f) = + ; = + Průvodce studiem Ukázkou vbraých tů rovic erozřešeých vzhledem k derivaci jste ukočil(a) rví a ejdelší část tohoto modulu difereciálí rovice rvího řádu Příště Vás čekají rovice vššího řádu Pokud Vás studium vsílilo, dooručuji odočiek a echat látku trochu uležet Koresodečí úkol k části A Zvolte si z úloh každé kaitol jedu difereciálí rovici a tu odrobě vřešte Volte rosím mezi rovicemi, ozačeými ísme d), e), f), říadě g) Úloh vracujte maimálě řehledě, emusí být utě zracová omocí očítače

B Jedoduché difereciálí rovice vššího řádu 9 B D I F E R E N C I Á L N Í R O V N I C E V Y Š Š Í H O Ř Á D U B J E D N O D U C H É D I F E R E N C I Á L N Í R O V N I C E V Y Š Š Í H O ŘÁDU V této kaitole se dozvíte: jak se řeší ejjedodušší rovice vššího řádu Budete schoi: vřešit vbraé t rovic rvího řádu erozřešeých vzhledem k derivaci Klíčová slova této kaitol: jedoduché difereciálí rovice vššího řádu, sížeí řádu difereciálí rovice Čas otřebý k rostudováí učiva kaitol: 0,5 +,5 hodi (teorie + řešeí úloh) Rovice tu = f = má řešeí Řeší se -ásobou itegrací Nař rovice druhého řádu f (, ) =, kde d d Rovice tu Rovici = f ( m) ( m+ ) F,,,, = 0, kde m substitucí ( z m ) F, z, z,, 0 ( m) = ro fukci = z řevedeme a rovici ( m) -tého řádu z Po jejím vřešeí oakovaou itegrací (viz ředchozí t) obdržíme ( ) Uvedeý ostu se azývá sížeí řádu difereciálí rovice Pozámka Seciálí tvar (, ) ( ) = f, res ostuem řevést dokoce a rovici rvého řádu Rovice tu = f ( ) ( ) ( ) F,, = 0 můžeme uvedeým Vásobíme-li tuto rovici, dostaeme rovici d f = f, odkud =, což je rovice rvího řádu O latosti úrav se můžeme řesvědčit derivací osledí rovice odle

30 B Občejé difereciálí rovice vššího řádu Rovice, jejichž levá straa je úlou derivací d ( ) Rovice tvaru g (,,,, ) = f Na levé straě je úlá derivace d výrazu ižšího řádu Itegrací obou stra rovice dostaeme difereciálí rovici -ího řádu Příklad 6 Řešte difereciálí rovici = 3 Řešeí Přímou itegrací výchozí rovice třetího řádu odle roměé dostaeme rovici druhého řádu 6 3 = d = + C 3, její itegrací obdržíme rovici rvího řádu a itegrací této rovice získáme rovici 3 3 = + C d = + C + C, 3 C = + C + C d = + + C + C 3l, 3 která ředstavuje obecé řešeí výchozí rovice Příklad Řešte difereciálí rovici 3 + = Řešeí V řešeé rovici druhého řádu eí elicitě vjádřea roměá Můžeme roto substitucí = z sížit řád rovice a dostaeme rovici rvího řádu ro fukci z ( ) 3 z + z = Jedá se o lieárí rovici, kterou již umíme řešit Její obecé řešeí je C z = Ní se vrátíme k ůvodí roměé dosazeím zěté substituce C z = Dostaeme jedoduchou difereciálí rovici =, jejíž římou itegrací a řejmeováím kostat C a C obdržíme obecé řešeí výchozí C rovice = d C = l + + C

B Jedoduché difereciálí rovice vššího řádu 3 Shrutí kaitol: V této kaitole jsou uvede ouze ejjedodušší t rovic vššího řádu, jejichž řešeí evžaduje žádé zvláští zalosti ebo u kterých lze sado sížit řád difereciálí rovice Rovice = f je řešitelá oakovaou -ásobou itegrací Pokud se v difereciálí rovici evsktuje fukce a ejižší řítomou derivací je ( m), lze sížit řád rovice substitucí ( m) = z Rovici druhého řádu = f ( ) lze vásobeím a itegrací odle řevést a rovici rvího řádu Někd lze difereciálí rovici řevést a tvar, kd a jedé straě je úlá derivace ějakého výrazu odle a a ravé straě libovolá fukce Pak itegrací rovice sížíme její řád o jedotku Otázk: Uveďte jedoduché říad difereciálích rovic vššího řádu, které se dají sado řešit ebo u kterých lze alesoň sížit jejich řád Úloha B =, ( 0) = 0, ( 0) = 0 ; =, ( 0) =, ( 0) = 0, Řešte difereciálí rovici tu a) 4cos b) Úloha B Řešte rovici tu a) + tg = si ; b) l = = f 0 = (, m, m+,, ) F, kde m Průvodce studiem V této kaitole bl robrá velmi jedoduché říad rovic vššího řádu Neředokládám, že b Vám tato látka dělala ějaké otíže

B Lieárí difereciálí rovice vššího řádu 33 B L I N E Á R N Í D I F E R E N C I Á L N Í R O V N I C E V Y Š Š Í H O ŘÁDU V této kaitole se dozvíte: co rozumíme ojmem lieárí difereciálí rovice -tého řádu; jaké jsou základí teoretické výsledk týkající se tvaru, eistece a jedozačosti řešeí této rovice Budete schoi: rerodukovat základí teoretické výsledk ohledě lieárí difereciálí rovice -tého řádu Klíčová slova této kaitol: lieárí difereciálí rovice -tého řádu homogeí a ehomogeí, fudametálí sstém řešeí, metoda variace kostat Defiice Rovici tu kde f a a Čas otřebý k rostudováí učiva kaitol: 0,75 + 0,0 hodi (teorie + řešeí úloh) + a + + a + a = f, 0, 0,, jsou libovolé fukce sojité v určitém itervalu I, azýváme lieárí rovicí -tého řádu Tato rovice je v obecém říadě obtížě řešitelá, záleží a kokrétím tvaru fukcí f, a,, a Uveďme alesoň základí teoretické výsledk Věta 0 Jestliže fukce a,, a, f 0 jsou sojité v itervalu I, ak se dá dokázat, že eistuje rávě jedo řešeí uvedeé rovice, defiovaé v celém =,, itervalu I, které slňuje očátečí odmík ( 0 ) = 0, ( ) ( ) Defiice Rovici =, kde 0 0 0 I a čísla 0, 0 0 0,, ( ) jsou libovolá reálá + a + + a + a = 0 azýváme homogeí lieárí rovicí (tj rovicí bez ravé stra) říslušou k ůvodí (ehomogeí) rovici Věta Libovolá lieárí kombiace řešeí homogeí lieárí rovice je také jejím řešeím

34 B Občejé difereciálí rovice vššího řádu Důkaz Ple z liearit derivace (libovolého řádu) fudametálí sstém Defiice Sstém ( ), ( ),, lieárě ezávislých (v itervalu I) řešeí homogeí lieárí rovice se azývá fudametálí sstém této rovice Věta Tvoří-li fukce ( ), ( ),, fudametálí sstém homogeí lieárí rovice, ak obecý itegrál této rovice má tvar = c + c + + c, kde c, c,, c jsou libovolé kostat Věta Je-li ( ), ( ),, fudametálí sstém homogeí rovice, ak obecý itegrál ehomogeí rovice má tvar = c + c + + c +, kde c, c,, c jsou libovolé kostat a itegrál) ehomogeí rovice je jakékoliv řešeí (artikulárí Důkaz Stačí dosadit uvedeé řešeí do ehomogeí rovice a oět vužít její liearit Pozámka Obecý itegrál ehomogeí rovice je ted součtem obecého itegrálu rovice homogeí a libovolého artikulárího itegrálu rovice ehomogeí Věta (metoda variace kostat) lze hledat ve tvaru Partikulárí itegrál c c c = + + +, tj ve tvaru obecého řešeí homogeí rovice, kde však veliči c, c,, c eovažujeme za kostat, ale ezámé fukce roměé (tzv metoda variace kostat) Nezámé fukce c ( ), c,, c vhovují soustavě difereciálích rovic rvího řádu variace kostat c + c + + c = 0 c + c + + c = 0 ( ) ( ) ( ) c + c + + c = f Tuto soustavu řešíme obdobým ostuem jako algebraické soustav lieárích rovic (elimiačí metodou, Cramerovým ravidlem aod) Itegrací získaých c c c akoec dostaeme hledaé fukce rvích derivací,,, c ( ), c ( ),, c ( )

B Lieárí difereciálí rovice vššího řádu 35 Shrutí kaitol: Lieárí difereciálí rovicí -tého řádu je rovice tvaru + a + + a + a = f Rozlišujeme rovici 0 homogeí ( f ( ) = 0 ) a ehomogeí ( f 0 ) Řešit obecě lieárí rovici eí možé, ale latí ěkolik důležitých teoretických výsledků Jsou-li fukce a,, a, f 0 sojité v itervalu I, eistuje v tomto itervalu rávě jedo řešeí, slňující očátečí odmíku Libovolá lieárí kombiace řešeí homogeí rovice je oět jejím řešeím Fudametálím sstémem azýváme lieárě ezávislých řešeí homogeí rovice Obecé řešeí homogeí rovice má tvar lieárí kombiace fukcí fudametálího sstému, kde koeficiet lieárí kombiace je ezávislých arametrů (kostat) Obecé řešeí ehomogeí rovice je součtem obecého řešeí homogeí rovice a libovolého artikulárího řešeí ehomogeí rovice Partikulárí řešeí ehomogeí rovice lze ajít metodou variace kostat Otázk: Defiujte lieárí difereciálí rovici -tého řádu Jak je to s eistecí a jedozačostí řešeí této rovice? Jak je defiová fudametálí sstém a co víte o vlastostech řešeí homogeí lieárí rovice? Jak lze zkostruovat obecé řešeí homogeí rovice a jak řešeí ehomogeí rovice? K čemu slouží a jak se řesě rovádí metoda variace kostat? Průvodce studiem V této kaitole jste se dověděl(a) základí teoretické ojm a ozatk, otřebé k řešeí lieárí difereciálí rovice vššího řádu Tto ozatk oužijete v ásledujících dvou kaitolách, kde se aučíte řešit seciálí tvar této rovice, kd fukce a0,, a jsou kostatí v řešeém oboru

B3 Homogeí lieárí difereciálí rovice s kostatími koeficiet 37 B 3 H O M O G E N N Í L I N E Á R N Í D I F E R E N C I Á L N Í R O V N I C E S K O N S T A N T N Í M I K O E F I C I E N T Y V této kaitole se dozvíte: co rozumíme ojmem homogeí lieárí difereciálí rovice s kostatími koeficiet; řesý ostu řešeí uvedeé rovice Budete schoi: řešit libovolou homogeí lieárí difereciálí rovici s kostatími koeficiet Klíčová slova této kaitol: homogeí lieárí difereciálí rovice s kostatími koeficiet, charakteristická rovice, fudametálí sstém Čas otřebý k rostudováí učiva kaitol:,0 + 3,0 hodi (teorie + řešeí úloh) Defiice Homogeí lieárí rovicí s kostatími koeficiet rozumíme rovici tvaru kde a0, a,, a jsou kostat + a + + a + a = 0, 0 Pozámka Přiomeňme, že v obecé lieárí rovici bl veliči a0, a,, a fukcemi ezávisle roměé Metoda řešeí Předokládáme řešeí ve tvaru vděleí rovice výrazem e α = e α Po dosazeí do homogeí rovice a obdržíme tzv charakteristickou rovici α + a α + + a α + a = 0, 0 charakteristická rovice což je algebraická rovice -tého stuě ro ezámou α Tato rovice má rávě kořeů α, α, α Mohou astat dva říad: Všech koře jsou avzájem růzé, ak fudametálí sstém homogeí rovice je tvoře fukcemi = e α, = e α,, = e α Je-li ěkterý koře α r-ásobý, ak mu ve fudametálím sstému odovídá r (lieárě ezávislých) fukcí k = e, = e,, = e αk αk r αk r

38 B Občejé difereciálí rovice vššího řádu Je-li fudametálí sstém aleze, odle výsledků ředcházející kaitol lze zkostruovat obecé řešeí ve tvaru lieárí kombiace fukcí fudametálího sstému = c + c + + c Pozámka a) Charakteristickou rovici alézáme v rai sado tak, že v ůvodí rovici ahradíme k -tou derivaci fukce k -tou mociou ezámé α b) Je-li charakteristická rovice vššího stuě ež třetího, může být alezeí jejích kořeů bez oužití očítače začě obtížé Naštěstí ejčastějším říadem v rai jsou difereciálí rovice rvího a druhého řádu, vedoucí ke sado řešitelým lieárím a kvadratickým charakteristickým rovicím Koře charakteristické rovice mohou být obecě komleí, a ak jsou komleí také říslušé fukce fudametálího sstému Pokud racujeme v reálém oboru (a to je áš říad), zajímají ás ovšem ředostě reálá řešeí Ukazuje se, že je možé evhodá komleí řešeí ahradit reálými Eulerův vzorec Přechod od komleích řešeí k reálým Jsou-li kostat a0, a,, a reálé, musí (jak le z teorie algebraických rovic) ke každému komleímu kořeu a + ib charakteristické rovice eistovat také koře komleě sdružeý a ib, a to stejé ásobosti ( a ib) Místo, abchom do fudametálího sstému vzali komleí fukce e +, ( a ib) e, oužijeme jejich vhodé lieárí kombiace, a to takové, ab výsledé fukce bl ezávislé a reálé a± ib a e = e cosb ± isi b Na základě Eulerova vzorce z teorie komleích čísel je zřejmé, že ejjedodušší je vzít lieárí kombiace ( a+ ib) ( a ib) a ( a+ ib) ( a ib) a ( e + e ) = e cosb a ( e e ) = e si b, ebo-li reálou a i ( a ib) imagiárí část komleí fukce e + Pokud jsou koře a + ib, a ib r-ásobé, vezmeme dále do fudametálího a a r a r a sstému reálé fukce e cos b, e si b,, e cosb, e si b Tím je roblém alezeí reálého fudametálího sstému homogeí rovice s kostatími koeficiet (a ted i jejího obecého itegrálu) úsěšě uzavře

B3 Homogeí lieárí difereciálí rovice s kostatími koeficiet 39 Příklad Řešte homogeí lieárí difereciálí rovici s kostatími koeficiet 5 + 8 4 = 0 Řešeí Předokládáme řešeí ve tvaru = e α Po dosazeí do ůvodí rovice a vděleí celé rovice faktorem e α dostaeme charakteristickou rovici (kterou ovšem můžeme také asat římo odle výchozí difereciálí rovice) 3 α 5α + 8α 4 = 0 Charakteristický olom a levé straě této rovice má jedoduchý reálý koře a dvojásobý reálý koře, což je možo ověřit součiem kořeových α α α čiitelů Fudametálí sstém řešeé rovice tudíž tvoří fukce = e, = e a 3 = e Čiitel ve fukci 3 je dá obecým ravidlem, kd r-ásobému kořeu α k charakteristické rovice odovídá r lieárě ezávislých fukcí α α r α e, e,, e Obecé řešeí výchozí rovice je tvořeo lieárí kombiací fukcí fudametálího sstému, tz = C + C + C = C e + C + C e 3 3 3 Příklad Řešte homogeí lieárí rovici s kostatími koeficiet 4 + 3 = 0 Řešeí Charakteristická rovice má tvar α 4α + 3 = 0 a její koře jsou komleě 4 ± 4 4 3 sdružeé α, = = ± 9 = ± 3i ( 3i) Komleí fudametálí sstém tvoří fukce = e + a Reálý fudametálí sstém je tvoře fukcemi = e, ebo-li reálou a imagiárí částí fukce e + si 3 Obecé řešeí tudíž má tvar 3i = e = e a cos3 3i = = C + C = C e cos3 + C e si 3

40 B Občejé difereciálí rovice vššího řádu Shrutí kaitol: Homogeí lieárí difereciálí rovicí s kostatími koeficiet -tého řádu je rovice tvaru + a + + a + a = 0, kde a0, a,, a jsou kostat 0 Pro vlastosti řešeí této rovice latí vše co ro obecou homogeí lieárí difereciálí rovici Zejméa latí, že obecé řešeí je lieárí kombiací fukcí fudametálího sstému K alezeí fudametálího sstému eistuje řesý algoritmus Je založe a ředokladu eoeciálího tvaru řešeí = e α, který vede a tzv charakteristickou rovici ro ezámý eoet α Jedá se o algebraickou rovici -tého stuě, která má rávě kořeů Po alezeí těchto kořeů lze zkostruovat fudametálí sstém, řičemž je ale uto vzít v úvahu říadou ásobost ěkterých kořeů Jsou-li ěkteré koře komleí, dají se odovídající komleí fukce fudametálího sstému ahradit reálými Otázk: Defiujte homogeí lieárí difereciálí rovici s kostatími koeficiet -tého řádu Čím se liší od obecé homogeí lieárí difereciálí rovice? Jak se řesě řeší homogeí lieárí difereciálí rovici s kostatími koeficiet? Co je to charakteristická rovice? Jakou roli hrají její koře? Jak se řeší říad, kd charakteristická rovice má víceásobé koře ebo komleí koře? Jak sestavíme obecé řešeí, záme-li fudametálí sstém? Úloha B3 Řešte homogeí lieárí difereciálí rovici s kostatími koeficiet a) 4 + 3 = 0 ; b) 4 + 4 = 0 ; c) 4 = 0 ; d) + 4 = 0 ; e) + 4 = 0 ; f) + 3 4 = 0 ; g) 5 + 8 4 = 0 ; h) 8 = 0 ; i) a a a 3 + 3 + 3 + = 0; j) (4) 6 = 0; k) Průvodce studiem Tak co říkáte a homogeí lieárí difereciálí rovice s kostatími koeficiet? Asi to ro Vás ebla rávě jedoduchá kaitola, ale o rostudováí říkladů a vřešeí úloh jste možá zjistil(a), že to eí tak těžké Velkou výhodou totiž je, že ám teorie osktuje řesý algoritmus, jak zkostruovat fudametálí sstém řešeí, otažmo obecé řešeí Neí roto vlastě vůbec uté ad ěčím moc řemýšlet, stačí jít krok za krokem odle ávodu Nezbté ovšem je teto ávod dokoale ochoit a zaamatovat si jej (4) + 4 = 0

B4 Nehomogeí lieárí difereciálí rovice s kostatími koeficiet 4 B 4 N E H O M O G E N N Í L I N E Á R N Í D I F E R E N C I Á L N Í R O V N I C E S K O N S T A N T N Í M I K O E F I C I E N T Y V této kaitole se dozvíte: co rozumíme ojmem ehomogeí lieárí difereciálí rovice s kostatími koeficiet; řesý ostu řešeí uvedeé rovice Budete schoi: řešit libovolou ehomogeí lieárí difereciálí rovici s kostatími koeficiet Klíčová slova této kaitol: ehomogeí lieárí difereciálí rovice s kostatími koeficiet, metoda variace kostat, metoda seciálí ravé stra Čas otřebý k rostudováí učiva kaitol: 0,5 + 3,0 hodi (teorie + řešeí úloh) Defiice Nehomogeí lieárí rovicí s kostatími koeficiet rozumíme rovici kde 0,,, + a + + a + a = f, 0 a a a jsou kostat a fukce f je růzá od ulové fukce Metoda řešeí Z teorie obecé lieárí difereciálí rovice víme, že obecý itegrál ehomogeí rovice můžeme sát ve tvaru = c + c + + c +, kde ( ), ( ),, tvoří fudametálí sstém homogeí rovice, c, c,, c jsou libovolé kostat a je jakékoliv řešeí (artikulárí itegrál) ehomogeí rovice Určit fudametálí sstém homogeí rovice již umíme (viz ředchozí kaitolu), stejě jako vočítat artikulárí itegrál metodou variace kostat Metoda variace kostat ale eí vžd tou ejrchlejší a ejsazší cestou Pro f (tzv seciálí ravé stra) můžeme totiž tvar ěkteré fukce artikulárího itegrálu ředem odhadout a ásledě oměrě jedoduše doočítat Hovoří o tom ásledující věta

4 B Občejé difereciálí rovice vššího řádu Věta (metoda seciálí ravé stra) Nechť ravá straa lieárí difereciálí rovice s kostatími koeficiet má tvar kde P ( ), a = cos + f e P b Q si b, Q jsou mohočle obecě růzého, ejvýše však s-tého stuě s reálými koeficiet, a, b jsou libovolá reálá čísla Jestliže a + ib (a ted ai a ib ) eí kořeem charakteristické rovice, ak artikulárí itegrál má tvar kde R ( ), cos a = e R b + S si b, S jsou mohočle ejvýše s-tého stuě Je-li a + ib (a ted i a ib ) r-ásobým kořeem charakteristické rovice, ak artikulárí itegrál má tvar cos r a = e R b + S sib, kde R ( ), S ( ) jsou mohočle ejvýše s-tého stuě Pozámka a) Uvedeá seciálí ravá straa zahruje širokou třídu fukcí, se kterou v rai obvkle vstačíme Tak ař ro a = 0, b = 0 řechází ravá straa P, ro a 0, b = 0 a P dostáváme a ravé straě v olom eoeciálí fukci P 0 a Q a e, ro a = 0, b 0, P a Q 0 (res ) dostaeme cosb (res si b ) aod b) Z ředchozí ozámk a osledí vět le, že je-li ravá straa ve tvaru olomu, je třeba ři hledáí artikulárího itegrálu všetřit, zda 0 = 0 + i0 Pokud je a ravé straě charakteristická rovice emá koře a eoeciála e, je uté všetřit eisteci kořee a ( a i0) = +, a okud je a ravé straě fukce cosb ebo si b, je třeba všetřit eisteci kořee ib = 0 + ib c) Pozor a říad, kd a ravé straě je ouze jeda z fukcí cosb, si b Partikulárí itegrál musíme hledat (v souladu s osledí větou) ve tvaru, obsahujícím obě tto goiometrické fukce! Po rovedeí odhadu tvaru artikulárího řešeí koeficiet olomů R ( ) a zbývá ouze alézt ezámé S Dosadíme ředokládaý tvar a jeho otřebé derivace do ůvodí ehomogeí rovice Obdržíme rovici, ze které ezámé koeficiet tzv metodou eurčitých koeficietů jedozačě doočteme

B4 Nehomogeí lieárí difereciálí rovice s kostatími koeficiet 43 Metoda eurčitých koeficietů Je široce oužívaá metoda v růzých artiích matematik Vsvětlíme její rici a jedoduchém říkladu Mějme ař rovici ( A + B) + ( B A) = + 4 Tuto rovici cháeme jako fukčí rovost, tz fukce a ravé straě má být idetická s fukcí a levé straě To je možé ouze tehd, jsou-li koeficiet u stejých moci stejé a obou straách rovice Nezámé kostat A, B alezeme ted tak, že orováme koeficiet (odtud ázev metod) u jedotlivých moci a levé a ravé straě Obdržíme tím dvě rovice, A + B = (koeficiet u ), B A = 4 0 (koeficiet u ), ze kterých eí roblémem vočítat A =, B = 0 Místo fukcí, atd mohou v rovicích figurovat libovolé jié lieárě a a a ezávislé fukce, ař si b, cos b, si b, cos b, e, e, e atd Jestliže má ravá straa tvar součtu fukcí uvedeého seciálího tvaru, ař f = e + e aod, je také artikulárí itegrál součtem říslušých 3 dílčích artikulárích itegrálů Je roto v takovém říadě ejjedodušší hledat každý dílčí artikulárí itegrál zvlášť a výsledk sečíst součet seciálích ravých stra Shrutí kaitol: Nehomogeí lieárí difereciálí rovicí s kostatími koeficiet -tého řádu je rovice tvaru + a + + a + a = f, kde 0 0,,, f je růzá od ulové fukce Pro vlastosti řešeí této rovice latí vše co ro obecou ehomogeí lieárí difereciálí rovici Zejméa latí, že obecé řešeí je součtem obecého řešeí homogeí rovice a libovolého artikulárího řešeí ehomogeí rovice a a a jsou kostat a fukce a že toto artikulárí řešeí lze vžd alézt metodou variace kostat a Pro tzv seciálí ravé stra tvaru f = e P cosb + Q si b, kde Q jsou libovolé mohočle, eistuje efektivější metoda určeí P ( ), artikulárího řešeí, která obchází utost itegrovat Tvar artikulárího řešeí se odhade odle tvaru ravé stra a doočítají se ouze hodot ezámých arametrů vstuujících v Uvedeý odhad má svá řesá ravidla, která je uté řesě zát Otázk: Defiujte ehomogeí lieárí difereciálí rovici s kostatími koeficiet -tého řádu Čím se liší od obecé ehomogeí lieárí difereciálí rovice? Jak se řesě řeší ehomogeí lieárí difereciálí rovice s kostatími koeficiet? Jakými dvěma metodami můžeme většiou hledat artikulárí itegrál ehomogeí rovice? Která z těchto metod fuguje vžd? Jak zí řesá ravidla ro kostrukci artikulárího řešeí ehomogeí rovice metodou seciálí ravé stra? Vsvětlete metodu eurčitých koeficietů

44 B Občejé difereciálí rovice vššího řádu Příklad Řešte ehomogeí lieárí rovici s kostatími koeficiet e + = Řešeí Obecé řešeí ehomogeí rovice můžeme hledat ve tvaru součtu obecého řešeí homogeí rovice a libovolého artikulárího řešeí h ehomogeí rovice: = + h Homogeí rovici již vřešit umíme Charakteristická rovice má dvojásobý koře α, = a ted říslušé obecé řešeí má tvar h = Ce + Ce Hledejme í artikulárí itegrál cos + Pravá straa má tzv seciálí tvar a e P b Q si b, kde a =, b = 0, P ( ) =, tudíž můžeme tvar artikulárího itegrálu odhadout Protože charakteristická rovice emá žádý koře rove hodotě a + ib =, ředokládáme tvar artikulárího itegrálu zcela obdobý ravé straě, tj = Ae Pokud b eistoval r - ásobý koře charakteristické rovice, ředokládali bchom tvar r = Ae Koeficiet A rerezetuje zatím ezámý olom ultého řádu Dosazeím ředokládaého artikulárího řešeí do výchozí (ehomogeí) rovice sado alezeme, že A =, a ted = e Obecý itegrál ehomogeí rovice tudíž je = C e + C e + e Druhou možostí k určeí artikulárího itegrálu, kterou můžeme oužít ro jakýkoliv tvar ravé stra, je metoda variace kostat Vcházíme ři í z ředokladu, že má stejý tvar jako h, kde ale veliči C, C jsou zatím C e C e = + ezámé fukce roměé, tj Prví derivace fukcí C, C hledáme odle teorie jako řešeí soustav lieárích rovic C e + C e = 0 C ( e ) + C ( e ) = e Řešeí této soustav je jedoduché (ař Cramerovým ravidlem) Dostaeme C = e, C = e, odkud římou itegrací C = e d = ( ) e, C = e d = e Itegračí kostat ři itegraci eíšeme (volíme rov ule), rotože ám stačí jakékoliv řešeí Dosazeím alezeých fukcí do ředokládaého tvaru získáme hledaý artikulárí itegrál ( ) = + = + = e e e e e e e e Obdržeý výsledek je shodý s ředchozím Můžeme kostatovat, že metoda řešeí odhadem odle tvaru ravé stra zde jedodušší a rchlejší ež metoda variace kostat