! " # $ % # & ' ( ) * + ), -

! " # $ % # & ' ( ) * + ), - INDIVIDUÁLNÍ VÝUKA MATEMATIKA METODIKA Kuželosek Mgr. Petra Dunovská bezen 9 Obtížnost této kapitol matematik je dána tím, že se pi výkladu i ešení úloh komplexn vužívají vdomosti a dovednosti z matematik získané v nižších ronících. Pro zvládnutí uiva b mli studenti umt upravovat výraz, ešit rovnice a jejich soustav vetn iracionálních rovnic a rovnic s absolutní hodnotou, lineární a kvadratické rovnice s parametrem, funkce hlavn lineární, kvadratické a lineárn lomené. Dále je potebná znalost analtické geometrie v rovin, zejména operace s vektor a rovnice pímk v rovin. Vhodnými pomckami pro výuku jsou matematické tabulk pro SŠ, kalkulaka, model kuželu a válce pro pedstavu pojmu kuželoseka, poíta, promítaka, internet, polstrenová deska pokrtá papírem s provázkem, špendlík a tužka pro konstrukci kuželosek. 1

I.kapitola Pojem KUŽELOSEKA a její rovnice Kuželosek jsou množin bod v rovin, které lze získat jako prnik rotaní kuželové ploch a rovin. Protínáme-li kužel rovinou kolmou na osu smetrie rotaního kuželu, výslednou kuželosekou je kružnice.protínáme-li kužel rovinou rovnobžnou práv s jednou z povrchových pímek plášt kuželu, výslednou kuželosekou je parabola.protínáme-li kužel rovinou, která svírá s osou smetrie rotaního kuželu úhel menší než 9 a vtší než polovina vrcholového úhlu kuželu, výslednou kuželosekou je elipsa. Rovina pitom protíná všechn povrchové pímk plášt kužele a není ted s žádnou z nich rovnobžná. Protínáme-li kužel rovinou, která svírá s osou smetrie rotaního kuželu úhel menší než polovina vrcholového úhlu kuželu, výslednou kuželosekou je hperbola; pitom rovina je rovnobžná práv se dvma povrchovými pímkami kuželu. K vsvtlení pojm je vhodné použít model kuželu a následující obrázk: Definice kuželoseek: Kružnice je množina všech bod rovin, které mají od daného bodu, stedu kružnice, danou vzdálenost, polomr kružnice. Elipsa je množina všech bod X rovin, pro které se souet XE + XF, vzdáleností bodu X od daných bod E, F této rovin, rovná danému íslu vtšímu než EF. Bod E a F se nazývají ohniska elips. Hperbola je množina všech bod X rovin, pro které se XE - XF rovná danému kladnému íslu, které je menší než EF. Bod E, F jsou dva rzné bod rovin a nazývají se ohniska hperbol. Parabola je množina všech bod rovin, které mají stejnou vzdálenost od bodu rovin F a od pímk q, která bodem F neprochází. Bod F se nazývá ohnisko, pímka q ídicí pímka parabol. Ke konstrukci kuželoseek podle jejich definic je možné použít polstrenovou desku s papírem, špendlík, tužkou a provázkem. Tto konstrukce je možné také vidt na internetu a je možné je promítat: http://mdg.vsb.cz/jdolezal/deskriptiva/cviceni/kuzeloseck/kuzeloseck.html Kuželosek zadáváme pomocí obecné rovnice, stedové rovnice (kružnice, elipsa, hperbola) i vrcholové rovnice (parabola).

Všechn tp rovnic kuželoseek, souadnice sted, vrchol, ohnisek a potebné nákres kuželoseek také nalezneme v Matematických tabulkách pro SŠ, které lze použít i pi výkladu, nebo je možné obrázk a rovnice promítat viz uvádné odkaz: http://mdg.vsb.cz/jdolezal/deskriptiva/cviceni/kuzeloseck/kuzeloseck.html http://www.karlin.mff.cuni.cz/katedr/kdm/diplomk/jan_koncel/kuzeloseck.php ešené píklad na jednotlivé kuželosek: 1) Urete sted a polomr kružnice dané rovnicí x - x + + 4-11 =. Doplníme výraz x - x a + 4 na druhé mocnin dvojlen (x 1) a ( + ): x - x + 1 + + 4 + 4-1 - 4-11 = (x - 1) + ( + ) - 16 = (x - 1) + ( + ) = 16 Sted zadané kružnice je bod S[1; -] a její polomr r = 4. ) Urete sted, ohniska a hlavní poloosu elips dané rovnicí 5x + 9 + 15x - 6 + 6 =. Nejprve obecnou rovnici upravíme na rovnici stedovou: 5x + 9 + 15x - 6 + 6 = 5x + 15x + 9-6 + 6 = 5(x + 6x) + 9( - 4) + 6 = 5(x + 6x + 9-9) + 9( - 4 + 4-4) + 6 = 5(x + ) - 5 + 9( - ) - 6 + 6 = 5(x + ) + 9( - ) = 5 ted x ( ) 1 9 5 Ze stedové rovnice snadno uríme jak sted elips, tak její hlavní osu a vedlejší poloosu. Navíc rozpoznáme i orientaci její hlavní os viz obrázek: ) Najdte sted, ohniska a hlavní vrchol hperbol, dané rovnicí: 9x - 9x - 16-96 + 5 =.

Podobn jako u pedchozích píklad upravíme obecnou rovnici na stedovou, ze které dokážeme celou adu údaj pímo víst. 9(x - 5) - 16( + ) x 5 = -144 pevedeme na tvar 1. 16 9 Z této rovnice uríme souadnice stedu hperbol, její hlavní a vedlejší poloosu. Sted S má souadnice S[5; -], hlavní poloosa a = 4, vedlejší poloosa b =. Z a a b dopoítáme výstednost e = 5. Tvar stedové rovnice odpovídá hperbole, jejíž hlavní osa je rovnobžná s osou. To nám staí k urení souadnic ohnisek E, F a hlavních vrchol A, B; E[5; ], F[5; -8], A[5; ] a B[5; -6]. 4) Najdte vrcholovou rovnici parabol urené ohniskem E[; 4] a ídicí pímkou q: = -. Vrchol V hledané parabol leží mezi bodem E a pímkou q. Platí, že V o, EV = Vq = p. Ze vzdálenosti E a q a jejich poloh mžeme urit jeho souadnice. Protože Eq = 6, mžeme íci, že souadnice vrcholu V jsou [; 1]. Z toho už jednoduše vjádíme vrcholovou rovnici: (x - ) = 1( - 1) Metodické poznámk k ešeným píkladm i k píkladm na další procviování: a)vsvtlit, jaký je rozdíl v obecných rovnicích jednotlivých kuželoseek, jak se z obecné rovnice odhadne, o jakou kuželoseku se mže jednat, pokud rovnice kuželoseku pedstavuje. b)vsvtlit postup pevádní obecné rovnice na stedovou nebo vrcholovou a obrácen. Ze stedové rovnice (u parabol z vrcholové rovnice) kuželoseku bezpen poznáme. c)všechn kuželosek je vhodné znázornit a popisovat pomocí obrázku. d)je teba umt pracovat s obrázk a vztah v tabulkách, rozumt pojmm hlavní a vedlejší vrchol, ohniska, sted, výstednost ( excentricita), hlavní a vedlejší poloos, asmptot hperbol, vrchol a ídící pímka parabol. Další píklad k procviení: 1) Najdte stedovou a obecnou rovnici kružnice se stedem S[; 5] a polomrem r =. (x - ) + ( - 5) =, x - 6x + - 1 + =. ) Zjistte, zda bod A[; 1], B[; 5], C[4; 5] a D[-1; ] leží na stejné kružnici. 4

stedová rovnice kružnice, urená bod A, B a C, je: (x - ) + ( - ) = 5. Zkusíme-li dosadit souadnice bodu D, zjistíme, že získaná rovnost neplatí, to znamená, že bod D neleží na stejné kružnici jako bod A, B a C. ) Urete výstednost elips s hlavním vrcholem A[-1; 1], vedlejším vrcholem B[4; -] a stedem S[4; 1]. ze vztahu a = b + e dopoítáme výstednost e = 4. 4) Najdte stedovou rovnici elips se stedem S[; ], výstedností e = 4 a hlavním vrcholem A[-; ]. vedlejší poloosu b vpoítáme ze vztahu b = a e, b =. 5) Najdte obecnou rovnici elips, která má sted S[; 1], hlavní vrchol A[; 6] a ohnisko E[; -]. 5x + 9-1x - 18-116 =. 6) Urete obecnou rovnici parabol s vrcholem V[; -1], jejíž ídicí pímkou je osa. - 8x + + 17 =. 7) Najdte ohnisko, vrchol a ídicí pímku parabol, která je dána rovnicí x - 4x - 4 + 1 =. z vrcholové rovnice (x - ) = 4( - ) uríme souadnice vrcholu V[; ], ohnisko E má souadnice E[; ] a ídicí pímka q dané parabol má rovnici = 1. 8) Urete stedovou rovnici a asmptot hperbol se stedem S[; -1], ohniskem E[7; -1] a vrcholem A[5; -1]. a = SA =, e = SE = 5, b = 4, asmptot: 4x - - 11 =, 4x + - 5 =. 9) Napište obecnou rovnici hperbol s asmptotami a 1 : x + - 9 =, a : x - - 9 = a vrcholem A[; ]. 9x - 4-54x + 117 =. 5

II.kapitola Kuželoseka a pímka Pímka mže mít s kuželosekou, 1, nebo spolené bod. Jednotlivé možnosti jsou uveden v tabulce. V rovnici pímk se asto vsktuje uritý parametr, jehož hodnotu urujeme nejastji pomocí diskriminantu kvadratické rovnice. kuželoseka spol. bod 1 spol. bod spol. bod kružnice Pímka vn Pímka je tenou Pímka je senou kružnice (D<). kružnice kružnice (D>). elipsa hperbola parabola Pímka vn elips (D<). Pímka vn vtví hperbol(d<), nebo pímo asmptota hperbol. Pímka vn parabol(d<). (D = ). Pímka je tenou elips (D = ). Pímka je tenou hperbol (D = ), nebo je rovnobžná s asmptotou hperbol. Pímka je tenou parabol (D = ), nebo rovnobžná s osou parabol. Pímka je senou elips (D>). Pímka je senou hperbol (D>). Pímka je senou parabol (D>). D diskriminant kvadratické rovnice (ešíme kvadratickou rovnici s parametrem) Z rovnice pímk vjádíme jednu neznámou, dosadíme do rovnice kuželosek a poítáme diskriminant kvadratické rovnice. Vzájemné poloh hperbol a parabol s pímkou, které nejdou ešit pomocí diskriminantu, ešíme jako vzájemnou polohu pímek pomocí vektor( rovnobžnost vektor). Pokud máme napsat rovnici ten k dané kuželosece v bod, který na kuželosece leží, použijeme obecné rovnice teen, které najdeme v tabulkách. Zde nemusíme ešit rovnici s parametrem. Pokud píšeme rovnici ten z bodu, který na kuželosece neleží, postupujeme takto: a)u kružnice mžeme vužít rovnici polár, tj. pímk spojující bod dotku. (Pímka daná rovnicí (x - m)(x 1 - m) + ( - n)( 1 - n) = r se nazývá polára bodu X 1 [x 1 ; 1 ] vzhledem ke kružnici k se stedem S[m; n] a polomrem r.) Prseík polár s kružnicí jsou bod, které na kružnici leží a t již lze použít k zápisu rovnic teen podle tabulek. Rovnice polár je rovnž v tabulkách. b)u všech kuželoseek uríme pomocí soustav rovnic nejprve bod dotku kuželosek a pímk a pak mžeme napsat rovnice teen. 6

Vzájemnou polohu kuželoseek a pímk ilustrují obrázk: (kružnice a pímka) (elipsa a pímka) (hperbola a pímka) 7

(parabola a pímka) Píklad ešené nebo s náznakem 1) Najdte prseík pímk p(a, u) a kružnice (x - ) + ( - ) = 4, je-li A[-1; 4] a u = (1; -1). parametrick vjádíme pímku p: x = -1 + t, = 4 - t; t. Do stedové rovnice kružnice dosadíme souadnice x a z parametrické rovnice pímk p. Získáme kvadratickou rovnici t - 6t + 8 =. Podle diskriminantu D této rovnice, lze rozhodnout, jaká je vzájemná poloha dané pímk a kružnice. Je-li D <, rovnice nemá v ešení a pímka p je vnjší pímkou kružnice. Je-li D =, rovnice má jedno (dvojnásobné ešení) a pímka p je tenou kružnice. Nakonec, je-li D >, rovnice má dv ešení a pímka p je senou kružnice. V našem pípad je D = 4 a rovnice má dv t 1 = 4 a t =. Tto dv hodnot parametru dosadíme do parametrické rovnice pímk p a získáme souadnice bod P1[; ] a P[1; ], které jsou hledanými prseík. ) Najdte rovnici ten kružnice x - x + - 4 - = v jejím bod T[4; -]. Stedová rovnice kružnice je (x - 1) + ( - ) = 5. Rovnice ten t v bod T[x ; ] má tvar: (x - 1)(x - 1) + ( - )( - ) = 5. Po dosazení bodu T do této rovnice ten a po úprav na obecnou rovnici pímk dostaneme t: x - 4 - =. ) Najdte spolené bod pímk x - + 5 = a parabol ( - ) = (x - 1). ešíme soustavu rovnic. Z rovnice pímk nejprve vjádíme nap. = x + 5 a dosadíme do rovnice parabol. Hledáme ešení kvadratické rovnice. Poet ešení urí vzájemnou polohu pímk a parabol. Navíc získáme jednu ze souadnic hledaných prseík. Kvadratická rovnice x + x + = nemá žádné ešení, a proto mžeme íci, že zadaná pímka a parabola nemají žádný spolený bod, pímka je vnjší pímkou parabol. 4) Najdte ten ke kružnici k: x - x + + 6-6 =, které procházejí bodem B[5; 1]. Nejprve uríme stedovou rovnici kružnice k: (x - 1) + ( + ) = 16, bod B na kružnici neleží. Uríme rovnici polár: (x - 1)(5-1) + ( + )(1 + ) = 16, ted x + - =. Prseík polár a kružnice bod T 1 [1; 1] a T [5; -] jsou bod dotku. Obecná rovnice ten kružnice k v bod T 1 je: (x - 1)(1-1) + ( + )(1+ ) = 16, ted = 1. 8

Obecná rovnice ten kružnice k v bod T je (x - 1)(5-1) + ( + )(- + ) = 16, ted x = 5. 5) Urete délku ttiv, kterou vtíná pímka p na kuželosece k. p : x ; k : x x 1 Prseík jsou P ; ; 1 P ; prseík, pro vzdálenosti dvou bod (resp. délku úsek) platí: P x x 1P 1 1, ted, délka ttiv je vzdálenost P P 1.. 4. 9 4. 9 4 9 8 6) Urete tenu kuželosek x 9 5, která je rovnobžná s pímkou p : x. rovnice hledané ten t : ax b c, tena je rovnobžná s pímkou p, její rovnice je ted t : x c. ešíme soustavu x 9 5 x c Z lineární rovnice vjádíme jednu neznámou (nap. x), dosadíme ji do kvadratické rovnice, a pak ešíme kvadratickou rovnici s parametrem c. Jelikož se jedná o tenu, musí být D =.. 9 D b 6c c 6 45 6c c 6c 4.45. c 6c 618 4ac c D 144c 6 c t : x 5 5 c5, ted existují dv hledané ten: Metodické poznámk k uvedeným úlohám: 9

a)pi hledání spolených bod kuželosek a pímk ešíme vžd soustavu rovnic, z rovnice pímk dosazujeme do rovnice kuželosek. Z potu ešení soustav uríme poet spolených bod, vpoteme ob souadnice prseík. b) Pipomeneme ešení kvadratické rovnice s parametrem a vliv diskriminantu na poet ešení rovnice. Zapisujeme všechna ešení (nap. všechn ten). c) Pokud píšeme rovnici ten, která prochází daným bodem, vžd ovíme, zda bod na dané kuželosece leží nebo neleží. d) Pro lepší pedstavu situace kreslíme obrázk a používáme tabulk s konkrétními obrázk. Další píklad k procviení: 1) Urete vzájemnou polohu pímk p a kuželosek k. p : x 1 ; k : x 4 ( sena kuželosek) ) Urete tenu kuželosek x x, která se jí dotýká v teném T ;. ( rovnice ten: t : 5x 1 ) T bod ) Urete tenu kuželosek, pro kterou platí a) tena je vedena bodem ; M (nejedná se o tený bod!) a kuželoseka má rovnici x ( t : x 4 9 ) b) tena je kolmá na pímku p : x a kuželoseka má rovnici x 4 1 ( : x t ) 4) Napište rovnici ten ke kružnici x - 6x + - 4-5 =, která je rovnobžná s pímkou p: x + + 4 =. ( t 1 : x + - 11 =, t : x + + 1 = ) Test na závr Je možné použít tento test: http://www.karlin.mff.cuni.cz/katedr/kdm/diplomk/jan_koncel/test.php?kapitola=ku zeloseck 1

Použitá literatura a ostatní materiál: Matematické tabulk pro SŠ - rzné Nadžda Kubešová, Eva Cibulková : Matematika pehled stedoškolského uiva,. vd.,tebí: Petra Velanová, 7, edice Maturita http://cs.wikipedia.org/wiki/soubor:kuzeloseck.png http://cs.wikipedia.org/wiki/soubor:conic_sections_n.png http://www.karlin.mff.cuni.cz/katedr/kdm/diplomk/jan_koncel/kuzeloseck.php www.sosik.cz V píloze na dalších stránkách jsou uveden píklad z pedchozích stránek tak, ab mohl být v pípad poteb kopírován pro práci student pi hodinách individuální výuk. 11

I.kapitola Pojem KUŽELOSEKA a její rovnice ešené píklad na jednotlivé kuželosek: 1) Urete sted a polomr kružnice dané rovnicí x - x + + 4-11 =. ) Urete sted, ohniska a hlavní poloosu elips dané rovnicí 5x + 9 + 15x - 6 + 6 =. ) Najdte sted, ohniska a hlavní vrchol hperbol, dané rovnicí: 9x - 9x - 16-96 + 5 =. 4) Najdte vrcholovou rovnici parabol urené ohniskem E[; 4] a ídicí pímkou q: = -. Další píklad k procviení: 1) Najdte stedovou a obecnou rovnici kružnice se stedem S[; 5] a polomrem r =. ) Zjistte, zda bod A[; 1], B[; 5], C[4; 5] a D[-1; ] leží na stejné kružnici. ) Urete výstednost elips s hlavním vrcholem A[-1; 1], vedlejším vrcholem B[4; -] a stedem S[4; 1]. 4) Najdte stedovou rovnici elips se stedem S[; ], výstedností e = 4 a hlavním vrcholem A[-; ]. 5) Najdte obecnou rovnici elips, která má sted S[; 1], hlavní vrchol A[; 6] a ohnisko E[; -]. 6) Urete obecnou rovnici parabol s vrcholem V[; -1], jejíž ídicí pímkou je osa. 7) Najdte ohnisko, vrchol a ídicí pímku parabol, která je dána rovnicí x - 4x - 4 + 1 =. 8) Urete stedovou rovnici a asmptot hperbol se stedem S[; -1], ohniskem E[7; -1] a vrcholem A[5; -1]. 9) Napište obecnou rovnici hperbol s asmptotami a 1 : x + - 9 =, a : x - - 9 = a vrcholem A[; ]. II.kapitola Kuželoseka a pímka Píklad ešené nebo s náznakem 1) Najdte prseík pímk p(a, u) a kružnice (x - ) + ( - ) = 4, je-li A[-1; 4] a u = (1; -1). ) Najdte rovnici ten kružnice x - x + - 4 - = v jejím bod T[4; -]. ) Najdte spolené bod pímk x - + 5 = a parabol ( - ) = (x - 1). 4) Najdte ten ke kružnici k: x - x + + 6-6 =, které procházejí bodem B[5; 1]. 5) Urete délku ttiv, kterou vtíná pímka p na kuželosece k. p : x ; k : x x 1 6) Urete tenu kuželosek x 9 5, která je rovnobžná s pímkou p : x. 1

Další píklad k procviení: 1) Urete vzájemnou polohu pímk p a kuželosek k. p : x 1 ; k : x 4 ) Urete tenu kuželosek x x, která se jí dotýká v teném T ;. T bod ) Urete tenu kuželosek, pro kterou platí: M ; (nejedná se o tený bod!) a kuželoseka a) tena je vedena bodem má rovnici x b) tena je kolmá na pímku p : x a kuželoseka má rovnici x 4 1 4) Napište rovnici ten ke kružnici x - 6x + - 4-5 =, která je rovnobžná s pímkou p: x + + 4 =. ( t 1 : x + - 11 =, t : x + + 1 = ) 1