Vysoká škola polytechnická Jihlava. Obor Finance a řízení. Matematika 1,2 - Miloš Kraus

Vysoká škola polytechnická Jihlava Obor Finance a řízení Matematika, - cvičení Miloš Kraus. vydání září 005

Obsah Matematická logika 5 Funkce a jejich vlastnosti 8 3 Inverzní a cyklometrické funkce 5 4 Limita posloupnosti 9 5 Limita funkce 6 Diferenciální počet funkce jedné proměnné 7 7 Primitivní funkce 44 8 Určitý a nevlastní integrál 5 9 Funkce dvou proměnných 60 0 Nekonečné řady 7 Diferenciální rovnice 8

Předmluva Tento učební tet je doplňkem k tetu Matematika a Matematika pro studenty I. a II. semestru kurzu matematiky na Vysoké škole polytechnické Jihlava, obor Finance a řízení. Obsahuje cvičení k přednáškám a měl by tedy posloužit k procvičení a lepšímu pochopení jednotlivých temat. V tetu je vždy uvedena řada ukázkových příkladů k jednotlivým tematům přednášek a následuje cvičení, které by měl student sám řešit. Jednotlivé kapitoly odpovídají časovému programu kurzu, tak jak je rozvržen do jednotlivých přednášek. Byl bych rád, kdyby tet co nejlépe pomohl studentům ve studiu a uvítám proto náměty a doporučení, které by napomohly k jeho dalšímu zlepšení. Současně se omlouvám za chyby, kterých jsem se snažil vyvarovat, ale jimž se přesto lze jen těžko vyhnout. V Jihlavě. září 005 Autor

5 Cvičení k přednášce Matematická logika Ukázkový příklad. (Tabulka pravdivostních hodnot logické formule). Ukažme, že logická formule (A B) (A B ) není logický zákon (tautologie). Sestavíme tabulku pravdivostních hodnot a podle definice jednotlivých formulí ji doplníme. A B A B (A B) (A B ) (A B) (A B ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Z posledního sloupce pravdivostních hodnot formule (A B) (A B ) je patrné, že daná formule není tautologie. Ukázkový příklad. (Negace kvantifikovaného výroku). Utvořme negace kvantifikovaných výroků:. A : a, b R, (a + b) = a + ab + b Podle pravidel pro negování kvantifikovaného výroku se eistenční kvantifikátor změní na obecný a výrok se neguje, tzn. A : a, b R, (a + b) a + ab + b. Zřejmě je výrok A pravdivý a výrok A nepravdivý.. A : a, b R, (a + b) = a + b. Obdobně jako v předchozím případu je A : a, b R, (a+b) a +b. Opět je výrok A pravdivý a výrok A nepravdivý. 3. A : R y R z R, ( + y + z) > 0 A : R y R z R, ( + y + z) 0 (stručněji A :, y, z R ( + y + z) 0 ) Výrok A je nepravdivý, výrok A je pravdivý. Ukázkový příklad.3. Negujme výrok A : V žádném českém městě nežije žádný člověk starší než 00 let. Výrok si můžeme - jazykově dosti neobratně - přepsat takto: O každém českém městě platí (Každý člověk je v něm mladší nebo právě 00 let starý). Pak bude negace: O aspoň jednom českém městě platí (Žije v něm aspoň jeden člověk starší 00 let ). Jazykově trochu kultivovaněji: V aspoň jednom českém městě žije aspoň jeden člověk starší než 00 let.

6 MATEMATICKÁ LOGIKA Cvičení.. Zjistěte, které z následujících formulí jsou logické zákony (tautologie): (a) (A B) [(A B) (B A)] (b) (A B) [(A B) (A B )] (c) (A B) (A B) (d) (A B) (A B ) (e) (A B) (A B ) (f) (A B) (A B) (g) (A A ) (A A ) (h) (A A ) (A A ) Výsledky: (a) ano, (b) ano, (c) ano, (d) ne, (e) ano, (f) ano, (g) ano, (h) ne Cvičení.. Dokažte platnost logických zákonů: (a) [(A B) C] [(A C) (B C)] (b) [(A B) C] [(A C) (B C)] (c) (A B C) (A B C ) (d) (A B C) (A B C ) Výsledky: (a), (b) - ano, distributivní zákony, (c), (d) - ano, de Morganovy zákony Cvičení.3. Negujte kvantifikované výroky (a) M, A() B() (b) M, A() B() (c) M, A() B() (d) M, A() B() (e) M, A () B() (f) M, A() B() Výsledky: (a) M, A () B (), (b) M, A () B (), (c) M, A () B (), (d) M, A () B (), (e) M, A() B (), (f) M, A() B () Cvičení.4. Negujte následující kvantifikované výroky: (a) M, f( ) = f() (b) < R, f( ) < f( ) (c) < R, f( ) f( )

7 (d) K R M, f() K (e) M, f( ) f( ) (f) ε > 0 n 0 N n > n 0, a n A < ε Výsledky: (a) M, f( ) f(), (b) < R, f( ) f( ), (c) < R, f( ) < f( ), (d) K R M, f() > K, (e) M, f( ) = f( ), (f) ε > 0 n 0 N n > n 0, a n A ε. Cvičení.5. Negujte následující kvantifikované výroky: (a) Všichni účastníci zájezdu se dostavili včas. (b) Nejméně dva účastníci zájezdu přišli pozdě. (c) Právě tři účastníci zájezdu se nedostavili. (d) Aspoň jeden účastník zájezdu nepřišel pozdě. (e) V každém čtverci jsou aspoň dvě různé kružnice opsané. (f) Všichni poslanci se zúčastnili všech schůzí. (g) Aspoň jeden poslanec se zúčastnil všech schůzí. (h) Každý poslanec se zúčastnil aspoň jedné schůze. (i) Aspoň tři poslanci se nezúčastnili žádné schůze. (j) Nejvýše dva poslanci strany X hlasovali pro všechny návrhy strany Y. Výsledky: (a) Aspoň jeden účastník zájezdu se nedostavil včas. (b) Nejvýše jeden účastník nepřišel pozdě. (c) Nejvýše dva nebo aspoň čtyři účastníci zájezdu se nedostavili. (d) Všichni přišli pozdě. (e) Eistuje aspoň jeden čtverec, v němž je nejvýše jedna kružnice čtverci opsaná. (f) Aspoň jeden poslanec se nezúčastnil aspoň jené schůze (tj. alespoň jednou chyběl.), (g) 0 každém poslanci lze říci, že se nezúčastnil aspoň jedné schůze (= Každý poslanec aspoň jednou chyběl.) (h) Aspoň jeden poslanec se nezúčastnil žádné schůze. (i) Nejvýše dva poslanci se nezúčastnili žádné schůze. (j) Aspoň tři poslanci strany X hlasovali pro všechny návrhy strany Y. Cvičení.6. (a) Řešení jisté nerovnice jsou všechna R taková, že platí výrok A : (0,. Utvořte negaci výroku A. (b) Každá kvadratická rovnice, jejíž dikriminant D > 0, má dva různé reálné kořeny. Negujte tento výrok a posuďte jeho pravdivost. Výsledky: (a) (, 0 (, ), tj. (, 0 (, ), (b) Aspoň jedna kvadratická rovnice, jejíž diskriminant je D > 0, nemá dva reálné různé kořeny. (Nepravdivý.)

8 FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI Cvičení k přednášce Funkce a jejich vlastnosti Ukázkový příklad. (Funkční závislost). Vyjádřete povrch koule S jako funkci jejího průměru d. Protože S = 4πr a r = d, je S = 4π( d ) = π.d. Ukázkový příklad.. Vyjádřete objem V rotačního kužele jako funkci délky strany s při konstantním poloměru r podstavy kužele. Pro objem kužele platí vzorec V = 3 πr v. Výšku v vyjádříme pomocí s, r z pravoúhlého trojúhelníka v = s r. Je tedy V = 3 r s r. Ukázkový příklad.3. Vyjádřete objem V ročního kužele jako funkci odchylky α strany kužele od podstavy při konstantním obsahu podstavy P. Objem kužele je V = 3P v. Výšku v vyjádříme opět z pravoúhlého trojúhelníka pomocí α, r. Je tg α = v r v = r tg α. Poloměr r dostaneme z obsahu podstavy P = πr P r = π. Je tedy v = P π tg α a nakonec V = 3 P P π tg α. Cvičení.. a) Vyjádřete povrch S rotačního válce jako funkci jeho tělesové výšky v při konstantním pbsahu podstavy P. b) Vyjádřete velikost U tělesové úhlopříčky krychle jako funkci obsahu P stěny krychle. c) Podél silnice jsou postaveny ve stejných vzdálenostech d sloupy. Vyjádřete vzdálenost mezi m-tým a n-tým sloupem jako funkci d. d) Vyádřete obsah S kruhové výseče jako funkci délky oblouku l při konstatntním poloměru r. e) Z výšky [km] ad Zemí je vidět část zemského povrchu (kulový vrchlík) o obsahu S[km ]. Vyjádřete S jako funkci při konstantním poloměru Země (R=6400 km). P Výsledky: (a) S = P + π π v, (b) U = 3 3P, (c) = (n m + )d, (d) S = rl πr, (e) S() = +R. Ukázkový příklad.4 (Definiční obor funkce). + Najděme definiční obor funkce f : y =. Podmínky omezující definiční obor: odmocněnec + nezáporný platí pro každé R, jmenovatel zlomku nenulový ±. Závěr: D(f) = R \ {, }.

9 Ukázkový příklad.5. Najděme definiční obor a obor hodnot funkce f : y = 4 + 5. 4 + 5 0 protože diskriminant kvadratického trojčlenu je D = 6 0 = 4, upravíme 4 + 5 = ( ) +, zřejmě je ( ) + 0 (rovnost nenastane). Závěr: D(f) = R. Obor hodnot je zjevně H(f) =, ). Ukázkový příklad.6. Najděme definiční obor funkce f : y = +. Omezující podmínky: log( + ) 0 log( + ) + 0 9 + > 0 > 0 ln 0 + 0 + log(+) ln + 0 (například pomocí nulových bodů =, = ) Konjunkcí všech podmínek dostaneme D(f) =, 9. Ukázkový příklad.7. Najděme definiční obor funkce f : y = +. Podmínky: 0 0 = 0 = = ±. Je tedy D(f) = {, } a H(f) = {0}. Ukázkový příklad.8 (Graf funkce). Zobrazíme graf funkce f : y =. Definiční obor D(f) = R. Rozbo rem výrazu dostaneme: a) Pro 0 je y =, b) pro < 0 je y =. Obě části téhož grafu funkce jsou části parabol - viz obrázek.0. Obor hodnot je zřejmě H(f) = R. 4 f 3 0 3 4 6 4 0 4 6 Obrázek.0.: f : y = Obrázek.0.: f : y = sin sin

0 FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI sin sin. Ukázkový příklad.9. Zobrazíme graf funkce f : y = Pro definiční obor platí podmínka sin 0 kπ, k Z. Rozborem výrazu sin dostaneme: a) Pro sin > 0, tj. (0, π) (π, 3π) (4π, 5π)... je sin = sin a tedy y = sin sin =. Graf je část přímky y = rovnoběžné s osou. b) Pro sin < 0, tj. ( π, 0) (π, π)... je sin = sin a tedy y = sin sin =. Graf je část přímky y = rovnoběžné s osou. Obor funkčních hodnot je H(f) = {, }.Viz obrázek.0. Cvičení.. Najděte definiční obor, obor hodnot funkce a graf funkce: (a) f : y = (b) f : y = 3 (c) f : y = + 4 (d) f : y = + (e) f : y = 9 (f) f : y = + (g) f : y = + (h) f : y = +3 (i) f : y = + + Výsledky: (a) D(f) =, ), H(f) = 0, ), (b) D(f) =, 3), H(f) = (, 0, (c) D(f) =,, H(f) =, ), (d) D(f) = R, H(f) = (,, (e) D(f) = (, 3 3, ), H(f) = (, 0, (f) D(f) =, ), H(f) = 0, ), (g) D(f) = R \ { }, H(f) = R \ {}, (h) D(f) = R\{ 3}, H(f) = (, 0, ), (i) D(f) = R, H(f) = (,. Cvičení.3. Najděte definiční obor, obor hodnot funkce a graf funkce : (a) f : y = (b) f : y = 4 + (c) f : y = ( )( +) (d) f : y = + (e) f : y = 3 + (f) f : y = 6 + (g) f : y = + 4 Výsledky: (a) D(f) = R\{}, H(f) = {, }, (b) D(f) = R\{ }, H(f) = R\{4}, (c) D(f) = R\{0, }, H(f) = R\{, 3}, (d) D(f) = R\{0}, H(f) =, ), (e) D(f) = R \ {0}, H(f) = (, ) (, ), (f) D(f) = R, H(f) = 7, ), (g) D(f) = R, H(f) = (, Cvičení.4. Najděte definiční obor, obor hodnot funkce a graf funkce: (a) f : y = + (b) f : y = e (c) f : y = 3 ( ) (d) f : y = 3 (e) f : y = + log (f) f : y = ln( + ) (g) f : y = ln( + ) (h) f : y = log( ) + log( )

Výsledky: (a) D(f) = R, H(f) = (, ), (b) D(f) = R, H(f) = (, 0), (c) D(f) = R, H(f) = (, 3), (d) D(f) = R, H(f) = (0, ), (e) D(f) = (0, ), H(f) = R, (f) D(f) = (, ), H(f) = R, (g) D(f) = (, ), H(f) = R, (h) D(f) =, H(f) = Cvičení.5. Najděte definiční obor, obor hodnot funkce a graf funkce: (a) f : y = sin (b) f : y = sin( + π 4 ) (c) f : y = 3 cos (d) f : y = + tg (e) f : y = cotg (f) f : y = sin (g) f : y = cos sin (h) f : y = sin + sin + cos Výsledky: (a) D(f) = R, H(f) = 0,, (b) D(f) = R, H(f) =,, (c) D(f) = R, H(f) = 3, 3, (d) D(f) = R \ { π + kπ}, k Z, H(f) = R, (e) D(f) = R \ {kπ}, k Z, H(f) = R, (f) D(f) = R, H(f) = 0, 3, (g) D(f) = R, H(f) =,, (h) D(f) = R, H(f) = 0,. Ukázkový příklad.0 (Sudost a lichost funkce). Ukažme z definice, že funkce f : y = sin 3 je lichá. f() = sin 3, Definiční obor funkce je R. f( ) = ( ) sin 3 ( ) = ( sin ) 3 = sin 3 (neboť sin( ) = sin ). Je tedy f( ) = f() a funkce f je lichá. Viz obrázek.0.3 4 4 3 0 3 4 4 4 6 8 0 3 4 Obrázek.0.3: f : y = sin 3 Obrázek.0.4: f : y = 3

FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI Ukázkový příklad.. Posuďme sudost resp. lichost funkce f : y = 3. Protože definiční obor funkce D(f) = 3, ) není symetrický podle počátku O, nemůže být daná funkce lichá ani sudá. Viz obrázek.0.4 Cvičení.6. (a) Dokažte, že funkce f : y = (sin + sin ) je lichá. (b) Dokažte, že funkce f : y = + je sudá. (c) Dokažte, že funkce f : y = ln + je lichá. (d) Dokažte, že funkce f : y = sin + cos není ani sudá ani lichá. (e) Dokažte, že funkce f : y = + je sudá. (f) Dokažte, že funkce f : y = (tg + cotg ) je lichá. (g) Dokažte, že funkce f : y = sin + cos je sudá. (h) Dokažte, že funkce f : y = + není ani sudá ani lichá. 3 4 3 0 3 4 3 6 4 4 6 8 0 3 4 Obrázek.0.5: f : y = sin cos 5 Obrázek.0.6: f : y = Ukázkový příklad. (Omezenost funkce).. Ukažme, že funkce f : y = sin cos 5 je omezená. Zřejmě je sin cos 5 0 cos 5 0 cos 5 cos 5 0 Sečtením posledních dvou (souhlasných!!) nerovností dostaneme sin cos 5 sin cos 5 sin cos 5. Funkce je tedy omezená. Viz obrázek.0.5.

3. Dokážeme, že funkce f : y = není shora omezená. Tvrzení dokážeme sporem. Předpokládejme, že f je shora omezená, tzn. že eistuje K R K > 0 takové. že pro všechna D(f) = R je K.Poslední podmínka je však splněna pro K, K a nikoliv pro všechna R, což je spor. Proto f není shora omezená. Tvrzení můžeme dokázat i jinak: Dokažme přímo, že funkce není omezená, tj. dokážme pravdivost negace definičního výroku o omezenosti shora, tedy výrok: K > 0 D(f), > K. Takové D(f) skutečně eistuje, například = K +. Je totiž zjevně (K + ) = K + K + > K ( pro každé K > 0). Cvičení.7. Dokažte (z definice), že následující funkce mají uvedené vlastnosti(shora omezené, zdola omezené, omezené nebo nejsou omezené) : (a) f : y = sin + cos - omezená (b) f : y = sin 3 cos - omezená (c) f : y = sin cos - omezená (d) f : y = 4 - shora omezená (e) f : y = + - zdola omezená (f) f : y = 3 6 - omezená (g) f : y = tg - zdola omezená (h) f : y = 3 - shora omezená (i) f : y = - omezená Ukázkový příklad.3 (Monotonie funkce).. Dokažme, že funkce f : y = je rostoucí ve svém D(f). Definiční obor je D(f) = (,. Zkonstruujeme funkční hodnoty dané funkce pro libovolné dvě hodnoty < D(f). Zřejmě platí < > > > < f( ) < f( ). Poslední nerovnost ovšem znamená, že funkce f je rostoucí. Viz obrázek.0.6.. Dokážeme, že funkce f : y = není ani rostoucí ani klesající v D(f) = R \ {0}. a) Dokážeme, že není rostoucí. Pokud by byla rostoucí, muselo by pro každá dvě < D(f) platit f( ) < f( ). To však zřejmě není například pro = 3, = - SPOR

4 FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI b) podobně ukážeme, že funkce není klesající. Pokud by byla klesající, muselo by pro každá dvě < D(f) platit f( ) > f( ). To však také není, neboť například f( ) =, f() = - SPOR c) Daná funkce je ovšem klesající v některé vhodné podmnožině D(f). Například v intervalu (0, ), rovněž v intervalu, je klesající apod. Cvičení.8. Dokažte, že následující funkce jsou v dané množině rostoucí nebo klesající nebo nemají žádnou z těchto vlastností: (a) f : y = klesající v D(f) (b) f : y = + rostoucí v D(f) (c) f : y = klesající v D(f) (d) f : y = + 3 log() rostoucí v D(f) (e) f : y = + klesající v intervalu 0, ) (f) f : y = ani rostoucí ani klesající v D(f) (g) f : y = klesající v intervalu (, 0 (h) f : y = sin + cos ani rostoucí ani klesající v R 6 5 4 3 4 4.5 0.5 4 4 0.5 Obrázek.0.7: f : y = Obrázek.0.8: f : y = e Ukázkový příklad.4 (Prostá funkce).. Dokažme, že funkce f : y = je prostá. Definiční obor funkce je R. Zkonstruujeme f( ), f( ) pro dvě libovolné hodnoty R a prokážeme splnění definičního výroku prosté funkce. Velmi snadné: f( ) f( ) pro každé R. Funkce je tedy prostá. Obrázek.0.7.

5. Dokažme, že funkce f : y = e není prostá. Definiční obor je D(f) = R. Platnost tvrzení je okamžitě zřejmá. Zvolme například =, =, pak je f( ) = e, f( ) = e, takže je f( ) = f( ). Funkce tedy není prostá. Tvrzení bylo ihned patrné i ze skutečnosti, že funkce f je sudá (proč?) a z geometrické interpretace sudosti. Obrázek.0.8. Cvičení.9. (a) Dokažte, že funkce f : y = 3 + je prostá v D(f). (b) Dokažte, že funkce f : y = je prostá v D(f). (c) Dokažte, že funkce f : y = sin( ) není prostá v D(f). (d) Dokažte, že funkce f : y = + 4 není prostá v D(f). (e) Dokažte, že funkce f : y = je prostá v D(f). (f) Dokažte, že funkce f : y = není prostá v D(f). (g) Dokažte, že funkce f : y = sin + cos není prostá v D(f). 3 Cvičení k přednášce Inverzní a cyklometrické funkce 3 f y= 4 3 f y= g g 3 0 3 3 4 3 0 3 4 3 4 Obrázek 3.0.9: f : y = 3 +, g = Obrázek 3.0.0: f : y = 3, g = f : y = 3 ( ) f : y = log ( + 3) Ukázkový příklad 3. (Konstrukce inverzní funkce). Najdeme inverzní funkce k daným funkcím:

6 3 INVERZNÍ A CYKLOMETRICKÉ FUNKCE. f : y = 3 + D(f) = R, funkce je v D(f) prostá a zobrazuje D(f) = R na H(f) = R. Inverzní funkci dostaneme výpočtem, tj. = y 3. Je tedy f (y) = y 3 (v souřadné soustavě yo ), resp. po záměně proměnných f () = 3 (v souřadné soustavě Oy ). Grafy f, f jsou souměrné podle přímky y =. Obrázek 3.0.9.. f : y = 3 D(f) = R, H(f) = ( 3, ), výpočtem postupně dostaneme: = y + 3 = log (y + 3). Inverzní funkce f (y) = log (y + 3), resp. po záměně proměnných f () = log (+3) zobrazuje D(f ) = ( 3, ) na interval H(f ) = R. Grafy f, f jsou souměrné podle přímky y =. Obrázek 3.0.0. 4 3 g y= 4 3 g y= f f 4 3 0 3 4 0 3 4 3 4 Obrázek 3.0.: f : y = + cos, f = g : y = arccos( ) Obrázek 3.0.: f : y = arctg, f = g : y = tg Ukázkový příklad 3.. Určíme inverzní funkci k funkci f : y = + cos v intervalu 0, π. V D(f) = 0, π je f prostá a zobrazuje jej na interval H(f) =, 3. Inverzní funkci dostaneme výpočtem : cos = y = f (y) = arccos(y ). Tato funkce zobrazuje D(f ) =, 3 na interval H(f ) = 0, π. Po záměně proměnných dostaneme inverzní funkci ve tvaru y = f () = arccos( ). Oba grafy jsou v téže souřadné soustavě (Oy) na obrázku 3.0.. Ukázkový příklad 3.3. Najdeme inverzní funkce k daným funkcím: f : y = arctg v intervalu R. D(f) = R\{0}, H(f) = ( π, π )\{0}, D(f ) = ( π, π )\{0}, H(f ) = R \ {0}.

7 y = arctg = tg y = tg y = cotg y, po záměně proměnných y = cotg - viz obrázek 3.0. vytvořený programem MAPLE. Ukázkový příklad 3.4. Určíme definiční obor funkce f : y = arcsin + +. Podmínka pro definiční obor je +. Budeme proto řešit + soustavu nerovnic, čili konjunkci + + + +. Protože + > 0 pro každé R, lze obě nerovnice soustavy násobit + beze změny znaménka nerovnice, tj. + + +. První nerovnici postupně upravíme: + + 0 R, neboť diskriminant kvadratického trojčlenu je D = 7 < 0. Druhou nerovnici upravíme: 0 a například pomocí nulových bodů dostaneme řešení (, 0, ). Průnik řešení obou nerovnic je R [(, 0, )] = (, 0, ). Definiční obor funkce f : y = arcsin + tedy je (, 0, ). Graf + funkce vytvořený pomocí programu MAPLE je na obrázku 3.0.3. Cvičení 3.. Určete inverzní funkce k daným funkcím : (a) f : y = 3 + arcsin( + ) v intervalu, 0. (b) f : y = sin( π 3 ) v intervalu π 6, 5π 6 (c) f : y = + arccotg 3 v intervalu (, ). Výsledky: (a) f : y = + 3 sin, H(f) = 3 π, 3 + π. (b) f : y = π 3 + arcsin( ) = π 3 arcsin, H(f) =,, (c) f : y = 3 cotg( ), D(f) = (0, 3π ), H(f) = (, + π). 4 3 f y= 4 0 4 g g 4 3 0 3 4 3 4 f Obrázek 3.0.3: f : y = arcsin + + Obrázek 3.0.4: f : y = ln, g = f : y = e / Cvičení 3.. Najděte inverzní funkce k daným funkcí ve vhodně volených intervalech:

8 3 INVERZNÍ A CYKLOMETRICKÉ FUNKCE (a) f : y = arctg 3 (b) f : y = cos (c) f : y = sin cos Výsledky: (a) D(f) = R \ {3}, f : y = 3 + cotg, (b) D(f) = 0, π \ { π 4 } = H(f ), f : y = arccos, D(f ) =, ) (, = H(f) viz obrázek 3.0.5 (graf byl vytvořen v programu MAPLE), (c) D(f) = 0, π = H(f ), f : y = arccos( ), D(f ) =,. 3 f y= g 3 0 3 g f 4 y= 4 0 4 3 f 4 g Obrázek 3.0.5: f : y = cos, f = g : y = arccos Obrázek 3.0.6: f : y = ln +, f : y = e + e Cvičení 3.3. Najděte inverzní funkce k daným funkcí ve vhodně volených intervalech splujících podmínky pro eistenci inverzní funkce: (a) f : y = + (b) f : y = v intervalu, 0 (c) f : y = ( + ) v intervalu, ) (d) f : y = ln (e) f : y = + (f) f : y = ln + Výsledky: (a) D(f) =,, f : y =, (b) f : y =, (c) v D(f) =, ) je f : y =, D(f ) =, 0, (d) D(f) = (0, ) \ {}, f : y = e / - viz obrázek 3.0.4, (e) D(f) = R \ {}, f : y = +, (f) D(f) = (, ) (, ), f : y = e + e - obrzek 3.0.6. Cvičení 3.4. Dokažte platnost následujících vzorců:

9 (a) arcsin + arccos = π (b) arctg + arccotg = π (c) arcsin( ) = arcsin (d) arctg( ) = arctg 4 Cvičení k přednášce Limita posloupnosti Ukázkový příklad 4. (Monotonie posloupnosti). Dokažme následují vlastnosti posloupností:. a n = n n+ je rostoucí. Posoudíme výraz a m a n, m < n (definice rostoucí posloupnosti!): a m a n = m m+ n n+ = m n (m+)(n+) = (m n) (m+)(n+). Protože m + > 0, n + > 0, m n < 0 pro každé m, n N, je podle definice daná posloupnost rostoucí.. a n = (n ) je klesající. m < n a m a n = (m ) + (n ) = (m n) (m n ) = (m n)( m n). Protože m n > m+n > m n < 0, výraz m n < 0. Je tedy a m a n > 0 a m > a n. Posloupnost je tedy klesající. 3. Vyšetřeme, zda posloupnost a n = (n 50) 4 je rostoucí nebo klesající. a m a n = (m 50) 4 (n 50) 4 = [(m 50) + (n 50) ].[(m 50) (n 50) ] = [(m 50) + (n 50) ][4m 4n 00m + 00n] = [(m 50) + (n 50) ][4(m n ) 00(m n)] = [(m 50) + (n 50) ].4(m n)(m + n 50). Poslední výraz není pro každé m, n N ani kladný ani záporný. Je totiž pro každé m, n N m < n výraz (m 50) + (n 50) > 0, výraz m n < 0, avšak výraz (m + n 50) může nabývat hodnot kladných (např. m = 0, n = 40), záporných (např. m =, n = 0) nebo i nulových ( m = 0, n = 30). Posloupnost tedy není ani rostoucí ani klesající (pro každé n N). Ukázkový příklad 4. (Omezenost posloupnosti).. Dokažme, že posloupnost a n = n n+ je shora omezená hodnotou h =. n Řešme nerovnici n+ n (n + ) 0n. Poslední nerovnost je splněna pro každé n N. Posloupnost je tedy shora omezená. (Obdobně bychom ovšem dokázali, že je shora omezená hodnotou například h = 0 apod. ). Platí tedy a n. Omezenost zdola je okamžitě zřejmá z toho, pro n N je zlomek n n+ > 0 pro každé n N. Platí tedy a n > 0. S využitím výsledku příkladu 4. (rostoucí posloupnost) ovšem zřejmě platí a n > a =.

0 4 LIMITA POSLOUPNOSTI Je tedy je a n a n a n (pro každé n N ), což podle definice omezenosti znamená, že posloupnost a n = n n+ je omezená.. Dokažme, že posloupnost a n = (n ) je omezená shora, nikoliv zdola. Omezenost shora je okamžitě zřejmá: Výraz (n ) 0 pro každé n N, takže výraz a n = (n ) 0. Je tedy posloupnost omezená shora hodnotou h = 0 (nebo ovšem i jinou kladnou hodnotou ). Omezenost zdola dokážeme SPOREM. Předpokládejme, že posloupnost je zdola omezená, tj. že eistuje K R takové, že pro všechna n N je a n K, K < 0. Řešme proto nerovnici (n ) K (n ) K n K K n + K (Je zřejmě K > 0 ). Poslední řešení je však SPOR s předpokladem, že shora uvedená podmínka a n K platí pro všechna n N. Posloupnost proto není zdola omezená (což je dobře patrné i z grafického zobrazení posloupnosti a n = (n ) ). Ukázkový příklad 4.3 (Limita posloupnosti).. Dokažme, že posloupnost a n = n n+ má limitu. Podle definice dokážeme, že nerovnost a n 3 < ε platí pro všechna přirozená čísla n > n 0, n 0 N a pro každé ε > 0. Jinak řečeno, že eistuje takové n 0 N, že pro všechna n > n 0 je a n 3 < ε při libovolné volbě ε > 0. Řešme proto nerovnici n n+ < ε n+ < ε n+ < ε n + > ε n > ε. Tím byla prokázána eistence přirozeného čísla n 0 požadovaného definicí. Tímto číslem n 0 je celá část čísla ε. Například pro ε = 0, 0 je ε = 99 a tedy n 0 = 99. Pro ε = 0, 3 je ε = 0,3 =. 5, 67 a tedy je n 0 = 5. Znamená to, že pro každé n > 5 je rozdíl n n+ < 0, 3. Dosazením se snadno přesvědčíte o správnosti například pro n = 6 a 6 = 0, 93, 74, a 6 = 0, 86 < 0, 3.. Dokažme, že limita posloupnosti a n = e n je. Podle definice najdeme takové n 0 N (prokážeme jeho eistenci), že pro každé n > n 0 je a n > K pro libovolně zvolené K R, K > 0. Řešme proto nerovnici e n > K n log e > log K n > log K log e. Hledané n 0 N tedy je celá část reálného čísla log K log e. Tím je dokázáno, že lim n en =. [ Například pro K = 0 0 je log K n 0 = 3.] log e = 0 log e = 3, 06 a celá část je Cvičení 4.. Dokažte z definice, že následují posloupnosti mají limity:

a) lim 5n n = 5. b) lim 3 n n = c) lim n+ +n = d) lim( + n ) = e) lim( n ) = f) lim( 3 )n = 0 Cvičení 4.. Vypočtěte limity posloupností: (a) lim (n+) ( n) (b) lim n3 +n 5 ( n) 3 (c) lim n3 +n 3 (n+) 3 (d) lim n n+ (e) lim n +n (f) lim 3n3 +n 5n+ (n ) (g) lim n+ n n 3 (h) lim( n + n n) (i) lim( n n n) Výsledky: (a) 4, (b), (c) /8, (d), (e) 0, f) 0, (g), (h), (i), Cvičení 4.3. Vypočtěte limity posloupností: (a) lim 5n 3 n (b) lim n 3 n 3 n (c) lim 0n + n 5 n (d) lim 6n + 5 n (e) lim n +( ) n n (f) lim(( )n + n + n ) (g) lim( n + ( ) n ) (h) lim +( )n cos n 3 Výsledky: (a), (b), (c) 0, (d), (e), (f),(g) nee., (h) nee. Cvičení 4.4. Vypočtěte limity posloupností: (a) lim ( + n ) n (b) lim ( + ) n 3n ( ) n (c) lim + n+ ( ) 4n+3 (d) lim + n+ (e) lim ( ) n+ 4n+3 n (f) lim ( ) n+3 n+3 n (g) lim ( n n+ ) n ( ) n (h) lim n+4 n+ ( ) (i) lim + n+ ( ) (j) lim n+5 n+ (k) lim n[ln(n + ) ln n]

5 LIMITA FUNKCE Výsledky: (a) e, (b) e /3, (c) e, (d) e, (e) e 4, (f) e 3, (g) e, (h) e 6, (i), (j), (k) Cvičení 4.5. Vypočtěte limity posloupností: (a) lim 3 n n+ (b) lim log +n +0n ) (c) lim ( + n n+ (d) lim (n+)! (n+)! (e) lim ++ +n n (f) lim ++ + + n+ +3+3 + +3 n+ Výsledky: (a) 3, (b), (c) 3, (d), (e), (f) 0. Cvičení 4.6. Vypočtěte limity posloupností: (a) lim(n + sin n) (b) lim(cos n n ) (c) lim n + sin n (d) lim sin n cos n sin n+cos n (e) lim n cos 3n n +( ) n (f) lim n cos 3n n+( ) n (g) lim n sin n n 3 +( ) n (h) lim n +( ) n 5 n sin n Výsledky: (a), (b), (c), (d) nee, (e), (f), (g) 0, (h) 0 Cvičení 4.7. Vypočtěte limity posloupností: (a) lim(n n) (b) lim( n n n) (c) lim n+ n n (d) lim (e) lim n+ n n n++ n n (f) lim( n + n n n) Výsledky: (a), (b), (c) 0, (d) 0, (e), (f) 5 Cvičení k přednášce Limita funkce Ukázkový příklad 5. (Vlastní limita v nevlastním bodě). (Obrázek 5.0.8). Dokažme, že lim ( + e ) =. Lze postupovat dvěma způsoby.

3. Vyjdeme-li z definice ε > 0 0 R < 0, f() < ε, pak vyjdeme z posledního tvzení a postupně dostaneme: f() < ε + e < ε e < ε < ln ε. Tím jsme našli 0 požadované definicí a to 0 = ln ε a skutečně tedy platí tvrzení o dokazované limitě.. Vyjdeme-li z definice limity funkce pomocí okolí, tj. U ε (A) P δ ( ) P δ ( ), f() U ε (), pak dostáváme postupně f() U ε () e + U ε () ε < e + < + ε ε < e < ε < ln ε (, ln ε). Je tedy nalezeno δ = ln ε a příslušné prstencové okolí P δ ( ) = (, ln ε). y f() y f() K 0 0 Obrázek 5.0.7: lim ln( + ) = Obrázek 5.0.8: lim ( + e ) = Ukázkový příklad 5. (Nevlastní limita v nevlastním bodě). (Obrázek 5.0.7) Dokažme, že lim ln( + ) d =.. Podle definice má platit od jistého 0 (jehož eistenci je tedy nutno prokázat), že pro všechna > 0 je že ln( + ) > K pro libovolné K > 0. Vyjdeme-li z poslední nerovnosti, dostaneme postupně ln( + ) > K + > e K > + e K Je tedy nalezeno 0 = + e K takové, že podmínka daná definicí platí pro všechna > 0 a pro libovolné K > 0. Tím je dokázáno, že ln( + ) =. lim

4 5 LIMITA FUNKCE. Použijeme-li definici limity funkce pomocí okolí, pak je U ε ( ) = (ε, ), P δ ( ) = (δ, ). Podle definice pak postupně dostaneme: ln( + ) U ε ( ) ln( + ) > ε + > e ε > + e ε, ε > 0 Tím je prokázána eistence prstencového okolí P δ ( ) = ( + e ε, ), kde δ = + e ε pro libovolné ε > 0. Je tedy lim ln( + ) =. Ukázkový příklad 5.3 (Nevlastní limita ve vlastním bodě). (Obrázek 5.0.9 Dokažme, že lim =.. Definice tohoto typu limity je K > 0 P δ (c) P δ (c), f() > K. Vyjdeme z tvrzení definice f() > K > K < K K < < K K < < + K ( K, + K ) \ {} P δ(), kde δ = K, K > 0. Tím jsme našli definicí požadované prstencové okolí bodu c = a příslušné δ = K.. Druhá možnost (definice limity pomocí okolí) má téměř shodný postup. Pouze podmínka f() > K je nahrazena ekvivalentní podmínkou f() U ε ( ). Pak postupně dostaneme: f() U ε ( ) > ε < ε ε < < ε ε < < + ε ( ε, ε ) \ {}. Je-li tedy P δ() = ( ε, + ε ) \ {}, kde δ = ε pro libovolné ε > 0, pak f() U ε( ). K y y f() 3 f() Obrázek 5.0.9: lim = Obrázek 5.0.0: lim ( ) = 3 Ukázkový příklad 5.4 (Vlastní limita ve vlastním bodě). (Obrázek 5.0.0) Dokážeme z definice, že lim ( ) = 3.

5. Definice říká: ε > 0 P δ (c) P δ (c), f() A < ε. Vyjdeme z posledního tvrzení definice a postupně dostaneme: ( ) 3 < ε 4 < ε ε < 4 < ε 4 ε < < 4 + ε ε < < + ε ( ε, + ε \ {} P δ(), kde δ = ε pro libovolné ε > 0. Je tedy patřičné prstencové okolí nalezeno (pro libovolné ε > 0).. Druhý způsob je téměř totožný. Podmínka f() U ε (3) se opět převede na nerovnost 3 ε < < 3+ε 4 ε < < 4+ε ε < < + ε P δ () \ {}, kde δ = ε. Tím je hledané prstencové δ-okolí nalezeno. Je P δ () = ( δ, + δ) \ {} (pro libovolné ε > 0). Cvičení 5.. Dokažte z definice, že následují funkce mají limity: (a) (b) (c) lim ( ) = lim = 0 lim arctg = π (d) lim( ) = (e) lim ( 3 + 5) = (f) lim 0 ( ) = (g) lim 0 ( + ) = Cvičení 5.. Vypočtěte limity funkcí: (a) (b) (c) (d) ( lim +) 3 ( )( +) lim 3 + (4 ) lim 00 (3+) 00 (6+5) 300 (+) lim 5 ( ) 0 (e) (f) (g) ( ) lim 3 (+3) 3 +3 lim +3 ( 4) lim 4 (+) ( ) 5 Výsledky: (a), (b), (c) 6 00, (d) 0, (e) 8, (f), (g) 5. Cvičení 5.3. Vypočtěte limity funkcí: (a) lim + 3 9 (b) lim 3 0 + (c) lim 4 + 3 3+ (d) lim ( ) 0 ( 3 +6) 0 (e) lim 3 + + (f) lim 4 ( ) 3 Výsledky: (a) 7 6, (b) 0, (c) -8, (d) ( 3 )0, (e) 3, (f).

6 5 LIMITA FUNKCE Cvičení 5.4. Vypočtěte limitu funkce S() = πr +R.e). Interpretujte nalezený výsledek. Výsledky: πr. Cvičení 5.5. Vypočtěte limity funkcí: pro (viz cvičení (a) lim + 0 (b) lim 4 (c) 3 8 lim +7 7 3 3 +3 9 (d) lim 6+ + 3 (e) lim +0,5 4 6 (f) lim Výsledky: (a), (b), (c) 0, (d) 4, (e) 5 96, f) 4. Cvičení 5.6. Vypočtěte limity funkcí: sin 5 (a) lim 0 tg (b) lim 0 4 sin 5 (c) lim 0 sin tg (d) lim 0 tg 3 sin 4+sin 7 (e) lim 0 sin 3 sin (f) lim 3 0 3 sin (g) lim 3 0 sin (h) lim 3 0 4 (i) (j) sin lim sin lim +cos Výsledky: (a) 5, (b), (c) 5, (d) 3, (e) 3, (f), (g) 0, (h) 0 + f, 0 f, (i) 0, (j) 0. Cvičení 5.7. Vypočtěte limity funkcí: arcsin (a) lim 0 arcsin( 3) (b) lim 3 9 sin cos (c) lim π tg 4 (d) lim cos 0 sin (e) lim +sin cos 0 (f) lim log +cos π +sin 4 Výsledky: (a), (b) 6, (c), (d) 0 + f, (f) 0. Cvičení 5.8. Vypočtěte limity funkcí:, 0 f, (e)

7 (a) (b) (c) ( ) lim + 3 + lim lim ( ) 3+ + 3 + ( ) +4 + (d) lim 0 ( + 5) + ( (e) lim + 3 0 + ln(+) (f) lim 0 3+ln(+) ) Výsledky: (a) e 3, (b) e 9, (c) e 3, (d) e 0, (e), (f) 4. 6 Cvičení k přednášce Diferenciální počet Ukázkový příklad 6. (Definice derivace). Z definice vypočtěte derivace následujících funkcí. Definici derivace lze vyjádřit v různé symbolice, jedná se však o ekvivalentní definice.. f() = 3. Vyjdeme z následující symboliky: Derivace funkce f bodě je f () =.(Pokud daná limita eistuje.) lim h 0 f(+h) f() h Pak je f () = ( 3) [(+h) = lim 3(+h)] [ 3] h 0 h = lim lim h 0 ( +h+h 3 3h) ( 3) h 0 h ( + h 3) = 3.. f() =. h+h = lim 3h h 0 h Vyjdeme z jiné, ale ekvivalentní symboliky: f ( 0 ) = lim daná limita eistuje.) Pak je f () = ( ) = lim 0 lim 0 4 0 4 0 = 4 3 0 3. f() =. f () = ( ) lim h 0 lim h 0 h h. h h( h+ ) = lim h 0 0 0 (+h) = lim h 0 h h+ h+ = lim = lim h 0 h(+h 3) h = f() f( 0 ) 0 0.(Pokud = lim 0 0 0 ( 0) = lim ( 0 +) = 0 0 = lim h 0 h ( ) h 0 h( h+ ) =. h+ = h h = Ukázkový příklad 6. (Tečna a normála grafu funkce). Určeme rovnici tečny a normály grafu funkce f : y = sin + cos v bodě T [ π 4, y], který leží na grafu funkce f. (obr. 6.0. )

8 6 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ y-ovou souřadnici bodu T dostaneme dosazením: y = sin π 4 +cos π 4 =. Tečna grafu je tedy určena bodem T [ π 4, ] a svou směrnicí v tomto bodě, tj. derivací f () v bodě = π 4. Derivace f () = cos sin, takže f ( π 4 ) = cos π 4 sin π 4 = 0. Rovnici tečny i normály lze dostat z rovnice přímky ve tvaru y = k + q dosazením souřadnic = π 4, y = bodu T do rovnice přímky y = k + q. Pak je zřejmě: = 0. π 4 + q q =. Je tedy rovnice tečny y = (rovnoběžka s osou, což bylo patrné ihned z toho, že k = 0). Normála je přímka kolmá k tečně v dotykovém bodě T a její rovnice v tomto případě je = π 4. 3 n t 3 4 f 4 f t 3 n 3 4 Obrázek 6.0.: f : y = sin + cos Obrázek 6.0.: f : y = Ukázkový příklad 6.3. Řešme následující úlohy o tečně resp. normále grafu funkce f:. f : y = v bodě = 3. Směrnice tečny grafu funkce f v kterémkoliv bodě definičního oboru je y =, v bodě = 3 je to k t = = 4 4. Dotykový bod je T [ 3, ]. Rovnici tečny dostaneme například z rovnice přímky y = k + q. Dosazením k = 4, y =, = 3 je q = 5 4, tečna tedy má rovnici t... y = 4 + 5 4. Směrnici normály dostaneme z podmínky kolmosti dvou přímek k k =, pokud obě směrnice eistují: k n = k t = 4 a normála pak má rovnici n... y = 4 + 4.. Najděme, ve kterém bodě je tečna grafu f : y = rovnoběžná s přímkou p... 3 y + = 0. (Obr. 6.0.) Přímka p má zřejmě směrnici k p = 3. Tečna grafu funkce v kterémkoliv bodě D(f) má směrnici, která je rovna derivaci f v bodě. Proto y = 4 4 = 3 =. (Neboť p t k p = k t, pokud obě směrnice eistují.) Hledaný bod T na grafu funkce f proto

9 je T [, f()], čili T [, ]. Rovnici tečny resp. normály můžeme napsat přímo jako rovnici přímky určené bodem T a směrnicí k t = k p. Je totiž y y = k( ), takže t... y = 3( ) n... y = ( ) 3 Cvičení 6.. Vypočtěte z definice derivace následujících funkcí: a) y = b) y = + 3 c) y = + d) y = e 3 Výsledky: (+h) h 0 4 (a) Podle definice je y = lim h = =, podobně další: (b) y =, (c) y =, (d) y = 3e 3. 3 ( +) Cvičení 6.. Vypočtěte derivace následujících funkcí v jejich definičních oborech: (a) y = ( )(3 + ) (b) y = 4 (c) y = 3+ 3 (d) y = 3 + 4 ln (e) y = ln + 3 ln (f) y = ( + e )( e ) Výsledky: (a) y = 9 + 4 3, (b) y = 4 (4 ), (c) y = y = 3 + 3 + 4, (e) y = 5 (3 ln ), (f) y = e e (3 ), (d) Cvičení 6.3. Vypočtěte derivace následujících funkcí v daných bodech: (a) f : y = 4 v bodě = 0 (b) f : y = 3 + 4 ln v bodě = 0 (c) f : y = ln + 3 ln v bodě = a (d) f : y = ( + e )( e ) v bodě = (e) f : y = + v bodech =, = 0, = Výsledky: (a) y (0) = 4, (b) nedef., (c) y 5 = pro a > 0, (d) a(3 ln a ) y = e e, (e) y () = 4, y (0) nedef., y () = 4+3 Cvičení 6.4. Najděte rovnici tečny a normály grafu funkce f v daném bodě T :

30 6 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ (a) f : y = 4 + v bodě T [0,?] (b) f : y = +4 3 v bodě T [,?] (c) f : y = 3 ln v bodě T [,?] (d) f : y = v bodě T [4,?] Výsledky: (a) T [0, ], k t = 3, k n = 3, t... y+ = 3, (b) T [, 7], k t = 0, t... y = 7, n... =, (c) T [, 3], k t = 7, k n = 7, t... y 3 = 7( ), (d) T [4, ], k t = 4, k n = 4, t... y + = 4 ( 4). Ukázkový příklad 6.4 (Derivace složené funkce). Derivujme následující složené funkce (v jejich definičních oborech):. f : y = ( + ) 00, R Označme y = t 00, t = ( + ), pak podle věty o derivaci složené funkce je y = (t 00 ) ( + ) = 00t 99 = 00( + ) 99. ( ). f : y = ln, +ln > 0 e ( ) ( Označme y = t, t = ln +ln, pak je y = (t ) ln +ln ) = ( ) ( ) t (+ln ) ( ln ) = ln (+ln ) +ln = ln 4 (+ln ) +ln (+ln ) 3. f : y = sin + cos, ( π 4 + kπ, π + kπ), k Z Označme t = sin + cos, y = t. Pak je y = ( t) (sin + cos ) = (cos sin ) = t (cos sin ). sin +cos 4. y = ln +cos 3 +sin 3, ( π 6 + k π 3 ) ( π 3 + k π 3 ), k Z +cos 3 Označme y = ln t, t = +sin 3, t ovšem obsahuje složené funkce u = cos 3, u = 3, v = sin 3, v = 3. Je tedy y = 3 sin 3(+sin 3) (+cos 3)3 cos 3 3 3 sin 3 3 cos 3 t. = (+sin 3) +cos 3 = (+sin 3) 3(+sin 3+cos 3) (+cos 3)(+sin 3) +sin 3 Ukázkový příklad 6.5. Derivujme funkci f : y = pro > 0. Danou funkci převeďme na eponenciální funkci podle vzorce a b = e b ln a, a > 0. Je tedy y = = e ( ) ln a derivejeme y jako složenou funkci : y = (e ( ) ln ) = e ( ) ln ( ln + ( ) ) = ( ln + ). Ukázkový příklad 6.6 (Derivace inverzní funkce). Dokažme pomocí věty o derivaci inverzní funkce ( ) = v definičním oboru (0, ). Označme y = f() =, pak inverzní funkce je = ϕ(y) = y. Podle zmíněné věty je f () = ϕ (y) = = (y ) y =. Cvičení 6.5. Pomocí věty o derivaci inverzní funkci derivujte (ověřte, zda jsou splněny podmínky pro použití uvedené věty):

3 (a) y = 3 (b) y = ln( ) (c) y = 3 arccos (d) y = + Výsledky: (a) 3 3, (b) y =, (c) Postup: y = 3 arccos = cos y 3 = cos y 3 y =. (cos y = 3 ) cos y 3 ( sin y 3 ) 3 = = 3, (d) Cvičení 6.6. Vypočtěte derivace funkcí v jejich definičních oborech: (a) f : y = ln +sin sin (b) f : y = arcsin arccos (c) f : y = tg( ) cotg( ) (d) f : y = e +sin e 3 sin (e) f : y = arcsin (f) f : y = ln + ln + ln 3 (g) f : y = ln + ln + + ln n, n N (h) f : y = e e e 3... e n, n N (i) f : y = ln + ln + ln 3 + + ln n, n N (j) f : y = ( + ) 00 Výsledky: (a) y = cos, (b) y = π, (c) y = 0, (d) y = e 4, (e) y = arcsin, (f) y = 3, (g) y = n, (h) y = n(+n) e n(+n), (i) y = n, (j) y = 400( ) 99 ( +) 0 Cvičení 6.7. Vypočtěte derivace funkcí v jejich definičních oborech: (a) f : y = sin + sin( ) (e) f : y = 0 +.0 (b) f : y = sin(cos(sin )) (f) f : y = sin +cos 3 tg(0+). cotg(0+) (c) f : y = ln(ln ) (d) f : y = + ln( ) (g) f : y = sin 3 (h) f : y = Výsledky: (a) y = sin + cos( ), (b) y = cos(cos(sin )). sin(sin ). cos, (c) y = ln, (d) nedef., (e) y = 0. ln 0.0, (f) y = 0, (g) y 3 cos 3 = sin 3, (h) y = ( )

3 6 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Cvičení 6.8. Vypočtěte n-tou derivaci funkce v jejím definičním oboru: (a) f : y = 5, n = 5 (b) f : y = n, n N (c) f : y = n, n N, najěte k- tou derivaci, k n (d) f : y = sin, n = 4 (e) f : y = e, n = 6 (f) f : y = e, n = 6 (g) f : y =, n N (h) f : y = cos, n = 0 (i) f : y = cos, n N Výsledky: (a) y (5) = 0, (b) y (n) = n!, (c) y (k) = n(n )(n )... (n k + ) (n k), (d) y (4) = sin, (e) y (6) = e, (f) y (6) = ( ) 6 e, (g) y (n) = n! n, (h) y (0) = 0 cos, (i) y (4n) = 4n cos, y (4n ) = (4n ) ( ) n+ cos, n. Cvičení 6.9. Dokažte, že daná funkce je řešením diferenciální rovnice: (a) funkce f : y = e 3 3 9, rovnice y 3y = (b) funkce f : y = 3 cos, rovnice yy = sin (c) funkce f : y = e + e, rovnice y 4y = 0 (d) funkce f : y = tg( + ), rovnice y = (y + )( + ) (e) funkce f : y = + cos sin, rovnice y + y = 0 Cvičení 6.0. (a) Najděte rovnici tečny a normály půlkružnice y = 4 v bodě T [,?]. (b) Určete velikost úhlu, ve kterém protíná sinusovka y = sin osu. (c) Určete velikost úhlu, ve kterém protíná graf eponenciální funkce y = e osu y. (d) Určete velikost směrového úhlu tečny grafu y = v jeho bodě + T [ 3,?]. (e) Určete velikost úhlu, pod kterým se protínají grafy y =, y =. (Úhlem, pod kterým se protínají dvě křivky, rozumíme úhel jejich tečen ve společném bodě.)

33 (f) Ukažte, že normála půlkružnice y = r v bodě T [ 0, r 0 ] procházé středem půkružnice S[0, 0]. (g) Určete velikost úhlu, pod kterým protíná graf funkce f : y = ln( ) osu. (h) Určete velikost úhlu, pod kterým protíná graf funkce f : y = ( )( )( 3) osu. Výsledky: (a) t... y + 3 = 3 3 3 ( ), n... y = 3, (b) úhel α = π 4 v bodech = kπ, k Z, úhel α = π 4 v bodech = π + kπ, k Z, (c) α =. 7 o, (d) α =. 33 o, (e) Průsečík P [, ] resp. P [, ], ω = arctg 4 3, r (f) Rovnice normály je n... y = 0 0, (g) = ; k t = ; α = π. 4, (h) = ; = ; = 3; α = 63 o ; α = 35 o. ; α 3 = 63 o Cvičení 6.. Ověřte, zda pro následující funkce jsou splněny v daném intervalu podmínky Lagrangeovy věty. Pokud ano, najděte příslušné c z Lagrangeovy věty v daném intervalu: (a) f : y = 4 3 5 + ; 0, (b) f : y = + ;, (c) f : y = arcsin ;, (d) f : y = e ;, (e) f : y = + ;, 0 ; (f) f : y =,, (g) f : y =,, 3 (h) f : y = arctg,, Výsledky: (a) 5+ 97, (b) + 7, (c) ± π 4 π, (d) ne, (e) pro (, 0), (f) ne, (g) = 4 3, (h) = ± π. Ukázkový příklad 6.7. Vypočtěme přibližně hodnotu 3 65 + 65. Daný výraz je hodnotou funkce f() = 3 + pro = 65. Vyjdeme ze vzorce f( + ) =. f() + df. Zvolíme-li = 64, pak = a f(64) = 3 64 + 64 = 68. Diferenciál je df = f () = ( 3 3 + ) =, 008 a f(65) =. 68 +, 008 = 69, 008. Cvičení 6.. Pomocí diferenciálu vypočtěte hodnoty výrazů: (a),03,0 3 + (b) 4, 99 4 0 + 4,99 (c), 05 0 (d) 8 0 8+ Výsledky: (a) 0, 7036, (b) 60, 0384, (c) 80, (d) 0, 80666 Cvičení 6.3. Pomocí diferenciálu odhadněte chybu, které se dopustíme při výpočtu objemu koule o poloměru r = 6400, 00 km, vypočteme-li objem koule pro poloměr 6400 km.

34 6 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Výsledky: V. = dv = 5478, 54 km 3. Cvičení 6.4. Pomocí diferenciálu odhadněte chybu, které se dopustíme při výpočtu obsahu čtverce o straně = 5 m, vypočteme-li obsah čtverce pro stranu délky 34 m. Výsledky: S. = ds = 00 m. Ukázkový příklad 6.8. Najděme lokální etrémy funkce f : y =. Definiční obor funkce je D(f) = 0, ). Etrémy hledejme pomocí I. postačující podmínky. Najdeme tedy intervaly, v nichž je funkce rostoucí resp. klesající, a to pomocí stacionárních bodů (nulových bodů. derivace). y = = 0 = 4. Funkce má tedy jediný stacionární bod = 4. Uspořádáme do tabulky a zjistíme znaménka y v okolí = 4. (Definiční obor. derivace je ovšem D(f ) = (0, )!! ): 0 4 y - 0 + y nedef. kles. lok. min. rost. Z tabulky je patrno, že ve stacionárním bodě = 4 minimum y min = f( 4 ) = 4. má funkce lokální Cvičení 6.5. Najděte vrcholy parabol jako lokální etrémy funkcí: (a) y = 6 + (b) y = 4 + 0 (c) y = 0, 00 0, (d) y = 5 4 (e) y = 6 + 30 (f) y =, 5 + 7, 5 Výsledky: (a) V [ 3, 5 ], (b) V [ V [ 5, 99 ], (f) V [ 6, 5 4 ]. 4, 5 4 ], (c) V [00, 0], (d) V [0, 5], (e) Cvičení 6.6. Pomocí druhé postačující podmínky rozhodněte o lokálním etrému následujících funkcí ve stacionárním bodě c: (a) f : y = 6 3 4 +, c = 0, c = (b) f : y = 5 5 4 +0, c = 0, c = 4 (c) f : y = 5 4 +, c = 5 (d) f : y = 3 e, c = 0, c = 3 Výsledky: (a) c = 0-lok. ma, c = - lok. min, (b) c = 0 - lok. maimum, c = 4 - lok. min, (c) c = 5 - lok. ma, (d) c = 0 - není etrém, c = 3 - lok.ma. Cvičení 6.7. U následujících funkcí najděte stacionární body a lokální etrémy (pokud eistují) a intervaly, v nichž je funkce rostoucí resp. klesající:

35 (a) f : y = 5 5 3 + 3 (b) f : y = + (c) f : y = ( ) 3 ( + ) (d) f : y = e (e) f : y = ln (f) f : y = + (g) f : y = ln (h) f : y = e (i) f : y = + Výsledky: (a) stac. body = 3; 0; 3, lok. ma. v bodě = 3, lok. min. v bodě = 3, kles. pro 3 < < 3, rost. pro (3, ), rost. pro (, 3), (b) stac. body = ±, pro = lok. ma, pro = lok. min., rost. v int.(, ), kles. v int. (, ), kles. v int. (, ), (c) stac. body = ±, = 5, v bodě = lok. ma., v bodě = 5 lok. min., v bodě = není etrém, rost. pro (, ), rost. pro ( 5, ), kles. pro (, 5 ), (d) stac. body = 0;, lok.min. = 0, lok. ma. =, rost. (0, ), kles. (, 0), kles. (, ), (e) stac. bod =, lok. min. =, rost. (, ), kles. (0, ), (f) stac. body = 0, = ± 3, lok. min. = 3, lok. ma. = 3, = 0 - není etrém, rost. ( 3, ), (, 3), kles. ( 3, ), (, ), (, 3), (g) stac. body nejsou, lok. etrémy nejsou, kles. pro < 0, rost. pro > 0, (h) stac. body nejsou, lok. min. = 0, y min =, rost. pro > 0, kles. pro < 0, (i) stac. body = ±, lok.min. v bodě =, lok.ma. v bodě =, rost. pro (, ), rost. pro (, ), kles. pro < < 0, kles. pro 0 < <. Cvičení 6.8. U následujících funkcí najděte intervaly konvenosti resp. konkávnosti a inflení body: (a) f : y = arccos (b) f : y = ( ) ( + ) (c) f : y = + (d) f : y = a + b + c, a, b, c R (e) f : y = arctg (f) f : y = ln (g) f : y = ln (h) f : y = ( + )e (i) f : y = + (j) f : y = ln Výsledky: (a) konv. pro (, 0), konk. pro (0, ), = 0 infl., (b) konv. pro ( 3, ) (, 3 ), konk. pro ( 3, 3 ), = ± 3 infl., (c) konv. pro > 0, konk. pro < 0, infl. není, (d) je-li a > 0, pak konv. pro R a je-li a < 0, pak konk. pro R, je-li a = 0, pak není ani konv. ani konk., infl. není, (e) konv. pro (, 0), konk. pro (0, ), = 0 infl., (f) konv. pro každé D(f), (g) konv. pro > e 3, konk. pro (0, e 3 ), infl. = e 3, (h) konv. pro (, ), konk. pro (, ),

36 6 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ = infl., (i) pro > konv., pro < konk., infl. není, (j) konv. pro 0 < < e, konk. pro > e, infl. = e. Cvičení 6.9. U následujících funkcí najděte všechny jejich asymptoty: (a) f : y = 3 + (b) f : y = ( ) (+) (c) f : y = + arctg (d) f : y = e (e) f : y = e (f) f : y = (g) f : y = 33 + 3 4 (h) f : y = ln( 4) (i) f : y = ln( 4) (j) f := y = arctg Výsledky: (a) y = pro ±, (b) =, =, y = 0 pro ±, (c) y = + π pro, y = π pro, (d) y = 0 pro, (e) y = pro ±, y = 0 (pro 0 + je y ), (f) y = + pro ±, =, (g) y = 3 pro ±, = 0, =, =, (h) =, =, (i) y = 0 pro ±, = ± 5, (j) y = π pro, y = π pro. Cvičení 6.0. (a) Určete, pro které hodnoty parametrů a, b, c R je funkce f : y = a 4 + b + c konvení. (b) Pro které hodnoty parametrů p, q R je funkce f : y = (p ) + q rostoucí? (c) Zjistěte. pro které hodnoty parametrů a, b R je funkce f : y = a+b + v intervalu (, ) klesající. (d) Pro které hodnoty parametrů α, β R je funkce f : y = e (3α+β) ) konvení, ) konkávní? Výsledky: (a) a > 0, b, c R, (b) p >, q R, (c) a < b, (d) β+3α > 0 konvení, β + 3α < 0 klesající. Ukázkový příklad 6.9 (Průběh funkce). Vyšetřeme průběh funkce f : y = e.. Definiční obor je D(f) = R.. Limity: lim e =, lim e =.0... použijeme l Hospitalovo pravidlo... = lim = lim = lim e e e = 0. (Poznámka: Pro je = ( ) =.)

37 3. Průsečíky se souřadnými osami: s osou : e = 0 = 0 O[0, 0], s osou y : f(0) = 0.e 0 = 0 y = 0 O[0, 0]. 4. Pro každé R je f() 0, graf funkce tedy leží v I. a II. kvadrantu. 5. Vyšetříme f (). Rozlišme dva případy: a) 0 = f () = e + e = e ( + ) f () = 0 pro + = 0, bod = však nevyhovuje podmínce 0, je ovšem pro každé > 0 derivace f () > 0 a tedy v intervalu (0, ) je funkce rostoucí. b) < 0 = f () = e e = e ( ) f () = 0 pro = 0 =. Nalezený bod = vyhovuje podmínce < 0 a je to stacioní bod dané funkce. Sestavme tabulku pro vyšetření monotonnosti funkce f() v okolí stacionárního bodu: (, ) - (, 0) y + 0 - y rost. lok.ma. kles. V bodě = má funkce lokální maimum y ma = f( ) = e = e. c) Bod = 0 je třeba vyšetřit zvlášť. Derivace f (0) (oboustranná) neeistuje (je totiž f +(0) =, f (0) = ), ale pomocí tabulky zjistíme, že v pravém okolí bodu = 0 funkce roste a v levém okolí bodu = 0 klesá, takže v bodě = 0 je lokální minimum y min = f(0) = 0. 6. Vyšetříme f (). Opět rozlišme dva případy: a) 0 = f () = e ( + ) f () = 0 pro + = 0 =, nalezený bod nevyhovuje podmínce 0, ovšem pro každé > 0 je f () > 0 a funkce je tedy v intervalu (0, ) konvení. b) < 0 = f () = e ( + ) = 0 pro =, nalezený bod vyhovuje podmínce < 0 a je to možný inflení bod. Opět sestavíme tabulku pro vyšetření konvenosti a konkávnosti funkce v okolí bodu = : (, ) - (, 0) y + 0 - y konve. inflee konkáv. V bodě = má funkce inflei, y i = f( ) = e = e.

38 6 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ c) Bod = 0 vyšetříme zvlášť. Je f +(0) =, f (0) =, takže (oboustranná). derivace f (0) neeistuje. Funkce tedy nemůže mít v bodě = 0 inflei. (Pročtěte si pozorně větu o nutné podmínce inflee - v tetu Matematika, kap. Diferenciální počet.) 7. Asymptoty grafu f(). a) 0. Vypočteme potřebné limity: lim e = asymptota rovnoběžná s osou neeistuje pro, k = lim = šikmá asymptota neeistuje, e v definičním oboru nejsou body nespojitosti - asymptoty rovnoběžné s osou y nejsou. b) < 0. Potřebné limity: lim e = 0 pro je asymptotou přímka y = 0, k = e lim = 0, q = lim ( e 0) = 0 asymptota šikmá je y = 0 + 0 = 0, asymptota rovnoběná s osou y opět nemůže být. 8. Graf funkce je na obrázku 6.0.3. y f infl. lok. ma. 4 3 0 Obrázek 6.0.3: Graf funkce f : y = e Cvičení 6.. Vyšetřete průběh následujících funkcí a zobrazte jejich grafy: (a) f : y = arctg (b) f : y = 4 (c) f : y = ln (d) f : y = e (e) f : y = ++6 +6 (f) f : y = ( + )e (g) f : y = 3 +3

39 (h) f : y = e (i) f : y = ln( 4) Výsledky: (a) D(f) = R, rost. v D(f), lok. etrém není, stac. bod = 0, inflee = 0, konv. resp. konk. pro > 0 resp. < 0, asymp. y = π pro, y = + π pro, limity ± v bodech ±, lichá funkce, (b) D(f) = R \ {, }, limity: ±... f 0, ±... f ±, ±... f, lok. ma = 0, y ma =, rost. pro (, ), (, 0), kles. pro (, ), (0, ), inflee není, konv. pro (, ), (, ), konk. pro (, ), asymptoty =, =, y = 0, sudá funkce, (c) D(f) = (0, ), 0 + f 0, f, pro (0, e ) kles., pro > e rost., = e lok. min, y min = e, pro D(f) konv., asymptoty nejsou, (d) limity f 0, f, lok.ma y ma = y(0) = 0, lok. min. y min = y() = 4e, rost. pro (0, ), kles. pro (, 0), kles. pro (, ), infl. = ±, konv. pro (, ), konv. pro +,, konk. pro (, + ), asymptota y = 0 pro, (e) D(f) = R\{ 6}, limity: pro ± f ±, pro 6 ± f ±, lok. etrémy =, = 0, y ma = y( ) = 47, y min = y(0) =, rost. pro (, ), rost. pro (0, ), kles. pro (, 6), kles. pro ( 6, 0), asymptoty: = 6, y = pro ±, inflee není, konv. ( 6, ), konk. (, 6), (f) D(f) = R, limity f() =, lim f() = 0, stac. bod =, lok. etrémy nejsou, rost. lim D(f), inflee = 3, =, konv. (, 3), konv. (, ), konk. ( 3, ), asymptota y = 0 pro, (g) D(f) = R, limity: lim f() = ±, asymptoty nejsou, lok. etrémy nejsou, stac. bod = 0, ± rost. pro R, inflee = 0, = ±3, konv. < 3, konv. 0 < < 3, konk. 3 < < 0, konk. > 3,lichá, (h) D(f) = R, sudá, limity: pro ±, je f 0, lok. ma. v bodě = 0, y ma = y(0) =, inflee = ±, konk. pro (, ), konv. pro (, ), konv. pro (, ), asymptota y = 0 pro ±, (i) D(f) = (, ) (, ), limity ± f, ± ± f, sudá, stac. bod ani lok. etrémy nejsou, kles. pro (, ), rost. pro (, ), inflee není, konk. pro (, ), pro (, ), asymptoty: =, =. Ukázkový příklad 6.0 (Taylorův polynom). Najdeme Taylorův polynom řádu n = 4 funkce f : y = cos v bodě c = 0. (Obr. 6.0.4) Funkce f : y = cos splňuje v bodě c = 0 podmínky pro eistenci Taylorova polynomu. Je proto f() = cos f(0) = f () = sin f (0) = 0

40 6 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ.5 3 T3 0.5 f 0 T4 0.5 y=cos.5 0 3 4 5 Obrázek 6.0.4: y = cos, T 4 () = + 4 4 Obrázek 6.0.5: y =, T 3 () = + ( ) 8 ( ) + 6 ( )3 f () = cos f (0) = f () = sin f (0) = 0 f IV () = cos f IV (0) = Je tedy Taylorův polynom řádu 4-tého řádu T 4 () =! + 4 4! = + 4 4. Určíme ještě, pro které lze pomocí T 4 () najít hodnotu cos s chybou nejvýše 0,0. Použijeme vzorec pro zbytek v Taylorově polynomu R n+ () = f (n+) (ξ)( c) n+ (n+)!. V našem případě je n = 4, c = 0, R n+ () = 0, 0. Pro odhad f (n+) (ξ) zřejmě platí f (n+) (ξ) (všechny derivace sin, cos jsou v absolutní hodnotě nejvýše rovny ). Platí tedy pro odhad chyby nerovnost.5 5! < 0, 0. Odtud 5 < 0, 0.5!, 095 < <, 095. Ukázkový příklad 6.. Najdeme Taylorův polynom řádu 3. řádu funkce f : y = v bodě c =. (Obr. 6.0.5) Uvedená funkce vyhovuje v daném bodě c = podmínkám věty o Taylorově polynomu. Je proto f() = f() = f () = f () = f () = 4 3 f () = 4 f () = 3 8 5 f () = 3 8 f IV () = 5 6 7 f IV () = 5 6

4 Hledaný Taylorův polynom tedy je (po krátké úpravě) T 3 () = + ( ) 8 ( ) + 6 ( )3. Výpočtem T () dostaneme přibližnou hodnotu f() =. Zřejmě je T () = + 8 + 6 = 6 =, 375. Výpočet je přirozeně zatížen chybou, jejíž velikost odhadneme podle výše uvedeného vzorce R n+ () = f (n+) (ξ)( c) n+ (n+)!. V tomto případě je n = 3, c =, =, ξ, pro odhad f (4) (ξ) užijeme vypočtené 4. derivace funkce y =. Je f IV (ξ) = 5 6 ξ 7 a maimum je zřejmě pro ξ = (funkce f IV () = 5 6 7 je klesající), takže maimum f IV (ξ) je f IV () = 5 6. 7 = 5 6. Nakonec tedy pro horní odhad chyby platí R 4 () = 5 6 4! = 0, 038. Ukázkový příklad 6.. Najděme Taylorův polynom n tého řádu funkce f : y = e v bodě c = 0. Funkce f : y = e splňuje podmínky věty o Taylorově polynomu. Je proto f() = e f(0) = f () = e f (0) = f () = e f (0) = f () = e f (0) =... f (n) () = e f (n) (0) = Taylorův polynom proto je T n () = +! +! + + n n! = n Pro = vypočteme T n () =. e = e. Zjistěme, jak je třeba volit řád n Taylorova polynomu, aby chyba výpočtu e byla nejvýše 0,00. Pro odhad chyby opět užijeme vzorce pro R n+ (). Je tedy c = 0, =, n =?, R n+ je nejvýše 0,00. Pro odhad f (n+) (ξ) zřejmě platí f (n+) (ξ) = e ξ < e, e. neboť 0 < ξ < =. Nakonec tedy dostaneme (n+)! < 0, 00 (n + )! > 000e = 78 n + > 6 n > 5. Pro n = 6 pak je T () = +! +! + 3! + 4! + 5! + 6! =, 7806. Cvičení 6.. Utvořte Taylorovy polynomy řádu n v bodě c následujících funkcí: k=0 k k!. (a) f : y = 3, n = 3, c = (b) f : y = sin, n = 5, c = 0 (c) f : y = cos, n = 4, c = 0 (d) f : y = e, n = 6, c = 0 (e) f : y = sin( ), n = 5, c = 0 (f) f : y = e, n = 6, c = 0 (g) f : y = ln( + ), n = 5, c = 0 (h) f : y = ln( ), n = 5, c = 0