7 Vzoce po geometicou poloupot Předpoldy: 0, 0 Př : Po geometicou poloupot pltí ; q Uči čle, iž by učovl Mohli bychom pomocí vzoce po -tý čle učit čle p pomocí tejého vzoce učit i Teto potup je ložitější zzuje ho zdáí příldu Zuíme to ji: Abych e od čleu dotl e čleu muím čtyřiát ( 4 ) áobit vocietem 4 4 q q q q q Čle e ová Př : V geometicé poloupoti vocietem q vypočítej hodotu čleu, poud záš hodotu Stejý příld jo předchozí, pouze počítáme obecě Čle áobíme vocietem q to ( ) át Vzoec fuguje i po výpočet předchozího čleu Dodíme hodoty z příldu : 4 d,, počítáme čle V geometicé poloupoti ( ) q vocietem q pltí po všech, N Vzoec je možé do itepetovt lově: učitý čle v poloupoti vypočteme z libovolého předchozího (áledujícího) t, že ho vyáobíme (vydělíme) vocietem toliát, o oli je jeho ide větší (meší) Dodte: Vzoec je té velmi podobý vzoci q itmeticou poloupot + d po Př : (BONUS) Dož pomocí vzoce po -tý čle geometicé poloupoti pltot vzoce Po čley poloupoti ve vzoci pltí: q Rovice vydělíme: q, q q
q ( ) Předchozí potup je pochopitelý, le té lehce pdutelý Při jeho použití dělíme mueli bychom tedy zjitit, by všech číl v pví ovici byl eulová Většiou e poto používá jiý potup: Učitě pltí: + q q q q q q + Dodte: Podobě jo u itmeticé poloupoti i teď pltí, že ám už zámý vzoec po -tý čle geometicé poloupoti eí ic jiého ež peciálí přípd vzoce, dy dodíme Př 4: V geometicé poloupoti ( ) Dodíme do vzthu mezi : 0 0 0 / : q q q q jou dáy čley, 0 0 Uči q, q Teď učíme : 4 Teď už do dopočítáme libovolý čle poloupoti, záme vzoec po -tý čle: 7 4 0 Po zdou poloupot pltí: q,, 0 Pedgogicá pozám: V předchozím příldu ěteří zouflci už ze mjí poblémy ozlišit Dodte: Vzoec evyžduje, bychom do ěj dozovli z větší čílo ež z Npříld + d předchozí příld můžeme počítt i tto: 0 0
0 q q q Př : V geometicé poloupoti ( ) Dodíme do vzthu mezi : 4 4 q q jou dáy čley 4, Uči q, q Teď učíme : 4 Teď už do dopočítáme libovolý čle poloupoti, záme vzoec po -tý čle: 4 Po zdou poloupot pltí: q,, Podobě jo u itmeticé i u geometicé poloupoti doážeme vzocem ečít pvích čleů Po oučet + + + + + pltí: pvích čleů geometicé poloupoti ( ) ) je-li q, q b) je-li q q, tedy po Uvedeé vzoce ejou ozdíl od ottích moc podobé vzoci po itmeticou poloupot Ai e im eváže žádá hito Jejich důz vš eí obtížý Doážeme: ) Je-li q Je-li q p po všechy čley poloupoti pltí: čítáme -át tejou hodotu + + + át
q b) Je-li q q Npíšeme i oučet řdy: + + + + Všechy čley v řdě vyjádříme vzocem po -tý čle: + q + + q + q Předchozí ovot i vyáobíme vocietem q: q q + q + + q + q q q + q + + q + q Teď od ebe předchozí dvě ovice odečteme: + q + + q + q q + q q + q q + + q q + q ( ) / : ( ) q q q ( ) ( q ) q q q 0 0 0 Př : BONUS: Dož vzoec po oučet geometicé poloupoti po q mtemticou iducí Dozujeme větu: Po oučet pvích čleů geometicé poloupoti ( ) q + + + + + pltí: je-li q q Ověříme vzth po Sčítáme jedié čílo q q Dodíme do vzoce: q q Předpoládáme pltot vzthu po dozujeme pltot po + : Víme, že pltí: ( + ) + + + + q Chceme doázt, že pltí: + q + je oučet čleů poloupoti: + + + + q Použijeme vzoec + + + q + + + + + q Npíšeme vzth: + + + + +, vzoec po +, teý potřebujeme q eobhuje + teto čle muíme vyjádřit pomocí q ( q ) q q q q + + q + q + q q q q q q + + q + q q q + Hotovo q q, tedy po + + 4
Př 7: Uči oučet: ) pvích omi čleů geometicé řdy q, b) pvích omi čleů geometicé řdy q, c) všech ezápoých celočíelých moci dvou meších ež 00 Součet učeý v bodu c) vzoce zotoluj pomocí lulčy ) oučet pvích omi čleů geometicé řdy q q Jeom dodíme do vzoce: q 0( + ) 4 0 + 0 + + b) oučet pvích omi čleů geometicé řdy q q Jeom dodíme do vzoce: q 70 c) všech moci dvou meších ež 00 Největší moci dvou meší ež 00 je 4 Učujeme tedy oučet: + + 4 + + 4 Jde o geometicou poloupot:, q, chceme 7 (4 je edmý čle) q q 7 7 7 Součet všech moci dvou meších ež 00 je 7 Klulč potvdí áš výpočet Př : Je možé, by oučet pvích čleů geometicé poloupoti, jejíž žádý čle eí ove ule, byl ulový? Poud o, z jých podmíe? Tovou poloupotí může být příld poloupot: ;; ;; ;; Její oučet je: + + + + poud je v oučtu udý počet čleů, je oučet ulový Podmíu ze zdáí plňuje ždá geometicá poloupot: ; q, poud čítáme udý počet čleů (tedy poud pltí )
Př : Uči čílo t, by číl,, 7 0 tvořil tři po obě jdoucí čley geometicé poloupoti Uči tuto poloupot Po po obě jdoucí čley geometicé poloupoti muí pltit: + q Potože všech + zdá číl jou ůzá od uly můžeme pát i q Dodíme: q 7 0 / Zíli jme epoeciálí ovici: ( ) 7 0 0 y 7 0 +, povedeme ubtituci y 7 y + 0 0 ( y )( y ) 0 y, q Jde o geometicou poloupot:, q,, 4,,, y log, q Jde o geometicou poloupot:, q,,,,, Př 0: Petáová: t 7/cvičeí 4 t /cvičeí ) t /cvičeí Shutí: Po čley geometicé poloupoti pltí podobé vzoce jo po čley itmeticé poloupoti