6. Lineární nezávislost a báze p. 1/18

6. Lineární nezávislost a báze 6. Lineární nezávislost a báze p. 1/18

6. Lineární nezávislost a báze p. 2/18 Lineární nezávislost a báze 1. Závislé a nezávislé vektory 2. Lineární kombinace a závislost 3. Postačující podmínky pro nezávislost funkcí 4. Báze vektorového prostoru 5. Souřadnice vektoru 6. Použití souřadnic

6. Lineární nezávislost a báze p. 3/18 6.1 Závislé a nezávislé vektory DEFINICE 1 Neprázdná konečná množina vektorů S = {v 1,...,v k } vektorového prostoru V je (lineárně) nezávislá, jestliže rovnice α 1 v 1 + +α k v k = o ( ) má jediné řešení α 1 = = α k = 0.

6. Lineární nezávislost a báze p. 3/18 6.1 Závislé a nezávislé vektory DEFINICE 1 Neprázdná konečná množina vektorů S = {v 1,...,v k } vektorového prostoru V je (lineárně) nezávislá, jestliže rovnice α 1 v 1 + +α k v k = o ( ) má jediné řešení α 1 = = α k = 0. JestližeS = {v 1,...,v k } je (lineárně) nezávislá, říkáme také, že vektory v 1,...,v k jsou (lineárně) nezávislé. Má-li rovnice ( ) i jiné řešení, pak říkáme, že S je (lineárně) závislá a vektory v 1,...,v k jsou (lineárně) závislé.

6. Lineární nezávislost a báze p. 4/18 6.1 Závislé a nezávislé vektory Geometrický význam lineární závislosti pro dvourozměrné vázané vektory α 2 v v w α 1 u = u o u α 1 u o v α 3 w = -w α 2 v = -u α 1 u + α 2 v + α 3 w = o α 1 u + α 2 v = o

6. Lineární nezávislost a báze p. 5/18 6.1 Závislé a nezávislé vektory PŘÍKLAD 1 Jestližev 1 = [2, 1,0],v 2 = [1,2,5] av 3 = [7, 1,5], pak množina vektorů S = {v 1,v 2,v 3 } je lineárně závislá, nebot 3v 1 +v 2 v 3 = o.

6. Lineární nezávislost a báze p. 5/18 6.1 Závislé a nezávislé vektory PŘÍKLAD 1 Jestližev 1 = [2, 1,0],v 2 = [1,2,5] av 3 = [7, 1,5], pak množina vektorů S = {v 1,v 2,v 3 } je lineárně závislá, nebot 3v 1 +v 2 v 3 = o. PŘÍKLAD 2 Mnohočleny p 1 (x) = 1 x,p 2 (x) = 5+3x 2x 2 a p 3 (x) = 1+3x x 2 tvoří lineárně závislou množinu v P 3, nebot pro každéx R platí 3p 1 (x) p 2 (x)+2p 3 (x) = 0, tj. 3p 1 p 2 +2p 3 = o.

6. Lineární nezávislost a báze p. 5/18 6.1 Závislé a nezávislé vektory PŘÍKLAD 1 Jestližev 1 = [2, 1,0],v 2 = [1,2,5] av 3 = [7, 1,5], pak množina vektorů S = {v 1,v 2,v 3 } je lineárně závislá, nebot 3v 1 +v 2 v 3 = o. PŘÍKLAD 2 Mnohočleny p 1 (x) = 1 x,p 2 (x) = 5+3x 2x 2 a p 3 (x) = 1+3x x 2 tvoří lineárně závislou množinu v P 3, nebot pro každéx R platí 3p 1 (x) p 2 (x)+2p 3 (x) = 0, tj. 3p 1 p 2 +2p 3 = o. PŘÍKLAD 3 Vektory e 1 = [1,0,0],e 2 = [0,1,0] ae 3 = [0,0,1] tvoří lineárně nezávislou množinu reálných třírozměrných aritmetických vektorů, nebot α 1 e 1 +α 2 e 2 +α 3 e 3 = o pouze pro α 1 = 0,α 2 = 0,α 3 = 0.

6. Lineární nezávislost a báze p. 6/18 6.2 Lineární kombinace a závislost DEFINICE 2 Vektor v z vektorového prostoru V budeme nazývat lineární kombinací vektorův 1,...,v k V, jestliže existují skaláry α 1,...,α k tak, že v = α 1 v 1 + +α k v k.

6. Lineární nezávislost a báze p. 6/18 6.2 Lineární kombinace a závislost DEFINICE 2 Vektor v z vektorového prostoru V budeme nazývat lineární kombinací vektorův 1,...,v k V, jestliže existují skaláry α 1,...,α k tak, že v = α 1 v 1 + +α k v k. PŘÍKLAD 4 Mnohočlen p 1 (x) = x z vektorového prostoru P 2 všech lineárních reálných mnohočlenů je lineární kombinací mnohočlenů p 2 (x) = x+1 ap 3 (x) = x+2, nebot pro libovolné reálnéxplatí p 1 (x) = x = 2(x+1) (x+2) = 2p 2 (x) p 3 (x), takžep 1 = 2p 2 p 3.

6. Lineární nezávislost a báze p. 7/18 6.2 Lineární kombinace a závislost VĚTA 1 Konečná množina nenulových vektorůs = {v 1,...v m } je lineárně závislá, právě když existuje k 2 tak, že vektorv k je lineární kombinací vektorů v 1,...,v k 1.

6. Lineární nezávislost a báze p. 7/18 6.2 Lineární kombinace a závislost VĚTA 1 Konečná množina nenulových vektorůs = {v 1,...v m } je lineárně závislá, právě když existuje k 2 tak, že vektorv k je lineární kombinací vektorů v 1,...,v k 1. DŮKAZ: Necht S je množina nenulových lineárně závislých vektorů. Uvažujme množiny S 1 = {v 1 },S 2 = {v 1,v 2 },...,S m = {v 1,...,v m } a necht S k je nejmenší množina vektorů, které jsou lineárně závislé, takže platí α 1 v 1 + +α k v k = o ( ) a některý z koeficientůα 1,...,α k je nenulový. Pak k 2, nebot S 1 je zřejmě nezávislá množina vektorů, aα k 0, nebot jinak by S k 1 byla lineárně závislá.

6. Lineární nezávislost a báze p. 8/18 6.2 Lineární kombinace a závislost DŮKAZ: Pokračování Rovnici ( ) můžeme tedy upravit pomocí axiomů vektorového prostoru na tvar v k = ( ) α1 v 1 + + α k ( αk 1 α k ) v k 1.

6. Lineární nezávislost a báze p. 8/18 6.2 Lineární kombinace a závislost DŮKAZ: Pokračování Rovnici ( ) můžeme tedy upravit pomocí axiomů vektorového prostoru na tvar v k = ( ) α1 v 1 + + α k Obráceně, jestliže pro 2 k m platí ( αk 1 α k v k = α 1 v 1 + +α k 1 v k 1, ) v k 1. pak (α 1 v 1 )... (α k 1 v k 1 )+1v k +0v k+1 + +0v m = o, takžes m je lineárně závislá, nebot koeficient1uv k je nenulový.

6.3 Postačující podmínky pro nezávislost 6. Lineární nezávislost a báze p. 9/18 funkcí Necht S = {f 1,...,f k } je konečná množina reálných funkcí vektorového prostoru F.S je nezávislá právě tehdy, když z α 1 f 1 (x)+ +α k f k (x) = 0 pro všechna x R plyne, žeα 1 = = α k = 0.

6.3 Postačující podmínky pro nezávislost 6. Lineární nezávislost a báze p. 9/18 funkcí Necht S = {f 1,...,f k } je konečná množina reálných funkcí vektorového prostoru F.S je nezávislá právě tehdy, když z α 1 f 1 (x)+ +α k f k (x) = 0 pro všechna x R plyne, žeα 1 = = α k = 0. Dosadíme-li zaxpostupně různá čísla x 1,...,x k, dostaneme soustavu k lineárních rovnic o k neznámýchα 1,...,α k ve tvaru: α 1 f 1 (x 1 ) +... + α k f k (x 1 ) = 0...... α 1 f 1 (x k ) +... + α k f k (x k ) = 0 Pokud má tato soustava regulární matici, plyne odsud, že α 1 = = α k = 0 as je nezávislá množina.

6.3 Postačující podmínky pro nezávislost 6. Lineární nezávislost a báze p. 10/18 funkcí PŘÍKLAD 5 Rozhodněte, zda jsou mocniny x,x 2 ax 3 lineárně nezávislé.

6. Lineární nezávislost a báze p. 10/18 6.3 Postačující podmínky pro nezávislost funkcí PŘÍKLAD 5 Rozhodněte, zda jsou mocniny x,x 2 ax 3 lineárně nezávislé. ŘEŠENÍ:Zvolíme si body x 1 = 1,x 2 = 2 ax 3 = 3, které postupně dosadíme do funkcíf 1 (x) = x,f 2 (x) = x 2,f 3 (x) = x 3, a vytvoříme soustavu: α 1 + α 2 + α 3 = 0 2α 1 + 4α 2 + 8α 3 = 0 3α 1 + 9α 2 + 27α 3 = 0 Matici této soustavy převedeme na schodový tvar. Dostaneme 1 1 1 2 4 8 3 9 27 2r 1 3r 1 1 1 1 0 2 6 0 6 24 3r 2 1 1 1 0 2 6 0 0 6 Matice soustavy je regulární, takže soustava má jen nulové řešení α 1 = α 2 = α 3 = 0. Funkce x,x 2 a x 3 jsou tedy lineárně nezávislé..

6. Lineární nezávislost a báze p. 11/18 6.4 Báze vektorového prostoru DEFINICE 3 Konečná množina E vektorů vektorového prostoru V je báze vektorového prostoru V, jestliže E je nezávislá. Každý vektor v V lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorůe.

6. Lineární nezávislost a báze p. 11/18 6.4 Báze vektorového prostoru DEFINICE 3 Konečná množina E vektorů vektorového prostoru V je báze vektorového prostoru V, jestliže E je nezávislá. Každý vektor v V lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorůe. Ne každý vektorový prostor má bázi ve smyslu naší definice. Například neexistuje žádná konečná množina reálných funkcí, jejichž lineární kombinací by bylo možno vyjádřit libovolnou reálnou funkci.

6. Lineární nezávislost a báze p. 12/18 6.4 Báze vektorového prostoru PŘÍKLAD 6 Vektory e 1 = [1,0,0],e 2 = [0,1,0],e 3 = [0,0,1] tvoří báziv = R 3. Jakýkoli vektor v = [v 1,v 2,v 3 ] tohoto prostoru lze vyjádřit ve tvaru v = v 1 e 1 +v 2 e 2 +v 3 e 3. BázeE = (e 1,e 2,e 3 ) je zvláštním případem standardní báze R n, která je tvořena řádky či sloupci jednotkové matice I n.

6. Lineární nezávislost a báze p. 12/18 6.4 Báze vektorového prostoru PŘÍKLAD 6 Vektory e 1 = [1,0,0],e 2 = [0,1,0],e 3 = [0,0,1] tvoří báziv = R 3. Jakýkoli vektor v = [v 1,v 2,v 3 ] tohoto prostoru lze vyjádřit ve tvaru v = v 1 e 1 +v 2 e 2 +v 3 e 3. BázeE = (e 1,e 2,e 3 ) je zvláštním případem standardní báze R n, která je tvořena řádky či sloupci jednotkové matice I n. PŘÍKLAD 7 Mnohočleny p 1 (x) = 1 ap 2 (x) = x tvoří bázi vektorového prostoru P 2. Každý mnohočlen p(x) = a 0 +a 1 x lze zapsat ve tvaru p = a 0 p 1 +a 1 p 2. Mnohočleny zde považujeme za reálné funkce definované na celé reálné ose. Necht a 0 p 1 +a 1 p 2 = o, tj. a 0 +a 1 x = 0 pro všechna x. Prox = 0 dostáváme a 0 +a 1 0 = 0, odkud a 0 = 0, a pro x = 1 pak z a 1 1 = 0 dostaneme a 1 = 0, takžep 1 a p 2 jsou nezávislé.

6. Lineární nezávislost a báze p. 13/18 6.5 Souřadnice vektoru DEFINICE 4 Necht E = (e 1,...,e n ) je uspořádaná báze vektorů vektorového prostoru V. Necht v V. Potom čísla v 1,...,v n, pro která platí v = v 1 e 1 + +v n e n, nazýváme souřadnice vektoru v v bázie.

6. Lineární nezávislost a báze p. 13/18 6.5 Souřadnice vektoru DEFINICE 4 Necht E = (e 1,...,e n ) je uspořádaná báze vektorů vektorového prostoru V. Necht v V. Potom čísla v 1,...,v n, pro která platí v = v 1 e 1 + +v n e n, nazýváme souřadnice vektoru v v bázie. VĚTA 2 Necht E = (e 1,...,e n ) je uspořádaná báze vektorového prostoru V a necht x 1,...,x n a y 1,...,y n jsou souřadnice vektoru v V v bázie. Pakx 1 = y 1,...,x n = y n.

6. Lineární nezávislost a báze p. 13/18 6.5 Souřadnice vektoru DEFINICE 4 Necht E = (e 1,...,e n ) je uspořádaná báze vektorů vektorového prostoru V. Necht v V. Potom čísla v 1,...,v n, pro která platí v = v 1 e 1 + +v n e n, nazýváme souřadnice vektoru v v bázie. VĚTA 2 Necht E = (e 1,...,e n ) je uspořádaná báze vektorového prostoru V a necht x 1,...,x n a y 1,...,y n jsou souřadnice vektoru v V v bázie. Pakx 1 = y 1,...,x n = y n. DŮKAZ: Necht E = (e 1,...,e n ) je báze a v = x 1 e 1 + +x n e n = = y 1 e 1 + +y n e n. Pako = v+( 1)v = x 1 e 1 + +x n e n + +( 1)(y 1 e 1 + +y n e n ) = (x 1 y 1 )e 1 + +(x n y n )e n. Jelikož vektory báze jsou nezávislé, plyne odtud x 1 = y 1,...,x n = y n.

6. Lineární nezávislost a báze p. 14/18 6.5 Souřadnice vektoru Souřadnice každého vektoru v V jsou v dané bázie určeny jednoznačně. Budeme je zapisovat také do aritmetického vektoru, který se nazývá souřadnicový vektor a značí se[v] E.

6. Lineární nezávislost a báze p. 14/18 6.5 Souřadnice vektoru Souřadnice každého vektoru v V jsou v dané bázie určeny jednoznačně. Budeme je zapisovat také do aritmetického vektoru, který se nazývá souřadnicový vektor a značí se[v] E. PŘÍKLAD 8 Libovolný aritmetický vektor v = [v 1,v 2,v 3 ] má ve standardní bázie = (e 1,e 2,e 3 ) z příkladu 6 souřadnice v 1,v 2,v 3, nebot [v 1,v 2,v 3 ] = v 1 [1,0,0]+v 2 [0,1,0]+v 3 [0,0,1]. Jeho souřadnicový vektor je[v] E = [v 1,v 2,v 3 ].

6. Lineární nezávislost a báze p. 14/18 6.5 Souřadnice vektoru Souřadnice každého vektoru v V jsou v dané bázie určeny jednoznačně. Budeme je zapisovat také do aritmetického vektoru, který se nazývá souřadnicový vektor a značí se[v] E. PŘÍKLAD 8 Libovolný aritmetický vektor v = [v 1,v 2,v 3 ] má ve standardní bázie = (e 1,e 2,e 3 ) z příkladu 6 souřadnice v 1,v 2,v 3, nebot [v 1,v 2,v 3 ] = v 1 [1,0,0]+v 2 [0,1,0]+v 3 [0,0,1]. Jeho souřadnicový vektor je[v] E = [v 1,v 2,v 3 ]. PŘÍKLAD 9 Mnohočlen p(x) = x+2 má v bázip = (p 1,p 2 ) z příkladu 7, kde p 1 (x) = 1 ap 2 (x) = x, souřadnice 2,1, nebot p(x) = x+2 = 2p 1 (x)+1p 2 (x). Jeho souřadnicový vektor je[p] P = [2,1].

6. Lineární nezávislost a báze p. 15/18 6.6 Použití souřadnic Pomocí souřadnic můžeme převést úlohy s vektory, které lze popsat pomocí lineárních kombinací bázových vektorů daného vektorového prostoru, na úlohy s aritmetickými vektory. K tomu použijeme zobrazení V v [v] E R n

6. Lineární nezávislost a báze p. 15/18 6.6 Použití souřadnic Pomocí souřadnic můžeme převést úlohy s vektory, které lze popsat pomocí lineárních kombinací bázových vektorů daného vektorového prostoru, na úlohy s aritmetickými vektory. K tomu použijeme zobrazení V v [v] E R n LEMMA 1 Pro libovolné vektory u, v V a skalár α platí 1. [u+v] E = [u] E +[v] E 2. [αu] E = α[u] E

6. Lineární nezávislost a báze p. 15/18 6.6 Použití souřadnic Pomocí souřadnic můžeme převést úlohy s vektory, které lze popsat pomocí lineárních kombinací bázových vektorů daného vektorového prostoru, na úlohy s aritmetickými vektory. K tomu použijeme zobrazení V v [v] E R n LEMMA 1 Pro libovolné vektory u, v V a skalár α platí 1. [u+v] E = [u] E +[v] E 2. [αu] E = α[u] E DŮKAZ: Jsou-li u 1,...,u n souřadnice vektoru u a v 1,...,v n souřadnice vektoru v v bázi E = (e 1,...,e n ), tzn.u = u 1 e 1 + +u n e n av = v 1 e 1 + +v n e n, paku+v = u 1 e 1 + +u n e n +v 1 e 1 + +v n e n = = (u 1 +v 1 )e 1 + +(u n +v n )e n aαu = αu 1 e 1 + +αu n e n, odkud [u+v] E = [u] E +[v] E a[αu] E = α[u] E.

6. Lineární nezávislost a báze p. 16/18 6.6 Použití souřadnic Při řešení úloh s lineárními kombinacemi vektorů, například máme-li vyjádřit nějaký vektor jako lineární kombinaci jiných vektorů nebo máme-li rozhodnout, zda je nějaká množina vektorů nezávislá, postupujeme následovně:

6. Lineární nezávislost a báze p. 16/18 6.6 Použití souřadnic Při řešení úloh s lineárními kombinacemi vektorů, například máme-li vyjádřit nějaký vektor jako lineární kombinaci jiných vektorů nebo máme-li rozhodnout, zda je nějaká množina vektorů nezávislá, postupujeme následovně: Zvolíme si takovou bázie daného vektorového prostoru, ve které lze všechny vektory snadno vyjádřit.

6. Lineární nezávislost a báze p. 16/18 6.6 Použití souřadnic Při řešení úloh s lineárními kombinacemi vektorů, například máme-li vyjádřit nějaký vektor jako lineární kombinaci jiných vektorů nebo máme-li rozhodnout, zda je nějaká množina vektorů nezávislá, postupujeme následovně: Zvolíme si takovou bázie daného vektorového prostoru, ve které lze všechny vektory snadno vyjádřit. Najdeme souřadnicové vektory všech vektorů, které se vyskytují v popisu problému.

6. Lineární nezávislost a báze p. 16/18 6.6 Použití souřadnic Při řešení úloh s lineárními kombinacemi vektorů, například máme-li vyjádřit nějaký vektor jako lineární kombinaci jiných vektorů nebo máme-li rozhodnout, zda je nějaká množina vektorů nezávislá, postupujeme následovně: Zvolíme si takovou bázie daného vektorového prostoru, ve které lze všechny vektory snadno vyjádřit. Najdeme souřadnicové vektory všech vektorů, které se vyskytují v popisu problému. Řešíme úlohu, kterou dostaneme z původní úlohy záměnou všech vektorů za souřadnicové vektory.

6. Lineární nezávislost a báze p. 16/18 6.6 Použití souřadnic Při řešení úloh s lineárními kombinacemi vektorů, například máme-li vyjádřit nějaký vektor jako lineární kombinaci jiných vektorů nebo máme-li rozhodnout, zda je nějaká množina vektorů nezávislá, postupujeme následovně: Zvolíme si takovou bázie daného vektorového prostoru, ve které lze všechny vektory snadno vyjádřit. Najdeme souřadnicové vektory všech vektorů, které se vyskytují v popisu problému. Řešíme úlohu, kterou dostaneme z původní úlohy záměnou všech vektorů za souřadnicové vektory. Postup ovšem předpokládá, že máme k dispozici vhodnou bázi, což nemusí být vždycky splněno.

6. Lineární nezávislost a báze p. 17/18 6.6 Použití souřadnic PŘÍKLAD 10 Najděte souřadnice mnohočlenup(x) = x 2 1 v bázi P = (p 1,p 2,p 3 ), kde p 1 (x) = 1,p 2 (x) = x+1,p 3 (x) = x 2 +x+1. ŘEŠENÍ:

6. Lineární nezávislost a báze p. 17/18 6.6 Použití souřadnic PŘÍKLAD 10 Najděte souřadnice mnohočlenup(x) = x 2 1 v bázi P = (p 1,p 2,p 3 ), kde p 1 (x) = 1,p 2 (x) = x+1,p 3 (x) = x 2 +x+1. ŘEŠENÍ: Zvolíme si bázi E = (e 1,e 2,e 3 ), kde e 1 (x) = 1,e 2 (x) = x,e 3 (x) = x 2.

6. Lineární nezávislost a báze p. 17/18 6.6 Použití souřadnic PŘÍKLAD 10 Najděte souřadnice mnohočlenup(x) = x 2 1 v bázi P = (p 1,p 2,p 3 ), kde p 1 (x) = 1,p 2 (x) = x+1,p 3 (x) = x 2 +x+1. ŘEŠENÍ: Zvolíme si bázi E = (e 1,e 2,e 3 ), kde e 1 (x) = 1,e 2 (x) = x,e 3 (x) = x 2. Najdeme souřadnice vektorů p,p 1,p 2,p 3 v bázi E.

6. Lineární nezávislost a báze p. 17/18 6.6 Použití souřadnic PŘÍKLAD 10 Najděte souřadnice mnohočlenup(x) = x 2 1 v bázi P = (p 1,p 2,p 3 ), kde p 1 (x) = 1,p 2 (x) = x+1,p 3 (x) = x 2 +x+1. ŘEŠENÍ: Zvolíme si bázi E = (e 1,e 2,e 3 ), kde e 1 (x) = 1,e 2 (x) = x,e 3 (x) = x 2. Najdeme souřadnice vektorů p,p 1,p 2,p 3 v bázi E. Dostaneme [p] E = [ 1,0,1],[p 1 ] E = [1,0,0],[p 2 ] E = [1,1,0],[p 3 ] E = [1,1,1].

6. Lineární nezávislost a báze p. 17/18 6.6 Použití souřadnic PŘÍKLAD 10 Najděte souřadnice mnohočlenup(x) = x 2 1 v bázi P = (p 1,p 2,p 3 ), kde p 1 (x) = 1,p 2 (x) = x+1,p 3 (x) = x 2 +x+1. ŘEŠENÍ: Zvolíme si bázi E = (e 1,e 2,e 3 ), kde e 1 (x) = 1,e 2 (x) = x,e 3 (x) = x 2. Najdeme souřadnice vektorů p,p 1,p 2,p 3 v bázi E. Dostaneme [p] E = [ 1,0,1],[p 1 ] E = [1,0,0],[p 2 ] E = [1,1,0],[p 3 ] E = [1,1,1]. Řešíme soustavu[p] E = α 1 [p 1 ] E +α 2 [p 2 ] E +α 3 [p 3 ] E.

6. Lineární nezávislost a báze p. 17/18 6.6 Použití souřadnic PŘÍKLAD 10 Najděte souřadnice mnohočlenup(x) = x 2 1 v bázi P = (p 1,p 2,p 3 ), kde p 1 (x) = 1,p 2 (x) = x+1,p 3 (x) = x 2 +x+1. ŘEŠENÍ: Zvolíme si bázi E = (e 1,e 2,e 3 ), kde e 1 (x) = 1,e 2 (x) = x,e 3 (x) = x 2. Najdeme souřadnice vektorů p,p 1,p 2,p 3 v bázi E. Dostaneme [p] E = [ 1,0,1],[p 1 ] E = [1,0,0],[p 2 ] E = [1,1,0],[p 3 ] E = [1,1,1]. Řešíme soustavu[p] E = α 1 [p 1 ] E +α 2 [p 2 ] E +α 3 [p 3 ] E. Rozepsáním této rovnice po složkách dostaneme soustavu 1 = α 1 + α 2 + α 3 0 = α 2 + α 3 1 = α 3 která má řešení α 1 = 1,α 2 = 1,α 3 = 1.

6. Lineární nezávislost a báze p. 17/18 6.6 Použití souřadnic PŘÍKLAD 10 Najděte souřadnice mnohočlenup(x) = x 2 1 v bázi P = (p 1,p 2,p 3 ), kde p 1 (x) = 1,p 2 (x) = x+1,p 3 (x) = x 2 +x+1. ŘEŠENÍ: Zvolíme si bázi E = (e 1,e 2,e 3 ), kde e 1 (x) = 1,e 2 (x) = x,e 3 (x) = x 2. Najdeme souřadnice vektorů p,p 1,p 2,p 3 v bázi E. Dostaneme [p] E = [ 1,0,1],[p 1 ] E = [1,0,0],[p 2 ] E = [1,1,0],[p 3 ] E = [1,1,1]. Řešíme soustavu[p] E = α 1 [p 1 ] E +α 2 [p 2 ] E +α 3 [p 3 ] E. Rozepsáním této rovnice po složkách dostaneme soustavu 1 = α 1 + α 2 + α 3 0 = α 2 + α 3 1 = α 3 která má řešení α 1 = 1,α 2 = 1,α 3 = 1. Snadno ověříme, že opravdu platí p = p 1 p 2 +p 3.

6. Lineární nezávislost a báze p. 18/18 6.6 Použití souřadnic PŘÍKLAD 11 Rozhodněte, zda jsou mnohočleny p 1 (x) = x 2 +x+1, p 2 (x) = x 2 +2x+1,p 3 (x) = x 2 +x+2závislé nebo nezávislé. ŘEŠENÍ:

6. Lineární nezávislost a báze p. 18/18 6.6 Použití souřadnic PŘÍKLAD 11 Rozhodněte, zda jsou mnohočleny p 1 (x) = x 2 +x+1, p 2 (x) = x 2 +2x+1,p 3 (x) = x 2 +x+2závislé nebo nezávislé. ŘEŠENÍ: Zvolíme si bázi E = (e 1,e 2,e 3 ), kde e 1 (x) = 1,e 2 (x) = x,e 3 (x) = x 2.

6. Lineární nezávislost a báze p. 18/18 6.6 Použití souřadnic PŘÍKLAD 11 Rozhodněte, zda jsou mnohočleny p 1 (x) = x 2 +x+1, p 2 (x) = x 2 +2x+1,p 3 (x) = x 2 +x+2závislé nebo nezávislé. ŘEŠENÍ: Zvolíme si bázi E = (e 1,e 2,e 3 ), kde e 1 (x) = 1,e 2 (x) = x,e 3 (x) = x 2. Najdeme souřadnice vektorů p,p 1,p 2,p 3 v bázi E.

6. Lineární nezávislost a báze p. 18/18 6.6 Použití souřadnic PŘÍKLAD 11 Rozhodněte, zda jsou mnohočleny p 1 (x) = x 2 +x+1, p 2 (x) = x 2 +2x+1,p 3 (x) = x 2 +x+2závislé nebo nezávislé. ŘEŠENÍ: Zvolíme si bázi E = (e 1,e 2,e 3 ), kde e 1 (x) = 1,e 2 (x) = x,e 3 (x) = x 2. Najdeme souřadnice vektorů p,p 1,p 2,p 3 v bázi E. Dostaneme [p 1 ] E = [1,1,1],[p 2 ] E = [1,2,1],[p 3 ] E = [2,1,1].

6. Lineární nezávislost a báze p. 18/18 6.6 Použití souřadnic PŘÍKLAD 11 Rozhodněte, zda jsou mnohočleny p 1 (x) = x 2 +x+1, p 2 (x) = x 2 +2x+1,p 3 (x) = x 2 +x+2závislé nebo nezávislé. ŘEŠENÍ: Zvolíme si bázi E = (e 1,e 2,e 3 ), kde e 1 (x) = 1,e 2 (x) = x,e 3 (x) = x 2. Najdeme souřadnice vektorů p,p 1,p 2,p 3 v bázi E. Dostaneme [p 1 ] E = [1,1,1],[p 2 ] E = [1,2,1],[p 3 ] E = [2,1,1]. Řešíme soustavuα 1 [p 1 ] E +α 2 [p 2 ] E +α 3 [p 3 ] E = o.

6. Lineární nezávislost a báze p. 18/18 6.6 Použití souřadnic PŘÍKLAD 11 Rozhodněte, zda jsou mnohočleny p 1 (x) = x 2 +x+1, p 2 (x) = x 2 +2x+1,p 3 (x) = x 2 +x+2závislé nebo nezávislé. ŘEŠENÍ: Zvolíme si bázi E = (e 1,e 2,e 3 ), kde e 1 (x) = 1,e 2 (x) = x,e 3 (x) = x 2. Najdeme souřadnice vektorů p,p 1,p 2,p 3 v bázi E. Dostaneme [p 1 ] E = [1,1,1],[p 2 ] E = [1,2,1],[p 3 ] E = [2,1,1]. Řešíme soustavuα 1 [p 1 ] E +α 2 [p 2 ] E +α 3 [p 3 ] E = o. Rozepsáním po složkách dostaneme soustavu: α 1 + α 2 + 2α 3 = 0 α 1 + 2α 2 + α 3 = 0 α 1 + α 2 + α 3 = 0

6.6 Použití souřadnic PŘÍKLAD 11 Rozhodněte, zda jsou mnohočleny p 1 (x) = x 2 +x+1, p 2 (x) = x 2 +2x+1,p 3 (x) = x 2 +x+2závislé nebo nezávislé. ŘEŠENÍ: Zvolíme si bázi E = (e 1,e 2,e 3 ), kde e 1 (x) = 1,e 2 (x) = x,e 3 (x) = x 2. Najdeme souřadnice vektorů p,p 1,p 2,p 3 v bázi E. Dostaneme [p 1 ] E = [1,1,1],[p 2 ] E = [1,2,1],[p 3 ] E = [2,1,1]. Řešíme soustavuα 1 [p 1 ] E +α 2 [p 2 ] E +α 3 [p 3 ] E = o. Rozepsáním po složkách dostaneme soustavu: α 1 + α 2 + 2α 3 = 0 α 1 + 2α 2 + α 3 = 0 α 1 + α 2 + α 3 = 0 [ 1 1 2 0 1 2 1 0 1 1 1 0 ] [ 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 Řešíme: r 1. r 1 Odtud vidíme, že soustava má jediné řešení α 1 = 0,α 2 = 0,α 3 = 0. Mnohočleny p 1,p 2,p 3 jsou tedy lineárně nezávislé. ] 6. Lineární nezávislost a báze p. 18/18