FOUIEOVA ANALÝZA- ZÁPISKY Z PŘEDNÁŠEK JAN MALÝ Obsah 1. Fourierovy řady klasika 1 2. Fourierovy řady v Hilbertově prostoru 3 3. Sčítání Fourierových řad 4 4. Distribuce 6 5. Distribuce jako funkcionály* 9 6. Fourierova transformace v L 1 10 7. Fourierova transformace distribucí 11 8. Dodatky k Fourierově transformaci* 12 9. Počítání Fourierových transformací 14 1. Fourierovy řady klasika 1.1. Periodické funkce. Řekneme, že funkce f : C má periodu p 0, jestliže f(x + p) = f(x) pro všechna x. Funkce sin x, cos x, sin nx (n Z) apod. mají periodu. Pro funkce sin 2x, sin 3x,... číslo není nejmenší perioda, ale je to perioda. Součet funkcí s periodou je funkce s periodou, platí samozřejmě i pro součty nekonečných řad. Tématem této partie bude otázka, které funkce se dají napsat ve tvaru tzv. trigonometrické řady ( (1) f(x) = c 0 + ak cos kx + b k sin kx ), c 0, a 1, a 2,..., b 1, b 2, C. Každá taková funkce musí mít periodu, tudíž stačí studovat chování na intervalu ( π, π. 1.2. Komplexní tvar trigonometrické řady. Řadu (1) si můžeme přepsat do tvaru (2) f(x) = c k e ikx, kde c 0 zůstává a Inverzní vzorec je c k = a k ib k 2 k=, c k = a k + ib k, k N. 2 a k = c k + c k, b k = i(c k c k ), k = 1, 2,.... Komplexní tvar se hůř predstaví, ale snáze se s ním počítá. 1.3. Lebesgueovy prostory. Nechť J je interval a p 1. Symbolem L p (J) budeme značit množinu všech lokálně integrovatelných funkcí f : J C takových, že ( 1/p f p := f(x) dx) p <. J Řekneme, že řada funkcí k f k konverguje k funkci f v prostoru L p (J), jestliže lim n s n f p = 0, kde s n je n-tý částečný součet řady. Např. s n = f 1 + + f n pro f k a s n = f n + + f n pro řadu k= f k. 1
1.4. Skalární součin. Skalární součin funkcí f, g L 2 (J) definujeme jako (f, g) := f(x)g(x) dx. J Symbol ḡ značí komplexně sdruženou funkci. Pro reálnou verzi prostoru L 2 je přechod ke komplexně sdružené funkci irelevantní. Skalární součin splňuje pravidla (pro f, g, h L 2 (J)) (1) (f, g) = (g, f), (2) (λf, g) = λ(f, g), (3) (f + g, h) = (f, h) + (g, h), (4) f 0 na množině kladné míry = (f, f) > 0. Všimněme si, že f 2 = (f, f) 1/2. Řekneme, že funkce f, g jsou navzájem kolmé (na J), jestliže (3) f(x)g(x) dx = 0. J Primárně je tento termín šit na míru prostoru L 2, dá se však použít i v jiných situacích, kdy integrál v (3) konverguje. Pokud funkce jsou navzájem kolmé, pak jsou lineárně nezávislé. Lineární nezávislost funkcí f 1,..., f k L 2 (J) znamená, že pro čísla c 1,..., c k C platí k c k f k = 0 skoro všude = c 1 = c 2 = = c k = 0. j=1 1.5. Lemma (o kolmosti goniometrických funkcí). Funkce e ikx, k Z, jsou navzájem kolmé. 1.6. Fourierova řada. Předpokládejme, že funkce f L 1 (( π, π ) se dá zapsat ve tvaru (2) a řada konverguje v prostoru L 1. Vynásobme řadu zprava funkcí e imx a integrujme přes ( π, π. Dostaneme π π π f(x)e imx dx = c k e ikx e imx dx = c k e ikx e imx dx π = π k= π π c k e imx e imx dx = c m, k= neboť členy s k m se vykolmí. Odtud je vidět, že abychom měli šanci na rozvoj (2), koeficienty by měly mít tvar (4) c m = 1 π π f(x)e imx dx Má-li trigonometrická řada koeficienty získané podle vzorce (4) z funkce f, nazývá se Fourierovou řadou funkce f. eálný tvar Fourierovy řady je (5) kde (6) a k = 1 π b k = 1 π a 0 2 + ( ak cos kx + b k sin kx ), π π π π π f(x) cos kx dx, k = 0, 1, 2,..., f(x) sin kx dx, k = 1, 2,.... Ve srovnání s (1) používáme tradiční značení a 0 /2 místo c 0, což je motivováno postřehem, že funkce 1 je mezním případem funkce cos kx pro k = 0 v (6). 1.7. Lemma (iemann Lebesgue). Nechť J je interval a f L 1 (J). Potom f(x)e ikx dx = 0. lim k ± J 1.8. Poznámka. Lemma platí i pro interval J nekonečné délky a k necelé. Pro Fourierovy řady znamená mj. že Fourierovy koeficienty funkce z L 1 (( π, π ) jdou vždy k nule. 2
1.9. Jednostranné limity. Značíme f(x+) := lim t x+ f(t), f(x ) := lim f(t). t x Připomeňme, že každá monotonní funkce má jednostranné limity. 1.10. Věta (Dirichlet Jordan). Nechť f : je -periodická, omezená a po částech monotonní. Potom Fourierova řada funkce f konverguje. Její součet je f(x) v bodech spojitosti funkce f a v bodech nespojitosti funkce f. 1( ) f(x+) + f(x ) 2 1.11. Věta (O derivování). Nechť f : je -periodická, spojitá a f existuje na ( π, π) až na konečnou množinu. Jestliže f je integrovatelná na ( π.π), pak pro Fourierovy koeficienty a k, b k, c k funkce f a Fourierovy koeficienty a k, b k, c k funkce f platí b k = ka k, a k = kb k, c k = ikc k. Tedy Fourierova řada funkce f vznikne z Fourierovy řady funkce f formálním derivováním člen po členu. 1.12. Poznámka. Je velký rozdíl mezi třídou funkcí, pro které Fourierova řada konverguje a třídou funkcí, pro které má smysl. Existují i spojité funkce, pro které Fourierova řada někde diverguje (avšak množina bodů divergence musí mít v takovém případě míru nula). Větu o konvergenci Fourierovy řady skoro všude (platí pro funkce z L 2 (( π, π )) je velmi těžké dokázat. Ne každá trigonometrická řada je automaticky Fourierovou řadou svého součtu, platí však následující věta. 1.13. Věta. Nechť trigonometrická řada (1) konverguje skoro všude k funkci f a k (a2 k + b2 k ) < +. Potom je to už Fourierova řada funkce f, tj. pro koeficienty platí vzorce (6). 2. Fourierovy řady v Hilbertově prostoru 2.1. Hilbertův prostor. Nekonečně rozměrnou analogií eukleidovského prostoru je tzv. Hilbertův prostor. Hilbertův prostor je unitární prostor H, který je úplný, to znamená, že každá Cauchyovská posloupnost je konvergentní. Hilbertův prostor se vyznačuje tím, že v něm můžeme najít ortonormální systém (tj. systém navzájem kolmých jednotkových vektorů), která tvoří bázi vzhledem k nekonečným součtům. Připomeňme, že prvek u se pokládá za součet řadu k u k prvků H (jako v každém NLP), jestliže částečné součty konvergují k u v normě. Skalární součin prvků u a v v Hilbertově prostoru se značí (u, v). Pro účely Fourierových řad je praktické uvažovat Hilbertův prostor nad tělesem komplexních čísel. Tato změna nepřináší příliš mnoho nepříjemností, jen hlavně je třeba si dát pozor na asymetrii (v, u) = (u, v). Řekneme, že Hilbertův prostor H je separabilní, jestliže v něm existuje spočetná množina S, jejíž uzávěr je H. Hilbertovy prostory, s nimiž se člověk setkává v praxi, jsou zpravidla separabilní. V separabilním Hilbertově prostoru je každý ortonormální systém spočetný a dá se tedy uspořádat do posloupnosti. 2.2. Ortogonalizace. Každou posloupnost vektorů unitárního prostoru lze opravit na ortonormální tzv. Gram Schmidtovou ortogonalizací. Nejprve odstraníme členy posloupnosti, které jsou lineárními kombinacemi předchozích, a tak dostaneme posloupnost lineárně nezávislých vektorů. Pokud už členy posloupnosti {u n } jsou navzájem lineárně nezávislé, přiřazujeme postupně e n podle předpisu kde Posloupnost {e n } už je ortonormální a u n+1 = u n+1 e n+1 = u n+1 u n+1, n (u n+1, e n ) e n. Lin(e 1..., e n ) = Lin(u 1,..., u n ), n N. 3
2.3. Věta (iesz-fischer). Nechť {e k } je ortonormální systém v Hilbertově prostoru H a {c k } je posloupnost komplexních čísel. Jestliže c k 2 <, potom c k e k konverguje v H. 2.4. Úplný ortonormální systém. Ortonormální systém {e k } k v (separabilním) Hilbertově prostoru se nazývá úplný, jestliže už k němu není možné doplnit další ortonormální prvek. 2.5. Abstraktní Fourierova řada. Nechť {e k } k je úplný ortonormální systém v (separabilním) Hilbertově prostoru H. Fourierovy koeficienty prvku u H jsou čísla Řada se nazývá abstraktní Fourierova řada prvku u. û k := (u, e k ) û k e k k 2.6. Věta. V každém separabilním Hilbertově prostoru existuje (spočetný) úplný ortonormální systém. 2.7. Věta. Nechť {e k } k je úplný ortonormální systém. Potom (a) (ozvoj do abstraktní Fourierovy řady) pro každý prvek u H je u = k û k e k, (b) pro každé dva prvky u, v H je (u, v) = k û kˆv k. (c) (Parsevalova rovnost) pro každý prvek u H je u 2 = k û k 2 2.8. Aplikace. Pomocí ortogonalizace se dají konstruovat úplné ortonormální posloupnosti v Hilbertových prostorech funkcí a studovat rozvoje funkcí do řad. Pro různé výpočty mají uplatnění např. Legendrovy či Hermitovy polynomy, o nichž je možné se dočíst v literatuře. Zde se omezíme na klasické Fourierovy řady. Prostor L 2 (( π, π ), kde rovnost prvků je chápána jako rovnost funkcí skoro všude, je Hilbertův prostor. Funkce e k = 1 e ikt, k Z tvoří úplný ortonormální systém v prostoru L 2 (( π, π ), a tak věta 2.7 doplňuje informace a dává nový pohled na klasické Fourierovy řady. 3. Sčítání Fourierových řad Najít Fourierovu řadu k dané funkci je rutinní úlohou vedoucí na použití vzorců (6). Těžší je najít součet dané Fourierovy řady. K tomu je užitečné uvědomit si souvislost mezi Fourierovou řadou a zobecněnými mocninnými řadami. Máme-li sečíst Fourierovu řadu c k e ikt k= v bodě t, je vhodné provést substituci z = e it a tím řada přechází na (7) c k z k k= Málokdy se nám poštěstí, aby řada (7) byla Laurentovou řadou holomorfní funkce. Častěji se hodí přepis z k = z k (z je komplexní jednotka!). Tím problém převedeme na nalezení součtu Taylorovy řady. 4
3.1. Příklad. Uvažujme funkci k+1 sin kt f(t) = ( 1) = Im ( 1) k Po substituci z = e it máme takže pro t ( π, π) je Součtem řady f(arg z) = Im ( 1) k+1 zk k+1 eikt k. k = Im ln(1 + z) = arg(1 + z) = 1 2 arg z, f(t) = t 2. k+1 sin kt ( 1) k je tedy pilovitá -periodická funkce na, která splývá s t/2 na intervalu ( π, π). V lichých násobcích π je součet nula, jak se snadno přesvědčíme přímým dosazením. 3.2. Příklad. Uvažujme funkci Po substituci z = e it máme kde f(t) = Zde asi součet řady neuhodneme. Máme g (z) = zg (z) = sin kt k 2 = Im ( 1) f(arg z) = Im g(z), g(z) = z k 1 k, z k k z k k 2. k+1 eikt = ln(1 z), g ln(1 z) (z) =, z Vyřešení příkladu brání problém s hledáním primitivní funkce. 3.3. Příklad. Uvažujme funkci f(t) = k cos kt ( 1) k 2. Kdybychom převáděli na z = e it, setkali bychom se s podobným problémem jako výše v příkladu 3.2. Zderivováním řady člen po členu dostaneme f k+1 sin kt (t) = ( 1) = t, t ( π, π), k 2 (převedli jsme na příklad 3.1), tedy f(t) = 1 4 t2 + C. Máme 0 = a 0 2 = 1 π ( 1 π 4 t2 + C) dt = 1 π Odtud C = 1 12 π2 a π f(t) = 1 4 t2 1 12 π2. 5 0 k 2. ( 1 4 t2 + C) dt = 1 ( π 3 ) π 12 + Cπ.
3.4. Příklad. Uvažujme funkci Zderivováním dostaneme f(t) = f (t) = k=0 k=0 cos (2k + 1)t (2k + 1) 2. sin (2k + 1)t. 2k + 1 Substitucí z = e it převedeme na nalezení imaginární části z 2k+1 g(z) = 2k + 1 = 1 2 ln 1 + z 1 z. Máme f (t) = Im g(e it ) = 1 2 a podobně Je tedy Máme Odtud C = 1 8 π2 a k=0 1 + eit arg 1 e it = 1 ( arg e it arg( e it ) ) = 1 4 4 (t (t π)) = π, t (0, π) 4 f (t) = Im g(e it ) = π, t ( π, 0) 4 f(t) = π t + C. 4 0 = a 0 2 = 1 π ( π ) π 4 t + C dt = 1 π π 0 f(t) = π2 8 π t 4. 4. Distribuce ( π ) 4 t + C dt = 1 ) ( π3 π 8 + Cπ. 4.1. Motivace. Každá rozumná veličina reálné proměnné je charakterizovaná svým rozdělením, které udává její úhrn přes intervaly. Veličiny se většinou modelují jako funkce, pokud f : J C je integrovatelná funkce a L J je interval, úhrn veličiny f přes L je f(x) dx, zatímco funkce f samotná L je její hustota. Umíme si však také představit takovou veličinu δ 0, jejíž úhrn přes interval L by byl jedna pokud L obsahuje počátek a nula jinak. Taková veličina by byla mezní případ, limita pro j posloupnosti veličin s hustotami f j, třeba { j, x (0, 1 j (8) f j (x) = ), 0 jinak. Veličina δ 0 je koncentrovaná v bodě 0, podobně bychom zavedli veličinu δ a o celkovém úhrnu 1 koncentrovanou v obecn0m bodě a. Veličiny jako δ a a jejich lineární kombinace se nazývají diskrétními veličinami (přesnou definici uvedeme níže). Abychom dali takovým pojmům přesný matematický význam a zároveň jednotný rámec, který by zahrnul pod jednou střechou funkce a diskrétní veličiny, definujeme distribuce. Přínos distribucí bude dvojí. Distribuce dávají jednotící pohled na veličiny s hustotou a koncentrované veličiny. Pokud by nám šlo jen o to, stačilo by zavést tzv. komplexní míry. Míry jsou objekty vhodné k modelování fyzikálních veličin které se mohou (ale nemusí) koncentrovat do množin Lebesgueovy míry nula (např. idealizovaná hmotnost). Teorie distribucí nám však také umožňuje vytvářet nové objekty formálním derivováním starých objektů, Formálnost derivování je míněna tak, že nepožadujeme, aby derivace existovala v klasickém smyslu. Možnost bezmezného derivování je velmi užitečná pro teorii Fourierovy transformace. Distribuce, přesněji temperované distribuce, jsou objekty, které zahrnují integrovatelné funkce, lze je sčítat, násobit polynomy a (bez omezení) derivovat. Vzniknou z integrovatelných funkcí tak, že kopii množiny integrovatelných funkcí rozšíříme o další objekty tak, abychom mohli bez omezení provádět požadované operace. Podobně vznikají např. racionální čísla z celých, chceme-li bezmezně dělit (až na dělení nulou). 6
4.2. Neurčitý integrál. Pro pohodlí zde zopakujeme pár pojmů z teorie integrálu. Mějme funkci f definovanou na intervalu I. Řekneme, že f je lokálně integrovatelná na I, jestliže f je integrovatelná na každém intervalu a, b I. (Např. funkce f(x) = 1/x je lokálně integrovatelná na intervalu (0, 1), ale není na něm integrovatelná.) Nechť f je lokálně integrovatelná funkce na I. Funkce F : I C se nazývá neurčitý integrál funkce f, jestliže F (b) F (a) = b a f(x) dx pro každý interval a, b I. Pokud F je neurčitý integrál funkce f na I, potom funkce f + C, kde C je konstanta, jsou také neurčité integrály a žádné jiné neurčité integrály funkce f na I nemá. Neurčitý integrál je něco jako primitivní funkce, ale na rozdíl od primitivní funkce je odvozen od jiného druhu integrálu (Lebesgueova místo Newtonova). Neurčitý integrál funkce f značíme f (bez udání mezí). Je-li f integrovatelná funkce na a p je polynom, potom součin pf je lokálně integrovatelná funkce a jeho neurčitý integrál je také tvaru integrovatelná funkce krát polynom (to není zřejmé, ale důkaz není těžký). 4.3. Distribuce. Distribuce (přesněji, temperované distribuce) jsou objekty tvaru S = S (k) g, kde g je funkce a k (řád distribuce) je nula nebo přirozené číslo. Navíc požadujeme, abychom mohli g napsat ve tvaru součinu pf, kde f je integrovatelná funkce a p je polynom. ovnost distribucí se řídí složitými pravidly, s nimiž se seznámíme postupně. Píšeme také Distribuce S g se dá ztotožnit s funkcí g. S g = S (0) g, S g = S (1) g, S g = S (2) g,.... 4.4. Poznámka. Našim distribucím se v literatuře říká temperované distribuce, zatímco distribuce bez přívlastku se definují trochu jinak (těmi se zde nebudeme zabývat). I temperované distribuce se většinou definují jiným způsobem, ale ten vede ke stejnému objektu. 4.5. Derivování a integrování distribucí. Derivování distribucí se řídí vzorcem (S g (k) ) = S g (k+1). Řád distribuce tedy uvádí, kolikrát uvažujeme funkci g zderivovanou. Neurčitý integrál distribuce S = S g (k) je distribuce S = S g (k) := S (k) g S (k) G, kde G je neurčitý integrál funkce g. 4.6. Změna řádu zápisu. U distribuce S můžeme zvýšit řád zápisu podle vzorce S = (S) U některých distribucí lze řád i snížit obráceným postupem, např. S k G = S (k 1) g, pokud funkce G je neurčitým integrálem funkce g, zhruba řečeno, S (k) G řadu je analogické s rozšiřováním a krácením zlomku: = S(k 1) G. Snižování a zvyšování rozšiřování a krácení nemění hodnotu zlomku, rozšířit lze vždy, krátit jen někdy, rozšíření a krácení zlomků je užitečné k převedení více zlomků na společného jmenovatele. 4.7. Sčítání a odčítání distribucí. Distribuce tvoří lineární prostor. Je-li c konstanta, definujeme cs g (k) = S cg (k). Abychom mohli sčítat nebo odčítat, potřebujeme distribuce nejdříve převést na společný řád pomocí metod zvyšování a snižování řádu (podobně jako zlomky převádíme na společného jmenovatele). Potom můžeme sčítat a odčítat podle vzorců S (k) f + S (k) g = S (k) f+g, 7 S(k) f S (k) g = S (k) f g.
4.8. Porovnávání distribucí. Nyní, když umíme odečítat distribuce, můžeme převést porovnávání distribucí na porovnání s nulou. Řekneme tedy, že distribuce S = S g (k) je nulová a píšeme S = 0, jestliže lze S postupným snižováním řádu převést až na distribuci S 0. To nastane právě tehdy, když g je (ve smyslu rovnosti s.v.) polynom stupně nejvýše k 1. Řekneme, že distribuce S a T jsou si rovny, píšeme S = T, když S T je nulová distribuce. ovnost distribucí nultého řádu je rovnost funkcí (ve smyslu s.v.), tedy S f = S g, právě když f = g s.v. 4.9. Násobení polynomem. V dalším budeme symbolem x značit identickou funkci x x. Nechť S je distribuce. Potom součin xs definujeme tak, aby platil obvyklý vzorec pro derivaci součinu z něhož indukcí snadno dostaneme (xs) = xs + S, (9) (xs) k = xs (k) + ks (k 1). Pro distribuci nultého řádu zavádíme xs g = S xg. Pro distribuci k-tého řádu, k 1, definujeme ve shodě s (9) (10) xs (k) g = (xs g ) (k) ks (k 1) g. Iterováním vzorce dostaneme možnost násobit funkcemi x 2, x 3,..., např. x 2 S = x(xs). Protože takovéto násobky můženme ještě sčítat, máme možnost násobit distribuce polynomy. 4.10. Obecné násobení. Distribuce jsou definovány tak, aby je bylo možno neomezeně derivovat. Zato platíme daň tím, že ztrácíme možnost násobit distribuci funkcí (výjimku tvoří násobení polynomem, které jsme definovali výše), tím spíš není obecně možné násobit distribuce mezi sebou. V některých speciálních případech je násobení možné, ale to dokáže posoudit jen odborník. 4.11. Příklady. Každá omezená spojitá funkce f odpovídá distribuci nultého řádu, protože f = (1 + x 2 )(1 + x 2 ) 1 f a funkce (1 + x 2 ) 1 f je integrovatelná. Podobně každá funkce f L 2 odpovídá distribuci nultého řádu, neboť podle tzv. Cauchyovy nerovnosti je pro každou g L 2 ( ) 1/2 ( 1/2. f(x)g(x) dx f(x) 2 dx g(x) dx) 2 Tedy opět (1 + x 2 ) 1 f je integrovatelná. 4.12. Diracova distribuce. Nechť a. Diracovu distribuci δ a (v bodě a) definujeme jako distributivní derivaci Heavisideovy funkce { (11) δ a = H a, 1, x a, H a (x) = 0, x < a. Konečným (ale i rozumným spočetným ) lineárním kombinacím Diracových distribucí se říká diskrétní distribuce. Diracovu distribuci v 0 také dostaneme jako distributivní derivaci funkce 1 2 sgn, neboť ta se od H 0 liší (až na množinu míry nula) jen o konstantu. Diracovu distribuci také můžeme vyjádřit jako distribuci druhého řádu δ a = 1 2 S x a 4.13. Věta. Distribuce S řeší rovnici (x a)s = 0, právě když exizstuje C C tak, že S = Cδ a. 8
4.14. Příklad. Řešme rovnici (12) xs = 1 v distribucích. Výsledek by měl být něco jako funkce 1/x, ale funkce 1/x není lokálně integrovatelná. Distribuci x 1 definujeme jako S ln x. Jelikož S 1+ln x = S x ln x, máme podle (10) xs ln x = (xs ln x ) S ln x = (S x ln x ) S ln x = S 1, tedy distribuce x 1 řeší rovnici (12). Další řešení dostaneme připočítáním násobku Diracovy distribuce δ 0 a podle věty 4.13 víc možností řešení už není. 4.15. Poznámka. Teorii temperovaných distribucí lze bez problémů převést do n, pouze namísto jednoho operátoru derivování máme n operátorů x i, i = 1,..., n, a namísto namísto jednoho operátoru x-násobení máme n operátorů x i, i = 1,..., n, tedy x i f je funkce x x i f(x). 5. Distribuce jako funkcionály* 5.1. Testovací funkce. Řekneme, že ϕ : C je rychle klesající funkce, jestliže ϕ je spojitá a součin x m ϕ je omezený pro každý stupeň mocniny m {0, 1, 2,... }. Řekneme, že ϕ : C je testovací funkce, jestliže ϕ je nekonečně diferencovatelná a jak ϕ, tak všechny její derivace jsou ruchle klesající. Množina všech testovacích funkcí se nazývá Schwartzův prostor a značí S. Např. funkce e x2 leží v S. Množinu všech (temperovaných) distribucí budeme v dalším značit tradičně S. (Zde čárka nemá nic společného s derivováním, ve funkcionální analýze označuje duální prostor). 5.2. Párování. Funkcím, které se dají napsat ve tvaru součinu g = pf, kde p je polynom a f integrovatelná funkce, budeme v dalším říkat funkce pomalu rostoucí v integrálu. Nechť g : C je funkce pomalu rostoucí v integrálu a k = 1, 2,.... Distribuci S = Sg k můžeme ztotožnit s funkcionálem na S (funkcionál je zobrazení na prostoru funkcí s hodnotami v reálných nebo komplexních číslech), který budeme psát ve tvaru S, : ϕ S, ϕ, ϕ S. Výraz S, ϕ můžeme také chápat jako bilineární formu, : S S C, té budeme říkat párování (z anglického duality pairing ). Definujeme tedy S g, ϕ = fϕ, S g, ϕ = fϕ, (13) S g, ϕ = fϕ,... S g (k), ϕ = ( 1) k fϕ (k),... ovnost distribucí podle 4.8 přesně odpovídá rovnosti odpovídajících funkcionálů: S = T S, = T,. Např. výrazy S 2 = S 2x = S 2x+1 = S x 2 jsou různá vyjádření stejné distribuce, ale nastává mezi nimi rovnost jak ve smyslu odstavce 4.8, tak ve smyslu funkcionálů. 5.3. Diracova distribuce. Nechť a. Diracova distribuce δ a se páruje pomocí vzorce (14) δ a, ϕ = ϕ(a), ϕ S. 5.4. Operace s distribucemi. Je-li S S, platí vzorce (15) S, ϕ = S, ϕ, ϕ S, (16) xs, ϕ = S, xϕ, ϕ S. 9
Vzorce (15) a (16) můžeme iterovat. Je-li p polynom, dostaneme iterováním vzorce (16) (17) ps, ϕ = S, pϕ. Podobně iterování vzorce (15) dostaneme vzorec pro k-tou derivaci (18) S (k), ϕ = ( 1) k S, ϕ (k). Vzorce (15), (18) jsou evidentním zobecněním formule pro integrování per partes. 5.5. Poznámka. V literatuře se temperované distribuce definují jako spojité funkcionály na S. Pojem spojitosti funkcionálu je ovšem dost složitý. Kompromisní řešení by byla definice distribucí jako vyjmenovaných funkcionálů na S, tj. funkcionálů tvaru S k g,, kde g je funkce pomalu rostoucí v integrálu a a k je řád derivování. 5.6. Poznámka. Mezi funkcemi a distribucemi existuje mezičlánek v obecnosti, tzv. míry. Zatímco pro funkce je primární hodnota v bodě a pro distribuce hodnota na testovací funkci, míry měří množiny. Přesto po jistém ztotožnění můžeme chápat {integrovatelné funkce} {míry} {distribuce} Míry jsou veličiny, které mohou mít hustotu, tj. A (pak se dají ztotožnit s lokálně integrovatelnými funkcemi), ale také se mohou koncentrovat do množin míry nula (např. míry v 3 se mohou koncentrovat do bodů, křivek a ploch). Diracova distribuce je typickým příkladem míry bez hustoty, jako množinová funkce je to { 1, a A, A 0, a / A. Fyzikální interpretace je množina hmotnost za předpokladu, že připustíme i hmotné body a podobné případy koncentrované hmoty. V dimenzi jedna lze nezáporné míry získat jako distributivní derivace monotonních funkcí, podobně jako Diracova distribuce vznikla derivováním Heavisideovy funkce. V literatuře se míry spolu s funkcemi zařazují mezi distribuce řádu nula, a (minimální) řád distribuce se definuje jako nejmenší možný počet iterací derivování, který je nutný k vytvoření dané distribuce z míry. 5.7. Konvergence distribucí. Pomocí prostoru S můžeme zavést konvergenci distribucí. Řekneme, že posloupnost {S k } k distribucí konverguje k distribuci S, jestliže S k, ϕ S, ϕ, ϕ S. Například funkce f k definované v (8) konvergují ve smyslu distribucí k Diracově distribuci. Zajímavé je, že ke každé distribuci najdeme posloupnost funkcí (dokonce funkcí z S), které k ní konvergují. 6. Fourierova transformace v L 1 6.1. Motivace. Jestliže -periodická funkce f má Fourierův rozklad f(x) = c k e ikx, A k= znamená to, že je součtem harmonických kmitů o frekvencích k s vahou c k. Některé funkce mohou být zapsané v obecnějším tvaru (19) f(x) = c a e iax, (množina sčítacích indexů nejsou celá čísla!) a M kde M je spočetná množina. Použijeme-li speciálně (20) M = {k/l : k Z}, l > 1, funkce f je periodická, ale její perioda l je větší, protože frekvence jsou hustší. Jestliže M obsahuje čísla, jejichž poměr je iracionální, pak (až na triviální koeficienty u příslušných sčítanců) funkce f není periodická a řada (19) se nedá pokládat za Fourierovu řadu. (Např. f(x) = sin x + sin πx.) 10 ρ
Frekvenční analýza je dostupná i v případě, že dochází k nekonečnému zahušťování frekvencí. Když při stejně silném signálu se frekvence zahušťují, ale příspěvek jednotlivé frekvence do celku se snižuje, v limitě máme jakousi hustotu jejich rozložení a funkce f není vyjádřena řadou, ale integrálem tvaru (21) f(x) = g(y) e iyx dy. Taková funkce není periodická, protože při zahušťování frekvencí se zvětšuje perioda a v limitě dostáváme periodu nekonečnou, tedy žádnou. Frekvenční analýza funkcí ve tvaru (19) a (21) se dá zahrnout pod jednu střechu v rámci jednotící teorie distribucí. Nejprve však se budem zabývat jednodušším problémem, jak najít hustotu g, pokud funkce f připouští rozklad (21). 6.2. Fourierova transformace. Je-li f L 1 () integrovatelná funkce, definujeme 1 (22) ˆf(x) := e ixy f(y) dy. Funkce ˆf se nazývá Fourierova transformace funkce f. Její důležitost spočívá hlavně v tom, že za jistých podmínek lze pak funkci vyjádřit jako (23) f(x) = 1 e ixy ˆf(y) dy čímž máme provedenu frekvenční analýzu funkce f a zápis (23) nám umožňuje používat užitečné vzorce 1 fourierovského kalkulu. Konstanta se přidává za tím účelem, aby vynikla symetrie mezi vzorci (22) a (23). Funkční hodnoty ˆf(y) hrají analogickou roli jako koeficienty Fourierovy řady. Tzv. inverzní Fourierovu transformaci definujeme pro f L 1 () předpisem Název je motivovaný vzorcem (23). ˇf(x) = 1 e ixy f(y) dy 6.3. Věta. Nechť f : C je integrovatelná funkce. Potom ˆf je omezená spojitá funkce a lim ˆf(x) = 0. x 6.4. Věta. Nechť f : C je integrovatelná funkce. Nechť funkce f a xf jsou integrovatelné. Potom ˆf je spojitě diferencovatelná a xf = i( ˆf). 6.5. Věta. Nechť f L 1 () je spojitá funkce, f existuje až na spočetnou množinu a f L 1 (). Potom f = ix ˆf. 6.6. Věta (o inverzním vzorci). Nechť f i ˆf jsou integrovatelné funkce. Potom neboli ( ˆf)ˇ= ( ˇf)ˆ= f, ( ˆf)ˆ( x) = f(x). 7. Fourierova transformace distribucí 7.1. Fourierova transformace distribucí. Věty 6.4 a 6.5 nám dávají návod, jak definovat Fourierovu transformaci distribucí. Pro operátor Fourierovy transformace v distribucích budeme používat symbol F a pro operátor inverzní Fourierovy transformace v distribucích budeme používat symbol F. Operátor F je komplexně sdružený ve smyslu F S = FS. tedy Pro distribuci S = S f, kde f L 1 (), definujeme Ff = FS := ˆf, Ff(x) = 1 11 e ixy f(y) dy.
a Konečně, pokud S je distribuce a víme již, že FS má též smysl jako distribuce, definujeme F(xS) := i(fs) F(S ) := ixfs. Tímto způsobem se dá induktivně zavést Fourierova transformace pro všechny temperované distribuce. Podobně zavedeme FS, vychází F(xS) = i(fs) F(S ) = ixfs. 7.2. Věta (transformace Diracovy distribuce a konstanty). (a) Fδ 0 = () 1/2. (b) F1 = () 1/2 δ 0. 7.3. Věta (o inverzním vzorci). Nechť S je temperovaná distribuce. Potom F(FS) = F(FS) = S. 7.4. Poznámky. Fourierovy transformace Diracovy distribuce a konstanty mají smysl jen v distribucích. Je-li f integrovatelná funkce, je Ff omezená spojitá funkce (tedy podle 4.11 distribuce nultého řádu) a F(Ff) už má obecně smysl jen v distribucích, neboť Ff nemusí být integrovatelná. Věta 7.3 je tedy podstatným zesílením věty 6.6. 7.5. Fourierova řada jako zvláštní případ Fourierovy transformace. Pro každé a je (Fδ a )(x) = () 1/2 e iax. Je-li f periodická funkce na, integrovatelná na ( π, π, a c k jsou koeficienty Fourierovy řady pro f, potom Fourierova transformace funkce f ve smyslu distribucí je Ff = () 1/2 k Z c k δ k. Inverzní vzorec pak dává vyjádření funkce jako Fourierovy řady ( (24) F () ) 1/2 c k δ k (x) = () 1/2 c k Fδ k (x) = c k e ikx. k Z k Z k Z Záměna řady a distributivní Fourierovy transformace nemusí být legální, takže (24) se nedá použít jako důkaz konvergence Fourierovy řady (která za daných podmínek také konvergentní být nemusí). 7.6. Fourierova transformace v n. Fourierovu transformaci komplexní integrovatelné funkce f na n definujeme předpisem 1 ˆf(x) = e ix y f(y) dy. () n/2 n Je třeba zaregistrovat jen dvě změny: konstanta závisí na dimenzi a součin x y je skalární součin. Fourierova transformace v n se chová podobně jako v, například parciální derivaci podle x j převádí na násobení funkcí ix j. 8. Dodatky k Fourierově transformaci* 8.1. Větička. Nechť f, g L 1 (). Potom f(x)ĝ(x) dx = ˆf(x) g(x) dx. 8.2. Fourierova transformace a párování. Modifikací předchozí větičky dostáváne následující vzorec. Nechť S S je distribuce a ϕ S je testovací funkce. Potom FS, ϕ = S, ˆϕ. Tento vzorec se často používá pro definici Fourierovy transformace distribucí. 12
8.3. Konvoluce. Konvoluce funkcí f, g L 1 () je funkce, která se definuje předpisem f g (x) = f(x y) g(y) dy. Na L 1 je operace konvoluce symetrická a výsledek je opět funkce z L 1. Konvoluce má v matematice mnohostranné použití, pro Fourierovu transformaci platí pozoruhodný vzorec (25) f g = ˆf ĝ, f, g L 1. Operace konvoluce se dá zobecnit i na jiné typy operandů, jsme-li přísnější na výběr funkce f, můžem operovat s širším systémem funkcí g. Pro některé páry funkcí (tím spíš distribucí, viz. dále) však konvoluce nemá žádný rozumný smysl. Inverzní formule nám dá vzorec pro Fourierovu transformaci součinu (26) fg = 1 ˆf ĝ, f, g L 2 L 1. Vzorec (26) platí i obecněji, diskuse jeho definičního oboru není lehká. 8.4. Aplikace Fourierovy transformace na diferenciální rovnice. Fourierova transformace převádí složitější operaci derivace na jednodušší operaci násobení funkcí ix. Tím se diferenciální rovnice převádějí na algebraické rovnice. Metodu budeme ilustrovat na příkladu diferenciální rovnice } u + u = f (27), f L 1 (). u( +) = u(+ ) = 0 Aplikujeme-li Fourierovu transformaci na obě strany rovnice (27), dostaneme (x 2 + 1)û = ˆf, takže ˆf û = x 2 + 1. Zbývá jen maličkost, spočítat Fourierovu transformaci funkce f a inverzní Fourierovu transformaci funkce ˆf/(x 2 + 1). Záležitost si můžeme zjednodušit pomocí tzv. fundamentálního řešení. Definujme fundamentální řešení diferenciálního operátoru u + u jako řešení ve smyslu distribucí diferenciální rovnice } u + u = δ 0 (28) u( +) = u(+ ) = 0 (obecně, fundamentální řešení se definuje i pro některé jiné diferenciální operátory s konstantními koeficienty). Potom metodou derivování podle parametru, anebo pomocí Fourierovy transformace, se dá odvodit, že w řeší (28) = w f řeší (27). Stačí tedy vyřešit rovnici (28). Aplikujeme-li Fourierovu transformaci na obě strany rovnice (28), dostaneme (x 2 + 1)û = 1. Stačí tedy najít (inverzní) Fourierovu transformaci k funkci (x 2 + 1) 1, viz. příklad 9.6. V praxi je většinou jednodušší počítat řešení diferenciální rovnice přímo než Fourierovu transformací, naopak se setkáme s výpočtem Fourierovy transformace pomocí řešení diferenciální rovnice. Přesto je metoda Fourierovy transformace silným nástrojem teorie diferenciálních rovnic, zvláště parciálních. Pro účely posledně jmenovaných je třeba ovšem zobecnit Fourierovu transformaci do vyšší dimenze. 8.5. Fourierova transformace v Hilbertově prostoru. Nechť f L 2 (). Potom funkci f můžeme přiřadit distribuci S f nultého řádu podle 4.11. Řekneme, že funkce u L 2 () je Fourierovou transformací funkce f, jestliže FS f = S u, značíme u = ˆf. Podobně definujeme ˇf. Pro funkce f L 1 () L 2 () dávají obě definice (stará a nová) ˆf stejný výsledek. Fourierova transformace na prostoru L 2 je izometrický izomorfismus L 2 na sebe, totiž platí následující věta. 13
8.6. Věta (Plancherel). Nechť f L 2 (). Potom ˆf L 2 () existuje a ˆf 2 = f 2. Pro f L 2 () platí inverzní formule ( ˆf)ˇ= ( ˇf)ˆ= f. 8.7. Poznámka. V kapitole o Fourierových řadách jsme používali funkce Toto označení rozšíříme i na necelá čísla, tedy e k : x 1 e ikx, k Z. e y (x) = e x (y) = 1 e ixy. Pro Fourierovy řady v Hilbertově prostoru L 2 (( π, π ) máme f = k Z(f, e k ) e k, zatímco inverzní vzorec pro Fourierovi transformaci je formálně (29) f = (f, e y )e y dy. Vada na kráse je, že není snadné dát vzorci (29) přesný význam, např. (f, e y ) = f(t)e y (t) dt = 1 e ity f(t) dt nemá smysl jako skalární součin na L 2 (), protože funkce e y v tomto prostoru nejsou. 9. Počítání Fourierových transformací 9.1. Poznámka. V této kapitole budeme občas zapisovat funkce nepřesným způsobem f(x) namísto f a oba zápisy kombinovat, například ve výrazech jako Ff + sin x, jinak by zápisy byly v některých případech nepřehledné. Vždy si uvědomme, že Fourierova transformace se dá obrátit, takže skoro každý příklad dává dva góly, dá se číst zleva doprava a zprava doleva. 9.2. Příklad. Je dobré si zapamatovat, jak se Fourierova transformace chová vzhledem k symetriím. Snadno spočítáme { Ff(x), f sudá, (Ff)( x) = Ff(x) = Ff(x), f lichá, tedy Fourierova transformace zachovává sudost a lichost. Dále odtud plyne, že je-li f reálná a sudá, pak Ff je reálná, je-li f reálná a lichá, pak Ff je ryze imaginární. Další užitečný vzorec je o lineární záměně proměnných ϕ(x) = ax + b. Máme (30) F(f ϕ)(x) = 1 a e ibx x a (Ff)( a ). ve vyšší dimenzi je nutno přepsat prvé 1/a jako 1/a n. 9.3. Příklad. Buď f(x) = e x2 2. Funkce f splňuje diferenciální rovnici tedy po transformaci f = xf, ix ˆf = i( ˆf). Ejhle, funkce ˆf splňuje stejnou diferenciální rovnici. Protože rovnice je lineární, musí být ˆf = cf. Konstantu c spočítáme přímo z definice Fourierovy transformace, totiž c = ˆf(0) = () 1/2 e x2 2 dx = 1. 14
(To je v podstatě Laplaceův integrál. který jsme spočítali v zimním semestru pomocí převodu na dvourozměrný integrál a polárních souřadnic.) Vidíme, že funkce e x2 2 se Fourierovou transformací zobrazí sama na sebe. Ze vzorce (30) dále dostaneme pro a = 2t (31) f(x) = e tx2 = ˆf(x) = 1 e x2 4t. 2t 9.4. Příklad. Buď f(x) = 1 2 e x. Toto je jeden z mála příkladů, kde se dá Fourierova transformace upočítat přímo ze vzorce (22). Ze symetrie dostáváme, že Fourierova transformace f bude reálná, a sice 1 ˆf(x) = cos xy e y dy = cos xy e y dy = 1 2 1 + x 2. S použitím (30) máme též 1 2 e x c = e icx 1 1 + x 2. 9.5. Příklad. Buď F (x) = 1 2 (1 e x c ) sgn(x c). Funkce F splňuje diferenciální rovnici takže f(x) = 1 2 e x c splňuje diferenciální rovnici F + F = 1 2 sgn(x c), (32) f + f = δ c, tedy po transformaci Dosazením za ˆf dostáváme 0 (x 2 + 1) ˆf = Fδ c. (33) Fδ c = () 1/2 (1 + x 2 ) e icx 1 + x 2 = () 1/2 e icx. Tím jsme mj. dokázali větu 7.2(a). 9.6. Příklad. Nechť u(x) = (x 2 + 1) 1. Pro počítání Fourierovy transformace máme čtyři možnosti. První možnost je použít příklad 9.5 a inverzni formuli. Bohužel, později chceme právě tento výsledek použít k důkazu inverzní formule, takže bychom dostali důkaz kruhem. Lepší možnost je použít rovnost (x 2 + 1)u = 1, po transformaci (34) (û) + û = F1, což je diferenciální rovnice pro û, jejímž řešením odvodíme výsledek. Ale pokud nechceme použít větu 7.2(b), zbývají nám jen poslední dvě možnosti. Třetí možnost je reziduová věta, viz. příslušná kapitola. Elementárnější postup je následující: Vyšetřujme funkci cos xy g(x) = 1 + y 2 dy. Per partes dává (35) xg(x) = Zderivujeme podle x jako podle parametru a máme ( xg(x) ) = Máme 2 cos xy (1 + y 2 ) 2 dy + ( xg(x) ) = Ještě jednou zderivujeme a dostaneme 2y sin xy (1 + y 2 ) 2 dy. 2y 2 cos xy (1 + y 2 ) 2 dy. 2(1 + y 2 ) cos xy (1 + y 2 ) 2 dy = 2g(x). 2y sin xy (1 + y 2 ) 2 dy + ( xg(x) ) = 2g (x). 15
Porovnáním s (35) zjistíme neboli po úpravě xg(x) + ( xg(x) ) = 2g (x), x(g (x) g(x)) = 0. Řešením okrajové úlohy g(0) = π, g(± ) = 0 dostaneme g(x) = π e x. Jelikož funkce u je sudá, její Fourierova transformace je () 1/2 g, tedy (36) û(x) = (π/2) 1/2 e x. 9.7. Příklad. Položme u(x) = (x 2 + 1) 1, f(x) = 1 2 e x, tedy podle předchozího f = () 1/2 û. Z (34), (36) a (32) dostaneme Tím jsme dokázali větu 7.2(b). Podobně bychom ukázali, že F1 = () 1/2 δ 0. Fe icx = () 1/2 δ c ; zde ale nejspíš nebudeme brát žádné ohledy na sportovnost výpočtu (výsledek nepoužíváme v pavouku důkazů) a použijeme nejjednodušší cestu: inverzní formuli a (33). 9.8. Příklad. Buď f(x) = 1 2 sgn x. Potom f je distribuce nultého řádu. Máme f = δ 0, tedy po transformaci ixff = () 1/2. Odtud Ff = i() 1/2 x 1 + Cδ 0 (viz. příklad 4.14 a věta 4.13). Zbývá určit konstantu C. Jelikož f je lichá, podle příkladu 9.2 je Fourierova transformace lichá a tudíž C = 0 a Ff = i() 1/2 x 1 = i() 1/2 S ln x. 9.9. Příklad. Nechť f = χ ( 1,1), tedy f = 1 na ( 1, 1) a 0 jinde. Potom f = δ 1 δ 1, tedy po transformaci (s použitím příkladu 9.5) ix ˆf(x) = () 1/2 (e ix e ix ) = 2i() 1/2 sin x. Odtud 1/2 sin x ˆf(x) = (π/2) x. Pravá strana se dá spojitě dodefinovat v nule. Výsledek máme ověřen až na člen Cδ 0, ale f je integrovatelná, takže ˆf je spojitá a C tudíž musí být nula. 9.10. Příklad. Buď f(x) = arctg x. Potom f (x) = 1 x 2 +1, tedy podle předchozího příkladu 9.6 po transformaci ixff = (π/2) 1/2 e x. Odtud Ff = i(π/2) 1/2( e x 1 + x 1 ). x Zde jsme rozložili e x jako (e x 1) + 1, protože distribuce e x 1 x má smysl jako funkce a rovnici xu = 1 umíme řešit. Jelikož f je lichá, Ff musí být lichá a s členem Cδ 0 naložíme jako v příkladu 9.8. Uvědomme si, že funkce f je omezená a spojitá, a přesto není Fourierovým obrazem komplexní míry, natož funkce. Otázka, ke kterým funkcím lze najít Fourierův vzor v klasickém smyslu, vůbec není lehká a odpověď je příliš často záporná. Teorie distribucí v tomto ohledu není komplikací, ale vysvobozením. 16
9.11. Poznámka. Uvažujme integrovatelnou funkci u, jejíž druhá derivace je také integrovatelná. Položme f = u + u. Uvažujme integrál e ix(z y) f(y) (37) w(z) = x 2 dx dy. + 1 2 Vyintegrujme nejprve podle x. Jelikož znalost Fourierovy transformace funkce (x 2 + 1) 1 (příklad 9.6) dává e ix(y z) (38) x 2 + 1 dx = πe y z, dostaneme w(z) = π e z y f(y) dy. Derivováním podle parametru dostaneme w + w = f, což spolu s integrovatelností funkce w dává w = u, viz. též 8.4. Nyní integrál (37) integrujme nejprve podle y. Dostaneme w(z) = () 1/2 ixz e ˆf(x) x 2 + 1 dx. Jelikož u + u = f, máme (x 2 + 1)û = ˆf, tedy dohromady u(z) = () 1 w(z) = () 1/2 e ixz û(x) dx = (û)ˇ(z), takže jsme ověřili inverzní formuli aspoň pro u splňující dané předpoklady. 17