3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo charateristiy áhodé veličiy. Obecě je dělíme a parametry polohy a parametry variability. 3. Mediá a vatily Defiice 3. Nechť X je áhodá veličia a F je její distribučí fuce. 00p% vatilem této áhodé veličiy azveme číslo x p taové, že pro daé p œ (0, ) je F(x p ) p lim F( x) p. (3.) + x x p Něteré vatily mají speciálí ozačeí: x = x 0,5... mediá 50% vatil x 0,5... dolí vartil 5% vatil x 0,75.... horí vartil 75% vatil x, =,,...,9... tý decil 0 x, =,,...,99... tý percetil 00 Pozáma 3. Předchozí charateristiu budeme využívat především v matematicé statistice. Přílad. Nechť X je áhodá veličia typu Bi(30;0,4). Jde tedy o biomicé rozděleí s parametry =30 a p=0,4. Podle předchozí části můžeme zjistit jedotlivé vatily: Kvatily 0% 0% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 9 0 3 3 4 5 Dolí vartil je v tomto případě 0 a horí vartil je 4. Přílad. Zjistěme hodoty příslušých vatilů rozděleí N(0,). 5% 0% 5% 0% 5% 30% 35% 40% 45% 50% 55% 60% 65% 70% 75% 80% 85% 90% 95% -,64 -,8 -,04-0,84-0,67-0,5-0,39-0,5-0,3 0,00 0,3 0,5 0,39 0,5 0,67 0,84,04,8,64 3. Modus Defiice 3. Nechť X je disrétí áhodá veličia. Potom bod x azveme modusem áhodé veličiy X, jestliže pro ěj platí PX ( = x ) PX ( = y), y x. (3.) Nechť X je spojitá áhodá veličia s hustotou f. Potom bod x azveme modulem áhodé veličiy X, jestliže pro ěj platí f ( x ) f( x), x x. (3.3) V případě disrétí áhodé veličiy je modusem ejčetější hodota, v případě spojité áhodé veličiy hodota,v íž je hustota maximálí. V případě, že taovéto možosti astávají ve více ež v jedom bodě, jsou všechy taové body prohlášey modusem áhodé veličiy X.
Přílad Modusem áhodé veličiy N(0,) je hodota 0, eboť v této hodotě abývá hustota áhodé veličiy maximum.π. Modusem áhodé veličiy Bi(0;0,7) je ejčetější hodota tedy modus je rove 7. 3.3 Středí hodota áhodé veličiy Teto parametr je jede z ejdůležitějších parametrů, má velé využití v statisticých studiích, proto se jím budeme zabývat obšírěji. Defiice 3.3 Nechť X je áhodá veličia. Řeeme, že tato áhodá veličia má středí hodotu E(X), jestliže absolutě overguje řada resp. existuje itegrál: x. P( X = x ) = x. p, disrétí áhodá veličia EX = i i i i x. f ( x) dx, spojitá áhodá veličia.(3.4) Kovergece řady resp. existece itegrálu v (3.4) je podstatá! Bez důazu uvedeme ěterá tvrzeí o vlastostech středí hodoty! Věta 3. Vlastosti středí hodoty áhodé veličiy. Nechť X je áhodá veličia typu ostata. Potom její středí hodota E(X) existuje a je rova hodotě.. Nechť X je áhodá veličia, c > 0. Nechť dále existuje E(X). Potom áhodá veličia c.x má středí hodotu c. E(X) 3. Nechť X je áhodá veličia, echť dále X 0. Potom E(X) 0. 4. Nechť X, Y jsou áhodé veličiy, echť existuje E(X) a E(Y). Potom má áhodá veličia X + Y středí hodotu E(X) + E(Y). Pozáma 3. Vlastost. v předchozí větě se obecě azývá homogeita, vlastost 4. aditivita, dohromady tyto dvě vlastosti azýváme liearitou. Vlastost 3. se azývá ezáporost zobrazeí. Každé zobrazeí do prostoru azýváme obecě fucioářem. Středí hodota jao zobrazeí E :, je prostor áhodých veliči, je tedy lieárí a ezáporý fucioář a možiě áhodých veliči, teré mají středí hodotu. Přílady a staoveí středích hodot áhodých veliči uvedeme v další apitole. Bez důazu uvedeme důležité tvrzeí. Věta 3.3 Nechť X je áhodá veličia a g: -> je spojitá fuce. Potom g ë X je áhodá veličia, terá má středí hodotu právě, dyž existuje itegrál g(). t f( t) dt. Dále je Eg ( X) = gt. ftdt. Důaz: Provede apřílad v [],[].
Pozáma 3. V předchozí větě je dá ávod ja počítat středí hodoty áhodých veliči typu X, (X a ) atd. Taovéto výpočty se provádí sutečě velmi často. Přílad 3. Házíme 3 x micí, jestliže pade 0 x líc zaplatíme 5 Kč, jestliže pade x líc zaplatíme Kč, jestliže pade x líc eplatíme ic a jestliže pade líc 3 x dostaeme 6 Kč. Zjistěte středí hodotu áhodé veličiy padutí líce a středí hodotu výhry! Řešeí: Podle (3.4) musíme ejdříve zjistit pravděpodobosti jedotlivých áhodých jevů padutí lícu x. Výsledy uvedeme v tabulce: 0 3 p 0,5 0,375 0,375 0,5 Tyto hodoty yí využijeme výpočtu středí hodoty áhodé veličiy X: E( X ) = 0.0,5 +.0,375 +.0,375 + 3.0,5 =,5 Nyí budeme počítat středí hodotu výhry. Výpočet provedeme podle věty 3.3. Nejdříve si musíme upravit výše uvedeou tabulu: 0 3 Výhra při x -5-0 6 padutí líce p 0,5 0,375 0,375 0,5 Tyto hodoty již umožňují vypočítat středí hodotu výhry: E( výhry ) = 5.0,5.0,375 + 0.0,375 + 6.0,5 = 0,65 Průměrá výhra je tedy -0,65 Kč. 3.4 Rozptyl áhodé veličiy Defiice 3.4 Nechť X je áhodá veličia, pro terou existuje středí hodota. Jestliže má áhodá veličia (X E(X)) středí hodotu, potom VAR( X ) = E( X E( X )) (3.8) azveme rozptylem áhodá veličia X. Číslo σ ( X ) = VAR( X ) se azývá směrodatá odchyla áhodá veličia X. Věta 3.4 Vlastosti rozptylu áhodé veličiy Nechť áhodá veličia X má rozptyl VAR(X). Potom:. VAR(X) = E(X ) (E(X)) (3.9). Nechť dále a œ, potom VAR(a. X ) = a. VAR(X) (3.0) 3. Nechť b œ, potom VAR(X + b ) = VAR(X) (3.) Důaz těchto tvrzeí ebudeme opět provádět. Něteré další vlastosti rozptylu áhodých veliči budeme vyšetřovat v apitole věovaé ezávislosti áhodých veliči.
Uvedeme ještě ěteré další typy charateristi áhodých veliči. Přílady a výpočet taovýchto čísel poecháme a závěrečou část této apitoly. Poračováí příladu 3. a) Nejdříve budeme hledat rozptyl áhodé veličiy X. Přímo z tabuly pro staoveí rozděleí pravděpodobostí této áhodé veličiy vyplývá, že E( X ) = 0.0,5 +.0,375 +.0,375 + 3.0,5 =,5 Využijeme yí vlastost (3.9) a zísáváme : VAR( X ) =,5, 5 =,5, 5 = 0, 5 b) Podobě yí budeme počítat rozptyl výhry: E výhra = ( 5).0,5 + ( ).0,375 + 0.0,375 + 6.0,5 = 9,5 Využijeme yí opět vlastosti (3.9) VAR( výhra ) = 9,5 ( 0, 65) = 9,5 0,39065 = 8, 734375 Závěr : Náhodá veličia X má hodoty ( ) rozložey relativě ompatě ( tj. a malém itervalu ), proto je její rozptyl malý, zatímco áhodá veličia výhra má hodoty rozložey a podstatě širším itervalu, proto je její rozptyl podstatě větší. 3.5 Momety áhodé veličiy Defiice 3.5 Nechť X je áhodá veličia, œ Í. Potom číslo :. µ ( X ) = E( X ) (3.) azveme -tým mometem áhodé veličiy X, poud existuje.. ν ( X) = E( ( X E( X) ) ) (3.3) azveme -tým cetrálím mometem áhodé veličiy X, jestliže uvedeý výraz existuje µ ( X ) 3. δ ( X ) = (3.4) σ ( X ) azveme -tým ormovaým mometem áhodé veličiy X, mají li všechy výrazy smysl 4. Specielě 3. ormovaý momet azýváme oeficiet šimosti áhodé veličiy X α3( X ) = δ3( X ) (3.5) 5. Specielě dále určujeme oeficiet špičatosti áhodé veličiy X jao α ( X) = δ ( X) 3 (3.6) 4 4 Tyto dva oeficiety hrají velou roli ( respetive jejich tzv. výběrové tvary ) při vyšetřováí ormality dat. Normalita dat je velmi důležitý a záladí pojem. Moho záladích metod je a tomto pojmu založeo apř. regrese, orelace, testováí statisticých hypotéz parametricých, ANOVA atd.
3.6 Výpočet středí hodoty a rozptylu ěterých záladích typů áhodých veliči Disrétí áhodé veličiy 3.6. Degeerovaé rozděleí a) E(X) = x 0. = x 0 ; b) VAR(X) = x 0. (x 0 ) = 0 a) EX = xp. + x.( p), 3.6. Alterativí rozděleí b) VAR X = ( x p+ x p ) ( x p+ x p )...., Je li specielě x = a x = 0 je potom a) E(X) = p b) VAR(X) = p.(-p) = p. q 3.6.3 Biomicé rozděleí i i i i a) E( X) = i.. p.( p) =. p.. p.( p) = 0 i i j j = p... p.( p) = p..( p+ ( p) ) = p. j= 0 j b) i i i i VAR( X) = i p... p.( p) =. p.. p.. i.. p.( p) + 0 i 0 i i i! i i + i.. p.( p) =. p.. p +. p+. p.( p) = 0 i ( i )!.( i)! i ( ) ( i ) = p.. p +.( ). p.. p.( p) = p. p. = p..( p) = pq.. i 3.6.4 Poissoovo rozděleí i λ j λ. e λ λ λ λ a) EX = i. = λ. e. = λ. e. e = λ 0 i! j= 0 j! b) i λ i λ i λ i λ λ. e λ. e λ. e λ. e VAR( X ) = i λ. = λ.. λ. i. + i. = i! i! i! i! 0 0 0 0 i j λ λ λ λ = λ. λ + e. λ. i. = λ. λ + e. λ. ( j+ ). = ( i )! j! =. +... + =. + + = λ λ e λ λ λe λ e λ λ λ λ λ λ
Spojité áhodé veličiy 3.6.5 Rovoměré rozděleí b a+ b a) EX = xf. ( xdx ) = x. dx= b a a b a+ b b) VARX = x. f( xdx ) xf. ( xdx ) = x. dx = b a a a+ b a ab. + b =.( a + ab. + b ) = 3 3.6.6 Cauchyho rozděleí a a) = = π a + x posledě psaý itegrál ale eexistuje. EX xf. ( xdx ) x.. dx, Proto eexistuje ai středí hodota tohoto rozděleí b) Protože eexistuje středí hodota, emůže existovat ai rozptyl. 3.6.7 Normálí rozděleí a) x µ substituce t. σ EX = xf. ( xdx ) = x.. e dx= x µ = ( σ. t+ µ ).. e. σdt= σ.. π = t σ.. π σ t t = σ. t.. e. σ dt+ µ.. e. σ dt = 0 + µ.= µ σ.. π σ.. π ( x µ ) substituce. σ b) VAR( X ) = ( x µ ). f ( x) dx = ( x µ ).. e dx = x µ = σ.. π = t σ t t t... { }... lim. = σ t e σdt = σ te + e dt = σ.. 0+. π =. π. π N. π = σ Je zřejmé, že středí hodota rozděleí N(0,) je tedy rova 0 a rozptyl tohoto rozděleí je rove.
3.7 Smíšeé momety áhodých veliči V této části se zaměříme a případy, dy je uto vyšetřovat více áhodých veliči, teré jsou spolu spojeé v áhodém vetoru buď pomocí sdružeé hustoty ebo pomocí sdružeé pravděpodobostí fuce. Defiice 3.6 Nechť = (X, X,,X ) je áhodý vetor. Nechť dále X. X,..., X r, de r i 0 r r a ri = r, je áhodá veličia, terá má středí hodotu. Potom smíšeým mometem r E X X X. tého řádu áhodých veliči X, X,,X azveme hodotu ( r ). r,..., r Pozáma 3.3 a) V případě, že áhodý vetor = (X, X,,X ) je disrétí se sdružeou pravděpodobostí fucí P, hodota smíšeého mometu r tého řádu rova : r E X. X,..., X = x. x... x. P( X = x, X = x,..., X = x ) (3.7) r r r r r x, x,..., x v uvedeém součtu sčítáme samozřejmě přes všechy možé tice, v ichž je sdružeá pravděpodobostí fuce eulová. b) V případě, že áhodý vetor = (X, X,,X ) je spojitý se sdružeou hustotou f, je hodota smíšeého mometu r tého řádu rova : r r r r r r (.,..., ) =........ (,,..., )... (3.8). E X X X x x x f x x x dxdx dx Sdružeé momety áhodých veliči budeme vyšetřovat především v situacích, dy je uté zoumat vliv jedotlivých áhodých veliči ( prvů áhodého vetoru ) a sebe. Toto zoumáí budeme provádět především v ásledující apitole a potom dále v matematicé statistice.