Mtemtik II: Aplikovné úlohy Zuzn Morávková Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv
Mtemtik II - plikovné úlohy Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit Ostrv R y 8 - Rosettská desk I 9. Zdání Rosettská desk je trdic ní oznc ení c erné žulové stély, n níž je ve 66 zncích zznmenán tet ve tr ech shodných verzích: dvou egyptských v hieroglyfickém démotickém písmu jednom r eckém pr ekldu. Konfrontce r eckého pr ekldu s do té doby nec itelným hieroglyfickým tetem umožnil rozlušte ní hieroglyfu. Rosettská desk byl objeven. c ervence 799 v Egypte u me st Rosett pr i ústí Nilu. f 8 Funkce f je po c ástech kvdrtická funkce urc ená body [, 8], [3, ], [6, ], [7, 8], [8, 6]. Funkce g je po c ástech kvdrtická funkce urc ená body [, ], [3, 3], [6, ], [7, 6], [8, 3]. 6 Njde te pr edpisy funkcí popisující tvr desky. 4 g 4 6 8 R ešení Funkce f je po c ástech kvdrtická funkce, tedy má n intervlu h, 6i pr ed- [6, ], [7, 8], [8, 6]. pis kvdrtické funkce urc ené body [, 8], [3, ], [6, ], n inter vlu h6, 8i jiný pr edpis kvdrtické funkce urc ené body [6, ], [7, 8], 36 6 [8, 6]. 49 7 b = 8 Body [, 8], [3, ], [6, ] dosdíme do pr edpisu kvdrtické funkce: 64 8 c 6 y = + b + c R ešení je =, b = 9, c = 46. Stejným zpu sobem spoc ítáme pr edpisy dostneme soustvu lineárních rovnic: funkce g. Výsledné funkce jsou: 8 9 b = + + 8 h, 6i c 36 6 f = 9 + 46 h6, 8i R ešení je =, b =, c = 8. Funkce má pr edpis: 3 + h, 6i f = + + 8 h, 6i 6 g = 3 + 4 h6, 8i Obdobne spoc ítáme pr edpis funkce f n intervlu h6, 8i, která je urc en body
Mtemtik II - plikovné úlohy 6. Řy 8 - Rosettská desk II Zdání Rosettská desk je z černého čediče ρ = 9 kg/m 3 její tloušt k je 8 cm. f = + + 8, 6 9 + 46 6, 8 Lze desku přenést jeřábem s nosností 8 kg? Do kterého míst umístíme hák? g = 3 +, 6 6 3 + 4 6, 8 Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit Ostrv Nejprve spočítáme plošnou hustotu: σ = 9 kg m 3 8 cm =.9 kg cm 3 8 cm = 8. kg cm Hmotnost desky je rovn součinu plošné hustoty obshu: m =σ =σ 8 6 + σ 8 f g d = 6 + + 8 3 9 + 46 6 + 3 + 4 =σ8 + 86.6 = σ 6866.6 = 8. 6866.6. = 7 kg Pro výpočet težiště spočítáme sttické momenty: S =σ =σ 8 6 + σ f g d = 8 6 + + 8 9 + 46 =σ8676 + 64698 = σ 3874 3 6 + 3 + 4 d+ d = d+ d = 8 S y =σ =σ 6 + σ 8 f g d = 6 + + 8 3 9 + 46 =σ734 + 8866.6 = σ 6466.6 Těžiště je v bodě: T = 6 + 3 + 4 [ Sy m ; S ] [ σ 6466.6 m σ 6866.6 ; σ 3874 ]. = [38.7;.9] σ 6866.6 8 6 4 f T g 4 8 d+ d =
Mtemtik II - plikovné úlohy 6. Řy 8 - Gtewy Arch I Zdání Známý pmátník Gtewy Arch je symbolem Sint Louis stát Missouri, USA. Pmátník nvrhl finsko-merický rchitekt Eero Srinen německo-merický stvební inženýr Hnnskrl Bndel v roce 947. Stvb zčl v roce 963 byl dokončen v roce 96, celkové nákldy byly 3 milionů dolrů. Gtewy Arch má tvr řetězovky, která má stejnou šířku při zemi výšku 63 stop. Jký je předpis křivky popisující pmátník? Nápověd: y = cosh + b Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit Ostrv Osu umístíme n zem os y je totožná s osou symetrie pmátníku. Hlednou křivkou je řetězovk: 6 4 3, 63 3, 4 4 y = cosh + b N křivce leží body [; 63] [3; ], které dosdíme do vzthu dostneme dvě rovnice: 63 = cosh + b 3 = cosh + b Z první rovnice vyjádříme b dosdíme do druhé rovnice: 3 cosh + + 63 = Rovnici lze vyřešit numericky nebo použitím vhodného mtemtického progrmu. GeoGebr má k dispozici příkz NuloveBody f=-*cosh3/++63 NuloveBody[f,] 4, 4 je =, b = 77.7 řetězovk má předpis: y = cosh + 77.7 kde 3 stop; 3 stop. f = cosh 3 + + 63
Mtemtik II - plikovné úlohy 6. Řy 83 - Gtewy Arch II Zdání Pmátník Gtewy Arch má tvr řetězovky: kde 3 stop; 3 stop. y = cosh + 77.7 Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit Ostrv Hlemýžd se pohybuje rychlostí metr z hodinu. Dostne se n vrchol pmátníku z týden? Nápověd: stop =.348 m Vypočítáme derivci: y = cosh + 77.7 = = sinh = sinh Délk křivky se spočítá: s = = b 3 3 + y d = cosh =493.94 stop 3 + sinh 3 [ d = sinh d = ] 3 3 = Ukážeme i výpočet bez použití hyperbolických funkcí. Hyperbolický kosinus vyjádříme podle definice spočítáme derivci: y = cosh + 77.7 = = e + e + 77.7 y = e e Délk křivky se spočítá: b s = = 3 + y d = 3 3 = = [ e + e e ] 3 e 3 3 e 3 d = + e e d = [ ] e 3 3 = 3 = 493.94 stop = 4.3 m =.43 km Rychlost je v = m h =. km h. Vypočítáme čs, kdy se hlemýžd dostne n vrchol pmátníku, tj. do poloviny délky: t =. s v =..43. = 7.67 hodin = 7.67 4 dní = 9.486 dní
Mtemtik II - plikovné úlohy 63. Řy 84 - Chldící věž Ledvice I Zdání Chldící věže jsou nezbytnou součástí elektráren. Slouží ke chlzení vody, která se používá při výrobním procesu elektrické energie ve strojovně. Nová věž s přirozeným them pro elektrárnu Ledvice je po chldících věžích n jderné elektrárně Temelín druhá nejvyšší v ČR. Je přesně 44.8 m vysoká její průměr n ptě bude.9 m v koruně 7.3 m. Nejužší místo věže je ve výšce. m. Chldící věž má tvr rotčního hyperboloidu. Jký je předpis křivky, popisující tvr věže? Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit Ostrv Osu umístíme do nejužšího míst věže os y je totožná s osou symetrie věže. Hlednou křivkou je hyperbol se středem v počátku souřdnic: 7.3 3.6, 33.3 y b =. N hyperbole leží body [3.6; 33.3] [.4;.], které dosdíme do rovnice dostneme: 3.6 33.3 b =.4. b = 44.8 : = 33.66, b = 96.46. Výsledná křivk je dán předpisem:.4,. 33.66 y 96.46 =,.9 kde y.; 33.3.
Mtemtik II - plikovné úlohy 64. Řy 8 - Chldící věž Ledvice II Zdání Chldící věž má tvr rotčního hyperboloidu. Hyperbol je dán: Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit Ostrv 33.66 y 96.46 =. kde y. m; 33.3 m. Jký je objem povrch věže? Nápověd: k + = k + + k ln + k + k Hyperboloid vznikne rotcí části hyperboly kolem osy y proto eplicitně vyjádříme : = 33.66 + y 96.46 Objem rotčního těles se spočítá: b 33.3 V =π dy = π 33.66 + y. 96.46 dy = =π 33.66 [y] 33.3. + [ y 3 ] 33.3 96.46 = 3. =π 33.66 33.3 +. + 33.3 3 96.46 +.3 3 3 =69687.49 m 3 Vypočítáme derivci: = 33.66 + y 96.46 y 96.46 = 33.66 y 96.46 96.46 + y Povrch rotčního těles se spočítá: b P =π + dy = b =π 33.66 + y 33.66 y + 96.46 96.46 dy = 96.46 + y =π 33.66 96.46 + 33.66 33.3 96.46 4 96.46. 96.46 + 33.66 + y dy = =π 33.66 33.3 k k + y dy. 96.46 kde k = 4 96.46 + 33.66 = 9.743 P =3768.36 m
Mtemtik II - plikovné úlohy 6. Řy 86 - Teplot v pokoji I Zdání V místnosti o rozměrech m m je v jihovýchodním rohu v polovině jižní stěny teplot 9 C, v jihozápdním rohu 4 C, v polovině zápdní stěny 8. C, v severozápdním rohu 3 C v severovýchodním rohu je 8 C. Njděte kvdrtickou plochu popisující teplotu. Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit Ostrv Kvdrtická funkce má předpis: f, y = + y + 3 y + 4 + y + 6 Funkce je určen body f, = 9, f, = 9, f, = 4, f, = 8., f, = 3, f, = 8. y 3 C 8 C soustvy je =., =., 3 =, 4 =., =.4, 6 = 9 funkce má předpis: f, y =..y +. +.4y + 9,, y, 8 8. C f,y 6 4 9 C 9 C 4 C Dosdíme body do předpisu funkce f, y dostneme soustvu lineárních rovnic: 9 9 3 = 4 4 8. 3 8 6 8 y 4 6 8
Mtemtik II - plikovné úlohy 66. Řy 87 - Teplot v pokoji II Zdání V místnosti o rozměrech m m je teplot popsán funkcí: Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit Ostrv V kterém místě bude nejtepleji? Bude tm tepleji než C? f, y =..y +. +.4y + 9,, y, Pro nlezení lokálního etrému je potřeb njít stcionární body: f =. +. f =.y +.4 y Stcionární bod je A = [.; ]. Spočítáme druhé prciální derivce: f =., Určíme hodnoty Hessiánu: D = f A f y A f y =., D = f A =. < f y = f y A =.4 > V bodě A = [.; ] je ostré lokální mimum f., =. C. f,y 8 6 4 8 6 4 A 4 6 8 y
Mtemtik II - plikovné úlohy 67. Řy 88 - Teplot v pokoji III Zdání V místnosti o rozměrech m m je teplot popsán funkcí: Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit Ostrv f, y =..y +. +.4y + 9,, y, Půjdeme z jihovýchodního do severozápdního rohu. V kterém místě této cesty bude nejtepleji? Jká je průměrná teplot n této cestě? Hledáme vázný etrém funkce f, y vzhledem k podmínce y =. y = Průměrná hodnot funkce je dán: f prům = b = b f d = [. 3 3 +. + 3 ]. +. + 3 d = = 6.83 Průměrná teplot n cestě je 6.83 C. Podmínku dosdíme do předpisu funkce f : f =.. +. +.4 + 9 =. +. + 3 Njdeme lokální mimum funkce f : f =.4 +. = =. f =.4 < =. je mimum Dopočítáme druhou souřdnici y =. = 4.7. V bodě [.; 4.7] je největší teplot f., 4.7 = 8. C.., 8. y = 6.83 f =. +. + 3
Mtemtik II - plikovné úlohy 68. Řy 89 - Teplot v pokoji IV Zdání V místnosti o rozměrech m m je teplot popsán funkcí: Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit Ostrv f, y =..y +. +.4y + 9,, y, Projdeme se pokojem po největší možné kružnici. V kterém místě této cesty bude nejtepleji? Bude tm tepleji než C? Hledáme vázný etrém funkce f, y vzhledem k podmínce + y =. Sestvíme Lgrngeovu funkci:, r = Φ, y, λ = f, y + λg, y =..y +.+ +.4y + 9 + λ + y Njdeme stcionární body funkce Φ: Φ =. +. + λ = Φ = y.y +.4 + λy = Φ λ = + y = Z první rovnice vyjádříme λ = dosdíme do druhé vyjádříme y = 6, dosdíme do poslední rovnice získáme kvdrtickou rovnici: 6 6 + 9 = Máme dv stcionání body: A : =.799, y =.89, λ =.9 A : = 8.9, y = 8.84, λ =.78 Určíme druhé prciální derivce: Φ =. + λ, Φ y =. + λ, Φ y = V obou bodech A, A bude etrém, nebot D =. + λ >, určíme o jký etrém se jedná: D A =. +.9 =.6 < D A =. +.9 =.6 > Tedy v bodě [.799,.89] je největší teplot 9.9 C. v A je mimum v A je minimum