Matematika II: Aplikované úlohy

Podobné dokumenty
Matematika II: Testy

II. 5. Aplikace integrálního počtu

18. x x 5 dx subst. t = 2 + x x 1 + e2x x subst. t = e x ln 2 x. x ln 2 x dx 34.

MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH

11. cvičení z Matematické analýzy 2

6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x.

26. listopadu a 10.prosince 2016

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 1 / 26

Správné řešení písemné zkoušky z matematiky- varianta A Přijímací řízení do NMgr. studia učitelských oborů 2010

x + F F x F (x, f(x)).

III.4. Fubiniova (Fubiniho) věta pro trojný integrál

Neřešené příklady z analýzy funkcí více proměnných

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.

Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3,

Přehled základních vzorců pro Matematiku 2 1

Funkce jedné proměnné

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu

NMAF061, ZS Písemná část zkoušky 16. leden 2018

Relativiatická fyzika a astrofyzika I. Geometrie

Hyperbola, jejíž střed S je totožný s počátkem soustavy souřadnic a jejíž hlavní osa je totožná

Hledání hyperbol

( 5 ) 6 ( ) 6 ( ) Přijímací řízení ak. r. 2010/11 Kompletní znění testových otázek - matematický přehled

MATEMATIKA III. π π π. Program - Dvojný integrál. 1. Vypočtěte dvojrozměrné integrály v obdélníku D: ( ), (, ): 0,1, 0,3, (2 4 ), (, ) : 1,3, 1,1,

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f

Integrální počet - IV. část (aplikace na určitý vlastní integrál, nevlastní integrál)

Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Výpočet obsahu rovinného obrazce

R n výběr reprezentantů. Řekneme, že funkce f je Riemannovsky integrovatelná na

Obsah rovinného obrazce

6. Určitý integrál a jeho výpočet, aplikace

Primitivní funkce. Definice a vlastnosti primitivní funkce

ZÁKLADY. y 1 + y 2 dx a. kde y je hledanou funkcí proměnné x.

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a

Matematika II: Pracovní listy Integrální počet funkce jedné reálné proměnné

8. cvičení z Matematiky 2

14 Kuželosečky v základní poloze

Křivkový integrál prvního druhu verze 1.0

Kapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které

Definice. Nechť k 0 celé, a < b R. Definujeme. x < 1. ϕ(x) 0 v R. Lemma [Slabá formulace diferenciální rovnice.] x 2 1

Stavební mechanika, 2.ročník bakalářského studia AST. Téma 4 Rovinný rám

1. Pokyny pro vypracování

2 i i. = m r, (1) J = r m = r V. m V

DERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0

je parciální derivace funkce f v bodě a podle druhé proměnné (obvykle říkáme proměnné

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1

URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

4. cvičení z Matematiky 2

28 m. Obsahy a obvody rovinných obrazců 1) Délky základen lichoběžníku jsou Určete obsah plochy lichoběžníku. c = 8 10 metrů, výška v má velikost

Říkáme, že přímka je tečnou elipsy. p T Přímka se protíná s elipsou právě v jednom bodě.

CVIČNÝ TEST 40. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

Hyperbola a přímka

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech

Téma 5 Rovinný rám. Základní vlastnosti rovinného rámu Jednoduchý otevřený rám Jednoduchý uzavřený rám

+ 2y y = nf ; x 0. závisí pouze na vzdálenosti bodu (x, y) od počátku, vyhovuje rovnici. y F x x F y = 0. x y. x x + y F. y = F

5. Lokální, vázané a globální extrémy

NMAF061, ZS Písemná část zkoušky 25. leden 2018

Rovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R

Cyklografie. Cyklický průmět bodu

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT listopad r r. . b = A

8. Elementární funkce

Určíme průnik množin M 1 a M 2. (Můžeme využít grafické znázornění množin M 1 a M 2 na číselné ose.) Pro všechna x R { 0 } a pro všechna k Z platí:

37. PARABOLA V ANALYTICKÉ GEOMETRII

Jak již bylo uvedeno v předcházející kapitole, můžeme při výpočtu určitých integrálů ze složitějších funkcí postupovat v zásadě dvěma způsoby:

je pravoúhlý BNa ose y najděte bod, který je vzdálený od bodu A = [ 4;

Téma 6 Staticky neurčitý rovinný oblouk. kloubový příhradový nosník

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU

Digitální učební materiál

Téma 9 Těžiště Těžiště rovinných čar Těžiště jednoduchých rovinných obrazců Těžiště složených rovinných obrazců

PŘÍKLADY K MATEMATICE 2

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015)

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 7 Z GEODÉZIE 1

Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.

Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky

14. cvičení z Matematické analýzy 2

CVIČENÍ č. 3 STATIKA TEKUTIN

3. Kvadratické rovnice

METODICKÝ NÁVOD MODULU

12.1 Primitivní funkce

Obr. 1: Optická lavice s příslušenstvím při měření přímou metodou. 2. Určení ohniskové vzdálenosti spojky Besselovou metodou

Logaritmická funkce teorie

Zdeněk Halas. Aplikace matem. pro učitele

56. ročník Matematické olympiády. b 1,2 = 27 ± c 2 25

5.2.4 Kolmost přímek a rovin II

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C

Matematické metody v kartografii

+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c

Téma 4 Rovinný rám Základní vlastnosti rovinného rámu Jednoduchý otevřený rám Jednoduchý uzavřený rám

f(x)dx, kde a < b < c

Podrobnější výklad tématu naleznete ve studijním textu, na který je odkaz v Moodle. Tam je téma

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

Měření momentu setrvačnosti

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

Transkript:

Mtemtik II: Aplikovné úlohy Zuzn Morávková Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv

Mtemtik II - plikovné úlohy Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit Ostrv R y 8 - Rosettská desk I 9. Zdání Rosettská desk je trdic ní oznc ení c erné žulové stély, n níž je ve 66 zncích zznmenán tet ve tr ech shodných verzích: dvou egyptských v hieroglyfickém démotickém písmu jednom r eckém pr ekldu. Konfrontce r eckého pr ekldu s do té doby nec itelným hieroglyfickým tetem umožnil rozlušte ní hieroglyfu. Rosettská desk byl objeven. c ervence 799 v Egypte u me st Rosett pr i ústí Nilu. f 8 Funkce f je po c ástech kvdrtická funkce urc ená body [, 8], [3, ], [6, ], [7, 8], [8, 6]. Funkce g je po c ástech kvdrtická funkce urc ená body [, ], [3, 3], [6, ], [7, 6], [8, 3]. 6 Njde te pr edpisy funkcí popisující tvr desky. 4 g 4 6 8 R ešení Funkce f je po c ástech kvdrtická funkce, tedy má n intervlu h, 6i pr ed- [6, ], [7, 8], [8, 6]. pis kvdrtické funkce urc ené body [, 8], [3, ], [6, ], n inter vlu h6, 8i jiný pr edpis kvdrtické funkce urc ené body [6, ], [7, 8], 36 6 [8, 6]. 49 7 b = 8 Body [, 8], [3, ], [6, ] dosdíme do pr edpisu kvdrtické funkce: 64 8 c 6 y = + b + c R ešení je =, b = 9, c = 46. Stejným zpu sobem spoc ítáme pr edpisy dostneme soustvu lineárních rovnic: funkce g. Výsledné funkce jsou: 8 9 b = + + 8 h, 6i c 36 6 f = 9 + 46 h6, 8i R ešení je =, b =, c = 8. Funkce má pr edpis: 3 + h, 6i f = + + 8 h, 6i 6 g = 3 + 4 h6, 8i Obdobne spoc ítáme pr edpis funkce f n intervlu h6, 8i, která je urc en body

Mtemtik II - plikovné úlohy 6. Řy 8 - Rosettská desk II Zdání Rosettská desk je z černého čediče ρ = 9 kg/m 3 její tloušt k je 8 cm. f = + + 8, 6 9 + 46 6, 8 Lze desku přenést jeřábem s nosností 8 kg? Do kterého míst umístíme hák? g = 3 +, 6 6 3 + 4 6, 8 Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit Ostrv Nejprve spočítáme plošnou hustotu: σ = 9 kg m 3 8 cm =.9 kg cm 3 8 cm = 8. kg cm Hmotnost desky je rovn součinu plošné hustoty obshu: m =σ =σ 8 6 + σ 8 f g d = 6 + + 8 3 9 + 46 6 + 3 + 4 =σ8 + 86.6 = σ 6866.6 = 8. 6866.6. = 7 kg Pro výpočet težiště spočítáme sttické momenty: S =σ =σ 8 6 + σ f g d = 8 6 + + 8 9 + 46 =σ8676 + 64698 = σ 3874 3 6 + 3 + 4 d+ d = d+ d = 8 S y =σ =σ 6 + σ 8 f g d = 6 + + 8 3 9 + 46 =σ734 + 8866.6 = σ 6466.6 Těžiště je v bodě: T = 6 + 3 + 4 [ Sy m ; S ] [ σ 6466.6 m σ 6866.6 ; σ 3874 ]. = [38.7;.9] σ 6866.6 8 6 4 f T g 4 8 d+ d =

Mtemtik II - plikovné úlohy 6. Řy 8 - Gtewy Arch I Zdání Známý pmátník Gtewy Arch je symbolem Sint Louis stát Missouri, USA. Pmátník nvrhl finsko-merický rchitekt Eero Srinen německo-merický stvební inženýr Hnnskrl Bndel v roce 947. Stvb zčl v roce 963 byl dokončen v roce 96, celkové nákldy byly 3 milionů dolrů. Gtewy Arch má tvr řetězovky, která má stejnou šířku při zemi výšku 63 stop. Jký je předpis křivky popisující pmátník? Nápověd: y = cosh + b Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit Ostrv Osu umístíme n zem os y je totožná s osou symetrie pmátníku. Hlednou křivkou je řetězovk: 6 4 3, 63 3, 4 4 y = cosh + b N křivce leží body [; 63] [3; ], které dosdíme do vzthu dostneme dvě rovnice: 63 = cosh + b 3 = cosh + b Z první rovnice vyjádříme b dosdíme do druhé rovnice: 3 cosh + + 63 = Rovnici lze vyřešit numericky nebo použitím vhodného mtemtického progrmu. GeoGebr má k dispozici příkz NuloveBody f=-*cosh3/++63 NuloveBody[f,] 4, 4 je =, b = 77.7 řetězovk má předpis: y = cosh + 77.7 kde 3 stop; 3 stop. f = cosh 3 + + 63

Mtemtik II - plikovné úlohy 6. Řy 83 - Gtewy Arch II Zdání Pmátník Gtewy Arch má tvr řetězovky: kde 3 stop; 3 stop. y = cosh + 77.7 Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit Ostrv Hlemýžd se pohybuje rychlostí metr z hodinu. Dostne se n vrchol pmátníku z týden? Nápověd: stop =.348 m Vypočítáme derivci: y = cosh + 77.7 = = sinh = sinh Délk křivky se spočítá: s = = b 3 3 + y d = cosh =493.94 stop 3 + sinh 3 [ d = sinh d = ] 3 3 = Ukážeme i výpočet bez použití hyperbolických funkcí. Hyperbolický kosinus vyjádříme podle definice spočítáme derivci: y = cosh + 77.7 = = e + e + 77.7 y = e e Délk křivky se spočítá: b s = = 3 + y d = 3 3 = = [ e + e e ] 3 e 3 3 e 3 d = + e e d = [ ] e 3 3 = 3 = 493.94 stop = 4.3 m =.43 km Rychlost je v = m h =. km h. Vypočítáme čs, kdy se hlemýžd dostne n vrchol pmátníku, tj. do poloviny délky: t =. s v =..43. = 7.67 hodin = 7.67 4 dní = 9.486 dní

Mtemtik II - plikovné úlohy 63. Řy 84 - Chldící věž Ledvice I Zdání Chldící věže jsou nezbytnou součástí elektráren. Slouží ke chlzení vody, která se používá při výrobním procesu elektrické energie ve strojovně. Nová věž s přirozeným them pro elektrárnu Ledvice je po chldících věžích n jderné elektrárně Temelín druhá nejvyšší v ČR. Je přesně 44.8 m vysoká její průměr n ptě bude.9 m v koruně 7.3 m. Nejužší místo věže je ve výšce. m. Chldící věž má tvr rotčního hyperboloidu. Jký je předpis křivky, popisující tvr věže? Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit Ostrv Osu umístíme do nejužšího míst věže os y je totožná s osou symetrie věže. Hlednou křivkou je hyperbol se středem v počátku souřdnic: 7.3 3.6, 33.3 y b =. N hyperbole leží body [3.6; 33.3] [.4;.], které dosdíme do rovnice dostneme: 3.6 33.3 b =.4. b = 44.8 : = 33.66, b = 96.46. Výsledná křivk je dán předpisem:.4,. 33.66 y 96.46 =,.9 kde y.; 33.3.

Mtemtik II - plikovné úlohy 64. Řy 8 - Chldící věž Ledvice II Zdání Chldící věž má tvr rotčního hyperboloidu. Hyperbol je dán: Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit Ostrv 33.66 y 96.46 =. kde y. m; 33.3 m. Jký je objem povrch věže? Nápověd: k + = k + + k ln + k + k Hyperboloid vznikne rotcí části hyperboly kolem osy y proto eplicitně vyjádříme : = 33.66 + y 96.46 Objem rotčního těles se spočítá: b 33.3 V =π dy = π 33.66 + y. 96.46 dy = =π 33.66 [y] 33.3. + [ y 3 ] 33.3 96.46 = 3. =π 33.66 33.3 +. + 33.3 3 96.46 +.3 3 3 =69687.49 m 3 Vypočítáme derivci: = 33.66 + y 96.46 y 96.46 = 33.66 y 96.46 96.46 + y Povrch rotčního těles se spočítá: b P =π + dy = b =π 33.66 + y 33.66 y + 96.46 96.46 dy = 96.46 + y =π 33.66 96.46 + 33.66 33.3 96.46 4 96.46. 96.46 + 33.66 + y dy = =π 33.66 33.3 k k + y dy. 96.46 kde k = 4 96.46 + 33.66 = 9.743 P =3768.36 m

Mtemtik II - plikovné úlohy 6. Řy 86 - Teplot v pokoji I Zdání V místnosti o rozměrech m m je v jihovýchodním rohu v polovině jižní stěny teplot 9 C, v jihozápdním rohu 4 C, v polovině zápdní stěny 8. C, v severozápdním rohu 3 C v severovýchodním rohu je 8 C. Njděte kvdrtickou plochu popisující teplotu. Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit Ostrv Kvdrtická funkce má předpis: f, y = + y + 3 y + 4 + y + 6 Funkce je určen body f, = 9, f, = 9, f, = 4, f, = 8., f, = 3, f, = 8. y 3 C 8 C soustvy je =., =., 3 =, 4 =., =.4, 6 = 9 funkce má předpis: f, y =..y +. +.4y + 9,, y, 8 8. C f,y 6 4 9 C 9 C 4 C Dosdíme body do předpisu funkce f, y dostneme soustvu lineárních rovnic: 9 9 3 = 4 4 8. 3 8 6 8 y 4 6 8

Mtemtik II - plikovné úlohy 66. Řy 87 - Teplot v pokoji II Zdání V místnosti o rozměrech m m je teplot popsán funkcí: Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit Ostrv V kterém místě bude nejtepleji? Bude tm tepleji než C? f, y =..y +. +.4y + 9,, y, Pro nlezení lokálního etrému je potřeb njít stcionární body: f =. +. f =.y +.4 y Stcionární bod je A = [.; ]. Spočítáme druhé prciální derivce: f =., Určíme hodnoty Hessiánu: D = f A f y A f y =., D = f A =. < f y = f y A =.4 > V bodě A = [.; ] je ostré lokální mimum f., =. C. f,y 8 6 4 8 6 4 A 4 6 8 y

Mtemtik II - plikovné úlohy 67. Řy 88 - Teplot v pokoji III Zdání V místnosti o rozměrech m m je teplot popsán funkcí: Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit Ostrv f, y =..y +. +.4y + 9,, y, Půjdeme z jihovýchodního do severozápdního rohu. V kterém místě této cesty bude nejtepleji? Jká je průměrná teplot n této cestě? Hledáme vázný etrém funkce f, y vzhledem k podmínce y =. y = Průměrná hodnot funkce je dán: f prům = b = b f d = [. 3 3 +. + 3 ]. +. + 3 d = = 6.83 Průměrná teplot n cestě je 6.83 C. Podmínku dosdíme do předpisu funkce f : f =.. +. +.4 + 9 =. +. + 3 Njdeme lokální mimum funkce f : f =.4 +. = =. f =.4 < =. je mimum Dopočítáme druhou souřdnici y =. = 4.7. V bodě [.; 4.7] je největší teplot f., 4.7 = 8. C.., 8. y = 6.83 f =. +. + 3

Mtemtik II - plikovné úlohy 68. Řy 89 - Teplot v pokoji IV Zdání V místnosti o rozměrech m m je teplot popsán funkcí: Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit Ostrv f, y =..y +. +.4y + 9,, y, Projdeme se pokojem po největší možné kružnici. V kterém místě této cesty bude nejtepleji? Bude tm tepleji než C? Hledáme vázný etrém funkce f, y vzhledem k podmínce + y =. Sestvíme Lgrngeovu funkci:, r = Φ, y, λ = f, y + λg, y =..y +.+ +.4y + 9 + λ + y Njdeme stcionární body funkce Φ: Φ =. +. + λ = Φ = y.y +.4 + λy = Φ λ = + y = Z první rovnice vyjádříme λ = dosdíme do druhé vyjádříme y = 6, dosdíme do poslední rovnice získáme kvdrtickou rovnici: 6 6 + 9 = Máme dv stcionání body: A : =.799, y =.89, λ =.9 A : = 8.9, y = 8.84, λ =.78 Určíme druhé prciální derivce: Φ =. + λ, Φ y =. + λ, Φ y = V obou bodech A, A bude etrém, nebot D =. + λ >, určíme o jký etrém se jedná: D A =. +.9 =.6 < D A =. +.9 =.6 > Tedy v bodě [.799,.89] je největší teplot 9.9 C. v A je mimum v A je minimum