1 Lineární algebra 1 LINEÁRNÍ ALGEBRA 8 11 Vektory 8 111 Operace s vektory 8 8 112 Lineární závislost a nezávislost vektorů 8 8 113 Báze vektorového prostoru 9 9 12 Determinant 9 9 13 Matice 1 131 Operace s maticemi 1 1 132 Hodnost matice 12 12 133 Inverzní matice 13 13 134 Maticové rovnice 13 13 14 Soustavy lineárních rovnic 15 15 17-7 -
1 LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 Lineární algebra 11 Vektory 111 Operace s vektory 1 Vypočítejte součet a b + a rozdíl a b a b a vektorů: a) a = ( 2 3 5 ) b = ( 8 3 9 b) a = 1 1 5 b = 3 6 8 1 a = 7 8 15 b = 4 9 9 a = 4 9 2 b = 3 3 9 7 ) ( ) ( ) c) ( ) ( ) d) ( ) ( ) 2 Vypočítejte souřadnice vektoru x pro který platí: a) x+ 2a 4 b = o a = ( 8711 ) b = ( 93 5) 4x8a 2 b = o a = 5 1384 b = 68 46 b) ( ) ( ) 112 Lineární závislost a nezávislost vektorů 3 Určete konstantu m tak aby vektory ab byly lineárně závislé (kolineární): a) a = ( 4 m 5 ) b = ( 8 61) b) a = ( 1 m m) b = ( 3 6 6) 4 Určete konstanty mr tak aby vektory ab byly lineárně závislé (kolineární): a = 12 m16 b = 9 3 a = 4 m 8 4 b = 6 9 r 6 a) ( ) ( r ) b) ( ) ( ) 5 Zjistěte jak jsou vektory abc závislé: a) a = ( 1 1 ) b = ( 2 3 5 ) c = ( 3 3) b) a = ( 4 3 2 5 ) b = ( 1 1 ) c = ( 3 2 5) a = 2 7 4 2 b = 2 612 8 c = 1 3 7 d) a = ( 1 2 3 ) b = ( 1 1 ) c = ( 3 4 7) e) a = 511 b = 21 c = 3 4) c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( - 8 -
1 Lineární algebra 6 Zapište vektor d jako lineární kombinaci vektorů abc : a) a = ( 1 1 ) b = ( 2 3 5 ) c = ( 3 3 ) d = ( 512 5) b) a = ( 4 3 2 5 ) b = ( 1 1 ) c = ( 3 3 5 ) d = ( 2 6 91) c) a = ( 1 7 4 2 ) b = ( 3 7 4 8 ) c = ( 3 8 1 6 ) d = ( 3 2) a = 21 2 b = 1 3 c = 11 d = 113 d) ( ) ( ) ( ) ( ) 113 Báze vektorového prostoru 7 Dokažteže vektory ab ctvoří bázi vektorového prostoru a zapište souřadnice vektoru d v této bázi: a) a = ( 1 1 ) b = ( 2 4 7 ) c = ( 3 1 ) d = ( 119 9) a = 432 b = 11 c = 34 d = 22936 a = 6 5 4 b = 5 2 4 c = 1 4 d = 7 8 b) ( ) ( ) ( ) ( ) c) ( ) ( ) ( ) ( ) 12 Determinant 8 Vypočítejte determinant: a) 4 5 1 2 b) 3 1 3 6 c) 6 2 4 8 d) 2 5 4 3 e) 3 8 1 2 9 Vypočítejte determinant Sarrusovým pravidlem: 1 2 1 5 2 4 a) 1 3 2 b) 3 3 1 c) 1 3 3 5 2 7 4 1 4 2 2 2 2 5 2 d) 1 2 1 3 1 e) 2 1 4 2 1 2 1 3 3 5 4-9 -
1 Lineární algebra 1 Vypočítejte determinant determinant upravte a použijte rozvoj podle některého řádku nebo sloupce: 2 1 4 1 2 1 4 5 6 7 3 2 2 5 3 1 4 5 5 7 a) b) c) 1 1 1 2 1 1 4 1 3 4 2 2 2 4 1 4 1 2 2 3 d) 1 2 3 4 1 2 1 e) 3 3 1 2 1 1 1 6 2 3 1 1 3 1 3 1 1 2 2 11 Vypočtěte determinant úpravou na trojúhelníkový tvar: 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 3 1 2 1 a) b) 1 1 1 c) 2 4 3 1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 3 5 4 6 2 6 11 13 8 6 21 2 14 d) 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 3 1 3 1 13 Matice 131 Operace s maticemi 12 Vypočítejte 2 A+ 3 BC kde: a) A 1 2 4 7 5 = 3 B = = 2 5 C 6 1-1 -
1 Lineární algebra 5 1 6 9 11 1 2 b) A= 2 3 B= 5 3 C= 2 1 7 2 4 8 4 1 3 13 Vypočítejte A+ 2 E2 B kde: 5 3 8 2 a) A= B= b) 9 4 6 9 14 Vynásobte matice A a B : 5 3 8 2 a) A= B= b) 9 4 6 9 1 2 9 8 7 A= 3 4 B= 4 5 6 2 8 3 3 2 1 1 2 9 8 7 A= 3 4 B= 4 5 6 2 8 3 3 2 1 2 4 1 7 4 3 2 1 2 c) A= B= 3 d) 3 1 1 A= 1 2 5 B= 1 1 1 2 3 3 3 2 7 2 5 e) ( 1 2 3 ) 2 5 5 5 A = B= f) A= 4 B= 7 8 4 9 3 3 8 2 3 1 3 2 2 3 4 2 4 2 g) A= B= 2 h) 6 1 1 A= 1 4 B= 3 1 3 2 9 1 2 3 3 1 2 1 i) ( 2 1 2 3 ) 2 1 1 3 A= B= j) A= 3 B= 3 1 1 6 2 1 2 1 2 2 1 1 3 9 3 k) A = B= C= matice lze násobit více způsoby 3 1 1 6 4 1 2-11 -
1 Lineární algebra 132 Hodnost matice 15 Vypočítejte hodnost matice: 1 1 1 3 2 1 2 1 2 1 a) A = 2 4 6 b) A = 3 3 c) A = 1 3 1 4 4 1 1 3 3 2 2 2 4 4 3 2 3 2 4 1 3 5 7 5 2 4 5 3 d) 2 4 1 1 6 A = e) A = 2 4 5 1 3 6 8 5 8 6 8 1 1 5 5 16 22 5 12 1 1 6 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 4 f) A = 1 2 3 2 2 g) A = 2 1 7 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 3 3 4 1 7 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 h) A = 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 16 Doplňte parametry ab tak aby matice měla danou hodnost: 1 2 5 7 2 a) A = a 4 2 h( A) = 2 b) A= a 7 2 h( A ) = 2 4 4 b 4 b 4-12 -
1 Lineární algebra 133 Inverzní matice 17 Najděte inverzní matici: 4 3 a) A = b) c) 2 1 A = 2 1 5 2 A = 7 2 12 7 2 1 2 4 d) A = e) A = 1 2 3 8 18 Najděte inverzní matici: 1 2 1 3 1 a) A = 3 2 4 b) A = 5 2 1 c) 1 7 1 2 2 1 1 1 A = 11 12 13 2 3 4 3 4 1 2 5 4 d) A = 2 1 e) A = 3 1 2 1 2 1 19 Najděte inverzní matici: 1 2 3 2 1 1 1 1 1 a) 2 1 A = b) A = 2 2 3 1 2 3 3 1 2 1 1 5 4 1 4 5 6 7 2 3 4 c) A = d) 1 1 2 1 2 4 1 2 1 1 2 A = 1 1 2 1 1 134 Maticové rovnice 2 Řešte rovnici s neznámou maticí X : 2 4 6 a) X = b) 2 7 18 6 X 2 1 2 = 3 4 4 5-13 -
1 Lineární algebra 2 3 1 c) X = d) 1 1 2 4 1 2 1 X = 6 2 4 2 11 5 12 5 9 5 1 1 2 2 4 e) X = f) X = 2 1 4 2 1 3 2 3 2 3 6 21 Řešte rovnici s neznámou maticí X : 1 2 1 2 a) 4 1 5 X = 3 4 b) 5 3 2 1 5 8 3 2 X = 2 4 3 1 1 1 2 1 5 1 1 2 c) 3 1 X = 1 1 d) X = 1 2 2 1 2 2 5 2 3 3 1 5 1 3 e) X 1 1 1 = 4 2 2 2 1 5 5 9 22 Řešte rovnici s neznámou maticí X : 2 5 9 1 a) 1 2 1 X = 2 b) 1 3 4 5 1 1 X 2 3 = ( 3 3) 1 3 3 1 5 4 2 1 c) X = 3 2 6 4 25 18 23 Řešte soustavu maticových rovnic s neznámými maticemi XY : 1 18 8 6 1 a) b) 2 3 X = = 6 11 Y 5 X 3 3 3 4 2 X= Y=X 5 1 9 3 4-14 -
14 Soustavy lineárních rovnic 1 Lineární algebra 24 Řešte soustavu lineárních rovnic GEM a Cramerovým pravidlem: x+ y+ z= 4 2x+ 3y 2z=4 x+ y+ 2z= 6 a) 2x 3y+ z=3 b) 4x 3y+ 3z= 1 c) 2x y 4z=6 x+ 2y 2z= 1 6x 4y 2z= 14 5x+ y+ z= 12 2x+ 3y+ 4z= 9 6x+ y z= 7 x+ y z= 5 d) 5x 3y+ 4z= 6 e) x 6y+ z= 17 f) x 2y+ z= 4x+ 3y 4z=21 x+ y+ 6z= 14 x+ y z=5 g) x + 2y z= 9 x + y+ z= 3 h) 2x y z= 6 2x+ y 2z= 7 2x + 3y 4z= 4 x+ 2y+ z= i) 5x 3y+ 7z= 2 2x+ 3y+ z= 9x + 4y 12z= 1 25 Řešte soustavu lineárních rovnic GEM: x+ y+ z+ u= 4 x + y 4z= 9 x 2y+ 3z u= 2 a) x + y+ 2z= 3 b) c) 2x y+ 4z = 6 x + y z= 6 3x + 5z+ u= 11 3x + 2x + x x = 5 1 2 3 4 3x1+ x2+ 4x3 + x4= 4 2x x + 3x x = 3 1 2 3 4 2x + x + 5x + x = 2 1 2 3 4 x + 2x x + 3x 2x = 4 2x + 2x 3x + 3x x = 5 d) 2x x 3x + 3x =3 e) 2 3 4 5 x + 2x 2x + x = 3 1 3 4 5 x + 2x x + 2x x = 6 x + 2x + 4x x = 1 1 2 3 5 x1 x2+ 5x3 x4 2x5= 4 3x x + x + x =6 2 3 4 5 x 2x + 2x + 2x + 4x = 8 26 Řešte homogenní soustavu lineárních rovnic: x + y+ z+ u= x + y 4z= 3x 2y+ z = a) x + y+ 2z= b) c) 2x + 2y+ z+ 2u= x + y z= 6x + y+ 3z 3u= 2x + x + x = 1 2 3x1 x2+ 2x3 + 2x4 = 4x + x + 2x + 5x = 1 2 4 3 4 3x + 5x = 3 4 2x 3x + x x + x = 2x + x 3x + x + x = d) x x + 3x x x = e) 4x 2x 2x + 2x = 1 2 1 2 3 5 7x 2x 2x + 2x = 3 5 x + 2x x + 4x x = 2x1+ 4x2 4x3+ 6x4 3x5= x + 2x 3x + 2x 2x = x 2x + x 4x + x = - 15 -
1 Lineární algebra - 16 -
1 Lineární algebra 1 a) a+ b = 6 614 a b = ( ) ( 1 4) b a = ( 4) b) a+ b = ( 4 5 8 6) a b = ( 2 7 8 6) b a = ( 2 7 8 6) c) a+ b = ( 6 4 9 24) a b = ( 8 2 9 6) b a = ( 8 12 9 6) d) nelze sčítat ani odčítat 2 a) x = ( 2 2 42) b) x = ( 7 22911) 3 a) m = 3 b) m = 2 4 a) m= 4 r = 12 b) m= 6 r = 12 5 a) 2a b+ c = o b) a 4b c = o c) 4 a+ b+ 4 c = o d) 2 a+ b c = o e) LNZ 6 a) d = a+ 2b+ 2c b) d = a+ 2b+ 3c c) d = b+ c d) d = 2a+ 3b c 1 1 7 a) det 2 4 7 =1 tvoří bázi d ( 3 1 5) abc = 3 4 3 2 b) det 1 1 = tvoří bázi d ( 4 4 7) abc = 3 4 6 5 4 c) det 5 2 4 =36 tvoří bázi d ( 1 2 ) abc = 1 4 8 a) 3 b) 12 c) d) 1 e) 1 9 a) 7 b) 41 c) d) 24 e) 1 a) 2 b) 7 c) d) 2 e) 44 11 a) 3 b) 27 c) 8 d) 8 27 29 29 7 9 12 a) b) 13 a) b) 5 6 2 X = 9 7 9 9 11 5 16 12 13 39 1 3 2 8 4 3 58 17 22 32 14 a) AB = BA = 48 54 111 8 b) 15 12 9 19 88 3 A B= 43 4 3 B A= 1 68 26 5 62 65 7 16 3 c) 14 4 4 1 7 5 5 AB = BA = 4 13 d) AB = 17 17 BA nelze násobit 1 2 7 11-17 -
1 Lineární algebra 2 4 6 5 15 e) AB = () 1 BA = 4 8 2 3 6 9 9 8 17 4 31 25 35 2 2 f) AB = BA = 58 8 2 1 5 5 61 32 57 22 5 7 16 2 g) AB = BA = 2 9 h) 12 19 3 4 8 4 45 12 AB nelze násobit BA = 37 7 32 3 6 3 6 9 8 3 1 2 2 1 2 3 = 7 = 7 7 7 2 3 AB BA j) AB = 6 3 6 9 BA = 3 7 12 6 6 4 2 4 6 4 1 2 i) ( ) 47 18 7 11 56 49 72 84 3 3 2 9 k) ABC = CAB = BCA = 2 37 5 21 162 72 54 18 7 6 11 5 15 a) h( A ) = 2 b) h( A ) = 3 c) h( A ) = 3 d) h( A ) = 4 e) h( A ) = 2 f) h( A ) = 5 g) h( A ) = 3 h) h( A ) = 5 16 a) ( ) b) a =5 b R 1 2 a = 4 b= 2 a = 4 b= 2 + k k k 1 3 1 17 a) A = b) 2 2 4 2 1 1 d) A = e) 3 2 2 1 = 3 1 4 2 A 2 1 1 A = c) 3 7 2 7 2 1 A = 1112 5 18 a) 3 5 1 1 1 5 23 5 8 A = b) 4 6 1 1 12 2 5 32 4 6 15 A = c) A neexistuje d) 2 7 1 1 4 6 2 8 2 3 5 A = e) 3 3 2 1 = 2 6 3 1 6 A - 18 -
1 Lineární algebra c) b) f) 19 a) 2 3 2 1 3 12 3 = 6 2 2 2 3 2 2 A b) 8 11 21 3 1 12 3 36 9 27 2 3 9 9 1 2 6 3 A = d) X = 31 14 c) 5 5 15 12 2 X = 21 a) 5 4 2 6 2 3 3 1 16 8 4 4 24 26 4 5 11 18 2 3 3 A = 1 1 2 X = d) 3 2 1 5 17 X = b) 2 3 2 23 9 d) X = 5 2 e) 6 7 b) X = (3 2 3) c) 2 1 = = 1 4 5 7 3 2 2 3 1 = 1 1 1 3 3 5 2 5 4 = 4 2 A 2 a) X 2 X = e) 2 7 29 34 1 X = 14 16 3 c) 2 12 41 2 1 X = 18 24 6 9 22 a) 69 2 8 1 X = 49 241 2 4 1 5 9 9 2 4 X = 9 9 4 7 9 9 7 3 31 X = 3 2 3 2 1 3 X = 12 7 2 1 23 a) X= 2 Y= 6 2 5 b) X Y 24 a) ( 1 21 ) b) (1 2 ) c) ( 2 46) d) ( 313 ) e) ( 2 23) f) (555) g) ( 3 2 2) h) ( ) 1 3 i) ( 27 1425) 25 a) (5 1) 21 47 5 25 tt b) nemá řešení c) 8 24 8 3 d) (17 t4 s s9 2 s t2 + t) e) nemá řešení 26 a) ( tt ) b) ( ) c) ( 5 3) tt t t d) ( ts s 4s2 t t) e) ( 9t4s2 r r t s 2t2s) - 19 -