Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují ve tvaru z = a + ib, kde i je komplexí jedotka a a,b R, pro komplexí jedotku platí i = 1, (1) (často se používá také ozačeí j). a se azývá reálá část a zapisuje se R(z) = a a imagiárí část I(z) = b. Nyí defiujeme základí operace komplexích čísel (z 1 = a + ib, z = c + id): sčítáí ásobeí z 1 + z = a + c + i(b + d), z 1 z = (a c b d) + i(a d + c b). Vyjádřeí komplexího čísla ve tvaru z = a + ib azýváme algebraický zápis. Komplexí čísla můžeme rověž vyjádřit v tzv. geometrickém vyjádřeí. Nejprve se podívejme a zázorěí komplexího čísla v tzv. Gaussově roviě a 1. Souřadice každého komplexího čísla mohou být vyjádřey bud pomocí x-ové a y-ové souřadice, ebo pomocí vzdáleosti od počátku, tj. absolutí hodoty komplexího čísla z = r = a + b, () a úhlu ϕ akresleém v grafu 1: ϕ = arcta b a, (3) I(z) = y b = r siϕ z r = z ϕ a = r cosϕ R(z) = x Obrázek 1: Zázorěí komplexího čísla v Gaussově roviě. Osa x zázorňuje reálou část čísla, osa y imagiárí část čísla. Číslo je možé také vyjádřit pomocí vzdáleosti od počátku r a úhlu ϕ. 1
reálou část komplexího čísla potom můžeme přepsat pomocí rovice: cosϕ = a r, což platí v pravoúhlém trojůhelíku, potom pro hodotu a: Aalogicky pro imagiárí část komplexího čísla: a = r cosϕ = z cosϕ. b = z siϕ. Komplexí číslo v algebraickém zápisu potom můžeme apsat ve tvaru: z = a + ib = z cosϕ + i z siϕ = z (cosϕ + isiϕ). (4) Narozdíl od vyjádřeí v algebraickém tvaru eí toto vyjádřeí jedozačé, protože úplě stejé číslo dostaeme, přičteme-li k úhlu π ebo jeho celočíselý ásobek: z = z [cos(ϕ + kπ) + isi(ϕ + kπ)], k Z. () Převod z algebraického tvaru a geometrický a aopak Mějme číslo z = 1 i, které chceme převést do geometrického tvaru. Postup je ásledující: 1. spočítáme absolutí hodotu komplexího čísla z = a + b = ( 1) + ( 1) =.. spočítáme úhel ϕ siϕ = b r = 1 =, cosϕ = a r = 1 =, ϕ = arcta(1) = π 4. Výsledý úhel však eodpovídá zadáí, číslo patří do třetího, e do prvího kvadratu, což je patré také z hodot siϕ a cosϕ. Musíme tedy ajít úhel, pro který platí taϕ = 1 a leží v itervalu (π,3/π). Takový úhel je rove 4 π. 3. zapíšeme výsledé číslo z = [ ( ) ( )] cos 4 π + kπ + isi 4 π + kπ, k Z. Jak spočítat z komplexího čísla v geometrickém tvaru číslo v algebraickém tvaru? Jedoduše :-) Stačí spočítat hodotu si a cos daého úhlu třeba pro k = 0: z = [ ( ) ( )] cos 4 π + isi 4 π = ( ) i = 1 i, což je původí zadáí čísla.
Další operace s komplexími čísly Komplexí čísla lze také odčítat: z 1 z = (a c) + i(b d), k daému komplexímu číslu z = e+i f musí existovat komplexí číslo opačé z = e i f. Komplexí čísla můžeme rověž dělit: z 1 = z 1 z = z 1 z (a c b d) + i(a d + c b) = z z z z c + d, kde z ozačuje číslo komplexě sdružeé: z = a + ib = a ib. Komplexě sdružeá čísla se často ozačují hvězdičkou: z = z. I zde je děleí podmíěo existecí iverzího prvku, tj. z 1 = z/ z. Mociy a odmociy z komplexích čísel, Moivreova věta Z oboru komplexích čísel jsou pojmy mocia a odmocia defiováy úplě stejě jako v oboru čísel reálých. Samotý výpočet už tak jedoduchý eí, apříklad -tou mociu je obecě uté spočítat pomocí biomického rozvoje: z = (a + ib) = k=0 ( ) a k (ib) k, k což je však pro velké hodoty velmi pracý výpočet. Pro výpočet se tak hodí použít vyjádřeí komplexího čísla v geometrickém tvaru, ve kterém má -tá mocia tvar: z = z (cosϕ + isiϕ), Výpočet mociy komplexího čísla popisuje právě Moivreova věta: z = z [cos(ϕ) + isi(ϕ)], (6) tato věta jde sado dokázat matematickou idukcí. Nejprve si rovost ověřme pro = : z (cosϕ + isiϕ) = z [cos ϕ si ϕ + i(cosϕ siϕ)] = z [cos(ϕ) + isi(ϕ)], pro k-tou mociu můžeme apsat k + 1 mocia je dáa: z k (cosϕ + isiϕ) k = z k [cos(kϕ) + isi(kϕ)], z k+1 (cosϕ + isiϕ) k+1 = z k+1 [cos((k + 1)ϕ) + isi((k + 1)ϕ)], upravujme pravou strau této rovice bez absolutí hodoty. Použijme vzorec pro si ebo cos součtu dvou úhlů: cos[(k + 1)ϕ] + isi[(k + 1)ϕ] = cos(kϕ)cosϕ si(kϕ)siϕ + icos(kϕ)siϕ + isi(kϕ)cosϕ = isiϕ[isi(ϕ) + cos(kϕ)] + cosϕ[cos(kϕ) + isi(kϕ)] = Spočítaý výraz dosadíme do vzorce pro k + 1-í mociu a dostaeme: [cos(kϕ) + isi(kϕ)](cosϕ + isiϕ). (7) z k+1 (cosϕ + isiϕ) k+1 = z k+1 [cos(kϕ) + isi(kϕ)](cosϕ + isiϕ), odkud po vyděleí čleem z (cosϕ + isiϕ) dostaeme te samý výraz jako pro k-tou mociu. Tím je Moivreova věta dokázáa. 3
Příklad Je dáo z = + i, spočítejte z 30 : Řešeí: Geometrický tvar čísla je: z [cos(0.464) + isi(0.464)], pomocí Moivreovy věty zjistíme, že odkud sado zjistíme z 30 1 [cos(13.909) + isi(13.909)], z 30 6.836 10 9 +.97 10 10 i. Defiice -té odmociy komplexího čísla je ásledující: -tá odmocia komplexího čísla a je každé takové komplexí číslo z, pro které platí z = a. -tou odmociu v oboru komplexích čísel můžeme začit ( a)c. V komplexím oboru má existuje ejvýše -tých odmoci daého čísla. Chceme-li odmociy spočítat, musíme řešit rovici a = z. Pro a = 0 existuje právě jeda odmocia, a to z = 0. Pro a 0 musíme odmociu spočítat pomocí zápisu čísel v geometrickém tvaru: R(cosΦ + isiφ) = z (cosϕ + isiϕ) = z [cos(ϕ) + isi(ϕ)]. Pravá a levá straa rovice si musí být rovy. To astae právě tehdy, pokud jsou zvlášt reálé části stejé a imagiárí části stejé: RcosΦ = z cos(ϕ), a RsiΦ = z si(ϕ), rovost bude splěa, pokud čísla budou mít stejou absolutí hodotu a stejý argumet, který se může lišit o ásobek kπ: R = z, (8) odtud Φ + kπ = ϕ,k = 0,1,..., 1, (9) z = R, (10) ϕ = Φ + kπ, k = 0,1,..., 1. (11) hledaé odmociy potom můžeme zapsat ve tvaru: z k = R [cos ( Φ + kπ ) + isi Je zřejmé, že pro k = dostaeme to samé řešeí, jako pro k = 0: [ ( ) ( )] [ Φ Φ R cos + isi = R cos ( Φ + kπ )], k = 0,1,..., 1. (1) ( Φ + π ) ( )] Φ + isi + π. 4
Příklad Spočítejte všechy čtvrté odmociy z imagiárí jedotky. Řešeí: Hledáme: z = 4 i, řešíme tedy rovici: z 4 = i, Absolutí hodota i je rova jedé a argumet ϕ = π/. Potom můžeme řešeí apsat: ( π z k = cos 8 + kπ ) ( π + isi 8 + kπ ), k = 0,1,,3. Tedy: + z 0 = + i 0.94 + 0.383i, + z 1 = + i 0.383 + 0.94i, + z = i 0.94 0.383i, z 3 = i + 0.383 0.94i. Řešeí rovic v komplexím oboru Rovost dvou komplexích čísel: komplexí čísla jsou si rova, pokud jsou si rovy jejich reálé a imagiárí části. Příklad a začátek Vyřešte rovici z + z = + 3i. Řešeí: Řešeí hledáme v algebraickém tvaru: z = a + ib, tedy po dosazeí 3a ib = + 3i, reálá část je potom rova: a = /3 a imagiárí: b = 3. Výsledek je tedy ve tvaru: z = 3 3i. Kvadratické rovice Kvadratická rovice je ve tvaru: obecé řešeí je dáo vztahem: ax + bx + c = 0, (13) x 1, = b ± b 4ac, (14) a pokud je výraz pod odmociou záporý, emá rovice v R řešeí. V komplexím oboru však řeší existuje. Můžeme jej pro b < 4ac zapsat: x 1, = b ± i 4ac b. (1) a Z tohoto vzorce je zřejmé, že kořey jsou komplexě sdružeé.
Příklad x x + = 0. Řešeí: Tuto rovici můžeme řešit bud doplěím a čtverec, ebo přímým dosazeím do rovice (16). Podívejme se a metodu doplěí a čtverec: x x + = (x 1) 1 + = (x 1) + 1, abychom mohli provést úpravu podle vzorce a b číslo 1 ahradíme (i) : (x 1) (i) = (x 1 i)(x 1 + i) = 0, kořey tedy jsou: x 1, = 1 ± i. Kvadratické rovice s komplexími koeficiety Řešíme stejou rovici, avšak koeficiety mohou být komplexí čísla. Obecé řešeí můžeme zapsat ve tvaru: x 1, = b ± b 4ac ( cos 1 α + isi 1 α), (16) a kde α je argumet diskrimiatu (D = b 4ac) pro D 0 a libovolé reálé číslo pro D = 0. 6