Matematika pro chemické inženýry Drahoslava Janovská Plošný integrál Přednášky Z 216-217 ponzorováno grantem VŠCHT Praha, PIGA 413-17-6642, 216
Povinná látka. Bude v písemkách a bude se zkoušet při ústní zkoušce (žádné označení) Příklady k procvičení - dobrovolné Pro studenty, kteří chtějí vědět víc. Tato látka se nebude přednášet, nebude v písemkách, nebude se zkoušet.
Obsah 1 Plošný integrál skalárního pole 2 Plošný integrál vektorového pole Orientace plochy Plošný integrál vektorového pole 3 Gaussova divergenční věta 4 tokesova věta 5 Literatura k dalšímu studiu
Plošný integrál skalárního pole... plocha zadaná parametrizací Φ : D R 3, D = a, b c, d, Φ = Φ(x(u, v), y(u, v), z(u, v)), u = u(t), v = v(t), (u, v) D. f... skalární pole zadané na ploše, např. hustota elektrického náboje rozloženého na ploše, f : R. Připomeňme, že ( ) g11 g g(u, v) = det 12. g 12 g 22 Pak D f d = D f (Φ(u, v)) g(u, v)dudv }{{} = d... element plošného obsahu f (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) g(u, v)dudv.
Příklad Vypočtěte f d, kde f (x, y) = 2 xyz a parametrizace Φ : D R 3 : Φ(u, v) = (u, v, u 2 + v 2 ), D = {(u, v) R 2, u 2 + v 2 4}. e 1 = (1,, 2u), e 2 = (, 1, 2v) g 11 = 1 + 4u 2, g 12 = 4uv, g 22 = 1 + 4v 2 = g = 1 + 4u 2 + 4v 2. d = 1 + 4u 2 + 4v 2 dudv f d = (2 uv(u 2 + v 2 )) 1 + 4(u 2 + v 2 )dudv = u = r cos ϕ D v = r sin ϕ 2 ( 2π ) = 1 + 4r 2 (2 r 4 sin ϕ cos ϕ)dϕ) }{{} r dr = Jacobián = = 4π 2 r 4r 2 + 1dr = π 3 (17 17 1).
Orientace plochy Orientace plochy Místo integrál vektorového pole přes plochu se používá termín tok vektorovou plochou. Motivace z hydrodynamiky. Definice Plochu nazýváme orientovanou, jestliže na ní existuje (resp. lze na ní definovat) spojité vektorové pole jednotkových normálových vektorů. Poznámka Existují i neorientované plochy, např. Moebiův list, ale my budeme předpokládat, že pracujeme jen s orientovanými plochami. Označme int = vnitřek plochy.
Orientace plochy Orientace plochy s krajem... plocha, Φ její parametrizace, Φ : Ω R 2 R 3, H(Ω)... hranice Ω. v a d c b u Obraz H(Ω) při parametrizaci Φ je obvykle křivka, kterou nazýváme krajem plochy nebo konturou plochy nebo hranicí plochy: = hranice. Ω = a, b c, d uzavřená oblast
Orientace plochy Definice Říkáme, že orientace křivky K - hranice plochy, K =, je koherentní s orientací plochy, jestliže pozorovatel pohybující se po křivce K ve směru její orientace a s hlavou směřující ve směru kladné normály k ploše, má plochu po levé ruce. Na obrázku vlevo je kladný směr normály = kladný směr osy z, K koherentně orientována s kruhem. Uzavřené plochy orientujeme tak, že za kladný směr normálových vektorů bereme ten směr, který směřuje ven z plochy. Část omezená uzavřenou plochou... vnitřek plochy, int.
Orientace plochy Tok vektoru plochou Představme si prostor nebo jeho část vyplněnou proudící kapalinou. Pohyb kapaliny popisuje rychlostní pole v (P) (= pole rychlostí proudící kapaliny). Necht toto pole nezávisí na čase. Vektor v (P) určuje velikost a směr rychlosti částic kapaliny. Částice se pohybují po křivkách... proudnicích. Do proudící kapaliny umístíme plochu, např. obdélník.? Kolik kapaliny proteče plochou za jednotku času? v (P) je konstantní na ploše a kolmé k ploše. Celkové množství kapaliny, které proteče plochou za jednotku času: m = Po() v, kde m je objem kvádru, Po() je plocha podstavy kvádru a v je výška kvádru.
Orientace plochy v (P) je konstantní, ale není kolmé k. m = objem rovnoběžnostěnu, h... výška, h = v (P) n (P), h je kolmý průmět rychlosti kapaliny v (P) do směru normály n k ploše, m = v (P) n (P) Po() }{{} plocha podstavy Obecný případ řešíme pomocí plošného integrálu vektorového pole v
Plošný integrál vektorového pole... orientovaná plocha, n (P)... pole normálových vektorů (orientuje plochu ), P, v (P)... zadané vektorové pole na. Označme f (P) }{{} = v (P) n (P) skalární pole (= h ) (skalární součin) Definice Plošným integrálem vektorového pole v přes plochu, resp. tokem vektorového pole v plochou, rozumíme číslo v d = f d. (1) Praktický výpočet Φ : Ω R 3... parametrizace plochy, Ω... uzavřená oblast v parametrické rovině. Pak v }{{} d = v (Φ(u, v)) n (Φ(u, v)) Ω }{{} g(u, v)dudv }{{}. d = n d f (P) d Na levé straně stojí plošný integrál vektorového pole, vpravo je nahrazen dvojným integrálem, konkrétně pravou stranou rovnice (1). Ω
Plošný integrál vektorového pole Příklad Mějme zadáno vektorové pole a (x, y, z) = (z, x, 3y 2 z), (x, y, z) R 3. Plocha je válcová plocha, jejíž osou je osa z, má poloměr r = 4 a leží mezi rovinami z = a z = 5. Vypočtěte tok vektorového pole a touto plochou, která je orientována tak, že směr kladné normály směřuje z válce ven. Řešení a = (a1, a 2, a 3 ), a 1 (x, y, z) = z a 2 (x, y, z) = x a 3 (x, y, z) = 3y 2 z Parametrizace plochy : x = 4 cos u y = 4 sin u z = v u, 2π v, 5 D =, 2π, 5 e 1 (P) = ( 4 sin u, 4 cos u, ), e 2 (P) = (,, 1), g 11 = 16, g 22 = 1, g 12 =
Plošný integrál vektorového pole ( ) 16 Metrický tenzor plochy: g = det = 16, d = gdudv = 4dudv. 1 n (P)... pole jednotkových normálových vektorů: e 1 (P) e 2 (P) = i j k 4 sin u 4 cos u 1 = (4 cos u, 4 sin u, ) e 1 (P) e 2 (P) = 16 cos 2 u + 16 sin 2 u = 4 e n (P) }{{} = 1 (P) e 2 (P) e 1 (P) = (cos u, sin u, ) e 2 (P) pole jednotkových normálových vektorů a (Φ(u, v)) n (Φ(u, v)) = (v, 4 cos u, 3 16 sin 2 u v) (cos u, sin u, ) = = cos u(v + 4 sin u)
Plošný integrál vektorového pole Tedy Zkontrolujte si. Závěr a d = 4 = 4 5 2π D (v cos u + 4 sin u cos u)dudv = (v cos u + 4 sin u cos u)dudv = Celkový tok vektorového pole a válcovou plochou je nulový. Interpretace Jistou částí válcové plochy kapalina vytéká z válce ven a jinou částí vtéká dovnitř tak, že celkové množství kapaliny, které proteče válcovou plochou, je nulové. Poznámka To, zda kapalina vtéká resp. vytéká, závisí na úhlu, který svírá vektor a (P) s kladnou normálou k ploše. Domácí úkol: Vypočtěte tok vektorového pole pouze pro část válcové plochy: x >, y >, z >. [Výsledek 9[j 3 ]]
Gaussova divergenční věta Tato věta udává vztah mezi plošným integrálem a trojným integrálem. Věta Necht uzavřené těleso W R 3, = W... hranice W ( je plocha). orientujeme tak, že má vně orientovanou normálu, F (x, y, z) = (F1 (x, y, z), F 2 (x, y, z), F 3 (x, y, z)), F i mají spojité parciální derivace. Pak F d = div F (x, y, z) }{{} dxdydz. expanze }{{} W nebo kontrakce }{{} kapaliny div F > div F < Věta říká: Celková expanze (kontrakce) kapaliny ve W je rovna celkovému množství kapaliny, které vyteče (vteče) přes hranici = W. Poznámka v (x, y, z)... rychlostní pole v kapalině. Pak podmínka div v = je rovnice kontinuity nestlačitelné kapaliny
Příklad Vypočtěte F d, F (x, y, z) = (3x + z 77, y 2 sin x 2 z, xz + yexp(x 5 )),... povrch kvádru B : x 1, y 3, z 2, n... vnější jednotkový normálový vektor. div F (x, y, z) = 3 + 2y + x Gausova věta = F d = div F (x, y, z)dxdydz. Vlevo plošný integrál, vpravo trojný integrál, B... kvádr Vypočteme trojný integrál: div F (x, y, z)dxdydz = (3 + 2y + x)dxdydz = B = 1 3 2 ( ( B (3 + 2y + x)dz)dy)dx = 39[j 3 ] = množství kapaliny, které vyteče přes hranici. B
tokesova věta Tato věta udává vztah mezi křivkovým integrálem přes uzavřenou křivku a plošným integrálem vektorového pole. Věta F (x, y, z) = (F1 (x, y, z), F 2 (x, y, z), F 3 (x, y, z)) dané vektorové pole na ploše Pak F i C 1 (), = C, a jsou koherentně orientovány. F d = rot F d, C Poznámka Vlevo je křivkový integrál přes křivku C R 3, vpravo je plošný integrál vektorového pole rot F... rotace vektorového pole F. Plochu orientujeme pomocí normálového vektoru.
Příklad F (x, y, z) = (y, z, x), = čtvrtkruh v rovině y z, C jeho kladně orientovaná hranice. Vypočteme F d pomocí tokesovy C věty. Orientaci normálového vektoru n určíme podle pravidla pravé ruky. Zde orientace v záporném směru osy x. F 1 (x, y, z) = y, F 2 (x, y, z) = z, F 3 (x, y, z) = x. rot F = i j k x y z F 1 F 2 F 3 = ( F3 y F 2 z, F 3 x + F 1 z, F 2 x F ) 1 y rot F = ( 1, 1, 1) Parametrizace čtvrtkruhu v rovině y z: Φ(r, θ) = (, r cos θ, r sin θ), r 1, θ. π 2.
Výpočet jednotkového normálového vektoru n : Φ r = (, cos θ, sin θ), Φ r Φ θ = Φ θ i j k cos θ sin θ r sin θ r cos θ = (, r sin θ, r cos θ) = (r,, ) }{{} Normálový vektor (r,, ) je ale orientován do kladného směru osy x, my potřebujeme orientaci v záporném směru = n = ( r,, ) C F d = rot F d = 1 π/2 ( 1, 1, 1)( r,, )dθdr= π 4. Poznámka Vektorové pole v (x, y, z), pro které platí rot v (x, y, z) =... tzv. nevírové vektorové pole.
Literatura k dalšímu studiu Davis, H. F., nider, A. D.: Introduction to Vector Analysis, fourth edition. Allyn and Bacon, Inc., Boston, 1979. Fialka, M.: Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných s aplikacemi (Učební text). UTB Zlín, 28. IBN 978-8-7318-665-4. Klíč, A., Dubcová, M.: Základy tenzorového počtu s aplikacemi. Vydavatelství VŠCHT, Praha 1998. Pandey, R. K.: Vector Analysis. Discovery Publishing House, 27.