Aalýza závlotí Téma 5: Aalýza závlotí Předáša 5 Závlot mez ev Záladí pom Předmětem této aptol ude zoumáí závlotí ouvlotí mez dvěma a více ev. Jedá e o proutí do vztahů mez ledovaým ev a tím přlížeí tzv. příčým, t. auzálím ouvlotem. Příčou ouvlotí mez ev e rozumí tuace, d změ edoho evu příča podmňuí změ druhého evu důlede, úče. V pra mohou atat růzě ložté tuace: etece určtého evu má za álede výt ého evu párová závlot: Y etece up evů má za álede výt edoho ého evu víceáoá závlot:,,..., p Y etece určtého evu eo up evů má za álede výt ých evů Y, Y,..., Y r rep.,,..., p Y, Y,..., Y r Závlot mez ev zoumá tatta ta, že všetřue ouvlot mez áhodým velčam tattcým za, teré daé ev charaterzuí. Př prác m ude výhodé e azývat proměým:... ezávlá vvětluící proměá Y... závlá vvětlovaá proměá Z hleda metod zoumáí auzálích ouvlotí e vhodé rozlšovat tzv. pevé a volé tochatcé závlot: pevou závlotí e ozačue případ, d změě apř. edoho evu utě odpovídá změa druhého evu a čato aopa pravděpodootí rovou edé; edá e vlatě o fuc f, z f,,, apř. P a, V πr v, I U/, volou tochatcou závlotí e ozačue případ, d změa apř. edoho evu vvolá změu druhého evu určtou pravděpodootí Stattcá závlot e volou závlotí v tom mlu, že určté hodotě edoho zau eodpovídá vžd teá hodota druhého zau. Z tohoto pohledu á ude ečatě zaímat, a e př změě hodot edé velč měí podmíěé pravděpodootí rozděleí druhé velč, přeě řečeo a e př změě hodot edé velč měí podmíěé tředí hodot druhé velč. V tomto případě udeme hovořt o orelačí závlot. Např.: propěch ve fzce volě ouví e zalotm v matematce, K pozáí a matematcému popu orelačích závlotí louží metod regreí aalýz a - 66 -
Aalýza závlotí orelačí aalýz; pro potře těchto metod e vhodé rozlšovat edotraé a vzáemé ooutraé závlot. Např. edotraé závlot: přím - výdae, rchlot auta potřea ezu,, ooutraé závlot: orat - záo, propěch v M a F, výo ve prtu a ve ou do dál, Př aalýze orelačí závlot á předě zaímá a eí průěh, t. tedece změ podmíěých průměrů regreí aalýza : zaývá e edotraým závlotm a zoumá průěh formu tedec závlot Y a ; prot oě toí vvětluící proměá v úloze příč a vvětlovaá proměá Y v úloze důledů cílem regreí aalýz e co elepší přlížeí emprcé vpočítaé regreí fuce teoretcé regreí fuc; emprcá regreí fuce ude za určtých podmíe odhadem teoretcé regreí fuce eí tezta orelačí aalýza : zaývá e ooutraým závlotm a zoumá teztu ílu těot vzáemého vztahu mez a Y Otáza íl závlot e ouěžá otázou valt regreí fuce. Z hleda výpočtů a terpretací dochází vša e začému prolíáí oou přítupů. Specálí orelačí charatert formuí o tom, do aé mír mez eou ev ouví a a polu ouví. Určtá íla závlot vša eště eříá, že etue příčá závlot, etec závlot e uté eprve pooudt, apř. vztah mez IQ a ovodem hrudíu! Úol regreí a orelačí aalýz:. Poouzeí etece závlot, poud eí věcě zřemá.. Kotruce regreí fuce počívá v ověřeí zámého modelu eo odhadu ezámého modelu pomocí áhodého výěru odhadu louží výled elemetárího zpracováí dat, t. taul, graf, charatert a vola regreí fuce. 3. Poouzeí valt zvoleé regreí fuce předtavue tetováí hpotéz o parametrech regreí fuce a o mírách těot orelačí závlot. Elemetárí zpracováí dvourozměrého tattcého ouoru Hodot proměých a Y zíaé a záladě měřeí eo zšťováí a edotlvých tattcých edotách vadřueme ve tvaru upořádaých dvoc [, ] elemetárí pop závlot : a Taulové vádřeí Př malém počtu měřeí lze datové dvoce [, ], de,,...,, zapat do edoduché taul e aalogí eroztříděého edorozměrého ouoru, d aždá hodota e - 67 -
Aalýza závlotí vtue pouze edou:.. Př velém počtu měřeí vádříme tzv. podmíěé rozděleí četotí etroíme dvourozměrou tzv. orelačí taulu :. úplá : pro odové eo tervalové rozděleí četotí hodot zaů, Y ozačíme ao varat zau pro,,..., ao varat zau Y pro,,...,... družeé četot,... celová četot,. rep..... margálí oraové četot zde platí :. ;. ;......................................................................................... eúplá : pro odové eo tervalové rozděleí četotí hodot zau hodot zau Y eou roztříděé ozačíme ao varat zau pro,,...,... třídí četot zau, celová četot 3 3.................. 3 Σ - 68 -
Aalýza závlotí Grafcé vádřeí odový dagram - zorazeí datových dvoc [, ] z edoduché taul eo [, ] z eúplé orelačí taul formace o formě íle závlot přímová závlot paraolcá závlot orelačí ezávlot trorozměrý protorový htogram rep. trorozměrý odový graf - zorazeí dvoc [, ] z úplé orelačí taul: oa, oa, oa z 4 3 4 3 3 4 5 6 7 3 4 5 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8 9 graf podmíěých průměrů - zorazeí dvoc [, ] v rově vadřue tedec změ podmíěých průměrů závle proměé Y př změách hodot ezáv. proměé graf podmíěých rozptlů - zorazeí dvoc [, ] v rově vadřue tedec změ podmíěých rozptlů závle proměé Y př změách hodot ezáv. proměé 8 6 4 3 4 5 9 8 7 6 5 3 4 5 graf podmíěých průměrů graf podmíěých rozptlů - 69 -
Aalýza závlotí Předáša 6 Jedofatorová aalýza rozptlu Podmíěé charatert Každý řáde orelačí taul u úplé taul loupec oahue rozděleí četotí hodot zau Y za podmí, že za Y al určté omě, t. oahue tzv. podmíěé rozděleí četotí zau Y, teré lze popat pomocí podmíěých charatert: Podoě ao u edorozměrého rozděleí četotí počítáme z orelačí taul edůležtěší charatert : podmíěé průměr, podmíěé rozptl, celový průměr, celový rozptl, rozptl podmíěých průměrů, průměr podmíěých rozptlů Pro celový rozptl platí důležtá vlatot rozlad rozptlu : S c S m S v, de S m předtavue mezupovou varaltu zau Y věší varaltu S v předtavue vtroupovou varaltu zau Y vtří varaltu Pratcé určeí velč S m, S v a S c mezupová varalta vchází z rozptlu podmíěých průměrů: Sm S m tup volot vtroupová varalta vchází z podmíěých rozptlů : S S potom S v S tup volot celová varalta vchází ze všech hodot: S c S c tup volot Potom charaterta p Sm e tzv. poměr determace ; p, S c udává, aé % rozptlu závle proměé Y lze vvětlt vlvem ezávle proměé, doplě do % udává vlv líže epecfovaých čtelů závlot zau Y a e považue za tím lěší, čím více e p líží a aopa - 7 -
Aalýza závlotí p p orelačí poměr Aalýza rozptlu Cílem aalýz rozptlu e rozhodout, zda pozorovaá data hovoří ve propěch hpotéz o ezávlot, č zda lze voou polehlvotí tvrdt, že za ovlvňue za Y. Záladem aalýz rozptlu e rozlad celové varalt S c S m S v. Záladím předpoladem aalýz rozptlu e, že aždý z ezávlých výěrů v orelačích taulách odpovídaí ezávlé výěr řádům pochází z ormálího rozděleí otatím rozptlem. Needodušší formou aalýz rozptlu e tzv. edofatorová aalýza rozptlu, ve teré e předpoládá, že omě fatoru ou daé a eho změ mohou vét pouze e změě tředí hodot, ale e e změě rozptlu ormálího rozděleí, z ěhož výěr hodot zau Y pochází. Poud e ted oprávěé předpoládat hodu podmíěých tředích hodot zau Y, vádříme to v podoě hpotéz H; ve propěch tvrzeí o vlvu zau a za Y vpovídá alteratva A, pro eíž přetí tačí ehoda dvou růzých tředích hodot: H: µ µ µ A: µ µ Tetové rtérum e otruovaé ta, a ve propěch alteratv hovořl voé hodot Sm S m a úor S v, t. Sm F. Sv Sv Toto tetové rtérum má př platot H rozděleí F,, proto hpotézu H zamíteme a hladě α, dž F F -α,. Předáša 7 egreí aalýza Oecý regreí model V aalýze rozptlu ám šlo o zštěí, zda mez proměým a Y etue ěaá závlot, a případě aou těot tato závlot vazue. Cílem regreí aalýz e taoveí form tredu, tvaru, průěhu této závlot pomocí vhodé fuce hovoříme o taoveí vhodého teoretcého regreího modelu, rep. eho odhadu pomocí emprcého regreího modelu. Oecě lze závlot proměé Y a vádřt ao závlot - 7 -
Aalýza závlotí fučí f, tochatcou f ε Y ε, de Y f e tzv. regreí fuce teoret. regreí model, ε áhodá loža. Vola tvaru regreí fuce - e zpravdla opírá o odhad z grafů graf podmíěých průměrů a odový dagram, - může vša vcházet z věcé povah závlot. egreí model regreí fuce e defováa ao podmíěá tředí hodota Y EY/ f, β, β,, β p, de β parametr,,,,, p. Velm čato e uvažuí regreí fuce, echž rovce e oecě vadřuí ve tvaru Y β f β f β p f p regreí fuce leárí vzhledem parametrům de f regreor. Poud regreor f, potom vz dále leárí model Y β β f β p f p. Y β β f β p f p e potom hodota teoretcé regreí fuce pro -té měřeí v důledu půoeí moha vlvů a proměou Y e udou teoretcé hodot Y a emprcé hodot lšt!!! Oecě ted platí Y ε, de ε e áhodá loža pro -té měřeí, pro terou platí ε N, σ. Odhad regreího modelu odhad regreí fuce ŷ f,,,, p e výěrová emprcá regreí fuce, β odhad regreích parametrů. Je zřemé, že vztah mez hodotam áhodé velč Y a výěrovou regreí fucí lze potom vádřt ve tvaru ŷ e, de e ŷ e tzv. rezduum rep. ve tvaru ŷ e, de e ŷ e rezduum pro -té měřeí a ŷ e tzv. vrovaá hodota pro -té měřeí. Odhad leárí regreí fuce potom vádříme ve tvaru ŷ f p f p rep. ŷ f p f p. - 7 -
Aalýza závlotí egreí fuce, teré ou leárí vzhledem parametrům, e azývaí leárí regreí fuce. Jou to: přímová regree Y β β ŷ hperolcá regree Y β β ŷ logartmcá regree Y β β l ŷ l paraolcá regree Y β β β ŷ V pra e používaí fuce, teré eou leárí vzhledem parametrům. Jou to apř. epoecálí regree Y β β ŷ β mocá regree Y β ŷ a řada dalších ao apř. Y β β β, Tto fuce lze ěd vhodou traformací převét a fuce leárí vzhledem parametrům apř. u uvedeé epoecálí a mocé regree. V této aptole á udou zaímat e leárí regreí model. Needodušší z leárích regreích modelů e tzv. lacý regreí model. Te předpoládá:. hodot vvětluící proměé e volí eí áhodá velča,. regreí fuce e leárí vzhledem parametrům, 3. matce hodot regreorů f,,,, p, má hodot p, 4. áhodé lož ε ou ezávlé a maí ormálí rozděleí N, σ. Z předpoladu o rozděleí áhodých lože ε vplývá, že v lacém modelu maí pozorovaé hodot vvětlovaé proměé Y ormálí rozděleí - e tředím hodotam E µ, - rozptlem D D ε σ a - hodot ou vzáemě ezávlé. Leárí regreí model Odhad regreích parametrů lacou metodou emeších čtverců MNČ lacá MNČ vchází z požadavu, a oučet čtverců odchle emprcých hodot a vrovaých hodot ŷ, tzv. rezduálí oučet čtverců S, l mmálí, t. S e m. - 73 -
Aalýza závlotí - 74 - K určeí odhadů regreích oefcetů potom louží outava ormálích rovc. Např. pro regreí přímu ŷ dotaeme: S m., de a ou proměé, potom S, S, a odtud dotaeme outavu ormálích rovc,. Řešeím této outav dotaeme odhad β a β ve tvaru a. Pro otatí leárí regreí model e potupue aalogc outava ormálích rovc a vztah pro určeí a vz přehled vzorců. ezduálí rozptl Pro poouzeí vhodot ěola regreích modelů e použe rozptl áhodé lož ε, t. D ε σ za vhoděší model e považue model meším rozptlem σ. ŷ Y ŷ [, ] e
Aalýza závlotí Netraým odhadem rozptlu σ e rezduálí rozptl, t. S, t. c c Např. pro regreí přímu ŷ dotaeme: σ, de, de c e počet ezámých regreích parametrů. S, potom. Pro otatí leárí regreí model e potupue aalogc vz přehled vzorců. Těot závlot Vztah mez proměým a Y může mít růzou teztu, od úplé ezávlot až po pevou fučí závlot. Těotí závlot e rozumí tupeň, aým e zoumaá závlot líží fučí závlot. Předtavu o íle závlot můžeme zíat a z odového dagramu podle rozložeí odů oolo regreí řv, pomocí měr těot závlot poměr determace p vz podmíěé charatert, de determace a oefcet determace r vz dále. Východem pro otruc deu determace a oefcetu determace r e podíl varalt vrovaých hodot ŷ oolo průměru a celové varaltě proměé Y. de determace Vchází ze zámé regreí fuce, ted udává, aé % celové varalt lze vvětlt zvoleým regreím modelem. Y ŷ ŷ ŷ - 75 -
Aalýza závlotí - 76 - Protože, potom platí ez důazu S C S S T, de S C celový oučet čtverců,, S c... rezduálí oučet čtverců, c, S T... teoretcý oučet čtverců,. Ide determace e potom defovaý ao poměr rozptlu vrovaých hodot a celového rozptlu:, t. S S C T. Protože, lze oecě vádřt celový oučet čtverců ve tvaru S C. Teoretcý oučet čtverců S T určíme pro aždou regreí řvu. Např. pro regreí hperolu ŷ dotaeme S T. Pro otatí regreí model e potupue aalogc vz přehled vzorců. Pozám deu determace: Teoretcý oučet čtverců S T e ta čát celového oučtu čtverců S C, terá e vvětleá použtou regreí fucí; aopa S vvětleá regreí fucí eí ted udává, aé % celové varalt lze vvětlt použtým regreím modulem, Čím více e líží, tím považueme daou závlot za lěší, a ted doře vtžeou použtou regreí fucí; aopa čím více e ude lížt, tím považueme daou závlot za laší a regreí fuc za méě výtžou. Velot e zcela ovlvěa tím, zda e podařlo alézt vhodý tp regreí fuce pro
Aalýza závlotí pop ledovaé závlot ízá hodota eště emuí zameat ízý tupeň závlot mez proměým, ale může to galzovat chou volu regreí fuce. Krtéra vhodot použté regreí fuce pro pop závlot:. rtérum: čím e líže, tím vhoděší e použtý model,. rtérum: oecě platí p, potom čím e dferece p meší, tím e použtý model vhoděší. předtavue výěrový de determace, terý lze použít ao odhad teoretcého deu determace etraý, avša I v záladím ouoru, t. Î teto odhad e amptotc pro malé výěr adhodocue utečou těot závlot, záleží a počtu parametrů regreí fuce. Proto provádíme orec: or c Î plňue podmíu etraot. or oefcet determace r Zvláštím případem deu determace pro závlot popaou regreí přímou e oefcet determace r ST. S C Tato míra těot závlot má odoé vlatot ao poud e r líží, tím o lěší leárí závlot e možé hovořt; poud e ale r líží, emuí to utě zameat laou závlot, protože orelovaé proměé mohou ýt eleárě lě závlé. Další vlatot r : r,, r r, orelačí oefcet, de r r, pro r > přímá závlot rep. pro r < epřímá závlot r předtavue výěrový oefcet determace odoě ao u deu determace lze provét orec: r or r ρ e etraým odhadem ρ ρ e orelačí oefcet v záladím ouoru r or - 77 -
Aalýza závlotí Tet o výzamot orelačího oefcetu: H : ρ A : ρ r t r t W α : t > t -α/ Poz.: Jetl-že áhodé velč a Y maí dvourozměré ormálí rozděleí, potom orelačí oefcet ρ vadřue míru leárí závlot velč a Y. Lze uázat, že ezávlé velč ou eorelovaé, ale oráceě toto tvrzeí eplatí! [] Odhad v leárí regre Itervalový odhad parametrů Odhad,,, p zíaé metodou emeších čtverců ou etraým odhad regreích parametrů β, β,, β p. Platí ted E β. Předtavu o velot ch, terou lze u odových odhadů parametrů očeávat, zíáme pomocí měrodaté ch odhadů. Př platot podmíe lacého regreího modelu lze vádřt odhad měrodaté ch odhadů, pouze pro přímu, pro otatí model vz přehled vzorců ve tvaru a. Určeí tervalů polehlvot pro regreí parametr β, β,, β p e založeo a tom, že β př platot podmíe lacého regreího modelu maí tatt t Stude- tovo rozděleí t c, de c p počet odhadovaých parametrů v modelu: t -α/ ν < β < t -α/ ν, de ν c. Tet hpotéz v leárí regre Za teých předpoladů ao v předchozí čát e možé ověřovat tattcou výzamot edotlvých regreích parametrů celého modelu ao celu. Idvduálí tet o výzamot parametrů β, β,, β p : H: β A: β - 78 -
Aalýza závlotí t β t c W α : t > t -α/ c Tet o výzamot modelu celový F-tet: H : β, β β β p A : β pro,,, p a ST c F Fc, c, de c p e počet parametrů S c W α : F > F -α c, c Výled tetů o edotlvých parametrech modelu a celového tetu vedou pratcému rozhodováí o tom, zda e použtý model pro pop závlot přatelý, případě terý z regreorů e vhodé z modelu vputt. Předáša 8 - Neleárí regreí aalýza egreí aalýza užívá řadu dalších fucí, teré eou leárí vzhledem parametrům eleárí regreí model lze e rozdělt do tříd:. eleárí model, teré lze learzovat, apř. regreí epoecálí fuce Y β β ; regreí mocá fuce β Y β Törqutova řva I β Y β Y β e β. eleárí model, teré elze learzovat, apř. regreí epoecálí fuce Y β β β ; β β Y e β regreí mocá fuce β Y β β Törqutov řv II a III β β β β Y ; Y β β poz.: Törqutov řv vadřuí závlot poptáv po určtém zoží v závlot a přímu. Odhad parametrů těchto a dalších eleárích regreích fucí e eprovádí metodou emeších čtverců. Potupue e ta, že e eprve ade vhodý tzv. počátečí odhad, terý e dále umercým teračím metodam potupě zlepšue: - 79 -
Aalýza závlotí metod počátečích odhadů learzuící traformace, Learzuící traformace metoda vraých odů. Spočívá v tom, že e vhodou traformací převede eleárí fuce Y a leárí fuc Y* odovým odhadem traformovaé fuce e výěrová regreí fuce ŷ, eíž parametr e určí metodou emeších čtverců a pomocí ch e potom odhadou parametr původí fuce ŷ : př.: Y β β ŷ traformace l l l * * leárí model * * užté uttuce * l ; *, potom př.: Y * l ep * β β ŷ * a l ep * traformace ŷ * * leárí model * * užté uttuce * ; * ŷ, potom * a * * *. Metoda vraých odů Tato metoda počívá v tom, že z řad emprcých hodot vereme malý počet odů, ve terých položíme teoretcou hodotu přílušé regreí fuce rovu emprcé hodotě. Víráme tol odů, ol parametrů má daá regreí fuce. Zíáme ta outavu eleárích rovc, eíž řešeím ou odhadovaé parametr. Př volě vhodých odů vcházíme z odového dagramu. Poud víráme dva od, vereme ede z olat ízých a druhý z olat voých hodot proměé. Poud potřeueme vrat tř od, e vhodé vzít po edom z olat ízých, tředích a voých hodot proměé a aalogc potupueme př výěru většího počtu odů. - 8 -