510 zdálenost rovin ředpokldy: 509 Kdy má cenu uvžovt o vzdálenosti dvou rovin? ouze, když jsou rovnoběžné, jink se protínjí ř 1: Nvrhni definici vzdálenosti dvou rovnoběžných rovin Z vzdálenost dvou rovnoběžných rovin povžujeme vzdálenost libovolného bodu jedné roviny od druhé roviny ř : Je dán stndrdní krychle H, = = 4cm Urči vzdálenost rovin: ) b) c) d) H ) vzdálenost rovin H roviny jsou nvzájem rovnoběžné, obě jsou vodorovné svislý směr je kolmý n obě Zvolíme npříkld bod jeho kolmým průmětem do roviny je bod, pro délku úsečky pltí: = = 4 cm b) vzdálenost rovin H roviny nejsou rovnoběžné nemá smysl uvžovt o jejich vzdálenosti H c) vzdálenost rovin 1
H Obě roviny jsou rovnoběžné kolmé n přední stěnu zdálenost můžeme vypočítt npříkld pomocí bodu H Jeho kolmý průmět leží tké v přední stěně, nkreslíme si přední stěnu (čtverec ) z něj příkld vypočteme: otřebujeme zjistit délku úsečky, npříkld z trojúhelníku = + = + 5 = + = 4 4 5 = oplníme vzdálenost do obrázku Můžeme využít podobnosti trojúhelníků 5 = = 5 5 = = = = = 5 5 5 5 5 5 osdíme: = = 4 cm = 1,79cm 5 5 d) vzdálenost rovin H
H říkld nejsnáze vyřešíme v rovině, která je kolmá k oběm rovinám tk bude vždy obshovt bod z jedné roviny i jeho kolmý průmět do roviny druhé otřebujeme určit délku úsečky (npříkld z prvoúhlého trojúhelníku ): = + = + = + = 4 = yužijeme podobnost trojúhelníků = = = = = = = osdíme: = = 4 cm =,1cm edgogická poznámk: bodě b) studenti čsto píší, že vzdálenost rovin je nulová nžím se jim vysvětlit, že není rozumné u nerovnoběžných rovin tvrdit, že mjí nulovou vzdálenost, když vzdálenosti různých bodů jedné z rovin od druhé roviny jsou zcel různé bodě c) studenti čsto zpomenou n to, že vzdálenost musí zjišťovt pomocí kolmice určí jko vzdálenost rovin délku úsečky roto píšu n tbuli, že cm nejsou správný výsledek
okud studentům ukážete prostorový obrázek první části řešení bodu d), nkreslí někteří správně obdélník i s průsečnicemi obou rovin, le bod, s jehož pomocí zjišťují vzdálenost obou rovin nkreslí doprostřed (přípdně n úhlopříčku) nedokáží pk v obrázku njít žádné použitelné trojúhelníky Je potřeb jim zdůrznit, že mohou vybrt libovolný bod jedné z rovin musí si proto zvolit tk, by řešení bylo co nejjednodušší (pk jsou body n strnách obdélníku jsnou volbou) edgogická poznámk: Následující příkld obshuje trochu neobvyklý (i když čsto velice účinný) krok použití pohledu z jiné strny okud studenti nestíhjí přerušuji práci n předchozích příkldech, bychom si lespoň zčátek příkldu s nkreslením obou obrázků stihli studenti zjistili, že není nutné kreslit pokždé všechny obrázky ze stejného pohledu ř : Je dán prvidelný čtyřboký jehln, = = 4cm, = v = 5cm Urči vzdálenost rovin ituce je z tohoto pohledu nečitelná Z obrázku vidíme, že obě roviny jsou nkreslíme si obrázek tk, bychom místo rovnoběžné (mjí rovnoběžné průsečnice hrny viděli přímo hrnu s rovinmi podstvy s rovinou ) má smysl hovořit o jejich vzdálenosti, kterou určíme pomocí průsečnic s rovinou (je kolmá k oběm rovinám) Nkreslíme si trojúhelník v něm průsečnice obou rovin: 4
v Y rovin se s rovinou protíná v přímce rovin se s rovinou protíná v přímce Y vzdálenost obou rovin můžeme určit npříkld pomocí bodů z podobnosti trojúhelníků v élku strny určíme z trojúhelník pomocí ythgorovy věty: = + = v + 4v + = v + = 4 4 = 4v + opíšeme zjištěnou délku do obrázku: + 4v osdíme: v + 4v Y Z podobnosti trojúhelníků = = = v 4 5 = + 4v 4 + 4 5 cm = 1,86 cm v = = + 4v v v = = + 4v + 4v edgogická poznámk: Následující příkld je poměrně obtížný ve své početní fázi, kdy je nutné poměrně zdlouhvě počítt délky úseček 5
ř 4: Je dán prvidelný čtyřstěn, = = 6cm Urči vzdálenost rovin Z obrázku vidíme, že obě roviny jsou rovnoběžné (mjí rovnoběžné průsečnice s rovinmi podstvy s rovinou ) má smysl hovořit o jejich vzdálenosti, kterou určíme pomocí průsečnic s rovinou (je kolmá k oběm rovinám) Nkreslíme si trojúhelník v něm průsečnice obou rovin: rovin se s rovinou protíná v přímce rovin se s rovinou protíná v přímce vzdálenost obou rovin můžeme určit npříkld pomocí bodů z podobnosti trojúhelníků 0 0 opíšeme zjištěnou délku do obrázku: élku výšky určíme z prvoúhlého trojúhelník : = = 4 = = 4 4 = 6
ltí: =, protože trojúhelník je 4 rovnormenný okud chceme použít podobnost trojúhelníků 0 musíme určit výšku 0 oužijeme vzorec pro obsh trojúhelník: v bvb = = v = b vb musíme určit výšku v trojúhelníku n strnu 0 4 élku výšky určíme z prvoúhlého trojúhelník : ypočteme výšku: = = = = = 4 4 4 = = v bvb b vb = = v = b vb v = osdíme: b v b v = = = = 0 oplníme výšku do původního obrázku dopočteme vzdálenost rovin: 7
0 4 osdíme: 6 6 6 = = cm =,45cm 6 6 Z podobnosti trojúhelníků 0 0 0 = = 0 = = 4 6 = = 4 6 ř 5: etáková: strn 9/cvičení 8 b) hrnutí: 8