Matematika II: Listy k přednáškám

Mtemtik II: Listy k přednáškám Rdomír Pláček, Petr Schreiberová, Petr Volný Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv

Kpitol 1 Integrální počet funkcí jedné proměnné

1.Řy 11 - Neurčitý integrál, primitivní funkce Video 1.1 Neurčitý integrál V předcházejícím studiu jste se seznámili s důležitým pojmem, to derivce funkce. Funkci f (x) jsme přiřdili novou funkci f (x). Úloh, které se budeme věnovt nyní, je v podsttě opčná. K funkci f (x) budeme hledt funkci F(x) tk, by pltilo F (x) = f (x). Tzn. položíme si otázku, jkou funkci je nutné derivovt, bychom dostli zdnou funkci f (x). 1.1.1 Primitivní funkce Definice 1.1.1: Necht funkce f (x) je definovná n otevřeném intervlu I. Funkce F(x) se nzývá primitivní k funkci f (x) n I, jestliže pltí F (x) = f (x) pro kždé x I. Vět 1.1.2: Necht funkce F(x) je primitivní k f (x) n I, pk kždá jiná primitivní funkce k funkci f (x) n I má tvr F(x) + c, kde c R. Poznámk: Pokud k dné funkci existuje primitivní funkce, je jich nekonečně mnoho liší se pouze konstntou c. Víme, že pokud sestrojíme v bodě x tečnu k dné funkci, je derivce funkce v dném bodě x směrnicí této tečny. Grfy primitivních funkcí jsou posunuty rovnoběžně ve směru osy y. Tečny ke grfům v dných bodech x jsou rovnoběžné (mjí stejnou směrnici) z toho plyne, že mjí stejnou derivci.

2.Řy 12 - Neurčitý integrál, definice Video 1.1.2 Definice vlstnosti Definice 1.1.3: Množin všech primitivních funkcí k funkci f (x) n I se nzývá neurčitý integrál funkce f (x) znčí se symbolem f (x)dx. Tedy Poznámk: f (x)dx = F(x) + c, x I. 1. Funkci f (x) nzýváme integrndem. 2. Výrz dx je diferenciál proměnné x v tuto chvíli je jeho význm v tom, že nám říká, jk je oznčená proměnná. 3. Číslo c nzýváme integrční konstnt. Vlstnosti neurčitého integrálu: Vět 1.1.4: Kždá funkce y = f (x) spojitá n intervlu I, má n tomto intervlu neurčitý integrál f (x)dx, který je opět spojitou funkcí n I. Uvedeme jednoduchou (le důležitou) větu, kterou budeme při výpočtu neurčitých integrálů neustále používt. Vět 1.1.5: Existují-li n I integrály f (x)dx g(x)dx, pk n I existuje rovněž integrál jejich součtu, rozdílu násobku konstntou: ( f (x) ± g(x)) dx = f (x)dx ± g(x)dx k f (x)dx = k f (x)dx, k R.

3.Řy 13 - Tbulkové integrály Video Řešené příkldy: 66, 67, 68 Příkldy: 153, 154, 155 1.1.3 Tbulkové integrály Podobně jko pro derivování, i pro integrování existuje celá řd prvidel, kterými se při výpočtu budeme řídit. První skupinu vzorců (1-11) dostneme, obrátíme-li zákldní vzorce pro derivování. Doplníme ji o dv užitečné vzorce 12 13. 1. 0dx = c 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. x n dx = xn+1 + c, n = 1, x > 0 n + 1 e x dx = e x + c x dx = x ln + c 1 dx = ln x + c x sin x dx = cos x + c cos x dx = sin x + c 1 cos 2 x dx = tn x + c, x = (2k + 1)π 2 1 sin 2 dx = cot x + c, x = kπ x 1 dx = rcsin x + c, x < 1 1 x 2 1 dx = rctn x + c 1 + x2 f (x) dx = ln f (x) + c f (x) f (x) f (x)dx = f 2 (x) + c 2 Obecné vzorce 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 1 dx = ln x + + c x + e x dx = 1 ex + c sin x dx = 1 cos x + c cos x dx = 1 sin x + c 1 2 + x 2 dx = 1 rctn x + c 1 2 x dx = rcsin x 2 + c 1 cos 2 x dx = 1 tn x + c 1 sin 2 x dx = 1 cot x + c 1 2 + x dx = ln x + x 2 + 2 + c 2

4.Řy 14 - Metod per prtes Video Řešené příkldy: 70, 71 Příkldy: 159, 160, 161 1.1.4 Metod per prtes Víme, že integrál ze součtu (rozdílu) je součtem (rozdílem) integrálů. Pro součin (podíl) nic tkového obecně nepltí. f (x) g(x)dx = f (x)dx g(x)dx Z prvidl pro derivci součinu dostneme velmi užitečný vzth pro integrci součinu: (u v) = u v + u v u v = (u v) u v Po integrci dostáváme: u v dx = u v u vdx Vět 1.1.6: Necht funkce u(x) v(x) mjí derivci n intervlu I, pk pltí u(x) v (x)dx = u(x) v(x) u (x) v(x)dx, pokud lespoň jeden z integrálů existuje. Tto metod se nzývá metod per prtes (po částech). Hodí se n integrály, jejichž integrnd má tvr součinu dvou odlišných funkcí. Abychom dokázli npst prvou strnu vzthu, musíme jeden činitel n levé strně umět derivovt, což není problém, druhý činitel musíme umět integrovt, což už může být problém. Metod per prtes integrál vypočítá jen zčásti. Zbývá vypočítt nový integrál, který by měl být jednodušší.

5.Řy 15 - Metod per prtes Video Řešené příkldy: 70, 71 Příkldy: 159, 160, 161 Integrály typické pro výpočet metodou per prtes Bud P(x) polynom. Metodou per prtes integrujeme npř. integrály následujících typů: P(x)e αx dx, P(x) sin(αx)dx, P(x) cos(αx)dx P(x) rctn xdx, P(x) ln m xdx. U první skupiny postupujeme tk, že polynom derivujeme (snížíme jeho stupeň), v přípdě potřeby postup opkujeme. U druhé skupiny nopk polynom integrujeme derivujeme druhý činitel. Poznámk: V souvislosti s metodou per prtes se používá obrt, který spočívá v tom, že po integrci per prtes úprvách se nám znovu objeví výchozí integrál. Tzn. dostáváme rovnici: f (x)dx = h(x) + α f (x)dx, kde α = 1. Převedením integrálů n jednu strnu dostneme hledný výsledek: f (x)dx = 1 h(x) + c. 1 α

6.Řy 16 - Integrce substitucí Video Řešené příkldy: 72, 73 Příkldy: 162, 163, 164 1.1.5 Integrce substitucí Seznámíme se s význmnou metodou, která je jednou z nejdůležitějších nejpoužívnějších při řešení integrálů. Bohužel neexistuje univerzální návod, kdy jk substituci použít, proto je důležité pochopit princip substitučních metod umět vzorce pro derivování. Substituce typu ϕ(x) = t Vět 1.1.7: Necht funkce f (t) má n otevřeném intervlu J primitivní funkci F(t), funkce ϕ(x) má derivci n otevřeném intervlu I pro libovolné x I pltí ϕ(x) J. Potom je funkce F(ϕ(x)) primitivní funkce k funkci f (ϕ(x))ϕ (x) n I pltí: f [ϕ(x)] ϕ (x)dx = f (t)dt = F(t) + c = F [ϕ(x)] + c. Z předcházející věty vidíme, jk musí vypdt integrnd, by bylo možno substituční metodu použít. Musí jít o výrz, který je složen ze součinu složené funkce derivce vnitřní funkce. Problémem je, že potřebný součin není vždy n první pohled viditelný je potřeb integrnd vhodně uprvit.

7.Řy 17 - Integrce substitucí Video Řešené příkldy: 72, 73 Příkldy: 162, 163, 164 Shrnutí prktické použití: 1. oznčíme substituci ϕ(x) = t 2. rovnost diferencujeme: ϕ (x)dx = dt 3. v integrálu f (ϕ(x))ϕ (x)dx nhrdíme z ϕ(x) proměnnou t z výrz ϕ (x)dx diferenciál dt 4. řešíme integrál f (t)dt proměnné t 5. do nlezené primitivní funkce vrátíme substituci Lineární substituce: x + b = t Jestliže má funkce f (t) primitivní funkci F(t), tj. pltí, že: f (t)dt = F(t) + c, f (x + b)dx = 1 F(x + b) + c,, b R, = 0.

8.Řy 18 - Integrce substitucí Video Řešené příkldy: 74 Příkldy: 165 Substituce typu x = ϕ(t) Podle věty o 1. substituční metodě jsme převedli integrál f [ϕ(x)] ϕ (x)dx pomocí substituce ϕ(x) = t n integrál s novou proměnnou f (t)dt. Někdy je potřeb zvolit postup opčný proměnnou nhrdit vhodnou funkcí. Tzn. máme vypočítt integrál f (x)dx. S využitím substituce x = ϕ(t) dx = ϕ (t)dt se snžíme převést integrál n tvr integrálu f [ϕ(t)] ϕ (t)dt. Abychom byli schopni nlézt primitivní funkci, musí pltit, že: 1. f (x) je spojitá n (, b) Substituční metodou integrujeme většinou ircionální funkce. n ) Integrnd obshuje výrz x + b. U těchto integrálů používáme substituci x + b = t n, dx = nt n 1 dt. b) Obshuje-li integrovná funkce více odmocnin s různými odmocniteli 1 n n x + b, 2 x + b,... zvádíme substituci x + b = t n, kde n je nejmenší společný násobek čísel n 1, n 2,... c) Integrnd obshuje výrz 2 b 2 x 2. Substituce se oznčuje jko goniometrická, protože kldeme bx = sin t nebo bx = cos t, tzn. dx = b cos tdt přípdně dx = sin tdt. b 2. x = ϕ(t) je n (α, β) ryze monotónní ϕ (t) = 0 je spojitá n (α, β). Pokud jsou tyto předpokldy splněny, existuje inverzní funkce ϕ 1 (x) = 0 tedy t = ϕ 1 (x). Vět 1.1.8: Necht funkce f (x) je spojitá n intervlu J, necht monotónní funkce ϕ(t) má derivci n otevřeném intervlu I různou od nuly pro kždé t [ I pltí ] ϕ(i) = J. Pk má f (x) n intervlu J primitivní funkci F ϕ 1 (x) pltí: f (x)dx = [ ] f (ϕ(t))ϕ (t)dt = F ϕ 1 (x) + c.

9.Řy 19 - Integrce rcionální lomené funkce Video Řešené příkldy: 75 Příkldy: 167, 168, 169 1.1.6 Integrce rcionální lomené funkce Kždou rcionální lomenou funkci tvru f (x) = P(x), kde P(x) Q(x) Q(x) jsou polynomy libovolných stupňů, lze vyjádřit ve tvru P(x) Q(x) = S(x) + R 1(x) +... + R s (x), kde S(x) je mnohočlen R 1 (x),..., R s (x) jsou prciální zlomky. Prciální zlomky jsou speciální rcionální lomené funkce. Rozlišujeme 2 typy: A, k N; α, A R (x α) k B(2x + p) + C (x 2 + px + q) k, k N; B, C, p, q R; p2 4q < 0. P(x) Definice 1.1.9: Rcionální funkce se nzývá ryzí, jestliže Q(x) deg P(x) < deg Q(x), deg P(x) je stupeň polynomu P(x). Postup rozkldu ryze lomené funkce n prciální zlomky 1. njdeme kořeny polynomu ve jmenovteli 2. npíšeme předpokládný tvr rozkldu 3. celou rovnici rozkldu vynásobíme polynomem ve jmenovteli 4. nlezneme koeficienty rozkldu: srovnávcí metodou, doszovcí metodou nebo kombincí těchto metod.

10. Řy 20 - Integrce rcionální lomené funkce Video Řešené příkldy: 76, 77, 78 Příkldy: 170, 171, 172 Integrce prciálních zlomků s reálnými kořeny ve jmenovteli Pro k = 1: Pro k 2: A dx = A ln x α + c. x α A (x α) k dx = A + c. (1 k)(x α) k 1 Integrce prciálních zlomků s komplexními kořeny ve jmenovteli Při integrování zlomku Při integrování zlomku C x 2 + px + q doplníme trojčlen x2 + px + q n čtverec: C x 2 + px + q dx = C B(2x + p) x 2 + px + q dostáváme: B(2x + p) x 2 + px + q dx = B ln x2 + px + q + c. dx (x + p/2) 2 + 2 = C rctn x + p/2 + c, kde = q p2 4.

11. Řy 21 - Integrce goniometrických funkcí Video Řešené příkldy: 79, 80, 81,82 Příkldy: 173, 174 1.1.7 Integrce goniometrických funkcí Integrály typu sin m x cos n x dx, kde m, n Z 1. Pokud je spoň jedno z čísel m, n liché použijeme k řešení substituci: sin x = t, je-li n liché, cos x = t, je-li m liché. Pokud jsou obě liché, můžeme si vybrt. 2. Pokud jsou obě čísl m, n sudá nezáporná, je nejvýhodnější použití vzorců pro dvojnásobný úhel: sin 2 x = cos 2 x = 1 cos 2x, 2 1 + cos 2x. 2 3. Pokud jsou obě čísl m, n sudá je-li lespoň jedno z čísel záporné, použijeme substituci tn x = t, x ( π 2, π 2 ). Pk sin x = t, cos x = 1, 1 + t 2 1 + t 2 x = rctn t dx = 1 1 + t 2 dt.

12. Řy 22 - Integrce goniometrických funkcí Video Řešené příkldy: 83, 84 Příkldy: 175 Univerzální substituce tn x 2 = t, x ( π, π) x = 2 rctn t dx = 2 1 + t 2 dt sin x = 2t 1 t2, cos x = 1 + t2 1 + t 2 Univerzální substituce se používá při řešení integrálů typu f (sin x, cos x)dx, kde f (u, v) je rcionální funkce proměnných u = sin x, v = cos x. Jedná se o obecný postup (substituci) při řešení integrálů funkcí složených z goniometrických funkcí.

13. Řy 23 - Určitý integrál, geometrický význm Video 1.2 Určitý integrál 1.2.1 Geometrický význm určitého integrálu Mějme nezápornou ohrničenou funkci f (x), spojitou n intervlu, b. Dá se dokázt, že určitý integrál b f (x)dx udává obsh rovinného obrzce P ohrničeného grfem funkce f (x), osou x přímkmi x =, x = b. Pro obecnou funkci f (x) ztím obsh obrzce P vypočítt nedovedeme. Nvrhněme, jk vypočítt obsh tohoto útvru lespoň přibližně: 1. Rozdělíme obrzec rovnoběžkmi s osou y n n částí. Je zřejmé, že obsh obrzce P dostneme jko součet obshů jednotlivých částí. Pk pltí: P = P 1 + P 2 +... + P n. 2. Potřebujeme tedy určit obsh jednotlivých částí. Jelikož jsou opět ohrničeny shor funkcí f (x), provedeme výpočet přibližně. A to tk, že proximujeme plochy obdélníky. Zvolíme v jednotlivých částech body ξ i (v mezích dné části) v těchto bodech určíme funkční hodnotu f (ξ i ). V této hodnotě zrovnáme odpovídjící část obrzce n obdélník (funkci jsme nhrdili funkční hodnotou). Ze znlosti vzorce pro výpočet obshu obdélníku dostáváme (přibližný) obsh původního obrzce: P. = (x 1 ) f (ξ 1 ) + (x 2 x 1 ) f (ξ 2 ) +... + (b x n 1 ) f (ξ n ). 3. Je zřejmé, že se dopouštíme chyby, pokud zvolíme více dělících bodů (více částí), bude chyb menší. Obsh P tedy dostneme jko limitu pro nekonečný počet částí.

14. Řy 24 - Určitý integrál, definice výpočet Video Řešené příkldy: 88, 89 Příkldy: 182, 183 1.2.2 Definice Definice 1.2.10: Pokud existuje limit ( n lim n i=1 P i = I ), pk je tto limit oznčován jko Riemnnův integrál funkce v intervlu, b píšeme I = b f (x)dx, kde číslo se nzývá dolní mez, číslo b horní mez funkce f (x) integrnd. Poznámk: Pokud je funkce f (x) spojitá n, b, pk má Riemnnův integrál. Po zobecnění dostáváme následující definici. Definice 1.2.11: Necht je f (x) omezená po částech spojitá v, b, pk má f (x) v, b Riemnnův integrál. Výpočet určitého integrálu Pro výpočet určitého integrálu využijeme Newton-Leibnizovu formuli, která vyjdřuje vzth mezi primitivní funkcí Riemnnovým integrálem. Definice 1.2.12: Necht F(x) je primitivní funkcí k funkci f (x) v intervlu I. Pk pro čísl, b z tohoto intervlu definujeme Newtonův určitý integrál funkce f (x) v mezích od do b vzorcem: b f (x)dx = [F(x)] b = F(b) F().

15. Řy 25 - Určitý integrál, vlstnosti 1.2.3 Vlstnosti určitého integrálu Vět 1.2.13: Necht f (x) g(x) jsou integrovtelné n, b, pk tké součet (rozdíl) těchto funkcí násobek funkce konstntou je integrovtelný n tomto intervlu pltí: b Dlší vlstnosti: ( f (x) ± g(x))dx = b b b c f (x)dx = c f (x)dx ± b f (x)dx, c R. g(x)dx, Vět 1.2.14: Necht f (x) g(x) jsou integrovtelné n, b, pk pltí: b b f (x)dx = 0, b f (x)dx = f (x)dx b f (x)dx, f (x)dx, Video Řešené příkldy: 88, 89 Příkldy: 182, 183 Následující vlstnost je užitečná zejmén v přípdech, kdy integrnd nebude mít n celém intervlu, b jednotný nlytický předpis. Vět 1.2.15: Necht f (x) je integrovtelná n, b c je libovolné reálné číslo < c < b. Pk je f (x) integrovtelná n intervlech, c c, b pltí: b f (x)dx = c Výpočet integrálu sudé liché funkce f (x)dx + Pokud je n intervlu, funkce f (x) sudá, pk f (x)dx = 2 0 b c f (x)dx. Pokud je n intervlu, funkce f (x) lichá, pk f (x)dx = 0. f (x)dx. je-li f (x) g(x), pro x, b, pk tké b f (x)dx b g(x)dx.

16. Řy 26 - Určitý integrál, integrce substitucí metodou per prtes Video Řešené příkldy: 90, 91, 92 Příkldy: 184, 185, 186 1.2.4 Substituce v určitém integrálu Vět 1.2.16: Je-li funkce f (x) integrovtelná v, b ryze monotónní funkce x = ϕ(t) má v intervlu α, β spojitou derivci ϕ (t), přičemž ϕ(α) = ϕ(β) = b, pk pltí: b f (x)dx = β α f (ϕ(t))ϕ (t)dt. Poznámk: Postup výpočtu zápis je obdobný jko u neurčitého integrálu, jen přibude určení nových mezí. Výhodou je, že se nemusíme po substituci vrcet k původní proměnné. 1.2.5 Metod per prtes v určitém integrálu Vět 1.2.17: Necht funkce u(x) v(x) mjí n, b, < b, derivce, které jsou n dném intervlu integrovtelné, pk pltí b b u(x) v (x)dx = [u(x) v(x)] b u (x) v(x)dx. Poznámk: Použití je nlogické jko v přípdě neurčitého integrálu. Výhod oproti postupu u neurčitého integrálu spočívá v průběžném doszování mezí do částečně určené primitivní funkce. Výpočet se zkrátí zpřehlední.

17. Řy 27 - Určitý integrál, obsh rovinného útvru 1.3 Geometrické plikce určitého integrálu 1.3.1 Obsh rovinného útvru 1. Pokud se jedná o rovinný útvr omezený osou x, přímkmi x =, x = b grfem spojité, nezáporné funkce y = f (x), pk je jeho obsh dán určitým integrálem, jk bylo uvedeno u geometrické interpretce určitého integrálu: Video Řešené příkldy: 94, 95, 96 Příkldy: 188, 189 Jestliže funkce y = f (x) nbývá v intervlu, b jk kldných, tk i záporných hodnot, potom tento intervl rozdělíme n dílčí intervly, ve kterých funkce nbývá pouze nekldných hodnot resp. nezáporných hodnot, vypočteme obshy podle předcházejícího. Tzn. pokud bychom počítli integrál b f (x)dx n celém, b, kldné záporné části by se odečítly. P = b f (x)dx. V přípdě, že funkce y = f (x) je v intervlu, b záporná, je integrál rovněž záporný. Vzhledem k tomu, že obsh kždého obrzce je vždy nezáporné číslo, použijeme pro libovolnou funkci ve výpočtu obshu její bsolutní hodnotu: b b P = f (x) dx = f (x)dx.

18. Řy 28 - Určitý integrál, obsh rovinného útvru Video Řešené příkldy: 97, 98 Příkldy: 190, 191, 192 2. Pokud je rovinný útvr ohrničený dvěm funkcemi (křivkmi) y = f (x) y = g(x), přičemž pltí f (x) g(x) n intervlu, b, přímkmi x =, x = b, je jeho obsh určen: P = b ( f (x) g(x)) dx. V přípdě, že je rovinný útvr ohrničený pouze dvěm funkcemi, musíme nejdříve určit x-ové souřdnice průsečíků křivek (tzn. řešíme rovnici f (x) = g(x)). 3. Je-li grf funkce f určen prmetrickými rovnicemi x = ϕ(t), y = ψ(t), t α, β, kde funkce ψ(t) je spojitá nezáporná n α, β funkce ϕ(t) má n intervlu α, β derivci ϕ(t) různou od nuly ϕ(t) je integrovtelná n α, β, pltí pro obsh útvru ohrničeného grfem funkce f n intervlu α, β : P = β α ψ(t) ϕ(t)dt.

19. Řy 29 - Určitý integrál, délk rovinné křivky Video Řešené příkldy: 99, 100 Příkldy: 194, 195 1.3.2 Délk rovinné křivky Vět 1.3.18: Je-li funkce y = f (x) definovná n, b má zde spojitou derivci, pk pro délku jejího grfu pltí: l = b 1 + ( f (x)) 2 dx. Nyní se podíváme n obecnější přípd, kdy křivk nemusí být grfem funkce (může se jednt o trjektorii nkreslenou bodem spojitě se pohybujícím v rovině). Tzn. zdáme křivku pomocí prmetrických rovnic x = ϕ(t), y = ψ(t), kde t α, β. Z fyzikálního pohledu je délk křivky vlstně dráhou, kterou bod urzí od okmžiku α do okmžiku β. Pro délku křivky dné prmetrickými rovnicemi lze dokázt následující tvrzení: l = β α ( ϕ(t)) 2 + ( ψ(t)) 2 dt.

20. Řy 30 - Určitý integrál, objem rotčního těles Video Řešené příkldy: 101, 102, 103 Příkldy: 196-200 1.3.3 Objem rotčního těles Necháme-li rovinný útvr rotovt kolem osy x, vznikne rotční těleso, jehož objem můžeme vypočítt pomocí určitého integrálu. Vět 1.3.19: Necht je funkce y = f (x) spojitá nezáporná n, b. Pk rotční těleso vzniklé rotcí křivky y = f (x) kolem osy x v intervlu, b má objem: V = π b f 2 (x)dx. Vět 1.3.20: Je-li grf funkce f určen prmetrickými rovnicemi x = ϕ(t), y = ψ(t), kde t α, β, pltí pro objem těles, které vznikne rotcí útvru kolem osy x: V = π β α ψ 2 (t) ϕ(t) dt. Poznámk: 1. Obdobný vzorec pltí, je-li osou rotce os y. Objem těles, které vznikne rotcí spojité křivky x = h(y) pro y c, d kolem osy y, vypočteme pomocí vzthu: V = π d c h 2 (y)dy. 2. Pokud získáme těleso rotcí útvru ohrničeného křivkmi y = f (x) y = g(x), přičemž pltí f (x) g(x), kolem osy x n, b, pk objem tkového těles určíme jko V = π b f 2 (x) g 2 (x) dx.

21. Řy 31 - Určitý integrál, obsh rotční plochy Video Řešené příkldy: 104, 105 Příkldy: 201, 202 1.3.4 Obsh rotční plochy Pomocí určitého integrálu vypočítáme i obsh pláště rotčního těles. Vět 1.3.21: Necht je funkce y = f (x) spojitá nezáporná n, b má zde spojitou derivci. Pk pro obsh rotční plochy, která vznikne rotcí křivky y = f (x) kolem osy x v intervlu, b, pltí: S = 2π b f (x) 1 + ( f (x)) 2 dx. Poznámk: Rotce kolem osy y: S = 2π d c h(y) 1 + (h (y)) 2 dy. Vět 1.3.22: Je-li grf funkce f určen prmetrickými rovnicemi x = ϕ(t), y = ψ(t), kde t α, β, pltí pro obsh rotční plochy, které vznikne rotcí grfu funkce f kolem osy x: S = 2π β α ψ(t) ( ϕ(t)) 2 + ( ψ(t)) 2 dt, ψ(t) 0.

Kpitol 2 Funkce dvou proměnných

22. Řy 33 - Funkce dvou proměnných, definiční obor 2.1 Funkce dvou proměnných, vlstnosti 2.1.1 Definice funkce dvou proměnných Definice 2.1.23: Bud M R 2, M = množin. Funkcí dvou proměnných n M rozumíme kždé zobrzení Video Řešené příkldy: 107, 108 Příkldy: 204-213 Princip hledání definičního oboru pro funkci dvou proměnných je zcel nlogický jko pro funkci jedné proměnné. Sestvíme vyhodnotíme jednotlivé omezující podmínky. f : M R, M [x, y] z = f (x, y) R. Množinu M nzýváme definičním oborem funkce f znčíme ji D f. Množin R 2 je krtézským součinem množiny R se sebou, tedy R 2 = R R, jejími prvky tké prvky její podmnožiny M jsou tzv. uspořádné dvojice. Poznámk: V nlogii s oznčením používným pro funkci jedné proměnné, y = f (x), budeme pro oznčení funkce dvou proměnných používt z = f (x, y). Proměnné x y budeme nzývt nezávislé proměnné. Proměnnou z budeme nzývt závislou proměnnou. Není-li specifikován definiční obor, utomticky uvžujeme mximální přípustnou podmnožinu v R 2. Pro funkci tří přípdně více proměnných máme zcel nlogickou definici, přidáváme v podsttě pouze nezávislé proměnné. Prvek množiny M nzýváme bod z definičního oboru, obvykle se pro jeho oznčení používjí velká písmen, tj. npř. A M. Bod A je určen dvěm složkmi, A = [x 0, y 0 ]. Hodnot z = f (A) = f (x 0, y 0 ) se nzývá funkční hodnot.

23. Řy 34 - Funkce dvou proměnných, grf Video Řešené příkldy: 109 Příkldy: 214, 215 2.1.2 Grf funkce dvou proměnných Definice 2.1.24: Grfem funkce dvou proměnných rozumíme množinu G f = {[x, y, z] R 3 [x, y] D f, z = f (x, y)}. Poznámk: Množin G f je podmnožinou v R 3, G f R 3. Nejčstěji budeme prcovt s funkcemi, jejichž grfy jsou nějké dvojrozměrné plochy v trojrozměrném prostoru. Nkreslit grf funkce dvou proměnných tzv. v ruce je poměrně obtížné, čsto to vůbec není možné. Jednou z možností, kterou máme k dispozici, je využít průsečnice grfu zdné funkce s rovinmi rovnoběžnými se souřdnicovými rovinmi, především s půdorysnou rovinou. K vizulizci grfů se používá výpočetní technik, existuje řd komerčních i volně šiřitelných progrmů (Gnuplot, Mple, Mtemtik, Mtlb, Wolfrm td.). Grfem funkce tří proměnných je ploch v R 4, tzv. ndploch. Nelze ji ovšem grficky znázornit.

24. Řy 35 - Funkce dvou proměnných, vrstevnice Definice 2.1.25: Řezy grfu funkce z = f (x, y) rovinmi rovnoběžnými s půdorysnou rovinou se nzývjí vrstevnice. Vrstevnicovým grfem rozumíme průměty vrstevnic do půdorysné roviny z = 0. Vrstevnice je množin bodů se stejnou funkční hodnotou. S vrstevnicemi se můžeme setkt především n turistických mpách, kde vrstevnice (obvykle šedé křivky) reprezentují množiny bodů se stejnou ndmořskou výškou. Vrstevnicový grf grf funkce z = 3 2 1 Video Řešené příkldy: 109 Příkldy: 214, 215 5x x 2 + y 2 + 1. k = 0 k = ± 5 2 k = ± 5 4 4 3 2 1 0 1 2 3 1 2 k = ± 5 6 k = ± 5 8 3 4 z 3 2 1 0-1 -2-3 2.5 2 1.5 1 0.5 0-0.5-1 -1.5-2 -2.5 N obrázku se nchází turistická mp okolí Vysoké školy báňské - Technické univerzity Ostrv. Zdroj: http://mpy.cz/#!x=18.151648&y=49.832078&z=14&l=16. 4 3 2 1 x 0-1 -2-3 -4 1 2 3 4-4 -3-2 -1 0 y

25. Řy 36 - Limit spojitost funkce dvou proměnných 2.1.3 Limit spojitost Limit spojitost funkce dvou proměnných je definován úplně stejně, jko v přípdě funkcí jedné proměnné. Definice 2.1.26: Řekneme, že funkce z = f (x, y) má v hromdném bodě P = [x 0, y 0 ] limitu R, jestliže pro kždé ɛ > 0 existuje δ > 0 tkové, že pro kždé X Oδ(P) pltí f (X) < ɛ. Pojem okolí bodu je zobecněn, v přípdě funkcí jedné proměnné se jedná o otevřený intervl, pro funkce dvou proměnných se jedná o otevřený kruh (kruh bez hrniční kružnice). Okolí Oδ(P) je tzv. deltové prstencové okolí v bodě P, jedná se o otevřený kruh se středem v bodě P bez bodu P o poloměru δ. Definice 2.1.27: Bud U R 2, bod P R 2 se nzývá hromdný bod množiny U, jestliže kždé jeho prstencové okolí O(P) má s množinou U neprázdný průnik, O(P) U =. y Video Řešené příkldy: 110 Příkldy: 216 Limity funkcí dvou proměnných řešíme většinou přímým doszením limitního bodu. Řeší se spíše jiný typ úlohy, dokzuje se, že limit v dném bodě neexistuje. Používná notce: lim f (X) =, lim X P f (x, y) =. [x,y] [x 0,y 0 ] Definice 2.1.28: Řekneme, že funkce z = f (x, y) je spojitá v bodě P = [x 0, y 0 ] D f, jestliže pltí lim f (x, y) = f (x 0, y 0 ). [x,y] [x 0,y 0 ] Funkce je spojitá, je-li spojitá v kždém bodě svého definičního oboru. Funkce je spojitá v bodě, jestliže existuje limit v tomto bodě, kterou určíme přímým doszením limitního bodu, tj. jko funkční hodnotu v tomto bodě. Y U X 0 Z x Body X Y jsou hromdné body množiny U. Bod Z není hromdným bodem množiny U. V přípdě funkcí jedné proměnné vyšetřujeme chování funkce (počítáme limitu) n levé resp. prvé části okolí (otevřeného intervlu). Zkoumáme pouze dv přípdy. Problém u funkcí dvou proměnných je ten, že se k limitnímu bodu můžeme blížit nekonečně mnoh způsoby.

26. Řy 37 - Prciální derivce 2.2 Diferenciální počet funkcí dvou proměnných 2.2.1 Prciální derivce Definice 2.2.29: Řekneme, že má funkce z = f (x, y) prciální derivci podle x (prvního řádu) v bodě A = [x 0, y 0 ], jestliže existuje vlstní limit f (A) = lim x h 0 f (x 0 + h, y 0 ) f (x 0, y 0 ). h Anlogicky definujeme prciální derivci podle y, f (A) = lim y h 0 f (x 0, y 0 + h) f (x 0, y 0 ). h Video Řešené příkldy: 111, 112, 113 Příkldy: 217-221 Výpočet prciálních derivcí funkcí dvou proměnných se ve skutečnosti redukuje n výpočet derivcí funkcí jedné proměnné, přičemž pro derivování používáme stejné formule prvidl jko v přípdě funkcí jedné proměnné. Vět 2.2.30: Necht existují prciální derivce funkcí f (x, y) g(x, y) podle x = x 1 y = x 2 n Q D f D g v bodě X. Pk pltí pro kždé i = 1, 2, ( f ± g)(x) = f (X) ± g (X), x i x i x i ( f g)(x) = f (X) g(x) + f (X) g (X), x i x i x i ( ) f f x (X) = i (X) g(x) f (X) g x i (X) x i g g 2. (X) Poznámk: Oznčení prciálních derivcí: f z (A), x x (A), f x(a), f x(a), td. Prciální derivce v obecném bodě, tj. f x resp. f jsou opět funkce y dvou proměnných. Zcel nlogicky se definují prciální derivce funkce tří více proměnných. Když určujeme prciální derivci podle x, pk vše co není x ve funkci z = f (x, y) chápeme jko konstntu. Tzn. tkovou funkci derivujeme jko funkci jedné proměnné, proměnné x. U prciálních derivcí podle y postupujeme stejně, co není y chápeme jko konstntu.

27. Řy 38 - Prciální derivce Video Řešené příkldy: 111, 112, 113 Příkldy: 217-221 Geometrický význm prciálních derivcí Geometrický význm prciálních derivcí je stejný, jko v přípdě derivce funkce jedné proměnné. Jedná se o směrnici tečny sestrojené v dném bodě. Rovin σ určená rovnicí y = y 0 je rovnoběžná s rovinou xz (rovin xz je určen rovnicí y = 0). Průnikem roviny σ s grfem funkce z = f (x, y) je křivk κ. Prciální derivce f x (A), A = [x 0, y 0 ], je směrnice tečny (tn α) t κ ke křivce κ v bodě A = [x 0, y 0, z 0 = f (x 0, y 0 )]. Rovin ν určená rovnicí x = x 0 je rovnoběžná s rovinou yz (rovin yz je určen rovnicí x = 0). Průnikem roviny ν s grfem funkce z = f (x, y) je křivk λ. Prciální derivce f y (A), A = [x 0, y 0 ], je směrnice tečny (tn β) t λ ke křivce λ v bodě A = [x 0, y 0, z 0 = f (x 0, y 0 )]. z ν Definice 2.2.31: Prciální derivce druhého řádu funkce z = f (x, y) jsou definovány: 2 f x 2 = ( ) f, 2 f x x y 2 = ( ) f, y y Schwrzov vět 2 f x y = ( ) f, y x 2 f y x = ( ) f. x y Vět 2.2.32: Jsou-li smíšené prciální derivce 2 f x y, 2 f spojité v bodě y x A = 2 f [x 0, y 0 ], pk jsou si v tomto bodě rovny, x y (A) = 2 f y x (A). σ A = [x 0, y 0, z 0 ] x 0 κ y 0 λ A = [x 0, y 0 ] t λ β y t κ α x

28. Řy 39 - Diferenciál Video Řešené příkldy: 114, 115 Příkldy: 222, 223, 224, 225 2.2.2 Diferenciál Definice 2.2.33: Řekneme, že funkce z = f (x, y) je v bodě A = [x 0, y 0 ] diferencovtelná, nebo má v tomto bodě diferenciál, jestliže je možné její přírůstek z n okolí bodu A vyjádřit jko z = f (x 0 + h, y 0 + k) f (x 0, y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h, k), kde A B jsou konstnty, ρ = h 2 + k 2 lim [h,k] [0,0] τ(h, k) = 0. Funkce z = f (x, y) se nzývá diferencovtelná, je-li diferencovtelná v kždém bodě svého definičního oboru. Vět 2.2.34: Je-li funkce z = f (x, y) diferencovtelná v bodě A, pk v bodě A existují prciální derivce prvního řádu pltí Vět 2.2.37: Jsou-li prciální derivce prvního řádu funkce z = f (x, y) spojité v A, pk je funkce z = f (x, y) v bodě A diferencovtelná ( tedy i spojitá). Geometrický význm diferenciálu Diferenciál funkce z = f (x, y) v bodě A při známých přírůstcích dx dy je přírůstek n tečné rovině ke grfu funkce f v bodě A. z f (A)(dx, dy) X = [x, y, z] A = f x (A), B = f y (A). z = f (x, y) X = [x, y, z] τ Poznámk: Číslo h předstvuje přírůstek n ose x, k je přírůstek n ose y bývá zvykem tyto přírůstky znčit h = dx resp. k = dy. Pro přírůstek n ose z v bodě A při známé hodnotně dx dy pk dostáváme z = f x (A)dx + f (A)dy + ρτ(dx, dy). y Definice 2.2.35: Je-li funkce z = f (x, y) diferencovtelná, nzývá se výrz dz = d f (x, y) = f x dx + f y dy x x dx = x x 0 A = [x 0, y 0, z 0 ] x 0 y 0 A = [x 0, y 0 ] X = [x, y] d f (A)(dx, dy) dy = y y 0 y y diferenciál funkce z = f (x, y). Vět 2.2.36: Je-li funkce z = f (x, y) diferencovtelná v bodě A, pk je v tomto bodě spojitá.

29. Řy 40 - Diferenciál Video Řešené příkldy: 114, 115 Příkldy: 222, 223, 224, 225 Poznámk: Diferenciál funkce z = f (x, y) dz = f x dx + f y dy. Diferenciál funkce z v bodě A = [x 0, y 0 ] dz(a) = f x (A) (x x 0) + f y (A) (y y 0). Diferenciál funkce z v bodě A = [x 0, y 0 ] při známých přírůstcích dx, dy, dz(a)(dx, dy) = f f (A) dx + (A) dy R. x y Diferenciál druhého řádu funkce z = f (x, y) d 2 z = 2 f x 2 dx2 + 2 2 f x y dxdy + 2 f y 2 dy2. Přibližný výpočet funkčních hodnot f (x, y) f (x 0, y 0 ) + d f (x 0, y 0 )(dx, dy).

30. Řy 41 - Tečná rovin, normál, Tylorův polynom Video Řešené příkldy: 116, 117 Příkldy: 226, 227, 228, 229 Vět 2.2.38: Necht je funkce z = f (x, y) diferencovtelná v bodě A = [x 0, y 0 ]. Pk v bodě A = [x 0, y 0, z 0 = f (x 0, y 0 )] existuje tečná rovin ke grfu funkce z = f (x, y) určená rovnicí τ : z z 0 = f x (A)(x x 0) + f y (A)(y y 0). Přímk n kolmá k tečné rovině procházející bodem A se nzývá normál grfu funkce z = f (x, y). Její ( směrový vektor je kolineární s normálovým vektorem roviny, s n = n = f x (A), f y ). (A), 1 Vět 2.2.39: Normál ke grfu funkce z = f (x, y) v bodě A je určen prmetrickými rovnicemi n : x = x 0 + f x (A)t, y = y 0 + f y (A)t, z = z 0 t, t R. Vět 2.2.40: Necht je funkce z = f (x, y) n okolí bodu A D f lespoň (m + 1)-krát spojitě diferencovtelná. Pk v bodě X O(A) pltí f (X) = f (A) + d f (A) 1! + d2 f (A) 2! + + dm f (A) m! R m = dm+1 f (A + κ(x A)), κ (0, 1). (m + 1)! + R m, kde Definice 2.2.41: Výrz z předchozí věty nzýváme Tylorovým rozvojem funkce f n okolí bodu A. Hodnot R m se nzývá Lgrngeův zbytek Tylorov rozvoje. Polynom T m (X) = f (A) + d f (A) 1! + d2 f (A) 2! + + dm f (A) m! se nzývá Tylorův polynom m-tého řádu funkce f v bodě A. Je-li A = [0, 0], hovoříme o McLurionovu polynomu.

31. Řy 42 - Implicitní funkce 2.2.3 Implicitní funkce Definice 2.2.42: Bud z = F(x, y) funkce dvou proměnných. Uvžujme křivku M = {[x, y] D F F(x, y) = 0}. Necht A = [x 0, y 0 ] M je bod, O δ (A) R 2 je deltové okolí bodu A, δ > 0. Jestliže je rovnicí F(x, y) = 0 n okolí bodu A určen funkce y = f (x) tková, že pltí Video Řešené příkldy: 118, 119 Příkldy: 230-234 N obrázku je kružnice se středem v počátku poloměrem 1, x 2 + y 2 1 = 0 y 2 = 1 x 2 y = 1 x 2, x 1, 1. N intervlu ( 1, 1) jsou rovnicí určeny dvě implicitní funkce, y = 1 x 2 (horní půlkružnice) y = 1 x 2 (spodní půlkružnice). V bodech [1, 0] [ 1, 0] implicitní funkce neexistuje, kždé okolí těchto bodů obshuje body jk horní, tk spodní půlkružnice. F(x, f (x)) = 0, [x, f (x)] O δ (A), pk říkáme, že funkce f je n okolí bodu A definován implicitně rovnicí F(x, y) = 0. y [x 0, f (x 0 )] y = 1 x 2 x 1 δ x 1 x 1 + δ x 0 δ x 0 x 0 + δ x [x 1, f (x 1 )] y = 1 x 2

32. Řy 43 - Derivce implicitní funkce Video Řešené příkldy: 118, 119 Příkldy: 230-234 Poznámk: Ne ke kždé rovnici F(x, y) = 0 existuje jediná implicitní funkce. Vět 2.2.43: Necht je funkce z = F(x, y) spojitá n okolí bodu A = [x 0, y 0 ] F(A) = 0. Necht F má v A spojitou prciální derivci F y (A) F pltí (A) = 0. Pk existuje okolí bodu A, n kterém je rovnicí y F(x, y) = 0 definován jediná spojitá implicitní funkce y = f (x). Poznámk: Podmínk n nenulovost prciální derivce funkce F je pouze podmínkou postčující pro existenci implicitní funkce. Z rovnice y 3 x = 0 plyne F(x, y) = y 3 x v bodě [0, 0] pltí F y (0, 0) = 3y2 [0,0] = 0. Přesto n okolí bodu [0, 0] existuje jediná implicitní funkce y = 3 x. Derivce implicitní funkce Vět 2.2.44: Necht jsou splněny předpokldy předchozí věty. Necht existují spojité prciální derivce funkce F. Pk má implicitní funkce f, která je n okolí bodu A dán rovnicí F(x, y) = 0, derivci f v bodě x 0 pltí f (x 0 ) = F x (A). F y (A) Vět 2.2.45: Tečn t resp. normál n k implicitní funkci y = f (x) dné rovnicí F(x, y) = 0 v bodě A je určen rovnicí t : F x (A)(x x 0) + F y (A)(y y 0) = 0, n : F y (A)(x x 0) F x (A)(y y 0) = 0.

33. Řy 44 - Lokální extrémy Video Řešené příkldy: 120, 122 Příkldy: 235, 236, 237, 238 2.3 Extrémy funkcí dvou proměnných 2.3.1 Lokální extrémy Definice 2.3.46: Řekneme, že funkce z = f (x, y) má v bodě A D f lokální mximum, jestliže existuje okolí O(A) D f bodu A tkové, že X O(A) pltí f (X) f (A). Pltí-li f (X) f (A), jedná se o lokální minimum v bodě A (v přípdě ostrých nerovností hovoříme o ostrém lokálním mximu resp. minimu). Definice 2.3.47: Řekneme, že bod A D f je stcionárním bodem funkce f, jestliže f f (A) = 0, (A) = 0. x y Fermtov vět - nutná podmínk existence extrému Vět 2.3.48: Necht má funkce f v bodě A lokální extrém necht v A existují všechny prciální derivce prvního řádu. Pk je bod A stcionárním bodem funkce f. Poznámk: Fermtov vět nevylučuje možnost existence extrému v bodě, který není stcionárním bodem funkce f, protože některá z prciálních derivcí neexistuje. Podmínk pro stcionární body je ekvivlentní s podmínkou d f (A) = 0, pltí-li ovšem, že d f (A) = 0, pk lokální extrém v A neexistuje.

34. Řy 45 - Lokální extrémy Video Řešené příkldy: 120, 122 Příkldy: 235, 236, 237, 238 Vět 2.3.49: Necht existují lespoň spojité prciální derivce druhého řádu funkce f ve stcionárním bodě A, pk pltí-li d 2 f (A) < 0, funkce f má v bodě A ostré lokální mximum, d 2 f (A) > 0, funkce f má v bodě A ostré lokální minimum. Postčující podmínk pro existenci extrému Vět 2.3.50: Necht je funkce f n okolí bodu A dvkrát spojitě diferencovtelná. Necht A je stcionární bod. Jestliže ( D 2 = 2 f f x 2 (A) 2 y 2 (A) 2 ) 2 f x y (A) > 0, pk má funkce f v A ostrý lokální extrém. Pltí-li nvíc D 1 = 2 f (A) < 0, funkce f má v bodě A ostré lokální mximum, x2 D 1 = 2 f (A) > 0, funkce f má v bodě A ostré lokální minimum. x2 Poznámk: Jestliže D 2 = 0, nelze o existenci lokálního extrému rozhodnout. Toto lze v některých přípdech vyřešit prověřením lokálního chování funkce f n okolí bodu A.

35. Řy 46 - Vázné extrémy Video Řešené příkldy: 124, 125 Příkldy: 239, 240 2.3.2 Vázné extrémy Definice 2.3.51: Řekneme, že funkce z = f (x, y) má v bodě A = [x 0, y 0 ] lokální extrém vázný podmímkou g(x, y) = 0, jestliže X O(A) D f, které vyhovuje uvedené podmínce, pltí f (X) f (A), funkce f má v bodě A vázné lokální mximum, f (X) f (A), funkce f má v bodě A vázné lokální minimum. Lgrngeov metod Vět 2.3.52: Bud dán funkce z = f (x, y) podmínk g(x, y) = 0. Jestliže má funkce Φ(x, y, λ) = f (x, y) + λg(x, y), λ R, ve svém stcionárním bodě lokální extrém, má i funkce f v tomto bodě lokální extrém vázný podmínkou g(x, y) = 0. Geometrický význm vázných extrémů Vázný extrém může nstt pouze v bodech z definičního oboru funkce f, které leží n křivce g(x, y) = 0. Těmto bodům odpovídjí body n ploše z = f (x, y) tvořící prostorovou křivku κ, průsečnici plochy s válcovou plochou g(x, y) = 0. Z geometrického hledisk se jedná o lokální extrémy prostorové křivky. z Poznámk: Funkce Φ se nzývá Lgrngeov funkce, číslo λ Lgrngeův multiplikátor. Stcionární body určíme jko řešení soustvy lineárních rovnic, Φ x = 0, Φ y = 0, g(x, y) = 0. A κ Pokud lze jednoznčně z rovnice vyjádřit y = ϕ(x) resp. x = ψ(y), pk vázné lokální extrémy hledáme jko lokální extrémy funkce z = f (x, ϕ(x)) resp. z = f (ψ(y), y). g(x, y) = 0 A y x

36. Řy 47 - Globální extrémy Video Řešené příkldy: 126 Příkldy: 241, 242, 243 2.3.3 Globální extrémy Definice 2.3.53: Řekneme, že funkce z = f (x, y) má v bodě A = [x 0, y 0 ] globální extrém n uzvřeném definičním oboru D f, jestliže X D f pltí Poznámk: f (X) f (A), funkce f má v bodě A globální mximum, f (X) f (A), funkce f má v bodě A globální minimum. V přípdě ostrých nerovností hovoříme o ostrých globálních extrémech. Množin D f se nzývá uzvřená, jestliže obshuje všechny své hrniční body. Hrničním bodem množiny D f je tkový bod, jehož kždé okolí obshuje body X tkové, že X D f součsně obshuje body Y tkové, že Y D f. N rozdíl od lokálních extrémů, které hledáme n okolích bodů, hledáme globální extrémy n celém D f. Postup určování globálních extrémů určíme definiční obor D f funkce z = f (x, y), nlezneme lokální extrémy této funkce n množině D f, ze které vyloučíme hrnici g(x, y) = 0, určíme vázné extrémy této funkce vzhledem k podmínce g(x, y) = 0, porovnáme funkční hodnoty všech extrémů, bod s největší funkční hodnotou bude globálním mximem, bod s nejmenší funkční hodnotou bude globálním minimem.

Kpitol 3 Obyčejné diferenciální rovnice

37. Řy 49 - Diferenciální rovnice n-tého řádu, zákldní pojmy Video Řešené příkldy: 128-150 Příkldy: 245-278 3.1 Diferenciální rovnice n-tého řádu Definice 3.1.54: Rovnice tvru F(y (n), y (n 1),..., y, y, x) = 0 se nzývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu pro neznámou funkci y = y(x). Speciálně pro n = 1 je F(y, y, x) = 0 nebo y = f (x, y) diferenciální rovnice prvního řádu. Řád diferenciální rovnice je řád nejvyšší derivce neznáme funkce y(x), který se v rovnici vyskytuje. Řešením (integrálem) diferenciální rovnice n intervlu I je kždá funkce y(x), která má spojité derivce ž do řádu n včetně dné diferenciální rovnici vyhovuje. Křivk, která znázorňuje některé řešení diferenciální rovnice se nzývá integrální křivkou této diferenciální rovnice. Z hledisk obecnosti rozlišujeme následující typy řešení obecné řešení rovnice n-tého řádu předstvuje množinu funkcí tvru Φ(x, y, C 1, C 2,..., C n ) = 0 nebo y = φ(x, C 1, C 2,..., C n ), tj. množin funkcí obshující n konstnt C 1, C 2,..., C n, prtikulární řešení je konkrétní řešení, které získáme z obecného řešení volbou nebo výpočtem konstnt C 1, C 2,..., C n, výjimečné řešení je řešení, které nelze získt z obecného řešení žádnou volbou konstnt C 1, C 2,..., C n.

38. Řy 50 - Seprovtelné diferenciální rovnice Video Řešené příkldy: 129-139 Příkldy: 245-263 3.2 Některé metody řešení diferenciálních rovnic 1. řádu Definice 3.2.55: Diferenciální rovnicí se seprovnými proměnnými rozumíme kždou rovnici, kterou lze zpst ve tvru Q(y)y = P(x), tj. Q(y)dy = P(x)dx, pokud nhrdíme derivci y podílem dy dx. N první pohled vidíme, že zde jsou proměnné odděleny (seprovány) n jednotlivé strny rovnice je možné provést integrci, která vede přímo k řešení Q(y)dy = P(x)dx + C. Primitivním funkcím n obou strnách rovnosti správně náleží dvě integrční konstnty, které se všk spojují do jedné, kterou zprvidl zpisujeme k výrzu s nezávislou proměnnou. 3.2.1 Seprovtelné diferenciální rovnice V prxi se můžeme setkt s řdou úloh, které lze pomoci jednoduchých opercí převést n diferenciální rovnici seprovnou. Tkové rovnice se oznčují jko rovnice seprovtelné. K těmto rovnicím řdíme následující typy rovnic: y = P(x)Q(y), y = f (x + by + c), y = f ( y x ) (homogenní dif. rovnice).

39. Řy 51 - Seprovtelné diferenciální rovnice Video Řešené příkldy: 129-135 Příkldy: 245-255 Diferenciální rovnice typu y = P(x)Q(y) Rovnici typu y = P(x)Q(y) lze z předpokldu, že Q(y) = 0 užitím identity y = dy dx uprvit n tvr dy Q(y) = P(x)dx, což je již diferenciální rovnice se seprovnými proměnnými. Její obecné řešení lze z dných předpokldů zpst ve tvru dy Q(y) = P(x)dx + C. Diferenciální rovnice typu y = f (x + by + c) Diferenciální rovnici tvru y = f (x + by + c), kde b = 0, lze převést substitucí u(x) = x + by + c n rovnici se seprovnými proměnnými. Nejprve rovnost derivujeme podle proměnné x, tedy u = + by y = u. b Doszením do dné diferenciální rovnice obdržíme rovnici u b Pro + b f (u) = 0 dostneme = f (u) u = + b f (u). 1 + b f (u) u = 1, což je diferenciální rovnice se seprovnými proměnnými pro funkci u = u(x).

40. Řy 52 - Seprovtelné diferenciální rovnice, homogenní rovnice Video Řešené příkldy: 136, 137, 138, 139 Příkldy: 256-263 Homogenní diferenciální rovnice Definice 3.2.56: Diferenciální rovnice F(x, y, y ) = 0 se nzývá homogenní, pokud ji lze pro x = 0 uprvit n tvr ( y y ) = f. x Homogenní diferenciální rovnici převedeme substituci y = zx, kde z = z(x), n diferenciální rovnici se seprovnými proměnnými pro novou neznámou funkci z(x). Ze substituce y = zx, tj. z = y x plyne po derivování y = z x + z. Doszením do zdné homogenní diferenciální rovnice dostneme z x + z = f (z) 1 z f (z) z = 1 x, pro z f (z) = 0, což je diferenciální rovnice se seprovnými proměnnými pro funkci z = z(x). Tedy P(tx, ty) = t k P(x, y) Q(tx, ty) = t k Q(x, y) P(tx, ty) Q(tx, ty) = tk P(x, y) t k Q(x, y) P(tx, ty) Q(tx, ty) = P(x, y) Q(x, y) Rovnici P(x, y) + Q(x, y)y = 0 lze pro Q(x, y) = 0 uprvit n tvr y P(x, y) = Q(x, y) z této rovnice pro t = 1 x, x = 0 dostneme y P(tx, ty) = Q(tx, ty), y = P(1, y x ) ( Q(1, y x ) y y ) = f, x což je homogenní diferenciální rovnice. Poznámk: Připomeňme si, kdy se funkce f (x, y) n oblsti Ω R 2 nzývá homogenní stupně k ukážeme si, jk tento pojem souvisí s homogenní diferenciální rovnicí. Definice 3.2.57: Funkce f (x, y) se nzývá homogenní funkce stupně k, k N, n oblsti Ω právě tehdy, když v kždém bodě [x, y] Ω pro libovolné t = 0 pltí f (tx, ty) = t k f (x, y). Budeme-li předpokládt, že funkce P(x, y), Q(x, y) jsou homogenní stejného stupně k, potom rovnice P(x, y) + Q(x, y)y = 0 je homogenní diferenciální rovnicí.

41. Řy 53 - Exktní diferenciální rovnice 3.2.2 Exktní diferenciální rovnice Definice 3.2.58: Diferenciální rovnice P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 se nzývá exktní, jestliže výrz P(x, y)dx + Q(x, y)dy je totálním diferenciálem jisté funkce F(x, y) oznčovné jko kmenová funkce. Vět 3.2.59: Jsou-li funkce P(x, y), Q(x, y) diferencovtelné n oblsti Ω, potom je rovnice P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 exktní právě tehdy, když n oblsti Ω pltí P(x, y) y = Q(x, y). x Je-li F(x, y) kmenovou funkcí příslušného diferenciálu, má obecné řešení exktní rovnice tvr F(x, y) = C. Z věty vyplývá, že nlézt obecné řešení exktní diferenciální rovnice znmená nlézt kmenovou funkci F(x, y). Vzhledem k tomu, že levá strn rovnice P(x, y)dx + Q(x, y)dy je totálním diferenciálem hledné funkce F, musí pltit, že F(x, y) x = P(x, y) F(x, y) y = Q(x, y). Máme tedy dvě možnosti jk postupovt při jejím hledání. Budeme-li vycházet npř. z první rovnice, potom integrcí podle proměnné x dostneme F(x, y) = P(x, y)dx + ϕ(y) = U(x, y) + ϕ(y), kde U(x, y) je primitivní funkce ϕ(y) je ztím neznámá funkce mjící význm integrční konstnty, která le může být funkcí proměnné y. Tuto rovnici derivujeme podle proměnné y F y = U y + dϕ dy porovnáním s druhou rovnici dostneme dϕ dy = Q U y ϕ(y) = Video Řešené příkldy: 140 Příkldy: 264, 265 ( Q U ) dy y Nyní musíme ukázt, že funkce Q U y je vždy funkcí pouze proměnné y. To ukážeme tk, že jeho derivce podle proměnné x bude vždy rovn nule: ( Q U ) = Q x y x 2 U x y = Q x y Hledná kmenová funkce je F(x, y) = U(x, y) + kde U(x, y) = P(x, y)dx. ( Q(x, y) ( ) U = Q x x P y = 0. ) U(x, y) dy + C, y Poznámk: Budeme-li při hledání kmenové funkce vycházet z rovnice F(x, y) = Q(x, y), potom po integrci podle proměnné y použití nlogických opercí obdržíme kmenovou funkci ve tvru y ( ) V(x, y) F(x, y) = V(x, y) + P(x, y) dx + K, x kde V(x, y) = Q(x, y)dy.

42. Řy 54 - Exktní diferenciální rovnice Video Řešené příkldy: 140 Příkldy: 264, 265 Kmenovou funkci F(x, y) lze v mnohých přípdech určit jednodušším F(x, y) způsobem. Integrcí rovnice = P(x, y) podle proměnné x, x F(x, y) resp. rovnice = Q(x, y) podle proměnné y dostneme: y F(x, y) = P(x, y)dx = U(x, y) + C 1, F(x, y) = Q(x, y)dy = V(x, y) + C 2. Lze ukázt, že kmenová funkce F(x, y) je sjednocením množin sčítnců tvořících funkce U(x, y) V(x, y). Nevýhodou ovšem je, že v některých přípdech není n první pohled zřejmé, zd se některé sčítnce liší pouze o konstntu. Celý lgoritmus řešení exktní rovnice je následující: 1. Ověříme, zd pltí podmínk exktnosti P(x, y) y = Q(x, y). x 2. Vypočítáme kmenovou funkci F(x, y). 3. Určíme obecné řešení rovnice ve tvru F(x, y) = C.

43. Řy 55 - Lineární diferenciální rovnice 1. řádu Video Řešené příkldy: 141-145 Příkldy: 266-273 3.2.3 Lineární diferenciální rovnice 1. řádu Definice 3.2.60: Lineární diferenciální rovnicí prvního řádu (zkráceně LDR) nzýváme kždou rovnici tvru y + yp(x) = q(x), kde p(x), q(x) jsou spojité funkce n určitém intervlu, b. Dále 1. je-li q(x) = 0, hovoříme o zkrácené LDR, 2. je-li q(x) = 0, hovoříme o nezkrácené (úplné) LDR. Vět 3.2.61: Obecné řešení úplné lineární diferenciální rovnice má tvr y(x) = ŷ(x) + v(x), kde ŷ(x) je řešení zkrácené rovnice v(x) je libovolné řešení úplné lineární diferenciální rovnice. Funkce v(x) bývá tké nzýván jko prtikulární integrál úplné lineární diferenciální rovnice.

44. Řy 56 - Lineární diferenciální rovnice 1. řádu, řešení zkrácené LDR Video Řešené příkldy: 141-145 Příkldy: 266-273 Obecné řešení zkrácené lineární diferenciální rovnice 1. řádu Vět 3.2.62: Zkrácená LDR y + yp(x) = 0 má n intervlu, b obecné řešení tvru y = Ce p(x)dx Rovnice y + yp(x) = 0 je diferenciální rovnice se seprovtelnými proměnnými, tedy dy dx + yp(x) = 0 1 dy = p(x)dx, pro y = 0. y 1 y dy = p(x)dx + K ln y = p(x)dx + K Obecné řešení hledáme ve tvru y = e K e p(x)dx, y = ±e K e p(x)dx. y = ±e K e p(x)dx. Oznčíme-li C = ±e K, potom obecné řešení lze psát ve tvru y = Ce p(x)dx, C R.

45. Řy 57 - Lineární diferenciální rovnice 1. řádu, řešení úplné LDR Video Řešené příkldy: 141-145 Příkldy: 266-273 Obecné řešení úplné lineární DR 1. řádu Vět 3.2.63: Úplná LDR 1. řádu y + yp(x) = q(x) má obecné řešení ve tvru y = 1 [ E(x)q(x)dx + K], E(x) kde E(x) = e p(x)dx. Důkz věty je konstruktivní, tj. ukzuje způsob řešení úplné LDR, který vede k uvedenému vzorci. Níže uvedený postup se nzývá Metod vrice konstnty. 1. Určíme obecné řešení zkrácené LDR y + p(x)y = 0, které oznčíme ŷ: ŷ = Ce p(x)dx. 2. Obecné řešení úplné LDR hledáme ve tvru y = C(x)e p(x)dx. tzn. v obecném řešení zkrácené rovnice jsme konstntu C nhrdili ztím neurčenou funkcí C(x). Tuto funkci určíme z předpokldu, že y = C(x)e p(x)dx je řešením úplné LDR. Dosdíme funkci y její derivci y = C (x)e p(x)dx C(x)e p(x)dx p(x) do úplné LDR 1. řádu dostneme C (x)e p(x)dx C(x)e p(x)dx p(x) }{{} y (x) + C(x)e p(x)dx p(x) = q(x). }{{} y(x) N levé strně rovnice se vždy musí odečíst dv členy obshující C(x). V rovnici zůstne C (x) jen ve formě derivce. C (x)e p(x)dx = q(x) C (x) = q(x)e p(x)dx. Oznčíme-li E(x) = e p(x)dx, obdržíme diferenciální rovnici se seprovnými proměnnými pro neznámou funkci C(x) ve tvru C (x) = q(x)e(x). Její obecné řešení lze psát ve tvru C(x) = q(x)e(x)dx + K doszením do y = C(x)e p(x)dx dostneme y = 1 E(x) [ q(x)e(x)dx + K], což je hledné řešení úplné lineární diferenciální rovnice. Poznámk: Pokud bychom roznásobili obdržené řešení úplné lineární diferenciální rovnice dosdili z E(x) výrz e p(x)dx, viděli bychom, že obdržené řešení je dáno součtem řešení zkrácené rovnice prtikulárního integrálu y(x) = Ke p(x)dx }{{} + e p(x)dx ŷ(x) q(x)e p(x)dx } {{ } v(x).

46. Řy 58 - Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu, vlstnosti LDR Video Řešené příkldy: 146-150 Příkldy: 274-278 3.3 Vlstnosti lineárních diferenciálních rovnic Definice 3.3.64: Lineární diferenciální rovnicí (LDR) n-tého řádu nzýváme rovnici tvru n (x)y (n) + n 1 (x)y (n 1) + + 1 (x)y + 0 y = b(x), kde funkce i (x), b(x), i = 0, 1,..., n jsou spojité n intervlu, b (x) = 0. Je-li b(x) = 0, mluvíme o zkrácené (homogenní) LDR, je-li b(x) = 0, jde o úplnou (nehomogenní) LDR. Je-li n (x) = 1, jedná se o normovnou LDR. Dále budeme používt oznčení pro tzv. diferenciální operátor levé strny: L n (y) = n (x)y (n) + n 1 (x)y (n 1) + + 1 (x)y + 0 y, L n (y) = y (n) + n 1 (x)y (n 1) + + 1 (x)y + 0 y. Diferenciální operátory L n L n jsou lineární, nebot pro libovolné n-krát diferencovtelné funkce u(x), v(x) konstntu c pltí L n (cu) = cl n (u), L n (u + v) = L n (u) + L n (v). Tedy lineární diferenciální rovnici n-tého řádu můžeme nyní zpst ve tvru L n (y) = b(x), resp. normovnou rovnici ve tvru L n (y) = b(x). Vět 3.3.65: (vět o snížení řádu LDR) Necht je dán lineární diferenciální rovnice L n (y) = b(x). Známe-li jedno nenulové řešení y 1 (x) zkrácené rovnice L n (y) = 0, potom substitucí y = y 1 (x) v(x)dx, kde v(x) je spojitá funkce, přejde rovnice L n (y) = b(x) v LDR řádu n 1 pro novou neznámou funkci v(x).

47. Řy 59 - Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu, struktur řešení Video Řešené příkldy: 146-150 Příkldy: 274-278 3.4 Struktur řešení zkrácené LDR n-tého řádu Z lineární lgebry je známo, že množin všech funkcí spojitých n intervlu, b tvoří lineární prostor. V této souvislosti má smysl vymezení pojmů jko jsou lineární závislost resp. lineární nezávislost. Definice 3.4.66: Řekneme, že funkce y 1 (x), y 2 (x),..., y n (x) jsou n intervlu I lineárně závislé, jestliže existují konstnty C 1, C 2,..., C n R tkové, že C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) + + C n y n (x) = 0, přičemž lespoň jedno z čísel C i je různé od nuly. V opčném přípdě jsou funkce y 1 (x), y 2 (x),..., y n (x) n intervlu I lineárně nezávislé. Množin všech řešení LDR L n (y) = 0 tvoří vektorový prostor, jehož dimenze je rovn řádu dné diferenciální rovnice kždou n-tici lineárně nezávislých řešení této rovnice nzýváme fundmentálním systémem řešení. Fundmentální systém řešení tvoří bázi prostoru řešení. Tedy tvoří-li funkce y 1 (x), y 2 (x),..., y n (x) fundmentální systém řešení rovnice L n (y) = 0, potom obecné řešení této rovnice lze vyjádřit ve tvru y = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) + + C n y n (x), kde C 1, C 2,..., C n jsou libovolné konstnty. V prxi bývá poměrně čsto potřeb nezávislost funkcí ověřovt k tomu využijeme tzv. Wronského determinnt. Definice 3.4.67: Necht funkce y 1 (x), y 2 (x),..., y n (x) mjí n intervlu, b spojité derivce ž do n 1 řádu včetně. Potom determinnt y 1 (x) y 2 (x)... y n (x) y 1 W(x) = (x) y 2 (x)... y n(x)... y1 n 1 (x) y2 n 1 (x)... y n 1 n (x) se nzývá Wronského determinnt (wronskián) příslušný k funkcím y 1 (x), y 2 (x),..., y n (x). Vzth mezi Wronského determinntem řešeními zkrácené LDR n-tého řádu je tkový, že jsou-li funkce y 1 (x), y 2 (x),..., y n (x) lineárně závislá řešení normovné rovnice L n (y) = 0 n intervlu I, ve kterém jsou koeficienty n 1 (x),..., 0 (x) spojité funkce, potom jejich wronskián W(x) = 0 pro všechn x I.

48. Řy 60 - Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Video Řešené příkldy: 146-150 Příkldy: 274-278 3.5 Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Definice 3.5.68: Lineární diferenciální rovnice (LDR) druhého řádu má tvr 2 (x)y (x) + 1 (x)y (x) + 0 (x)y(x) = b(x), kde funkce (nebo konstnty) 0 (x), 1 (x), 2 (x) jsou koeficienty rovnice funkci b(x) nzýváme prvou strnou rovnice. Dále 1. je-li b(x) = 0, hovoříme o zkrácené LDR, 2. je-li b(x) = 0, hovoříme o nezkrácené (úplné) LDR. Definice 3.5.69: Počáteční (Cuchyho) úlohou pro rovnici 2 (x)y (x) + 1 (x)y (x) + 0 (x)y(x) = b(x) nzýváme úlohu njít tkové řešení y(x) této rovnice, která splňuje podmínky y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = y 1. Poznámk: Při řešení počáteční úlohy postupujeme tk, že doszením zdných podmínek do obecného řešení do jeho první derivce dostneme soustvu dvou rovnic o dvou neznámých pro konstnty C 1 C 2. Řešíme-li konkrétní problémy z prxe, které jsou popsány diferenciálními rovnicemi, čsto zjišt ujeme, že jednotlivé prmetry (hmotnost, hustot, frekvence, td.), které vystupují jko koeficienty diferenciálních rovnic, jsou konstnty. Tkovéto úlohy tvoří zákldní skupinu mezi LDR druhého řádu. Změříme se nejprve n zkrácené LDR druhého řádu s konstntními koeficienty ve tvru 2 y + 1 y + 0 y = 0 kde 2, 1, 0 R.