KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL Jiří Bouchala, Oldřich Vlach Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry. století (reg. č. CZ..7/../7.33), na kterém se společně podílela Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava a Západočeská univerzita v Plzni
Jiří Bouchala, Oldřich Vlach KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL c Jiří Bouchala, Oldřich Vlach,
Předmluva Tento i ostatní v rámci projektu Matematika pro inženýry. století připravované výukové materiály lze najít na stránkách http://mi.vsb.cz/. Budeme čtenářům velmi vděční za sdělení všech připomínek či komentářů. V Ostravě, Jiří Bouchala a Oldřich Vlach Všechny připomínky (výhrady, komentáře, doporučení,...) zasílejte na naše e-mailové adresy: jiri.bouchala@vsb.cz, oldrich.vlach@vsb.cz iii
Obsah Předmluva iii Vektorové funkce. Vektorové funkce a operace s vektorovými funkcemi........... Limita vektorové funkce......................... 3.3 Spojitost vektorové funkce........................ 4.4 Diferenciál vektorové funkce....................... 6 Křivky v R m 9 3 Křivkový integrál 6 3. Křivkový integrál. druhu........................ 6 3. Aplikace křivkového integrálu. druhu................. 3 3.3 Křivkový integrál. druhu........................ 4 3.4 Greenova věta............................... 3 3.5 Nezávislost křivkového integrálu. druhu na cestě........... 36 3.6 Aplikace křivkového integrálu. druhu................. 4 4 Plochy 44 5 Plošný integrál 46 5. Plošný integrál. druhu přes hladký list................ 46 5. Plošný integrál. druhu přes po částech hladkou plochu........ 49 5.3 Aplikace plošného integrálu. druhu.................. 55 5.4 Plošný integrál. druhu přes hladký list................ 57 5.5 Plošný integrál. druhu přes po částech hladkou plochu........ 59 5.6 Gaussova Ostrogradského věta..................... 63 5.7 Stokesova věta............................... 67 5.8 Aplikace plošného integrálu. druhu.................. 7 Literatura 73 iv
Kapitola Vektorové funkce. Vektorové funkce a operace s vektorovými funkcemi Připomeňme si, že symbolem R n rozumíme normovaný vektorový prostor, jehož prvky jsou uspořádané n tice reálných čísel (obvykle píšeme x (x, x,..., x n ), y (y, y,..., y n ),... ) a (eukleidovská) norma je definována předpisem x : x +... + x n. Navíc budeme (pro ε R + ) používat následující označení: U(x, ε) : {y R n : x y < ε}... ε okolí bodu x, P (x, ε) : U(x, ε) {x}... prstencové ε okolí bodu x (nebude-li nám záležet na velikosti okolí ε, budeme psát krátce U(x) a P (x)). Dále si připomeňme, jak je definovaná a co platí pro konvergenci posloupností v R n : a k (a k,..., a kn ) a (a,..., a n ) def. a k a [ i {,..., n} : a ki a i pro k ].. Příklad. Rozhodněte, zda posloupnost (a k ) v R n konverguje, a určete její případnou limitu, je-li ( ) k 3 k a) n, a k : k 3 +, 3 k + k ; 3 k+ + k+ ( ) k b) n 4, a k : k +, ( )k,, k. k k Řešení. Úlohu lze redukovat na výpočet limit jednotlivých složek.
Vektorové funkce ( k 3 k a) lim k 3 +, ( lim k + ) 3 k + k 3 k+ + k+, lim + ( k ) 3) k 3 3 + ( ) k 3 ( lim k3 k ) k 3 +, lim 3k + k 3 k+ + k+ (, ) (, tj. a k 3, ). 3 b) Jelikož (a to si rozmyslete podrobně) lim k k / R, je (a k) divergentní.. Cvičení. Rozhodněte, ( zda posloupnost (a k ) v R 5 konverguje, a určete její případnou limitu, je-li a k :, k sin k ( k ) k + k, k k, k + 4k +, ( )k ( k ) k + )..3 Definice. Vektorovou funkcí z R n do R m (nebo podrobněji: reálnou m rozměrnou vektorovou funkcí n reálných proměnných) rozumíme každé zobrazení z R n do R m. Je-li f vektorovou funkcí z R n do R m (pišme f : R n R m ), je každému přiřazena právě jedna hodnota x (x,..., x n ) Df R n f(x) (f (x),..., f m (x)) Hf R m (Df... definiční obor f, Hf... obor hodnot f). Funkce f,..., f m : R n R nazýváme složkami vektorové funkce f a píšeme f (f,..., f m )..4 Poznámka. Je-li m n (a nejčastěji nebo 3), říkáme někdy, že f je vektorové pole; je-li m, nazýváme f skalární pole..5 Úmluva. Zadáme-li vektorovou funkci f : R n R m pouze předpisem, tzn. když neuvedeme explicitně její definiční obor (například f(u, v, w) : (sin u, v w)), rozumíme jejím definičním oborem množinu všech x R n, pro něž má daný předpis smysl (v našem příkladě: Df {(u, v, w) R 3 : w })..6 Poznámka. Všimněme si, je-li f (f,..., f m ) : R n R m zadána pouze svým předpisem, je Df Df Df... Df m.
. Limita vektorové funkce 3.7 Definice. Buď c R a buď f, g : R n R m. Definujme vektorové funkce f + g, f g, c f : R n R m předpisy: (f ± g)(x) : f(x) ± g(x); (c f)(x) : c f(x).. Limita vektorové funkce.8 Definice. Buď f : R n R m, x R n, a R m. Řekneme, že f má v x limitu a (a píšeme lim f(x) a), platí-li pro každou posloupnost (x k ) v R n x x implikace x x k x f(x k ) a..9 Věta. Nechť f : R n R m, x R n, a R m. Potom platí lim x x f(x) a ( U(a)) ( P (x )) ( x P (x )) : f(x) U(a). (Nepřehlédněme, že U(a) je podmnožinou R m a P (x ) podmnožinou R n.). Pozorování (a důkaz následující věty). Buď f (f,..., f m ) : R n R m, x R n a a (a,..., a m ) R m. Pak lim x x f(x) a [ x x k x f(x k ) (f (x k ),..., f m (x k )) a (a,..., a m ) ] [ x x k x i {,..., m} : f i (x k ) a i pro k ].. Věta. Nechť f (f,..., f m ) : R n R m, x R n, a (a,..., a m ) R m. Potom platí Jinak řečeno lim f(x) a [ i {,..., m} : x x ] lim f i (x) a i. x x lim (f (x),..., f m (x)) ( lim f (x),..., lim f m (x) ), x x x x x x má-li alespoň jedna strana rovnosti smysl.. Cvičení. Rozhodněte, zda daná limita existuje, a pokud ano, spočtěte ji:
4 Vektorové funkce ( xy a) lim (x,y) (,) x + y, (x + y) ) ; sin(x 4 + y 6 ) ( x 5 5 + x b) lim x tg x, 6 ) ; x 3 ( x c) lim (x,y) (,) tg x, 5 5 + y 6 y 3 )..3 Spojitost vektorové funkce.3 Definice. Buď f : R n R m a x R n. Řekneme, že f je spojitá v bodě x, platí-li lim x x f(x) f(x )..4 Věta. Nechť f : R n R m, x R n Df. Potom platí f je spojitá v bodě x [x k x f(x k ) f(x )] ( U(f(x ))) ( U(x )) ( x U(x )) : f(x) U(f(x ))..5 Definice. Buď f : R n R m, M R n. Řekneme, že f je spojitá v bodě x M vzhledem k množině M, platí-li pro každou posloupnost (x k ) v R n implikace M x k x f(x k ) f(x ) ; f je spojitá na množině M, je-li spojitá vzhledem k M v každém bodě x M; f je spojitá, je-li spojitá na Df..6 Věta. Nechť f (f,..., f m ) : R n R m, x M R n. Pak f je spojitá v x (resp. spojitá v x vzhledem k M, resp. spojitá na M) právě tehdy, když pro každé i {,..., m} je f i spojitá v x (resp. spojitá v x vzhledem k M, resp. spojitá na M)..7 Příklad. Důležitým případem spojitých vektorových funkcí jsou lineární zobrazení, tj. vektorové funkce A : R n R m dané předpisem A(x) : ( Ax T ) T,
.3 Spojitost vektorové funkce 5 kde a, a,..., a n a, a,..., a n A...... a m, a m,..., a mn je reálná matice typu (m n). Dokažme, že výše definované zobrazení A je skutečně spojité. Předně si všimněme, že DA R n. Buď nyní x R n libovolný bod a (x k ) taková posloupnost v R n, že x k (x k,..., x kn ) x (x,..., x n ). Potom pro všechna i {,.., n} je x ki x i (pro k ), a proto a, a,..., a n A(x k ) ( a, a,..., a n ) Ax T T k...... a m, a m,..., a mn x k x k. x kn T (a x k + + a n x kn,..., a m x k + + a mn x kn ) (a x + + a n x n,..., a m x + + a mn x n ) ( Ax T ) T A(x ). A to jsme měli dokázat (viz definici.5)..8 Cvičení. Pokud to lze, dodefinujte vektorovou funkci f v bodě c tak, aby byla v bodě c spojitá, je-li ( tg(x π) a) f(x) : x π, x + 6, b) f(x) : sin x ), c π; x ( cos(x) x, x ( sin( x ) 6), sin x ), c. x
6 Vektorové funkce.4 Diferenciál vektorové funkce.9 Definice. Buď f : R n R m a c R n. Existuje-li lineární zobrazení A : R n R m takové, že pro vektorovou funkci ω : R n R m definovanou předpisem ω(h) : f(c + h) f(c) A(h) platí ω(h) lim h (,...,) h (,..., ), říkáme, že vektorová funkce f je v bodě c diferencovatelná. Lineární zobrazení A pak označujeme df c a nazýváme diferenciálem vektorové funkce f v bodě c.. Ilustrace následující věty. Mějme f (f, f, f 3 ) : R R 3, kde f, f, f 3 jsou diferencovatelné v bodě c (c, c ) R. Pak pro malá h (h, h ) R máme f (c + h) f (c) (f(c + h) f(c)) T f (c + h) f (c). d(f ) c (h) d(f ) c (h) f 3 (c + h) f 3 (c) d(f 3 ) c (h) f x (c)h + f f x (c)h + f f 3 (c)h y (c)h y (c)h x + f 3 (c)h y ( ) ozn. f h (c) f (c)h T. h f x (c), f f x (c), f (c) y (c) y f 3 x (c), f 3 y (c) ( h h ). Věta. Je-li vektorová funkce f (f,..., f m ) : R n R m diferencovatelná v bodě c R n, existují první parciální derivace všech funkcí f,..., f m v bodě c podle všech proměnných a platí ( df c (h)) T f (c)h T, kde tj. f x (c), f (c) : f m x (c), f x (c),...,...... f m x (c),..., f x n (c) f m x n (c) df c (h) ( d(f ) c (h),..., d(f m ) c (h)).... tzv. Jacobiova matice,
.4 Diferenciál vektorové funkce 7. Věta. Vektorová funkce f (f,..., f m ) : R n R m je diferencovatelná v bodě c R n tehdy a jen tehdy, je-li pro každé i {,..., m} funkce f i : R n R diferencovatelná v bodě c R n..3 Příklad. Určeme df c, je-li f : R R 3, f(u, v) : (cos u, sin u, v), Df, π, ; c (π 4, ). Řešení. Všimněme si, že a proto f ((u, v)) ozn. f (u, v) sin u, cos u,, df c : h (h, h ) (f (c)h T ) T (, f (c),,, ( h h,,, ) T, h, h ) (, h h,, ) ( ) + h,,. Zjistili jsme, že pro body (u, v) blízké bodu c ozn. (c, c ) je Rovina f(u, v). f(c, c ) + df c (u c, v c ) (,, ) + (u π 4 )(,, ) + (v ) (,, ). τ : { (x, y, z) R 3 : (x, y, z) (,, ) + (u π 4 )(, + (v ) (,, ), (u, v) R }, ) + se nazývá tečná rovina k ploše f(df) sestrojená v bodě f(c) (,, )..4 Cvičení. Rozhodněte, zda je vektorová funkce f diferencovatelná v bodě c, a pokud ano, vypočtěte ( f (c) ) a df c (h), je-li a) f(x, y, z) : x 3 y x y z,, c (,, 3), h (h, h, h 3 ); z b) f(x) : (cos x, sin x), c π 4, h ; c) f(x, y, z) : (xy, sin(xy), arcsin x), c (,, 6), h (h, h, h 3 ).
8 Vektorové funkce.5 Cvičení. Buď f (f,..., f m ) : R n R m a g (g,..., g k ) : R m R k takové vektorové funkce, že pro každé i {,..., m} a pro každé j {,..., k} je f i C (R n ) a g j C (R m ). Dokažte, že potom pro každé c R n platí (g f) (c) g (f(c)) f (c)..6 Příklad. Vypočtěte f (c), g (f(c)) a (g f) (c), je-li c (, ), ( f(x, y) : x + y, ln x + ln y, x ), g(u, v, w) : ( uv +, u v + w, w u ). y Řešení. f (x, y) f, f x y f, f x y f 3, f 3 x y f(c) (,, ), g (u, v, w) a proto (g f) (c) g (f(c)) f (c) x, y, x y y, x y v, u, u, v,,,, 9, 7, 3 f (c),,, g (f(c)),,, 4,,,,,.
9 Kapitola Křivky v R m. Definice. Křivkou v R m rozumíme každou spojitou vektorovou funkci Množinu φ : I R m, kde I Dφ R je interval. φ : φ(i) {φ(t) : t I} R m pak nazýváme geometrickým obrazem křivky φ. Je-li M φ, říkáme, že φ je parametrizací množiny M. Křivku φ nazýváme: jednoduchou, je-li φ prosté; uzavřenou, je-li I a, b (a, b R; a < b) a navíc φ(a) φ(b); jednoduchou uzavřenou, je-li φ uzavřená a platí t, t a, b : [ < t t < b a φ(t ) φ(t )]. Je-li I a, b, nazýváme bod φ(a) (resp. φ(b)) počátečním (resp. koncovým) bodem křivky φ. Křivkou opačně orientovanou ke křivce φ : I R m rozumíme křivku φ : J R m, kde J {t R : t I} a ( φ)(t) : φ( t).. Příklad. Křivkou opačně orientovanou ke křivce φ :, 3 R, φ(t) : (t, + t), je křivka φ : 3, R, ( φ)(t) : ( t, t).
Křivky v R m.3 Definice. Křivku φ (φ,..., φ m ) : a, b R m nazýváme hladkým obloukem v R m, platí-li současně: i) φ je prosté zobrazení (tzn. že φ je jednoduchá křivka); ii) φ je třídy C na a, b (tzn. že pro každé i {,..., m} je funkce φ i spojitě diferencovatelná na a, b ); iii) φ (t) (φ (t),..., φ m(t)) (,..., ) pro každé t (a, b), a φ (a) : ((φ ) +(a),..., (φ m ) +(a)) (,..., ), φ (b) : ((φ ) (b),..., (φ m ) (b)) (,..., ). a Píšeme nepřesně místo správného φ (t) (φ (t),..., φ m(t)) (φ (t)) T (φ (t),..., φ m(t))..4 Poznámka (ke geometrickému významu φ (t)). Nechť je křivka φ : a, b R m hladkým obloukem. Pak ( ) φ φ (t + h) φ (t) φ m (t + h) φ m (t) (t) lim,..., lim h h h h ( φ (t + h) φ (t) lim,..., φ ) m(t + h) φ m (t) φ(t + h) φ(t) lim. h h h h h Přímku {φ(t) + hφ (t) : h R} nazýváme tečnou křivky φ v bodě t; vektor φ (t) nazývejme tečným vektorem křivky φ v bodě t. ϕ (t) ϕ(t + h) ϕ(t) ϕ(t+h) ϕ(t) h Obr..: ke geometrickému významu φ (t)
.5 Definice. Říkáme, že křivka φ : a, b R m je po částech hladká, existuje-li dělení D : a t < t <... < t n b intervalu a, b takové, že pro každé i {,..., n} je křivka ψ i : φ ti,t i hladkým obloukem. (tzn. Dψ i t i, t i, ψ i (t) : φ(t)).6 Příklad. Nakreslete geometrické obrazy daných křivek a rozhodněte, které z nich jsou jednoduchými křivkami; uzavřenými křivkami; jednoduchými uzavřenými křivkami; hladkými oblouky; po částech hladkými křivkami: a) φ a (t) : (3 + cos t, + sin t), D φa, π ; b) φ b (t) : (3 + cos(t), + sin(t)), D φb, π ; ( ) c) φ c (t) : t +t,, D φc R; +t d) φ d (t) : (t, t ), D φd,. Řešení. 4 y t π 4 y t π 4, 5π 4 3 3 t π t, π t π, 3π t, π, π t 3π 3 4 5 x t 3π 4, 7π 4 3 4 5 x Obr..: φ a z př..6a) Obr..3: φ b z př..6b) Není těžké si rozmyslet (a přitom nám pomohou i geometrické obrazy daných křivek znázorněné na obrázcích..5), že
Křivky v R m y t 5 t y t x t t t t 5 - - t x Obr..4: φ c z př..6c) Obr..5: φ d z př..6d) jednoduchými křivkami jsou φ c a φ d ; uzavřenými křivkami jsou φ a a φ b ; jednoduchou uzavřenou křivkou je pouze křivka φ a ; hladkým obloukem není žádná z daných křivek; po částech hladkými křivkami jsou φ a, φ b a φ d..7 Několik poznámek (k příkladu.6). pro křivku φ(t) : (3 + cos t, + sin t), D φ, 3π, platí φ φ a φ b, ale φ není uzavřenou křivkou; neexistuje hladký oblouk, který by byl parametrizací φ d ; pro křivku φ(t) (t 3, t 3 ), t 3, 3, platí φ φ d, ale φ není po částech hladkou křivkou..8 Cvičení. Nakreslete geometrický obraz dané křivky φ definované na intervalu I a rozhodněte, zda se jedná o jednoduchou křivku, uzavřenou křivku, hladký oblouk a po částech hladkou křivku: a) φ(t) : (cos t, + arcsin(cos t)), I π, π ; b) φ(t) : ( sin t, 4 cos t), I, π ; c) φ(t) : (t t + 3, t t + ), I (, + )..9 Příklad. Parametrizujte množinu Ω, je-li a) Ω {(x, y) R : 3x + y x, 3 };
3 b) Ω {(x, y) R : x 4 + y 9 }; c) Ω {(x, y, z) R 3 : x + y + z 9 x + y 3z }; d) Ω {(x, y, z) R 3 : x + y + z 4 x + y x z }. Řešení. a) Ω {(x, y) R : y 3x x, 3 } φ, kde ( φ(t) : t, 3t ), t, 3. b) Daná množina je elipsou s poloosami a 3. Při její parametrizaci nám dobře poslouží tzv. zobecněné polární souřadnice: (r cos t) Ω {(r cos t, 3r sin t) : 4 {( cos t, 3 sin t) : t, π }, + (3r sin t) 9 r t, π } a proto Ω φ, kde φ(t) : ( cos t, 3 sin t), t, π. c) Množina Ω je zřejmě kružnicí v prostoru (se středem v bodě s (,, ), poloměrem r 3 a ležící v rovině x + y 3z ). V příkladu.6a) jsme si ukázali, že množina { (x, y) R : (x, y) (3 + cos t, + sin t) (3, ) + cos t (, ) + sin t (, ), t, π } je kružnicí (v R ) se středem v bodě (3, ) a poloměrem. Podobně lze ověřit (a rozmysleme si to podrobně), že množina { (x, y, z) R 3 : (x, y, z) (s, s, s 3 ) + r cos t (u, u, u 3 ) + r sin t (v, v, v 3 ), t, π } je kružnicí (v R 3 ) se středem v bodě s (s, s, s 3 ) a poloměrem r, která leží v rovině, jejímiž jednotkovými navzájem kolmými směrovými vektory jsou u (u, u, u 3 ) a v (v, v, v 3 ). Nyní se vraťme k našemu úkolu. Střed s a poloměr r už známe. Stačí najít (libovolné) dva vektory u a v výše uvedených kvalit. K tomu stačí zvolit v rovině x + y 3z dva (libovolné) lineárně nezávislé vektory, např. u (,, ) a v (3,, ) a zortonormalizovat je: u u u 5 (,, ), v v ( v u)u v ( v u)u 7 (6, 3, 5),
4 Křivky v R m kde v u (3,, ) ( 5, 5, ) 3 5 je skalárním součinem vektorů v a u. Máme i jinou možnost, jak najít vektory u a v: zvolíme libovolný jednotkový vektor ležící v rovině x+y 3z, například u u u 5 (,, ), a vypočteme v jako vektorový součin vektoru u a jednotkového normálového vektoru roviny x + y 3z, tj. vektoru n 4 (,, 3). Závěr jednou (z nekonečně mnoha) parametrizací množiny Ω je křivka φ(t) : (,, ) + 3 cos t (,, ) + 3 sin t (6, 3, 5) 5 7 ( 3 5 cos t + 8 sin t, 6 cos t + 9 ) 5 sin t, sin t, t, π. 7 5 7 7 d) Ukažme si dvě z možností, jak lze postupovat. První, využívající cylindrických souřadnic, vede k vyjádření Ω { (r cos t, r sin t, z) R 3 : r + z 4 r r cos t z r t π, π } { (r cos t, r sin t, z) R 3 : z 4 r r cos t r t π, π } { ( cos t, sin(t), sin t ) R 3 : t π, π } a k parametrizaci φ (t) : ( cos t, sin(t), sin t ), Dφ π, π. Druhý přístup je založen na pozorování, že Ω { (x, y, z) R 3 : (x ) + y z 4 x } a proto Ω φ, kde { ( cos t +, sin t, 4 (cos t + ) ) R 3 : t, π }, φ (t) : ( cos t +, sin t, cos t ) ( cos t +, sin t, sin t ), Dφ, π.
5. Cvičení. Parametrizujte množinu Ω, je-li a) Ω {(x, y) R : x y x }; b) Ω {(x, y) R : y x x }; c) Ω {(x, y, z) R 3 : x + y + z 9 x + y z z }; d) Ω {(x, y, z) R 3 : z x y x + y 6}; e) Ω {(x, y, z) R 3 : y x z y}.
6 Kapitola 3 Křivkový integrál 3. Křivkový integrál. druhu 3. Motivace. Buď φ : a, b R hladký oblouk a buď funkce f : R R kladná a spojitá na φ. Zadejme si úkol spočítat obsah plochy τ {(x, y, z) R 3 : (x, y) φ z f(x, y)}. Uvažujme dělení D : a t < t < < t n b intervalu a, b. Je přirozené aproximovat počítaný obsah číslem n f(φ(t k )) φ(t k+ ) φ(t k ). n f(φ(t k )) φ (t k ) (t k+ t k ) k k n f(φ(t k )) φ (t k ) (t k+ t k ) b k a f(φ(t)) φ (t) dt. 3. Poznámka. Nyní bychom mohli postupovat podobně jako v definici Riemannova integrálu, tzn. uvažovat funkci f : R R (pouze) omezenou na φ, definovat pro každé dělení intervalu a, b horní a dolní součet příslušný tomuto dělení,.... Usnadníme si práci: budeme definovat křivkový integrál. druhu pouze pro funkce spojité.
3. Křivkový integrál. druhu 7 3.3 Definice. Buď φ : a, b R m hladký oblouk a buď funkce f : R m R spojitá na φ φ( a, b ). Křivkový integrál. druhu funkce f podél křivky φ definujeme rovností φ f(x) ds : b a f(φ(t)) φ (t) dt. (3.) Je-li φ : a, b R m po částech hladká křivka (tzn., že existuje dělení D : a t < t <... < t n b intervalu a, b takové, že pro každé i {,..., n} je křivka ψ i : φ ti,t i hladkým obloukem) a funkce f : R m R je spojitá na φ, definujeme n f(x) ds : f(x) ds. (3.) ψ i φ i 3.4 Poznámka. Je-li křivka φ (φ,..., φ m ) : a, b R m hladkým obloukem a je-li funkce f : R m R spojitá na φ, je funkce t f(φ(t)) φ (t) f(φ(t)) (φ (t)) +... + (φ m(t)) R vyskytující se v (3.) spojitá, a proto integrovatelná na a, b. 3.5 Poznámka. Dá se ukázat, že definice f(x) ds (viz (3.)) není závislá na φ konkrétním rozkladu po čáslech hladké křivky φ na hladké oblouky ψ i. Vlastnosti křivkového integrálu (linearita, aditivita,...) plynou z vlastností určitého (Riemannova) integrálu. 3.6 Příklad. Vypočtěte a) φ (x + y ) ds, kde φ :, π R, φ(t) : ( cos(t), sin(t) ) ; b) φ (x + y + z ) ds, kde φ :, π R 3, φ(t) : ( cos t, sin t, t ) ; c) φ (z x + y ) ds, kde φ :, π R 3, φ(t) : ( t cos t, t sin t, t ). Řešení. a) (x +y ) ds φ π (cos (t)+sin (t)) ( sin(t), cos(t)) dt π dt 4π.
8 Křivkový integrál b) c) φ φ (x + y + z ) ds f(x, y, z) ds π π π π t t + dt (s) (4 cos t + 4 sin t + t ) ( sin t, cos t, ) dt (4 + t ) 5 dt 5 ( 8π + 8π3 3 ). (t t ) ( cos t t sin t, sin t + t cos t, ) dt +4π [ ] +4π u du 3 u 3 ( ) ( + π ) 3. 3 ((s) : užili jsme substituci t + u). 3.7 Cvičení. Vypočtěte a) b) φ φ + 4x ds, kde φ :, R, φ(t) : ( t, t ) ; z x + y ds, kde φ :, π R3, φ(t) : ( cos t, sin t, t ). 3.8 Příklad. Vypočtěte x 3 y ds, φ je-li φ :, 3 R, x 3 y ds, φ φ(t) : (t, + t). Řešení. x 3 y ds φ 3 t 3 ( + t) (, ) dt 3 (t 3 + t 4 ) dt 344 ; 5 x 3 y ds ( t) 3 ( t) (, ) dt φ 3 3 (t 4 t 3 ) dt 344. 5 3.9 Věta (o nezávislosti na parametrizaci). Nechť φ a ψ jsou jednoduché nebo jednoduché uzavřené po částech hladké křivky v R m, nechť φ ψ a nechť funkce f : R m R je spojitá na φ. Pak platí f(x) ds f(x) ds. φ ψ
3. Křivkový integrál. druhu 9 3. Úmluva. Všimněme si, že za situace z věty 3.9 je hodnota f(x) ds jednoznačně určena pouze funkcí f, množinou φ a informací, že φ je jednoduchá (nebo φ jednoduchá uzavřená) po částech hladká křivka. Budeme-li někdy psát (ve shodě s praxí) k f(x) ds, kde k R m, a mluvit o křivkovém integrálu. druhu funkce f podél křivky k, budeme tím rozumět, že k φ pro nějakou jednoduchou (nebo jednoduchou uzavřenou) po částech hladkou křivku φ a že k f(x) ds : φ f(x) ds. Pokud křivka φ požadovaných vlastností neexistuje, nemá symbol f(x) ds k žádný smysl! 3. Příklad. Vypočtěme a) k x + y ds, kde k { (x, y) R : x + y 6x } ; b) k (x + y) ds, kde k R je obvod trojúhelníku s vrcholy (, ), (, ), (, ); c) k x y ds, kde k je hranicí kruhové výseče ohraničené kružnicí x + y R (R > ), kladnou částí osy x a polopřímkou y x, x ; d) φ y ds, φ(t) : ( (t sin t), ( cos t) ), Dφ, π. Řešení. y y 3 3 6 x 3 x Obr. 3.: k z příkladu 3.a) Obr. 3.: k z příkladu 3.b)
Křivkový integrál y y x ϕ 3 ϕ ϕ x R 4 y ϕ ϕ t ε π t π ε ϕ 3 x 4π Obr. 3.3: k φ φ φ 3 z příkladu 3.c) Obr. 3.4 : φ φ φ φ 3 z příkladu 3.d) a) Nejprve je třeba najít křivku φ požadovaných vlastností. Jelikož k { (x, y) R : (x 3) + y 3 }, je množina k kružnicí znázorněnou na obrázku 3. a k její parametrizaci lze použít (mimo jiné) posunutých polárních souřadnic, tj. k φ, kde φ :, π R, φ(t) : ( 3 cos t + 3, 3 sin t ). Pak π ( 3 ) x + y ( ) ( ) ds cos t + 3 + 3 sin t 3 sin t, 3 cos t dt k 9 8 π π π + cos t dt 9 cos ( t cos t π dt 36 cos t dt 7. ) dt b) Zadaný trojúhelník je na obrázku 3.. Zvolme (t, ), t,, φ(t) : ( t, t ), t,, (, 3 t), t, 3. Pak (viz výše uvedenou úmluvu): (x + y) ds (x + y) ds t (, ) dt + k φ (, ) dt + 3 (3 t) (, ) dt +.
3. Křivkový integrál. druhu Lze však postupovat i šikovněji; rozdělíme k na jednotlivé úsečky, a ty pak parametrizujeme: (x + y) ds k (x + y) ds + k (x + y) ds + k (x + y) ds, k 3 kde Tímto způsobem získáme (x + y) ds t (, ) dt + k k φ ; φ (t) : (t, ), t, ; k φ ; φ (t) : (t, t), t, ; k 3 φ 3 ; φ 3 (t) : (, t), t,. (, ) dt + t (, ) dt +. (Čtenáři se vyplatí, rozmyslí-li si korektnost tohoto postupu podrobně.) c) Zřejmě kde k x y ds x y ds + φ x y ds + φ x y ds, φ 3 (3.3) φ : ( t, ), t, R, φ : ( R cos t, R sin t ), t, π 4, φ 3 : ( t, t ), t, R, (viz obrázek 3.3). Nyní stačí spočítat jednotlivé integrály: R x y ds t dt, φ φ x y ds π 4 R 3 cos t sin t R (sin t + cos t) dt (s) R 4 u du R4 [ ] u 3 R4 ( ) 3 3 4 (použili jsme substituci (s): cos t u), x y ds φ 3 R t 3 dt [ t 4 4 ] R 4 R4 4 6 R4,
Křivkový integrál a dosadit do (3.3): x y ds x y ds + x y ds + x y ds 6 R 4. k φ φ φ 3 48 d) Obrázek cykloidy φ je znázorněn v 3.4. Mechanickým výpočtem dostaneme π ( ( ) y ds 4( cos t) cos t) + ( sin t) dt φ 4 π 8 8 ( cos t) 8 8 cos t dt 8 π ( sin t ) 5 π ( cos t) 5 dt π dt 64 sin 5 t π dt 8 ( cos u ) sin u du ( z ) ( ) dz 48 5. Rozmysleme si, že tento výpočet (byť vede ke správnému výsledku) není korektní. Nekorektnost spočívá v tom, že v krajních bodech je φ () φ (π) (, ), což znamená, že φ není po částech hladkou křivkou. Zůstává otázkou, zda vůbec lze φ parametrizovat nějakou po částech hladkou křivkou, protože v opačném případě by bylo nekorektní i samotné zadání příkladu. Rozdělme (pro nějaké ε (, π) ) křivku φ na tři části: φ : φ,ε, φ : φ ε,π ε a φ 3 : φ π ε,π. Pak φ je zřejmě hladkým obloukem a obrázek 3.4 správně napovídá, že množiny φ a φ 3 jsou grafy hladkých funkcí g a h proměnné y, tj. φ { ( g(y), y ) R : y, ( cos ε) }, φ 3 { ( h(y), y ) R : y, ( ) cos(π ε) }. cos ε To nás vede k hladkým parametrizacím φ ψ a φ 3 ψ 3, kde ψ (t) : ( g(t), t ), t, ( cos ε), ψ 3 (t) : ( h(t), t ), t, ( cos ε), Obrázek 3.4 odpovídá volbě ε. Čtenář se může pokusit využít svou znalost cyklometrických funkcí a nalézt explicitní vyjádření předpisů funkcí g a h.
3. Aplikace křivkového integrálu. druhu 3 a jistotě, že φ lze parametrizovat po částech hladkou křivkou. Případně ztracenou důvěru ve správnost výše získaného výsledku lze snadno znovu nalézt, rozmyslíme-li si, že φ a že pro ε + platí y ds y ds + ψ y ds + φ y ds ψ 3 φ y ds ψ y ds, π ε ε... dt ψ 3 y ds, π... dt 48 5. 3. Aplikace křivkového integrálu. druhu a) Délka křivky. Je-li φ po částech hladká křivka, rozumíme její délkou číslo b) Obsah válcové plochy. Buď dána plocha l(φ) : φ ds. τ : {(x, y, z) R 3 : (x, y) φ z f(x, y)}, kde φ : a, b R je po částech hladká jednoduchá (nebo jednoduchá uzavřená) křivka a funkce f : R R je spojitá a nezáporná na φ. Obsah plochy τ definujme rovností σ(τ) : f(x, y) ds. φ c) Buď k φ, kde φ je jednoduchá (nebo jednoduchá uzavřená) po částech hladká křivka v R, a nechť (délková) hustota křivky k je popsána funkcí h : R R, Uvozovky zde mají zvýraznit skutečnost, že pojem plocha není v tuto chvíli definován. Při interpretaci je nutno se opřít o intuici a geometrickou představu.
4 Křivkový integrál která je spojitá a nezáporná na k. Pak je rozumné užívat (definovat) vztahy: m(k) h(x, y) ds... hmotnost křivky k, φ S x (k) y h(x, y) ds... statický moment k vzhledem k ose x, φ S y (k) x h(x, y) ds... statický moment k vzhledem k ose y, φ ( Sy (k) T (k) m(k), S ) x(k)... těžiště k, m(k) I x (k) y h(x, y) ds... moment setrvačnosti k vzhledem k ose x, φ I y (k) x h(x, y) ds... moment setrvačnosti k vzhledem k ose y. φ (Analogické vztahy lze napsat i pro prostorovou křivku.) 3. Cvičení. Vypočtěte a) délku křivky (jednoho závitu šroubovice) φ(t) : (cos t, sin t, t), t, π ; b) obsah válcové plochy τ : {(x, y, z) R 3 : x + y z xy x y }; c) souřadnice těžiště čtvrtiny kružnice x + y 4 ležící v druhém kvadrantu, jejíž délková hustota v každém jejím bodě je rovna kvadrátu vzdálenosti tohoto bodu od bodu (, ). 3.3 Křivkový integrál. druhu 3.3 Motivace. ) Buď (k) α; β orientovaná úsečka v R (tzn. že je určen její počáteční bod α R a koncový bod β R ) a buď f : R R konstantní vektorové pole (tzn. že f(x, y) : f R ). Z fyziky je známo, že práce vektorového pole f podél orientované úsečky (k) je dána skalárním součinem f (β α). ) Buď φ : a, b R hladký oblouk a buď f : R R spojité vektorové pole definované na φ. Zadejme si úkol spočítat práci vektorového pole f podél orientované křivky φ. Uvažujme dělení D : a t < t <... < t n b intervalu a, b. Nahradíme-li orientované křivky φ( t k, t k+ ) orientovanými
3.3 Křivkový integrál. druhu 5 úsečkami φ(t k ); φ(t k+ ) a na každé z nich vektorové pole f konstantním vektorovým polem s hodnotou f(φ(t k )), získáme tuto aproximaci počítané práce: n f(φ(t k )) (φ(t k+ ) φ(t k )). n f(φ(t k )) (φ (t k ) (t k+ t k )) k b a k f(φ(t)) φ (t) dt. 3.4 Definice. Buď φ : a, b R m hladký oblouk a f : R m R m vektorové pole spojité na φ φ( a, b ). Křivkový integrál. druhu vektorového pole f podél křivky φ definujeme rovností (φ) f(x) ds : b a f(φ(t)) φ (t) dt. (3.4) Je-li φ : a, b R m po částech hladká křivka a vektorové pole f : R m R m je spojité na φ, definujeme (φ) f(x) ds : n i (ψ i ) f(x) ds, (3.5) kde hladké oblouky ψ i vzniknou rozkladem křivky φ (viz definici.5 po částech hladké křivky). 3.5 Poznámka ((podobná 3.4)). Mají-li hladký oblouk φ (φ,..., φ m ) a vektorové pole f (f,..., f m ) předpokládané vlastnosti, je f(x) ds ozn. f (x) dx +... + f m (x) dx m (φ) přičemž funkce (φ) b a f (φ(t)) φ (t) +... + f m (φ(t)) φ m(t) dt, t f (φ(t)) φ (t) +... + f m (φ(t)) φ m(t) R je spojitá (a proto integrovatelná) na a, b. 3.6 Poznámka ((podobná 3.5)). Dá se i zde ukázat, že definice f(x) ds (viz (φ) (3.5)) je nezávislá na konkrétním rozkladu po čáslech hladké křivky φ na hladké oblouky ψ i. 3.7 Příklad. Vypočtěme
6 Křivkový integrál a) I (φ) f(x, y) ds, kde f(x, y) : (y, x), φ(t) : (3 cos t, sin t), t, π ; b) I (φ) (x + y ) dx + (x y ) dy, kde φ(t) : ( t, t ), t, ; c) I (φ) x dx + y dy + (xz y) dz, kde φ(t) : ( t, t, 4t 3), t,. y ϕ y x 3 ψ ψ x Obr. 3.5: φ z příkladu 3.7 a) Obr. 3.6: φ ψ ψ z příkladu 3.7 b)
3.3 Křivkový integrál. druhu 7 Řešení. a) I π π ( sin t )( 3 sin t) + (3 cos t)( cos t) dt 6 sin t + 3 sin t + 6 cos t dt 3 [ sin(t) cos t ] π 3. π 6 cos(t) + 3 sin t dt (Geometrický obraz křivky φ, tj. čtvrtina elipsy x /9 + y /4 ležící v prvním kvadrantu, je znázorněn na obrázku 3.5.) b) Zvolme (viz obrázek 3.6) ψ : φ,, ψ : φ,. Pak (viz definici 3.4) I (ψ ) [ t3 3 (x + y ) dx + (x y ) dy + (t + t ) + dt + ] (ψ ) ( ] t)3 + [ 3 3 + 3 4 3. (x + y ) dx + (x y ) dy ( t + ( t) ) + ( t ( t) ) ( ) dt c) I t t + t + (4t 5 t) t dt [ ] t4 4 + 4t + 48t8 8 4t4 5 4. 3.8 Příklad. Buď f(x, y) : (x + y, y); φ(t) :, 3 R, φ(t) : (t, + t).
8 Křivkový integrál Potom f(x, y) ds (φ) ( φ) f(x, y) ds (φ) 3 3 3 (x + y) dx + y dy (t + 3t + 3) dt 3, 3 (( t) + ( t), ( t)) (, ) dt ( t + 3t 3) dt 3. (t + ( + t), ( + t)) (, ) dt 3.9 Věta (o nezávislosti na parametrizaci). Nechť φ : a, b R m a ψ : c, d R m jsou jednoduché nebo jednoduché uzavřené po částech hladké křivky v R m, nechť φ ψ a nechť vektorové pole f : R m R m je spojité na φ. Pak platí f(x) ds f(x) ds, (φ) jsou-li křivky φ a ψ souhlasně orientované (tzn. že existují reálná čísla t (a, b), t * (c, d) a č > taková, že φ(t) ψ(t * ) a že φ (t) č ψ (t * )). Jsou-li křivky φ a ψ nesouhlasně orientované (tzn. že existují reálná čísla t (a, b), t * (c, d) a č < taková, že φ(t) ψ(t * ) a že φ (t) č ψ (t * )), je f(x) ds f(x) ds. (φ) (ψ) (ψ) 3. Úmluva ((podobná 3.)). Je-li (k) R m taková množina, že existuje nějaká jednoduchá (nebo jednoduchá uzavřená) po částech hladká křivka φ, pro niž je φ (k), budeme občas psát f(x) ds místo správného f(x) ds. Má-li být (k) (φ) tato úmluva korektní, je třeba přidat ke křivce (k) ještě její orientaci (tj. směr probíhání ) a křivku φ výše uvedených vlastností zvolit souhlasně orientovanou. Vše se vyjasní příkladem. 3. Příklad. Vypočtěme a) I (k) (ex + y) dx + xy dy, kde (k) {(x, y) R : y x x 3} a orientace (k) je určena pořadím bodů (3, 3), (3, 3); b) (k) f(x, y) ds, je-li f(x, y) : (x + y, y) a (k) R je orientovaný obvod trojúhelníku s vrcholy (, ), (, ), (, ), jehož orientace je dána uvedeným pořadím vrcholů;
3.3 Křivkový integrál. druhu 9 c) f(x, y, z) ds, kde (k) f(x, y, z) : (y z, z x, x y ), (k) { (x, y, z) R 3 : x + y + z x y z xyz } a orientace (k) je dána pořadím bodů: (,, ), (,, ), (,, ). 3 y y 3 x 3 x Obr. 3.7: (k) z příkladu 3. a) Obr. 3.8: (k) z příkladu 3. b) z (k 3 ) (k ) y (k ) x Obr. 3.9: (k) (k ) (k ) (k 3 ) z příkladu 3. c) Řešení. a) Zřejmě lze psát (viz obrázek 3.7) a proto I 3 3 (k) { (t, t) : t 3, 3 }, (e t + t)t + t 4 dt ] [ e t + t3 3 + t5 3 5 38 3. 3 5
3 Křivkový integrál b) Zvolme (t, ), t,, φ(t) : ( t, t ), t,, (, 3 t), t, 3, a všimněme si, že při této parametrizaci orientace souhlasí. Je proto (k) + f(x, y) ds 3 (t +, ) (, ) dt + ( + (3 t), 3 t) (, ) dt ( t + (t ), t ) (, ) dt+ t dt + ( ) dt + 3 ( 3 + t) dt. Vypočtěme daný integrál ještě jednou, šikovněji (detailní rozmyšlení ponechme svědomitému čtenáři): kde a proto (k) (k) f(x, y) ds f(x, y) ds (φ ) f(x, y) ds (φ ) φ (t) : (t, ), t, ; f(x, y) ds φ (t) : (t, t), t, ; φ 3 (t) : (, t), t, ; (t, ) (, ) dt (t, t) (, ) dt. (φ 3 ) f(x, y) ds, ( t, t) (, ) dt c) Křivka (k) je zřejmě sjednocením čtvrtkružnic (k ), (k ) a (k 3 ) (viz obrázek 3.9). Tyto čtvrtkružnice můžeme parametrizovat (například) takto: (k): x cos t, y sin t, z, t, π ; orientace souhlasí, (k): x, y cos t, z sin t, t, π ; orientace souhlasí, (k3): x sin t, y, z cos t, t, π ; orientace souhlasí,
3.4 Greenova věta 3 a proto (k) f ds + + π π π π (sin t)( sin t) + ( cos t)(cos t) dt+ (sin t)( sin t) + ( cos t)(cos t) dt+ ( cos t)(cos t) + (sin t)( sin t) dt 3 sin 3 t 3 cos 3 t dt 4. 3. Cvičení. Vypočtěte a) (k) x + y dx + x + y dy, je-li (k) orientovaný obvod čtverce o vrcholech (, ), (, ), (, ) a (, ), jehož orientace je dána uvedeným pořadím vrcholů; b) (k) y dx + z dy + x dz kde orientace křivky (k) {(x, y, z) R 3 : x + y + z 9 x + y 3x z } je dána pořadím bodů: (,, 3), ( 3, 3, 3 ), (3,, ). 3.4 Greenova věta 3.3 Definice. Množinu Ω R m nazýváme oblastí, je-li současně: Ω otevřená (tzn. ( x Ω)( U(x)) : x U(x) Ω); Ω souvislá (tzn. že každé dva body Ω lze spojit křivkou v Ω; přesněji: pro každé dva body α, β Ω existuje křivka φ : a, b Ω R m taková, že φ(a) α a φ(b) β). 3.4 Věta ((Jordanova)). Nechť φ je jednoduchá uzavřená křivka v R. Pak existují oblasti Ω, Ω R takové, že R φ Ω Ω, Ω Ω, Ω Ω φ, Ω je omezená a Ω je neomezená (v R ).
3 Křivkový integrál ozn. ozn. (Oblast Ω int φ nazývejme vnitřkem křivky φ, oblast Ω ext φ se nazývá vnějšek křivky φ.) 3.5 Definice. Buď φ : a, b R jednoduchá uzavřená po částech hladká křivka a buď t (a, b) takové reálné číslo, že existuje (nenulový) tečný vektor φ (t) R. Nenulový vektor n(t) R nazveme vnějším normálovým vektorem křivky φ v bodě t, pokud současně platí: n(t) φ (t), ( δ > )( h (, δ)) : φ(t) + h n(t) ext φ. Řekneme, že křivka φ je kladně orientovaná, je-li uspořádaná dvojice [n(t), φ (t)] orientovaná stejně jako uspořádaná dvojice [e, e ]; a řečeno přesněji, je-li n, n τ, τ >, kde (n, n ) : n(t), (τ, τ ) : φ (t). ( Při probíhání kladně orientované křivky φ máme int φ po levé ruce.) Je-li n, n τ, τ <, říkáme, že křivka φ je záporně orientovaná. b a e : (, ), e : (, ). b Uvědomme si, že číslo určuje třetí souřadnici vektorového součinu n, n τ, τ (n, n, ) (τ, τ, ). 3.6 Poznámka. Výše uvedená definice kladně (resp. záporně) orientované křivky je korektní; je totiž nezávislá na bližší volbě bodu t (a, b) takového, že existuje φ (t). 3.7 Příklady orientovaných křivek. a) Křivka φ (t) : (cos t, sin t), t, π, je kladně orientovaná. b) Křivka φ (t) : (sin t, cos t), t, π, je záporně orientovaná.
3.4 Greenova věta 33 3.8 Věta ((Greenova)). Nechť φ je jednoduchá uzavřená kladně orientovaná a po částech hladká křivka v R, nechť f (f, f ) : R R a nechť funkce f, f, f, f : y x R R jsou spojité na Ω : int φ φ. Potom platí ( f x (x, y) f ) (x, y) dxdy y Ω (φ) f (x, y)dx + f (x, y)dy (φ) f(x, y)ds. Důkaz. Větu dokážeme pouze pro speciální případ, kdy Ω je obdélník, tj. Ω a, b c, d (a, b, c, d R; a < b, c < d). Nejdříve upravme (pomocí Fubiniovy věty) dvojný integrál na levé straně dokazované rovnosti: Ω ( f x (x, y) f ) y (x, y) dx dy d c d c d c ( b a ) f (x, y) dx dy x [f (x, y)] b xa dy b (f (b, y) f (a, y)) dy a Ω b a f (x, y) dx dy x Ω ( d ) [f (x, y)] d yc dx b a c f (x, y) dy y (f (x, d) f (x, c)) dx, f (x, y) dx dy y dx a potom (pomocí parametrizací jednotlivých stran obdélníku Ω) křivkový integrál na pravé straně rovnosti: b d f(x, y) ds (f (t, c) + f (t, c) ) dt + (f (b, t) + f (b, t) ) dt (φ) b b a a (f (t, d) + f (t, d) ) dt (f (t, c) f (t, d)) dt + d a c d c c (f (a, t) + f (a, t) ) dt (f (b, t) f (a, t)) dt. K dokončení důkazu si stačí všimnout, že podtržená čísla jsou stejná.
34 Křivkový integrál 3.9 Příklad. Vypočtěte pomocí Greenovy věty a) (x + y) dx + (y x) dy, (k) kde (k) je kladně orientovaná elipsa {(x, y) R : x a + y } (a, b > ); b b) (k) x arctg y x dx + y arctg x y dy, kde (k) je kladně orientovaná hranice oblasti Ω {(x, y) R : ( < x + y < 4) (x < y < x 3)}; c) yx dx + xy dy, (k) kde (k) je obvod čtverce o vrcholech (, ), (, ), (, ), (, ), jehož orientace je dána uvedeným pořadím vrcholů; d) obsah kruhu (o poloměru r > ) Ω {(x, y) R : x + y r }. Řešení. b y (k) y y 3x y x Ω x a Ω (k) x Obr. 3.: Ilustrace k příkladu 3.9a) Obr. 3.: Ilustrace k příkladu 3.9b) a) Integrál vypočtěme pomocí Greenovy věty ( kde Ω {(x, y) R : ) x a + y b },
3.4 Greenova věta 35 y y (k) (k) Ω Ω r x x Obr. 3.: Ilustrace k příkladu 3.9c) Obr. 3.3: Ilustrace k příkladu 3.9d) substituce do zobecněných polárních souřadnic (k) (x ar cos t, y br sin t ; J(r, t) abr) a Fubiniovy věty: (x+y) dx+(y x) dy ( ) dx dy Ω π ( ) ( abr) dr dt πab. b) Oblast Ω i křivka (k) jsou znázorněny na obrázku 3.. Jelikož ( x y arctg x ) y y y x + y, je (k) ( y x arctg y ) x x + x y + y x x + y, x x arctg y x dx + y arctg x y dy ( π 3 π 4 Ω x + y dx dy ) r dφ dr ( π r 3 π ) [ln r] 4 π ln (v úpravě ( ) je užito polárních souřadnic s Jacobiánem r a Fubiniovy věty). c) Jelikož (k) je záporně orientovaná hranice oblasti Ω (, ) (, ) (viz obrázek 3.), je (k) yx dx + xy dy Ω ( ) y x dx dy ( x (xy) ) y (yx ) dx dy y 3 dy ( ) 3 6.
36 Křivkový integrál d) Buď φ :, π R, φ(t) : (r cos t, r sin t). Potom pro obsah kruhu Ω (přesněji: pro míru množiny Ω) platí λ(ω) dx dy ( y) dx + x dy Ω π (φ) ( ( r sin t)( r sin t) + (r cos t)(r cos t) ) dt πr. (Doufejme, že čtenář přijal výsledek bez překvapení.) 3.5 Nezávislost křivkového integrálu. druhu na cestě 3.3 Pozorování. Buď Ω R oblast, buď φ (φ, φ ) : a, b Ω hladký oblouk a buď f (f, f ) : R R spojité vektorové pole. Předpokládejme, že existuje funkce (za chvíli potenciál) V : R R třídy C na Ω taková, že pro každé (x, y) Ω je ( ) V (x, y) V (x, y) grad V (x, y), (f (x, y), f (x, y)). x y Uvažujme funkci F : R R danou předpisem Protože platí (φ) F (t) : V ( φ(t) ) V ( φ (t), φ (t) ). F (t) V ( φ (t), φ (t) ) φ x (t) + V ( φ (t), φ (t) ) φ y (t) ( f φ (t), φ (t) ) ( φ (t) + f φ (t), φ (t) ) φ (t), f(x, y) ds b a f ( φ (t), φ (t) ) φ (t) + f ( φ (t), φ (t) ) φ (t) dt [F (t)] b a V (φ(b)) V (φ(a)). Je-li φ po částech hladká křivka, je n f(x, y) ds f(x, y) ds (φ) k (ψ k ) V (φ(b)) V (φ(a)). n k ( ) V (φ(t k )) V (φ(t k )) Uvažujeme stejný rozklad křivky φ na hladké oblouky jako v definici.5 po částech hladké křivky.
3.5 Nezávislost křivkového integrálu. druhu na cestě 37 3.3 Definice. Buď f : R m R m spojité na oblasti Ω R m. Říkáme, že vektorové pole f je potenciální na oblasti Ω, existuje-li funkce V : R m R (tzv. potenciál) taková, že grad V (x) f(x) pro každé x Ω.
38 Křivkový integrál 3.3 Věta (o nezávislosti na cestě). Nechť vektorové pole f : R m R m je spojité na oblasti Ω R m. Pak následující podmínky jsou ekvivalentní: () f je potenciální na Ω, () pro každou uzavřenou po částech hladkou křivku φ : a, b Ω platí f(x) ds, (φ) (3) křivkový integrál. druhu vektorového pole f nezávisí v oblasti Ω na cestě; tzn., jsou-li φ : a, b Ω a φ : c, d Ω takové po částech hladké křivky, že φ (a) φ (c), φ (b) φ (d), je f(x) ds f(x) ds. (φ ) Navíc platí: je-li V potenciálem f na Ω, je (φ) (φ ) f(x) ds V (φ(b)) V (φ(a)) ozn. pro každou po částech hladkou křivku φ : a, b Ω. a a Používáme-li symbolu β α f(x) ds, φ(b) φ(a) f(x) ds kde α, β R m a f : R m R m, musí být buď f potenciální na celém R m, nebo musí být z kontextu jasné, že integrujeme přes křivku (s počátečním bodem α a s koncovým bodem β) ležící v oblasti Ω, na níž je vektorové pole f potenciální. Na místě je otázka: Jak zjistit, že dané vektorové pole je potenciální? Částečnou odpověď skrývají následující dvě poznámky. 3.33 Poznámka. Uvažujme na chvíli, že f (f, f ) : R R je třídy C a potenciální (s potenciálem V ) na oblasti Ω R. Pak (viz větu o záměnnosti parciálních derivací) pro každé (x, y) Ω platí f y (x, y) V y x (x, y) V y x (x, y) V V (x, y) x y x y (x, y) f (x, y). x Našli jsme nutnou podmínku existence potenciálu. Dá se ukázat, že v případě, kdy Ω R je jednoduše souvislá oblast (tj. taková oblast Ω, že pro každou jednoduchou
3.5 Nezávislost křivkového integrálu. druhu na cestě 39 uzavřenou křivku φ : a, b Ω R je int φ Ω), je (pro vektorovou funkci f (f, f ) : R R třídy C na Ω) rovnost f y (x, y) f (x, y) x pro existenci potenciálu i podmínkou postačující. 3.34 Poznámka. Je-li f (f, f, f 3 ) : R 3 R 3 třídy C na oblasti Ω R 3, lze podobně dospět k těmto nutným podmínkám existence potenciálu: f y f x, f z f 3 x, f z f 3 y na Ω. I zde platí, že v případě jednoduše souvislé oblasti Ω R 3 se jedná i o podmínku postačující. Způsob nalezení potenciálu a jeho využití při výpočtu křivkového integrálu. druhu si ukažme na příkladech. 3.35 Příklad. Vypočtěme y dx + x dy, je-li φ(t) : (cos t, sin t), t, π 4. (φ) Řešení. Protože R je jednoduše souvislá oblast, v níž platí y y x x, je vektorové pole f(x, y) : (y, x) potenciální v R. Najděme potenciál f, tj. takovou funkci V : R R, pro niž (v R ) platí Integrací rovnosti zjistíme, že V V (x, y) y a x V (x, y) y x (x, y) x. y V (x, y) xy + ψ(y) pro nějakou (dosud neznámou) funkci ψ : R R a každé (x, y) R. Po dosazení do druhé podmínky ( V (x, y) x) dostaneme y x y (xy + ψ(y)) x + ψ (y), Přesná definice jednoduše souvislé oblasti v R 3 by pro nás v tuto chvíli byla příliš pracná, vystačíme s intuitivní představou, že to je oblast bez děr.
4 Křivkový integrál a proto ψ (y). Odtud plyne, že ψ(y) c pro nějaké c R. Rozmysleme si podrobně (!), že funkce definované předpisy V (x, y) : xy + c, kde c R, tvoří právě všechny potenciály f na R. K výpočtu daného integrálu lze použít kteréhokoliv z nich (viz větu 3.3). Zvolíme-li pro jednoduchost c, je (φ) y dx + x dy V (φ( π 4 )) V (φ()) V (, ) V (, ). 3.36 Příklad. Vypočtěme a) I (, ) (,) (9x y + 4xy + 6 + 5y) dx + (3x 3 + 4x y + 8 + 5x) dy; ( π 4,) b) I (xy y sin(xy)) dx + (x + x sin(xy)) dy; (, π 4 ) c) I (,,3) (,,) xy dx + (x z) dy + ( y) dz; d) I Řešení. (,,) (,,) (x + 3y + sin(z )) dx + (x) dy + (xz cos(z )) dz. a) V (x, y) 3x 3 y + x y + 6x + 5xy + 8y I V (, ) V (, ) 6. b) V (x, y) x y + cos(xy) + y I V ( π 4, ) V (, π 4 ) π 8 π + 3. c) Uvědomme si, že příklad je korektně zadán, protože vektorové pole f(x, y, z) : (xy, x z, y) je potenciální na (jednoduše souvislé oblasti) R 3 ( (xy) x (x z) (xy), y x z ( y), x (x z) z ( y) ). y
3.5 Nezávislost křivkového integrálu. druhu na cestě 4 Najděme potenciál V : V x (x, y, z) xy V (x, y, z) x y + ψ(y, z), pro nějakou zatím neznámou funkci ψ : R R; V y (x, y, z) x z y (x y + ψ(y, z)) x + (y, z) y (y, z) z ψ(y, z) zy + ξ(z), y pro nějakou zatím neznámou funkci ξ : R R; V z (x, y, z) y z (x y zy + ξ(z)) y + ξ (z) ξ (z) ξ(z) z + c, pro nějaké c R. Volíme-li opět c, je a proto (,,3) (,,) V (x, y, z) x y zy + z, xy dx + (x z) dy + ( y) dz V (,, 3) V (,, ). d) Zadaný integrál nemá smysl, protože x (x + 3y + sin(z )) 3 x (x), a tudíž integrované vektorové pole není potenciální. (Přečtěte si poznámku pod čarou ve větě 3.3.) 3.37 Cvičení. Vypočtěte I, když (,) a) I (3x y + y cos(xy)) dx + (x 3 + + x cos(xy)) dy; ( π,) b) I (,) (,) (ye xy + x + y ) dx + (xe xy + 4xy + y) dy;
4 Křivkový integrál c) I d) I (,,) (,3,) (,,) (,,) 3x y z dx + (x 3 yz z ) dy + (x 3 y yz + 3z ) dz; (y z + z) dx + (xyz + y) dy + (xy z + x + ) dz. 3.38 Cvičení. Dokažte, že vektorové pole ( f(x, y) : y x + y, ) x x + y není na oblasti R {(, )} potenciální, a to přesto, že v R {(, )} platí ( y ) ( ) x. y x + y x x + y (Nepřehlédněme souvislost s poznámkou 3.33.) 3.6 Aplikace křivkového integrálu. druhu a) Práce vektorového pole podél orientované křivky. Buď vektorové pole f : R m R m spojité na orientované křivce (k) R m, kde (k) φ pro nějakou jednoduchou (nebo jednoduchou uzavřenou) po částech hladkou křivku φ. Prací vektorového pole f podél orientované křivky (k) rozumíme číslo A(k) : f(x) ds (samozřejmě předpokládáme, že (k) je orientována souhlasně s křivkou φ). b) Obsah (přesněji míra) roviných útvarů. Buď Ω int φ φ, kde φ je jednoduchá uzavřená kladně orientovaná po částech hladká křivka v R. Potom platí (viz Greenovu větu 3.8) λ(ω) ( y) dx + x dy x dy y dx. (φ) 3.39 Cvičení. a) Vypočtěte práci vektorového pole f(x, y, z) (,, mg) podél pěti závitů šroubovice φ(t) : ( r cos t, r sin t, h π t), t, π. (Takovou energii získáte, máte-li hmotnost m > a sjedete pět závitů toboganu, který má výšku h > a poloměr zatáčky r > ; konstanta g > je tíhové zrychlení.) (φ) (φ) (φ)
3.6 Aplikace křivkového integrálu. druhu 43 b) Pro a, b > určete obsah (míru) elipsy Ω { (x, y) R : x a + y b }.
44 Kapitola 4 Plochy 4. Definice. Plochou (v R 3 ) rozumíme každou spojitou vektorovou funkci ψ : G R 3, pro niž existuje neprázdná oblast Ω R taková, že Ω G Dψ Ω. Množinu ψ : ψ(g) {ψ(u, v) : (u, v) G} R 3 pak nazýváme geometrickým obrazem plochy ψ. Je-li M ψ, říkáme, že ψ je parametrizací množiny M. 4. Cvičení. Parametrizujte množinu M, je-li a) M {(x, y, z) R 3 : x + y + z 8 z 6}; b) M {(x, y, z) R 3 : x + y + z 4 x + y x z }. Podobně jako tomu bylo v případě křivek, je tato definice příliš obecná. Doplníme ji proto ještě jistými diferenciálními podmínkami. 4.3 Definice. Omezenou oblast Ω R nazveme regulární oblastí, existuje-li jednoduchá uzavřená po částech hladká křivka (v R ) φ taková, že Ω int φ.
45 4.4 Definice. Plochu ψ (ψ, ψ, ψ 3 ) : Ω R 3, kde Ω R je regulární oblastí, nazýváme hladkým listem, platí-li: i) ψ je prosté zobrazení ; ii) existuje vektorová funkce h (h, h, h 3 ) : R R 3, která je třídy C na nějaké otevřené množině M Ω, a a pro niž platí: ψ h Ω ; iii) pro každé (u, v) Ω jsou vektory ( h (u, v) : u u (u, v), h u (u, v), h ) 3 (u, v), u lineárně nezávislé. b (u, v) : v ( h v (u, v), h v (u, v), h 3 v ) (u, v) Množinu nazýváme okrajem hladkého listu ψ. Oψ : ψ( Ω) {ψ(u, v) : (u, v) Ω} a Tzn. že všechny parciální derivace prvního řádu funkcí h, h a h 3 jsou spojité na M. b Nepřehlédněme, že pro (u, v) Ω je ( (u, v) : u u (u, v), ( (u, v) : v v (u, v), u (u, v), 3 u v (u, v), 3 v ) (u, v), ) (u, v). 4.5 Příklady hladkých listů. ψ (u, v) : (cos u, sin u, v), Dψ, π,. ψ (u, v) : (cos u cos v, sin u cos v, sin v), Dψ, π, π 4. 4.6 Poznámka (ke geometrickému významu vektorů (u, v), (u, v)). u v Všimněme si (a pozorný čtenář ví, že tak učiníme již podruhé viz příklad.3), že (u, v) a u (u, v) v jsou směrové vektory tečné roviny sestrojené k ploše ψ v bodě ψ(u, v).
46 Kapitola 5 Plošný integrál 5. Plošný integrál. druhu přes hladký list 5. Motivace. Buď ψ (ψ, ψ, ψ 3 ) : Ω R 3 hladký list. Zadejme si úkol spočítat hmotnost plochy ψ, je-li na ψ (plošná) hustota popsána spojitou a nezápornou funkcí f : R 3 R. Vezměme dvojrozměrný interval a, b c, d takový, že Ω a, b c, d, a uvažujme jeho dělení D (D u, D v ), tj. systém dvojrozměrných intervalů J kl u k, u k+ v l, v l+. Je jistě přirozené aproximovat počítanou hmotnost m( ψ ) součtem m(ψ(j kl )), k,l kde sčítáme přes ta k a l, pro něž je J kl Ω. Protože ψ(u k+, v l ) ψ(u k, v l ). dψ (uk,v l )(u k+ u k, ) (u u k, v l ), (u u k, v l ), 3 (u u k, v l ), (u v k, v l ) (u v k, v l ) 3 (u v k, v l ) a (postupujeme-li analogicky) ( uk+ u k ) T ( ψ (u k, v l ) ( ) ) T uk+ u k (u k+ u k ) u (u k, v l ) ψ(u k, v l+ ) ψ(u k, v l ). (v l+ v l ) v (u k, v l ), je jistě přirozené aproximovat obsah plošky ψ(j kl ) číslem Zápisem u v, kde u (u, u, u 3 ), v (v, v, v 3 ) R 3, rozumíme vektorový součin vektorů u a v, tzn. u v : (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ).
5. Plošný integrál. druhu přes hladký list 47 (u k+ u k ) u (u k, v l ) (v l+ v l ) v (u k, v l ) u (u k, v l ) v (u k, v l ) (u k+ u k )(v l+ v l ). Získáme tak nahradíme-li hustotu f na každém ψ(j kl ) konstantou f(ψ(u k, v l )) tuto aproximaci počítané hmotnosti: m( ψ ). k,l. k,l Ω m(ψ(j kl )). f(ψ(u k, v l )) u (u k, v l ) v (u k, v l ) (u k+ u k )(v l+ v l ) f(ψ(u, v)) (u, v) (u, v) u v du dv. (Jistě se vyplatí si všimnout, že při f počítáme vlastně obsah plochy ψ.) 5. Definice. Buď ψ : Ω R 3 hladký list a buď f : R 3 R spojitá na množině ψ ψ(ω). Plošný integrál. druhu funkce f přes hladký list ψ definujeme rovností ψ f(x, y, z) dσ : Ω f(ψ(u, v)) (u, v) u v (u, v) du dv. 5.3 Poznámka (k definici 5.). Za výše uvedených předpokladů je funkce (u, v) f(ψ(u, v)) (u, v) (u, v) u v spojitá na uzavřené měřitelné množině Ω, a proto integrovatelná na Ω. 5.4 Příklad. Vypočtěme f(x, y, z) dσ, je-li ψ a) f(x, y, z) : x + y + z, ψ(u, v) : (, u, v), Ω Dψ,, ; b) f(x, y, z) : z x + y, ψ(u, v) : (cos u cos v, sin u cos v, sin v), Ω Dψ, π, π 4.
48 Plošný integrál Řešení. a) (u, v) (,, ), u (u, v) (u, v) (,, ), u v (u, v) (,, ), v (u, v) (u, v) u v, a proto ψ f(x, y, z) dσ ( ) + u + v du dv + + v dv. b) Protože pro (u, v) Ω platí: (u, v) ( sin u cos v, cos u cos v, ), u (u, v) ( cos u sin v, sin u sin v, cos v), v je u (u, v) u v (u, v) (cos v cos u, cos v sin u, sin v cos v), (u, v) v (u, v) cos v cos v cos v, ψ z x + y dσ Ω π sin v cos v cos v du dv π w dw π 4 (4 ). π 4 cos v sin v dv 5.5 Poznámka. Výpočet čísla a b, kde a, b R 3, lze někdy zrychlit užitím vztahu jehož důkaz ponechme čtenáři. a b a b (a b),
5. Plošný integrál. druhu přes po částech hladkou plochu 49 5. Plošný integrál. druhu přes po částech hladkou plochu V praxi potřebujeme pracovat i se složitějšími plochami, než jsou hladké listy; například s parametrizacemi povrchu kvádru, koule, jehlanu,.... Jedná se o tzv. po částech hladké plochy. Je jistě rozumné očekávat, že definice takovýchto ploch bude analogická definici po částech hladké křivky. Pro naše pohodlí však v následující definici budeme postupovat jinak: po částech hladkou plochou budeme rozumět množinu bodů jistých vlastností. 5.6 Definice. Množinu S R 3 nazveme po částech hladkou plochou, existují-li hladké listy ψ, ψ,..., ψ n takové, že platí: i) n S ψ i ψ ψ... ψ n ; ii) i i j ψ i ψ j Oψ i Oψ j a buď ψ i ψ j lze parametrizovat jednoduchou nebo jednoduchou uzavřenou po částech hladkou křivkou (pak ψ i a ψ j nazýváme přilehlými listy), nebo je ψ i ψ j množina jednobodová nebo prázdná; iii) i j k i ψ i ψ j ψ k je množina jednobodová nebo prázdná; iv) i list ψ i je přilehlý k některému z listů ψ, ψ,..., ψ i. (Za výše uvedené situace nazýváme hladké listy ψ,..., ψ n rozkladem po částech hladké plochy S na hladké listy.) 5.7 Definice. Jednoduchou křivku φ : a, b R 3 nazveme částí okraje S, existuje-li rozklad S na hladké listy ψ, ψ,..., ψ n a právě jedno i {,..., n} takové, že φ(a, b) ψ i Oψ i. 5.8 Definice. Okraj plochy S definujeme rovností OS : φ. φ je částí okraje S Je-li OS, tzn. neexistuje-li křivka φ, která je částí okraje S, nazýváme plochu S uzavřenou.
5 Plošný integrál 5.9 Definice. Bod p S, pro nějž existuje takový rozklad S na hladké listy ψ, ψ,..., ψ n a číslo i {,..., n}, že p ψ i Oψ i, nazýváme regulárním bodem S. 5. Pozorování. Všimněme si, že v regulárním bodě p ψ i (u, v) existuje tečná rovina k ploše S s jednotkovým normálovým vektorem n(p) i (u, v) i (u, v) u v i (u, v) i (u, v). u v 5. Definice. Buď ψ, ψ,..., ψ n rozkladem po částech hladké plochy S R 3 na hladké listy a buď funkce f : R 3 R spojitá na S. Plošný integrál. druhu funkce f přes po částech hladkou plochu S definujeme rovností n f(x, y, z) dσ : f(x, y, z) dσ. S i ψ i 5. Poznámka (k definici 5.). Dá se ukázat, že tato definice je nezávislá na konkrétním rozkladu po částech hladké plochy S na hladké listy ψ i. Speciálně: jsou-li ψ a ψ dva hladké listy takové, že ψ ψ, a je-li funkce f : R 3 R spojitá na ψ, je ψ f(x, y, z) dσ f(x, y, z) dσ. (Porovnejte toto tvrzení s větou 3.9.) 5.3 Příklad. Vypočtěme f(x, y, z) dσ, kde S a) f(x, y, z) : (+x+y) a S je povrchem čtyřstěnu s vrcholy (,, ), (,, ), (,, ), (,, ); b) f(x, y, z) : x + y a S je hranicí tělesa ψ {(x, y, z) R 3 : x + y z z }; c) f(x, y, z) : z, S {(x, y, z) R 3 : z xy x + y }; d) f(x, y, z) : xy, S {(x, y, z) R 3 : x + y 4z x y z }; e) f(x, y, z) : z, S {(x, y, z) R 3 : x + y + z 9 x y z x + y 3}.
5. Plošný integrál. druhu přes po částech hladkou plochu 5 Řešení. a) Čtyřstěn S rozložíme na hladké listy S ψ ψ ψ 3 ψ 4, kde ψ (x, y) : (x, y, ), (x, y) Ω {(u, v) R : u, v, u }, ψ (x, z) : (x,, z), (x, z) Ω, ψ 3 (y, z) : (, y, z), (y, z) Ω, ψ 4 (x, y) : (x, y, x y), (x, y) Ω. Pak x (,, ), y (,, ),..., 4 x (,, ), 4 y a každý čtenář si jistě přepočítá, že x y x 3 z y 3, z 4 x 4 (,, ) 3. y Odtud plyne (viz definice 5. a 5.) f dσ dx dy + ( + x + y) S Ω + Ω Ω dy dz + ( + y) Ω Ω dx dz+ ( + x) ( + x + y) 3 dx dy ( + 3) ( + x + y) + dx dy ( + x) ( x + 3 ( + x + y) + ) ( + x) dy dx ( + x) ( x) ( + 3) [ ( x) ( + x) ( + 3) ( + x + x + y ] x y dx (,, ), ) dx ( 3 ) ln 3 + 3. Budeme zkráceně psát a to i v dalším textu x... místo správného (x, y)... x
5 Plošný integrál b) Protože kde S ψ ψ ψ 3, ψ (r, t) : (r cos t, r sin t, r), (r, t),, π, ψ (r, t) : (r cos t, r sin t, ), (r, t),, π, ψ 3 (r, t) : (r cos t, r sin t, ), (r, t),, π, a navíc (jak lze snadno ověřit) platí r (r, t) (r, t) t r, r (r, t) (r, t) t 3 r (r, t) 3 (r, t) t r, je S (x + y ) dσ (x + y ) dσ + (x + y ) dσ + (x + y ) dσ ψ ψ ψ 3 π ( (r ) π ( ) r) dr dt + (r r) dr dt+ π ( ) + (r r) dr dt π (5 + 7). Pozorný čtenář je v tuto chvíli nutně otřesen, výše uvedený výpočet není korektní: plochy ψ, ψ a ψ 3 nejsou hladkými listy. Situace je podobná jako při výpočtu dvojných integrálů substitucí: k poruše (prostoty zobrazení ψ i a lineární nezávislosti vektorů i (r, t), i (r, t)) dochází na množině nulové míry (v r t R ), množině z hlediska dvojného integrálu zanedbatelné. Doporučme čtenáři výborné a uklidňující cvičení: vypočtěte daný integrál korektně; tak si lze nejlépe rozmyslet, že (a proč) výše předvedený způsob výpočtu nevede k chybě. c) Zřejmě S ψ, kde ψ(r, t) : (r cos t, r sin t, r sin t cos t), (r, t),, π. Platí (r, t) (cos t, sin t, r sin t cos t), r t (r, t) ( r sin t, r cos t, r cos t),
5. Plošný integrál. druhu přes po částech hladkou plochu 53 r (r sin t cos t r cos t sin t, r cos t cos t r sin t sin t, r) t r 4 (sin t cos t + cos t sin t + cos t cos t + sin t sin t) + r r 4 (cos t + sin t) + r r + r, a proto f(x, y, z) dσ S ( π π 8 π cos 4t 8 ( ) ( dt r 4 4 sin (t) r ) + r dr dt r ) 4 + r r dr π 4 w 5 w 3 + w dw π ( 5 ). (w ) w dw Uveďme ještě jiný způsob, jak zadaný plošný integrál spočítat. Definujme ψ(u, v) : (u, v, uv), kde (u, v) Ω {(u, v) R : u + v }. Pak S ψ (S je vlastně grafem funkce dvou proměnných (u, v) uv), (,, v), (,, u), u u u ( v, u, ) + u + v v, a proto f dσ u v + u + v du dv S Ω π π ( r 4 sin t cos t ) + r r dr dt ( r 4 4 sin (t) ) ( + r r dr dt π ). 5 ( Ve výpočtu dvojného integrálu jsme použili substituci do polárních souřadnic Ω { (r cos t, r sin t) R : r, t, π } a Fubiniovy věty. Získaný dvojnásobný integrál vypočetli již dříve. ) d) Zřejmě S ) { ( r cos t, r sin t, r R 3 : r, t, π 4 } cos t sin t r 4 ψ,
54 Plošný integrál kde Odtud plyne ψ(r, t) : ( r cos t, sin t, r r ( t r ) ( r cos t, r sin t, r, (r, t),, π 4. ), t ( r sin t, r cos t, ), r 4 4 + r r cos t, r sin t, r ) A teď už máme vše připraveno k dokončení výpočtu: π ( ) f dσ r cos t sin t + r 4 r dr dt S ( ) ( u du 4(v ) ) v dv 4 [ v 5 5 v 3 3 ] + r 4. 6 ( ) +. 5 ( V úpravě jsme využili substitucí sin t u a + r 4 v.) e) Parametrizujeme-li kde je S { (x, y, 9 x y ) R 3 : x y x + y 3 } ψ, ψ(x, y) : (x, y, 9 x y ), (x, y) Ω { (x, y) R : x, 3 y, 3 x }, x (,, x x x ( y 9 x y, 9 x y ), y (,, y 9 x y ), y 9 x y, ) 3 9 x y, a proto S f dσ Ω 3 7 9 x y dx dy 3λ(Ω) 9 x y. (Otázka čtenáři: Proč je předvedený výpočet nekorektní a proč přesto vede ke správnému výsledku?)
5.3 Aplikace plošného integrálu. druhu 55 5.4 Cvičení. Vypočtěme f(x, y, z) dσ, kde S a) f(x, y, z) : xy + yz + zx, S {(x, y, z) R 3 : z x + y x + y x}; b) f(x, y, z) : xyz, S {(x, y, z) R 3 : x +y z x y z }; c) f(x, y, z) : x + y + z a S je hranicí množiny {(x, y, z) R 3 : x + y + z 4 z }. 5.3 Aplikace plošného integrálu. druhu a) Obsah plochy. Je li P R 3 po částech hladká plocha, rozumíme jejím obsahem číslo σ(p ) : dσ. b) Nechť P R 3 je po částech hladká plocha, jejíž (plošná) hustota je popsána funkcí h : R 3 R, která je spojitá a nezáporná na P. Pak je rozumné užívat (definovat) vztahy: m(p ) : h(x, y, z) dσ... hmotnost plochy P, P S yz (P ) : P S zx (P ) : P S xy (P ) : x h(x, y, z) dσ P... statický moment P vzhledem k rovině x, y h(x, y, z) dσ... statický moment P vzhledem k rovině y, z h(x, y, z) dσ P... statický moment P vzhledem k rovině z, ( Syz (P ) T (P ) : m(p ), S zx(p ) m(p ), S ) xy(p )... těžiště P. m(p ) (Analogicky lze definovat momenty setrvačnosti plochy P vzhledem k souřadnicovým osám.)
56 Plošný integrál 5.5 Příklad. Vypočtěte pomocí plošného integrálu obsah plochy S, je-li a) S { (x, y, z) R 3 : (x 8) + (y 7) + (6 z) 5 } ; b) S { (x, y, z) R 3 : z (x + y ) x + y }. Řešení. a) Kulovou plochu S parametrizujme pomocí ψ(u, v) : (8, 7, 6) + (5 cos u cos v, 5 sin u cos v, 5 sin v), (u, v), π π, π. Pro zvolenou parametrizaci platí 5( sin u cos v, cos u cos v, ), 5( cos u sin v, sin u sin v, cos v), u v u 5(cos u cos v, sin u cos v, sin v cos v) 5 cos v 5 cos v v (jelikož v π, π ). Obsah plochy S je tedy π ( π σ(s) dσ 5 cos v dv ) du 5 π [ sin v ] π π. π S π b) Plochu S, která je částí rotačního paraboloidu, parametrizujme pomocí vektorové funkce ψ(r, t) : ( r cos t, r sin t, r ), (r, t),, π, pro niž platí (cos t, sin t, r), ( r sin t, r cos t, ), r t r ( r cos t, r sin t, r) r4 + r t r r +. Obsahem zadané plochy je číslo ( π σ(s) r ) [ ] + r dt dr π u du π 3 u 3 π 3 ( 8 ). (Ve výpočtu jsme užili substituci u + r.) 5.6 Cvičení. Určete souřadnice těžiště plochy S, je-li a) S { (x, y, z) R 3 : x + y + z 36 z }, je li její (plošná) hustota popsána funkcí h(x, y, z) : x + y ; b) S { (x, y, z) R 3 : z x + y z }, je li její (plošná) hustota v každém jejím bodě rovna vzdálenosti tohoto bodu od osy z.
5.4 Plošný integrál. druhu přes hladký list 57 5.4 Plošný integrál. druhu přes hladký list 5.7 Motivace. ) Mějme rovinnou plochu τ, přes kterou protéká ve směru jejího normálového vektoru n nestlačitelná kapalina konstantní rychlostí (nezávislou na čase a poloze) danou vektorem f R 3. Množství kapaliny, které za jednotku času proteče plochou τ o obsahu ( míře) λ(τ), odpovídá číslu ( ) n f λ(τ). n ) Buď ψ : Ω R 3 hladký list a buď f : R 3 R 3 spojité vektorové pole na ψ (opět: f udává na čase nezávislou rychlost proudění nestlačitelné kapaliny). Počítejme, kolik kapaliny proteče (za jednotku času) plochou ψ ve směru určeném normálovými vektory (u, v) (u, v). u v Postupujeme-li podobně, jako na začátku kapitoly 5., získáme tyto odhady počítaného objemu K( ψ ). k,l. k,l Ω K(ψ(J kl )). ( ( f(ψ(u k, v l )) f(ψ(u, v)) ( u u (u k, v l ) v (u k, v l ) (u, v) (u, v) v ) du dv. ) ) (u k+ u k ) (v l+ v l ) 5.8 Definice. Buď ψ : Ω R 3 hladký list a buď vektorové pole f : R 3 R 3 spojité na ψ ψ(ω). Plošný integrál. druhu vektorového pole f přes hladký list ψ definujeme rovností (ψ) f(x, y, z) dσ : Ω f(ψ(u, v)) ( ) (u, v) (u, v) du dv. u v V uvedených odhadech využíváme těchto rovností: u f (ψ(u k, v l )) (u k, v l ) v (u k, v l ) u (u k, v l ) v (u k, v l ) u (u k, v l ) v (u k, v l ) ( f (ψ(u k, v l )) u (u k, v l ) ) v (u k, v l )
58 Plošný integrál 5.9 Poznámka. Je-li f (f, f, f 3 ), píše se někdy (ψ) f(x, y, z) dσ ozn. (ψ) 5. Příklad. Vypočtěme f(x, y, z) dσ, je-li f (x, y, z) dy dz + f (x, y, z) dz dx + f 3 (x, y, z) dx dy. (ψ) a) f(x, y, z) : (,, x + y ), ψ(r, t) : (r cos t, r sin t, ), Dψ, π, π ; b) f(x, y, z) : (x y, y z, z x + ), ψ(u, v) : (u, v, u v), Dψ Ω {(u, v) R : u + v u v }. Řešení. a) Protože platí je r (ψ) (cos t, sin t, ), f(x, y, z) dσ t ( π ( r sin t, r cos t, ), π r t ) [ r (,, r 4 ) (,, r) dt dr π 4 (,, r), ] 5 4 π. b) Postupujeme podobně jako v předchozím příkladu: u (,, ), v (,, ), u v (,, ), a proto f(x, y, z) dσ (u v, u + v, u v + ) (,, ) du dv (ψ) Ω ( u ) dv du. 5. Cvičení. Vypočtěte (ψ) f(x, y, z) dσ, je-li f(x, y, z) : ( x z, y, xy), ψ(u, v) : (cos u cos v, sin u cos v, sin v), Dψ, π, π.
5.5 Plošný integrál. druhu přes po částech hladkou plochu 59 5.5 Plošný integrál. druhu přes po částech hladkou plochu Následující definici ponechme nepřesnou (její přesná formulace je pracná; je podobná definici kladně orientované křivky). 5. Definice. Buď ψ hladký list a buď křivka φ částí okraje ψ. Řekneme, že ψ a φ jsou souhlasně orientované, jestliže při pohybu po φ ve směru orientace φ a s hlavou ve směru vektorového pole máme plochu ψ po levé ruce. u v 5.3 Definice. Buď ψ a ψ přilehlé listy a buď φ taková jednoduchá křivka, že φ ψ ψ. Řekneme, že ψ a ψ jsou souhlasně orientované, platí-li ψ a φ jsou souhlasně orientované ψ a ( φ) jsou souhlasně orientované. Řekneme, že po částech hladká plocha S je orientovatelná (nebo dvoustranná), existuje-li její rozklad na hladké listy ψ, ψ,..., ψ n takový, že každé dva přilehlé listy ψ i a ψ j tohoto rozkladu jsou souhlasně orientované (mluvíme pak o orientovaném rozkladu S). Orientovat orientovatelnou plochu S znamená zadat jednotkový normálový vektor n(p) R 3 k ploše S v každém jejím regulárním bodě p tak, aby pro každý orientovaný rozklad ψ, ψ,..., ψ n plochy S platila právě jedna z implikací: ψ i (u, v) p ψ i Oψ i n(p) i (u, v) i (u, v) u v i (u, v) i (u, v), u v u ψ i (u, v) p ψ i Oψ i n(p) (u, v) i (u, v) v i (u, v) i (u, v). u v i 5.4 Poznámka (k definici 5.3). i) Je-li plocha S R 3 orientovatelná, existují právě dvě různé vektorové funkce n a n * určující orientaci S (protože zřejmě platí n n *, mluvíme o opačných orientacích S); k orientaci S stačí proto určit jednotkový normálový vektor n(p) v jediném (libovolném) regulárním bodě p S. ii) Existují neorientovatelné (zvané též jednostranné) po částech hladké plochy. Pří-
6 Plošný integrál Obr. 5.: Möbiův list kladem takovéto plochy je Möbiův list (viz obrázek 5.): { ( v cos v + u cos( ) cos v, sin v + u cos(v ) sin v, u sin(v )) R 3 : } (u, v),, π. iii) Každá uzavřená po částech hladká plocha je orientovatelná. 5.5 Definice. Buď S R 3 po částech hladká plocha orientovaná svým orientovaným rozkladem ψ, ψ,..., ψ n. a a buď vektorové pole f : R 3 R 3 spojité na S. Plošný integrál. druhu vektorového pole f přes orientovanou po částech hladkou plochu S b definujeme rovností (S) f(x, y, z) dσ : n i (ψ i ) f(x, y, z) dσ. a Tím myslíme, že vektorové pole n : R 3 R 3 určující orientaci S je v každém regulárním bodě p ψ i (u, v) definováno rovností n(p) : i u i u i (u, v) v (u, v) (u, v) i v (u, v). b Mluvíme někdy též o toku vektorového pole f orientovanou plochou S. 5.6 Poznámka. Dá se ukázat, že výše uvedená definice je korektní; je totiž nezávislá na konkrétním v souladu s orientací S zvoleném orientovaném rozkladu S.