VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV AUTOMATIZACE A INFORMATIKY FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING INSTITUTE OF AUTOMATION AND COMPUTER SCIENCE NÁVRH DISKRÉTNÍHO REGULAČNÍHO OBVODU ALGEBRAICKÝMI METODAMI ŘÍZENÍ ALGEBRAIC METHODS OF CONTROL FOR DISCRETE CONTROL CIRCUIT DESIGN BAKALÁŘSKÁ PRÁCE BACHELOR ESSAY AUTOR PRÁCE AUTHOR VEDOUCÍ PRÁCE SUPERVISOR PETR JURČA ING.OLGA DAVIDOVÁ, PH.D. BRNO

Strn 5 ABSTRAKT Bklářská ráce se bývá diskrétními regulčními obvody, kde le oužít buď regulátor s evně dnou strukturou nebo obecný regulátor. Pro návrh otimálního regulátoru le oužít růné lgebrické metody říení, které rcují s olynomy. V řídě jednoroměrových úloh je možno syntéu diskrétního otimálního říení řevést n řešení neurčité (diofntické) olynomiální rovnice. ABSTRACT The bchelor essy dels with discreet regultion circuits where it is ossible to use either regultor with fst lid textures or universl regultor. To roose n otiml regultor it is ossible to use vrious lgebric roceeding methods which olynomil. In cse of unidimensionl tsk I converted the synthesis of discreet otiml control to solving inexlicit (Diohntine) olynomil qudrtic which is ossible to solve by vrious methods. KLÍČOVÁ SLOVA Diskrétní regulční obvod, diskrétní regulátor, lgebr olynomů, diofntické olynomiální rovnice, ětnovební obvod, stbilit obvodu. KEYWORDS Discreet regultion circuit, discreet regultor, lgebr of olynomil, Diohntine olynomil qudrtic, feedbck circuit, circuit stbility.

Strn 6

Strn 7 PODĚKOVÁNÍ N tomto místě bych rád oděkovl vedoucí mé bklářské ráce, ní Ing. Ole Dvidové, Ph.D., vedení, řiomínky cenné konstruktivní rdy.

Strn 9 OBSAH Zdání ávěrečné ráce..................................................... Abstrkt................................................................. 5 Poděkování............................................................... 7 Obsh................................................................... 9 Senm oužitých symbolů................................................. Úvod.................................................................. Regulční obvod........................................................ 5. Diskrétní regulční obvod.......................................... 5. Diskrétní regulátory............................................... 6. Regulátory s evně dnou strukturou.................................. 7. Obecný lineární regulátor........................................... Algebr olynomů....................................................... Algebrické metody říení............................................ Výočetní oerce s olynomy........................................ Diofntické olynomiální rovnice jejich řešení........................... Zětnovební obvod jeho stbilit................................... 6 Metody návrhů regulátorů................................................ 9. Stbilní čsově otimální říení....................................... 9. Konečné čsově otimální říení....................................... Čsově otimální říení s omeenou velikostí............................. Kvdrticky otimální říení..........................................5 Kvdrticky otimální říení s čsovým omeením........................ 5 Návrh regulátorů lgebrickými metodmi říení............................ 5 5. Vorový říkld návrhu regulátoru.................................... 5 5. Dlší říkldy.................................................... 6 Závěr.................................................................. 5 Senm oužité litertury.................................................. 55

Strn SEZNAM POUŽITÝCH SYMBOLŮ e (t) G S (s) G R (s) G R () kt q,q,q r r k r r - T D T I T R u (t) v (t), d (t) w (t) y (t) y ( ),b,,q,r,s d R [ - ] regulční odchylk řenos regulovné soustvy řenos sojitého regulátoru řenos diskrétního regulátoru diskrétní čs koeficienty ro sestvení rovnice diskrétního regulátoru esílení regulátoru, roorcionální konstnt regulátoru kritické esílení regulátoru derivční konstnt regulátoru integrční konstnt regulátoru derivční čsová konstnt integrční čsová konstnt dob regulce kční veličin oruchová veličin řídící veličin, žádná veličin regulovná veličin ustálená hodnot regulovné veličiny libovolné olynomy největší solečný dělitel olynomů množin všech olynomů v komlexní rovině stueň olynomu lineární norm

Strn ÚVOD Přestože rvní rktické oužití utomtické regulce je velmi stré, čl se teorie říení systemticky rosovt ž řed druhou světovou válkou. V osledních letech rošlo toto odvětví velkým vývojem. Nejrve se oornost soustřeďovl n soustvy sojitě říené jednoduchými regulátory roorcionálního, integrčního nebo derivčního tyu. S vývojem číslicové výočetní techniky s otřebou řídit složité rocesy vnikl teorie diskrétně říených soustv, kde funkci regulátoru stuuje číslicový očítč. Říená soustv může být svou ovhou jk diskrétní, tk i sojitá. Jelikož témtem mé bklářské ráce je návrh diskrétního regulčního obvodu, budu se de bývt řevážně ojmy týkjící se tkového obvodu. Vlivem Llceovy trnsformce se k oisu diskrétních soustv člo oužívt Z trnsformce. Tto trnsformce sočívá v možnosti sndného řevodu funkce čsové oblsti do oblsti komlexní. Důsledkem toho se k složité mtemtické oerce v kruhu diferenciálních rovnic, které bychom museli složitě očítt ři nlýe syntée systémů říení, mohou nhrdit mnohem jednoduššími lgebrickými oercemi. Dále je třeb onment, že metodou komlexní oblsti určíme otimální řenos regulátoru, le nikoli smotný regulátor. Může se stát, že ři nevhodné relici řenosu regulátoru orušíme stbilitu ětnovebního obvodu tím nehodnotíme celý výsledek. Pokud je k disoici stv soustvy, vždy vystčíme s roorcionálním regulátorem. Jeden tentýž regulátor je otimální ro všechny očáteční stvy soustvy. Regulátor využívjící oue informce o výstuu soustvy je obecně dynmický je otimální jen ro některý očáteční stv soustvy. Postuem doby se řišlo n to, že ois chování soustv je áležitost síše lgebry než nlýy. Tto myšlenk vedl k vyrcování nové lgebrické metody, která je dlší etou ve vývoji teorie lineárního říení. Netrdiční řístu vyžduje i netrdiční mtemtický rát. Proto bylo nejrve třeb nlét odovídjící mtemtický ois soustvy, který by umožnil účinně jednotně řešit růnorodé úlohy o říení. Je ložen n lgebře bstrktních olynomů. Přestože lgebrická teorie říení je oměrně mldá, donl již několik výnmných likcí stimulovl několik jímvých myšlenek. Můžeme jmenovt nříkld roblém regulčních obvodů se dvěm regulátory, které umožňují klást oždvky vlášť n říení vlášť n komenci náhodné oruchy. Dlší likce se využívjí ři lgebrici řevodu sojitých soustv n diskrétní nok, ři řeočtech roborech sojených se měnou eriody vorkování ři řešení úloh o říení v obvodu s několik růnými eriodmi vorkování.

Strn 5 REGULAČNÍ OBVOD Regulční obvod je soubor rostředků, které nám beečí n konkrétním říení stálé oždovné hodnoty sledovných veličin. V regulčním obvodu robíhá regulční ochod, který vniká řiojením regulátoru (řídícího systému), který jišťuje utomtické udržování hodnot sledovných veličin, k regulovné soustvě (říeného systému).. DISKRÉTNÍ REGULAČNÍ OBVOD Vhledem k dnému témtu mé bklářské ráce se v dlším ojednání měřím n diskrétní regulční obvod Je to tkový obvod, ve kterém soň jedn veličin má tvr oslounosti diskrétních hodnot vytvářených v určitých, čsově rvidelně se okujících okmžicích T, tj. intervlech vorkování. Diskrétní regulční obvod většinou využívá k výočtu kční veličiny číslicový očítč. [] Obr. Blokové schém diskrétního regulčního obvodu u T........ tvrovná kční veličin k, kt...... diskrétní čs (k,,,...) T........ vorkovcí eriod A Č..... nlogově číslicový řevodník Č A..... číslicově nlogový řevodník Regulovná soustv G S () říený systém. Vše co se děje uvnitř říení je chááno jko vnitřní roces říení ohledu utomtické regulce jsou tyto rocesy ro nás nejímvé. Regulátor G R () řídící systém. Je obecný model kontrolního systému, který řijímá vyhodnocuje ískné informce n jejich ákldě k ředává ovely regulovné soustvě.

Strn 6 Regulovná veličin y(k). Zchycuje stv hodnoty rocesu regulovné soustvy v čse. Je rekcí regulovné soustvy n oždvky regulátoru, ořídě vnějších oruchových vlivů. Řídící veličin žádná veličin w(k). Určuje vstuní oždvky kldené n regulovnou soustvu. Akční veličin u(k). Z kční veličinu se volí tková fyikální veličin rocesu, která má výrný vliv n regulovnou veličinu. Je generovná regulátorem vyjdřuje hodnoty oždovné regulátorem n regulovnou veličinu. Poruchové veličiny v(t), d(t) Jsou nedeterministické veličiny které římo či neřímo ovlivňují srávnou regulci. Jejich ůsobení se rojevuje buď jko nežádoucí měny regulovné veličiny oruchová veličin d(t), nebo jko nežádoucí složk řiočtená k kční veličině- oruchová složk v(t). Regulční odchylk e(kt). Je vstuní veličin regulátoru, která vyjdřuje rodíl mei řídící veličinou regulovnou veličinou. Obecně se vyjdřuje vthem e(kt) w(kt) y(kt). Obě veličiny jsou vorkovány v čsech kt. Anlogově číslicový řevodník. Převádí oslounost imulů, nř. výstuu vorkovcího členu, n oslounost číselných hodnot, které jsou v normovném dvojkovém kódu vhodném ro dlší rcování číslicovým očítčem. Tento řevodník rcuje n strně vstuu číslicového regulátoru. Číslicově nlogový řevodník. Prcuje n výstuní strně číslicového regulátoru řevádí oslounost výstuních číselných hodnot očítče n oslounost imulů, které jsou následně rcovány tvrovcím členem.. DISKRÉTNÍ REGULÁTORY Podstt činnosti regulátoru je vyhodnocení regulční odchylky e(k) n vstuu signálu, rcování odle řídících rmetrů říení následně vytvoření výstuního signálu ve formě kční veličiny (k), která má cíl ůsobit n regulovnou soustvu tk, by odchylk byl nulová, nebo velmi mlá. Protože číslicový regulátor nevyhodnocuje informci v čse sojitě, le v diskrétních okmžicích, vádí se řevod sojitého čsu n diskrétní čsové okmžiky t kt, kde T je eriod vorkování. Pro řesnější regulci je vhodné, by vorkovcí eriod byl co nejkrtší.[] Činnost diskrétního regulátoru le ost rovnicí ve tvru r u kt ) r e( kt ) I ( kt ) r TD D( kt ) (.) T ( I

Strn 7 kde r je esílení regulátorů, T I - je integrční čsová konstnt, r r r r T D - je derivční čsová konstnt.. REGULÁTORY S PEVNĚ DANOU STRUKTUROU Tyto regulátory mjí ředem námý tvr osný rovnicí nebo řenosem. Úkolem návrhu je výběr vhodného tyu regulátoru nstvení jeho rmetrů. Z odvoení vylynou řeočtové vthy, omocí kterých le rovést řiření hodnot rmetrů q, q, q diskrétního regulátoru k hodnotám rmetrů r, T I T D sojitého PID regulátoru. Většinou se využívá oue několik ůsobů řibližných diskrétních náhrd sojitých lgoritmů integrce derivce.[] Hodnoty integrálu I(kT) se nhrují jedním následujících lgoritmů : Stuňovitá náhrd lev Zětná obdélníková metod ZOBD I ( kt ) t k T e( τ ) dτ T e( it ), (.) i Stuňovitá náhrd rv Doředná obdélníková metod DOBT t k e( ) d T i I ( kt ) τ τ e( it ), (.) Sečná náhrd Lichoběžníková metod LICHO I ( kt ) t [( i ) T ]. k e( it ) e( τ ) dτ T (.) i Hodnoty derivce D(kT) se nhrují ětnou diferencí : [( k ) T ]. de( t) e( kt ) e D( kt ) (.5) dt T

Strn Pro mlou eriodu vorkování T le nlét diskrétní náhrdu sojitého regulátoru tk, že integrční složku nhrdíme sumou derivční složku ětnou diferencí.řádu. Při nejběžněji oužívné náhrdě integrálu ětnou obdélníkovou metodou náhrdou derivce ětnou diferencí, dostáváme ro olohový lgoritmus číslicového PSD regulátoru diferenční rovnici [] [] k T TD u( kt ) r e( kt ) e( it ) { e( kt ) e[ ( k ) T ]} u(). (.6) TI i T Při oužití ZOBD náhrdy integrční složky vydá Z řenos olohového lgoritmu PSD regulátoru tkto U ( ) T TD GR ( ) r. (.7) E( ) TI T Pro rktické oužití je vhodnější rcovt s regulátorem v řírůstkovém, tv. rekurentním tvru. Podle tohoto lgoritmu se neurčuje celá hodnot u(kt) kční veličiny v dném okmžiku, le oue její měn, čili řírůstek u ( kt ) u( kt ) u[ ( k ) T ]. Le tk vytvořit diferenční rovnici řírůstkového lgoritmu [] [] [( k ) T ] q e[ ( k ) ], u( kt ) qe( kt ) qe T (.) resektive ve tvru [( k ) T ] q e[ ( k ) T ] u[ ( k ) ]. u( kt ) qe( kt ) qe T (.9) Z řenos oslední uvedené rovnice vydá tkto U ( ) q q q G R ( ), (.) E( ) kde rmetry q, q, q ři oužití ZOBT jsou rovny T TD q r, TI T T D q r, T q TD r. (.) T. OBECNÝ LINEÁRNÍ REGULÁTOR Regulátor, jehož řenos je dán oměrem dvou obecných olynomů, se ončuje jko obecný lineární regulátor. G R U ( ) ( ) E( ) Q P ( ) q q... qq ( )... q (.)

Strn 9 Návrh tohoto regulátoru se měřuje n stnovení stuňů olynomů Q P. Jkmile jsou námy stuně, le nlét koeficienty v těchto olynomech. Cílem návrhu je nlét strukturu řenosu komenčního regulátoru. Při syntée regulčního obvodu docháí k určité otimlici struktury, s níž le dosáhnout určitého oždovného chrkteru funkce regulčního obvodu, jko nříkld minimální očet kroků regulce tv. čsově otimální říení. [] []

Strn ALGEBRA POLYNOMŮ Algebrická teorie diskrétního lineárního říení vnikl jko seciální obor teorie říení čátkem sedmdesátých let dvcátého století. V této době docháí k rudkému vývoji výočetní techniky, která číná ronikt do všech oblstí lidské činnosti. Tké ři říení složitých rocesů jsou stále čstěji využívány ve funkci regulátorů očítče. Pro modelování n očítči už není ostčující dosvdní teorie, která byl vytvořen ro soustvy sojitě říené jednoduchými regulátory. Vniká otřeb vybudování nové teorie, která by byl vhodná ro říení soustv omocí očítčů, tedy teorie, která by svou odsttou byl diskrétní. Touto teorií se stl teorie diskrétního lineárního říení, která se nývá lgebrická, rotože rcuje s lgebrickými ojmy (okruh, obor integrity, těleso) využívá hlvně lgebrickou interretci olynomů. Podle ní je olynom A -... n n cháán ne jko funkce roměnné, le jko lgebrický objekt, tj. rvek množiny jistých vlstností (odobor integrity), který se isuje jko konečná řd určená oslouností reálných čísel. Tím je možno jednotným ůsobem ost soustvy definovné nd libovolnými tělesy. []. ALGEBRAICKÉ METODY ŘÍZENÍ Tyto metody vycháejí vnějšího oisu říeného systému. Přenos lineárního říeného systému je vyjádřen jko odíl dvou olynomů v komlexní rovině nebo -, tedy jko rcionální lomená funkce G S m b b... bm. n (.)... B ( ) ( ) A( ) Stueň olynomu n, stueň olynomu b b m. [] Nekonečnými oslounostmi se roumí formální mocninné řdy, které se dělí n stbilní, kuální rekurentní. Pomocí těchto formálních řd je definován řenos soustvy. Rekurentní řdy chrkteriují lineární soustvy stbilní řdy chrkteriují stbilní soustvy. Kuální řdy vynčují fyikálně reliovtelné soustvy. Zákldní myšlenk lgebrické metody syntéy otimálního říení využívá toho, že s olynomy je možno rcovt smosttně lgebr rcionálních řenosů je řeveden n jednodušší lgebru olynomů. Cílem teorie je nlét efektivní lgoritmy, vhodné ro rcování n číslicovém očítči. Tento řístu má i nčné teoretické řednosti. Je elegntní s úsornou formou áisu všech řešení dné úlohy. Z vlstností olynomiální rovnice le sndno oukovt n existenci, jednončnost dlší důležité vlstnosti řešení dné úlohy. Tto metod je vhodná i ro řešení mnohroměrových soustv. Přenos tkové soustvy není jednotlivá řd, le mtice řd. Tkový řenos k cháeme jko součin olynomiální mtice řevrácené jiné olynomiální mtice s ohledem n ořdí. Teorie víceroměrových soustv je obecněním teorie říení jednoroměrových soustv, le místo s olynomy rcujeme s olynomiálními mticemi. [] n

Strn. VÝPOČETNÍ OPERACE S POLYNOMY V této kitole uvedu řehled nejdůležitějších lgoritmů ro oerce s olynomy olynomiálními mticemi, které se využívjí ři nlýe nebo syntée řídících obvodů. Při oisu lgoritmů se vždy vycháí olynomů s reálnými koeficienty, které se ři rktických výočtech vyskytují nejčstěji to i řesto, že většin lgoritmů ltí ro olynomy s koeficienty v libovolném tělese. Dělení olynomů Dělení dává možnost k dvěm dným olynomům, b R [ - ] určit olynomy g, h R [ - ] tk, že ltí bg h. Tyto olynomy jsou určeny jednončně odmínkou h < b. Jestliže < b, k g h. V očném řídě je třeb od olynomu odečítt tkové násobky olynomu b, které ostuně redukují jeho stueň. Jkmile < b, výočet je ukončen. Algoritmus výočtu se íše následovně :. Položíme g.. Je-li < b, konec.. Určíme číslo λ jko odíl koeficientů u nejvyšších mocnin - číslo d jko rodíl stuňů olynomů b.. Odečteme olynom b násobený λ d od olynomu. 5. Přičteme olynom λ d k olynomu g. 6. Postu okujeme od bodu. Po ukončení lgoritmu je olynom g n svém místě olynom h je uložen n místě olynomu. [] [] Největší solečný dělitel olynomů Toto je velmi důležitý lgoritmus, který umožňuje k dvěm dným olynomům, b R [ - ] nlét jejich největší solečný dělitel d (, b) olynomy, q r, s které slňují bq d r bs. Nejrve je otřeb určit, který olynomů b má větší stueň. Od tohoto olynomu se odečtou tkové násobky druhého olynomu, které ostuně jeho stueň redukují. Jkmile jeho stueň klesne od stueň olynomu redukujícího, mění se úloh obou olynomů. Redukce se rovádí tk dlouho, ž jeden olynomů bude nulový. Zbývjící olynom je k největším solečným dělitelem d.

Strn Definice usořádání olynomů, b,, q, r, s do mtic Záis lgoritmu : q Q L r s. b. Položíme, s, q, r.. Určíme nenulový olynom menšího stuně v mtici L. Jsou-li ob olynomy nulové, tk je konec.. Je-li olynom nižšího stuně v druhém (sodním) řádku mtice L, měníme řádky mtic Q i L.. Je.li olynom v druhém řádku mtice L nulový, tk je konec. 5. Určíme číslo λ jko odíl koeficientů u nejvyšších mocnin - číslo ρ jko rodíl stuňů olynomů v druhém v rvním řádku mtice L. 6. Odečteme rvní řádek násobený λ ρ od druhého řádku v mtici L i mtici Q. 7. Postu okujeme od bodu. Po ukončení lgoritmů je olynom d (, b) n místě olynomu v mtici L, n místě olynomu b je nul. Polynomy, q, r, s jsou n svém místě v mtici Q. [] [] Dlší oužívné výočetní metody jsou osány v []. Jsou to nříkld : Rovoj olynomiálního lomku Fktorice olynomu Reflexe olynomu Test stbility olynomu Kvdrtická norm stbilní řdy. DIOFANTICKÉ POLYNOMIÁLNÍ ROVNICE A JEJICH ŘEŠENÍ V řídě řešení úloh diskrétního říení, se ohybujeme v okruhu olynomů. Když je dán jednoroměrová úloh, je možnost syntéu diskrétního otimálního říení řevést n řešení lineární diofntické (neurčité) olynomiální rovnice ve tvru x by c, (.9) kde, b, c jsou dné olynomy x, y jsou olynomy nenámé. Je-li x, y řešením rovnice x by c d největší solečný dělitel olynomů b, k ltí (, b) d, d b db. (.)

Strn Dosením dostneme d( x b y ) c (.) Z této rovnice lyne, že rovnice x by c má řešení rávě když d (, b) c. Rovnice x by c je lineární rovnice, roto její obecné řešení je součtem rtikulárního řešení úlné rovnice obecného řešení krácené rovnice. Je-li x, y rtikulární řešení rovnice, k její řešení má tvr b x x (, b) t, y y, b, (.) kde t je libovolný olynom t R [ - ]. [] ( ) t ZPŮSOBY ŘEŠENÍ DIOFANTICKÝCH ROVNIC Řešení diofntické rovnice n ákldě největšího solečného dělitele dvou olynomů Je-li dán rovnice x by c, tk njdeme k olynomům, b jejich největšího solečného dělitele d omocné olynomy, q, r, s tkové, že ltí bq d r bs. (.) Pro rtikulární řešení x, y můžeme rovnici x by c sát ve tvru x by c. Vynásobíme-li tuto rovnici odílem d c dostneme d d x by d. (.) c c Dále ltí c c x y q (.5) d d Nejjednodušší řešení krácené rovnice x by, (.6) ro x b, y - bude b b, (.7) kde, b jsou nesoudělné olynomy. Jelikož olynomy r, s v rovnici r bs jsou tké nesoudělné olynomy, vylývá orovnání této rovnice rovnice b b, že r b b (, b) (, b ) s (.) N ákldě (.) můžeme sát obecné řešení rovnice x by c ve tvru c c x rt y q st (.9) d d

Strn 5 kde t R [ - ] je libovolný olynom. Řešením x, y budou olynomy jen tehdy, když d c bude olynom, tedy když d c. [] Řešení diofntické rovnice metodou neurčitých koeficientů U této metody se určuje jen rtikulární řešení rovnice x by c. Použitím této rovnice se řeší soustvy lineárních rovnic, které vniknou orovnáním koeficientů u mocnin - v řešené rovnici. Nejdříve se musí určit stuně hledných olynomů. Většinou volíme následující možnost: x b, ro b > c y c b, ro osttní řídy. (.) Soustv lineárních rovnic má nekonečně mnoho řešení když (, b) dělí c, má jediné řešení, když (, b) ( olynomy, b jsou nesoudělné). Při likci této metody nele určit obecné řešení rovnice x by c. Její rcnost je mnohem větší rychle vrůstá se stuněm dných olynomů. [] Seciální řešení x, y minimliující stueň olynomu y Při rktických oužitích je mei nekonečně mnoh řešeními rovnice x by c otřeb njít rtikulární řešení, které slňují dlší oždvky odle tyu úlohy. Jedním těchto oždvků je dosžení minimálního stuně olynomu y. Jestliže je x, y libovolné rtikulární řešení rovnice x by c, k obecné řešení je ve tvru b x x, b, y y (, b) t (.) ro libovolné t R [ - ]. ( ) t Při dělení olynomu y olynomem (, b), dostneme odle b q, odíl bytek q ve tvru y q. (.) (, b) Dosením této rovnice do (.) dostneme y q t q ( ) ( ) ( ) ( t ), b, b, b. (.) Při dosení t bude řešení rovnice b x x, y q. (.) (, b) Toto řešení je jednončné dává olynom y s minimálním možným stuněm. []

Strn 6. ZPĚTNOVAZEBNÍ OBVOD A JEHO STABILITA Obr. Jednoroměrový diskrétní regulční obvod N obr. je dán jednoroměrový diskrétní regulční obvod, kde G S je řenos soustvy v - b G S G R je řenos regulátoru v -, který obshuje áorné nménko ětné vby m G R. n Jde o systém se dvěm vstuy dvěm výstuy, ro který můžeme nst čtyři řenosové funkce mei vstuy výstuy. ( Y ) GS bn Gv y V ( ) G G n bm /, (.5) S ( ) GSGR bm ( ) G G n bm R Y Gw / y, (.6) W S ( ) GSGR bm ( ) G G n bm R U Gv / u, (.7) V S ( ) GR m ( ) G G n bm R U Gw / u. (.) W S Dále se ředokládá BIBO stbilit, která jišťuje omeený výstuní signál ři omeeném vstuním signálu. Aby byl řenos stbilní musí ltit odmínk R n bm (.9) Tto diofntická rovnice je odmínkou stbility regulčního obvodu. Jde o diofntickou rovnici, jejímž obecným řešením dostneme stbiliující regulátory. Uvádíme-li obecné řešení diofntické rovnice ve tvru n n bt, m m t, (.)

Strn 7 kde t je libovolný rmetr t R [ - ] n, m její rtikulární řešení, k řenosy všech stbiliujících regulátorů isujeme v rmetrickém tvru G m t R n bt, n bt. (.) Výhodou tohoto řístuu je, že njdeme všechny stbiliující regulátory když otřebujeme regulátory, které mjí slňovt dlší oždvky, hledáme vhodné t tk, by tyto dlší odmínky byly slněny.[]

Strn 9 METODY NÁVRHŮ REGULÁTORŮ Pro říení se obvykle oužívá ětnovebního obvodu, ve kterém není řídící oslounost generován ředem, le je odvoován omocí regulátoru odchylky. Tk se říení dovídá o neředokládných měnách v obvodu může je resektovt. Nejdůležitější odmínkou, která je klden n ětnovební obvod je jeho stbilit. Jen ve stbilním obvodu mohou být rušivé vlivy tlumeny. Podmínky stbility ředstvují odsttný rodíl mei římovebním ětnovebním říením.stbilice ětnovebního obvodu snižuje kvlitu říení teoreticky dosžitelnou římovebním říením. Cílem otimálního ětnovebního říení je ůsobit n soustvu tk, by odchylk říení byl co nejleší. Při syntée tohoto říení se nejrve určí všechny regulátory, které s dnou soustvou dávjí stbilní ětnovební obvod mei nimi se otom njde ten, který minimliuje kritérium otimlity. U této syntéy nele obejít odmínky stbility, které ředstvují rodíl mei římovebním ětnovebním říením. Z níže uvedených metod návrhů regulátorů se budu odrobně věnovt rvním dvěm uvedeným, odle kterých jsem ostuovl ři návrhu otimálních regulátorů.. STABILNÍ ČASOVĚ OPTIMÁLNÍ ŘÍZENÍ Cílem je určit řenos regulátoru G R, který obvod stbiliuje řitom vytváří tkovou stbilní řídící oslounost, že odchylk e je konečná oslounost nejkrtšího trvání o ulynutí minimální doby k min. Nechť je dán řenos regulovná soustvy ve tvru lomku b G S, kde, b R [ - ] (, b) (.) žádná oslounost ve tvru q w, kde, q R [ - ] (, q). (.) Zvedeme, b, b, (.) Polynomy, jsou nesoudělné. ( ), ( ) Všechny otimální regulátory mjí řenos m G R, n kde m, n je libovolné řešení odmínkové rovnice stbility. Pro regulční odchylku ltí e w y w G w (.) w / y

Strn Z řenosů (.6) (.), ři slnění n bm ltí G w / y bm (.5) G w / u m (.6) G w / e n (.7) Po dosení můžeme sát q q e w bmw bm. (.) Jestliže má být odchylk od určitého čsu trvle nulová, musí být e olynom v R [ - ], k ltí e q bmq. (.9) Jsou-li odle ředokldů, e, q olynomy, k je olynomem i výr bm, který si ončíme jko tím nenámý olynom x. bmq x. (.) Pro stbilní m íšeme x m b q, (.) kde x je olynom, který je nutno určit. Dále dostáváme xq e q b b q. (.) Pro regulční odchylku e ltí řenosu G w/e výr e G w/e w. (.) Pomocí ředešlých rovnic dostáváme q e nw n. (.) Podle ředokldů jsou q,, q olynomy. Jestli má být e olynomem, musí být n n, k e n q (.5) Výr n q musí být olynomem, který můžeme ončit jko y. Pro n íšeme y n. (.6) q Dosením dostneme y e q. (.7) q Porovnáním obou vyjádření velikostí regulční odchylky e, tedy (.) (.7) dostneme diofntickou rovnici ro nenámé olynomy x, y ve tvru y xq q q b. (.) q b q

Strn Když vykrátíme stbilní fktory olynomů b, q, dostneme q b q x q y, (.9) tkže výsledná diofntická rovnice, která jišťuje konečný očet kroků regulce ři chování stbility, bude mít tvr b x y q. (.) Řešením této rovnice dostneme olynomy x, y tím rvky m, n řenosu regulátoru. Pro regulční odchylku ltí e q y. (.) kde jsou olynomy q evně dány. Počet kroků regulce je dán stuněm olynomu e výšením o. Minimální stueň olynomu e ískáme řešením diofntické rovnice metodou dávjící minimální stueň olynomu y. Dob, o kterou je odchylk nenulová, je rovn očtu koeficientů v olynomu odchylky e. Konečný očet kroků regulce vyočítáme jko kde e je stueň olynomu e. k, (.) min e Pro řídící oslounost ltí u q Gw / uw mw m. (.) Tto oslounost bude stbilní, když olynom bude stbilní, to nmená, když -.[] []. KONEČNÉ ČASOVĚ OPTIMÁLNÍ ŘÍZENÍ Cílem je určit řenos regulátoru, který obvod stbiliuje ároveň dosáhne omocí konečné řídící oslounosti odchylky nejkrtšího trvání. Přenos soustvy je dán ve tvru lomku b G S,, b R [ - ] (, b) (.) žádná oslounost ve tvru q w,, q R [ - ] (, q). (.5) Zvedeme, b, b, (.6) Polynomy, jsou nesoudělné. ( ), ( )

Strn Hledný řenos regulátoru je dán výrem m G R, (.7) n kde m, n je libovolné řešení odmínkové rovnice stbility n bm. Pro stbilní m, n ltí vthy m q x, q kde x, y R [ - ] je řešení diofntické rovnice y n, (.) bx y q (.9) Pro regulční odchylku ltí e w y w G w (.) Z řenosu (.6), ři slnění n bm ltí w / y Po dosení íšeme G w / y bm (.) q q e w bmw bm. (.) Protože odchylk má být trvle nulová o ulynutí konečné doby, musí být e olynom v R [ - ] můžeme sát e q bmq. Výr bmq musí být olynom roto nejobecnější tvr ro m je v m, b q kde v je nějký olynom. Dosením dostáváme vq e q b. (.) b q Pro regulční odchylku e ltí řenosu G w/e vyjádření e G w/e w. (.) Pomocí ředešlých rovnic dostáváme q e nw n. (.5)

Strn Má-li být e olynomem, musí být n n, k e n q (.6) Výr n q musí být olynomem, který můžeme ončit jko y. Nejobecnější volb ro n je y n. (.7) q Pro vniklou regulční odchylku ltí e q y. (.) Konečný očet kroků regulce vyočítáme jko k min ro e e, ro e. (.9) kde e je stueň olynomu e. Z řenosu (.), ři slnění n bm ve ětnovebním obvodu ltí Řídící oslounost má obecně tvr b, q Protože ( ) u G w / u m. q v q Gw / uw m (.) b, bude řídící oslounost konečná když olynom v má tvr v b x (.) ro nějký tím ještě neurčený olynom x R [ - ] řitom olynom R [ - ], neboli. [] je jednotk v. ČASOVĚ OPTIMÁLNÍ ŘÍZENÍ S OMEZENOU VELIKOSTÍ Cílem je určit řenos regulátoru, který obvod stbiliuje řitom konečné oslounosti odchylky s co nejkrtším trváním dosáhne omocí řídící oslounosti s omeenou lineární normou. Tím se vyloučí neříustně velké řídící áshy.[]

Strn. KVADRATICKY OPTIMÁLNÍ ŘÍZENÍ Zde je cílem určit řenos regulátoru, který obvod stbiliuje řitom vytváří tkovou stbilní řídící oslounost, že kvdrtická norm odchylky nbývá svého minim.[].5 KVADRATICKY OPTIMÁLNÍ ŘÍZENÍ S ČASOVÝM OMEZENÍM Toto říení umožňuje minimliovt kvdrtickou normu konečné oslounosti odchylky cenu rodloužení řídícího ochodu roti čsově otimálnímu. Cílem je vhodně kombinovt čsově kvdrticky otimální říení.[]

Strn 5 5 NÁVRH REGULÁTORŮ ALGEBRAICKÝMI METODAMI ŘÍZENÍ V této části nvrhnu regulátory s otimálním řenosem, oužitím lgebrických metod: - Stbilní čsově otimální říení. - Konečné čsově otimální říení. První říkld vorově rcuji včetně ostuu jednotlivých kroků výočtů řídící oslounosti, regulční odchylky očtu kroků které bude odchylk nulová. 5. VZOROVÝ PŘÍKLAD NÁVRHU REGULÁTORU Stbilní čsově otimální říení (metod ) Nlenu tkový řenos regulátoru Gr, který stbiliuje obvod ároveň vytváří tkovou stbilní řídící oslounost, že odchylk e je konečná oslounost nejkrtšího trvání K min. Zvolená regulovná soustv má řenos ( ) ( )( ) ( )( ),5,5 b G S žádnou oslounost q w Je dáno ( ) b,, ( ) b,, Vyočítám ( ), ( )

Strn 6 ( ), d ( )( ) ( ) ( ) ( ) Jestliže chci by byl obvod čsově otimální, musím určit rtikulární řešení diofntické rovnice s minimálním stuněm olynomu y. Určím olynomy - - q b,5 - - -- - - q _ b _ - - q b,5 - Řešení rovnice: q y x b, což je výsledná diofntická rovnice, která jišťuje konečný očet kroků regulce ři chování stbility. ( ) ( )( ) y x ( ) ( ) y x c by x - - b - - c 5 5 5 5 6 5

Strn 7 6 5 d, d c 5 5 d c x d c q y ( ) ( ),5 5,5 5 q b x m q y n Otimální regulátor je dán řenosem n m G R ( ) 5,5 5 G R Tento regulátor generuje řídící oslounost odle q m u ve tvru ( ),5 5,5 5 u Regulční odchylk je y q e ( ) 6 e

Strn Počet kroků které bude odchylk nulová je k min e. Konečné čsově otimální říení (metod ) Nlenu tkový řenos regulátoru Gr, který stbiliuje obvod konečné oslounosti odchylky e nejkrtšího trvání K min. dosáhne omocí konečné řídící oslounosti. Zvolená regulovná soustv má stejný řenos G S b,5 ( ) (,5 )( ) ( )( ) žádnou oslounost w q Je dáno, (, b), (, b ) Vyočítám ( ), d ( )( ) ( ) ( ) ( ) Jestliže chci by byl obvod čsově otimální, musím určit rtikulární řešení diofntické rovnice s minimálním stuněm olynomu y. Určím olynomy - - q b,5 - - -- - - q _ b _ - - q b,5 - Řešení rovnice: bx y q, (,5 ) x ( )( ) y (,5 ) x ( ) y -,5 - - b - - c x by c

Strn 9,5,5,5,5,5,5,5 ( ) 9 6,5 9 6,5,5,5 9 6 d, d c 6 6 d c x 9 9 d c q y 6 6 q x m 9 9 q y n Otimální regulátor je dán řenosem

Strn n m G R 9 6 9 6 G R Tento regulátor generuje řídící oslounost odle q m u ve tvru ( ) 6 6 6 u Regulční odchylk je y q e ( ) 9 9 e Počet kroků které bude odchylk nulová je k min e. V rogrmu Mtlb v rostředí Simulink jsem sestvil diskrétní regulční obvod, obr. složený e vstuu, který je dán žádnou oslouností, vyočtených regulátorů, volenou regulovnou soustvou výstuem.

Strn Obr. Blokové schém regulčního obvodu v rostředí Simulink Kvlitu regulce jsem následně vyhodnotil omocí grfu. y(k) Metod Metod 6 Prikld - 5 6 7 9 t Obr. Grf říkld 5. DALŠÍ PŘÍKLADY Stejným ůsobem jko u vorového říkldu jsem ostuovl u dlších růných říkldů. Zvolil jsem si regulovnou soustvu s růným řenosem omocí výočtů jsem dostl řenos otimálního regulátoru, řídící oslounost, kterou tkový regulátor generuje, regulční odchylku očet kroků které bude odchylk nulová. PŘÍKLAD Zvolená regulovná soustv má řenos G S b ( ) ( ) ( )( ) žádnou oslounost w q

Strn Metod Řešení rovnice: q y x b, Otimální regulátor má řenos 5 5 G R Tento regulátor vytvoří řídící oslounost 5 q m u Regulční odchylk je 6 y q e Počet kroků které bude odchylk nulová je k min e. Metod Řešení rovnice: q y bx, Otimální regulátor má řenos 5 5 G R Tento regulátor vytvoří řídící oslounost 5 q m u Regulční odchylk je 6 y q e Počet kroků které bude odchylk nulová je k min e. Jelikož ve volené regulovné soustvě má olynom b stejnou hodnotu i u nestbilního olynomu b -, k má ři řešení obou metod otimální regulátor stejný řenos, řídící

Strn oslounost i regulční odchylku. y(k) 7 6 5 Metod Metod - Prikld - 5 6 7 9 t Obr.5 Grf říkld PŘÍKLAD Zvolená regulovná soustv má řenos G S b ( ) ( ) ( )( ) žádnou oslounost w q Metod Řešení rovnice: b x y q, Otimální regulátor má řenos G R Tento regulátor vytvoří řídící oslounost

Strn q u m Regulční odchylk je e q y Počet kroků které bude odchylk nulová je k min e. Metod Řešení rovnice: bx y q, Otimální regulátor má řenos 7 G R 7 5 5 Tento regulátor vytvoří řídící oslounost q u m 7 Regulční odchylk je 7 e q y Počet kroků které bude odchylk nulová je k min e

Strn 5 y(k).5.5 Metod Metod.5.5 PŘÍKLAD Prikld 5 6 7 9 t Zvolená regulovná soustv má řenos G S Obr.6 Grf říkld b,5 ( ) (,5 )( ) 5 ( )( ) žádnou oslounost w q Metod Řešení rovnice: b x y q, Otimální regulátor má řenos G R,5 Tento regulátor vytvoří řídící oslounost q u m 6 6,5

Strn 6 Regulční odchylk je e q y Počet kroků které bude odchylk nulová je k min e. Metod Řešení rovnice: bx y q, Otimální regulátor má řenos G R 6 7 9 7 6 9 Tento regulátor vytvoří řídící oslounost q u m 6 7 6 Regulční odchylk je 9 6 e q y 7 Počet kroků které bude odchylk nulová je k min e y(k) 6 Metod Metod - - -6 - - Prikld - 5 6 7 9 t

Strn 7. Obr.7 Grf říkld PŘÍKLAD 5 Zvolená regulovná soustv má řenos G S b,5 ( ) (,5 )( ) 5 ( )( ) žádnou oslounost w q Metod Řešení rovnice: b x y q, Otimální regulátor má řenos G R 6,5 Tento regulátor vytvoří řídící oslounost q u m 56,5 Regulční odchylk je e q y Počet kroků které bude odchylk nulová je k min e. Metod Řešení rovnice: bx y q, Otimální regulátor má řenos G R 5 Tento regulátor vytvoří řídící oslounost q 9 6 6 u m 7 Regulční odchylk je 66 e q y 9 Počet kroků které bude odchylk nulová je k min e

Strn y(k) Metod Metod - - - PŘÍKLAD 6 Prikld 5-5 6 7 9 Obr. Grf říkld 5 Zvolená regulovná soustv má řenos G S b ( ) ( ) ( ) žádnou oslounost w q t Metod Řešení rovnice: b x y q, Otimální regulátor má řenos G R Tento regulátor vytvoří řídící oslounost q u m Regulční odchylk je

Strn 9 e q y Počet kroků které bude odchylk nulová je k min e. Metod Řešení rovnice: bx y q, Otimální regulátor má řenos G R Tento regulátor vytvoří řídící oslounost q u m Regulční odchylk je e q y Počet kroků které bude odchylk nulová je k min e y(k)..6. Metod Metod...6.. Prikld 6 5 6 7 9 t Obr.9 Grf říkld 6

Strn 5 PŘÍKLAD 7 Zvolená regulovná soustv má řenos G S b,5 ( ) (,5 )( ) ( ) žádnou oslounost w q Metod Řešení rovnice: b x y q, Otimální regulátor má řenos G R,5 Tento regulátor vytvoří řídící oslounost q u m,5 Regulční odchylk je e q y Počet kroků které bude odchylk nulová je k min e. Metod Řešení rovnice: bx y q, Otimální regulátor má řenos G R Tento regulátor vytvoří řídící oslounost q u m Regulční odchylk je e q y

Strn 5 Počet kroků které bude odchylk nulová je k min e y(k) Metod Metod - Prikld 7-5 6 7 9 Obr. Grf říkld 7 Pro vyočítné říkldy jsem volil hodnocení grfů ískných sestvením regulčních obvodů v rogrmu Mtlb v toolboxu SIMULINK. N všech grfech vidíme, že díky lgebrickým metodám le určit otimální řenos regulátoru, který obvod stbiliuje. Změnmi řenosů regulovných soustv se mění oue mximální mlitud regulovné veličiny očet kroků které bude odchylk nulová, dosžená v konečném čse. Porovnáním obou oužitých metod je grfu trné, že metod (stbilní čsově otimální říení) má ři stejném řenosu regulovné soustvy menší mximální mlitudu regulovné veličiny. Metod (konečné čsově otimální říení) otřebuje k tomu by regulční odchylk byl nulová o jeden krok nvíc. Pro hledání otimálního řenosu regulátoru je tké sndnější metod, jelikož ři řešení výsledné diofntické rovnice, která jišťuje konečný očet kroků ři chování stbility, očítáme s nestbilním olynomem b -, což neobnáší většinou tk dlouhvé výočty. t

Strn 5

Strn 5 6 ZÁVĚR V úvodu bklářské ráce se věnuji vývoji teorie říení vniku nové teorie diskrétně říených soustv. Je de uvedeno i několik výnmných likcí v lgebrické teorii říení, i když tto teorie je ještě oměrně mldá. Témtem ráce je návrh diskrétního regulčního obvodu, n který se měřím ve druhé části, dále je vysvětlen odstt činnosti diskrétních regulátorů, regulátory s evně dnou strukturou ois obecného lineárního regulátoru. Třetí kitol je měřen n lgebru olynomů. Cílem této teorie je nlét efektivní lgoritmy, které jsou vhodné ro rcování n číslicovém očítči. Dále je v této kitole uveden řehled nejdůležitějších lgoritmů ro oerce s olynomy, osány diofntické olynomiální rovnice ůsoby jejich řešení. Do následující kitoly jsem řdil řehled nejoužívnějších metod ro návrh regulátorů. Z těchto metod jsem se měřil n dvě, které jsem likovl ři vlstním návrhu otimálních regulátorů. Závěrečná kitol číná odrobným rcováním vorového říkldu, včetně ostuu jednotlivých kroků všech výočtů. Kvlitu regulce jsem následně vyhodnotil omocí grfu v rogrmu Mtlb. Abych mohl lée vyhodnotit orovnt dnými lgebrickými metodmi návrh otimálních regulátorů, uvádím de sedm říkldů s růně volenými regulovnými soustvmi. Je velmi důležité, že všechny úlohy lineárního říení le řevést n diofntickou rovnici stejného tyu, jen koeficienty rovnice ávisí n ove úlohy.

Strn 5

Strn 55 SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY [] BALÁTĚ, J. Automtické říení. Prh : Nkldtelství BEN-technická litertur,. ISBN -7--. [] KUČERA, V. Algebrická teorie diskrétního lineárního říení. Prh : Acdemi Prh, 97. [] ŠULC, B.; VÍTEČKOVÁ, M. Teorie rxe návrhu regulčních obvodů. Prh : Vydvtelství ČVUT,. [] PROKOP,R.; PROKOPOVÁ,Z. Teorie utomtického říení II. ro bklářské studium. Zlín : Vysoké učení technické v Brně,. [5] KUČERA, V. Využití olynomiálních metod v říení technologických rocesů. Prh : Seminární kurs ÚTLA ČSAV Prh, 9. [6] ŠLAPAL, J.; KARÁSEK, J. Polynomy obecněné olynomy v teorii říení. Akdemické nkldtelství CERM, 7. [7] HAVLENA, V.; ŠTECHA, J. Moderní teorie říení. Prh : ČVUT Prh,. ISBN --95-9.