U N I V E R Z I T A P A L A C K É H O V O L O M O U C I PEDAGOGICKÁ FAKULTA, KATEDRA MATEMATIKY N E K O N E Č N É Č Í S E L N É ŘADY V P Ř Í K L A D E C H Diplomová práce Autor: Lucie DVOŘÁKOVÁ Vedoucí práce: Doc RNDr Jitk LAITOCHOVÁ, CSc OLOMOUC 00
PROHLÁŠENÍ Prohlšuji, ţe jsem svou diplomovou práci vyprcovl smosttě, výhrdě s pouţitím citových zdrojů uvedeých v příloze Souhlsím s šířeím své práce v souldu s 60 Předpisu č /000 Sb, ze de 0000, o právu utorském, o právech souvisejících s právem utorským o změě ěkterých zákoů (utorský záko) V Olomouci de
PODĚKOVÁNÍ Rád bych poděkovl vedoucí své diplomové práce, docetce Jitce Litochové, bez jejíţ pomoci, rd, odborých připomíek odborého dohledu by tto práce emohl vzikout Děkuji tké studetům, kteří se ktivě podíleli testováí příkldů pro diplomovou práci v rámci předmětu MAZB
OBSAH ÚVOD HISTORICKÉ OKÉNKO 7 ANTICKÉ PARADOXY 8 OBRAZY V PÍSKU 0 BYSTRÝ ŢÁK JAK EULER VYŘEŠIL JEDNU MATEMATICKOU ZÁHADU POSLOUPNOSTI LIMITA POSLOUPNOSTI 6 VLASTNOSTI 7 ARITMETICKÁ POSLOUPNOST 9 GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST PŘÍKLADY NEKONEČNÉ ČÍSELNÉ ŘADY SOUČET ŘADY OPERACE S ČÍSELNÝMI ŘADAMI 9 PŘÍKLADY ČÍSELNÉ ŘADY S NEZÁPORNÝMI ČLENY KRITÉRIA KONVERGENCE PŘÍKLADY 6 ŘADY ABSOLUTNĚ A NEABSOLUTNĚ KONVERGENTNÍ 69 ALTERNUJÍCÍ ŘADY 69 ABSOLUTNÍ KONVERGENCE ČÍSELNÝCH ŘAD 70 PŘEROVNÁNÍ ŘAD 7 PŘÍKLADY 76 6 NEŘEŠENÉ PŘÍKLADY 8 6 PŘÍKLADY PRO ŢÁKY ZŠ 8 6 PŘÍKLADY PRO ŢÁKY SŠ 8 6 NEŘEŠENÉ PŘÍKLADY 88 ZÁVĚR 9 LITERATURA 9 PŘÍLOHY 97
ÚVOD Nápd vytvořit sbírku řešeých příkldů jsem dostl při listováí sbírkou ruského utor Berm, jeţ byl psá zbukou Příkldy ze sbírky jsme měli vyprcovt jko semiárí práci Zjistil jsem, ţe moho mých spoluţáků si edokázlo pordit s cizojzyčým zdáím příkldů Bylo potřeb příkldy přeloţit To byl prví podět pro vytvořeí mé práce Pouhé přepsáí zdáí ze sbírek psých zbukou mi epřipdlo příliš příosé pro diplomovou práci dosttečě obsáhlé, rozhodl jsem se proto doplit příkldy o postupy řešeí Práci jsem sepsl, by slouţil studetům kteder mtemtiky pedgogických fkult k doplěí učiv o ekoečých číselých řdách Jsou zde obsţey eje příkldy zdáí přeloţeé z ruštiy, le hlvě jsou zde uvede moţá řešeí těchto příkldů s kometovým postupem kroků Kometář slouţí studetům k lepší orietci v postupu, by jej dokázli ásledě smi pouţívt Tyto postupy jsou pouze jedou z moţých ltertiv výpočtu Neutím čteáře pouţívt výhrdě předloţeé postupy ebráím jim zvolit vlstí postup Práce zčíá oddílem zvým Historické okéko Úsek se ezbývá podrobým vývojem ekoečých řd, sţí se upozorit zjímvosti, které s témtem ekoečých řd souvisí Zřzeím této kpitoly do své práce se sţím odlehčit tém poukázt skutečost, ţe mtemtik eí je o počítáí Následující kpitoly obshují teoretické poučky, věty defiice k témtu Součástí teoretických úseků jsou řešeé příkldy, které se vzthují k uvedeým poučkám Příkldy mjí čteáři ázorě ukázt plikci uvedeých tvrzeí Závěrečá podkpitol vţdy shruje poztky z celé kpitoly řešeými příkldy, obshuje 0 řešeých kometových úloh Kpitoly se týkjí součtu ekoečých řd, kritérií kovergece ekoečých kldých i lterujících řd Teoretická část kpitol evyčerpává tém úplě, jsou vyslovey je ty defiice věty, s imiţ jsme prcovli v semiářích Mtemtické lýzy --
Součástí práce je oddíl o posloupostech Jk je řečeo v úvodu této kpitoly, ekoečé řdy vzují tém poslouposti Jelikoţ hlvím ámětem této práce jsou ekoečé číselé řdy, je celá oblst posloupostí shrut do jedé kpitoly Před smotým závěrem shruji problemtiku opercí s ekoečými číselými řdmi pomocí eřešeých příkldů Tyto úlohy poskytují prostor čteářům k smosttosti kostruktivosti při hledáí lgoritmu výpočtu Aby měl čteář moţost ověřit si správost svých postupů, uvádím u zdáí tké správý výsledek Nedílou součástí mtemtiky, eje té školí, je řešeí příkldů I kdyţ to tk evypdá, učit se řešit příkldy je moţé eustálým opkováím postupů výpočtu dlších dlších příkldech Pro plikci tkové strtegie je ezbyté mít k dispozici dosttečé moţství příkldů k procvičováí -6-
HISTORICKÉ OKÉNKO Prví zmíky o ekoečých řdách zshují mohem dále do miulosti, eţ bychom si mysleli Jiţ tičtí filozofové se zbývli problemtikou ekoeč Zéó z Eleje, ţijící v století přl, vytvořil hed ěkolik prdoů zbývjících se součtem ekoečé číselé řdy O dvě století později Archimédes pouţil součet ekoečé geometrické řdy Prví ekoečou egeometrickou řdu všk dokázl sečíst ţ ve středověku, kolem roku 0, Richrd Swieshed Teorie ekoečých číselých řd je zám od druhé poloviy 7 století Vzikl součsě s teorií ifiitezimálího počtu Přesou defiici tohoto pojmu bízí Ottův slovík učý: Ifiitesimálí počet zývá se difereciálí itegrálí počet dohromdy Předmětem ifiitesimálího počtu je počítáí mezích hodot, kterým se blíţí fukce proměých veliči, jestliţe tyto klesjí ebo rostou do jistých mezí, zejmé blíţí-li se ule ebo rostou-li přes všechy meze (, s 6) Ottův slovík dále uvádí poztky plté pro ifiitezimálí počet Pro zjímvost zde přikládám i ty: Roste-li ějká proměá veliči tk, ţe emůţe přestoupit jistou koečou hodotu k, blíţí se její hodot jisté mezi, jeţ je meší, ejvýš rov veličiě k Dvě veličiy ekoečě ubývjící (tj blíţící se stále ule) ebo ekoečě rostoucí (tj přeshující kţdou veličiu určitým číslem vyjádřitelou) zývjí se ekoečě mlými (velkými) veličimi téhoţ stupě, je-li mezí hodot jejich poměru číslo koečé Nekoečě mlé (velké) veličiy stupě zýváme tkové, jejichţ poměr k ţádým jiým ekoečě mlým (velkým) veličiám eí ekoečě mlým (velkým) Nekoečě mlými (velkými) veličimi stupě,, zýváme veličiy, jejichţ poměr ke,, mociě ekoečě mlých (velkých) veliči stupě je koečý Výrz sloţeý sčítáím z ěkolik čleů ekoečě mlých je ekoečou veličiou toho stupě jko čle stupě ejiţšího mizejí proti tomuto čleu všechy osttí Obdobě pro veličiy ekoečě velké Poměr dvou proměých (koečých) se eměí, hrdíme-li obě jiými, jeţ se od původích liší o ekoečě mlé veličiy -7-
Součet ekoečého počtu ekoečě mlých veliči můţe mít koečou mez, jeţ se eměí, hrdíme-li kţdý čle tohoto součtu jiým, od ěho se o ekoečě mlou veličiu vyššího stupě lišícím () ANTICKÉ PARADOXY Čláek, který zde uvádím, jsem převzl z webových stráek Atik Zéóův prdo zbývjící se rychloohým Achillem ţelvou pk ze stráek FYZMATIK FYZikálě- MATemtický blog Aporie doplňuji iformcemi z kihy Š Zám (0) Zéó se rodil kolem roku 90 př l v Eleji, jihu deší Itálie Je zám především jko filozof, který dováděl věci d bsurdum O jeho ţivotě se toho ví málo Téměř vše, co je zámo, vychází z pozámek Pltó, Aristotel, ebo jiých filozofů Učil se u filozof Prmeid, který hlásl, ţe veškerá zdálivě eistující mohost věcí je ve skutečosti jediá epomíjející relit, tkzvé bytí Prmeidov uk, popírjící jkoukoli změu, vyhlíţí velmi zritelě o útoky i skutečě ebylo ouze Roli obráce uky svého učitele si vzl jko ţivotí úkol Zéó Přitom vyviul tk důvtipé rfiové uměí důkzu, ţe se v podsttě stl zkldtelem dilektiky, která později v Řecku zţil evídý rozkvět Svůj hlví úkol sptřovl v obhjobě Prmeidovy uky o edělitelosti bytí emoţosti pohybu Sţil se dokázt, ţe přijetí opku vede k eřešitelým rozporům Pomocí dilektiky dokázl rozebrt rozostřit rgumety protivíků, tkţe se jevily pochybé rozporuplé () Prví Zéóův prdo je zám pod ázvem Závod Achille se želvou Prdo Achill ţelvy spočívá v ásledujících úvhách Achilles má závodit s ţelvou v běhu 00 m Protoţe je Achilles desetkrát rychlejší eţ ţelv, doste ţelv desetimetrový áskok Závod je odstrtová Achilles zčíá ţelvu doháět Achilles uběhe 0 m doste se do míst, z ěhoţ strtovl ţelv V teto okmţik urzil ţelv jiţ jede metr, tkţe má před Achillem áskok jedoho metru Achilles uběhe tuto vzdáleost, le ţelv je stále před, yí o m Ve chvíli, kdy Achilles dosáhe i tohoto bodu, je ţelv o 0 00 před ím A tk dále ţ do ekoeč Náskok ţelvy se sice stále zmešuje, le ţelv m -8-
pořád vede, tedy Achilles emůţe teto závod vyhrát Zéóův prdo byl vyřeše ásledově Náskok ţelvy před Achillem tvoří klesjící posloupost: 0,,,, 0 00 Řešeí tohoto prdou souvisí s ekoečým součtem: S = 0 + + + + 0 00 Neí třeb se domívt, ţe Zéó byl váţě přesvědče o tom, ţe by Achilles ikdy edohoil ţelvu Chtěl protivíkům Prmeid ukázt, jk sdé je v jejich ázorech jít slbiy protimluvy () Jejich protivíci s úvhou edokázli pohout, eboť ve své době se domívli, ţe ekoečý součet je vţdy rove ekoeču, des jiţ víme, ţe i součet ekoečého počtu sčítců můţe být číslo koečé Dlší prdo pojedává o pohybu, zývá se dichotomie půleí Pokud se chci dostt z míst A do míst B, tk ejdřív musím dojít k místu C, které je přesě v poloviě vzdáleosti míst A B Ovšem do míst C se mohu dostt, je kdyţ zdolám vzdáleost z A do D, přičemţ D je opět v poloviě vzdáleosti AC td Zmeá to tedy, eje ţe ikdy míst B emohu dosáhout, le při ekoečém děleí vzdáleosti i ikdy evyrzím z míst A Aporie Letící šíp je tké zámá N letící šíp se díváme tk, ţe mrkáme V kţdém okmţiku vidíme šíp stát jediém místě To zmeá, ţe pohyb se skládá z moţství ehybých okmţiků To eí moţé, proto pohyb eeistuje je je zdáím (0, s 6) Pro vyřešeí tohoto problému bylo uté defiovt pojmy pohyb klid Pokud je v růzých čsových okmţicích těleso stále stejém místě, říkáme, ţe je v klidu, jik je v pohybu Zéó zemřel roku 0 př l Podle legedy se politicky gţovl pláovl svrţeí tmějšího tyr Nerch Neţ stihli spikleci provést svůj plá, byl Zéó obviě ze zrdy, uvězě umuče Eistuje ěkolik verzí toho, jk byl vyslýchá Podle jedé ezrdil ikoho z přátel z své komplice ozčil tyrovy přívrţece Jiá prví, ţe si ukousl jzyk plivl jej po Nerchovi, podle dlší verze se tyr dokoce vrhl ukousl mu os () -9-
OBRAZY V PÍSKU Následující příběh uveřejil studet ČVUT, O Ploc Jeho práci jsem lezl webových strákách ktedry fyziky () Z ejprvděpodobější rok rozeí Archiméd ze Syrkús je povţová rok 87 př l Rok jeho ásilé smrti je historicky doloţe Z druhé puské války, kdy Syrákúsy stály strě Krtág proti Římu, římský vojevůdce Mrcellus v roce př l Syrákúsy oblehl V roce př l se Římům podřilo Syrákúsy dobýt, při ásledém pleěí se k Archimédovi přihl římský voják Archimédes, zbrá do studi ějkého geometrického obrzce, rýsového jím do písku, se ěj obořil zámým výrokem: Noli tgere circulos meos! - Neruš mé kruhy! Ale to vojákovi ezbráilo tického mtemtik zbít Byl syem stroom mtemtik Phidi Celý ţivot ţ studi v Euklidově škole v Aledrii proţil v Syrkusách, řecké ámoří koloii Sicílii Brzy se stl skutečým mistrem ve zlostech tehdejší mtemtiky zčl se zbývt ovými problémy, při jejichţ řešeí prý zpomíl i jíst Neměl moţost pouţívt tbuli či ppír, tk k ákresům svých geometrických obrzců uţívl všecho moţé, od písku prchu zemi, přes popel z ohě ţ po mlováí áčrtků v olivovém oleji, který zůstl po koupeli jeho těle To vysvětluje mlé moţství jeho myšleek, které zůstly zchováy Vše, co se dochovlo, jsou jeho dopisy, tzv poselství Ertostheovi, Kooovi Dosifeovi Zkostruovl řdu mechických obrých prostředků, které udivovly svou úderou silou moţostmi celý tehdejší svět, jeţ byl právě dějištěm puských válek Římů s Krtágem, pro Archiméd všk velký výzm eměly Nebyl ě tolik hrdý, by mu stálo zto zmíit se o ich ve svých poselstvech velkým mtemtikům, proto jk vypdl kostrukce těchto strojů se můţeme je domívt Podle údjů, které jsou k dispozici, se usuzuje, ţe svá díl psl ţ po dosţeí 0 roku věku Dle obshu jedotlivých prcí rozdělujeme jeho čiost do čtyř období Prví období - iţeýrské čiosti - zvádí pojem těţiště určuje jeho polohu pro ejjedodušší rovié obrzce těles Druhé období se zývá Určováí obshů roviých geometrických obrzců objemů geometrických těles Ve třetím období řeší úlohy mtemtické fyziky Ve čtvrtém období se zbývá ritmeticko-stroomickými prcemi -0-
Součet ekoečé geometrické řdy souvisí s prvím obdobím, přesěji s řešeím kvdrtury prboly V poselství Ertostheovi o mechických větách Archimédes poprvé uvádí svůj poztek o velikosti obshu úseče prboly, který objevil pomocí mechiky, to, ţe kţdá úseč prboly vytváří čtyři třetiy trojúhelíku s touţ zákldou stejou výškou viz [Obrázek ] () Archimédes píše: Nechť ADBEC je úseč sevřeá mezi přímkou prbolou, ABC je trojúhelík mjící s úsečí společou zákldu stejou výšku Nechť ploch K tvoří čtyři třetiy trojúhelíku ABC Je třeb dokázt, ţe tto ploch se rová úseči ADBEC, coţ ejlépe půjde sporem Kdyţ se erová, bude buďto větší ebo meší Nechť úseč ADBEC je větší eţ ploch K Tehdy jsem vepsl trojúhelíky ADB, BEC jk bylo výše řečeo, do úsečí zbylých po strách, vepsl jsem dlší trojúhelíky mjící s těmito úsečemi společé zákldy výšky, potom do tkto získých úsečí stále vpisuji dvojice trojúhelíků, které s imi mjí společé zákldy výšky; potom zbývjící úseče se jedou stou mešími eţ te rozdíl, o který je úseč ADBEC větší eţ ploch K, tkţe vepsý mohoúhelík bude větší eţ ploch K, le to eí moţé Skutečě, máme plochy tvořící spojitou proporci v poměru :, to jmeovitě prví je trojúhelík ABC, čtyřikrát větší eţ ob trojúhelíky ADB BEC dohromdy, dále tyto trojúhelíky jsou čtyřikrát větší eţ trojúhelíky vepsé do dlších úsečí tk stále dále; je jsé, ţe všechy tyto plochy dohromdy budou meší eţ čtyři třetiy ejvětší plochy (trojúhelíku ABC), přitom K tvoří čtyři třetiy ejvětší plochy To zmeá, ţe úseč ebude větší eţ ploch K Nechť yí, je-li to moţé, bude úseč meší eţ K Vezměme plochu Z rovou trojúhelíku ABC, potom plochu H rovou čtvrtiě Z, dále O rovou čtvrtiě H tkto budeme brát stále ve spojité proporci ţ do doby, kdy se posledí ploch ukáţe být meší eţ te rozdíl, o který je ploch K větší eţ úseč ADBEC Nechť tto meší ploch je I; tehdy plochy Z, H, O, I dohromdy spolu s třetiou I tvoří čtyři třetiy Z Ale K tké tvoří čtyři třetiy Z; to zmeá, ţe K bude rov plochám Z, H, O, I vztým spolu s třetiou I Protoţe ploch K je větší eţ plochy Z, H, O, I o veličiu meší eţ I, le úseč ADBEC je větší o veličiu větší eţ I, je jsé, ţe plochy Z, H, O, I budou větší eţ úseč To je emoţé, protoţe je dokázáo, ţe kdyţ se vezme libovolý počet ploch tvořících spojitou proporci v poměru :, přičemţ ejvětší se rová trojúhelíku vepsému do úseče, pk všechy tyto plochy --
dohromdy budou meší eţ úseč; to zmeá, ţe úseč ADBEC eí meší eţ ploch K Ale je tké dokázáo, ţe ebude i větší; to zmeá, ţe se bude rovt ploše K Ale ploch K tvoří čtyři třetiy trojúhelíku ABC; to zmeá, ţe úseč ADBEC se rová čtyřem třetiám trojúhelíku ABC () BYSTRÝ ŢÁK Následující příběh je zámý Verzi zde uvedeou jsem lezl opět webu FYZMATIK Pro čtivý poutvý styl, jímţ je čláek psá, jsem jej echl bez úprv Friedrich Guss bývá ozčová z ejvětšího mtemtik od dob Archimédových, e-li z ejvětšího mtemtik vůbec Nrodil se roku 777 v Brušviku (Bruschweig) jko sy zedík vodího mistr, který se tké strl o vodotrysky jié věci s vodou spojeé V prvích letech se Guss učil dříve počítt eţ mluvit, pk teprve zčl své zámé příbuzé "prosit o písme", jedou uměl číst, iţ kdo pořádě věděl, kde k tomu přišel V sedmi letech zčl chodit do obecé školy, kde měl ve třídě 00 spoluţáků, le ijk mezi imi evyikl Teprve v devíti letech sebe upozoril příhodou, která se dodes trduje Stlo se, ţe učitel v Gussově třídě chtěl mít hodiu klid, proto uloţil ţákům úkol, by sečetli všech čísl od do 00 Kdo byl s úlohou hotov, měl poloţit břidlicovou tbulku velký stůl, hezky jedu druhou, by učitel mohl kotrolovt v jkém pořdí ţáci úlohy odevzdávli Několik okmţiků to, co byl úloh ţákům sděle, vyskočil mldý Guss poloţil tbulku učitelův stůl s pmátými slovy: "tdy je" Učitel drţíc v ruce krbáč soucitě pohlíţí bledého uličík Pokládá chlpce z vtipálk, proztím jej echává pokoji, by erušil osttí Kdyţ všichi odevzdli svá řešeí, prohlíţí jedo po druhém, rozdává pochvly či trestá N tbulku úplě vespod skoro zpoměl Vlstě e tk docel, ještě má čs, by mlého ezbedu potrestl Vezme tbulku do ruky, ke svému úţsu vidí, ţe je í jedié číslo 00 A to je správý výsledek! --
Ruk s krbáčem klesá, zl sd mlý Guss výsledek zpměti? Jk to tk rychle přišel? A tu ţák vysvětluje svému učiteli jko prostou smozřejmost, ţe výsledek součtu všech čísel od do 00 se dá říct ihed zpměti Neí třeb sčítt jedo číslo po druhém, jk to dělli osttí ţáci mechicky O si sečte prví číslo s posledím, druhé s předposledím tk dále, součet vyjde vţdy 0 Pk stčí vyásobit toto číslo počtem dvojic těch je 0 Výsledek je 0 0 = 00! Kdyţ to učitel slyšel, optřil pro mldého Gusse učebici mtemtiky z Hmburku krátce to prohlásil, ţe se Guss od ěho uţ ičemu učit emůţe () JAK EULER VYŘEŠIL JEDNU MATEMATICKOU ZÁHADU Problemtik hrmoické řdy je zámá velmi zjímvá, i kdyţ se k í eváţe ţádý poutvý či euvěřitelý příběh Čláek, v ěmţ je shrut ţivot Leohrd Euler popsá jeho postup určeí součtu řd, jsem převzl z webu Věd techik (6) Leohrd Pul Euler se rodil v roce 707 ve švýcrské Bsileji Pulu Eulerovi, pstorovi reformové církve, Mrgueritě Bruckerové Měl dvě mldší sestry Jiţ od dětství vyikl v mtemtice Mldého Euler výzmě ovlivil přítel jeho otce, Joh Beroulli, který byl povţová z předího evropského mtemtik V roce 70 vstoupil Euler Bsilejskou uiverzitu V té době dostávl od Beroulliho, který velice rychle objevil tlet svého ţák, sobotí lekce Euler si ejprve zpsl teologické předměty, řečtiu, ltiu hebrejštiu, le díky své feomeálí pměti dokázl víc studovt i fyziku, stroomii, medicíu mtemtiku V roce 76 sloţil Euler doktorské zkoušky prcí tém Rychlosti zvuku V roce 7, ve svých dvceti osmi letech, vyřešil Leohrd Euler problém, který úspěšě odolávl moh pokusům o jeho vyřešeí Jedlo se o otázku kovergece ekoečé řdy Motivce pro vyřešeí tohoto problému byl velká pokud by tto řd kovergovl, pk by rověţ všechy řdy, kde s kovergovly s --
Euler pouţil vyřešeí tohoto problému tehdejší dobu velmi důmyslou metodu V podsttě učiil předpokld, ţe vlstosti, které mjí koečé polyomy, mohou splňovt i ekoečé řdy N zčátku jeho úvh stál fukce sius, pouţil v tehdejší době jiţ zámý vzth pro tuto fukci: 7 si!! 7! Teto vzth se zývá Tylorův rozvoj fukce sius Podělil dále tuto rovici fukcí : 6 si!! 7! si Tto fukce má kořey ( pro : 0 ) v bodech, kde,,, Prvá str ve výše uvedeé rovici předstvuje v podsttě polyom, kţdý polyom lze vyjádřit v součiovém tvru jeho kořeů, proto dostl po této úvze ásledující vzth: si 9 Zde se vyuţil vzth b b koeficiety u Pro výsledý koeficiet u pltí: Ale fukce si b Dále provedl zčeé ásobeí hledl 9 má ve svém zákldím vyjádřeí koeficiet vyjádřeí vzthu pro koeficiet k se musí sobě rovt: 6 Z tohoto fiálího vzthu vyplývá ádherý vzorec: k! Tto dvě 6 6 víc kovergece všech ekoečých řd, kde s s (6) --
POSLOUPNOSTI Máme-li zčít tkříkjíc od píky, je důleţité zmíit se o posloupostech Pro pochopeí ekoečé řdy je pojem poslouposti velmi důleţitý Abychom zývli věci prvými jméy, uvedeme si ejprve defiici vymezíme prvidl pro počítáí s posloupostmi Litochová v práci (7) uvádí ásledující defiici poslouposti: Defiice Nekoečá číselá posloupost je reálá fukce defiová moţiě přirozeých čísel (7, s ) Mtemtický web Mtemtik poloptě o posloupostech píše: Posloupost je fukce, jejímţ defiičím oborem je moţi přirozeých čísel N Posloupost rozlišujeme ekoečou, pokud je jejím defiičím oborem celá moţi N, koečou, pokud je jejím defiičím oborem pouze prvích čísel z oboru přirozeých čísel (8) Pokud se výhrdě eřeke, ţe se jedá o posloupost koečou, předpokládá se posloupost ekoečá Posloupost lze určit ěkolik způsoby: Prostým výčtem prvků:,, 6, 8, 0 Vzorcem pro -tý čle: = ; dolí ide zčí, který čle poslouposti určujeme: 6 Rekuretě: = ; + = +; po doszeí + = +, uprvíme = + = Vyjádřeí poslouposti grficky; grfem poslouposti je vţdy moţi smosttých vzájem izolových bodů Posloupost můţe být zdá i slově: posloupost sudých čísel Posloupost můţeme zpst,, ebo,,,, ebo je,, ebo tké Fukčí hodoty,, se zývjí prví, druhý, čle poslouposti, se zývá -tý čle poslouposti ebo obecý čle poslouposti (7) --
LIMITA POSLOUPNOSTI Limit je mtemtická kostrukce, vyjdřující, ţe se hodoty poslouposti ebo fukce blíţí ějkému číslu Právě toto číslo je pk ozčováo jko it Vyuţití ity je uvedeo webové stráce Aristotelescz: Limity poslouposti počítáme proto, bychom mohli posloupost klsifikovt jko kovergetí ebo jko divergetí Kovergetí posloupost koverguje k určitému číslu, které zýváme vlstí itou poslouposti Divergetí posloupost se vyzčuje tím, ţe má buď evlstí itu, ebo ţádou itu emá (9) Litochová v (7) pouţívá k vymezeí pojmu ity poslouposti tuto defiici: Defiice Říkáme, ţe ekoečá číselá posloupost koverguje k reálému číslu L ebo má (vlstí, koečou) itu L píšeme L jestliţe ke kţdému ε > 0 eistuje ide N N, N L pro, tkový, ţe Říkáme, ţe ekoečá číselá posloupost je určitě divergetí k (resp ) píšeme ( resp ) Jestliţe ke kţdému číslu A eistuje ide N tk, ţe erovost > A (resp < A) pltí pro všech Divergetí poslouposti, které ejsou určitě divergetí se zývjí oscilující (7, s 6-7) Vypočítejme itu poslouposti, určeme, je-li posloupost kovergetí či divergetí (0, s 67) Limitu poslouposti určíme tk, ţe vypočítáme itu pro -tý čle poslouposti,, -6-
dále postupujeme podle prvidel pro počítáí s itou 0 0 0 0 Posloupost má vlstí itu Tto it koverguje k reálému číslu VLASTNOSTI Z defiice víme, ţe posloupost je fukce U kţdé fukce je moţé zkoumt její vlstosti U posloupostí se zkoumá mootóost omezeost fukce Ryze mootóí posloupost Problemtik mootóosti poslouposti je velmi přehledě zprcová strákách Poslouposti řdy od Lucie Šibrvové, uvádí tyto defiice věty: Defiice Posloupost se zývá rostoucí (resp klesjící) právě tehdy, kdyţ m, D : m m (resp m, D : m m ) () Vět Posloupost je rostoucí (resp klesjící) právě tehdy, kdyţ N pltí (resp N pltí ) () Rozhoděme o mootóosti poslouposti (0, s 66) Vět udává podmíky mootóosti, je třeb porovt čley, + : ( ) ( ) Drobou úprvou erovosti získáme 0, dlší krok je zřejmý: -7-
( )( ) ( )( ) ( )( ) 7 7 6 ( )( ) ( )( ) Výsledek je záporý, pltí 0 Posloupost je rostoucí Neryze mootóí posloupost Defiice Posloupost se zývá erostoucí (resp eklesjící) právě tehdy, kdyţ m :, D m m (resp m D : m m, ) () Vět Posloupost je erostoucí (resp eklesjící) právě tehdy, kdyţ N pltí (resp N pltí ) () Omezeost poslouposti Litochová defiuje omezeost v (7) tkto: Defiice Řekeme, ţe posloupost je shor (resp zdol) omezeá právě tehdy, kdyţ h R D : h (resp d R D : d ) Řekeme, ţe posloupost je omezeá, právě tehdy, kdyţ je shor i zdol omezeá, tedy kdyţ h R d R D : d h (7, s ) Ověřme omezeost poslouposti (0, s 66) Nejprve zjistíme průběh poslouposti Je-li ryze mootóí, musí pltit ebo : ( ) ( ) -8-
-9- ) ( ) ( ) ( ) ( ) )( ( ) ( Výsledek je záporý, pltí, posloupost je ryze mootóí, rostoucí Je-li posloupost rostoucí, je zdol omezeá prvím čleem poslouposti, omezeost shor ověříme pomocí ity poslouposti: Posloupost je shor i zdol omezeá itervlu ARITMETICKÁ POSLOUPNOST Defiice Posloupost se zývá ritmetická právě tehdy, kdyţ d N R d :, kde číslo d je diferece ritmetické poslouposti (7, s ) Vět Nechť je ritmetická posloupost s prvím čleem diferecí d, potom pltí d ) ( (7) Důkz mtemtickou idukcí (tj ověříme pltost pro prví čle + čle poslouposti) 0 ) ( : d d kd predpokld iduk d d k defiice z d chceme kd d k d k k k k k k k ) ( ) ( ) (
-0- Zjistěme, zd posloupost zpsá rekuretě je ritmetická posloupost, 7 (0, s 67) Nejdříve vypočítáme ěkolik prvích čleů poslouposti: 6 9 6 : 6 0 0 : 0 7 : Nyí podle věty ověříme, zd se jedá o ritmetickou posloupost Pouţijeme vzth uvedeý ve větě, který si uprvíme: ) ( ) ( d d d Dosdíme dvě růzé hodoty vypočítáme difereciál, je-li posloupost ritmetická, difereciál vyjde v obou přípdech stejě: 7 6 : ; 7 0 : d d Posloupost je ritmetická s difereciálem d= Vět Nechť je ritmetická posloupost s prvím čleem diferecí d, potom pltí ) ( S (7) Důkz ) ( / ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( : S d S d d d d S d d d d S d d d S d d d d S S ebo S Vzth poprvé pouţil Friedrich Guss ve třetí třídě při hodiě mtemtiky (viz kpitol )
GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST Defiice Posloupost se zývá geometrická právě tehdy, kdyţ R N :, číslo se zývá kvociet geometrické poslouposti (7, s ) Vět Nechť je geometrická posloupost s prvím čleem kvocietem, pk pltí (7) Důkz mtemtickou idukcí 0 k k k k k k k k k z defiice k k chceme iduk predpokld Dokţme, ţe dá tři čísl,, tvoří tři ásledující čley jisté geometrické poslouposti (0, s 67) Pomůţeme si vzthem uvedeým v defiici ; do uvedeého vzthu dosdíme, bude-li kvociet stejý, můţeme říci, ţe se jedá o geometrickou posloupost Dá čísl jsou po sobě jdoucí čley:,, ; 6 6 Jelikoţ pltí, uvedeá čísl jsou čley geometrické poslouposti Vět Nechť je geometrická posloupost s prvím čleem kvocietem, pk pltí S, pro ; S, pro (7) --
-- Důkz ) ( / ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( /* ) ( ) ( ) ( ) ( S S S S S S S S PŘÍKLADY Zdáí příkldů v této kpitole je vybráo ze sbírky úloh Petákové (0) z webových stráek Poslouposti řdy () ČVUT, fkult doprví () Ke kţdému příkldu je vrţe moţý způsob řešeí s kometářem jedotlivých kroků () Njděte prvích pět čleů poslouposti, je-li! Čley určíme doszeím kokrétích čísel z : 6! 6! 9 7!!! Posloupost má těchto prvích pět čleů 6,, 9,, () Njděte předpis pro -tý čle,,,, Opět si čley uprvíme,,,, Předpis pro -tý čle zí
() Njděte předpis pro -tý čle: 8,, 0, 6, N prví pohled je zřejmé, ţe ásledující čle je vţdy o šest větší tedy 8 6 6, 8 6 6 6, 8, 8 6, Zápis můţeme uprvit: 8, 8 6, 8 6, 8 6, Dále provedeme mlou kosmetickou úprvu s prvím čleem: 6, 6, 6, 6 Předpis pro -tý čle je jiţ jsý: 8,, 0, 6, = 6 Je dáo -růzých bodů, z ichţ ţádé tři eleţí v jedé přímce, kolik přímek je body určeo? Budeme postupovt od jedoho bodu Jede bod eurčuje ţádou přímku, přímk je urče ejméě dvěm body Třemi body jsou určey jiţ tři přímky, čtyřmi body pk šest přímek, pěti body deset přímek [Obrázek ] Obrázek : Přímky určeé třemi, čtyřmi pěti body Z čísel vytvoříme posloupost, kdy počet bodů, kterými vedeme přímky, bude určovt pořdí čleů v poslouposti počet přímek určeých body hodotu čleu: 0 6 0 6 7 Předpis pro -tý čle lezeme pomocí úvhy; uvţujme kokrétí příkld pěti bodů, kţdým bodem prochází čtyři přímky, tedy celkem přímky, z obrázku je ptré, ţe vţdy dvě přímky splývjí, tedy růzých přímek je polovi Vzth můţeme zpst tkto: počet přímek =, zobecěím dosteme vzth ( ) Obrázek vytvoře v progrmu Cbri Geometrie II Plus --
-- Obecý zápis pro určeí počtu růzých přímek je ( ) () Vypočtěte pátý čle poslouposti, která je dá rekuretí formulí, čleem Rekuretí formule udává vzth pro + čle poslouposti, pátý čle vypočítáme, tk, ţe si postupě vypočítáme druhý, třetí, čtvrtý koec pátý čle poslouposti:,, Pátý čle poslouposti, která je zdá, je () Vypočtěte šestý čle poslouposti, která je dá rekuretí formulí čleem 7 6 Šestý čle poslouposti 7 6 () Vypočtěte prví čle poslouposti, která je dá rekuretí formulí čleem 99 Nejprve uprvíme rekuretí formuli pro + čle: Postup výpočtu je opčý eţ v předešlých příkldech Z + dosdíme čley sestupě, počíje čleem, který uţ záme Vyuţijeme uprveou formuli: 7 7 99 99 Prví čle poslouposti
() Vypočtěte součet prvích čtyř čleů poslouposti formulí čleem 7, která je dá rekuretí Předpis pro součet -čleů poslouposti zí s, pro součet prvích čleů tedy s, je zřejmé, ţe potřebujeme zát prví čtyři čley Nejprve dosdíme + = vypočteme prví čle poslouposti: 7 Dále určíme třetí čtvrtý čle poslouposti: 7 9 9 Čley sečteme: s 7 9 8 Součet prvích čtyř čleů poslouposti je 8 () Vypočtěte součet čtvrtého pátého čleu poslouposti rekuretí formulí čleem, která je dá Uprvíme formuli postupě doszujeme: 0 0 0 ( ) Součet čtvrtého pátého čleu poslouposti je () Vypočtěte součet prvího třetího čleu poslouposti rekuretí formulí čleem Postupujeme stejě, jko v předešlém příkldu: 6 Součet prvího třetího čleu poslouposti je 6, která je dá --
! () Vypočítejte itu poslouposti!! určete, zd koverguje Při výpočtu ity poslouposti počítáme itu -tého čleu dé poslouposti Příkld řešíme podle prvidel pro počítáí s itou fktoriály:!! ( )!!! 0 Limit poslouposti je vlstí, proto můţeme říci, ţe: Posloupost!!! koverguje k reálému číslu - (0, s 67) Vypočítejte itu poslouposti Postupujeme obdobě jko v předešlém příkldu prvidlo pro ity s fukcí v epoetu: Dosdíme:, určete, zd posloupost koverguje g f gl f l l l Limit poslouposti je evlstí, posloupost diverguje, pro jistotu si připomeňme (0, s 66) Rozhoděte, zd je posloupost rostoucí ebo klesjící (ev erostoucí ebo eklesjící) Nejprve si vypíšeme ěkolik prvích čleů poslouposti:,,,,, vidíme, ţe posloupost roste Abychom to všk měli mtemticky ověřeé, musíme dokázt, ţe pltí podmíky pro rostoucí posloupost, tedy ţe : Dosdíme: / 0 Nerovost pltí, tím jsme ověřili, ţe posloupost je rostoucí -6-
(0, s 66) Rozhoděte, zd je posloupost rostoucí ebo klesjící (ev erostoucí ebo eklesjící) Nejprve si vypíšeme ěkolik prvích čleů poslouposti: -,, -,, -, 6, -7 pro lepší přehledost můţeme čley poslouposti zést do grfu [Obrázek ] 0 8 6 0 0-6 7 8 9 - -6-8 Obrázek : Grf poslouposti Z grfu je ptré, ţe posloupost početě: eí mootóí Zjištěí ověříme ještě Dosdíme do erovice: ; uvedeá erovost pltí pro lichá, eboť v tkovém přípdě levá str erovice je záporé číslo, prvá str erovice číslo kldé, kldé číslo je vţdy větší eţ záporé Pro sudá všk pltí opčá erovost, levá str je totiţ pro sudé rov kldému číslu, prvá str číslu záporému Vzhledem ke zjištěému, můţeme říci, ţe posloupost eklesjící je erostoucí (0, s 66) Rozhoděte, zd je posloupost (ev erostoucí ebo eklesjící) rostoucí ebo klesjící Grf vytvoře v progrmu MS Ecel -7-
Opět si vypíšeme ěkolik po sobě jdoucích čleů poslouposti:, -, -, -, -7, Dou posloupost budeme zkoumt jko klesjící, tedy : ( ) Dosdíme erovici uprvíme: / / ( ) / 0 Nerovost pltí, proto můţeme říci, ţe posloupost je klesjící (0, s 66) Rozhoděte, zd je posloupost omezeá omezeá shor, zdol ebo Zjišťujeme-li omezeost poslouposti, musíme ejdříve vyšetřit její průběh, bychom si byli jisti, ţe se v poslouposti evyskytují ţádé ečeké výkyvy Vypíšeme prvích pět čleů poslouposti:,,,, ; prví pohled posloupost vypdá, jko rostoucí, tedy, doměku si ověříme: Dosdíme do erovice,, prvidl pro porováváí zlomků říkjí, ţe rovjí-li se čittelé porovávých zlomků, pk je meší te ze zlomků, který má většího jmeovtele: Nerovost pltí, můţeme říci, ţe posloupost 0 / je mootóí, rostoucí Posloupost je zdol omezeá prvím čleem poslouposti = -, omezeost shor ověříme doszeím -tého čleu poslouposti do ity: 0-8-
Posloupost má vlstí itu 0, tedy je omezeá v itervlu 0 (0, s 66) Rozhoděte, zd je posloupost omezeá shor, zdol ebo omezeá Postupujeme obdobě, jko v předešlém příkldu, vypíšeme si ěkolik prvích čleů poslouposti: 0,, 8,, Ověříme mootóost poslouposti, : Dosdíme do erovice uprvíme: Nerovost pltí, eboť ze zdáí, můţeme říci, ţe posloupost je rostoucí Rostoucí posloupost je zdol omezeá prvím čleem = 0, omezeost shor ověříme doszeím do ity: Posloupost má evlstí itu, proto je zdol omezeá 0 () Mezi čísl 6 0 je vloţeo pět čísel tk, ţe spolu s dými čísly tvoří sedm po sobě jdoucích čleů ritmetické poslouposti, vypočítejte prostředí vloţeé číslo Vzhledem k eurčitosti zdáí můţeme číslo 6 ozčit jko prví čle poslouposti číslo 0 jko čle sedmý, prostředí čle je tedy čle čtvrtý Abychom určili čtvrtý čle poslouposti, musíme zát difereci: 7 6 6d 0 6 6d d d 6 * 8 Prostředí čle poslouposti je rove číslu 8-9-
() V ritmetické poslouposti je, vypočítejte součet prvích šestácti čleů poslouposti Pro výpočet součtu prvích čleů potřebujeme zát prví -tý čle poslouposti My záme dv čley jejich umístěí v poslouposti, toto ám stčí, bychom určili 7 difereci, pomocí té sdo určíme prví i šestáctý čle Vycházíme ze vzthu 7 d 6d ( ) d, který si uprvíme: d 6d Nyí máme před sebou dvě rovice o dvou ezámých, pomocí doszovcí metody řešíme: d d 6d d 6d Určíme 6 doszeím do vzthu pro součet čleů poslouposti vypočítáme s 6: s 6 6 d 6 ( ) Součet prvích šestácti čleů poslouposti je rove () Délky str prvoúhlého trojúhelíku tvoří tři po sobě jdoucí čley ritmetické poslouposti, delší odvěs má délku cm, vypočítejte velikosti zbývjících str Nejprve si dosdíme, co záme: d b c d, pro prvoúhlé trojúhelíky pltí Pythgorov vět: c d d 76 8d d 76 8d d b 76 96d 76 d 6 6 8 b c 6 0-0-
-- Délk krtší odvěsy je 8 cm, délk přepoy 0 cm () V geometrické poslouposti je 6 = 86 =, vypočítejte součet s Pro výpočet součtu potřebujeme zát prví čle poslouposti, pro jeho určeí si uprvíme vzth pro výpočet -tého čleu poslouposti: 86 6 Záme prví čle poslouposti, dosdíme určíme součet prvích čtyř čleů poslouposti: 80 s Součet prvích čtyř čleů geometrické poslouposti je 80 (0, s 69) Délky hr kvádru tvoří tři po sobě jdoucí čley geom poslouposti, součet délek všech hr kvádru je 8 cm, objem kvádru je 6 cm, vypočítejte povrch kvádru Nejprve si shreme, co víme ze zdáí: ) ( 6 8 c b bc c b S cm bc V cm c b Dosdíme: 0 7 / ) ( 6 ) ( ) ( 6 / 8 Kvdrtickou rovici vyřešíme pomocí diskrimitu:
D b, c 7 b 86 6 D 7 8, Vyšly ám dv kořey rovice, kdyţ je dosdíme, zjistíme, ţe pro dosteme klesjící posloupost, kde 6,, Pro je posloupost rostoucí, kde,, 6 Pro výpočet povrchu krychle eí důleţité, zd ejdelší str se jmeuje ebo c, proto si vybereme libovolý kvociet dosdíme do vzthu pro výpočet povrchu kvádru: S ( b c bc) S ( 6 6) ( 6 6) 8 68 cm Povrch kvádru je 68 cm --
NEKONEČNÉ ČÍSELNÉ ŘADY Pojmem číselá řd ozčujeme součet jedotlivých prvků dé poslouposti Posloupost můţe mít koečý ebo ekoečý počet prvků Pokud má posloupost koečý počet prvků, tedy k, vzike koečá číselá řd zpisuje se k Pokud je posloupost ekoečá, tedy ( ), vzike ekoečá číselá řd, která se zpisuje Problemtikou ekoečých číselých řd se zbývá Došlá v (), její práce je pro tuto kpitolu stěţejí SOUČET ŘADY Z poslouposti, lze vytvořit ovou posloupost s ), jejíţ čley jsou určey, ( jko s k k, tedy (koečý) součet prvích k prvků poslouposti ( ) Defiice Nechť je posloupost reálých čísel Symbol ebo zýváme ekoečou číselou řdou Posloupost s, kde s s,, s,, zýváme ( ), posloupost částečých součtů této řdy Eistuje-li vlstí it s s, řekeme, ţe řd koverguje má součet s Neeistuje-li vlstí it s, řekeme, ţe řd diverguje (, s ) V přípdě, kdy řd diverguje, rozlišujeme tři přípdy: je-li s, říkáme, ţe řd určitě diverguje k --
je-li s, říkáme, ţe řd určitě diverguje k jestliţe s eeistuje, říkáme, ţe řd osciluje Určete součet řdy (, s ) ( ) Nejprve si zdáí zjedodušíme, provedeme rozkld prciálí zlomky: ( ) A B A( ) B 0 ( A B) A ( ) Nyí dosdíme do vzthu uprvíme: / ( ) A, B s, součet řdy určíme pomocí vzthu s z defiice, do vzthu dosdíme s postupujeme podle zásd pro počítáí s itou: ( ) 0 Limit řdy eistuje, proto řd koverguje má součet s = ( ) Vět Jestliţe řd koverguje, pk pltí 0 (, s 6) Důkz podle (, s 6): Nechť koverguje s s s R, s s : s s s s 0 Vět udává utou podmíku kovergece řdy, opk této věty všk epltí Je-li 0, pk z í kovergece řdy eplye --
Příkldem tkové řdy, jejíţ it L = 0 přitom diverguje, je tzv hrmoická řd Podle () se řd zývá hrmoická, protoţe pro kţdé tři po sobě jdoucí čley řdy, b, c, pltí, ţe středí čle b je tzv hrmoickým průměrem jeho sousedích čleů c, c, eboli pltí b Hrmoická řd je tedy tké řd c 6 8 Divergeci hrmoické řdy, podle (6), jko prví dokázl frcouzský mtemtik filosof Nicole Oresme (-8) Jeho postup byl geiálě jedoduchý, všiml si, ţe součet třetího čtvrtého čleu je větší ebo rove, stejá erovost pltí dále pro dlší čley,, pk pro ásledujících 6 čleů,, tk pořád dál: 8 9 6 7 8 Ukázl tedy, ţe součet hrmoické řdy je větší ebo rove ekoečému součtu řdy smých polovi, protoţe je divergetí, musí být divergetí i hrmoická řd Nyí si rozebereme Archimédovo poselství Ertostheovi z kpitoly Teto rozbor je volě převztý z () Vycházíme z předstvy trojúhelíku vepsého do úseče prboly Obrázek : Trojúhelík vepsý do úseče prboly () Trojúhelík ABC je poloviou rovoběţíku AMNC, který je tvoře tečou v bodě B zákldou AC s í rovoběţou AM, CN jsou rovoběţé s průměrem prboly BF Teto poztek lze přeést trojúhelíky úseče ADB, BEC sestrojeé pomocí průměrů --
ID, KE rovoběţých s FB [Obrázek ] Trojúhelík ABC je osmkrát větší eţ kţdý z trojúhelíků ADB, BEC Trojúhelík ABC je prvím útvrem vepsým do úseče ABC; druhým je sjedoceí trojúhelíků ABC, ADB, BEC; třetí se získá připojeím dlších trojúhelíků se zákldmi AD, DB, BE, EC td Pro obshy těchto útvrů pltí: Vezmeme-li jkýkoliv počet ploch tvořících spojitou proporci v poměru :, přičemţ ejvětší se rová trojúhelíku vepsému do úseče, pk všechy tyto plochy dohromdy budou meší eţ úseč Archimédes důvtipě vytvořil geometrickou řdu s kvocietem součtu odvodil větu: Je li S, pk S,, o jejímţ částečém kde S je součet obshů všech vepisových trojúhelíků, je obsh trojúhelíku ABC je počet všech sčítců To pltí pro jkékoliv koečé přirozeé včetě = 0 Dále Archimédes dospívá k výsledku, ke kterému bychom došli uţitím ity Poroste-li totiţ do ekoeč, bude S 0 po vyřešeí této jedoduché ity poslouposti ám vyjde, ţe S Z dopisu Archiméd je zřejmé, ţe určil součet ekoečé geometrické řdy Sčítl obshy trojúhelíků, přičemţ ásledující dv trojúhelíky tvořili vţdy čtvrtiu předešlého Vyšetřeme kovergeci ekoečé geometrické řdy celém oboru reálých čísel Mějme dáu ekoečou geometrickou řdu (, s -) Podle defiice si určíme částečý součet řdy s provedeme ití přechod ) Nechť = Pk s b) Nechť = - Pk s pltí : s, tedy řd je divergetí ( ) ( ), tedy s = 0 pro sudé, s = pro liché -6-
c) Nechť Pltí s, pro úprvu vyuţijeme vzthu: ( )( ), po doszeí vzthu dosteme: s ( ) Výsledek dosdíme pomocí it určíme hodotu součtu: Zjištěá fkt shreme: Je li je, proto s Je li eeistuje Je li je 0, proto s Nekoečá geometrická řd je pro divergetí pro kovergetí Uvedeého vzthu lze vyuţít eje při určováí obshu úseče prboly Pomocí tohoto vzthu můţeme příkld vyjádřit desetié číslo s periodickým rozvojem v zákldím tvru zlomku: Vyjádřeme ve tvru zlomku v zákldím tvru číslo 0, 70 (0, s 7) Periodický rozvoj je moţé zpst tké 0,70 70 70 70 Tké jko součet: 0,70 0,000 70 0,000 000 70 Nyí uţ lépe rozpozáme, ţe se jedá o ekoečou řdu Součet přepíšeme ještě jedou, tetokrát pomocí zlomku: 70 000 70 70 zjistíme, ţe se jedá o ekoečou geometrickou řdu 000 000 s kvocietem prvím čleem 000 70 000 Pouţijeme vzth pro součet ekoečé geometrické řdy 70 70 000 70 s 000 000 000 999 999 s, dosdíme: 70 0,70, výsledek si můţeme ověřit tím, ţe vydělíme čittele jmeovtelem 999-7-
Vzth, který jsme si odvodili, můţeme pouţít, mimo zmíěé, výpočet plochy zvé Sierpińského koberec [Obrázek ] Útvr je zvá podle svého tvůrce, polského mtemtik 0 století, Wclw Sierpińského Obrázek : Sierpińského koberec () Obrzec vytvoříme z jedotkového čtverce Teto čtverec rozdělíme čtyřmi úsečkmi devět čtverců, vitří čtverec odebereme Zbývjící čtverce opět rozdělíme devět čtverců vitří čtverce odstríme, tk postupujeme stále zovu Kdyţ tuto operci prodlouţíme do ekoeč, vzike Sierpińského koberec Určeme obsh Sierpińského koberce () Obsh koberce vypočítáme odečteím všech prázdých polí od obshu jedotkového čtverce; součet obshu prázdých polí je ekoečá geometrická řd: 9 8 9 8 9 8 9 s 9 8 9 0 8 9 9 9 9 Obsh jedotkového čtverce je rove jedé, součet obshu volých polí je tké rove jedé, po odečteí zjistíme, ţe obsh Sierpińského koberce je rove ule -8-
OPERACE S ČÍSELNÝMI ŘADAMI Zákldí opercí s ekoečými řdmi je součet dvou kovergetích řd Vět Buďte, b kovergetí řdy echť s, b t Pk je kovergetí i řd ( ) pltí ( b ) s t (, s 9) b Důkz podle (): Ozčme s posloupost částečých součtů řdy, t posloupost částečých součtů řdy b, w posloupost částečých součtů řdy b : s t w t ( ( w s, b ) ( ( s t b ) ( ) ( b ) s t b b b ) ) s ( t b ) s t Následující větu můţeme chápt jko logii distributivího záko pro ekoečé řdy s koečými součty Vět Jestliţe řd k pltí k k koverguje, pk pro libovolé Nopk, koverguje-li řd k R koverguje téţ řd k, kde k R, k 0, koverguje i řd (, s 9) Důkz podle (): Nechť koverguje, částečých součtů řdy s pro pltí: s t k t, k ks, tj s ; ozčíme-li s posloupost t posloupost částečých součtů řdy k k( k ks ) ks k, je -9-
-0- Nechť opk koverguje k 0 k ; podle jiţ dokázé prví části věty pk koverguje řd k k ) ( Dokţme kovergeci jděme součet řdy 0 6 (, s 0) Nejprve si řdu uprvíme: 6 6 6 6 6 6 6 Nyí máme dvě ekoečé geometrické řdy s kvocietem <, určíme si součet jedotlivých řd: s s Podle výše uvedeých vět je kovergetí i řd zdá její součet je: 9 6 6 Dá řd koverguje její součet je rove 9 V kovergetí řdě můţeme tké sdruţovt její čley, iţ se změí její součet Tto skutečost bývá zývá socitiví záko pro kovergetí řdy Vět Koverguje-li řd, pk koverguje i řd ) ( ) ( ) ( k k k má týţ součet (, s 0-) Obráceé tvrzeí všk epltí
Fkt, ţe uvedeé mtemtické zákoy pltí pouze pro kovergetí ekoečé řdy, byl zdrojem omylů moh mtemtiků Luigi Guido Grdi byl itlský kěz, filozof, mtemtik iţeýr Grdi uvţovl řdu: ( ) ( ) 0 ( ) Kurz Ději mtemtiky Zápdočeské uiverzity svých webových strákách () popisuje Grdiho výpočet tkto: 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 Toto si Grdi vyloţil jko symbol stvořeí svět Bohem z ičeho - e ihilo Dále Grdi odvodil součet této řdy: s s s 0; s ; s Své tvrzeí opírl o příběh: Otec odkázl svým dvěm syům drhokm s podmíkou, ţe kţdý z ich jej bude vlstit střídvě jede rok, kţdému syovi tedy áleţí tohoto drhokmu Nekoečá řd všk ve skutečosti diverguje, protoţe s, s 0, s,, tedy s eeistuje () Grdi se při výpočtu dopustil hed dvou omylů Zkoumá řd je divergetí, proto emá koečý součet, při svém výpočtu pouţil socitiví záko, který obecě pro ekoečé řdy epltí Uzávorkováím se porušil divergece řdy Des je tto řd zámá pod ázvem Grdiho řd () Alogie komuttivího záko lze pouţít pouze řdy bsolutě kovergetí, coţ je áplí kpitoly, kde pltost tohoto záko rozebereme PŘÍKLADY Zdáí příkldů v této kpitole jsou vybrá ze skript Hájk (9), ze sbírek úloh Petákové (0), Berm (8), Děmidoviče (6) z webových stráek Cifrik (7) Zdroje jsou uvedey před zdáím jedotlivých příkldů Ke kţdému příkldu je vrhut způsob řešeí Jedotlivé kroky postupu jsou pro lepší orietci kometováy --
-- (6, s 6) Dou ekoečou řdu 8 zpište pomocí Σ, určete součet Nejprve si čley řdy pouprvíme Přepíšeme řdu pomocí symbolu Σ: 0 Protoţe prví čle řdy je rove číslu jed, poloţíme = 0 Střídáí zméek je závislé mociě, je-li moci sudá, čle je kldý, je-li moci lichá, čle bude záporý Uvedeá řd je ekoečá geometrická s kvocietem, proto: s Nekoečá řd 0 má součet s (7) Určete součet řdy Zdáí řdy si uprvíme: Řdu jsme rozepsli součet dvou geometrických řd Určíme jejich součet podle vzthu pro ekoečé geometrické řdy s kvocietem : s s s Řd má součet s (8, s 88) Určete součet řdy 6
-- Zdáí si uprvíme: 6 6, podle věty můţeme dále uprvit: 6 6 Provedeme ještě úprvy pro mociy zlomky: 6 6 Obdobě druhou řdu uprvíme tvr Nyí určíme součty obou ekoečých geometrických řd, výsledky sečteme Tím dosteme součet řdy zdé s s s s s Nekoečá řd má součet s (9, s ) Určete součet řdy Pro lepší předstvu si řdu rozepíšeme do součtu: s Abychom mohli řdu počítt jko geometrickou, museli bychom se zbvit rozdílých čittelů Toho můţeme docílit ásledově: Částečý součet vyásobíme, teto ásledě odečteme od původího částečého součtu: s
s s s s Rovici vyásobíme, bychom dostli hodotu s Dosdíme do vzthu z defiice ; postupujeme podle prvidel pro počítáí s itou: s s 9 9 0 9 Součet řdy 9 je rove číslu (9, s 9) Vyjádřete desetié číslo s periodickým rozvojem 0, zlomkem v zákldím tvru Periodický rozvoj můţeme rozepst 0, 0, Teto tvr můţeme dále zpst součtem: 0, 0, 0,00 0,0000 který uprvíme do zlomku:, 0, 00 00 00 Z posledí úprvy je jiţ jsě ptré, ţe se jedá o ekoečou geometrickou řdu s kvocietem součtu: prvím čleem 00 00 00 s 00 00 99 00 Dosdíme do vzthu pro výpočet Správost výsledku si můţeme ověřit opětovým vyděleí čittele jmeovtelem Desetié číslo 0, lze vyjádřit zlomkem --
-- (9, s ) Určete součet řdy Předpis si uprvíme: Nyí výrz pro čle rozloţíme součet prciálích zlomků: B A Nezámé A, B, vypočítáme z rovice: 0 B A B A B B A A B A, 0 B A B A B A Určíme částečý součet uprveé řdy: 7 s Částečý součet dosdíme do vzthu uvedeém v defiici : 0 s s Součet řdy s je rove (0, s 7) Určete, pro které hodoty čísl je ekoečá řd 6 8 geometrická má součet s Nekoečá geometrická řd má součet s, je-li Určíme si tedy kvociet řdy dosdíme do erovice:
-6- Nekoečá geometrická řd, má součet s, je-li ; (0, s 7) Určete hodotu, víte-li, ţe je ekoečá geometrická řd součet této řdy s Z uvedeých poztků můţeme vytvořit rovici pouţijeme vzth pro výpočet součtu ekoečé geometrické řdy, do kterého dosdíme, co záme: ; 0 0 6 6 8 / s Zpětým doszeím do kvocietu získáme: 9 : Protoţe ekoečá geometrická řd, která má součet s, musí splňovt podmíku, je pltý je koře rovice (0, s 7) Řešte rovici si si si V uvedeé rovici je skrytá ekoečá geometrická řd, která má součet s Levou stru rovice proto můţeme zpst pomocí vzthu pro součet rovici tk sáze vyřešit:
si si si si si si / si / rcsi 7 0 60k k ; 6 0 60k k 6 Rovice má řešeí pro 7 ebo 6 k-ásobky čísl π 6 (8, s 88) Určete součet řdy Nejprve řdu přepíšeme pomocí Σ Vidíme, ţe jmeovtel je souči tří po sobě jdoucích čísel, přičemţ prví čle zčíá čiitelem jed, druhý čiitelem dv, td: Souči ve jmeovteli můţeme hrdit rozkldem prciálí zlomky: A A B C B C A B C A B C A Nezámé si přepíšeme do soustvy tří rovic o třech ezámých: A B C 0 A B C 0 A A ; B ; C Součet si rozloţíme dvě části:, vypíšeme pár čleů Součet prví řdy uprvíme tk, ţe čley, které mjí stejého jmeovtele, sečteme Druhou řdu přičteme Protoţe je všk záporá, ve výsledku budeme čley této řdy od původí odčítt: -7-
-8-0 8 6 0 6 8 6 Součet řdy je rove Určete součet řdy l Ze součtu vyjádříme -tý čle te si uprvíme podle prvidel počítáí s logritmy (logritmus součiu je rove součtu logritmů logritmus podílu je rove rozdílu logritmů): l l l l l Vypíšeme si ěkolik prvích čleů, určíme jejich částečý součet: l l l l l l l l l l l l l l 7 l l l l l l l l l s Částečý součet dosdíme do vzthu podle defiice, zjedodušíme podle prvidel pro počítáí s itmi (it logritmu je rov logritmu ity): l l l s s Součet řdy l je rove l
-9- (0, s 7-7) Sestvte ásledujícím způsobem ekoečou šipku V dém rovostrém trojúhelíku ABC ( = 6 cm) sestrojte body K, L strě AB tk, by pltilo B L L K AK Sestrojte obdélík K L K L L K K K tk, by s trojúhelíkem ABC měl společou je úsečku K L Nyí strě K L sestrojte body K L tk, by pltilo L L L K K K Sestrojte dlší obdélík K L K L L K K K tk, by s obdélíkem K L K L měl společou je úsečku K L Teto postup při kostrukci dlších obdélíků eustále opkujte [Obrázek ] Vypočítejte obsh plochy ekoečé šipky, kterou tvoří dý trojúhelík obdélíky sestrojeé uvedeým způsobem Obrázek : "Nekoečá" šipk K určeí plochy šipky musíme vypočítt obsh trojúhelíku obshy obdélíků, které tvoří geometrickou řdu Určíme tedy kvociet této řdy dosdíme do vzorce: 9 8 9 8 9 8 6 6 8 6 6 S S b S b S Záme kvociet řdy prví čle, dosdíme do vzorce určíme součet obshů obdélíků: 9 8 9 8 9 8 s Obrázek vytvoře v progrmu Cbri Geometrie II Plus
Nyí stčí dopočítt obsh trojúhelíku přičíst k ekoečé řdě: v S, v 6 9 S 6 9 S s S 9 9 cm Ploch ekoečé šipky vytvořeé s rovostrého trojúhelíku obdélíků je rov 9 cm 9 (0, s 7) Do prvoúhlého trojúhelíku ABC cm, b cm, ACB 90 je vepsá kruţice k Teč ke kruţici k je rovoběţá se strou BC, protíá stru AB v bodě B stru AC v bodě C Do trojúhelíku AB C je vepsá kruţice k, teč ke kruţici k je rovoběţá s B C protíá stry AB, AC v bodech B, C Do trojúhelíku AB C je vepsá kruţice k, teč ke kruţici k je rovoběţá s B C protíá AB, AC v bodech B, C Teto postup se stále opkuje [Obrázek 6] Vypočítejte součet obshů kruhů k, k, k, k, Obrázek 6: Kruţice vepsé trojúhelíku Abychom dokázli určit součet ekoečé řdy obshů kruţic vepsých: Obrázek vytvoře v progrmu Cbri Geometrie II Plus -0-
-- r r r r r r r r S S S S k k k k, potřebujeme vypočítt poloměr těchto kruţic Vzth pro výpočet poloměru kruţice vepsé, je převztý z publikce () Brtsche: c b o b kde S o S r,, Určíme r r, které vzájemě porováme, tím určíme kvociet řdy Prmetry pro výpočet r máme v zdáí, stčí je dosdit: o S r Pro určeí r si musíme vypočítt velikost str ově vziklého trojúhelíku Nejprve určíme velikost stry b, její délk se zmešil o průměr kruţice k, tedy: r b b K určeí dlších dvou str trojúhelíku vyuţijeme úhel α, který zůstl ezměě, goiometrických fukcí: cos cos, cos t t, t b c c b c b b b b Nyí můţeme vypočítt velikost poloměru r : o S r Poloměr kruţice vepsé je vţdy polovičí oproti kruţici předchozí Dosdíme-li do ekoečé řdy, zjistíme, ţe kvociet (eboť kţdý poloměr je vţdy umocě) Obsh všech kruţic vepsých trojúhelíkům je ekoečá geometrická řd: s Součet obshů kruţic vepsých trojúhelíku je rove
(0, s 7) V krychli ABDCEFGH o hrě = m ozčte postupě A, B, C, D středy hr EF, FG, GH, HE Čtverec A B C D tvoří podstvu dlší krychle A B C D E F G H, která je postve původí krychli Ozčte postupě A, B, C, D středy hr E F, F G, G H, H E Čtverec A B C D tvoří podstvu dlší krychle A B C D E F G H, která je postveá předchozí krychli Teto postup stále opkujte [Obrázek 7] Vypočítejte objem ekoečé pyrmidy, která tkto vzike Obrázek 7: Nekoečá pyrmid z krychlí 6 Pro výpočet objemu pyrmidy potřebujeme zát kvociet řdy, te vypočítáme porováím dvou po sobě jdoucích čleů řdy Záme velikost hry prví krychle Vypočítáme tedy hru druhé pomocí Pythgorovy věty: c Objem prví druhé krychle porováme, tím získáme hledý kvociet: V V V V 6 Obrázek vytvoře v progrmu AutoCAD 007 --
-- Kvociet, proto můţeme součet objemů krychlí vypočítt doszeím do vzthu pro výpočet ekoečé geometrické řdy: 7 8 m s Objem ekoečé pyrmidy sloţeé z krychlí je 7 8 m
ČÍSELNÉ ŘADY S NEZÁPORNÝMI ČLENY Stoveí součtu řd bývá v jedotlivých přípdech obtíţý úkol Proto se při vyšetřováí řd čsto orietujeme zjištěí, zd řd koverguje či diverguje, iţ bychom určovli její součet Řd se zývá řd s ezáporými (kldými) čley, je-li 0 resp 0 pro všech N Pro součet řdy s ezáporými čley mohou stt pouze dvě moţosti: R ebo eklesjící, eboť s Posloupost částečých součtů s s, tedy s s tkové řdy je KRITÉRIA KONVERGENCE V této kpitole si odvodíme postčující podmíky pro kovergeci (resp divergeci) řd, tzv kritéri kovergece, která uvádí Došlá ve své práci () Vět (srovávcí kritérium) Buďte, b řdy s ezáporými čley echť b pro všech N Potom pltí: koverguje-li řd b, koverguje i řd ; diverguje-li řd, diverguje i řd b (, s ) Důkz podle (): Ozčmes pltí t poslouposti částečých součtů řdy b ;, s t pro všech N Koverguje-li b, pk k R : t k Pk i k t je kovergetí, proto shor ohričeá, tj eistuje s má vlstí itu, tedy řd koverguje je shor ohričeá, víc eklesjící, proto s --
Diverguje-li, pk diverguje i b, eboť kdyby b kovergovl, pk podle prví části tvrzeí by kovergovl, coţ je spor Pomocí srovávcího kritéri rozhoděme o kovergeci řdy (, s ) Řdu budeme srovávt s řdou, řd je kovergetí, musí tedy pltit: ( ) b, ( ) ( ) 0 / / Uvedeá erovost pltí, proto řd koverguje7 Vět (ití srovávcí kritérium) Buďte, b řdy s ezáporými čley echť eistuje L b Je-li Je-li L koverguje-li řd b, pk koverguje i řd L diverguje-li řd b, pk diverguje i řd (, s ) Důkz podle (): Nechť L b koverguje, k číslu 0 eistuje N 0, tkové, ţe N, 0 pltí: L L L b b Protoţe L b koverguje, koverguje podle předešlého kritéri i řd Je-li L 0 L b b diverguje, pk podle stejých předpokldů pltí tedy řd diverguje 7 Podrobý důkz kovergece řdy viz kpitol Jk Euler vyřešil jedu mtemtickou záhdu --