7 STATISTICKÝ SOUBOR S JEDÍM ARGUMETEM 7. Záladí poy Možu všec předětů pozorováí (osob, věcí, evů apod.) sroážděýc a záladě too, že aí společé vlastost, azýváe statstcý soubore. Jedotlvé prvy této ožy se azývaí prvy (eleety) statstcéo souboru ebo též statstcé edoty. Počet všec prvů statstcéo souboru se azývá rozsa souboru. Vlastost statstcýc souborů, teré sou předěte statstcéo zouáí, sledue statsta prostředctví vlastostí statstcýc edote daéo souboru, teré postue statstcý zay. Statstcý za e vyádřeí určté vlastost statstcýc edote (prvů) sledovaéo statstcéo souboru; slouží caraterzováí sledovaéo roadéo evu - vlastost daéo statstcéo souboru. Za (arguet) souboru se zpravdla začí X. Jedotlvé odoty zau se začí,,,, de e rozsa souboru (apřílad př určováí výšy studetů daé studí supy e statstcý zae výša studetů, odotou zau e číselě vyádřeá příslušá výša studeta, apř. 8 c). Hodoty zau oou být vyádřey buď čísly, ebo ý způsobe (zpravdla sloví popse). V prví případě luvíe o zacíc vattatvíc, apř. tělesá výša, tělesá otost, počet obyvatel ěst, atp. V drué případě luvíe o zacíc valtatvíc, teré se oou vysytovat ve dvou druzíc (zay alteratví, apř. už-žea, voáevoá, prospěl-eprospěl) ebo ve více druzíc (apř. povoláí, árodost, ábožeství, atp.). V toto tetu se dále budee zabývat pouze zay vattatví. Další poy Když ( ) a M a( ), pa terval, M e varačí obor arguetu X..... Hodota R = M - e varačí rozpětí arguetu X. Jestlže se odota vysytue v souboru f -rát, azývá se f absolutí četost odoty. Jestlže arguet X abývá v souboru růzýc odot,,,, pa tyto odoty seřazeé podle velost spolu s ec absolutí četost f tvoří varačí řadu (statstcou řadu). f Hodota e relatví četost odoty, odota F f e uulatví četost do, odota F e relatví uulatví četost do. Přílad 7..: Určete relatví, uulatví a relatví uulatví četost varačí řady: 0 f 7 56 0 Řešeí: Všecy četost vypočtee z výše uvedeýc vzorců:
5, f 9 0 Σ f 7 56 0 9 0,07 0,95 0,76 0,0 0,08 F 7 5 07 7 9 0,07 0, 0,78 0,99 7. Caratersty statstcéo souboru s edí arguete Caratersty statstcýc souborů se defuí aalogcy ao caratersty áodé proěé X, terou e u statstcýc souborů uvažovaý arguet. Úlou pravděpodobost zde raí relatví četost φ (ve sodě se statstcou defcí pravděpodobost) a fuce φ() a Φ() lze považovat za eprcé pravděpodobostí fuce varačí řady s aalogcý vlastost, aé aí pravděpodobostí a dstrbučí fuce áodé velčy X - p() a F(). Mez edůležtěší číselé caratersty statstcéo souboru patří ásleduící caratersty poloy a varablty, z cž větša e odvozea z oetovýc caraterst. Caratersty poloy Eprcá středí odota: f, e artetcý průěr odot zau X. Modus statstcéo souboru Mo() e ta odota arguetu X, terá se v souboru vysytue ečastě (á evětší absolutí četost f ). Poud e v souboru taovýc odot více, odus se zpravdla eurčue. Medá statstcéo souboru Me() e ta odota arguetu X, terá rozdělue soubor uspořádaý podle velost a dvě část o steé počtu prvů. Určíe e ásledově: - odoty arguetu X uspořádáe podle velost, - edá určíe ao prostředí prve tato uspořádaéo statstcéo souboru, poud á teto soubor lcý počet prvů (tedy poud rozsa souboru e lcé číslo, tz. : eí celé číslo), v opačé případě e určíe ao artetcý průěr dvou prostředíc prvů, tz. prvů s pořadí.0,5 a.0,5+. Eprcý p-vatl e taová odota p, terá rozdělue soubor uspořádaý podle velost a dvě část s rozsay v poěru p:(-p) (tz. 00p procet prvů souboru á odotu arguetu X eší ebo rovu p ). Hodotu eprcéo p-vatlu určíe obdobě ao odotu edáu, eboť Me() = 0,5. Eprcý p-vatl tedy určíe ao prve uspořádaéo souboru s pořadový čísle z p =.p+0,5, poud z p e celé číslo, a e vypočtee ao artetcý průěr dvou sousedíc prvů.
ečastě používaý vatly sou vartly ( 0,5, 0,5, 0,75 ), decly ( 0,, 0,,, 0,9 ) a percetly ( 0,0, 0,0,, 0,99 ). Caratersty varablty Eprcý rozptyl: s D( X ) f. evýodou použtí eprcéo rozptylu aožto íry varablty e to, že edota této caratersty e druou ocou edoty proěé X. apř. e-l proěou deí tržba uvedeá v Kč, bude rozptyl této proěé vyádře v Kč. ásleduící íra varablty tuto vlastost eá. Eprcá sěrodatá (stadardí) odcyla: s. Sěrodatá odcyla ěří rozptýleost dat ole ec průěru, přčež s 0 pouze v případec, dy se všeca data rovaí steé odotě, a e s 0. Sěrodatá odcyla středí odota sou slě ovlvěy etréí (odlelý) odota, eda odlelá odota e ůže výrazě zět. Je-l rozložeí dat slě zešeé (zstíe poocí oefcetu šost - vz. dále), sěrodatá odcyla eposytue dobrou forac o rozptýleost dat - v těcto případec používáe vatlové caratersty. evýodou eprcéo rozptylu sěrodaté odcyly e sutečost, že euožňuí porovávat varabltu proěýc vyádřeýc v růzýc edotác. Která proěá á větší varabltu výša ebo otost dospěléo člověa? a tuto otázu á dá odpověď tzv. varačí oefcet. Varačí oefcet: s v. Varačí oefcet e bezrozěrý. Uvádíe e často v procetec (odotu zísaou z defčío vzorce vyásobíe 00%). Větší rozptýleost vyazuí velčy s větší varačí oefcete. Moetové caratersty Moetové caratersty defuee tato: Počátečí eprcý oet -téo řádu: f. Z počátečíc eprcýc oetů á evětší výza oet prvío řádu (stupě), terý představue eprcou středí odotu ( Cetrálí eprcý oet -téo řádu: f. ).
Cetrálí eprcý oet prvío řádu e rove ule a eá žádé pratcé uplatěí. edůležtěší cetrálí eprcý oete e oet druéo řádu - eprcý rozptyl ( s ). Pro výpočty cetrálíc oetů se často používaí vzorce aalogcé tě, teré se ž uvedl v Kaptole.:,, 6, orovaý eprcý oet -téo řádu: ~ s. orovaé eprcé oety. a. řádu se epoužívaí, eboť ~ 0 a ~. orovaé eprcé oety. a. řádu slouží ao uazatele šost a špčatost: Eprcý oefcet asyetre (šost): ~ A. Tato caratersta udává, sou-l odoty arguetu X rozložey ole středí odoty souěrě ebo e-l ec rozděleí zešeo a edu strau. Eprcý oefcet ecesu (špčatost): ~ e. Caratersta špčatost udává, aý průbě á rozděleí odot ole středí odoty. Čí e rozděleí špčatěší, tí víc sou odoty soustředěy ole středu. Rozděleí s ízou špčatostí pa často obsaue odoty vel vzdáleé od středu rozděleí. Přílad 7..: Určete eprcou středí odotu, rozptyl, sěrodatou odcylu, oefcety asyetre a ecesu, odus a vartly statstcéo souboru zadaéo varačí řadou: 0 f 7 5 0 Řešeí: Všecy caratersty vypočtee z výše uvedeýc vzorců: 5 7.0. 5. 0..,97 f,97 eprcá středí odota 7.0. 5. 0.., 9 5 f,0 eprcý rozptyl s,00 eprcá sěrodatá odcyla
7.0. 5. 0.., 097 5 f 0,67 ~ 0,67 A 0,5 eprcý oefcet asyetre,00 5 f 7.0. 5. 0.. 6,650, 8 ~,650 e 0,55 eprcý oefcet ecesu,00 Mo odus (odota s evětší absolutí četostí) Př výpočtu vartlů určíe eprve ec pořadí podle vzorce: z p =.p + 0,5: z 0,5 =.0,5 + 0,5 = 6,5; z 0,5 =.0,5 + 0,5 = 7,5; z 0,75 =.0,75 + 0,5 = 08,5. Z vypočteýc pořadí vdíe, že. vartl se vypočte ao artetcý průěr odot 6. a 7. prvu statstcéo souboru uspořádaéo podle velost. Z tabuly e patré, že obě odoty sou rovy, tz. 0,5 =... dolí vartl, obdobě 0,5 = edá, 0,75 =... orí vartl. Přílad 7..: Př zšťováí IQ u supy čtyřcet studetů byly aěřey tyto odoty: 68, 7, 7, 78, 8, 8, 87, 9, 9, 9, 9, 97, 0, 0, 0, 0, 05, 05, 09, 0,,,,,,,,,, 6, 8, 9,,,,, 6,,, 7. Určete pro teto statstcý soubor eprcou středí odotu, rozptyl, sěrodatou odcylu, oefcety asyetre a ecesu, odus a vartly. Řešeí: Všecy caratersty byco ol vypočíst steý způsobe ao v příladu 7.., usel byco vša z odot arguetu X výše IQ, sestavt varačí řadu. Tato procedura e vša zbytečá, uvědoíe-l s, že výše uvedeé vzorce e ožo použít ta, že v c eusíe uvažovat růzýc odot,,, s ec absolutí četost f, ale ůžee pracovat přío s odota,,,, teré eusí být utě růzé, ale aždéu prvu, =,,, e třeba přřadt četost f =. Výpočty pa budou vypadat ásledově: 0 68 7 7... 7 05,575 0 05,575 eprcá středí odota 68 7 7... 7 9,95 0 0 9,8 eprcý rozptyl s 7, eprcá sěrodatá odcyla 5
68 7 7... 7 6708,5 0 0-06,997 ~ - 06,997 A - 0,78 eprcý oefcet asyetre 7, 0 0 6 6, 68 7 7... 7 0950, 5 ~ 6, e - 0, eprcý oefcet ecesu 7, Mo odus (odota s evětší absolutí četostí) Př výpočtu vartlů určíe eprve ec pořadí podle vzorce: z p =.p + 0,5: z 0,5 = 0.0,5 + 0,5 = 0,5; z 0,5 = 0.0,5 + 0,5 = 0,5; z 0,75 = 0.0,75 + 0,5 = 0,5. Z vypočteýc pořadí vdíe, že. vartl se vypočte ao artetcý průěr odot 0. a. prvu statstcéo souboru uspořádaéo podle velost, obě tyto odoty sou rovy číslu 9, tz. 0,5 = 9... dolí vartl, obdobě 0,5 = 0,5 edá, 0,75 = 7... orí vartl. U souboru, terý eí zadá varačí řadou, ale výčte prvů, s lze ěteré výpočty zedodušt užtí ecelovsýc fucí. Jedá se o fuce: PRŮMĚR, VAR, SMODCH, MODE a QUARTIL. Máe-l apřílad odoty ašeo statstcéo souboru uístěy v buňác A:A0, budou výpočty poocí těcto fucí vypadat ásledově: = PRŮMĚR(A:A0) 05,575; s = VAR(A:A0) 9,8; s = SMODCH(A:A0) 7,; Mo = MODE(A:A0) = ; 0,5 = QUARTIL(A:A0;) = 9; 0,5 = QUARTIL(A:A0;) = 0,5; 0,75 = QUARTIL(A:A0;) = 6,5. Př výpočtu vartlů používá Ecel ý postup, ež se s uázal y, proto se v ěterýc případec oou výsledy zísaé užtí fuce QUARTIL od ašc výsledů lšt, a e tou apř. u 0,75. V pra se přto používaí postupy oba, ebudee proto žádý z c upředostňovat a aopa zavrovat a volbu etody výpočtu vartlů poecáe a čteář. 7. Zpracováí rozsáléo statstcéo souboru Obsaue-l statstcý soubor velý počet růzýc odot arguetu X, sdružuee odoty arguetu do tervalů zvaýc třídy. Obvyle volíe ostatí šířu třídy. 6
Hrace tříd e uto volt ta, aby aždý prve statstcéo souboru bylo ožé zařadt právě do edé třídy. Počet tříd volíe podle účelu zouáí, obvyle 5-0 tříd. Přesé pravdlo pro výpočet počtu tříd eestue. Uvedee alespoň ěterá doporučeí: pro šířu třídy by ělo přblžě platt:,08.( a ), 0 počet tříd by ěl splňovat edu z vlastostí:,. log, 5. log,, pro 0 00 volíe 7-0 tříd, pro 00 500 volíe evýše 5 tříd, pro 500 volíe evýše 0 tříd. Př zpracováí statstcéo souboru aradíe všecy odoty v daé třídě edou odotou, tzv. třídí zae, terý e artetcý průěr obou ezí třídy. Třídí za zastupue všecy odoty, teré do této třídy patří. Počet odot ve třídě e třídí četost. Po rozděleí souboru do tříd už epočítáe s edotlvý odota, ale s třída, třídí zay a třídí četost. Rozděleí varačío oboru a třídy a srutí všec odot arguetu v aždé třídě do třídío zau se dopouštíe př výpočtu cetrálíc oetů systeatcýc cyb. Aglcý statst W. F. Separd odvodl v r. 897 orece, ž lze tyto cyby orgovat. Začí-l šířu třídy, sou opraveé oety dáy vzorc, záý ao Separdovy orece: ˆ, ˆ (oety lcýc řádů se eopravuí) ˆ, ˆ 7 0. Modus statstcéo souboru, terý e rozděle do tříd, vypočtee terpolací podle vzorce: f f Mo, f f f střed -té třídy s evětší absolutí četostí f, šířa třídy. Kvatly se v toto případě určí opět terpolací: p (. p F ), f pořadí třídy, do íž e zařaze (.p)-tý prve uspořádaéo souboru, střed -té třídy, F uulatví absolutí četost ( )-vé třídy, f absolutí četost -té třídy. 7
Přílad 7..: U dvacet áodě vybraýc studetů byl ěře výo v běu a 00 etrů. Byly zísáy tyto údae (v seudác):,;,7;,9;,;,;,5;,6;,9;,;,;,;,5; 5,; 5,7; 5,8; 5,9; 6,; 6,5; 7,; 7,. Proveďte třídí rozděleí četostí ta, aby šířa třídy byla rova a dolí ez prví třídy, a vypočtěte středí odotu a rozptyl tooto třídě rozděleéo souboru. Řešeí: Třídě rozděleý soubor: třída: střed třídy ( ): třídí četost (f ): -,5 -,5 5-5,5 5-6 5,5 6-7 6,5 7-8 7,5 f.,5 5.,5.,5 0.5,5.6,5.7,5, 65,65 středí odota třídě rozděleéo souboru.,5 5.,5.,5.5,5.6,5.7,5 6,950 f 0,7, ˆ rozptyl třídě rozděleéo souboru Přílad 7..: Určete oetové caratersty do. řádu, odus a vartly ásleduícío třídě rozděleéo souboru: 90 0 0 50 70 90 50 50 550 570 f 7 0 5 Řešeí: Počátečí oety se vypočítaí podle vzorce 0 f 00 00 7.90 0.0....570 57, f 57, středí odota třídě rozděleéo souboru 7.90 0.0....570 0 708 0 f 00 00 0 f 7.90 0.0....570 00 00 0 f 7.90 0.0....570 00 00 97 77 70 5 707 859 600 : 8
Cetrálí oety se vypočítaí podle vzorce f se provedou Separdovy orece: 0 f ( ) 0 00, u oetů sudýc řádů 0 ( ) 7.(90 57,) 0.(0 57,)....(570 57,) f 00 00 0 ˆ 59,9 59,9 rozptyl třídě rozděleéo souboru ˆ 9, s 8, sěrodatá odcyla třídě rozděleéo souboru 7.(90 57,)....(570 57,) 9 88, 88 0 ( ) f 00 00 0 ( ) 7.(90 57,)....(570 57,) f 00 00 7 99 90, 7 0 ˆ 9 7 65 0 Cetrálí oety se vypočítaí podle vzorce ~ ~ ~ ˆ ~ 0 0,56 ~ s : A 0,56 oefcet asyetre třídě rozděleéo souboru ~ ˆ ~,577 e 0,577 oefcet ecesu třídě rozděleéo souboru Modus třídě rozděleéo souboru vypočtee podle vzorce Mo de e střed -té třídy s evětší absolutí četostí f, tedy 70,a 5 70 0 Mo 6,75.5 Pro vartly použee vzorec p p F (. ) f, de e pořadí třídy, do íž e zařaze (.p)-tý prve uspořádaéo souboru: 0 0 0,5 0 (5 7), f f f f f, 9
0 0 50 (50 ) 57, 0 0 70 (75 5) 77,6 5 0,5 0,75 0
Přílady procvčeí:. Určete edá, středí odotu a sěrodatou odcylu ěsíčí spotřeby eletrcé eerge (v W) v bytec z ásleduícíc údaů: 69, 08, 6,,, 68, 5, 8, 0, 66, 7, 05, 6, 0, 85, 87, 0, 8, 9, 8, 58, 96, 95,, 7.. Zoušy žvotost žárove daly ásleduící výsledy (v odác): 606, 9, 67,, 50, 0, 09, 957, 6, 80, 08, 69,, 7, 58, 80, 0, 76, 97, 59. Určete středí dobu a dsperz žvotost žárove.. Sledovaý statstcý za abyl těcto odot: 60, 80, 80, 00, 00, 00, 00, 0, 0, 50, 50, 60, 80, 00, 00, 00, 00, 00, 0, 50, 50, 50, 80, 00, 00, 00, 00, 50, 50, 60, 80, 00, 00, 00, 00, 0, 50, 500, 500, 550. Proveďte třídí rozděleí četostí ta, aby šířa třídy byla rova 00 a dolí ez prví třídy 55, a vypočtěte středí odotu, rozptyl a edá tooto třídě rozděleéo souboru.