Připrav se a státí maturití zoušu z MATEMATIKY důladě, z pohodlí domova a olie PRACOVNÍ SEŠIT 9. tematicý oruh: KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA vytvořila: RNDr. Věra Effeberger eperta a olie přípravu a SMZ z matematiy šolí ro 04/05 RNDr. Věra Effeberger www.zvladimatiu.cz
Příprava a SMZ z MATEMATIKY olie! Toto je bous číslo výuovému videu: Kombiatoria, pravděpodobost a statistia. Než si video zapeš, ta si pracoví sešit vytisi a při sledováí videa si do ěj doplňuj vešeré pozámy, slova a přílady. Udrží tě to v pozorosti a budeš se moci zapsaým iformacím později vracet. Když už tě Kombiatoria, pravděpodobost a statistia uaví, ebo tě přestaou bavit, dej si jedoduše pauzu a poračuj později. Pracoví sešit ti bude sloužit hlavě opaováí, je v ěm totiž úplě všecho, co tématu Kombiatoria, pravděpodobost a statistia musíš zát. Neí už tedy třeba hledat iformace v učebicích, starých sešitech ebo si platit doučováí. Příjemé učeí s www.zvladimatiu.cz! Prohlášeí: Teto pracoví sešit je iformačím produtem, terý doprovází výuové video Kombiatoria, pravděpodobost a statistia. Jaéoliv šířeí ebo posytováí videa a pracovího sešitu třetím osobám bez souhlasu autory je zaázáo! Děuji za pochopeí a respetováí tohoto sděleí. Stažeím tohoto materiálu rozumíte, že jaéoli použití iformací z tohoto materiálu a úspěchy či eúspěchy z toho plyoucí, jsou pouze ve Vašich ruách a autora za ě eese žádou zodpovědost. šolí ro 04/5 RNDr. Věra Effeberger
Příprava a SMZ z MATEMATIKY olie! 9. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA 9. ZÁKLADNÍ POZNATKY Z KOMBINATORIKY A PRAVDĚPODOBNOSTI KOMBINATORIKA Kombiatoria je součástí matematiy, což je obor matematiy, terý studuje pouze vlastosti souborů (moži a uspořádaých či euspořádaých -tic, N ). Budeme se zde tedy zabývat vytvářeím supi z daých prvů a určováí jejich počtu Záladí ombiatoricá pravidla Abychom vyřešili většiu ombiatoricých úloh, musíme zát jedoduchá ombiatoricá pravidla, se terými si dost často vystačíme. Kombiatoricé pravidlo součiu: Počet všech -tic, jejichž prví čle lze vybrat způsoby, druhý čle po výběru prvího čleu způsoby atd. až -tý čle po výběru všech předcházejících čleů způsoby, je rove. Moje pomůca: A ZÁROVEŇ Přílad: V čtyřmístém ódu je a prvím místě jedo z písme: E, F, G ebo H a dalších dvou pozicích je libovolé číslo od do 66 a a posledím místě ódu je jede ze zaů: ebo +. (Př. ódů: F49+, G37 apod.) Určete počet všech tato vytvořeých ódů. šolí ro 04/5 RNDr. Věra Effeberger 3
Příprava a SMZ z MATEMATIKY olie! Kombiatoricé pravidlo součtu: Jsou-li A, A,, A oečé možiy, teré mají po řadě,,, prvů, a platí, že aždé dvě tyto možiy jsou, pa počet prvů možiy A A A je rove. Moje pomůca: NEBO Přílady: Čtverec o straě 4 jedoty je rozděle a 6 jedotových čtverců (viz obráze). Určete počet všech čtverců, teré v ěm lze alézt. Turisté se chtějí ejprve občerstvit a pa jít a výlet - a hrad. Z místa, de ocují, vedou tři růzé cesty do restaurace a z restaurace potom 4 další cesty a hrad. Určete počet možých tras, terými se mohou turisté vydat a výlet a zpět, jestliže se při zpátečí cestě opět zastaví v restauraci a právě jedu z vybraých cest použijí dvarát. Fatoriál Kvůli ratšímu a stručějšímu zápisu všech přirozeých čísel od do se zavádí symbol!, terý se čte: a defiuje se tedy jao:! Dále se defiuje rovost: pro aždé 0! N. šolí ro 04/5 RNDr. Věra Effeberger 4
Příprava a SMZ z MATEMATIKY olie! Přílady: 3! 5!! 4! 8 5! 6! 4 5! 7!!! 9!! 6 3!!! Řešte rovice v Z: 3! 6 4 ( )! 58! 55! Variace Poud máme spočítat počet všech, ja z prvů vybrat -čleou supiu, ve teré ám záleží a pořadí ebo a pozici jedotlivých čleů, ombiatoricy počítáme. -čleá variace z prvů (, N, ) je -tice sestaveá z těchto prvů ta, že se v í aždý vysytuje ejvýše jedou. Počet V, všech -čleých variací z prvů vypočítáme ásledově: V,!! šolí ro 04/5 RNDr. Věra Effeberger 5
Příprava a SMZ z MATEMATIKY olie! Přílady: V míse je jablo, hruša, brosev a pomerač. Kolia způsoby můžeme vybrat jedo ovoce sídai, jedo e svačiě a jedo obědu? Určete počet všech přirozeých čísel meších ež 700, v jejichž deadicém zápisu jsou pouze cifry 3, 5, 7, 9, aždá ejvýše jedou. Výbor sportovího lubu tvoří šest mužů a čtyři žey. Určete, olia způsoby z ich lze vybrat předsedu, místopředsedu a poladía (poz.: tyto posty můžou zastávat samozřejmě i žey). Variace s opaováím Poud máme spočítat počet všech, ja z prvů vybrat -čleou supiu, ve teré ám záleží a pořadí ebo a pozici jedotlivých čleů a čleové se mohou opaovat, jedá se o variace s. -čleá variace s opaováím z prvů (, N, ) je -tice sestaveá z těchto prvů ta, že se v í aždý vysytuje ejvýše -rát. šolí ro 04/5 RNDr. Věra Effeberger 6
Příprava a SMZ z MATEMATIKY olie! Počet V, všech -čleých variací s opaováím z prvů vypočítáme: V, Přílady: Máme 4 růzé pastely: modrou, červeou, žlutou a zeleou. A chceme s imi vybarvit všecha tři pole ásledujícího obrázu. Koli možostí vybarveí můžeme vytvořit? PIN ód e aždé telefoí SIM artě je čtyřmístý číselý ód. Koli taových ódů lze vytvořit? Permutace Jestliže máme spočítat všechy možosti, ja uspořádat prvů, počítáme v ombiatorice permutace ( ). Permutace z prvů ( N ) je uspořádaá -tice sestaveá z těchto prvů ta, že se v í aždý vysytuje ejvýše. Je dobré si uvědomit, že permutace z prvů je v podstatě -čleá z těchto prvů. šolí ro 04/5 RNDr. Věra Effeberger 7
Příprava a SMZ z MATEMATIKY olie! Pro počet P všech permutací prvů platí vzorec: Přílady:! P Koli čtyř písmeých růzých slov zle vytvořit z písme Z, A, K, L ta, aby se písmea ve slově eopaovala? Určete, olia způsoby může 0 táboríů při ástupu a raí rozcviču astoupit a) do řady; b) do řady, v íž je táborí Aleš a raji. Kombiace (bez opaováí) Poud máme spočítat počet všech možostí, ja z prvů vybrat -čleou supiu a ezáleží ám a ebo a jedotlivých čleů, počítáme ombiace. -čleá ombiace z prvů (, N, ) je -tice sestaveá z těchto prvů ta, že se v í aždý vysytuje ejvýše jedou. Počet K, všech -čleých ombiací z prvů vypočítáme ásledově:! K,, N0,!! KOMBINAČNÍ ČÍSLO - čteme: ad šolí ro 04/5 RNDr. Věra Effeberger 8
Příprava a SMZ z MATEMATIKY olie! 9 šolí ro 04/5 RNDr. Věra Effeberger Je dobré si uvědomit, že platí:!,, V K Kombiačí čísla Kombiačí číslo ad defiujeme vzorcem: Záladí vlastosti ombiačích čísel: Pro aždé N platí: 0 0 0 Pro aždé N,, 0, platí: Pro aždé N,, 0, platí: Přílady: Vypočítejte: 3 5 5 8 V oboru celých čísel řešte rovice: 45 3 5 4 Kombiačí leště
Příprava a SMZ z MATEMATIKY olie! Přílady: Ve sladu je 5 výrobů, mezi imi jsou 3 vadé. Kolia způsoby z ich můžeme vybrat oleci pěti výrobů, aby: a) všechy byly dobré, b) byl právě jede vadý, c) byl ejvýš jede vadý? Ze supiy mužů a 8 že se má vybrat volejbalové družstvo, ve terém budou právě 3 žey a 3 muži. Kolia způsoby lze taové družstvo sestavit? Koli hráčů se zúčastilo turaje ve stolím teisu, jestliže bylo odehráo zápasů a hráči hráli aždý s aždým jedou? PRAVDĚPODOBNOST Záladí pojmy Náhodý pous je taový, jehož výslede eí předem urče podmíami, za terých je provádě Přílady áhodých pousů:. šolí ro 04/5 RNDr. Věra Effeberger 0
Příprava a SMZ z MATEMATIKY olie! Možia všech možých výsledů áhodého pousu možia všech možých ( ) áhodého pousu, teré mají tyto vlastosti: avzájem se (astal-li jede, emohl astat druhý) a jede z ich astae vždy (tz. emůže astat žádý jiý výslede ež jede z vyjmeovaých). Přílad: U rodi se třemi dětmi se zjišťuje pohlaví dětí. Vypište všechy možé výsledy, teré mohou astat, jestliže při tom záleží a pořadí dětí podle věu. Náhodý jev A je áhodého pousu je podmožiou možiy všech možých výsledů (o jevech tedy platí vše, co o možiách) Přílady áhodých jevů:. Elemetárí jevy jsou všechy možé dále výsledy áhodého pousu Přílady elemetárích jevů:. Jev opačý (doplňový) A astává právě tehdy, dyž jev A Přílady opačých jevů:. šolí ro 04/5 RNDr. Věra Effeberger
Příprava a SMZ z MATEMATIKY olie! Jev jistý jedá se o jev, terý astae Přílady jevů jistých:.. Jev emožý jedá se o jev, terý emůže astat Přílady jevů emožých:. Je-li A, říáme, že výslede je přízivý jevu A. Je-li A B, říáme, že jev A je podjevem jevu B. Přílady:. Sjedoceím jevů A a B azýváme jev jede z jevů A a B. A B, terý astává právě tehdy, dyž astae Přílady:. Průiem jevů A a B azýváme jev jevy A a B. A B, terý astává právě tehdy, dyž astaou oba Je-li A B 0, říáme, že jevy A a B se avzájem vylučují. Přílady:. šolí ro 04/5 RNDr. Věra Effeberger
Příprava a SMZ z MATEMATIKY olie! Výpočet pravděpodobosti Pravděpodobost P(A) jevu A v áhodém pousu s oečou možiou všech výsledů, teré jsou stejě možé, je rova : A m PA, m de: m(a) je počet m je počet.. Pro pravděpodobost platí: Pravděpodobost emožého jevu je rova. Pravděpodobost jistého jevu je rova. Pro pravděpodobost libovolého jevu A platí: P A Pro pravděpodobost opačého jevu A platí: PA PA Přílady: Z bedy, terá obsahuje 6 dobrý výrobů a 4 zmety, vybereme amátou pět výrobů. Jaá je pravděpodobost, že jsme si vybrali samé dobré výroby? Zvolíme áhodě rodiu se 3 dětmi. Jaá je pravděpodobost tohoto jevu: dvě ejstarší děti jsou dívy? šolí ro 04/5 RNDr. Věra Effeberger 3
Příprava a SMZ z MATEMATIKY olie! Sčítáí pravděpodobostí Jestliže se dva jevy A a B avzájem, zameá to, že A B 0 (emůžou astat současě), potom pravděpodobost sjedoceí těchto dvou jevů se rová jejich pravděpodobostí. P A B PA PB Poud pro dva jevy A a B výše zmíěé eplatí (tedy jejich sjedoceí se vypočítá ásledově: P A B A B 0 ), potom pravděpodobost Přílady: Ve třídě je 5 žáů, v hodiě budou vyvolái 3 žáci. Jaá je pravděpodobost, že mezi imi bude Oliver ebo Havel? Soutěže se pravidelě účastí muži a žey, ja dospělí, ta i děti. Pravděpodobost, že zvítězí muž je 0,6. Pravděpodobost, že zvítězí chlapec je 0,4. Dospělá žea zvítězí s pravděpodobostí 0,3. Je občas vyhraje díva. Jaá je pravděpodobost, že: a) vyhraje žea (dospělá či díva)? b) zvítězí dospělí muž? c) vyhraje ějaé dítě (chlapec či díva)? d) ezvítězí chlapec? šolí ro 04/5 RNDr. Věra Effeberger 4
Příprava a SMZ z MATEMATIKY olie! 9. ZÁKLADNÍ POZNATKY ZE STATISTIKY Statistia a záladí pojmy Statistia zoumá výsyt jevů a vybraých souborech jediců. Na záladě vlastostí souboru usuzuje jaé vlastosti má celá. STATISTIKA NUDA JE, Statistia ve smyslu statisticých statisticé statisticých Statisticý soubor souhr (osob, věcí, jevů, apod.), terý z hledisa ějaé vlastosti ebo jevu statistia zoumá Statisticá jedota statisticého souboru Rozsah souboru statisticých jedote ve statisticém souboru Poud apř. zoumáme hmotost dětí při ástupu do třídy.a, ta: statisticým souborem je, statisticé jedoty jsou, rozsah souboru se rová počtu, statisticým zaem je. Statisticý za daá zoumaá, zoumaý jev Můžeme zoumat: vatitativí za lze ho vyjádřit hodotou Hodota zau hodota daého zoumaého statisticého zau valitativí za ho vyjádřit číselou hodotou šolí ro 04/5 RNDr. Věra Effeberger 5
Příprava a SMZ z MATEMATIKY olie! Tříděí statisticého souboru Jestliže zísáme ějaá statisticá data, ejčastěji ěoli (desíte, stove ) hodot zoumaého statisticého zau, je důležité umět je. Prvím roem by mělo být tříděí statisticého souboru, pomocí ěhož budeme mít lepší přehled. (ABSOLUTNÍ) ČETNOST statisticého zau v souboru = udává výsytů daé hodoty zau v souboru Začí se: Platí: i i RELATIVNÍ ČETNOST = začí jaá (procetuálí) souboru má daou hodotu Začí se: i Platí: p 00% i p i 00% i Přílad: Určete rozsah souboru a sestavte tabulu rozložeí absolutích a relativích četostí věu zaměstaců jedé firmy, teří odcházejí do důchodu. Zotrolujte součet relativích četostí: 6 60 56 57 64 56 56 6 6 63 63 63 6 6 60 57 56 58 58 6 6 64 58 59 6 6 6 56 57 58 59 59 59 59 60 6 56 57 6 6 6 6 57 58 59 59 60 63 64 56 šolí ro 04/5 RNDr. Věra Effeberger 6
Příprava a SMZ z MATEMATIKY olie! Četosti jedotlivých hodot statisticého zau můžeme zázorit pomocí diagramů: A) spojicový diagram B) sloupcový diagram C) hůlový diagram D) ruhový výsečový diagram šolí ro 04/5 RNDr. Věra Effeberger 7
Příprava a SMZ z MATEMATIKY olie! Statisticé charateristiy Statisticé charateristiy jsou iformace, teré defiovaým způsobem vypovídají o zpracovaém souboru. Zejméa u velých souborů slouží e sazší. Jsou to hodoty, teré popisují polohu, rozptýleí či vychýleí statisticého zau. Rozlišujeme dva hlaví druhy statisticých charateristi: charateristiy POLOHY: aritmeticý průměr, geometricý průměr, harmoicý průměr, vadraticý průměr, modus, vatily (mediá, vartil, vitil, decil, percetil,..) charateristiy VARIABILITY (rozptýleí): rozptyl, směrodatá odchyla, průměrá absolutí odchyla, variačí oeficiet, variačí rozpětí Poz.: Nyí budeme uvažovat pouze statisticé zay! Charateristiy polohy Nědy je za potřebí ahradit všechy hodoty zau hodotou jediou, terá jistým způsobem soubor popisuje - zastupuje, tuto hodotu azýváme: středí hodota zau (jedá se o charateristiu polohy) ARITMETICKÝ PRŮMĚR: = začí se: a vypočítáme ho ásledově: i i Tedy postup výpočtu je taový, že sečteme všechy hodoty zoumaého zau a vydělíme jejich (rozsahem souboru). šolí ro 04/5 RNDr. Věra Effeberger 8
Příprava a SMZ z MATEMATIKY olie! Eistují taé jié průměry, apř.: Geometricý průměr * g i i Harmoicý průměr * h i i Kvadraticý průměr * i i MODUS = začí se: Jedá se o hodotu zau, terá má ejvětší. Určuje se je u souborů s jediou hodotou o ejvětší četosti. MEDIÁN = začí se: Mediá určuje hodotu všech hodot zoumaého zau seřazeých vzestupě (ebo sestupě). Mediá zau abývajícího hodot (seřazeých do elesající poslouposti od ejmeší po ejvětší hodotu) je pro: Výpočet: pro liché rove prostředímu čleu oečé elesající poslouposti - mediá je tedy hodota čleu, terý má pořadové číslo: Med ( ),,, šolí ro 04/5 RNDr. Věra Effeberger 9
Příprava a SMZ z MATEMATIKY olie! pro sudé rove aritmeticému průměru dvou prostředích čleů oečé elesající poslouposti,,,. - mediá je tedy aritmeticým průměrem čleů a pozicích a. Med ( ) PERCENTIL = začí se: Percetil dělí celý (vzestupě seřazeý) statisticý soubor a setiy. Prví, druhý až 99. percetil je hodota acházející se v jedé, dvou až 99 setiách pořadí. Napřílad pod 70. percetilem se vysytuje 70 % všech ostatích hodot a ad ím je 30 % ostatích hodot. Padesátý percetil je shodý s mediáem. Přílady: Z předchozího příladu, de byl zoumá vě zaměstaců jedé firmy při odchodu do důchodu, vypočítejte průměrý důchodový vě, dále určete modus a mediá. šolí ro 04/5 RNDr. Věra Effeberger 0
Příprava a SMZ z MATEMATIKY olie! Charateristiy variability Jedá se o odchyly od středích hodot. Charaterizují šířu oolí, ve terém jsou hodoty zau olem vybraé středí hodoty sesupey. Poz.: V ásledujících situacích budeme jao středí hodotu používat průměr! ROZPTYL eboli VARIANCE = začí se: a vypočítáme ho ásledově: s Počítáme tedy průměrou plochu do středí hodoty statisticého zau, ve teré se všechy hodoty vysytují. i i SMĚRODATNÁ ODCHYLKA = začí se: a vypočítáme ji ásledově: s s Vypočítáme ji jao druhou odmociu z rozptylu. Dále lze počítat i ásledující charateristiy : Průměrá absolutí odchyla d i i s Variačí oeficiet v 00% Variačí rozpětí R ma mi šolí ro 04/5 RNDr. Věra Effeberger
Příprava a SMZ z MATEMATIKY olie! Přílady: Následující čísla jsou počty vytržeých zubů u vybraých pacietů daého zubaře za dobu 5 let: 4, 0, 8, 4, 5, 6,, 3, 8,, 8, 9, 7,, 5, 3, 7,,, 9,, 5, 4,, 8, 9, 3, 8,, 7, 3, 0, 5,,, 6, 3,, 6, 5, 4, 7,, 4,, 3, 4, 3, 6,. Utvořte tabulu rozděleí absolutích a relativích četostí. Zázorěte četosti pomocí polygou. Určete aritmeticý průměr, modus a mediá. Určete rozptyl a směrodatou odchylu. BOMBA, TEORII KE KOMBINATORICE, PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTICE MÁŠ ZA SEBOU! A MŮŽEŠ NA DALŠÍ KURZ šolí ro 04/5 RNDr. Věra Effeberger