Diferenciální rovnice 1. řádu

Kapiola Diferenciální rovnice. řádu. Lineární diferenciální rovnice. řádu Klíčová slova: Obyčejná lineární diferenciální rovnice prvního řádu, pravá srana rovnice, homogenní rovnice, rovnice s nulovou pravou sranou, nehomogenní rovnice, rovnice s nenulovou pravou sranou, řešení rovnice, Cauchyova úloha, počáeční okamžik, počáeční hodnoa, počáeční podmínka, počáeční úloha, řešení Cauchyovy úlohy, obecný var řešení.. Cauchyova úloha pro homogenní lineární diferenciální rovnici. řádu Obecný var řešení homogenní lineární rovnice Úvahy o diferenciálních rovnicích začneme homogenní lineární diferenciální rovnicí. řádu, kerou budeme zapisova ve varu ẋ = h()x, (.) kde h() je nějaká reálná funkce reálné proměnné. Rovnici (.) zapisujeme časo aké ve varu ẋ h()x = 0, a proo se pro ni vedle názvu homogenní rovnice používá i název rovnice s nulovou pravou sranou. O funkci h() budeme předpokláda, že je definovaná a spojiá buď na celé množině R, nebo na konečném množsví inervalů v R. V dalším můžeme edy všechny úvahy provádě pro hodnoy proměnné z nějakého inervalu J R, na němž je funkce h() spojiá. m rovnice (.) na inervalu I J budeme nazýva akovou reálnou funkci u(), kerá má v každém bodě inervalu I derivaci a splňuje ideniu u() = h()u() pro všechna I. (.2) Jelikož předpokládáme, že řešení u() má v inervalu I derivaci, musí bý v omo inervalu spojié. Podle předpokladu je aké funkce h() spojiá, akže z rovnosi (.2) plyne, že řešení u() má na celém inervalu I dokonce spojiou derivaci. Je zřejmé, že funkce u() = 0 pro všechna J je řešením rovnice (.). Takové řešení nazýváme riviálním řešením. Hledejme nyní neriviální řešení u() rovnice (.). Neriviální řešení musí bý v nějakém bodě nenulové, a jelikož je spojié, musí pak bý nenulové na nějakém celém nedegenerovaném inervalu I J. Na akovém inervalu můžeme rovnos (.2) přepsa na var u() u() = h(), I. 3

4 KAPITOLA. DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE. ŘÁDU Na obou sranách přejdeme k primiivním funkcím. Přiom inegrační konsanu z prakických důvodů, keré čenář brzo objeví, budeme zapisova ve varu ln c, kde c je libovolné nenulové reálné číslo. Dosaneme ak rovnos ln u() = h() d + ln c. Přechodem k funkci inverzní k logarimické funkci dosáváme h() u() = c e d, I. (.3) Vidíme, že oo neriviální řešení je nenulové na celém svém definičním oboru. Je edy buď všude kladné, nebo všude záporné. To nám umožňuje vypořáda se s absoluními hodnoami ve vzahu (.3) jednoduše ak, že je vynecháme a dosaneme hledané neriviální řešení rovnice (.) h() u() = ce d, I. (.4) Jelikož funkce h() je podle předpokladu spojiá na celém inervalu J, je i inegrál na pravé sraně (.4) definován pro všechna J. To znamená, že funkce (.4) je řešením rovnice (.) na celém inervalu J, na němž je koeficien h() spojiá funkce. Uvědomme si ješě, že vzahy (.2) a (.4) jsou ekvivalenní v om smyslu, že každá funkce u(), kerá vyhovuje rovnosi (.2), je dána předpisem (.4), a každá funkce daná předpisem (.4) vyhovuje rovnosi (.2). To znamená, že každé neriviální řešení rovnice (.) je dáno předpisem (.4). Navíc vzah (.4) můžeme rozšíři i na případ riviálního řešení ím, že dovolíme, aby konsana c směla nabýva i hodnou 0. Později uvidíme, že každé řešení homogenní rovnice (.) lze dosa z předpisu (.4) vhodnou volbou konsany c. Proo pro předpis (.4) používáme název obecný var řešení rovnice (.) a zapisujeme jej pomocí symbolu u(; c) h() u(; c) = ce d, J. (.5) K omuo názvu je řeba podoknou, že v řadě učebnic se používá pro funkci (.5) název obecné řešení rovnice (.). Avšak řešení rovnice (.) je podle definice reálná funkce jedné proměnné, zaímco funkce (.5) je funkcí dvou proměnných, a o a c. Odud plyne poněkud groeskní důsledek, že obecné řešení rovnice (.) není jejím řešením. Too je důvod, proč zavádíme podsaně výsižnější název obecný var řešení. Cauchyova úloha pro homogenní lineární rovnici V obecném varu řešení rovnice (.) se vyskyuje jeden volný paramer c, akže u(; c) je vlasně jednoparamerický sysém řešení rovnice (.). Praxe nás však zpravidla saví do siuace, kdy máme nají jedno konkréní řešení, keré v zadaném počáečním okamžiku nabývá zadanou počáeční hodnou ξ (viz obr..). x v(;, ξ) ξ (, ξ) æ Obrázek.: K ilusraci Cauchyovy úlohy Tuo podmínku zapisujeme ve varu x() = ξ (.6)

.. LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE. ŘÁDU 5 a nazýváme ji počáeční podmínkou. Úlohu nají řešení rovnice (.) splňující počáeční podmínku (.6) zapisujeme ve varu ẋ = h()x, x() = ξ, (.7) a říkáme jí Cauchyova (nebo aké počáeční) úloha pro homogenní lineární diferenciální rovnici. řádu. Doporučujeme čenáři, aby si rozmyslel, jaký fyzikální význam má počáeční podmínka N(0) = N 0 v příkladu z úvodu. Abychom zdůraznili, že řešení Cauchyovy úlohy závisí i na počáečních podmínkách a ξ, budeme pro řešení Cauchyovy úlohy používa vedle sručného zápisu u() i poněkud podrobnější zápis u(;, ξ), a o zejména v siuacích, kdy máme rozlišova mezi několika řešeními éže rovnice pro několik různých počáečních podmínek. Uvědomme si, že uvedený zápis připomíná funkce ří proměnných, a ξ. Jako řešení konkréní Cauchyovy úlohy při pevně daných počáečních údajích a ξ je o však sále funkce jen jediné proměnné, a o času. Na druhé sraně se však časo v praxi vyšeřuje i závislos řešení na změnách hodno a ξ. (Obvykle se uvažují malé změny, předsavující různé náhodné poruchy.) Používaná erminologie počáeční okamžik a počáeční hodnoa je poněkud zavádějící. Je-li oiž funkce u(), J, řešením úlohy (.7), pak sice musí plai J, ale není nuné, aby okamžik byl počáečním bodem inervalu J. V našich úvahách se dokonce budeme sekáva éměř výhradně se siuací, kdy řešení úlohy (.7) je definováno v nějakém okolí bodu. u(;, ξ) Cauchyovy úlohy (.7) najdeme ak, že do obecného varu řešení u(; c) dosadíme za, resp. x počáeční hodnoy, resp. ξ z podmínky (.6). Dosaneme ak vzah u(, c) = ξ, z něhož můžeme urči hodnou konsany c. u(;, ξ) Cauchyovy úlohy (.7) můžeme hleda aké ak, že v posupu, jímž jsme hledali obecný var řešení u(; c), použijeme míso neurčiého inegrálu určiý inegrál v mezích od do. Míso vzahu (.4) pak dosaneme přímo předpis pro řešení u(;, ξ). u() u(;, ξ) Cauchyovy úlohy (.7) musí splňova rovnos u() = h()u(), u() = ξ. (.8) Uvažujeme samozřejmě ξ 0 (pro ξ = 0 se jedná o riviální řešení). Z ideniy (.8) vyplývá u() = h(). (.9) u() Levá srana rovnosi (.9) se dá napsa jako derivace složené funkce, a edy u() u() = d d ln u() = h(). (.0) (Vzhledem k omu, že u() 0 pro všechna J, je u() > 0 pro ξ > 0 a u() < 0 pro ξ < 0, akže absoluní hodnoa při derivování nevadí.) Inegrací všech členů rovnosi (.0) od do dosáváme j. u(s) u(s) ds = d ds ln u(s) ds = ln u(s) = ln u() u() = h(s) ds, Odud přechodem k inverzní funkci a po jednoduché úpravě dosaneme h(s) ds. (.) u() = ξ e h(s) ds. (.2)

6 KAPITOLA. DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE. ŘÁDU Jelikož řešení u() nemůže na inervalu J měni své znaménko, bude znaménko funkce u() dáno znaménkem čísla ξ. Vráíme-li se nyní od našeho pracovního označení u() k podrobnějšímu označení u(;, ξ), můžeme dosažený výsledek zapsa ve varu u(;, ξ) = ξe h(s) ds, J, (.3) což je řešení Cauchyovy úlohy pro homogenní rovnici. Do ohoo výsledku můžeme zahrnou i případ riviálního řešení pro ξ = 0. Ze vzahu (.3) vidíme, že řešení Cauchyovy úlohy (.7) je jednoznačně určeno svojí počáeční podmínkou. V eorii lineárních sysémů se eno výsledek zapisuje pomocí zv. funkce přechodu U(, ) definované vzahem U(, ) = e h(s) ds, J. (.4) (.3) homogenní Cauchyovy úlohy, zapsáno pomocí éo funkce, má pak var u(;, ξ) = ξu(, ), J. (.5) Z (.5) vidíme, že funkce U(, ) popisuje přechod řešení homogenní rovnice ze savu u(;, ξ) = ξ v okamžiku do savu u(;, ξ), což je sav v okamžiku. To je důvod, proč se éo funkci v eorii sysémů říká funkce přechodu. Přímo z definičního vzahu (.4) plyne, že funkce přechodu má yo vlasnosi: Příklady. Máme nají obecný var řešení rovnice a řešení Cauchyovy úlohy U(, ) > 0 pro všechna, J ; (.6) U(, ) = pro všechna J ; (.7) U(, )U(, s) = U(, s) pro všechna,, s J ; (.8) U(, ) = U(, ) pro všechna, J ; (.9) d U(, ) = h()u(, ) pro všechna, J. (.20) d ẋ + 2 x = 0 (.2) ẋ + 2 x = 0, x(3) = 5. (.22) Funkce h() = 2 je spojiá na celé reálné ose R. Rovnice má riviální řešení u() = 0 definované pro všechna R. Budeme hleda neriviální řešení u() 0. Vyjdeme ze vzahu (.2), kerý pro naši rovnici má var Upravíme jej na var a obě srany zinegrujeme. Dosaneme u() = 2 u(), R. u() u() = 2 u() u() d = 2 d,

.. LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE. ŘÁDU 7 neboli ln u() = 3 3 + ln c. Zde opě vyjadřujeme inegrační konsanu pomocí logarimu. Zřejmá úprava dává ln u() c = 3 3. Odud přechodem k inverzní funkci na obou sranách rovnosi dosáváme u() = ce 3 3, R. Nalezli jsme ak obecný var řešení rovnice (.2) u(; c) = ce 3 3, R. (.23) Nyní budeme hleda řešení Cauchyovy úlohy (.22). Do předpisu (.23) pro obecný var řešení u(; c) dosadíme = 3 a u(3; c) = 5. Dosaneme rovnos u(3; c) = 5 = ce 3 33 = ce 9. Odud c = 5e 9. Dosadíme do (.23) a dosaneme řešení Cauchyovy úlohy (.22) u(; 3, 5) = 5e 3 3 +9, R. (.24) u(; 3, 5) můžeme hleda aké pomocí funkce přechodu ve varu Podle (.4) je Odud podle (.5) je U(; 3) = e u(;, ξ) = ξu(, ), R. ( s 2 ) ds 2. Máme nají obecný var řešení rovnice 3 = e 3 s3 3 = e 3 (3 27) = e 3 3 +9. u(; 3, 5) = 5e 3 3 +9, R. ẋ = 2 x (.25) a řešení Cauchyovy úlohy ẋ = x, x(0) = 7. (.26) 2 Funkce h() = je definovaná a spojiě diferencovaelná na inervalu J = (, ). Na omo 2 inervalu má rovnice jak riviální řešení u() = 0, ak i nekonečně mnoho neriviálních řešení. Pro neriviální řešení u() 0 dosáváme rovnos u() u() d = d, (, ), 2 a po inegraci Odud ln u() = arcsin + ln c, (, ). u() = ce arcsin, (, ).

8 KAPITOLA. DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE. ŘÁDU Obecný var řešení rovnice (.25) edy je u(; c) = ce arcsin, (, ). (.27) Nyní budeme hleda řešení Cauchyovy úlohy (.26). Do předpisu (.27) pro obecný var řešení dosadíme = 0 a u(0; c) = 7. Dosaneme rovnos u(0; c) = 7 = ce arcsin 0 = c. Dosadíme do (.27) a dosaneme řešení Cauchyovy úlohy (.26) u(; 0, 7) = 7e arcsin, (, ). (.28) 3. Máme zjisi, jak se chovají řešení rovnice kde k je reálná konsana, pro a. ẋ = kx, (.29) Zřejmě jde o rovnici (.), kde h() = k pro R. Po snadném výpoču máme u(; c) = ce k,, c R. Vidíme, že asympoické chování ěcho řešení závisí na znaménku čísla k. pro, c > 0, Je-li k > 0, pak lim u(; c) = pro, c < 0, 0 pro. 0 pro, Je-li k < 0, pak lim u(; c) = pro, c > 0, pro, c < 0. Pro k = 0 je u() = c konsanní řešení, akže obě limiy jsou rovny konsaně c. Speciálně pro volbu c = 0 je u() riviální řešení, j. obě limiy jsou nulové pro všechna k R. Úlohy. Najděe obecný var u(; c) řešení následujících homogenních lineárních rovnic. (a) ẋ = 2x. (b) ẋ = x sin. (c) ẋ = (d) ẋ = x. 3 2 + x. u(; c) = ce 2, R. u(; c) = ce cos, R. u(; c) = c, (, ) nebo (, ). u(; c) = c(2 + ) 3/2, R. 2. Najděe řešení následujících Cauchyových úloh. (a) ẋ = 2x, x(0) =. u(; 0, ) = e 2, R. (b) ẋ = x sin, x(π/2) = 3. u(; π/2, 3) = 3e cos, R. (c) ẋ = x, x( ) = 6. u(;, 6) = 2, (, ). (d) ẋ = 3 2 + x, x(0) =. u(; 0, ) = (2 + ) 3/2, R.

.. LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE. ŘÁDU 9..2 Cauchyova úloha pro nehomogenní lineární diferenciální rovnici Obecný var řešení nehomogenní rovnice Nyní se budeme zabýva nehomogenní lineární diferenciální rovnici. řádu ẋ = h()x + q(), J. (.30) Opě budeme naše úvahy provádě na nějakém inervalu J, na němž jsou funkce h() a q() spojié a funkce q() na něm není idenicky nulová. Časo se ao rovnice zapisuje ve varu ẋ h()x = q(), J. (.3) Z ohoo zápisu je parné, proč o nehomogenní rovnici (.30) mluvíme jako o rovnici s nenulovou pravou sranou. m rovnice (.30) na inervalu J budeme rozumě reálnou funkci v(), kerá je definovaná na inervalu J, má derivaci v každém bodě inervalu J a splňuje ideniu v() = h()v() + q() pro všechna J. (.32) Když hledáme řešení rovnice (.30), vycházíme ze znalosi obecného varu řešení u(; c) příslušné homogenní rovnice ẋ = h()x, J, (.33) keré, jak víme z (.4), má var h() u(; c) = ce d, J. (.34) Nechť w() je nějaké jedno řešení nehomogenní rovnice (.30), keré budeme nazýva parikulárním řešením a nechť v() je libovolné řešení rovnice (.30). Snadno se ověří, že rozdíl v() w() je řešením příslušné homogenní rovnice (.33), a edy v() w() = u(; c) pro nějakou volbu konsany c. To znamená, že každé řešení nehomogenní rovnice lze psá ve varu v(; c) = u(; c) + w(), J, (.35) kde u(; c) je obecný var řešení příslušné homogenní rovnice a w() je nějaké jedno známé řešení nehomogenní rovnice. Jednoparamerický sysém funkcí v(; c) budeme nazýva obecným varem řešení nehomogenní rovnice (.30). Meoda odhadu pro q() = Q r ()e σ Abychom našli obecný var řešení nehomogenní rovnice, pořebujeme zná nějaké její parikulární řešení. Nyní popíšeme meodu odhadu varu řešení, kerá umožňuje akové řešení nají pro rovnice, jejichž pravé srany jsou vyvořené jako součy součinů funkcí k, e σ, sin ω a cos ω. Takové funkce nazýváme kvázipolynomy a mluvíme pak o diferenciální rovnici s kvázipolynomiální pravou sranou. Budeme hleda parikulární řešení nehomogenní lineární diferenciální rovnice ẋ + ax = Q r ()e σ, (.36) kde koeficien a je reálná konsana, Q r () je polynom supně r a exponen σ v exponenciální funkci na pravé sraně je rovněž reálná konsana. Parikulární řešení rovnice (.36) budeme hleda ve varu w() = k R()e σ, R, (.37)

0 KAPITOLA. DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE. ŘÁDU kde R() je polynom supně r, jehož koeficieny můžeme nají např. meodou neurčiých koeficienů a exponen k u proměnné je v případě, že σ = a, jinak je nula. Analogicky posupujeme i při řešení nehomogenní lineární diferenciální rovnice varu ẋ + ax = s Q rj ()e σj, (.38) j= kde Q rj (), j =, 2,..., s, je polynom supně r j. V omo případě můžeme úlohu (.38) převés na s úloh ypu (.36). Snadno se oiž ověří, že pro lineární rovnice plaí oo vrzení: Jsou-li funkce w j () pro j =, 2,..., m řešeními rovnice pak funkce w() = w () + w 2 () + + w m () je řešením rovnice ẋ + ax = g j (), j =, 2,..., m, (.39) ẋ + ax = g () + g 2 () + + g m (). (.40) Tao vlasnos lineárních rovnic se aké nazývá princip superpozice. Podle ohoo vrzení sačí nají pro každé j =, 2,..., m řešení w j () rovnice (.36) s Q r ()e σ = Q rj ()e σj a souče w ()+w 2 ()+ +w m () ako nalezených řešení bude řešením rovnice (.38). Časo však posupujeme při výpoču ak, že i řešení rovnice (.38) hledáme najednou ve varu w() = k R ()e σ + k2 R 2 ()e σ2 + + ks R s ()e σs, R, (.4) kde R j () je polynom supně r j a exponen k j = jesliže σ j = a, jinak k j = 0. Příklady. Máme nají obecný var řešení rovnice ẋ 2x = 9e. (.42) Máme nají obecný var řešení nehomogenní lineární rovnice s kvázipolynomiální pravou sranou ypu (.36). Obecný var řešení příslušné homogenní rovnice je u(, c) = ce 2, R. Jelikož pro koeficien σ = v exponenu pravé srany plaí σ = a = 2, hledáme parikulární řešení w() podle (.37) ve varu w() = (a + b)e. (.43) Vypočeme derivaci ẇ() = (a a b)e a dosadíme do rovnice (.42). Dosaneme rovnos (a a b)e 2(a + b)e = 9e. Odud porovnáním koeficienů u sejných funkcí dosaneme a = 3, b =. Dosadíme do (.43) a dosaneme parikulární řešení w() = (3 + )e, R. Obecným varem řešení rovnice (.42) je edy jednoparamerický sysém funkcí v(; c) = u(; c) + w() = ce 2 + (3 + )e,, c R.

.. LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE. ŘÁDU 2. Máme nají obecný var řešení rovnice ẋ 2x = 8e 2. (.44) Máme nají obecný var řešení nehomogenní lineární rovnice s kvázipolynomiální pravou sranou ypu (.36). Obecný var řešení příslušné homogenní rovnice je u(, c) = ce 2, R. Jelikož pro koeficien σ = 2 v exponenu pravé srany plaí σ = 2 = a = 2, hledáme parikulární řešení w() podle (.37) ve varu w() = (a + b)e 2 = (a 2 + b)e 2. (.45) Vypočeme derivaci ẇ() = (2a + b + 2a 2 + 2b)e 2 a dosadíme do rovnice (.44). Dosaneme rovnos (2a + b + 2a 2 + 2b)e 2 2(a 2 + b)e 2 = 8e 2. Odud porovnáním koeficienů u sejných funkcí dosaneme a = 4, b = 0. Dosadíme do (.45) a dosaneme parikulární řešení w() = 4e 2, R. Obecným varem řešení rovnice (.44) je edy jednoparamerický sysém funkcí 3. Máme nají obecný var řešení rovnice v(; c) = ce 2 + 4e 2,, c R. ẋ 3x = e + e 3 +. (.46) Hledáme obecný var řešení nehomogenní rovnice s kvázipolynomiální pravou sranou ypu (.38) s s = 3, r = r 2 = 0, r 3 =, σ =, σ 2 = 3, σ 3 = 0. Obecný var řešení homogenní rovnice je u(; c) = ce 3,, c R. Pro exponeny exponenciálních funkcí v jednolivých sčíancích na pravé sraně plaí σ = a = 3, σ 2 = 3 = a = 3 a σ 3 = 0 a = 3, akže parikulární řešení w() hledáme podle (.4) ve varu w() = ae + be 3 + (c + d). (.47) Vypočeme derivaci funkce w() a dosadíme do rovnice (.46). Dosaneme rovnos ae + (b + 3b)e 3 + c 3ae 3be 3 + 3c 3d = e + e 3 +. (.48) Jelikož funkce e, e 3,, jsou lineárně nezávislé, musí bý koeficieny v lineárních kombinacích na obou sranách rovnosi (.48) sejné. Porovnáním ěcho koeficienů dosaneme a = 2, b =, c = 3, d = 9. Dosadíme do (.47) a dosaneme parikulární řešení w() = 2 e + e 3 3 9, R. Obecným varem řešení rovnice (.46) je edy jednoparamerický sysém funkcí v(; c) = ce 3 2 e + e 3 3 9,, c R.

2 KAPITOLA. DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE. ŘÁDU Úlohy. Uveďe, v jakém varu budee hleda parikulární řešení následujících rovnic. (a) ẋ + 6x = 3 3 + 8. w() = a 3 + b 2 + c + d. (b) ẋ + 2x = e 2 + e. w() = (a + b)e 2 + ce. (c) ẋ + x = 2 + e. w() = (a + b) + (c + d)e. 2. Máme nají obecný var řešení následujících rovnic. (a) ẋ + 2x = 2 2 3. (b) ẋ + x = 2 + 4. (c) ẋ + 2x = 3e. (d) ẋ + x = 4e. (e) ẋ 2x = 3 + 2. (f) ẋ + x = ( 2 )e 2. (g) ẋ + 3x = (2 )e 3. v(; c) = ce 2 + 2,, c R. v(; c) = ce + 2 + 2,, c R. v(; c) = ce 2 + 3( )e,, c R. v(; c) = ce + 2 2 e,, c R. v(; c) = ce 2 32 74,, c R. ( v(; c) = ce + e 2 2 3 2 9 7 ),, c R. 27 x = e 3 (c + 2 ),, c R. Meoda odhadu pro q() = Q r () cos ω Posupem popsaným výše můžeme hleda aké parikulární řešení rovnice ẋ + ax = Q r () cos ω, (.49) resp. ẋ + ax = Q r () sin ω, (.50) kde Q r () je polynom r ého supně a ω je libovolné reálné číslo. Parikulární řešení rovnice (.49) i rovnice (.50) hledáme ve varu w() = R () cos ω + R 2 () sin ω, (.5) kde R (), R 2 () jsou vhodné polynomy r ého supně. Analogicky posupujeme i v případě rovnice ẋ + ax = Q r ()e σ cos ω, (.52) resp. ẋ + ax = Q r ()e σ sin ω. (.53) V ěcho případech hledáme řešení ve varu w() = e σ (R () cos ω + R 2 () sin ω), R, (.54) kde R () a R 2 () jsou opě polynomy supně r, jejichž koeficieny můžeme nají např. meodou neurčiých koeficienů. Pro řešení obecnějších rovnic ohoo ypu plaí následující vrzení.

.. LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE. ŘÁDU 3 Nechť je dána nehomogenní lineární diferenciální rovnice ẋ + ax = P r ()e σ cos ω + Q s ()e σ sin ω, (.55) kde P r (), resp. Q s () je polynom s reálnými koeficieny supně r, resp. s, čísla σ, ω jsou reálná, ω 0. Pak rovnice (.55) má řešení varu w() = e σ (R () cos ω + R 2 () sin ω), (.56) kde R (), R 2 () jsou polynomy s reálnými koeficieny, jejichž supeň je roven věšímu ze supňů r, s polynomů P r (), Q s (). Příklady. Máme nají obecný var řešení rovnice ẋ + x = sin. (.57) Máme nají obecný var řešení nehomogenní rovnice s kvázipolynomiální pravou sranou ypu (.49). Obecný var řešení příslušné homogenní rovnice je u(; c) = ce,, c R. Parikulární řešení hledáme ve varu w() = a cos + b sin. (.58) Po dosazení ẇ() a w() do rovnice (.57) za ẋ a x dosaneme rovnos a sin +b cos + a cos + b sin = sin pro všechna R. Proože funkce sin a cos jsou lineárně nezávislé, musí plai a + b =, a + b = 0. Odud a = 2 = b, akže w() = 2 cos + sin, R. 2 Hledaný obecný var řešení je pak 2. Máme nají obecný var řešení rovnice v(; c) = ce 2 cos + sin,, c R. 2 ẋ + x = (4 + 2) cos + 6 sin. (.59) rovnice (.59) můžeme hleda buď pomocí principu superpozice ak, že hledáme řešení rovnic ypu (.49), resp. (.50) pro každého sčíance na pravé sraně zvlášť, nebo ho hledáme jako pro rovnici (.55) podle vzorce (.56) ve varu w() = (a + b) cos + (c + d) sin. Dosadíme-li hodnoy w() a ẇ() do rovnice (.59) za x a ẋ, dosaneme po jednoduché úpravě rovnos (a + b + d + (a + c)) cos + ( b + c + d + (c a)) sin = = (4 + 2) cos + 6 sin pro všechna R. Funkce cos a sin jsou lineárně nezávislé, akže koeficieny u nich na obou sranách musí bý sobě rovny. Odud plyne a = 2, b = 2, c = d = 2. w() má edy var Hledaný obecný var řešení je pak w() = 2( ) cos + 2( + ) sin, R. v(; c) = ce + 2( ) cos + 2( + ) sin,, c R.

4 KAPITOLA. DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE. ŘÁDU 3. Máme nají obecný var řešení rovnice ẋ + 2x = 0e cos 2. (.60) Obecný var řešení homogenní rovnice je u(; c) = ce 2,, c R. Parikulární řešení w() hledáme podle (.54) ve varu w() = e (a cos 2 + b sin 2), R, (.6) kde a, b jsou vhodná reálná čísla. Jejich hodnoy dosaneme ak, že do rovnice (.60) dosadíme hodnoy w() a ẇ() za x a ẋ. Sandardním posupem ak dosaneme a = 30/3 a b = 20/3. Je edy w() = 0 3 e (3 cos 2 + 2 sin 2), R. Hledaný obecný var řešení rovnice (.60) je v(; c) = ce 2 + 0 3 e (3 cos 2 + 2 sin 2), R. Úlohy. Uveďe, v jakém varu budee hleda parikulární řešení následujících rovnic. (a) ẋ + 3x = e cos + 5 sin 3. (b) ẋ + 0x = e 3 + 2e 3 cos. w() = e (a cos + b sin ) + c cos 3 + d sin 3. w() = e 3 (a + b cos + c sin ). (c) ẋ + 2x = e cos 2 + e 2 sin. w() = e (a cos 2 + b sin 2) + e 2 (c + d) sin + (f + g) cos ). 2. Máme nají obecný var řešení následujících rovnic. (a) ẋ + x = 6 sin 2. v(; c) = ce 2 5 cos 2 + 6 5 (b) ẋ + 3x = 2 cos 2. v(; c) = ce 3 + 6 4 cos 2 + 3 3 (c) ẋ + 2x = 3 sin 2 4 cos 2. (d) ẋ + x = 3 sin 4. (e) ẋ + 4x = 3 cos 2. (f) ẋ + 2x = 4 sin 2. sin 2,, c R. sin 2,, c R. v(; c) = ce 2 4 sin 2 74 cos 2,, c R. v(; c) = ce + 3 7 v(; c) = ce 4 + 3 8 + 3 sin 4 2 7 cos 4,, c R. 20 sin 2 + 3 cos 2,, c R. 0 v(; c) = ce 2 + 2 (cos 2 + sin 2),, c R. (g) ẋ + 3x = sin 2 cos 3. (h) ẋ + x = 2 cos cos 2. (i) ẋ + 4x = 2e sin 3. v(; c) = ce 3 3 20 sin + 20 cos + 3 68 5 sin 5 cos 5,, c R. 68 v(; c) = ce + (cos + sin ) + (cos 3 + 3 sin 3),, c R. 2 0 v(; c) = ce 4 + e ( 3 cos 3 + 3 sin 3 ),, c R.

.. LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE. ŘÁDU 5 (j) ẋ + 3x = e (2 sin cos ). (k) ẋ + 2x = 4e cos 2. v(; c) = ce 3 + e 5 (3 sin 4 cos ),, c R. v(; c) = ce 2 + 4 5 e (cos 2 + 2 sin 2),, c R. Meoda variace konsany Obecný var řešení homogenní rovnice u(; c) už umíme nají. Abychom našli obecný var řešení nehomogenní rovnice v(; c), musíme nají nějaké parikulární řešení w() rovnice (.30). Too řešení budeme hleda ve varu (.34), avšak míso konsany c budeme psá prozaím neznámou funkci c(). Teno posup se nazývá variace konsany. Vycházíme edy z rovnosi h() w() = c()e d. (.62) Derivováním obou sran dosaneme ẇ() = ċ()e h() d h() + c()h()e d. Funkce w() a ẇ() dosadíme do vzahu (.30) za x a ẋ. Získáme ak podmínku pro funkci c() h() ċ()e d h() + c()h()e d h() = h()c()e d + q(), kerou můžeme zapsa ve varu ċ() = q()e h() d. (.63) Pravá srana éo rovnosi je spojiá funkce na inervalu J. Proo k ní exisuje primiivní funkce, např. c() = q()e h() d d. (.64) Vzhledem k omu, že sačí nají jedno libovolné parikulární řešení rovnice (.30), nezáleží na om, jakou primiivní funkci volíme, j. jak volíme inegrační konsanu. Máme edy h() w() = c()e d, J, kde funkce c() je dána předpisem (.64). Hledaný obecný var řešení nehomogenní rovnice (.30) je pak dán předpisem h() v(; c) = u(; c) + c()e d, J, (.65) nebo po dosazení za u(; c) a c() h() v(; c) = ce d h() d + e q()e h() d d, J. (.66) Teno předpis pro obecný var řešení nehomogenní rovnice (.30) vypadá značně složiý. Při konkréním výpoču však nepoužíváme zpravidla přímo eno předpis, ale posup, jímž jsme k němu dospěli. Ukážeme si o na příkladech. Příklady. Hledejme obecný var řešení rovnice ẋ = x + 3. (.67) Zde je h() =, (, 0) (0, ) a q() = 3, R. budeme hleda na inervalu J = (, 0). Posup pro volbu J = (0, ) je sejný. Nejdříve nalezneme sandardním posupem podle (.4) obecný var řešení příslušné homogenní rovnice u(; c) = ce ( ) d = c.

6 KAPITOLA. DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE. ŘÁDU Obecný var řešení nehomogenní rovnice hledáme podle (.35) jako souče v(; c) = u(; c) + w() = c + w(), (.68) kde parikulární řešení w() budeme hleda podle (.62) ve varu Funkci w() a její derivaci w() = c() ẇ() = ċ() c() 2 dosadíme do rovnice (.67). Dosaneme ak podmínku pro funkci ċ() ċ() = 3 2. Odud inegrací dosáváme hledaný koeficien parikulárního řešení c() = 3 2 d = 3.. (.69) Nyní dosadíme nalezenou funkci c() do (.69) a příslušné parikulární řešení w() dosadíme do (.68). Dosaneme hledaný obecný var řešení rovnice (.67) 2. Máme nají obecný var řešení rovnice v(; c) = c + 2, (, 0). (.70) ẋ = x cog + e sin. (.7) Jedná se o nehomogenní lineární rovnici, kde funkce h() = cog a q() = e sin jsou spojié na každém inervalu J k = (kπ, (k + )π) pro nějaké k Z. budeme edy hleda na libovolném z ěcho inervalů J k. Nejdříve nalezneme podle (.4) obecný var řešení homogenní rovnice cog u(; c) = ce d cos = ce sin d = ce ln sin = c sin, J k. V posledním kroku jsme využili skuečnosi, že funkce sin nemění na inervalu J k znaménko, a že edy oo znaménko můžeme vloži do konsany c a znak absoluní hodnoy pak můžeme vynecha. Obecný var řešení nehomogenní rovnice bude podle (.35) kde parikulární řešení w() hledáme ve varu v(; c) = c sin + w(), (.72) w() = c() sin. (.73) Jesliže dosadíme do rovnice (.7) za x funkci w() a za ẋ její derivaci ẇ() = ċ() sin + c() cos, po jednoduché úpravě dosaneme a edy ċ() sin = e sin, c() = e d = e. Nyní dosadíme c() do (.73) a příslušné parikulární řešení w() dosadíme do (.72). Dosaneme obecný var řešení nehomogenní rovnice (.7) v(; c) = c sin + e sin, J k = (kπ, (k + )π). (.74)

.. LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE. ŘÁDU 7 Úlohy Nalezněe obecný var řešení následujících rovnic.. ẋ = 3 x + 2 3. v(; c) = c 2. ẋ = 4 2 + x + 2 +. 3. ẋ = x g + cos. 4. ẋ = 2x + 2e 2. 5. ẋ = x cog + 2 sin. v(; c) = c cos + 3 + 2 v(; c) =, (, 0) nebo (0, ). 2 c ( 2 + ) 2 + 3 + 3 3( 2 + ) 2, R. ((2k cos, ) π ) 2, (2k + )π 2, k Z. v(; c) = ce 2 + 2 e 2, R. v(; c) = c sin + 2 sin, (kπ, (k + )π), k Z. 6. ẋ x = e. v(; c) = ce + e,, c R. 7. ẋ = 2x +. v(; c) = c 2 + 2,, c R. 8. ẋ = (x + ). v(; c) = ce 2 2,, c R. 9. ẋ + x + = 2. v(; c) = c + 3 + 4 3 2( + ),, c R. 0. ẋ + 2 x = 2.. ẋ + x = e ( ). v(; c) = ce 3 3 +,, c R. v(; c) = ce e ln,, c R. 2. ẋ + x = 3. v(; c) = c + 3,, c R. Cauchyova úloha pro nehomogenní rovnici Budeme se nyní zabýva Cauchyovou (nebo aké počáeční) úlohou pro nehomogenní lineární diferenciální rovnici ẋ = h()x + q(), x() = ξ. (.75) m Cauchyovy úlohy (.75) budeme i nyní podobně jako u homogenních rovnic rozumě jakékoli řešení v() příslušné rovnice, keré navíc splňuje počáeční podmínku v() = ξ. Abychom zdůraznili, že řešení Cauchyovy úlohy závisí i na počáečních podmínkách a ξ, budeme vedle sručného zápisu v() používa i podrobnější zápis v(;, ξ). Připomeňme si opě, že uvedený zápis připomíná funkci ří proměnných, a ξ. Jako řešení konkréní Cauchyovy úlohy při pevně daných počáečních údajích a ξ je o však sále funkce jen jediné proměnné, a o času. Známe-li obecný var řešení v(; c) nehomogenní rovnice v úloze (.75), pak řešení v(;, ξ) Cauchyovy úlohy (.75) najdeme ak, že do obecného varu řešení v(; c) dosadíme za, resp. x počáeční hodnoy, resp. ξ. Dosaneme ak vzah v(, c) = ξ, z něhož můžeme urči hodnou konsany c. Příklady. Hledejme řešení Cauchyovy úlohy ẋ = x + 3, x() = 3. (.76) Z (.70) víme, že v(; c) = c + 2, J.

8 KAPITOLA. DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE. ŘÁDU Jelikož je =, musíme voli J = (0, ). Dosadíme-li do ohoo obecného varu řešení za proměnnou počáeční okamžik = a za proměnnou x počáeční hodnou ξ = 3, dosaneme pro konsanu c podmínku v(, c) = c + = 3, a edy c = 2. v(;, 3), splňující sanovenou počáeční podmínku, má edy var v(;, 3) = 2 + 2, (0, ). (.77) Uvědomme si ješě, že počáeční okamžik byl dán uvniř inervalu (0, ), a proo jsme dosali řešení definované pouze v omo inervalu. Funkce (.77) je sice definovaná i na inervalu (, 0), ale na omo inervalu není řešením zadané Cauchyovy úlohy. Tao Cauchyova úloha oiž vzhledem k podmínce = na inervalu (, 0) žádné řešení mí nemůže. 2. Hledejme řešení Cauchyovy úlohy pro (, ξ) (π, 2π) R. Z (.74) známe obecný var řešení rovnice (.78) akže musí plai Odud ẋ = x cog + e sin, x() = ξ, (.78) v(; c) = c sin + e sin, (kπ, (k + )π), v(, c) = c sin + e sin = ξ. c = ξ e sin sin m Cauchyovy úlohy (.78) je edy funkce ( ) ξ v(;, ξ) = sin e + e sin, (π, 2π). Definičním oborem řešení Cauchyovy úlohy (.78) je inerval (π, 2π), proože je (π, 2π) a funkce h() i q() jsou v omo inervalu spojié. 3. Hledejme řešení Cauchyovy úlohy. ẋ = e 2 x, x(2) = 5. (.79) Zde je h() = e 2 a inegrál e 2 d neumíme vyjádři pomocí elemenárních funkcí. Nejsme edy schopni použí předchozí posup k výpoču konsany c. Úlohy Nalezněe řešení následujících Cauchyových úloh.. ẋ = 3 x + 2 3, x(2) = 3. v(; 2, 3) = 20 3 + 2 2, > 0. 2. ẋ = 4 2 + x + 2, x(0) = 0. + 3. ẋ = x g +, x(0) =. cos v(; 0, 0) = 3 + 3 3( 2 + ) 2, R. v(; 0, ) = + ( cos, π 2, π ). 2 4. ẋ = 2x + 2e 2, x() = ξ, (, ξ) R R. v(;, ξ) = (ξe 2 + 2 2 )e 2, R.

.. LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE. ŘÁDU 9 5. ẋ = x cog + 2 sin, x() = ξ, (, ξ) R R. ( ) ξ v(;, ξ) = sin + 2 2 sin, (kπ, (k + )π), k Z. Formule variace konsan pro nehomogenní lineární diferenciální rovnici. řádu Vraťme se ješě k řešení Cauchyovy úlohy ẋ = h()x + q(), x() = ξ. (.80) K výpoču parikulárního řešení w() nehomogenní rovnice použijeme meodu variace konsany. w() budeme hleda ve varu součinu (.5), kde míso počáeční hodnoy ξ dáme neznámou funkci c(), j. ve varu w() = c()u(, ). (.8) Dosadíme do nehomogenní rovnice (.80) a dosáváme Podle (.20) je ċ()u(, ) + c() d U(, ) = h()c()u(, ) + q(), J. (.82) d c() d U(, ) = c()h()u(, ), d akže po dosazení do (.82) a jednoduché úpravě dosáváme podmínku pro funkci c() nebo vzhledem k (.9) ċ()u(, ) = q(), J, Uvědomme si, že podle (.4) ao rovnos znamená ċ() = U(, )q(), J. (.83) ċ() = q()e h(s) ds, J, což je rovnos (.63). Inegrací obou sran rovnosi (.83) od do dosaneme c() c() = U(, s)q(s) ds, J. Proože hledáme nějaké jedno libovolné parikulární řešení w(), můžeme inegrační konsanu voli libovolně. Volíme c() = 0. Dosadíme-li funkci c() = do vzahu (.8) pro hledané řešení, dosaneme w() = U(, ) U(, s)q(s) ds, J, (.84) U(, s)q(s) ds. Využijeme ješě rovnos (.8) a dosaneme hledané parikulární řešení w() = U(, s)q(s) ds, J.

20 KAPITOLA. DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE. ŘÁDU Obecný var řešení nehomogenní rovnice (.80) je v(;, ξ) = ξu(, ) + U(, s)q(s) ds, J. (.85) Pomocí definičního vzahu (.4) můžeme uo rovnos vyjádři ve varu v(;, ξ) = ξe h(s) ds + e s q(s) ds, J. (.86) Rovnos (.86) se obvykle nazývá formule variace konsan pro Cauchyovu úlohu (.80). Používá se zejména při hledání odhadů velikosi řešení, jeho asympoického chování, při sudiu sabiliy a pod. V eorii sysémů se formule (.86) obvykle nazývá úplná odezva sysému. První sčíanec na pravé sraně rovnosi se nazývá odezva sysému při nulovém vsupu, druhý sčíanec odezva sysému při nulovém počáečním savu. Vzahy (.85) a (.86), keré udávají var řešení Cauchyovy úlohy (.80), vypadají značně nepřehledně. Proo si jejich použií k výpoču řešení převedeme do poněkud přehlednějšího posupu. Rovnos v(;, ξ) = ξu(, ) + U(, ) U(, s)q(s) ds = můžeme zapsa jako souče kde a = ξu(, ) + U(, ) q(s) U(s, ) ds, J, v(;, ξ) = u(;, ξ) + U(, )c(), J, (.87) u(;, ξ) = ξu(, ) c() = Při řešení Cauchyovy úlohy pak posupujeme ako: q(s) U(s, ) ds.. Nalezneme funkci 2. zapíšeme řešení homogenní úlohy 3. nalezneme funkci U(, ) = e h(s) ds, J ; c() = u(;, ξ) = ξu(, ) ; q(s) U(s, ) ds, J ; 4. dosadíme do vzahu (.87). Příklady. Hledejme řešení Cauchyovy úlohy ẋ = x + 2, x( ) = 2. (.88) 3

.. LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE. ŘÁDU 2 Zde je h() = a q() = 2. Vzhledem k omu, že funkce h a q jsou definované na inervalech 3 (, 0) a (0, ) a počáeční podmínka je daná na inervalu (, 0), budeme hleda řešení na inervalu (, 0). Nejdříve budeme hleda řešení přímo dosazováním do vzahu (.86). v(;, 2) = 2e s ds + Nyní nalezneme oéž řešení pomocí vzahu (.87). U(; ) = e 2 s 3 e s r dr ds = = 2e ln( ) 2 + s 3 e ln 2 s ds = + 2 = 2 2 ( ) + = 2 2 4, (, 0). u(;, 2) = 2, < 0 ; c() = Dosadíme do (.87) a dosaneme s ds = e ln( ) =, < 0 ; 2 s 3 ds = s v(;, 2) = 2 2. Máme nají řešení Cauchyovy úlohy 2 s 2 ds = s 2 ds = 2 = 2 s + 2, < 0. ( ) 2 + 2 = 2 2 4, < 0. ẋ = x g +, x(0) = 2. (.89) cos Čenář, kerý pozorně propočíal předchozí úlohy, eno příklad jisě dobře pozná. Vyřešíme jej zde znovu, enokrá dosazením do vzahu (.86). ( Proože funkce h() není spojiá v bodech (2k+) π 2, k Z, a počáeční okamžik je dán v inervalu π 2, ) π 2, budeme hleda řešení na émže inervalu. Dosazením do vzahu (.86) dosáváme = 2e ln cos + v(; 0, 2) = 2e g s ds 0 + 0 0 cos s e s g r dr ds = cos s e ln cos +ln cos s ds = 2 cos + cos = 2 cos + cos = 2 + ( cos, π 2, π ). 2 3. Pokračování příkladu (.79). Vzah (.86) dává řešení ve varu v(; 2, 5) = 5e 2 es2 ds, R, k jehož výpoču musíme použí numerické meody inegrace na počíači. Uvědomme si při éo příležiosi, že u numerických výpočů není podsaný rozdíl mezi pracnosí výpoču hodno řešení ohoo příkladu nebo příkladu (.89). V obou případech musíme využí vhodné numerické meody pro výpoče příslušných funkčních hodno. Rozdíl je pochopielně vidě při použií abulek nebo průměrné kalkulačky, kdy je jednodušší počía hodnoy funkce cos než inegrálu ze složié funkce. 0 ds =

22 KAPITOLA. DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE. ŘÁDU 4. Nalezněme řešení Cauchyovy úlohy Dosadíme do (.86) a dosaneme 5. Hledejme řešení Cauchyovy úlohy Použijeme vzorec (.86) a dosaneme = e λ2 v(; 0, ) = e λ ds 0 + ẋ = λx, x(0) =. (.90) 0 0 ds = e λ, R. ẋ = λ 2 x + e λ, x(0) = 0, λ λ 2. (.9) v(; 0, 0) = 0e 0 λ2 ds + 0 e s(λ λ2) ds = 6. Vyšeřeme předchozí příklad pro λ = λ 2 = λ. Použiím éhož vzahu (.86) dosaneme v(; 0, 0) = 0 e λs e λ dr s ds = 7. Vyšeřeme řešení Cauchyovy úlohy Použijeme opě vzah (.86). Dosáváme v(; 0, 0) = 0 s e λs e λ dr s ds = 0 e λs e s λ2 dr ds = 0 e λs e λ2( s) ds = ( ) eλ2 e (λ λ2) = eλ e λ2, R. λ λ 2 λ λ 2 0 e λs e λ( s) ds = e λ 0 ds = e λ, R. ẋ = λx + e λ, x(0) = 0. (.92) 0 s e λs e λ( s) ds = e λ 0 s ds = 2 2 eλ, R. Úlohy Nalezněe řešení následujících Cauchyových úloh. ẋ = 4x, x(0) = 2. u(; 0, 2) = 2e 4, R. 2. ẋ = x, x(0) =. 2 u(; 0, ) = 2 2, < 2. 3. ẋ = 2x + + ( + )3, (a) x(0) = 3. (b) x( 2) =. 4. ẋ = ( x) g v(; 0, 3) = 2 ( + )2 ( 2 + 2 6), (, ). v(; 2, ) = 2 ( + )2 ( 2 + 2 + 2), (, ).

.2. NELINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE. ŘÁDU 23 (a) x(0) = 4. v(; 0, 4) = 3 cos +, ( π 2, π 2 ). (b) x( π) =. v(; π, ) =, ( 3π 2, π 2 ). 5. ẋ = x sin + sin cos, x() = ξ, (, ξ) R R. 6. ẋ = 2 + 2 x + 2 +, x() = ξ, (, ξ) R R. v(;, ξ) = (ξ + cos )e cos cos cos +, R. ( ) ξ v(;, ξ) = + 2 + ( + 2 ), R. 7. ẋ = 2x + 2 + 22 + 2, x() = ξ, (, ξ) R R. v(;, ξ) = + 2 8. ẋ = x +, x() = ξ, (, ξ) R R, 0. v(;, ξ) = 3ξ + 3 3 9. ẋ = ( x) cos, x() = ξ, (, ξ) R R..2 Nelineární diferenciální rovnice. řádu 3 + 2 ξ + 2 3 3 3 + 2, R.,, (, 0) nebo, (0, ). u(;, ξ) = (ξ )e sin sin +, R. Klíčová slova: jednoznačná řešielnos Cauchyovy úlohy, Cauchyho-Peanova věa, maximální řešení, rovnice se separovanými proměnnými, meoda separace proměnných.2. Exisence řešení a jednoznačná řešielnos Cauchyovy úlohy Cauchyova úloha pro nelineární rovnici Budeme se zabýva diferenciální rovnicí.řádu ẋ = f(, x), (.93) kde f(, x) je daná reálná funkce dvou proměnných. Současně s rovnicí (.93) se budeme zabýva aké Cauchyovou úlohou ẋ = f(, x), x() = ξ, (.94) kde a ξ jsou daná reálná čísla. V omo exu se budeme sekáva jen se siuacemi, kdy funkce f(, x) je spojiá v nějakém okolí bodu (, ξ). m rovnice (.93) budeme rozumě reálnou funkci u() definovanou na nějakém inervalu J, kerá na omo inervalu splňuje ideniu u() = f(, u()), J. (.95) V podmínce (.95) je obsažen i předpoklad, že funkce u() má v každém bodě inervalu J derivaci u(). V případě, že inerval J obsahuje někerý ze svých krajních bodů, rozumíme derivací v omo bodě příslušnou jednosrannou derivaci. m Cauchyovy úlohy (.94) rozumíme každé řešení rovnice (.93), keré navíc splňuje podmínku u() = ξ. Jednoznačná řešielnos Cauchyovy úlohy Budeme říka, že Cauchyova úloha (.94) je jednoznačně řešielná právě ehdy, když ke každým dvěma řešením u (;, ξ), J, u 2 (;, ξ), J 2, úlohy (.94) exisuje akový nedegenerovaný inerval J R obsahující bod, že plaí u (;, ξ) = u 2 (;, ξ) pro všechna J J 2 J. (.96) Poznámka Z definice řešení Cauchyovy úlohy plyne, že když funkce u(;, ξ) je řešením úlohy (.94) definovaným na nějakém inervalu I, pak i každé jeho zúžení na jakýkoli nedegenerovaný inerval J I

24 KAPITOLA. DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE. ŘÁDU obsahující počáeční okamžik je rovněž řešením éo úlohy. To znamená, že jakmile má Cauchyova úloha (.94) alespoň jedno řešení, má jich nekonečně mnoho. Avšak v případě jednoznačně řešielné Cauchyovy úlohy jsou všechna ao řešení definovaná sejným předpisem a liší se pouze definičními obory (alespoň na nějakém dosaečně malém okolí bodu ). Nyní uvedeme věu, kerá udává posačující podmínky exisence řešení Cauchyovy úlohy a její jednoznačné řešielnosi. x ξ + b ξ ξ b u(;, ξ) (, ξ) ϕ = arcg M a α + α + a æ Obrázek.2: Ke Cauchy Peanově věě Cauchy Peanova věa Nechť, ξ, a > 0, b > 0 jsou aková reálná čísla, že funkce f(, x) je spojiá na obdélníku (viz obr..2) O = {(, x) R 2 a, x ξ b}. Označme M = max{f(, x) (, x) O}, α = min{a, b/m}. Pak exisuje řešení u(;, ξ) Cauchyovy úlohy (.94), keré je definované a spojiě diferencovaelné na inervalu α, + α. f(, x) Má-li funkce f(, x) navíc omezenou parciální derivaci na obdélníku O, pak Cauchyova úloha x (.94) je jednoznačně řešielná. Poznámka Věu můžeme poněkud volněji formulova ako. Je-li funkce f(, x) spojiá v nějakém okolí bodu (, ξ), pak exisuje řešení úlohy (.94) definované na nějakém okolí bodu. Má-li funkce f(, x) navíc v okolí bodu (, ξ) omezenou parciální derivaci podle proměnné x, je Cauchyova úloha (.94) jednoznačně řešielná. Maximální řešení Cauchy Peanova věa o exisenci řešení zaručuje exisenci řešení v nějakém okolí počáečního okamžiku. Exisuje-li limia řešení v krajním bodě definičního inervalu, můžeme zvoli uo limiu za novou počáeční hodnou v příslušném krajním bodě definičního oboru a řešení ak prodlouži na věší inerval., jehož definiční inerval už nelze dále rozšíři, nazýváme maximálním řešením dané rovnice nebo dané Cauchyovy úlohy. Poznámka U lineárních rovnic jsme se při určování definičního oboru řešení nesekávali se žádným problémem. Víme, že maximální řešení Cauchyovy úlohy pro lineární rovnici je definováno na maximálním inervalu obsahujícím počáeční okamžik, na němž jsou jak koeficien h(), ak i pravá srana q() spojié. U nelineárních úloh je siuace odlišná a podsaně komplikovanější. Další rozdíl proi lineárním rovnicím je v om, že u nelineárních rovnic exisují Cauchyovy úlohy, keré nejsou jednoznačně řešielné. Tyo skuečnosi nyní ilusrujeme do značných deailů na dvou příkladech. Příklady. Máme nají řešení Cauchyovy úlohy ẋ = 2 ( x2 ), x() = ξ. (.97)

.2. NELINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE. ŘÁDU 25 Tao úloha svým varem rochu připomíná Cauchyovu úlohu pro homogenní lineární rovnici. I zde má pravá srana var součinu funkce h() = 2 a funkce g(x) = x2, kerá už není lineární, ale nelineární. Funkce h() = je spojiá pro (, 0) (0, ). Funkce g(x) je spojiá v R a v bodech x = ± 2 nabývá nulovou hodnou. m úlohy (.97) je reálná funkce u() definovaná a spojiě diferencovaelná na nějakém inervalu J obsahujícím bod, kerá na omo inervalu splňuje ideniu Přímým dosazením snadno ověříme, že každá ze čyř funkcí u() = 2 ( u()2 ), J. (.98) u(;, ) = pro, (, 0), u(;, ) = pro, (, 0), u(;, ) = pro, (0, ), u(;, ) = pro, (0, ) je konsanním řešením Cauchyovy úlohy (.97) pro ξ = nebo ξ =. Tao řešení jsou načrnua na obr..3. Přímky = 0, x = a x = rozdělují rovinu (, x) na šes oblasí (viz obr..3) G = {(, x) R R ( < < 0) ( < x < )}, G 2 = {(, x) R R ( < < 0) ( < x < )}, G 3 = {(, x) R R ( < < 0) ( < x < )}, G 4 = {(, x) R R (0 < < ) ( < x < )}, G 5 = {(, x) R R (0 < < ) ( < x < )}, G 6 = {(, x) R R (0 < < ) ( < x < )}. V dalším předpokládáme, že 0 a že ξ ±. To znamená, že počáeční bod (, ξ) leží v jedné z šesi oblasí G k. Dá se ukáza, že pak i celé řešení u(;, ξ) leží v éže oblasi. u() G G 4 u(;, ) =, (, 0) u(;, ) =, (0, ) 3 2 0 2 3 G 2 G 5 u(;, ) =, (, 0) u(;, ) =, (0, ) G 3 2 G 6 æ Obrázek.3: Konsanní řešení z příkladu Cauchyovy úlohy (.97) budeme hleda podobně jako jsme o dělali u lineárních homogenních rovnic. Předpokládáme, že funkce u() je řešením rovnice v úloze (.97), j. že kromě jiného na nějakém okolí J bodu plaí rovnos (.98). Jelikož řešení je spojié a u() = ξ ±, můžeme předpokláda, že

26 KAPITOLA. DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE. ŘÁDU inerval J jsme volili ak, aby na něm bylo u() ±, j. aby plailo u() 2 0. Pak oiž můžeme obě srany rovnosi (.98) vyděli u() 2. Dosaneme rovnos Inegrujeme obě srany v mezích od do u() u() 2 = 2. u(s) u(s) 2 ds = 2s ds. u(; 4, 7) = 3, (, 3) + 3 G u() 7 5 3 u(; 4, 7) = + 3, (3, ) 3 G 4 u(; 3, 0) = + 3, (, 0) 3 G 2 7 5 3 3 5 7 9 u(; 3, 0) = 3, (0, ) + 3 G 5 G 3 G 6 3 u(;, 2) = 3, ( 3, 0) + 3 5 7 u(;, 2) = + 3, (0, 3) 3 æ Obrázek.4: Grafy řešení z příkladu V inegrálu na levé sraně provedeme subsiuci x = u(s), dx = u(s) ds. Přiom dolní mez se ransformuje na u() = ξ a horní mez se ransformuje na u(). Můžeme edy psá Po inegraci je a po úpravě u() ξ x 2 dx = ln + x x u() ξ 2s ds. = ln s, ln + u() ξ u() + ξ = ln. Po odlogarimování dosáváme impliciní vzah mezi u(),, a ξ + u() ξ u() + ξ =. (.99)

.2. NELINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE. ŘÁDU 27 Nejdříve se v omo vzahu vypořádáme s absoluními hodnoami. Vzhledem k omu, že počáeční okamžik 0, musí i proměnná leže v émže z inervalů (, 0), (0, ), v němž leží počáeční okamžik, akže podíl je vždy kladný. Proo symbol absoluní hodnoy na pravé sraně rovnosi (.99) můžeme vynecha. O řešení u() jsme předpokládali, že je u() ±, a edy hodnoy u() leží v émže z inervalů (, ), (, ), (, ) jako počáeční hodnoa ξ. Pak ovšem +u(), resp. u() má sejné znaménko jako + ξ, resp. ξ, akže i symbol absoluní hodnoy na levé sraně můžeme vynecha. Plaí edy rovnos + u() ξ u() + ξ =, (.00) z níž jednoduchými a zřejmými úpravami dosáváme předpis pro hledané řešení Označíme ješě u(;, ξ) = ξ + (ξ + ) + (ξ ) (ξ + ) (ξ ) = ξ + ξ. (.0) ξ + 0 = ξ. (.02) ξ + Předpis (.0) pro řešení vyšeřované Cauchyovy úlohy můžeme pak psá ve varu u(;, ξ) = + 0 0, J. (.03) Našli jsme předpis pro řešení. Zbývá nám nají ješě definiční obor J. Siuaci kolem určování definičního oboru ukážeme nejdříve na několika konkréních řešeních. Jejich grafy jsou načrnuy na obr..4. Zvolme např. = 4 a ξ = 7. Pak u(; 4, 7) = + 3 3, J. (.04) Funkce (.04) je definovaná na inervalech (, 3) a (3, ). Jelikož musí plai 0, přicházejí v úvahu ři inervaly (, 0), (0, 3) a (3, ). Počáeční okamžik = 4 paří do inervalu (3, ), akže je J = (3, ). Celé řešení leží v oblasi G 4. Zvolme nyní = a ξ = 2. Pak opě Nyní je (0, 3), a edy J = (0, 3). Celé řešení leží v oblasi G 6. Zvolme ješě = 3 a ξ = 0. Pak opě u(;, 2) = + 3 3, J. (.05) u(; 3, 0) = + 3 3, J. (.06) Nyní je (, 0), a edy J = (, 0). Celé řešení leží v oblasi G 2. Jak vidíme, všechna ři různá řešení jsou definována ýmž předpisem a liší se pouze definičními obory. Jejich grafy jsou čási jedné hyperboly. Uvědomme si ješě, že každá z ěcho ří funkcí je řešením nekonečně mnoha Cauchyových úloh, jejichž počáeční údaje ξ a splňují podmínku Plaí např. u(; 4, 7) = u(; 5, 4) = u(; 6, 3), ad. Pro symerii zvolme = 4 a ξ = 7. Pak 0 = ξ ξ + = 3, j. ξ = + 3 3. u(; 4, 7) = 3 + 3, J. (.07) Funkce (.07) je definovaná na inervalech (, 3) a ( 3, ). Jelikož musí plai 0, přicházejí v úvahu ři inervaly (, 3), ( 3, 0) a (0, ). Počáeční podmínka = 4 paří do inervalu (, 3), akže je J = (, 3). Celé řešení leží v oblasi G.

28 KAPITOLA. DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE. ŘÁDU Pro volbu = a ξ = 2 dosáváme u(;, 2) = 3 + 3, J. (.08) Počáeční okamžik = paří do inervalu ( 3, 0), akže je J = ( 3, 0). Celé řešení leží v oblasi G 3. Konečně pro volbu = 3 a ξ = 0 dosáváme u(; 3, 0) = 3 + 3, J. (.09) Počáeční okamžik = 3 paří do inervalu (0, ), akže je J = (0, ). Celé řešení leží v oblasi G 5. Nyní se vráíme k určování definičního oboru řešení daného obecným předpisem (.03), nebo podrobněji (.0). Vidíme, že jmenovael zlomku (.0) nabývá nulovou hodnou pro = 0 = ξ. Hledaný ξ + definiční obor J nyní závisí na znaménkách čísel 0 a a jejich vzájemném vzahu. Může nasa následujících šes siuací. (i) > 0, 0 < 0. Pak je J = (0, ). (ii) < 0, 0 > 0. Pak je J = (, 0). (iii) 0 < < 0. Pak je J = (0, 0 ). (iv) 0 < 0 <. Pak je J = ( 0, ). (v) 0 < < 0. Pak je J = ( 0, 0). (vi) < 0 < 0. Pak je J = (, 0 ). Určeme yo definiční obory pro jednolivé oblasi G k. V oblasi G je ξ > a < 0. Pak ξ + > ξ > 0, < 0, 0 = ξ ξ + >, akže < 0 < 0, a edy podle (vi) řešení je definováno na inervalu (, 0 ). V oblasi G 2 je > ξ > a < 0. Pak ξ + > 0, ξ < 0, < 0, 0 = ξ ξ + > 0, akže < 0, 0 > 0, a edy podle (ii) řešení je definováno na inervalu (, 0). V oblasi G 3 je > ξ a < 0. Pak ξ < ξ + < 0, < 0, 0 = ξ ξ + <, akže 0 < < 0, a edy podle (v) řešení je definováno na inervalu ( 0, 0). V oblasi G 4 je ξ > a > 0. Pak ξ + > ξ > 0, > 0, 0 = ξ ξ + <, akže 0 < 0 <, a edy podle (iv) řešení je definováno na inervalu ( 0, ). V oblasi G 5 je > ξ > a > 0. Pak ξ + > 0, ξ < 0, > 0, 0 = ξ ξ + < 0,

.2. NELINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE. ŘÁDU 29 akže > 0, 0 < 0, a edy podle (i) řešení je definováno na inervalu (0, ). V oblasi G 6 je > ξ a > 0. Pak ξ < ξ + < 0, > 0, 0 = ξ ξ + >, akže 0 < < 0, a edy podle (iii) řešení je definováno na inervalu (0, 0 ). Žádné z ako definovaných řešení již nelze prodlouži na delší inerval. Jsou o maximální řešení a jsou jednoznačně určena počáeční podmínkou x() = ξ. Jak uvidíme v následujícím příkladě, ao siuace není nikerak samozřejmá. 2. Hledejme nyní řešení Cauchyovy úlohy ẋ = 4 x, x() = ξ. (.0) Funkce h() = 4 je spojiá na celé ose R. Funkce g(x) = x je spojiá v inervalu 0, ) a v bodě x = 0 nabývá nulovou hodnou. Přímým dosazením snadno ověříme, že funkce u(;, 0) = 0 pro, (, ) je konsanním řešením Cauchyovy úlohy (.0) pro ξ = 0. Cauchyovy úlohy (.0) pro ξ > 0 budeme hleda podobně jako jsme o dělali v předchozím příkladě. Předpokládáme, že funkce u() je řešením rovnice v úloze (.0), j. že na nějakém okolí J bodu plaí u() = 4 u(). (.) Jelikož řešení je spojié a u() = ξ > 0, můžeme předpokláda, že inerval J jsme volili ak, aby na omo inervalu bylo u() > 0. Pak můžeme obě srany rovnosi (.) vyděli 2 u(). Dosaneme rovnos Inegrujeme obě srany v mezích od do u() 2 u() = 2. u(s) 2 u(s) ds = 2s ds. V inegrálu na levé sraně provedeme opě známou subsiuci x = u(s), dx = u(s) ds. Přiom dolní mez se ransformuje na u() = ξ a horní mez se ransformuje na u(), akže u() ξ 2 x dx = 2s ds. Po inegraci je u() ξ = 2 2. (.2) Odud dosáváme předpis pro hledané řešení u(;, ξ) = ( 2 + ξ 2 ) 2. (.3) Musíme ješě nají definiční obor řešení. Přesože příslušný předpis má smysl pro všechna R, nemusí bý ímo definičním oborem celá reálná osa. Skuečně, když jsme hledali předpis pro řešení u(), předpokládali jsme, že řešení u() nabývá pouze kladných hodno. Pak aké u() musí bý kladná funkce. Odud a z rovnosi (.2) plyne u() = ξ + 2 2 > 0, (.4) a edy 2 > 2 ξ. (.5) Je-li 2 ξ < 0, je nerovnos (.5) splněna pro každé R, akže definičním oborem řešení u(;, ξ) je celá reálná osa. Je-li 2 ξ > 0, je nerovnos (.5) splněna pouze pro vyhovující nerovnosi

30 KAPITOLA. DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE. ŘÁDU ξ 0 ξ = 4 u() u(;, 4) = ( 2 + ) 2, R u(;, ) = 4, R 0 ξ > 4 ξ < 4 5 (ξ, ) 5 (ξ, ) 3 2 0 2 3 a) Rozdělení počáečních podmínek æ u(;, 0) = 0,, R 3 2 0 2 3 b) definovaná na R æ Obrázek.5: K příkladu 2 > 2 ξ, a edy definičním oborem řešení u(;, ξ) je pouze inerval ( 2 ξ, ) pro > 0, nebo (, 2 ξ) pro < 0. Rozdělení roviny (, ξ) na yo dvě oblasi je na obr..5 a). Příkladem řešení definovaného na celé reálné ose je např. řešení u(;, 4), jehož graf je na obr..5 b). Příkladem řešení definovaného na zdola omezeném inervalu je např. řešení u(; 2, ), definované na inervalu ( 3, ), jehož graf je na obr..6. Podívejme se nyní na řešení úlohy (.0) pro počáeční podmínky splňující rovnos ξ = 2, j. ξ = 4. Je o funkce definovaná předpisem u(;, ξ) = 4, a o buď na inervalu (, 0) pro < 0, nebo na inervalu (0, ) pro > 0 (viz obr..5 b)). Funkce 4 má v bodě 0 limiu 0 a vzhledem k omu, že bikvadraická funkce má derivaci v celé reálné ose, má každé z obou řešení v bodě nula příslušnou jednosrannou derivaci rovnou nule. Můžeme edy každé z obou řešení prodlouži i do bodu nula. Dosali jsme ak dvě řešení éže Cauchyovy úlohy ẋ = 4 x, x(0) = 0. (.6) Jelikož funkce 4 má v bodě nula spojiou derivaci, můžeme ao dvě řešení spoji do jednoho a dosa ak řešení u(; 0, 0) = 4, R. (.7) Víme však, že úloha (.6) má aké riviální řešení u(; 0, 0) = 0, R. (.8) Tao dvě podsaně různá řešení éže Cauchyovy úlohy ukazují, že úloha (.6) není jednoznačně řešielná. Tao úloha má ješě další řešení, jako např. funkci u() = { 0 pro (, 0, 4 pro (0, ), (.9) nebo funkci v() = { 4 pro (, 0, 0 pro (0, ). (.20) Lze však nají ješě mnoho dalších navzájem různých maximálních řešení éže úlohy (.6). Například pro každé α > 0 je funkce w() definovaná předpisem (viz obr..6 pro α = 3) ( 2 α) 2 pro (, α, w() = 0 pro ( α, α, ( 2 α) 2 pro ( (.2) α, )

.2. NELINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE. ŘÁDU 3 u() u(; 2, ) = ( 2 3) 2, < 3, u(; 2, ) = ( 2 3) 2, > 3, 0 5 3 2 3 0 3 2 3 æ Obrázek.6: w() rovněž řešením úlohy (.6). Uvědomme si, že ao funkce je rovněž řešením Cauchyovy úlohy ẋ = 4 x, x() = 0 (.22) pro každé α, α. Vidíme, že Cauchyova úloha (.22) není jednoznačně řešielná pro žádné R. Důvod, proč každá Cauchyova úloha (.22) má nekonečné mnoho navzájem různých maximálních řešení nám naznačuje Cauchy Peanova věa. Pro parciální derivaci její pravé srany podle proměnné x plaí f(, x) x = (4 x) x = 2 x, akže ao parciální derivace není v okolí bodu x = 0 omezená. Tedy u žádného řešení s počáeční hodnoou ξ = 0 není zaručena jednoznačnos řešení..2.2 Rovnice se separovanými proměnnými Exisuje jen poměrně málo nelineárních diferenciálních rovnic, jejichž řešení umíme nají v expliciním varu, j. vyjádři funkční předpis pro řešení pomocí elemenárních funkcí. Nyní si ukážeme, jak oho lze dosáhnou u jedné speciální řídy nelineárních diferenciálních rovnic. Budeme se zabýva rovnicemi, keré předsavují bezprosřední zobecnění homogenní lineární rovnice, a o rovnicemi varu ẋ = h()g(x), (.23) kde h() je funkce spojiá na nějakém inervalu I a g(x) je funkce spojiá na nějaké oevřené množině v R. Tyo rovnice se nazývají rovnicemi se separovanými proměnnými. Název odráží skuečnos, že pravá srana akové rovnice je součinem dvou funkcí, z nichž každá závisí jen na jedné proměnné. m rovnice (.23) rozumíme reálnou funkci u(), kerá je definovaná na nějakém podinervalu J inervalu I, má na J derivaci a pro kerou plaí u() = h()g(u()) pro všechna J. (.24)

32 KAPITOLA. DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE. ŘÁDU Meodu, jak hleda řešení rovnice se separovanými proměnnými, popíšeme rovnou pro příslušnou Cauchyovu úlohu ẋ() = h()g(x), x() = ξ. (.25) Předpokládáme, že funkce h je spojiá na inervalu I a že funkce g je spojiá a nenulová na inervalu K. Pak podle Cauchy-Peanovy věy ke každé volbě I a ξ K exisuje okolí J počáečního okamžiku ak, že úloha (.25) má na omo inervalu J řešení. Dá se ukáza (viz např. věa 6.2), že ao úloha je za uvedených předpokladů jednoznačně řešielná. Jesliže funkce g nabývá v bodě ξ hodnou nula, pak pro každý počáeční okamžik I je konsanní funkce u(;, ξ) = ξ, I, (.26) řešením Cauchyovy úlohy (.25). Předpokládejme nyní, že počáeční hodnoa ξ není nulovým bodem funkce g. Nechť u(;, ξ) je příslušné řešení naší úlohy (.25) definované na nějakém inervalu J. Jak jsme již viděli na příkladech, u ěcho nelineárních rovnic na rozdíl od lineárních rovnic je řešení zpravidla definováno jen na nějakém podinervalu J inervalu I, na němž je funkce h() spojiá. Pro sručnos zápisu budeme v další úvaze psá u() míso u(;, ξ). Vzhledem k podmínce g(ξ) 0 můžeme předpokláda, že inerval J byl zvolen ak, aby plailo g(u()) 0 pro všechna J. Můžeme edy v rovnosi (.24) děli obě srany členem g(u()), akže u() = h() pro všechna J. (.27) g(u()) Inegrujeme-li obě srany od do, dosaneme u(s) g(u(s)) ds = h(s) ds, J. V inegrálu na levé sraně provedeme subsiuci x = u(s), dx = u(s) ds, ξ = u() a dosaneme formuli u() ξ dx g(x) = h(s) ds pro všechna J. (.28) Vzahem (.28) je řešení u() u(;, ξ) zadáno implicině. Z ohoo vzahu je nuné funkci u() vyjádři pokud možno v expliciním varu, což ve věšině případů je úloha nadmíru obížná, nebo dokonce nemožná. Právě v omo kroku je jeden ze slabých bodů popsané meody. Přeso je o v podsaě jediná meoda, kerá nám poskyuje možnos nají elemenárním posupem řešení někerých nelineárních diferenciálních rovnic. Právě popsaná meoda řešení Cauchyovy úlohy (.25) se obvykle nazývá meoda separace proměnných. O funkcích h a g na pravé sraně rovnice (.23) jsme na začáku naší úvahy předpokládali, že jsou spojié na nějakém inervalu. Teno předpoklad velice časo není splněn a funkce g a h jsou spojié na sjednocení konečně nebo nekonečně mnoha po dvou disjunkních inervalů. V akovém případě při řešení Cauchyovy úlohy (.25) volíme za inerval J maximální inerval obsahující bod, na němž je funkce h spojiá a za inerval K maximální inerval obsahující bod ξ, na němž je funkce g spojiá a nenulová. Např. funkce h() = je spojiá na sjednocení dvou inervalů (, 0) (0, ), a edy pro < 0 klademe J = (, 0), pro > 0 klademe J = (0, ). Funkce g(x) = x2 4 x 3 je spojiá a nenulová na sjednocení x šesi inervalů na ose x, a o K = (, 2), K 2 = ( 2, ), K 3 = (, 0), K 4 = (0, ), K 5 = (, 2), K 6 = (, ), akže např. pro ξ = 3 zvolíme K K 6 = (2, ). Případem, kdy funkce h v počáečním okamžiku, resp. funkce g v počáeční hodnoě ξ není spojiá, se v našem exu nezabýváme, a edy o řešení úlohy (.25) v akové siuaci nemluvíme. Při řešení Cauchyovy úlohy (.25) posupujeme v ěcho krocích. Nagy, J.: Elemenární meody řešení obyčejných diferenciálních rovnic, SNTL Praha, 978