Jan Malý, Luboš Pick a Miroslav Zelený. Obsah. 1. Parametrické plochy

Plošný a křivkový integrál Jan Malý, Luboš Pick a Miroslav Zelený Obsah 1. Parametrické plochy 1 2. Křivkový integrál 4 3. Elementy teorie pole 7 4. Plošný integrál kodimenze 1 9 5. Věta o divergenci 12 6. Stokesova věta 14 7. Důkaz věty o divergenci a Stokesovy věty 15 8. Praktické hledání parametrizace a určování orientace 20 1. Parametrické plochy 1.1. Definice (Plocha. Plocha, přesněji k-rozměrná plocha v R n, je množina, kterou lze lokálně popsat jako množinu všech řešení regulární soustavy n k nelineárních rovnic. Tedy řekneme, že neprázdná množina R n je k-rozměrná plocha, jestliže ke každému bodu x existuje okolí U tak a C 1 - zobrazení g : U R n k tak, že g má hodnost n k na a U = {x : g(x = 0} U. 1.2. Definice (Parametrická plocha. Plošný integrál bývá integrál přes plochu nebo parametrickou plochu. Zatímco plochy jsou množiny, parametrické plochy se definují jako zobrazení. Budeme definovat k-rozměrnou parametrickou plochu v R n, k 1, jako spojitě diferencovatelné zobrazení otevřené množiny R k do R n. Množinu nazveme referenčním oborem plochy. Parametrické plochy jsou definované jako zobrazení, ale intuitivně je často vnímáme jako množiny, tj. parametrickou plochu vnímáme jako množinu (. Při takové intuitivní představě je třeba zachovávat opatrnost, například v definici parametrické plochy jsme nepožadovali prostotu, tj. plocha se může křížit sama se sebou nebo někde dokonce třeba zdvojit. Nějčastěji se však prostota objeví v dodatečných předpokladech. Je-li : R n k-rozměrná parametrická plocha, často se stává, že ( je k-rozměrná plocha, ale nemusí to být a ne každá plocha se dá parametrizovat. 1.3. Definice (ramův determinant. Nechť : R n je k-rozměrná parametrická plocha v R n. Matice (t se nazývá Jacobiho matice zobrazení v bodě t. Máme ( (t T (t = (t k (t. t i t j Determinant z této matice se nazývá ramův determinant, jeho odmocnina se používá jako jakobián pro plošné integrály druhého druhu a značí J(t. Tedy J(t := (t T (t. Symbol... zde je použit k zdůraznění faktu, že jde o nezápornou veličinu, na rozdíl od obyčejného objemového jakobiánu. Také si lze správně myslet, že samotnému výrazu J lze také přiřadit smysl, tím se však zde nebudeme zabývat. Totiž, jakobián parametrické plochy je složitý algebraický objekt, jehož souřadnice jsou minory k k Jacobiho matice. 1.4. Definice (Regulární parametrická plocha. Říkáme, že k-rozměrná parametrická plocha : R n je regulární, jestliže (t má v každém bodě t hodnost k. To je právě když J(t 0. 1.5. Problém parametrizace. Při počítání obsahu jednotkového kruhu B = {x R 2 : x < 1} používáme s výhodou polární souřadnice : R 2, kde (r, α = (r cos α, r sin α. Vycházíme-li z přirozených požadavků, že zobrazení má být prosté a má být otevřená množina, vychází nám optimální volba = (0, 1 ( π, π. Přitom se musíme vzdát třetího přirozeného požadavku, totiž aby zobrazení bylo na B. Místo toho se smíříme s tím, že množina B \ ( je lebesgueovsky nulová. 1 i,j=1

Se stejným problémem se s ještě větší naléhavostí setkáváme u parametrizací k-rozměrných ploch v R n. Zatímco při výpočtu obsahu kruhu nás nikdo nenutí používat polární souřadnice, pro kulovou sféru S v R 3 lze dokázat, že žádná prostá regulární parametrická plocha nemá S jako obor hodnot, viz. cvičení 1.3. Proto je vhodné zavést třídu množin, které lze považovat za zanedbatelné pro k-rozměrnou integraci. 1.6. Definice (Nulové množiny. Nechť 0 k n. (V aplikacích je zpravidla k celé číslo, ale v definici připouštíme i necelé hodnoty k. Řekneme, že množina N R n je k-nulová, jestliže pro každé ε > 0 existují koule B(x j, r j, j N, tak, že N B(x j, r j a rj k < ε. j j Jako příklady k-nulových množin slouží např. plochy nižší dimenze a jejich spočetná sjednocení, nebo obrazy (A, kde A je Lebesgueovsky k-nulová a je k-rozměrná parametrická plocha. Je-li N k-nulová, pak všechny její k-rozměrné projekce jsou Lebesgueovsky k-nulové. Pro k = n pojmy k-nulovosti a lebesgueovské nulovosti splývají. Viz. cvičení 1.4 1.8 1.7. Definice (Parametrizace. Nechť M R n je libovolná množina (typicky k-rozměrná plocha a : R n je k-rozměrná parametrická plocha. Řekneme, že je (k-rozměrná lokální parametrizace M, jestliže je prosté, otevřené vzhledem k M, regulární a ( M. (Zobrazení : R n je otevřené vzhledem k M, pokud obraz každé otevřené množiny je relativně otevřenou podmnožinou M. Pak ( je otevřená a inverzní zobrazení je spojité vzhledem k (. Řekneme-li, že je globální parametrizace M, znamená to, že navíc ( = M. Užitečný kompromis mezi lokální a globální parametrizací je zobecněná parametrizace, to je taková lokální parametrizace M, že M \ ( je k-nulová množina. Pokud existuje (lokální, globální, zobecněná parametrizace množiny M, říkáme též, že M připouští (lokální, globální, zobecněnou parametrizaci. 1.8. Věta. Nechť R n je k-rozměrná plocha, k 1. Potom (a ke každému bodu z existuje okolí U tak, že U přípouští globální parametrizaci (která je ovšem lokální parametrizace. (b připouští k-rozměrnou zobecněnou parametrizaci. Důkaz. (a Zvolme z, najděme okolí W bodu z a spojitě diferencovatelnou funkci g : W R n k tak, že {x W : g(x = 0} = W a g (z má hodnost n k. Potom existuje n k sloupců matice g (z, které jsou lineárně nezávislé. BÚNO se jedná o sloupce s pořadovými čísly k + 1, k + 2,..., n. Podle věty o implicitních funkcích existují okolí bodu (z 1,..., z k, okolí V bodu (z k+1,..., z n a spojitě diferencovatelná funkce ξ : V tak, že C V W, ( V = {(t, ξ(t : t }. Potom t (t, ξ(t : t je hledaná lokální parametrizace. (b Podle části (a, ke každému bodu z najdeme lokální parametrizaci z : z a s z tak, že z (s = z. Zúžíme každé z na kouli B(s, r takovou, že B(s, r z, takto zúžené zobrazení označíme Ψ z a jeho definiční obor H z. Jelikož je lokálně kompaktní, najdeme spočetný systém lokálních parametrizací j : j a jejich zúžení Ψ j : H j tak, že H j j jsou k-nulové množiny (neboť to jsou sféry a sjednocení množin Ψ j ( j pokrývá. Pro každé j položme A j = H j \ i<j Ψ 1 j (Ψ i (H i. Potom každý bod z je v obraze Ψ j (A j pro nejvýše jedno j, přitom pokud není v žádném z těchto obrazů, pak je v obrazu některé z množin H i a tento obraz je k-nulový (viz. cvičení 1.6. Nyní každou z parametrizací Ψ j Aj složíme s vhodným posunutím κ j prostoru R k tak, aby výsledné definiční obory A j = κ 1 j (A j byly po dvou disjunktní. Položíme = j A j a (t = j(κ j (t, t A j. Potom : je hledaná zobecněná parametrizace. 1.9. Příklad. Sférické souřadnice : R 3, = (x, y, z, x = cos γ cos α y = cos γ sin α, (α, γ = ( π, π ( π/2, π/2 z = sin γ 2

tvoří zobecněnou parametrizaci sféry S = {[x, y, z] R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = 1}. 2-nulová množina {[x, y, z] S : y = 0, x 0} je nepokryta. Porovnejte se cvičením 1.3. 1.10. Poznámka. Vždy si rozmyslete, zda symbol x je bod nebo pouze první souřadnice bodu. Značení x = (x 1, x 2, x 3 se zpravidla používá v teorii a značení [x, y, z] v příkladech. První způsob je pohodlnější a pro n-rozměrnou analýzu jediný možný. Pokud si však nezvykneme i na druhé značení, můžeme zahodit většinu sbírek úloh a rezignovat na porozumění s fyziky, inženýry a dalšími uživateli matematiky. 1.11. Definice (Plošný integrál prvého druhu. Nechť : R n je k-rozměrná parametrická plocha v R n a u je funkce na (. Definujeme (1 u ds = u(x ds(x := u((t J(t dt. Definici (a podobným definicím v dalším rozumíme tak, že integrál vlevo má smysl, když má smysl integrál vpravo. 1.12. Lemma. Nechť : R n je prostá regulární k-rozměrná parametrická plocha a E je měřitelná množina. Nechť (E je k-nulová množina. Potom E je Lebesgueovsky nulová. Důkaz. Stačí ukázat, že ke každému bodu s existuje okolí V tak, že V E je Lebesgueovsky nulová. Zvolme tedy bod s a označme z = (s. Najdeme k lineárně nezávislých řádků matice (s. BÚNO jde o řádky odpovídající indexům 1,..., k. Buď π projekce x (x 1,..., x k. Potom najdeme okolí V bodu s tak, že π je difeomorfismus V na okolí bodu π(z. Jelikož množina (E V je k-nulová, tím spíš je π((e V také k-nulová, tedy i Lebesgueovsky. Z věty o substituci dostaneme J(π (t dt = λ k (π((e V = 0. E V Jelikož J(π > 0 na V, znamená to, že E V je Lebesgueovsky nulová. 1.13. Věta (nezávislost plošného integrálu na parametrizaci. Nechť M R n a u : M R je funkce. Nechť : R n, Ψ : H R n jsou zobecněné parametrizace M. Potom u ds = u ds, pokud aspoň jedna strana má smysl. Důkaz. Položme M 1 = (, M 2 = Ψ(H, M = M 1 M 2, = 1 (M, H = Ψ 1 (M. Potom M 1, M 2, M jsou relativně otevřené podmnožiny M a je otevřená podmnožina. Také víme, že M \M je k-nulová množina. Ukážeme, že zobrazení Ψ 1 je difeomorfismus na H. Zvolme s 0 a t 0 H tak, že (s 0 = Ψ(t 0. Jelikož Ψ (t 0 má hodnost k, existuje k-tice indexů tak, že příslušné řádky matice Ψ (t 0 jsou lineárně nezávislé. BÚNO jde o indexy 1,..., k. Buď π projekce x (x 1,..., x k. Na H uvažujme implicitní funkci Ξ(s, t = π((s π(ψ(t. Snadno ověříme splnění předpokladů, tedy na součinu okolí bodu s a H bodu t 0 je nulová úrovňová množina Ξ grafem spojitě diferencovatelné funkce t = ξ( s. Jelikož je spojité a Ψ je otevřené vzhledem k M, je Ψ 1 spojitá funkce, jejíž graf na okolí (s 0, t 0 též vyhovuje uvažované implicitní rovnici. Z jednoznačnosti plyne, že ξ = Ψ 1 na okolí s 0. Tím dostaneme, že složené zobrazení Ψ 1 je spojitě diferencovatelné na a na celém ho též nyní budeme značit ξ. Máme = Ψ ξ a (s = Ψ (ξ(sξ (s. Z věty o násobení determinantů snadno odvodíme J(s = JΨ(ξ(s Jξ(s. Tedy ξ je regulární. Z věty o substituci dostaneme u((s J(s ds = u(ψ(ξ(s JΨ(ξ(s Jξ(s ds = u(t JΨ(t dt. H Víme, že ( \ M \ M a Ψ(H \ H M \ M jsou k-nulové množiny. Použijeme lemma 1.12 a dostaneme u ds = u((s J(s ds = u((s J(s ds = u(t JΨ(t dt = u(t JΨ(t dt H H = u ds. Ψ 3 Ψ

1.14. Definice (Integrál prvého druhu přes množinu. Řekneme, že M R n je přípustná k-rozměrná množina, pokud M připouští k-rozměrnou zobecněnou parametrizaci. Přes takové množiny budeme definovat k-rozměrnou integraci. Každá k-rozměrná plocha je přípustná pokud k 1, ale jsou i jiné důležité příklady. Například hranice n-rozměrné krychle, N 2, je přípustná (n 1-rozměrná množina, ale není to (n 1-rozměrná plocha. Nechť M R n je přípustná k-rozměrná množina a u : M R je funkce. Potom definujeme (krozměrný plošný integrál u přes M předpisem u ds = u ds, M kde je zobecněná k-rozměrná parametrizace M. Pokud integrál vpravo nemá smysl, zůstává integrál vlevo nedefinovaný. Z předchozí věty plyne, že taková definice je korektní. Pokud k = 0, z definice vychází jako přípustné množiny jen jednobodové množiny, avšak v tomto případě není zapotřebí definovat integrál pomocí parametrizace; odpovídající pojem je prostě suma přes množinu. 1.1. Cvičení. Nechť R n je k-rozměrná plocha a : je prosté a regulární. Potom je otevřené vzhledem ke, tedy lokální parametrizace. Návod. Zvolme z = (s ( a okolí bodu s. Na okolí W bodu z najdeme spojitě diferencovatelné zobrazení g do R n k tak, že g = 0 na a g (z má hodnost n k. Potom existuje (n k-tice indexů tak, že příslušné sloupce matice g (z jsou lineárně nezávislé. BÚNO jede o indexy k+1,..., n. Podle věty 1.8 a jejího důkazu pak existuje okolí H bodu (z 1,..., z k, okolí V bodu (z k+1,..., z n a spojitě diferencovatelná funkce ξ : H V tak, že H V W a je grafem ξ na V. Potom ( k+1,..., n = ξ ( 1,..., k na okolí s. Tedy j jsou lineárními kombinacemi 1,..., k pro j > k. Kdyby 1(s,..., k (s byly lineárně závislé, nedosáhli bychom hodnosti k pro (s a to by byl spor s regularitou. Zobrazení ( 1,..., k splňuje předpoklady věty o lokálním difeomorfismu v bodě s a na okolí H H bodu (z 1,..., z k tedy existuje inverzní spojité zobrazení Ξ k restrikci ( 1,..., k na vhodné okolí bodu s. Tedy (H V (. 1.2. Cvičení. Nechť = ( 1, π a (t = { (1, t, ( 1 < t 0, (cos t, sin t, 0 < t < π. Potom je prosté a regulární na, ale není otevřené vzhledem k (. Inverzní zobrazení není spojité v bodě (1, 0; na každém okolí tohoto bodu nabývá hodnot blízkých π, ale funkční hodnota inverzního zobrazení je 0. 1.3. Cvičení. Nechť S = {x R n : x = 1}, n 2. Dokažte, že S je (n 1-rozměrná plocha v R n, která nepřipouští globální parametrizaci. Návod. Nechť R n 1 je otevřená množina a : S je globální parametrizace S. Potom podle cvičení 1.1 je homeomorfismus a 1 také. Tudíž je spojitý obraz kompaktní množiny S, takže je neprázdná kompaktní otevřená podmnožina R n 1 a to je spor. 1.4. Cvičení. Spočetné sjednocení k-nulových množin je k-nulové. 1.5. Cvičení. Nechť 0 m < k n jsou celá čísla a N je m-rozměrná plocha v R n. Ukažte, že N je k-nulová. 1.6. Cvičení. Nechť A R k, A je Lebesgueovsky k-nulová, je otevřená a a : R n je k-rozměrná parametrická plocha. Pak (A je k-nulová v R n. 1.7. Cvičení. Nechť N U R n, N je k-nulová množina a U je otevřená. Nechť g : U R k je spojitě diferencovatelné zobrazení. Potom g(n je Lebesgueovsky k-nulová. 1.8. Cvičení. Nechť N R n. Potom N je N-nulová, právě když je Lebesgueovsky nulová. 2. Křivkový integrál Pojmy plocha a křivka se v matematice používají v mnoha různých významech. V tomto kurzu je zavedeme tak, jak se hodí pro účely integrace. 2.1. Definice (Křivka. Křivka (přesněji C 1 -křivka v R n je spojitě diferencovatelné zobrazení ψ intervalu [a, b] R do R n. Derivace ψ v krajních bodech a, b chápeme jako jednostranné. Interval [a, b] nazveme referenčním intervalem křivky ψ. 4

2.2. Definice (Zobecněná křivka. 1-rozměrnou parametrickou plochu budeme nazývat zobecněnou křivkou. Každé křivce ψ : [a, b] R n odpovídá zobecněná křivka ψ = ψ (a, b, tedy ořízneme hodnoty v krajních bodech referenčního intervalu. Ztráta informace je jen zdánlivá, chybějící krajní body křivky můžeme znovu zrekonstruovat jako limity v krajních bodech referenčního intervalu. Zobecněná křivka zobecňuje pojem křivky ve dvou směrech: v krajních bodech nepožadujeme existenci jednostranných limit, referenční obor nemusí být souvislý. Zdůrazněme, že (zobecněné křivky pokládáme za zvláštní případ parametrických ploch. Tedy zformulujeme-li tvrzení (definici, poznámku,... pro parametrické plochy, máme tím na mysli i aplikaci na křivky. Pojem křivka používáme jen mluvíme-li o specifikách jednorozměrného případu. 2.3. Definice (Křivkový integrál prvého druhu. Nechť : R n je zobecněná křivka. Potom Jacobiho matice (t má n řádků a jen jeden sloupec, je to tedy vlastně jen svislý vektor. Potom J = a pro křivkový integrál prvého druhu funkce u platí vzorec u ds = u(x ds(x = u((t (t dt. Všimněte si, že pro křivkovou integraci se zpravidla píše diferenciál ds místo ds. Integrál ds = (t dt má geometrický význam délky (zobecněné křivky. (Bez ohledu na to, zda křivka je prostá či ne, může se i protínat či dokonce probíhat některé úseky vícekrát. V takovém případě se ovšem i délka příslušného úseku objeví ve výsledku vícekrát a délka křivky se může lišit od délky množiny (. 2.4. Definice (Křivkový integrál druhého druhu. Nechť = ( 1,..., n : R n je zobecněná křivka a f = (f 1,..., f n : ( R n je vektorové pole. Definujeme (2 f ds = f((t (t dt. Také pro index i a skalární funkci u: ( R n píšeme (3 u dx i := u((t i(t dt. Zřejmě můžeme přepsat f ds = f 1 dx 1 + + f n dx n. Křivkový integrál (2 má velký význam ve fyzice, křivkovým integrálem druhého druhu se integrují veličiny, u nichž není zajímavý úhrn celkové velikosti, ale úhrn tečné složky. Například práce je křivkový integrál druhého druhu síly po dráze. 2.5. Pole. Pojmy skalární pole, vektorové pole se používají jako synonyma pro skalární, resp. vektorovou funkci. Jejich používání v některých situacích je dáno zvyklostmi. 2.6. Definice (Tečné pole. Nechť : R n je prostá regulární zobecněná křivka. Je-li x = (t, t, definujeme (4 τ (x = (t (t. Funkce τ : ( R n se nazývá pole jednotkových tečných vektorů (zkráceně tečné pole ke křivce. Zahrnuje v sobě informaci o tečném prostoru v každém bodě a směru probíhání křivky. 2.7. Definice (Orientovaná jednorozměrná plocha. Terminologie plocha parametrická plocha nám umožňuje rozlišovat mezi pojetím plochy jako množiny a zobrazení. Analogický model křivka parametrická křivka se nehodí, protože v současné matematice je již prakticky jasná shoda na tom, že křivka je zobrazení. Proto pro křivku-množinu budeme raději používat termín jednorozměrná plocha. Nechť Γ R n je jednorozměrná plocha a τ je spojité pole jednotkových vektorů na Γ. Řekneme, že (Γ, τ je orientovaná jednorozměrná plocha, jestliže pro každý bod x Γ existuje okolí U bodu x a globální jednorozměrná parametrizace množiny U Γ tak, že τ = τ na U Γ. 5

Je-li (Γ, τ orientovaná jednorozměrná plocha, pak (Γ, τ je také orientovaná jednorozměrná plocha. Souvislé jednorozměrné plochy se dají orientovat jen takto dvěma způsoby. Viz. cvičení 2.1-2.2. 2.8. Definice (Kladná parametrizace. Nechť (Γ, τ je orientovaná jednorozměrná plocha a : Γ je lokální parametrizace Γ. Řekneme, že je kladná, jestliže pro každé x ( je τ (x = τ (x. 2.9. Věta (o kladné parametrizaci. Nechť Γ R n je orientovaná jednorozměrná plocha. Pak Γ má kladnou zobecněnou parametrizaci. Jestliže f : Γ R n je vektorové pole a : R n, Ψ : H R n jsou kladné zobecněné parametrizace Γ, pak f ds = f ds, pokud aspoň jedna strana má smysl. Důkaz. Ze samotné definice orientované jednorozměrné plochy je zřejmé, že ke každému bodu existuje okolí, které lze kladně parametrizovat. Nyní můžeme postupovat stejně, jako v důkazu věty 1.8 (b a dostaneme existenci kladné zobecněné parametrizace. Jsou-li : Γ a Ψ: H Γ kladné zobecněné parametrizace, potom f ds = f((t (t (t dt = f((t (5 (t (t dt = f((t τ Γ (t (t dt = f τ Γ ds a podobně Podle věty 1.13 je f ds = Ψ f ds = Ψ f τ Γ ds = Ψ Ψ f τ Γ ds f τ Γ ds = 2.10. Definice (Křivkový integrál druhého druhu přes orientovanou jednorozměrnou plochu. Nechť (Γ, τ je orientovaná jednorozměrná plocha v R n a f : Γ R n je vektorové pole. Definujeme f ds = f ds, kde : Γ je kladná zobecněná parametrizace Γ. Γ 2.11. Věta (Vztah mezi křivkovým integrálem prvého a druhého druhu. Nechť (Γ, τ je orientovaná jednorozměrná plocha v R n a f : Γ R n je vektorové pole. Potom f ds = f τ ds, pokud aspoň jeden z integrálů má smysl. Důkaz. Vzorec dostaneme z definic a výpočtu (5. Γ Γ Ψ f ds 2.1. Cvičení. Dokažte, že každou jednorozměrnou plochu Γ je možné orientovat. Návod. Důkaz je docela těžký. Naznačíme zde hlavní myšlenky. Nejprve jako v důkazu věty 1.8 vytvoříme systém lokálních parametrizací tak, aby parametrizované části pokrývaly Γ a referenční obory byly intervaly. Z tohoto pokrytí vybereme spočetné a lokálně konečné, máme konečnou či nekonečnou posloupnost ( j j, j : j Γ. Vytvoříme diskrétní množinu bodů A tak, že V každé průniku i( i j( j zvolíme tři body, pokud je tento průnik neprázdný. Na množině A uvažujeme graf: řekneme, že a sousedí s b, pokud existuje lokální parametrizace : Γ a α, β tak, že (α, β, (α = a, (β = b a žádný bod z intervalu (α, β se nezobrazí do A. Lze dokázat (dá to trochu práce, že každý bod množiny A má právě dva sousedy. Nyní přichází ke slovu kombinatorika, množina A se rozloží na cykly a řetězce, přičemž řetězce jsou z obou stran neomezené. Na každém cyklu či a řetězci se zvolí směr probíhání a s jeho pomocí se vytvoří orientace na Γ. 2.2. Cvičení. Dokažte, že každou souvislou jednorozměrnou plochu Γ je možné orientovat jen dvěma způsoby. 6

Návod. Nechť τ a = τ jsou orientace Γ. Zvolíme bod z Γ a uvažujeme lokální parametrizace : Γ, Ψ: H Γ a body s 0, t 0 H tak, že z = (s 0 = Ψ(t 0, přičemž τ (z = τ (z a τ Ψ(z = τ (z. Podobně jako v důkazu věty 1.8 najdeme okolí bodu s 0 a regulární funkci ξ : H tak, že ξ(s 0 = t 0 a = Ψ ξ na. Potom (s 0 = Ψ (t 0ξ (s 0 a tudíž { τ (z, pokud ξ (s 0 > 0, τ (z = τ (z, pokud ξ (s 0 < 0. Množina všech bodů, kde τ = τ, resp. τ = τ je otevřená i uzavřená v Γ, tedy ze souvislosti dostaneme tvrzení. 3. Elementy teorie pole 3.1. Definice (Divergence, gradient, rotace. Nechť U R n je otevřená množina, u : U R je spojitě diferencovatelná funkce a f = (f 1,..., f d : U R n je spojitě diferencovatelné vektorové pole (vektorové pole znamená zobrazení s hodnotami v R n. Nechť (e 1,..., e d je kanonická báze v R n. Definujeme curl f := u = grad u := ( f3 f 2 e 1 + x 2 x 3 div f := d i=1 d i=1 u e i, (gradient u, f i, (divergence f curl f := f 2 f 1 (rotace f, d = 2, x 1 x 2 ( f1 f 3 e 2 + x 3 x 1 ( f2 f 1 e 3 (rotace f, d = 3. x 1 x 2 3.2. Věta o potenciálu. Nechť W R n je otevřená množina. Nechť ψ : [a, b] R n je křivka, ψ([a, b] W, A = ψ(a, B = ψ(b. Nechť u : W R je spojitě diferencovatelná funkce. Potom u(b u(a = u ds, pokud integrál vpravo konverguje. Důkaz. Máme u(b u(a = u(ψ(b u(ψ(a = b a ψ (u ψ (t dt = b a u(ψ(t ψ (t dt = ψ u ds. 3.3. Definice (Hvězdovitá množina. Řekneme, že množina U R n je hvězdovitá, jestliže existuje A U tak, že pro každý bod x U je celá úsečka {A + t(x A: t [0, 1]} podmnožinou U. Bod A se nazývá střed hvězdovitosti množiny W. Každá konvexní množina C je hvězdovitá, v tom případě je každý bod x C středem hvězdovitosti množiny C. 3.4. Věta (Hlavní věta teorie pole. Nechť W R n je otevřená množina a f = (f 1,..., f n : W R n je spojité vektorové pole. Uvažujme následující podmínky: (i (Existence potenciálu. Existuje spojitě diferencovatelná funkce u : W R tak, že f = u. (ii (Nezávislost integrálu na dráze. Pro každé dva body A, B W existuje číslo c = c(a, B tak, že a každou křivku ψ : [a, b] W s počátečním bodem A = ψ(a a koncovým bodem B = ψ(b je f ds = c. (iii (Nulová rotace. Pro každou dvojici i, j indexů z {1,..., d} je ψ f i x j = f j. Potom platí následující vztahy: (a (i (ii, (b Je-li f spojitě diferencovatelná, pak (i = (iii. (c Je-li f spojitě diferencovatelná a W hvězdovitá, pak pak (iii = (ii. 7

Důkaz. Implikace (i = (ii plyne z věty 3.2 a implikace (ii = (iii je důsledkem záměnnosti smíšených derivací. Nechť je splněno (ii. Pokud existuje potenciál u v každé komponentě souvislosti množiny W, pak existuje na W. Můžeme tedy předpokládat, že W je souvislá. Zvolme bod A W a položme u(x = f ds, kde ψ : [a, b] W je křivka, která vede z A do x, neboli ψ(a = A, ψ(b = x. Ze souvislosti plyne, že taková křivka existuje a podle (ii integrál na volbě ψ nezávisí. Zvolme x W. Najděme r > 0 tak, že B(x, r W a zvolme h B(0, r. Položme γ(t = x+th, t [0, 1]. Najděme ještě křivku ψ : [ 1, 0] W tak, že ψ( 1 = A, ψ(0 = x a položme { ψ(t, 1 t 0, ψ(t = γ(t, 0 < t 1. Potom ψ vede z A do x + h, tedy u(x + h u(x = f ds f ds = f ds = ψ ψ γ Odtud pro h 0 máme u(x + h u(x f(x h h = ψ 1 0 1 (f(x + th f(x h h 0 f(x + th h dt. tedy f(x je derivace u v x. Konečně, předpokládejme, že W je hvězdovitá se středem hvězdovitosti A a f = (f 1,..., f n je spojitě diferencovatelná. BÚNO máme A = 0. Položme u(x = f ds, ψ x kde tentokrát Potom ψ x (t = tx, t [0, 1]. u(x = a derivováním za integračním znamením zjistíme (6 Máme též (7 f i (x = 1 u(x = Porovnáním (6, (7 a (iii dostaneme, že 0 1 0 1 0 ( f i (tx + 0 f(tx x dt n j=1 d ( tfi (tx 1 ( dt = f i (tx + dt t f j(tx x j dt. n j=1 u(x = f i (x, i = 1,..., n. 0, t f i(tx x j x j dt. 3.5. Poznámka. Nulovost rotace je rovnost curl f = 0 v dimenzi 2 a rovnost curl f = 0 v dimenzi 3. 3.6. Příklady. Množina P = {x R 2 : x 0} není hvězdovitá. Množina D = {x R 2 : x 2 0 nebo x 1 > 0} je hvězdovitá ale není konvexní. Tyto příklady mají značný význam pro teeorii funkcí komplexní proměnné. Množina D je přirozený definiční obor hlavní větve komplexního logaritmu. Na množině P můžeme najít příklad vektorového pole, které má nulovou rotaci, ale není potenciální, tj. není globálně gradientem žádné funkce. Nejznámějším příkladem je pole ( x2 f(x = x 2, x 1 x 2. 8

Lokálně se potenciály k f nalézt dají, například arg(x 1 + ix 2 = arctg(x 2 /x 1 na {x R 2 : x 1 > 0}. Pro komplexní analýzu to znamená, že existuje uzavřená křivka ψ v P, konkrétně ψ(t = e it, t [ π, π], a holomorfní funkce h na P, konkrétně h(z = 1/z, tak, že h(z dz = 2πi 0, což je zdánlivý spor s Cauchyovou větou. ψ 4. Plošný integrál kodimenze 1 4.1. Definice (Vektorový součin. Vektorový součin vektorů u 1,..., u n 1 R n je vektor n u 1 u n 1 := det(e i, u 1,..., u n 1 e i. i=1 Vektorový součin je kolmý na své činitele. Při liché permutaci činitelů změní vektorový součin znaménko, při sudé zůstane zachován. V dimenzi tři je vektorovým součinem vektorů u = (u 1, u 2, u 3 a v = (v 1, v 2, v 3 vektor u v = ( det ( u2, v 2, det u 3, v 3 ( u3, v 3, det u 1, v 1 ( u1, v 1. u 2, v 2 V dimenzi 2 má vektorový součin jen jednoho činitele. Vektorový součin vektoru [u 1, u 2 ] je vektor [u 2, u 1 ]. 4.2. Věta. Nechť v, u 1,..., u n 1 R n a Potom v w = det(v, u 1,..., u n 1. w = u 1 u n 1. Důkaz. Pro bázové vektory v = e j je vzorec snadným důsledkem definice vektorového součinu. V obecném případě použijeme rozvoj v = i v ie i. 4.3. Věta (Cauchyova-Binetova formule. Nechť u 1,..., u n 1 R n a w = u 1 u n 1. Nechť A je matice, která má jako sloupce vektory u 1,... u n 1. Potom (8 det(a T A = w 2. Důkaz. Nechť u 1,... u n 1 jsou lineárně nezávislé. Buď M matice, která má sloupce w, u 1,... u n 1. Potom M T M je blokově diagonální, totiž ( M T w M = 2, 0 T 0, A T, A kde 0 je nulová matice typu (n 1 1. Tedy (9 w 2 det(a T A = det M T M. Z věty 4.2 plyne det M = w w = w 2. Podle vět o součinu determinantů a determinantu transponované matice je (10 det M T M = w 4. Porovnáním (9 a (10 dostaneme (8. Jestliže u 1,... u n 1 jsou lineárně závislé, z elementární lineární algebry vyvodíme, že na obou stranách (8 je nula. 4.4. Definice (Vektorový jakobián a plošný integrál kodimenze jedna. Vektorový jakobián (n 1- rozměrné parametrické plochy : R n v bodě t R n 1 definujeme předpisem J(t = (t (t. t 1 t n 1 9

Podle věty 4.3 je J(t = J(t, tedy jakobián pro kalkulus plošného integrálu prvého druhu lze v kodimenzi 1 počítat alternativním způsobem f ds = f(x ds(x := f((t J(t dt. Integrál ds = J(t dt má geometrický význam obsahu (area plochy. Podobně jako u křivky, o obsahu parametrické plochy můžeme mluvit i tehdy, když není prostá, pak se ale může lišit od obsahu množiny (. 4.5. Definice (Plošný integrál druhého druhu. Nechť : R n je (n 1-rozměrná parametrická plocha v R n. Nechť f = (f 1,..., f n : ( R n je vektorové pole. Potom definujeme (11 f ds := f((t J(t dt. Integrály typu (11 se hojně vyskytují ve fyzice, mají např. význam toku plochou. 4.6. Zápis pomocí diferenciálů. Jestliže n = 2, je zobecněná křivka a integrál uvedený výše lze přepsat ve tvaru f ds = f 1 dx 2 f 2 dx 1. Zde velikost symbolu S v diferenciálu hraje významnou roli. Musíme striktně rozlišovat mezi integrálem f ds a integrálem f ds = f 1 dx 1 + f 2 dx 2. V dimenzi tři, pro dvourozměrnou parametrickou plochu = ( 1, 2, 3 : R 3, skalární pole u a dvojici indexů (i, j {1, 2, 3} 2 definujeme u dx i dx j = u((t det ( i, j dt Všimněme si, že takový integrál závisí znaménkem na pořadí diferenciálů a pro i = j je nulový! Pak lze psát f ds = f 1 dx 2 dx 3 f 2 dx 1 dx 3 + f 3 dx 1 dx 2. Podobně lze zapisovat různé integrály ve vyšších dimenzích, a nejen pro plochy dimenze či kodimenze jedna. Je-li : R n k-rozměrná parametrická plocha, u : ( R skalární funkce a α = (α 1,..., α k je uspořádaná k-tice indexů, pak definujeme ( αi k u(x dx α1... dx αk = u((t det t dt. j i,j=1 4.7. Definice (Normálové pole. Nechť : R n je prostá regulární parametrická plocha kodimenze 1. Je-li x = (t, t, definujeme (12 ν (x = J(t J(t. Funkce ν : ( R n se nazývá pole jednotkových normálových vektorů (zkráceně normálové pole k ploše. Zahrnuje v sobě informaci o tečném prostoru v každém bodě a orientaci (rub-líc. 4.8. Definice (Orientovaná plocha kodimenze 1. Nechť Γ R n a ν je spojité pole jednotkových vektorů na Γ. Řekneme, že (Γ, ν je orientovaná plocha kodimenze 1, jestliže pro každý bod x Γ existuje okolí U bodu x a globální jednorozměrná parametrizace množiny U Γ tak, že ν = ν na U Γ. Je-li (Γ, ν orientovaná plocha kodimenze 1, pak (Γ, ν je také orientovaná plocha kodimenze 1. Souvislé plochy kodimenze 1 se dají orientovat jen takto dvěma způsoby (pokud vůbec, tzv. Möbiova páska se orientovat nedá, viz. cvičení 4.2. 10

4.9. Poznámka. Nechť Γ je plocha kodimenze 1 a z Γ. Potom existuje okolí U bodu z a spojitě diferencovatelná funkce g : U R tak, že g 0 na U a U Γ = {x U : g(x = 0}. Nechť existuje globální parametrizace : Γ plochy U Γ. Potom zderivováním identity g = 0 dostaneme, že vektor g((t je kolmý na všechny parciální derivace v bodě t, t. Tedy g((t je reálný násobek J(t. Položíme-li pak (Γ U, ν je orientovaná plocha kodimenze 1. ν(x = g(x g(x, x Γ U, 4.10. Definice (Kladná parametrizace. Nechť (Γ, ν je orientovaná plocha kodimenze 1 a : Γ je lokální parametrizace Γ. Řekneme, že je kladná, jestliže pro každé x ( je ν (x = ν(x. Jinými slovy, je kladná, jestliže pro každé t je J(t kladný násobek ν((t. 4.11. Věta (o zobecněné parametrizaci. Nechť Γ R n je orientovaná plocha kodimenze 1. Pak Γ má kladnou zobecněnou parametrizaci. Jestliže f : Γ R n je vektorové pole a : R n, Ψ : H R n jsou kladné zobecněné parametrizace Γ, pak f ds = f ds, pokud aspoň jedna strana má smysl. Důkaz. Dokazuje se analogicky jako věta 2.9. Namísto (5 počítame J(t f ds = f((t J(t dt = f((t J(t dt = J(t (13 = f ν Γ ds. Ψ f((t ν Γ (t (t dt 4.12. Definice (Plošný integrál druhého druhu přes orientovanou plochu kodimenze 1. Nechť (Γ, ν je orientovaná plocha kodimenze 1 v R n a f : Γ R n je vektorové pole. Definujeme f ds = f ds, kde : Γ je kladná zobecněná parametrizace Γ. Γ 4.13. Věta (Vztah mezi plošným integrálem prvého a druhého druhu. Nechť (Γ, ν je orientovaná plocha kodimenze 1 v R n a f : Γ R n je vektorové pole. Potom f ds = f ν ds, pokud aspoň jeden z integrálů má smysl. Důkaz. Vzorec dostaneme z definic a výpočtu (13. Γ 4.14. Příklad. Uvažujme sférické souřadnice jako v příkladu 1.9. Zobecněná parametrizace je kladná pro (S, ν když ν(x, y, z = [x, y, z], [x, y, z] S. Vektorový jakobián v bodě (α, γ je x x α γ cos γ sin α sin γ cos α cos γ cos α y y = cos γ cos α sin γ sin α = cos γ cos γ sin α. 0 cos γ sin γ α z α γ z γ Přesvědčili jsme se, že vektorový jakobián je kladný násobek normály, test orientace prošel. Kdybychom zaměnili pořadí proměnných na (γ, α parametrizace by byla záporná. 4.1. Cvičení. Dokažte, že každou souvislou jednorozměrnou plochu Γ je možné orientovat nejvýše dvěma způsoby. Γ Návod. Postupujte analogicky jako ve cvičení 2.2. 11

4.2. Cvičení. Uvažujme zobrazení = (x, y, z : R 3, x = ( 2 + t cos(α/2 cos α, y = ( 2 + t cos(α/2 sin α, z = t sin(α/2, [t, α], kde = (( 1, 1 R. Möbiova páska je množina M = (. Ukažte, M je dvourozměrná plocha v R 3 a že se nedá orientovat. Totiž, kdyby ν byla orientace M, ze spojitosti bychom dostali nebo Ale to je spor. ν((t = J(t J(t, t, ν((t = J(t J(t, t. J((0, 0 = J(0, 2π, 5. Věta o divergenci 5.1. Definice (Vnější normála. Buď n > 1. Nechť R n je omezená otevřená množina. Řekneme, že v bodě z existuje vnější normála k, jestliže existuje okolí U bodu z a rozhraničující funkce h: U R tak, že h(z 0, x U = [x h(x < 0]. V tom případě definujeme vnější normálu předpisem ν (z = h(z h(z. Vnější normála nezávisí na volbě rozhraničující funkce. Je to jednotkový vektor, směřuje vždy ven z a je kolmá na hranici. Řekneme, že z je regulární bod hranice, pokud na okolí U bodu z najdeme spojitě diferencovatelnou rozhraničující funkci. Nechť Γ je množina všech regulárních bodů hranice. Potom (Γ, ν je orientovaná (n 1-rozměrná plocha, viz. poznámka 4.9. 5.2. Poznámka. Ne každý bod existence vnější normály je regulárním bodem hranice, v definici vnější normály se nepředpokládá hladkost a dokonce ani spojitost rozhraničující funkce. 5.3. Věta (O hraniční parametrizaci. Nechť R n je otevřená množina a z. Potom z je regulární bod hranice, právě když existuje otevřená množina R n a prosté regulární zobrazení Ψ: R n tak, že platí (14 (15 (16 (17 0, Ψ(0 = z, pro všechna y je Ψ(y y 1 < 0, JΨ > 0 na, y, y 1 = 0 = Ψ y 2 (y Ψ y n (y je kladný násobek ν (Ψ(y. Důkaz. Existuje-li hraniční parametrizace, pak najdeme rozhraničující funkci ve tvaru h(ψ(y = y 1, ověření ponecháme čtenáři (ostatně věta se zpravidla aplikuje v obráceném směru. Nechť existuje rozhraničující funkce h: U R. Potom existuje index i tak, že h(z 0. BÚNO předpokládejme, že i = 1 a h(z > 0. x 2 Z věty o implicitních funkcích dostaneme existenci okolí V bodu (z 2,..., z n, okolí W bodu z 1 a spojitě diferencovatelné funkce ξ : V W tak, že [ ] x W V = h(x = 0 x 1 = ξ(x 2,..., x n. 12

Případným zmenšením okolí V a W docílíme též [ ] x W V = h(x < 0 x 1 < ξ(x 2,..., x n. Položme U = W V a na U definujme funkci g předpisem g(x = (x 1 ξ(x 2,..., x n, x 2 z 2,..., x n z n. Nyní položme = g(u a definujme Ψ : R n jako inverzní zobrazení g 1. Vlastnosti (14, (15 jsou zřejmě splněny. Nechť y a x = Ψ(y. Potom (JΨ(y 1 = Jg(x = 1, tedy máme (16. Konečně, pro y a x = Ψ(y máme takže a Ψ (y Ψ (y = y 2 y n Z věty o implicitních funkcích máme takže Tím jsme ověřili (17. Ψ(y = (y 1 + ξ(z 2 + y 2,..., z n + y n, z 2 + y 2,..., z n + y n, Ψ (y = 1, ξ(x 2,...,x n x 2,..., ξ(x 2,..., x n h(x x 1 ξ(x 2,...,x n x n 0, 1,..., 0 0, 0,..., 1 ( 1, ξ(x 2,..., x n,..., ξ(x 2,..., x n. x 2 x n h(x x = i h(x, i = 2,..., n, x 1 ( Ψ (y Ψ (y = h(x. y 2 y n 5.4. Poznámka. Vlastnost popsaná ve větě 5.3 se často používá k definici regulárního bodu hranice. Naši definici jsme zvolili z toho důvodu, že bývá blíže zadání úlohy a snáze se ověřuje. Definice pomocí existence hraniční parametrizace bývá pohodlnější pro autory učebnic, protože se z ní snáze dokazuje věta o divergenci. Podmínka regularity se dá oslabit na lipschitzovskou regularitu, při níž se místo spojité diferencovatelnosti požaduje jen, aby hraniční parametrizace byla bilipschitzovské zobrazení, (14, (15 zůstávají, (16 má platit jen skoro všude a (17 (n 1-skoro všude. Pak v regulárním bodě nemusí existovat vnější normála, ale na jeho relativním okolí vzhledem k existuje skoro všude ve smyslu (n 1-nulovosti. Věta o divergenci s lipschitzovskou regularitou se využívá v kurzu parciálních diferenciálních rovnic. Její důkaz není myšlenkově jiný ani těžší, jsme-li zvyklí na práci s lipschitzovskými zobrazeními. 5.5. Věta o divergenci. Nechť R n je omezená otevřená množina. Nechť všechny body až na (n 1-nulovou množinu jsou regulární. Potom je přípustná (n 1-rozměrná množina. Nechť vektorové pole f : R n je spojitě diferencovatelné na a spojité na. Pak (18 f ν ds = div f(x dx, pokud integrály na obou stranách konvergují. Důkaz. Důkaz je složitější, budeme mu věnovat samostatnou kapitolu 7 5.6. Poznámka. Věta o divergenci se také nazývá aussova, aussova-reenova nebo Ostrogradského. 5.7. Test orientace pro reenovu větu. Následující varianta je důsledek věty o divergenci. Jedná se o to, že v dimenzi 2 je množina ohraničena zobecněnou křivkou, takže integrál přes regulární část hranice můžeme vnímat i jako křivkový integrál. V tom případě je přirozenější integrovat s tečným polem než s normálovým, ale tomu se musí uzpůsobit diferenciální operátor na druhé straně rovnosti. Z pole ν vyrobíme pole τ otočením o pravý úhel doleva, tedy (ν 1, ν 2 (τ 1, τ 2, τ 1 = ν 2, τ 2 = ν 1. 13

Test orientace ohraničující zobecněné křivky ψ v tomto případě v bodě z = ψ(t je kde h je rozhraničující funkce v z. det( h(z, ψ (t > 0. 5.8. reenova věta. Nechť R 2 je omezená otevřená množina. Nechť každý bod hranice až na 1- nulovou množinu je regulární. Potom přípustná 1-rozměrná množina. Nechť vektorové pole f : R 2 je spojitě diferencovatelné na a spojité na. Pak f τ ds = curl f(x dx, pokud integrály na obou stranách konvergují. 5.9. Příklad (Koule a sféra. Buď = {x R 3 : x < 1}, Γ = = {x R 3 : x < 1}. Rozhraničující funkce v bodě x Γ je h(x = x 2 1 = x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 1, tedy h(x = 2x a ν(x = x. Každý bod Γ je regulární bod. 5.10. Příklad (Čtverec. Buď = (0, 1 2 čtverec v R 2. Hranice je sjednocením čtyř úseček ( stran, jejichž relativní vnitřky vzhledem k tvoří regulární část hranice. Buď např. x = [1, x 2 ] {1} (0, 1. Rozhraničující funkce na (0, 2 (0, 1 je h(x = x 1 1. Normála v bodě x = [1, x 2 ] je ν (x = e 1 = [1, 0]. Ve vrcholech čtverce neexistuje vnější normála, ale ty tvoří 1-nulovou množinu. Jako zobecněnou parametrizaci můžeme použít zobecněnou křivku, která je definována na (0, 1 (1, 2 (2, 3 (3, 4 předpisem [t, 0], t (0, 1, [0, t 1], t (1, 2, (t = [3 t, 0], t (2, 3, [0, 4 t], t (3, 4. 5.11. Příklad (Krychle. Hranici krychle = (0, 1 3 tvoří sjednocení šesti čtverců ( stěn, jejichž relativní vnitřky vzhledem k tvoří regulární část hranice. Do regulární části nepatří vrcholy a hrany, ale ty tvoří 2-nulovou množinu. Nechť například x (0, 1 {0} (0, 1 Rozhraničující funkce je h(x = x 2, x (0, 1 ( 1, 1 (0, 1, tedy ν (x = e 2 = [0, 1, 0] pro takové x. 5.1. Cvičení. Alternativně se dá zavést ν(z jako takový jednotkový vektor, že (19 ν(z (x z lim sup 0, x z,x x z ν(z (x z lim inf 0, x z,x / x z Ukažte, že tato definice je ekvivalentní. Návod. Nechť platí (19. Najdeme spojitou funkci η na okolí bodu z tak, že η(z = 0 a pro x z je pak h(x = ν(z (x z < η(x, x z x, ν(z (x z < η(x, x z x /, { ν(z (x z η(x x z, x, ν(z (x z + η(x x z, x / je rozhraničující funkce. Všimněme si, že jsme nikde nepředpokládali spojitost h na okolí z. 6. Stokesova věta 6.1. Ohraničení plochy. Nechť (, ν R 3 je 2-rozměrná orientovaná plocha, je její omezená podplocha (tj. relativně otevřená podmnožina a Γ = \. Předpokládejme, že Γ. Potom Γ je relativní hranice v. Řekneme, že z je regulární bod Γ, jestliže existuje okolí U bodu z a spojitě diferencovatelná rozhraničující funkce h: U R tak, že ν(z h(z 0 a V takovém bodě definujeme x U = [x h(x < 0]. τ (z = ν(z h(z ν(z h(z 14

Tento vektor nezávisí na volbě rozhraničující funkce. 6.2. Poznámka. Mohli bychom uvažovat i případ, kdy přesáhne ven z. Taková obecnost by se hodila např. kdyby byla kuželová plocha (ovšem bez vrcholu, s vrcholem nesplňuje požadavky kladené na plochu. Pak bychom museli hlídat, aby přesah byl 1-nulový Pro jednoduchost však zde takový případ vyloučíme. 6.3. Stokesova věta. Nechť (, ν R 3 je 2-rozměrná orientovaná plocha, je její omezená podplocha a Γ = \. Předpokládejme, že Γ. Nechť každý bod Γ až na 1-nulovou množinu je regulární. Potom Γ je přípustná 1-rozměrná množina. Mějme okolí W množiny a vektorové pole f : W R n, které je je spojitě diferencovatelné na W a spojité na. Potom f τ ds = curl f ν ds, pokud integrály na obou stranách konvergují. Důkaz. Důkaz bude uveden v kapitole 7. Γ 6.4. Poznámka. V širším smyslu, Stokesova věta je obecná věta o integrování diferenciálních forem na varietách. Jako taková zahrnuje větu o potenciálu, větu o divergenci, reenovu větu i větu 6.3. Další aplikace už jsou v prostorech vyšší dimenze než tři a jejich nepovrchní studium vyžaduje pokročilou multilineární algebru. 7. Důkaz věty o divergenci a Stokesovy věty 7.1. Lemma. Nechť g 2,..., g n jsou dvakrát spojitě diferencovatelné funkce na otevřené množině W R n. Potom (20 div( g 2 g n = 0. Důkaz. Uvažujme následující tvrzení: (20 platí, jsou-li g k,..., g n lineární polynomy. Toto tvrzení zřejmě platí pro k = 2, neboť pak g i jsou konstanty, vektorový součin je konstantní vektor a jeho divergence je tudíž nulová. Indukcí dotáhneme platnost tvrzení až na k = n. Předpokládejme platnost pro k a chceme jej dokázat pro k+1, tedy g 2,..., g k nemusí být lineární polynomy. Máme ( ( n g k div( g 2 g k g n = div g 2 e i g n i=1 ( n g k = div g 2 e i g n = n i=1 + i=1 g k div ( g 2 e i g n n ( i=1 g k ( g 2 e i g n. Jelikož e i je gradient lineárního polynomu x x i, podle indukčního předpokladu je n g k div ( g 2 e i g n = 0. i=1 Podle věty o záměnnosti smíšených derivací je n ( g k ( g 2 e i g n = i=1 Tím je završen indukční krok a celý důkaz lemmatu. = n i=1 n ( det g k, g 2,..., e i,..., g n i=1 j=1 n 2 g k x j det (e j, g 2,..., e i,..., g n = 0. 7.2. Lemma (Rozklad jednotky. Buď m N. Existuje systém funkcí {ω α : α I}, kde I = Z n, s následujícími vlastnostmi: (a ω α, α I, jsou nekonečně diferencovatelné, 15

(b ω α 0, α I, (c α I ω α = 1 (d pro každé α I, nosič spt ω α je krychle o hraně menší než 2 m, (e pro každý bod x R n existuje nejvýš 2 n indexů α tak, že x spt ω α, (f ω α 2m n, α I. Důkaz. Buď η neklesající nekonečně diferencovatelná funkce, taková, že η 2, η = 0 na okolí (, 0] a η = 1 na okolí [1,. Definujme ω k (t = η(m(k + t 1 η(m(k + t, t R. Potom systém funkcí (ω k k Z má požadované vlastnosti pro n = 1. Ve vyšší dimenzi použijeme ω α (x = ω α1 (x 1... ω αn (x n, α I. 7.3. Věta (O aproximaci. Nechť W R n je otevřená množina, f : W R n je spojitě diferencovatelná funkce, K W je kompaktní a ε > 0. Potom existuje nekonečně diferencovatelná funkce g : W R n tak, že g(x f(x < ε, g(x f(x < ε, x K. Důkaz. Pokud tuto větu znáte odjinud (např. pomocí zhlazování, tento důkaz je možno přeskočit. Zvolme ε > 0. Najdeme konstantu M omezující f na okolí K. Ze stejnoměrné spojitosti a kompaktnosti najdeme m N tak, že pro každou krychli Q o hraně 2/m protínající K platí Q W, osc Q f < ε. Nechť (ω α α Z n je rozklad jednotky jako v Lemmatu 7.2. V průběhu důkazu budeme využívat jeho vlastnosti (a (f, někdy mlčky. Buď A množina všech α Z n takových, že spt ω α K. Označme Q α = spt ω α. Ke každému α A najdeme z = z α Q α K a položíme p α (x = f(z + f(z(x z. Buď g = ω α p α. α A Potom (vlastnost (c g f = α A ω α (p α f a g f = α ω α (p α f + α ω α ( p α f. Máme a tedy (vlastnost (f a sup Q α p α f osc Qα ( p α f ε. sup p α f osc Qα p α f ε diam Q α 2 nε /m, Q α ω α (p α f + ω α ( p α f (4n + 1ε ω α (p α f 2 nε /m na Q α. na Q α Sečtením přes α (vlastnost (e dostaneme požadované odhady pro vhodně malé ε. 7.4. Lemma. Nechť W R n je otevřená množina a H = {x R n : x 1 < 0}. Nechť f je spojité vektorové pole na H W s kompaktním nosičem ve W. Nechť f je spojitě diferencovatelné na H W. Potom f e 1 ds = div f(x dx, pokud integrál vpravo konverguje. H W H W 16

Důkaz. Můžeme f = (f 1,..., f n dodefinovat nulou na H \ W a předpokládat, že W = R n. Předpokládejme nejprve, že f je spojitě diferencovatelná dokonce na okolí H. Nechť (0, x 2,..., x n H. Potom tedy (21 f 1 (0, x 2,..., x n = lim f 1(x 1, x 2,..., x n = 0, x 1 0 f 1 (x 1,..., x n x 1 dx 1. Vyintegrováním podle proměnných (x 2,..., x n (Fubiniova věta dostanene f 1 (x f e 1 ds = dx. x 1 H Nechť nyní i {2,..., n} a (x 1,..., x i 1, x i+1,..., x n R n 1, přičemž x 1 < 0. Potom tedy lim f i(x 1,..., x i,..., x n = 0, x i ± 0 = H f i (x 1,..., x i,..., x n dx i. Vyintegrováním podle zbývajících proměnných x j, j i dostaneme f i (x (22 0 = dx. Sečteme-li (21 a (22 přes i = 2,..., n, dostaneme f e 1 ds = H H H div f dx. V obecném případě uvažujme posloupnost funkcí (f k k=1 danou předpisem Potom z předchozího dostaneme {x 1< 2 k } f k (x = f(x 2 k e 1. div f(x dx = H div f k dx dx = H f k e 1 ds. Jelikož f má kompaktní nosič, f k f stejnoměrně na H a integrál z div f přes H konverguje podle předpokladů, limitní přechod pro k dává požadovaný výsledek. 7.5. Lemma. Nechť R n a z nebo z je regulární bod. Potom existuje okolí U bodu z tak, že pro každé spojité vektorové pole f na s nosičem v U, spojitě diferencovatelné v, platí f ν ds = div f(x dx, pokud integrál vpravo konverguje. Důkaz. Jestliže z, okolí bodu z zvolíme celé v a tvrzení dostaneme z lemmatu 7.4. Předpokládejme tedy, že z je regulární bod. Podle věty 5.3 najdeme hraniční parametrizaci, totiž otevřená množina R n a prosté regulární zobrazení Ψ: R n tak, že platí (14 (17. Položme U = Ψ(. Podle věty o lokálním difeomorfismu je U otevřená a Ψ je difeomorfismus. Nechť f je spojité vektorové pole na s nosičem v U, spojitě diferencovatelné v. Položme g(y = f 1 (Ψ(y Ψ 2 (y Ψ n (y, y. Předpokládejme, že Ψ je dvakrát spojitě diferencovatelné. Potom div g = (f 1 Ψ ( Ψ 2 Ψ n + (f 1 Ψ div ( Ψ 2 Ψ n. Podle lemmatu 7.1 je div ( Ψ 2 Ψ n = 0. 17

Zbývající člen upravíme (f 1 Ψ ( Ψ 2 Ψ n = det( (f 1 Ψ, Ψ 2,..., Ψ n Pišme ν = (ν 1,..., νn. Položme n ( f1 = Ψ det( Ψ i, Ψ 2,..., Ψ n x i=1 i ( f1 = Ψ det( Ψ 1, Ψ 2,..., Ψ n. x 1 = {t R n 1 : (0, t H}, (t = Ψ(0, t, t Potom podle (17 je pro y = (0, t vektor ν kladný násobek J(t, takže a ν (Ψ(y J(t = J(t ( ν(ψ(y J(t 1 Ψi (y ( = det = e 1 Ψ 2 (y Ψ n (y. y j i,j=2,...,n Podle lemmatu 7.4 s pomocí záměny proměnných a nezávislosti plošného integrálu na parametrizaci dostaneme f 1 ν 1 ds = g e 1 ds = div g(y dy W H H f 1 ( ( = Ψ(y det Ψ1 (y, Ψ 2,..., Ψ n (y dy H x 1 f 1 = (x dx. x 1 W Obecně s myšlenkově stejným důkazem (23 f i ν i ds = W W f i (x dx, i = 1,..., n Sečteme-li (23 přes i dostaneme požadované, ale zatím v případě, že Ψ je dvakrát spojitě diferencovatelné. Pro obecný případ musíme aproximovat Ψ hladkými zobrazeními podle věty 7.3 a udělat limitní přechod v integrálu pro rovnost H (f 1 Ψ ( Ψ 2 Ψ n ds = H f 1 x 1 ( Ψ(y det ( Ψ1 (y, Ψ 2,..., Ψ n (y dy. 7.6. Lemma. Nechť R n, W R n jsou otevřené množiny, je omezená. Nechť všechny body W jsou regulární pro. Nechť f je spojité vektorové pole na s kompaktním nosičem ve W, spojitě diferencovatelné v. Potom f ν ds = div f(x dx, pokud integrál vpravo konverguje. Důkaz. Buď K W kompaktní. Podle lemmatu 7.5, ke každému bodu z K najdeme okolí U tak, že tvrzení platí pro každou f s nosičem v U. Z kompaktnosti odvodíme, že existuje δ > 0 tak, že pro každý bod z spt f platí tvrzení pro každou f s nosičem v B(z, δ. Najdeme m N tak, že n < mδ. Uvažujme rozklad jednotky (ω α α Z n podle lemmatu 7.2 a pozorujeme, že pro každé α platí tvrzení pro f s nosičem v spt ω α. Omezme se na α A = {α Z n : spt ω α K }. Množina A je konečná. Zvolme f s nosičem v K a položme f α = ω α f, α A. Potom tvrzení platí pro každou f α a tudíž i pro f jakožto jejich konečný součet. 18

7.7. Lemma. Nechť N R n je (n 1-nulová kompaktní množina nula a ε > 0. Potom existuje posloupnost (v m m spojitě diferencovatelných funkcí s kompaktním nosičem na R n tak, že 0 v m 1, v m = 1 na okolí N, v m χ N a (24 v m (x dx 0. R n Důkaz. Nejprve si sestrojíme pomocnou spojitě diferencovatelnou funkci η tak, že 0 η 1, η = 0 na B(0, 1 a η = 1 vně B(0, 2. Označme c = η(y dy. R n Zvolme m pevně. Najdeme posloupnost (B(x j, r j j koulí pokrývajících N tak, že r n 1 j < 2 m. j Jelikož N je kompaktní, existuje p N tak, že koule B(x j, r j, j = 1,..., p, pokrývají N. Položme ( x xj η j (x = η, r j Pro každé j dostaneme záměnou proměnných v m (x = 1 η 1 (x... η p (x. η j (x dx = cr n 1 j. R n Potom z věty o derivování součinu snadno dostaneme p v m η j, tedy R n v m (x dx p j=1 j=1 R n η j (x dx c p j=1 r n 1 j c2 m. Zřejmě v m = 0 na okolí N. Jestliže x / N, existuje δ > 0 tak, že B(x, δ N =. Jestliže při konstrukci funkce v m je j rn 1 j < 2 m, znamená to r n 1 j < 2 m pro každou jednotlivou kouli B(x j, r j. To ale znamená, že pro dostatečně velké m platí r j < δ, j = 1,..., p, takže pro všechna j máme x j x δ > r j a η j (x = 1. Tedy v m (x = 0. Tím jsme dokázali, že v m χ N. Důkaz věty 5.5. Nechť N je množina všech bodů, které nejsou regulární a W = R n \ N. Podle lemmatu 7.7 najdeme posloupnost (v m m spojitě diferencovatelných funkcí s kompaktním nosičem tak, že 0 v m 1, v m = 1 na okolí N a v m χ N. Buď m N pevné. Najděme otevřené okolí V množiny N tak, že v m = 1 na V a položme K = \ V. Buď f m = (1 v m f. Potom f m má kompaktní nosič v K W. Podle lemmatu 7.6 je (1 v m f ν ds = f m ν ds = div f m (x dx = (1 v m (x div f(x dx v m (x f(x dx. Nyní provedeme limitní přechod. Jelikož integrály na obou stranách (18 konvergují, z Leesgueovy věty dostaneme (1 v m f ν ds f ν ds, (1 v m (x div f(x dx div f(x dx. Zbývá odhadnout integrál v m (x f(x dx. Jelikož však je omezená množina a f je omezená funkce (ze spojitosti na kompaktní množině, tvrzení plyne z (??. 19

Důkaz věty 6.3. Stokesova věta se dá přepsat jako 3 3 f j dx j = j=1 Γ 3 j=1 i=1 f j dx i dx j, kde používáme zápis f = (f 1, f 2, f 3. Zvolme bod z a najděme okolí U bodu z a globální parametrizaci : plochy U. Nechť vektorové pole f má nosič v U. Buď = 1 (. Zvolme pevně j {1, 2, 3} a uvažujme na vektorové pole g(t = f j ((t j (t. Položme γ = 1 (Γ. Potom γ = a 1-skoro všechny body γ jsou regulární vzhledem k (rozhraničující funkce h. Potom f j dx j = g ds = (f j j ds. i=1 Γ γ (Pro úpravy integrálu vlevo si uvědomme, že nezávisí na parametrizaci, můžeme tedy vzít parametrizaci tvaru ψ, kde ψ je parametrizace γ. Na pravé straně je 3 f j 3 f j dx i dx j = ((t det( i (t, j (t dt. Potřebujeme tedy ověřit (25 (f j j ds = γ i=1 3 i=1 γ f j ((t det( i (t, j (t dt. Je-li dvakrát spojitě diferencovatelná, použijeme greenovskou variantu lemmatu 7.6 a máme (f j j ds = g ds = curl g(t dt. γ γ Máme Úpravou dostaneme a curl g = det( (f j, j + (f j curl j. det( (f j (t, j (t = 3 i=1 curl j = 0 f j ((t det( i (t, j (t (srov. věta 3.4, tedy (25 platí. Pokud je pouze jednou spojitě diferencovatelné, pomocí věty 7.3 najdeme posloupnost ( (k k hladkých funkcí, které konvergují spolu se svými prvními derivacemi k na okolí 1 (z a limitním přechodem v integrálu dostaneme též požadované. Uvědomme si, že při ověřování (25 jsme nikde nepoužili speciální vlastnosti zobrazení jako prostotu nebo regularitu. Zatím jsme ověřili Stokesovu větu v případě, že f má nosič v malém okolí bodu z. Obecný případ odtud plyne metodou rozkladu jednotky jako v důkazu lemmatu 7.6. 8. Praktické hledání parametrizace a určování orientace 8.1. Poznámka. Sehranost orientací pro reenovu a Stokesovu větu se heuristicky kontroluje pomocí názorných pomůcek. Kladná parametrizace regulární části hranice otevřené množiny R 2 je křivka, která obíhá proti směru hodinových ručiček. Kladná parametrizace regulární části relativní hranice 2- rozměrné plochy R 2 orientované pomocí normály se pozná podle pravidla pravé ruky: směřuje-li palec ve směru normály příslušné, pak zakřivené prsty ukazují směr obíhání křivky, která parametrizuje regulární část hranice. Zde používáme konvenci, že osa x směřuje doprava, osa y dozadu a osa z nahoru. Tyto pomůcky nemůžou nahradit výpočet, ale mohou nám naznačit, zda jsme při výpočtu neudělali numerickou chybu. 8.2. Poznámka. Je-li : R n plocha, o níž chceme rozhodnout, zda ohraničuje množinu nebo zda je kladnou lokální parametrizací plochy, pak platí, že pokud je souvislá (např. interval, stačí provést test orientace v jednom bodě. V některých následujících cvičeních budeme ze cvičných důvodů ověřovat znaménko ve všech bodech. Samostatně zkontrolujte, zda nalezené parametrizace jsou prostá regulární zobrazení do dané množiny a nepokrytá čast je nulová. 20

8.3. Poznámka. Pokud nám test orientace dá, že nalezená parametrizace je záporná, nezoufejme. Kladnou parametrizaci lze vyrobit prohozením pořadí proměnných (u plochy nebo záměnou proměnných s = t (u křivky. Také můžeme příklad dopočítat a u výsledku otočit znaménko. 8.4. Cvičení. Nechť 0 < r < R a M = {( x 2 + y 2 R 2 + z 2 = r 2 }. Najděte zobecněnou parametrizaci a rozhodněte o znaménku, víte-li, že kladná jednotková normála v bodě [R + r, 0, 0] je [1, 0, 0]. Řešení. Použijeme-li válcové souřadnice : rovnice se nám převede na x = ρ cos ᾱ, y = ρ sin ᾱ, z = z, [ ρ, ᾱ, z] (0, ( π, π R, ( ρ R 2 + z 2 = r 2. Tuto plochu můžeme parametrizovat posunutými polárními souřadnicemi ψ: ρ = R + r cos β, z = r sin β, ᾱ = α, takže složením parametrizací ψ dostáváme : x = (R + r cos β cos α, y = (R + r cos β sin α, z = r sin β, [α, β] ( π, π 2, [α, β] ( π, π 2. Znaménko parametrizace určíme z pravidla, že vektorový jakobián kladné parametrizace v [α, β] je kladným násobkem jednotkové normály v (α, β. Stačí tedy kontrolovat x-ovou souřadnici J(α, β, a to je (y, z (α, β = det (α, β Jelikož náš bod [R + r, 0, 0] je (0, 0, počítáme ( (y, z R + r, 0 (0, 0 = det (α, β 0, r Tedy nalezená parametrizace je kladná. ( (R + r cos β cos α, r sin β sin α. 0, r cos β = r(r + r > 0. 8.5. Cvičení. Nechť = {[x, y, z] : x 2 + y 2 + z 2 = 1 a ν(x, y, z = [x, y, z], [x, y, z]. Spočtěte x dy dz. Řešení. Použijeme-li sférické souřadnice x = r cos γ cos ᾱ, y = r cos γ sin ᾱ, z = r sin γ, [ r, ᾱ, γ] (0, ( π, π ( π 2, π 2, dostaneme z rovnice g = 0 podmínku r = 1. Tedy zvolíme zobecněnou parametrizaci, Potom x = cos γ cos α, y = cos γ sin α, z = sin γ, [α, γ] := ( π, π ( π 2, π 2. \ ( = {x < 0} {y = 0}, což je 2-nulová množina. Pro [x, y, z] = (α, γ máme Počítejme g(x, y, z = [2x, 2y, 2z] = [2 cos γ cos α, 2 cos γ sin α, 2 sin γ]. α cos γ sin α sin γ cos α cos 2 γ cos α γ = cos γ cos α sin γ sin α = cos 2 γ sin α, 0 cos γ cos γ sin γ 21