6.1 Vektorový prostor

6 Vektorový prostor, vektory Lineární závislost vektorů 6.1 Vektorový prostor Nechť je dán soubor nějakých prvků, v němž je dána jistá struktura vztahů mezi jednotlivými prvky nebo v němž jsou předepsána pravidla, jak s prvky operovat a manipulovat. Takový soubor tvoří často základ k dalšímu matematickému zkoumání a nazývá se pak prostor. Tento termín má svůj původ v geometrickém modelu, ve kterém prvky jsou tvořeny body. Budeme nyní definovat vektorový prostor. Definice 1. Množina prvků V se nazývá vektorový (lineární) prostor, jestliže 1) každým dvěma prvkům u V a v V je přiřazen prvek u + v V, který se nazývá součet prvků u a v (V je uzavřená vzhledem ke sčítání), 2) každému prvku u V a číslu λ R je přiřazen prvek λu V, který se nazývá násobek (vnější součin) prvku u a čísla λ (V je uzavřená vzhledem kvnějšímusoučinu), 3) tyto operace mají následující vlastnosti 1 u + v = v + u pro každé u, v V (komutativní zákon); 2 (u + v)+w = u +(v + w) prokaždéu, v, w V (asociativní zákon); 3 existuje právě jeden prvek o V takový, že u + o = u pro každé u V. Prvek o se nazývá nulový prvek; 4 pro každý prvek u V existuje ve V prvek označený u takový, že u +( u) =o; 5 1 u = u pro každé u V; 6 α(βu) =(αβ)u pro každý prvek u V a α, β R; 7 (α + β)u = αu + βu pro každý prvek u V a α, β R; 8 α(u + v) =αu + αv pro každé dva prvky u, v V a α R, kde = je relace ekvivalence (rovnost, býti stejný jako ). Prvky vektorového prostoru V se nazývají vektory. Poznámka 1. V této definici se neříká, jak se definují operace sčítání vektorů a násobení vektoru reálným číslem. Je třeba, aby byly splněny uvedené vlastnosti těchto operací. 3

Ukázka 1. Příklady vektorových prostorů: 1. Nejjednodušším důležitým příkladem vektorového prostoru je množina všech uspořádaných n-tic reálných čísel x =(x 1,...,x n ). Sčítání a násobení reálným číslem je v tomto prostoru definováno takto: Je-li x =(x 1,...,x n ), y =(y 1,...,y n ), α R, pakx + y = z, kdez =(x 1 + y 1,...,x n + y n )a αx =(αx 1,...,αx n ). Položme o =(0,...,0) a x =( x 1,..., x n ), pak snadno ověříme, že je splněno všech osm axiomů vektorového prostoru. Rovnost = pak chápeme jako totožnost, tj. (x 1,...,x n )=(y 1,...,y n ), právě když x 1 = y 1,...,x n = y n. Tento prostor budeme značit R n. Speciálně pro n = 3 uspořádané trojice reálných čísel (x, y, z) tvoří vektorový prostor R 3. Součet dvou vektorů a 1 =(x 1,y 1,z 1 )aa 2 =(x 2,y 2,z 2 )se definuje a 1 + a 2 =(x 1 + x 2,y 1 + y 2,z 1 + z 2 ) a násobek reálným číslem se definuje λa 1 =(λx 1,λy 1,λz 1 ). 2. Orientovanou úsečkou je úsečka, jejíž jeden krajní bod je definován jako počáteční a druhý jako koncový. Dvě úsečky definujeme souhlasně orientované, jestliže jsou rovnoběžné (tj. mají stejný směr), mají stejnou délku a jejich koncové body leží ve stejné polorovině, jejíž hraniční přímkou je spojnice jejich počátečních bodů. Množina orientovaných úseček v rovině tvoří vektorový prostor. Vektor v rovině je množina souhlasně orientovaných úseček. Znázorňuje se vhodně umístěnou orientovanou úsečkou. Obr. 1: Několik souhlasně orientovaných úseček v rovině. Dva vektory u a v se rovnají, mohou-li být reprezentovány stejnou orientovanou úsečkou. Součtem dvou vektorů u a v je vektor w reprezentovaný orientovanou úsečkou získanou takto: Libovolně vybereme orientovanou úsečku reprezentující vektor u a orientovanou úsečku reprezentující vektor v zvolíme tak, aby její počáteční bod splýval s koncovým bodem úsečky reprezentující u. Orientovaná úsečka spojující počáteční bod úsečky reprezentující u akoncovýbod úsečky reprezentující v reprezentuje součet vektorů w = u + v. 4

w = u + v v u Obr. 2: Sčítání vektorů. Součinem vektoru u a čísla λ je vektor λu reprezentovaný orientovanou úsečkou téhož směru jako úsečka reprezentující u, jejíž délka je λ násobkem délky této úsečky a jejíž orientace je pro λ>0 shodná a pro λ<0opačná. Λ2,5u λ 2 u, λ 2 < 0 u λ 1 u, λ 1 > 0 Obr. 3: Násobení vektoru číslem. 3. Množina všech polynomů stupně nejvýše n tvoří vektorový prostor. Součet dvou polynomů je polynom stupně nejvýše n P (x) =a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, Q(x) =b n x n + b n 1 x n 1 + + b 1 x + b 0 P (x)+q(x) =(a n + b n )x n +(a n 1 + b n 1 )x n 1 + +(a 1 + b 1 )x +(a 0 + b 0 ) a násobek reálným číslem λp (x) =λa n x n + λa n 1 x n 1 + + λa 1 x + λa 0 je opět polynom stupně nejvýše n. Množina všech polynomů stupně n netvoří vektorový prostor, protože součtem dvou polynomů stupně n může být i polynom nižšího stupně, např. součtem polynomů třetího stupně P (x) = x 3 + x a Q(x) = x 3 + x je polynom prvního stupně P (x)+ Q(x) = 2x. 5

6.2 Lineární závislost a nezávislost vektorů Definice 2. Nechť V je vektorový prostor a n N. Nechťu 1, u 2,...,u n V a λ 1,λ 2,...,λ n R. Vektor n λ i u i = λ 1 u 1 + λ 2 u 2 + + λ n u n (6.1) i=1 se nazývá lineární kombinace vektorů u 1,...,u n skoeficientyλ 1,...,λ n.jsouli všechna čísla λ 1,...,λ n rovna nule, pak se lineární kombinace (6.1) nazývá triviální, je-li aspoň jedno z čísel λ 1,...,λ n různé od nuly, nazývá se lineární kombinace (6.1) netriviální. Definice 3. Vektory u 1, u 2,...,u n V se nazývají lineárně závislé, jestliže existuje jejich netriviální lineární kombinace, která je rovna nulovému vektoru, tj. existují λ 1...,λ n,kde n i=1 λ i 0 (tj. aspoň jeden koeficient λ i, i =1,...,n, je různý od nuly), tak že n λ i u i = o. i=1 Vektory, které nejsou lineárně závislé, se nazývají lineárně nezávislé, tj. rovnost n λ i u i = o i=1 je splněna pouze pro λ 1 = λ 2 =... = λ n = 0, existuje tedy pouze triviální lineární kombinace rovna nulovému vektoru. Věta 1. Vektory u 1, u 2,...,u n V (n >1) jsou lineárně závislé, právě když aspoň jeden z nich je lineární kombinací ostatních. Speciálně: Dva vektory jsou lineárně závislé, je-li jeden násobkem druhého. Ukázka 2. Rozhodněte, zda následující vektory z R 2 jsou lineárně závislé nebo nezávislé: 1. u =(1, 2), v =(2, 4). Na první pohled je vidět, že 2u = v, vektory u a v jsou lineárně závislé. 2. u =(1, 0), v =(1, 1). Zjistíme, pro jaké λ 1,λ 2 je lineární kombinace λ 1 u + λ 2 v rovna nulovému vektoru, tedy λ 1 (1, 0) + λ 2 (1, 1) = (λ 1, 0) + (λ 2,λ 2 )=(λ 1 + λ 2,λ 2 )=(0, 0). Porovnáním jednotlivých složek dostaneme soustavu rovnic λ 1 + λ 2 =0, λ 2 =0, 6

to znamená, že λ 1 = λ 2 =0,avektoryu a v jsou lineárně nezávislé. (Můžeme také zkoumat, zda je u násobkem v, tj.zdaexistujeλ tak, aby u = λv, (1, 0) = λ(1, 1). Je zřejmé, že takové λ neexistuje, a vektory u a v jsou tedy lineárně nezávislé.) 3. u =(1, 2, 0), v =(1, 1, 1), w =(1, 1, 2). Zjistíme, pro jaké λ 1,λ 2,λ 3 je lineární kombinace λ 1 u+λ 2 v+λ 3 w rovna o,tj. λ 1 (1, 2, 0)+λ 2 (1, 1, 1)+λ 3 (1, 1, 2) = (λ 1 +λ 2 +λ 3, 2λ 1 +λ 2 +λ 3, λ 2 +2λ 3 )= =(0, 0, 0). Porovnáním jednotlivých složek dostaneme soustavu rovnic λ 1 + λ 2 + λ 3 =0, 2λ 1 + λ 2 + λ 3 =0, λ 2 +2λ 3 =0, jejímž řešením je λ 1 = λ 2 = λ 3 = 0, vektory u, v a w jsou lineárně nezávislé. 4. u =(1, 2, 0), v =(1, 1, 1), w =(0, 1, 1). Zjistíme, pro jaké λ 1,λ 2,λ 3 je lineární kombinace λ 1 u + λ 2 v + λ 3 w rovna o, tj. λ 1 (1, 2, 0)+λ 2 (1, 1, 1)+λ 3 (0, 1, 1) = (λ 1 +λ 2, 2λ 1 +λ 2 +λ 3, λ 2 +λ 3 )= =(0, 0, 0). Porovnáním jednotlivých složek dostaneme soustavu rovnic λ 1 + λ 2 =0, 2λ 1 + λ 2 + λ 3 =0, λ 2 + λ 3 =0, odkud po úpravě dostaneme λ 1 = λ 2 a λ 3 = λ 2. Řešením soustavy jsou tedy všechny uspořádané trojice [ p, p, p], p R, tj. soustava má i netriviální řešení. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. 6.3 Dimenze prostoru Definice 4. Vektorový prostor V se nazývá n-rozměrný neboli dimenze n, n N, existuje-li v něm n lineárně nezávislých vektorů a každých n +1vektorů je lineárně závislých, značíme dim V = n. Označení 1. Vektorový prostor V dimenze n budeme značit V n. Definice 5. Každá množina n lineárně nezávislých vektorů prostoru V n se nazývá báze prostoru V n. Věta 2. Každý vektor u V n lze jednoznačně vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů báze V n. Koeficienty této lineární kombinace se nazývají souřadnice vektoru v této bázi. 7

Ukázka 3. 1. R 2 : množina všech uspořádaných dvojic reálných čísel je prostor dimenze 2. Báze R 2 jsou např. a) soustava vektorů e 1 =(1, 0), e 2 =(0, 1). b) soustava vektorů e 1 =(1, 1), e 2 =(3, 2). Vektor u, který má souřadnice (3, 5) v bázi e 1, e 2,tzn. u =3e 1 +5e 2 =(3, 5) má v bázi e 1, e 2 souřadnice (9, 2), protože u =9e 1 +( 2)e 2 =(3, 5). 2. R n : množina všech uspořádaných n-tic reálných čísel je prostor dimenze n, má např. bázi e 1,...,e n,kdevektore i má všechny souřadnice kromě i-té souřadnice rovny nule a i-tá souřadnice je rovna jedné. Např.: (0, 5, 4, 3) = 0 (1, 0, 0, 0) + 5 (0, 1, 0, 0) + 4 (0, 0, 1, 0) 3 (0, 0, 0, 1) 3. P n (x): prostor všech polynomů stupně nejvýše n je prostor dimenze n +1, má např. bázi e 1 =1,e 2 = x, e 3 = x 2,... e n = x n 1, e n+1 = x n.každý polynom stupně nejvýše n lze vyjádřit jako lineární kombinaci této báze se souřadnicemi a 0,a 1,...,a n,tedyp (x) =a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 1. 6.4 Podprostory vektorového prostoru Definice 6. Řekneme, že W je podprostor vektorového prostoru V, je-liw V a množina W tvoří vektorový prostor vzhledem k operacím sčítání vektorů a násobení vektorů čísly, které byly definovány v prostoru V. Ukázka 4. 1. Nulový vektor o V tvoří tzv. nulový podprostor prostoru V. Nulovýpodprostor a celý prostor V se nazývají nevlastní podprostory prostoru V. 2. Nechť V 3 je trojrozměrný prostor množina orientovaných úseček v trojrozměrném euklidovském prostoru. Je-li S libovolná rovina ve V 3 procházející počátkem souřadného systému, pak množina V 2 všech orientovaných úseček, ležících v rovině S, je podprostor vektorového prostoru V 3. 3. Množina všech polynomů stupně nejvýše 2 tvoří podprostor prostoru všech polynomů stupně nejvýše n, n 2. Poznámka 2. Protože libovolný podprostor W prostoru V je sám o sobě vektorový prostor, mají smysl pojmy báze W a dimenze W. Protože ve W nemůže existovat více lineárně nezávislých vektorů než ve V, platí, že dim W dim V; báze W má tedy nejvýše tolik vektorů jako báze V. 8

6.5 Vektorové prostory se skalárním součinem Definice 7. Říkáme, že ve vektorovém prostoru V je definován skalární součin, jestliže každé dvojici vektorů u, v V je přiřazeno reálné číslo (u, v) takové, že platí 1 (u, v) =(v, u) prokaždéu, v V; 2 (αu, v) =α(u, v) prokaždéu, v V a α R; 3 (u + v, w) =(u, w)+(v, w) prokaždéu, v, w V; 4 (u, u) 0prokaždéu V; (u, u) =0 u = o. Vektorový prostor V, ve kterém je definován skalární součin, se nazývá vektorový prostor se skalárním součinem. Poznámka 3. Nechť R 3 je množina uspořádaných trojic reálných čísel, pak skalární součin dvou vektorů u =(x 1,y 1,z 1 )av =(x 2,y 2,z 2 ) můžeme definovat: (u, v) =u v = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 Skalární součin lze ve výše uvedených případech definovat i jiným způsobem, v každém případě ale musí být podmínky 1 4 z definice 7 splněny. Lze např. definovat (u, v) =x 1 x 2 +2y 1 y 2 +3z 1 z 2 (ověřte platnost podmínek 1 4 ). Úmluva 1. Dále bude V, resp.v n, znamenat vektorový prostor se skalárním součinem. V R n (tj. množiné uspořádaných n-tic reálných čísel) budeme skalární součin dvou vektorů u =(u 1,u 2,...,u n )av =(v 1,v 2,...,v n ) definovat: (u, v) =u 1 v 1 + u 2 v 2 + + u n v n 6.6 Norma vektoru a úhel dvou vektorů Definice 8. Nechť u V. Číslo (u, u) senazývánorma (délka) vektoru u a značí se u. Definice 9. Úhel (odchylka) dvou nenulových vektorů u V a v V je úhel ϕ, pro který platí (u, v) cos ϕ =, u v 0 ϕ<π. (6.2) Věta 3. Pro každé u V a v V platí Cauchyova Buňakovského nerovnost (u, v) u v (6.3) 9

Minkowského (trojúhelníková) nerovnost u + v u + v (6.4) Ukázka 5. Nechť u =(1, 2) a v =(2, 1) jsou vektory z R 2,pak u = (u, u) = 1 2 +2 2 =5, v = 5, (u, v) =1 2+2 1 =4, cos ϕ = 4 5. Cauchyova Buňakovského nerovnost (u, v) = 4 5 = u v. Minkowského nerovnost u + v = (3, 3) =3 2 2 5= u + v. Definice 10. Vektory u V a v V se nazývají ortogonální (kolmé), platí-li (u, v) =0. Věta 4. Nechť vektory u V, v V jsou ortogonální, pak platí u + v 2 = u 2 + v 2. (6.5) Poznámka 4. Vztahy (6.3) (6.5) plynou z vlastností skalárního součinu a ortogonality vektorů, (6.5) je vlastně Pythagorova věta. Definice 11. Vzdálenost dvou vektorů u V a v V je číslo d(u, v) = u v. Poznámka 5. Z nerovnosti (6.4) plyne trojúhelníková nerovnost pro vzdálenost tří vektorů u, v, w V d(u, w) d(u, v)+d(v, w). (6.6) Definice 12. Podmnožina M V se nazývá ortogonální, je-li(u, v) =0pro každé u, v M, u v, tj. každé dva vektory z množiny M jsou ortogonální. Je-li navíc u = 1 pro každý vektor u M, nazývásem ortonormální. Věta 5. Nechť M je ortogonální podmnožina v prostoru V taková, která neobsahuje nulový vektor. Pak M je množina lineárně nezávislých vektorů z V. Důsledek 1. 1. V každém prostoru V n (konečné dimenze) existuje ortogonální, a tedy i ortonormální, báze. 2. Vektory e 1, e 2,...,e n tvoří ortonormální bázi V n, jestliže platí (e i, e k )= { 1, pro i = k, 0, pro i k. (6.7) 10

Příklad 1. Najděte v R 2 nějakou ortogonální a ortonormální bázi. Řešení: Bázi R 2 tvoří dva lineárně nezávislé vektory. Zvolme např. u =(1, 1) a najděme k němu ortogonální vektor v =(v 1,v 2 ). Aby byly vektory u a v ortogonální, musí platit pro jejich skalární součin (u, v) =0,atedyv 1 + v 2 =0.Této rovnici vyhovuje nekonečně mnoho dvojic čísel (v 1,v 2 ), zvolíme-li např. v 1 =1, je v 2 = 1 av =(1, 1). Ortogonální bázi v R 2 tvoří vektory u =(1, 1), v =(1, 1). Ortonormální bázi pak tvoří takové násobky vektorů u a v, které mají normu rovnu 1, a to jsou zřejmě vektory u u, v v,tedy ( ) 1 2, 1 2, ( 1 2, 1 ). 2 Poznámka 6. Báze prostoru R n z příkladu 3 2., str. 8, je ortonormální. 6.7 Ortogonalita vektoru k podprostoru Definice 13. Nechť V m je podprostor prostoru V n,tedym n. Říkáme, že vektor u V n je ortogonální (kolmý) k prostoru V m, je-li ortogonální ke každému vektoru x V m,značímeu V m. Je-li vektor u ortogonální k vektorům e 1, e 2,...,e m, je ortogonální i ke každému vektoru, který je jejich lineární kombinací. Skutečně z rovnic (u, e i )=0, i =1,...,m, plyne, že pro libovolná λ 1,...,λ m R je (u,λ 1 e 1 + + λ m e m )=λ 1 (u, e 1 )+ + λ m (u, e m )=0. Proto k tomu, aby byl vektor kolmý k prostoru stačí, aby byl vektor kolmý k vektorům nějaké jeho báze. 11