PRUŽNOST A PEVNOST I PODKLADY PRO PŘEDNÁŠKY

PRUŽNOST PEVNOST I PODKLDY PRO PŘEDNÁŠKY Jn Řezníček Únor 7

ÚSTV MECHNIKY, BIOMECHNIKY MECHTRONIKY ODBOR PRUŽNOSTI PEVNOSTI PRUŽNOST PVNOST I PODKLDY PRO PŘEDNÁKY BLLÁŘSKÉ STUDIJNÍ PROGRMY TZSI STR přednáší Jn Řezníček kdemický rok 6/7 Prh 6. únor 7 8. přeprcovná doplněná verze (pro LS kdemického roku 5/6) - tet neprošel jzykovou ni redkční úprvou Jn Řezníček, kult strojní ČVUT v Prze,,,, 4, 5, 6 7.

PRUŽNOST PEVNOST KDO PSL HISTORII PRUŽNOSTI PEVNOSTI 45 59 Leonrdo d Vinci 564 64 Glileo Glilei 6 684 Edme Mriotte 65 7 Robert Hooke 6 66 Blsie Pscl 64 77 Isc Newton 654 75 Jkob Bernoulli 7 78 Dniel Bernoulli 77 78 Leonrd Euler 77 78 Jen-Bptiste d'lembert 76 86 Chrles-ugustin de Coulomb 749 87 Piere Simon Lplce 77 89 Thoms Young 78 84 Simeon Denis Poisson 797 886 dhémr Jen-Clude de Sint-Vénnt 84 885 Henri Edourd Tresc 88-889 Jmes Prescott Joule 89 94 ugust Wöhler 8 87 Willim John Mcquorn Rnkin 8 89 Dmitrij Ivnovič Žurvskij 8 89 Enrico Betti 8 89 Johnn Wilhelm Schwedler 84 887 Gustv Robert Kirchhoff 8 9 ntonio Luigi Giuseppe Cremon 8 879 Jmes Clerk Mwell 8 87 lfred Clebsch 85 888 Emil Winkler 85 98 Christin Otto Mohr 84 9 Josef Šolín 87 945 Boris Grigorgijevič Glerkin 87 95 Tytus Mksymilin Huber 878 97 Štěpán Prokofjevič Timošenko 878 99 Wlther Ritz 88 95 Richrd von Mises 885 95 Heinrich Hencky 847 884 Crlo lberto Cstiglino 875 95 Ludwig Prndtl 88 94 Viktor elber 95 956 erdinnd Budinský 98 968 Lev Dvidovič Lndu 98 99 Emnuel Hájek 99 Clifford mbrose Truesdell 9 9 Olgierd (Oleg) Cecil Zienkiewicz Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 4 Vážené kolegyně vážení kolegové, dostlo se mi té cti, že mohu vést n kultě strojní Českého vysokého učení technického v Prze přednášky z předmětu Pružnost pevnost I pro studenty bklářských studijních progrmů Teoretický zákld strojního inženýrství Strojírenství. Při příprvě podkldů pro tento předmět jsem vycházel ze zkušeností, které mám z minulých let s novou formou výuky pružnosti pevnosti n S ČVUT v Prze. Tet, který máte před sebou, jsou vlstně slepé přednášky, které vám studentům mjí usndnit práci při tvorbě vlstních zápisků z přednášek tk, by vás při této činnosti nic výrzně nerušilo. Tím mám n mysli zdlouhvé obkreslování obrázků z tbule, kdy já mám předstvu, co chci nkreslit, le nepovede se mi to vždy úplně přesně. Vy si to obkreslujete jk s mojí nepřesností, tk si k tomu čsto přidáte ještě své vlstní, pk při učení ke zkoušce přemýšlíte, co že to vlstně ten obrázek znmená. Zde máte všichni stejné podkldy je jen n vás, jk s nimi nložíte. Pokud lespoň jednomu z vás tyto podkldy usndní učení pomohou udělt zkoušku z pružnosti, tk to nebyl zbytečná práce. Njdete-li v tetu nebo ve vzorcích chyby, které jsem při utokorektuře přehlédl z které se předem omlouvám, budu vám vděčný, pokud mě n ně upozorníte, bych je mohl oprvit. Přednášky kromě slepých obrázků hlvních ndpisů obshují pro objsnění problemtiky i řdu komentářů, poznámek, doplňujících obrázků tké vzorových příkldů. Některé z nich jsou kompletně celé vypočítné, u jiných je jen nznčeno řešení. Ne všechny z uváděných příkldů budu n přednáškách počítt. Spíš jsem je do tohoto tetu umístil pro vše smostudium. V celém tetu pk budu používt pro zvýrznění jednotlivých částí tyto symboly: Zásdní odvození Vzorový příkld Souhrnná tbulk Intermezzo důležité pro pochopení je vhodné ho pochopit srovnání důležitých potřebné informce tké se to zkouší!!! nebo se hned zeptt!!! pojmů hodnot z mtemtiky fyziky O P Většinu kpitol se pokusím uvést jednoduchými příkldy z pre, bych osvětlil jednk prktickou plikci probírné problemtiky jednk bych ukázl cestu od reálné součásti k výpočtovému modelu. Po zkušenostech z předmětu PP II jsem i v těchto podkldech doplnil jednotlivé kpitoly některými příkldy, které se v průběhu uplynulých let objevily buď v postupových testech nebo v písemné části závěrečné semestrální zkoušky. Ještě bych vám všem chtěl popřát hodně úspěchů během celého všeho studi. Pokud budete během následujících let n fkultě cokoliv potřebovt to nejen z Pružnosti pevnosti I nebo následně Pružnosti pevnosti II tk jsem vám k dispozici, protože jednou jste MOJI STUDENTI, to je pro mě závzek i do budoucn, kdy vás již nebudu učit. T M : 4 5 44 : 75 5 5 : jn.reznicek@fs.cvut.cz : www.fcebook.com/pruznost Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7 V Prze v pondělí dne 6. únor 7

PRUŽNOST PEVNOST 5 P R U Ž N O S T P E V N O S T Přednáší: Jn Řezníček, studijní oddělení místnost 45 (místnost proděkn pro pedgogickou činnost) Skript: Michlec, J. kol.: Pružnost pevnost I, skriptum S ČVUT Šubrt, L., Řezníček, J., Růžičk, M.: Příkldy z pružnosti pevnosti I, skriptum S ČVUT Zdroje informcí: www.mechnik.fs.cvut.cz www.fcebook.com/pruznost www.pruznost.uns.cz Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 6 Zřzení pružnosti pevnosti: Pružnost pevnost jko přírodní věd je součástí YZIKY, resp. její části MECHNIKY Klsická pružnost pevnost vs. moderní výpočtové (numerické) metody Historie pružnosti pevnosti: Pružnost pevnost jko přírodní věd pltí od vzniku svět, tk historie v nšem pojetí pojednává pouze o úrovni poznání resp. vývoji pružnosti pevnosti jko vědního oboru. Proto seznm jmen uvedený n zčátku těchto přednášek je jen výběrem těch nejvýznmnějších vědců, kteří nejvíce ovlivnili pružnost pevnost. Zákldní pojmy: SÍLY Vnější - ztěžující Vnitřní ) Síly povrchové Intenzit vnitřní síly = npětí - osmělé spojitě rozložené ) Síly objemové (tíhová síl těles v grvitčním poli) ) Ztížení sttické/quzisttické (žádné nebo velmi pomlé změny) ) Ztížení dynmické (děje s rychle se měnícím ztížením) ) Ztížení místně stálé (upevnění stroje k zákldu) ) Ztížení pohyblivé (pojezd mostového jeřábu) Sttická rovnováh vnějších sil (všech): Všechn uvžovná ztížení musí splňovt podmínku sttické rovnováhy vnějších sil (včetně sil rekčních vznikjících v uložení těles). Složité soustvy se převedou postupným uvolňováním n jednoduché při zchování původních okrjových podmínek. V přípdě nerovnoměrného pohybu těles nebo soustvy se do stvu rovnováhy zhrnují i setrvčné síly (d lmbertův princip). Se ztížením povrchovými i objemovými účinky bez vlivu n smotné těleso se zbývá mechnik tuhých těles, kterou již znáte z předmětu Mechnik I, kdežto mechnik poddjných těles se zbývá i chováním smotného poddjného těles řeší změny, ke kterým v tkovém tělese dochází právě v důsledku vnějších sil přípdných setrvčných účinků. VNITŘNÍ SÍLY: Poddjné těleso se vlivem vnějších sil, které musí být podle předchozího předpokldu v rovnováze, deformuje tím vznikjí v tělese VNITŘNÍ SÍLY. 4 i d i 4 ( ) Je-li v rovnováze celé těleso, je tké v rovnováze i kždá jeho odříznutá část. Musí tedy být v rovnováze i smotná část. Rovnováhu v tomto přípdě zjišťují vnitřní účinky působící v místě řezu. dt t dn d n d Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 7 Intenzit vnitřní síly npětí [Nm - ] [P]... pscl resp. [Nmm - ] [MP]... megpscl obecné normálové smykové d d dn d dt d Poznámk: Zejmén v nglosské odborné litertuře se zásdně uvádí mechnické npětí v zákldních jednotkách Nm - resp. Nmm - (npř. utomobilky ord nebo BMW uvádějí ve všech technických předpisech dílenských mnuálech pevnosti šroubů v Nmm - ). Jednotky P resp. MP přípdně kp jsou používány pro oznčování tlků plynů kplin. DEORMCE TĚLES: [] [] poměrné prodloužení (kldné) zkos poměrné zkrácení (záporné) (změn kolmosti hrn elementu) d resp. d ve strších knihách se používá výrz poměrné posunutí PRUŽNOST TĚLES = schopnost těles vrátit se po odlehčení do původního stvu TUHOST TĚLES = odolnost těles proti deformci ZÁKLDNÍ PŘEDPOKLDY ŘEŠENÍ ÚLOH PP:. Předpokld mlých deformcí (v relci s osttními rozměry). Pltnost lineární závislosti mezi npětím deformcí (Hookův zákon). Pltnost Sint-Vénntov principu (změn ztížení se roznese n mlé vzdálenosti do celého průřezu součásti ovlivní tk jen mlou oblst, kterou znedbáme) 4. Eistence ideálního mteriálu - homogenní (bez vměstků, otvorů,...) - isotropní (ve všech směrech stejné vlstnosti) Skutečná součást Eperiment velice čsto provádíme přímo n skutečné součásti nebo n skutečném modelu, který všk nemusí být totožný s výpočtovým modelem. Proto mohou být mezi eperimentem výpočtem znčné rozdíly Výpočtový model Pro výpočty v pružnosti pevnosti využíváme tzv. výpočtový model, který vznikne z použití různých zjednodušujících předpokldů (čím větší je zjednodušení tím nepřesnější jsou výsledky vzhledem ke skutečnosti) Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 8 Doplňující skript s příkldy: Řezníčkovi, J. J.: Pružnost pevnost v technické pri Příkldy I, skriptum S ČVUT Řezníčkovi, J. J.: Pružnost pevnost v technické pri Příkldy III, skriptum S ČVUT Příkldů výpočtových modelů lze určitě njít celou řdu. Vždy všk není úplně jednoduché sestvit ten model tk, by byl rozumně řešitelný přitom stále odpovídl skutečnosti. Řdu výpočtových modelů ke zcel známým v běžném životě používným věcem jsme se pokusili sestvit ve skriptech Jn Jitk Řezníčkovi: Pružnost pevnost v technické pri Příkldy I Příkldy III, Nkldtelství ČVUT v Prze, 5 7. Jk se nám to povedlo, to již musíte posoudit vy smi. Poznámk: Skript Pružnost pevnost v technické pri Příkldy II jsou určen ž pro předmět Pružnost pevnost II. O B S H P Ř E D N Á Š E K P P I :. Prostý th/tlk zákldní pojmy pružnosti pevnosti. Npětí přetvoření 7. Deformční energie při obecné npjtosti 48 4. Teorie (hypotézy) pevnosti/pružnosti 5 5. Krut kruhového mezikruhového profilu 6 6. Ohyb nosníků 7 7. Kombinovné nmáhání 4 8. Křivé pruty rámy 4 9. Úvod do eperimentální pružnosti pevnosti 4 Doslov 69 Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 9 M Tkto oznčené vsuvky nebo poznámky jsou vloženy do tetu jksi nvíc pokud by vás jejich obsh urážel svojí jednoduchostí, tk je s klidným svědomím přelepte, přeškrtejte,. Moje zkušenosti ze zkoušek z pružnosti pevnosti přípdně dlších předmětů všk ukzují, že nejjednodušší věci se nejrychleji zpomínjí. je smutné, když dobře zhájený příkld nejste schopni dopočítt jen proto, že vám schází nějká drobnost z mtemtiky nebo fyziky. Já pk musím tento příkld hodnotit jko nedokončený nebo dokonce nevyřešený. Z tohoto důvodu se několikrát v těchto přednáškových podkldech uchýlím k této formě připomenutí potřebných znlostí těm, které tím urážím, se předem omlouvám PROMIŇTE! MTEMTICKÉ INTERMEZZO V průběhu výuky pružnosti pevnosti stejně jko i jiných předmětů se budou používt pojmy mlé deformce, mlé úhly spoust dlších mlých veličin. Připomeňme si proto, co již o mlých velikostech víme z mtemtiky:. Mlý úhel ( ): sin ; cos ; tn (někdy lze le tké s výhodou použít i vzthy: sin ; tn ) M. Délk skutečného oblouku: s[m] = R[m][] R s. Délk mlého oblouku: ds[m] = R[m]d [] R Protože pltí: ds podle. pltí: d tn d = ds/r tn d d ds = Rd Není třeb uvžovt dráhu po kružnici, le stčí jí nhrdit tečnou v původním místě (kolmice k rmeni R) 4. Mlá deformce (u ): u << ( u) ; u 5. Diferenciál: ds dm jsou mlé veličiny prvního řádu všk nenulové (lze jimi npříkld dělit rovnici) dsdm součin dvou nebo více diferenciálů je diferenciální veličin vyššího řádu, kterou lze znedbt (dsdm ) Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST. PROSTÝ TH/TLK ZÁKLDNÍ POJMY P&P Vypočtěte sttickou bezpečnost tžného ln lnovky n Petřín stnovte deformční energii kumulovnou v tomto ocelovém lnu. Pohotovostní hmotnost kždého z vozů je mv = 6 kg vzhledem k možnosti přeprvy ž cestujících plus obsluh je normovné užitečné ztížení jednoho vozu mu = 8 8 kg. Průměr DL tžného ln je 5, mm (ktivní ploch průřezu použitého ln je cc 45 mm ). Lno je vyrobeno z drátků o jmenovité pevnosti Rm = 57 Nmm - (Pt) výrobcem udávná jmenovitá únosnost ln je přibližně m = 7 kn. Šikmá délk lnové dráhy je s = 5,4 m při výškovém rozdílu horní dolní stnice h =,45 m. Průměrná velikost úhlu celé dráhy tedy bude = 4,8. Délk tžného ln (včetně volných částí procházejících strojovnou v horní stnici lnové dráhy) je pk = 54 m. T N T G DL Loptkový kompresor se otáčí rychlostí n = 7 min - z provozu se postupně ohřeje o T = C. Stnovte prodloužení mimální nmáhání jeho loptek, je-li průměr rotorového disku D = mm vnější průměr obvodu loptek DL = mm. Loptky jsou vyrobeny z oceli (hustot = 7 8 kgm -, lineární teplotní roztžnost =,8-6 C - Youngův modul pružnosti E =, 5 Nmm - ). Změnu poloměru vnitřního kotouče znedbáme (D ). Boeing 77-8 D DL Prut: Je součást, která má jeden rozměr výrzně větší než zbývjící dv (svorník, táhlo,...). Os prutu: Je to spojnice těžišť jednotlivých příčných průřezů prutu - přímk přímý prut - křivk křivý prut (rovinný nebo i prostorový) Přímý prut je nmáhný them/tlkem tehdy jen tehdy, pokud výsledná síl působí v ose prutu je kolmá k průřezu. To obecně splňují jen svislé pruty, protože u osttních vzniká v důsledku vlstní tíhy ještě ohyb kombinovné nmáhání, které bude řešeno později. Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST NORMÁLOVÁ SÍL = výslednice sil kolmá k průřezu prutu TH + síl působí VEN z plochy TLK síl působí DO plochy Sint-Vénntův princip: Působení sil vlivem uložení ovlivňuje jen velmi mlou část prutu ve svém nejbližším okolí. Vliv místního působení sil zniká ve vzdálenosti cc rovné příčným rozměrům. ml JEDNOOSÁ NPJTOST: R Rovnice rovnováhy: R = rovnice o neznámé úloh je STTICKY URČITÁ (sttické rovnice stčí k určení všech neznámých sil zde se jedná o rekci R) N() N() Metod řezu (Leonrd Euler): Řešení METODOU ŘEZU (zvedl Leonrd Euler): odkud N() () Npětí v místě řezu: zde le pltí: / Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST Změn ztížení: N() () Změn průřezu: N() () Protože <, musí pltit pro N = N = : = / > / = Změn ztížení i průřezu: N() () Průběh vnitřní síly N() je jednoznčně dán. Průběh npětí () le záleží n konkrétních poměrech poměrech. Ideální je stv, kdy přírůstek síly je stejný jko přírůstek plochy, tedy: V tom přípdě bude po celé délce prutu konstntní npětí () = konst. () Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST PŘETVOŘENÍ (deformce) PŘI THU/TLKU: před po THOVÁ ZKOUŠK MTERIÁLU PRCOVNÍ DIGRM (běžná konstrukční ocel) Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 4 THOVÁ ZKOUŠK MTERIÁLU PRCOVNÍ DIGRM (litin) THOVÁ ZKOUŠK MTERIÁLU PRCOVNÍ DIGRM (slitinové oceli) Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 5 HOOKŮV ZÁKON (popis lineární části thového digrmu) E... MODUL PRUŽNOSTI zvedl později Thoms Young (někdy nzýván Youngův modul) TBULK (HODNOTY MODULU PRUŽNOSTI OCELI 7 ): Teplot T [ C] 5 5 T Modul pružnosti E [Nmm - ], 5, 5,9 5,7 5 DEORMCE VYUŽITÍ HOOKOV ZÁKON PODDJNOST (deformce vyvolná silou N) TUHOST (síl způsobující deformci mm) Deformce vyvolná změnou teploty (lineární teplotní roztžnost) Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 6 POISSONOVO ČÍSLO: Součinitel příčného zúžení POISSONOVO ČÍSLO ZÁKLDNÍ ELSTICKÉ CHRKTERISTIKY KŽDÉHO MTERIÁLU: ODVOZENÍ: POMĚRNÁ ZMĚN OBJEMU (při thu/tlku): [] O Jednoosá npjtost (pltí Hookův zákon Poissonův vzth): K modul objemové pružnosti [Nmm ] Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 7 ODVOZENÍ: DEORMČNÍ ENERGIE PŘI THU/TLKU O Hustot deformční energie (dříve měrná deformční energie) Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 8 ZÁKON O SUPERPOZICI NPĚTÍ POSUVŮ: Superpozice npětí: Superpozice posuvů (přetvoření) PROMĚNNÝ PRŮŘEZ: Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 9 PODMÍNK PEVNOSTI PODMÍNK TUHOSTI Pevnostní podmínk: TBULK (VYBRNÉ HODNOTY BEZPEČNOSTI DLE NOREM): Součást Tlkové nádoby Elektrický výth Díl válcový plášť kulové dno lno Mteriál ocel durl ocel durl ocel Bezpečnost kk,6 -,5-8 6 Bezpečnost,6 4,,4,5 (podle uspořádání) kp T Tuhostní podmínk: ODVOZENÍ: CSTIGLINOV VĚT O ODVOZENÍ: MOHRŮV INTEGRÁL PRO TH/TLK O Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST PŘÍKLD. (npětí deformce prutu od síly): Dáno: = mm; = m; = 4 N; E = 5 Nmm Určit: (); u(); u ; u (bod leží ve /5 délky od dolního krje) P N() () () u() u() = u( 5) 5 E u ( ) ( ) E E u( ) E Metod řezu: Odřízneme část prutu v místě odstrněnou část nhrdíme vnitřní silou N(). Musí pltit princip sttické rovnováhy: Je-li v rovnováze těleso jko celek, musí být v rovnováze kždá jeho odříznutá část. Tuto rovnováhu zručuje právě náhrdní vnitřní účinek v místě řezu. Sttická rovnice rovnováhy bude mít tvr: N() : N() = N() = = konst. N(/5) = N() = = R. Npětí vyjádříme ze známého vzthu jko podíl síly ku ploše, n kterou působí: N( ) ( ) konst. ( ) Deformci (prodloužení) vyjádříme z pomoci Hookov zákon: ( ) ( ) konst. E E Posunutí obecného bodu vyjádříme pomocí integrálu deformce: du ( ) d u( ) ( ) d d C. E E Velikost integrční konstnty C určíme z okrjové podmínky (ve vetknutí se prut neprodlouží): u ( ) C C. E E Výsledná rovnice posuvu bude mít tvr: u ( ) ( ) E u() ( ) E E u( 5) E 5 5 u( ) ( ) E Výsledek u ( ) resp. u ( 5) znmená, že výsledná deformce je proti kldnému směru souřdnice. Prodloužení prutu pk můžeme vyjádřit jko: u( ). E E Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST PŘÍKLD. (vliv vlstní tíhy): B Dáno: ; ; E; Určit: N(); (); (); u() Dále bude: V tomto přípdě si ukážeme ob přístupy metodou řezu i metodou přes diferenciál objemu:. METOD ŘEZU: : G() N() = N() = G() = gv() = g Odkud vyplývá že: N() = = gv = mg = RB. N( ) g ( ) g ( ) g ( ) m. ( ) g g g Z Hookov zákon pltí: ( ) u( ) d C E E E E Integrční konstntu C určíme opět z okrjové podmínky pro vetknutí: g g u ( ) C C. E E Výsledný průběh deformce u() bude mít tvr: u g E ( ) g u() E g u( ) E g E Znménko ve výsledku opět znmená, že deformce jde proti zvolenému smyslu... P. METOD DIERENCIÁLNÍ (pomocí diferenciální rovnice): V obecném místě popsném souřdnicí vyjmeme element o délce d. Předpokládáme proměnné npětí, proto v místě působí npětí B () kdežto v místě ( + d) působí již npětí () + d. I tento element musí být ve stvu sttické rovnováhy, tk musí pltit: d d () + d dg () NH ND kde: ) d y: N N dg H D, N H (, N D ( ) dg g d. Výsledná rovnice rovnováhy po doszení bude: ( ) d ( ) g d d g d. To je obyčejná diferenciální rovnice se seprovnými proměnnými, kterou můžeme řešit integrcí levé prvé strny při dodržení okrjové podmínky: ( ) g C. Okrjová podmínk musí zručit, že n volném neztíženém konci není prut nmáhán: ( ). Odtud vychází: C C. výsledný tvr bude: ( ) g. Dlší postup je stejný jko v přípdě použití metody řezu: () () u(). Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST PŘÍKLD. (prut proměnného průřezu): Dáno: D; D ; E; Určit: N(); () (). METOD ŘEZU: V tomto přípdě je výhodné dopočítt vzdálenost vrcholu kužele V: V Proměnný průřez d() pk můžeme vyjádřit jko: d π d( ) π d d( ) ( ). 4 4 Metodou řezu určíme velikost vnitřní síly v místě popsném souřdnicí : : N() = N() = Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7 d D d. D d Souřdnici pk budeme vyjdřovt od vrcholu V: ;. Npětí v obecném řezu pk bude: V N() N( ) K ( ). ( ) π d 4 Npětí má tvr polytropy ( () () ). 4 4 Krjní hodnoty jsou: ( ) ( ) π d π D Deformci tohoto komolého kužele pk určíme pomocí ( ) Hookov zákon: ( ). E K 4 ( ), kde konstnt K bude: K. E π d Celkové prodloužení musíme určit pomocí integrálu:. METOD DIERENCIÁLNÍ (pomocí diferenciální rovnice): NL() () () d d d ()+d NP() () + d d() D d P () K d K ( ) d. E E V místě popsném souřdnicí vyjmeme element délky d. N tento element připojíme působící účinky (jen npětí ). Pro sestvení silové rovnováhy do směru vyjádříme jednotlivé silové účinky vyvolné npětím: N L ( ) ( ) ( ) N P ( ) ( ) d ( ) d. Z rovnice rovnováhy musí pltit: NL() = NP(). Po doszení dostáváme: ( ) ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) d d d Odkud již vychází: d ( ) ( ) d d ( ) ( ). Z této rovnice dostáváme: ( ) ( ) N( ) C konst.. Součsně víme, že N() = po celé délce prutu odtud vychází: C K C = ( )... ( ) π d 4 (shodné s met. řezu). D (+)

PRUŽNOST PEVNOST Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7 PŘÍKLD.4 (setrvčné účinky rotující kroužek): Dáno: rs; t; b; ; ; E; Určit: rs Z rotujícího prstence vyjmeme diferenciální element, který má objem: b t d r dv s. N tento element působí elementární objemová setrvčná (odstředivá) síl: d r b t r dv r dm do s s s N smotný element kromě toho působí reálné síly T ve směru tečny ke střednici (rs) jko důsledek vznikjícího npětí v prstenci z rotce: t b T př.. Pomocí silového obrzce sestvíme rovnici rovnováhy: do d T, do které dosdíme předchozí vzthy: d r b t d t b s ) ( Protože d je diferenciál úhlu nekonečně mlý všk nenulový, můžeme ho n obou strnách zkrátit dostáváme po úprvě hledný vzth pro npětí: s r. Pro výpočet změny poloměru rs použijeme Hookův zákon: E. Součsně odvodíme deformci pomocí změny obvodu: s s s s s s r r r r r r o o ) (. Odtud dostáváme: s s r r po doszení: s s s r E E r r PŘÍKLD.5 (setrvčné účinky - rotující rmeno stálého průřezu ): Dáno: r; r ; ; E; Určit: () r. METOD ŘEZU: Metodou řezu oddělíme v místě část rmene o délce: () = (r ). Tto odříznutá část bude mít těžiště vzdálené od osy rotce: T = (r + )/. Odstředivá síl působící n odříznutou část bude: T T ) ( ) ( ) ( ) ( r r V m O. Po úprvě je působící odstředivá síl: ) ( ) ( r O. Z rovnováhy vychází: : N() O() = N() = O(). Vnitřní síl je: ) ( ) ( r N npětí v rmeni bude: ) ( ) ( ) ( r N. P r (r + )/ N() O() r r P b rs t d d T T do d T T do

PRUŽNOST PEVNOST 4 Změnu vnějšího poloměru určíme pomocí Hookov zákon integrcí po celé délce rmene: r r r r ( ) ( ) d d ( r ) d r r r r E E 6 E r r r.. METOD DIERENCIÁLNÍ (pomocí diferenciální rovnice): d V místě popsném souřdnicí vyjmeme element délky d. N tento element připojíme působící účinky (npětí odstř. síl). Pro sestvení silové rovnováhy do vyjádříme jednotlivé účinky od npětí: N L ( ) ( ) N P ( ) ( ) d () ()+d následně odstředivou sílu (T = + d/ ): NL() NP() do dm T dv d. Z rovnice rovnováhy musí pltit: : NL() NP() do =. Po doszení dostáváme: do ( ) ( ) d d d Odkud již vychází: d d d. Jedná se o diferenciální rovnici prvního řádu se seprovnými proměnnými, kterou řešíme integrcí: ( ) C. Konstntu C určíme z okrjové podmínky n volném konci loptky: (r) = odkud dostáváme: r C r C r ( ) r. Průběh npětí je prbol s mimem v připojení ( = r): m ( r ) r r. m (r) = PŘÍKLD.6 (I-profil pevnostní tuhostní podmínk): Dáno: = 4 4 N; = 7 4 N; = mm; = mm; mteriál: ocel 7 (E 5 Nmm ; Pt = 7 Nmm Kt = Nmm ); kkmin =,5 D =, mm (vlstní tíhu tyče neuvžujte!). Určit: Nvrhněte vhodný normlizovný I-profil, který vyhoví pevnostní i tuhostní podmínce. P Prut rozdělíme n dvě části: I: < ; > NI() = = 4 4 N = konst. II: < ; +> NII() = + = 4 N = konst. Nejprve určíme průřez pomocí pevnostní podmínky: m D m k Kt K min + Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 5 N m k Kt K min N II k Kt K min Dále určíme potřebný průřez z tuhostní podmínky: N E N I II D E k K N,5 4 min II 85mm. Kt celk D N I N E by byly součsně splněny obě podmínky, musí pltit: I ; m85; 575 85mm. D II D 4 4 4 575 mm. 5, D m volíme profil I (I = 6 mm ). Poznámk: Profil I8 by vyhověl tuhostní podmínce, le nevyhověl by pevnostní podmínce, protože I8 = 757 mm PŘÍKLD.7 (prut stálé pevnosti - stnovení proměnného průřezu prutu): Dáno: ; ; E; D; g Určit: () V tomto přípdě nelze použít metodu řezu, le celou úlohu musíme řešit přes diferenciální rovnici. V místě vyjmeme element d, který má při znedbání veličin vyšších řádů (dd ) elementární objem: dv ( ) d. d Nyní sestvíme podle obrázku rovnici rovnováhy elementu do svislého směru: NH ( ) ND( ) dg. Jednotlivé členy jsou: NH ( ) D ( ) d ; ND( ) D ( ) dg g dv g ( ) d o Po doszení do rovnice rovnováhy dostáváme diferenciální rovnici. řádu: NH() D ( ) d D ( ) g ( ) d () + d odkud dostáváme: D D ( ) D d D ( ) g ( ) d Po seprci proměnných dostáváme rovnici: d dg d g d, D () ( ) D kterou můžeme řešit neurčitou integrcí levé prvé strny: ND() g ln ( ) C, kde C je integrční konstnt. Nejprve se le zbvíme n levé strně logritmu tím, že budeme celou rovnici eponovt : g C D g ln ( ) C D D e e ( ) e e K e. Nyní pro stnovení neznámé konstnty K použijeme okrjovou podmínku: o ( ) D, odkud bude: ( ) o po doszení do původní rovnice dostneme: () o ( ) K e K, tedy K hledná funkce průřezu tk bude: D D D g o ( ) Výpočet prodloužení prutu je jednoduchý, protože po celé délce působí konstntní npětí D: D e g D P ( ) d ( ) d D D d E E E Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 6 Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7 PŘÍKLD.8 (rotující rmeno stálé pevnosti stnovení proměnného průřezu rmene): Dáno: r; r ; ; E; ; D; m (npř. hmotnost bndáže loptkového věnce) Určit: () tk, by () = D = konst. Nyní je výhodné zvádět souřdnici od vnějšího konce loptky. V místě popsném souřdnicí vyjmeme element délky d. N tento element připojíme působící účinky (npětí odstř. síl). Pro sestvení silové rovnováhy do vyjádříme jednotlivé účinky od npětí: ) ( ) ( N D P d N D L ) ( ) ( následně odstředivou sílu (T = () + d/ r ): T r d r dv dm do. Z rovnice rovnováhy musí pltit: : NP() NL() + do =. Po doszení dostáváme: ) ( ) ( ) ( d r d D D D Odkud již vychází: d r d D ) (. Jedná se o diferenciální rovnici prvního řádu se seprovnými proměnnými, kterou řešíme integrcí: C r D ) ( ln. Celou rovnici eponujeme : ) ( ln ) ( r r C C r D D D e K e e e e Konstntu K určíme z okrjové podmínky n konci loptky: D r m () () D r m (). odkud dostáváme: D r m K e K () ) ( r D D e r m Průřez loptky stálé pevnosti by měl být eponenciální funkcí. Poznámk: Některé úlohy thu tlku lze řešit sndno, některé obtížněji některé přímo řešit nejde!. prut bez uvžování vlstní tíhy ztížený n konci osmělou silou Řešitelné Řešitelné Neřešitelné!!!. ) ( konst ) ( ) ( ) ( ) ( = : () : () = : ) ( = : ) ( E d E ) ( d m D d NL() NP() do r D P

PRUŽNOST PEVNOST 7 Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7. prut s uvžováním vlstní tíhy bez ztížení osmělou silou Řešitelné Řešitelné g g G ) ( ) ( g g G ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( g ) ( m g ) ( m E g d E g E g d E g 6. MTEMTICKÉ ÚPRVY ZJEDNODUŠENÍ ODVOZENÝCH VZTHŮ Nyní si ještě ukážeme vhodnou úprvu vzorců pro prodloužení od vlstní tíhy: E G E V g E g E g V V. 6 E G E V g E g E g K K. Jediný rozdíl tedy je ve velikosti tíhové síly, kterou umístíme n válec poloviční délky: Tíhová síl původního válce je g G V původního kužele je: K G V g G. = / GV = GK /

PRUŽNOST PEVNOST 8 Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7 PŘÍKLD.9 (deformční energie): Dáno: ; ; ; ; E (vlstní tíhu tyče neuvžujte!) Určit: Celkovou deformční energii U kumulovnou v tyči. Řešení: Při výpočtu použijeme předchozí výpočty: Součást rozdělíme n dvě pole: : < ; > N() = : < ; + > N() = + Deformční energie kumulovná v části od síly řešeného prutu bude: E E N U. deformční energie kumulovná v části od sil řešeného prutu bude: E E N U. Celkovou energii soustvy U určíme jko součet energií všech (dvou) částí: E E E U U U. Síl působí n celou délku ( + ), síl působí n délku obě síly působí splečně n délku. PŘÍKLD. (deformční energie): Dáno: rotující rmeno r; r; ; E Určit: Celkovou deformční energii U kumulovnou v rotujícím rmeni. Řešení: Opět použijeme vzth pro výpočet vnitřní síly v rotujícím rmeni: ) ( ) ( r O N. Celkovou deformční energii kumulovnou v rotujícím rmeni U dostneme jko integrál po celé jeho délce, tedy v intervlu (r r):... ) ( ) ( ) ( r r r r d r E d E r d E N U. P P r r N()

PRUŽNOST PEVNOST 9 PŘÍKLD. (využití deformční energie k řešení dynmických účinků): Dáno: ; h; E;. Určit: Npětí v tyči v okmžiku dopdu závží P h DYN WP P K Řešení: K řešení využijeme zákon zchování energie. Veškerá potenciální energie, kterou mělo závží n počátku děje WP se v okmžiku dopdu beze zbytku změní n energii deformční UDYN (kinetická energie při pádu není pro výpočet důležitá, stčí porovnt počátek konec děje). W m g ( h ) m g h m g P DYN DYN U DYN DYN DYN V DYN DYN Předpokládáme, že pltí Hookův zákon): E DYN Po doszení dostáváme rovnici: m g h m g E E Jedná se o kvdrtickou rovnici, která má řešení: m g m g h DYN DYN E DYN DYN DYN D m g m g m g h 4 E UDYN DYN, m g Pokud oznčíme STT jko sttické npětí (působení vlstní tíhy závží n prut), dostáváme: h DYN, STT STT STT E, má smysl jen znménko + (kldné výsledné npětí DYN). Poznámk: Při uvžování dynmického účinku pro pád z nulové výšky ( h = ) vychází: DYN STT STT STT. min PŘÍKLD. (využití Cstiglinovy věty k řešení deformce prutové soustvy): Dáno: prutová soustv (pruty ), h,, E = konst. h N N B Určit: Vodorovný svislý posuv styčníku B: ub vb. Řešení: Nejprve popíšeme geometrii soustvy (určíme délky prutů): h h. tn sin Pomocí sttických rovnic určíme síly v prutech: N N. tn sin P Energie kumulovná v soustvě tedy bude: Po doszení dostáváme: U celk. U celk. U U h E tn sin N E N E. Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7 Pokud chceme určit svislý posuv bodu B vb použijeme přímo Cstiglinovu větu:. sin tn E h U v celk B Pro výpočet vodorovného posuvu ub stčí použít geometrický vzth, protože B u (podle předpokldu mlých deformcí lze změnu úhlu znedbt, tk průběhy prutů před po deformci soustvy lze uvžovt rovnoběžné). tn E h E N u B Možnost využití metody fiktivní síly: Pokud bychom chtěli i při výpočtu vodorovné deformce použít Cstiglinovu větu, musíme si k soustvě připojit fiktivní sílu, kterou ve výsledku položíme rovnou nule.. celk B U u Nejprve musíme nově určit síly v prutech pro ztížení silmi : tn N sin N. Energie kumulovná v soustvě tedy opět bude:. E N E N U U U celk. Po doszení le dostáváme složitější vzth: Ucelk. = f( ; ; ). sin tn tn tn sin tn tn E h E h U celk. tn tn. E h U celk. tn E h U u celk B. Poznámk: Znménko + (plus) ve výsledku znmená, že výsledná deformce u B bude mít shodný smysl se zvoleným směrem fiktivní síly. I s pevností si člověk užije ulomit se může všechno. ub vb B B

PRUŽNOST PEVNOST STTICKY NEURČITÉ ÚLOHY TH/TLK Úlohy stticky určité: stticky neurčité: Sttická neurčitost: Prutové konstrukce (viz mechnik/sttik): i n p h... n... p... h... i > i = i < úloh má i-stupňů volnosti jedná se o mechnizmus (neřešíme!!!) úloh nemá žádný stupeň volnosti jedná se o stticky určitou úlohu (SUÚ) k jejímu řešení stčí sttické rovnice rovnováhy součásti je odebíráno více stupňů volnosti než sm má jedná se i-krát stticky neurčitou úlohu (SNÚ), kde se vyskytuje o i více neznámých než je nezávislých sttických rovnic rovnováhy. SILOVÁ METOD Obecný postup řešení:. rozhodnutí. uvolnění. nhrzení. doplnění 4. řešení Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST Postup řešení stticky neurčité úlohy (th/tlk): Dáno: prut (část část ),, b,, E = konst. (obě vetknutí jsou dokonle tuhá) Určit: Rekce ve vetknutích B C: RB RC. UVOLNĚNÍ NHRZENÍ DOPLNĚNÍ yzikální rovnice = Hookův zákon Sttická rovnice:. CSTIGLINOV VĚT (Ménebréov vět): Má-li být funkce MINIMEM, musí být druhá derivce KLDNÁ q.e.d. *) *) Zkrtk z ltiny pro quod ert demonstrndum, což v překldu znmená což bylo dokázti česká zkrtk c.b.d. Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST TBULK (VOLB ZNMÉNEK VE YZIKÁLNÍ ROVNICI E ): T připojená síl předpokládná deformce l PRODLOUŽENÍ + TH + TLK ZKRÁCENÍ Zhrnutí vlivu teploty: PŘÍKLD. (stticky neurčitý th/tlk s vlivem teploty): Dáno:,, t,, E = konst. (všechny tři pruty jsou vyrobeny ze stejného polotovru). Určit: Síly v prutech N, N N. P C C C C Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 4 PŘÍKLD.4 (stticky neurčitý th/tlk s vlivem teploty): Dáno:,, D, D t,, E = konst. (obě části jsou vyrobeny ze stejného mteriálu). Určit: Npětí v jednotlivých částech prutu. P UVOLNĚNÍ NHRZENÍ DOPLNĚNÍ yzikální rovnice = Hookův zákon PŘÍKLD.5 (stticky neurčitý th/tlk): Dáno:,, t,, E = konst. (všechny pruty jsou vyrobeny ze stejného polotovru). Určit: Síly v jednotlivých prutech N, N N. P Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 5 yzikální rovnice = Hookův zákon MONTÁŽNÍ VŮLE m: PŘÍKLD.6 (stticky neurčitý th/tlk s vůlí): Dáno:, b,m (m <<, b), E = konst. (vetknutí jsou dokonle tuhá) Určit: Provést diskusi rekce ve vetknutích B C: RB RC. P Diskuse: ) ) ) UVOLNĚNÍ NHRZENÍ DOPLNĚNÍ yzikální rovnice = Hookův zákon Kontrol výsledků (diskuse n závěr): Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 6 VZOROVÉ PŘÍKLDY Z TESTŮ: B Stnovte funkce popisující průběh vnitřní síly N() průběh normálového npětí () po celé délce rmene jko funkci. Definujte Poissonovo číslo s jeho pomocí vypočtěte změnu průřezu uprostřed rmene D(/). Vypočtěte celkovou změnu délky rmene. Vypočtěte celkovou deformční energii U kumulovnou v rotujícím rmeni. D Vypočtěte obecně osové síly N N vznikjící v prutech dále rozhodněte, zd se jedná o th nebo tlk. Vypočtěte obecně velikosti npětí, která vznikjí v prutech dále rozhodněte, zd se jedná o thové nebo tlkové npětí. Stnovte bezpečnost dné soustvy kk vzhledem k mezi kluzu K. D t C B b Soustv je tvořen dvěm pruty - šikmým vodorovným, které spolu svírjí úhel = 6. Pruty jsou vyrobeny z oceli (E = 5 Nmm - ) mjí ob stejnou plochu průřezu = mm (vlstní hmotnost prutů znedbáme). Pruty jsou k tuhému rámu uchyceny v bodech C D spojeny ve společném bodě B, kde působí n soustvu svislá síl = 5 N. Kolmá vzdálenost bodů C resp. D B je =, m. Vyjádřete obecně celkovou deformční energii U kumulovnou v zdné prutové soustvě. Npište Cstiglinovu větu pro určení posuvů bodu B: B C ub vodorovného vb svislého. Číselně spočtěte velikost deformční energie U kumulovné v dné soustvě včetně jednotek. Číselně spočtěte velikost práce W, kterou vykoná síl včetně jednotek. Číselně spočtěte velikosti obou posuvů ub vb včetně rozměrů. D Prut kruhového průřezu o průměru d délkách polí b je vyrobený z mteriálu o modulu pružnosti E součiniteli lineární teplotní roztžnosti. Prut je v bodě D ztížený osmělou silou, celý je ohřátý o t je vložen mezi dvě bsolutně tuhé čelisti B C. Npište deformční podmínku pro tento prut s uvžováním osmělé síly ohřevu t. Vyjádřete pomocí zdných veličin velikosti rekcí RB RC v uloženích. Vypočtěte pomocí zdných veličin tuhost k celého tohoto prutu včetně rozměru. B D E, b t C d Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 7. NPĚTÍ PŘETVOŘENÍ Lepení je dnes povžováno z velice moderní, progresivní reltivně levnou metodu spojování strojních součástí. Porovnejte únosnosti čtyř lepených spojů kovových součástí obdélníkového průřezu o rozměrech bh = 4 mm. Ve vrintě I se jedná o lepení n tupo pod úhlem I = 9, ve vrintě II svírjí lepené plochy s vodorovnou osou úhel II = 45, ve vrintě III svírjí lepené plochy s vodorovnou osou úhel III = 5 ve vrintě IV je spoj přeszen n délce = mm. Spoj je vždy ztížen vodorovnými silmi, které působí v ose součásti. Použité lepidlo K-kryl je metylkynokrylát vytvrzovný vzdušnou vlhkostí, který má mni-pulční pevnost po necelé minutě po hodinách vykzuje pevnost v thu N = 6 MP pev-nost ve střihu T = 5 MP (pro dlší výpočet pk budeme používt minimální hodnoty): N min = 6 MP T min = 5 MP. Druhy npjtosti: I II III IV Kkryl h Kkryl h Kkryl h Kkryl h I = 9 II = 45 III = 5 Npjtost v bodě: Rozkld npětí: Kždé ze tří obecných npětí, y z rozložíme n tři složky (jedno normálové npětí dvě npětí smyková ). Vzniklých devět složek npětí můžeme zpst do tenzoru npětí: y z T y y yz občs se užívá zápis T z zy výhodný pro počítčové zprcování z Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7 y z z yz zz y yy zy

PRUŽNOST PEVNOST 8 Z devíti složek npětí je jen 6 nezávislých, protože pltí zákon o sdružených smykových npětích (bude odvozeno později), kde při použití jednoindeového zápisu dostáváme: y = y = z yz = zy = z = z = y (bude odvozeno později) T z y z y y z JEDNOOSÁ/PŘÍMKOVÁ NPJTOST: Šikmý řez: Spojením dvou kolmých dvojic řezů můžeme popst obecnou rovinnou npjtost: SDRUŽENÁ SMYKOVÁ NPĚTÍ: Znménk smykových npětí: Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 9 ROVINNÁ NPJTOST všechn npětí MUSÍ ležet v jedné rovině: ODVOZENÍ: ROVINNÁ NPJTOST MOHRŮV KRUŽNICE Řešení v rovině -y: O MTEMTICKÉ INTERMEZZO: Z mtemtiky víme, že pltí: sin sin cos ; cos cos sin cos sin ; cos cos ; sin cos. sin sin cos. M Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 4 Grfická interpretce = MOHROV KRUŽNICE Střed Mohrovy kružnice: S Poloměr Mohrovy kružnice: r Obecná konstrukce Mohrovy kružnice pro = (bude tedy rovin totožná s rovinou ). Konstrukce skutečné roviny v Mohrově kružnici: Prvidlo vynášení smykových npětí: MOHROV KRUŽNICE: Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 4 PŘÍKLD. (ROVINNÁ NPJTOST Mohrov kružnice): Dáno: = 5 Nmm, y = Nmm, z = Nmm, = (od roviny proti směru hodinových ručiček) Určit: Npětí v rovině : normálové smykové ) početně i grficky. P Pokud bychom omylem otáčeli v Mohrově kružnici opčným směrem, řešili bychom zcel jinou úlohu!!! Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 4 EXTRÉMY MOHROVY KRUŽNICE: hlvní npětí ( ) mimální smykové npětí (m). Hlvní npětí Mimální smykové npětí: Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 4 MOHRŮV DIGRM PROSTOROVÉ NPJTOSTI PŘÍKLD. (ROVINNÁ NPJTOST HLVNÍ NPĚTÍ): Dáno: = Nmm, y = 6 Nmm, z = Nmm, = Nmm (y = z = ). Určit: Hlvní npětí,,, polohu hlvních rovin mimální smykové npětí m. (početně i grficky) Trnsformce Mohrových vzthů: P Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 44 Grfické řešení: JEDNOOSÁ DVOJOSÁ NPJTOST: Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 45 PROSTÝ SMYK: Eistuje pouze jedno smykové npětí z = ( = y = z = y = z = ) TBULK (MODULY PRUŽNOSTI VE SMYKU VYBRNYCH MTERIÁLŮ): Mteriál ocel měď hliník Modul G [Nmm - ] (7,8 8,5) 4 4,5 4,7 4 T Mohrův digrm čistého smyku: PŘETVOŘENÍ (DEORMCE) PŘI TROJOSÉ (PROSTOROVÉ) NPJTOSTI Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 46 ROZŠÍŘENÝ HOOKŮV ZÁKON: Mohrov kružnice pro deformce Mohrův digrm přetvoření: Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 47 VZOROVÉ PŘÍKLDY Z TESTŮ: V určitém bodě součásti vyrobené z konstrukční oceli (E = 5 Nmm - v =,) byl stnoven prostorová npjtost o složkách: = -5 Nmm -, y = - Nmm -, z = +4 Nmm - y = 5 Nmm -. y y Stnovte číselně velikosti hlvních npětí, zdné npjtosti. Stnovte polohu hlvních rovin (vypočtěte číselně úhel ) Vypočtěte číselně velikosti hlvních deformce zdné npjtosti,,. Vypočtěte poměrnou změnu objemu včetně jednotek. Nčrtněte v měřítku konstrukci úplného Mohrov digrmu zdné npjtosti. z z Trojicí hlvních npětí, je dán prostorová npjtost. Mteriál je ocel o modulu pružnosti E = 5 Nmm - Poissonově čísle =,. Vypočtěte hlvní poměrné deformce,. Vypočtěte poměrnou změnu objemu včetně jednotek. = Nmm - = Nmm - = Nmm - Rovinná npjtost je dán normálovým npětím = 8 Nmm - smykovým npětím z = Nmm -. Rovin je dán úhlem =. Nkreslete Mohrovu kružnici Vypočítejte velikosti hlvních npětí, Vypočtěte normálové tečné npětí v rovině Stnovte polohu hlvní roviny, v níž působí hlvní npětí (velikost úhlu ) b = z = Nmm - = 8 Nmm - Npjtost v bodě součásti z mteriálu o mezi kluzu Re = 4 Nmm - je zdán složkmi: = 7 Nmm -, y = Nmm -, z = Nmm -, z = 4 Nmm - = y = Nmm -. y y Zpište obecně vzthy pro výpočet hlvních npětí,. Vypočtěte číselně velikosti hlvních npětí, zdné npjtosti. Nznčte (stčí od ruky, le lze i pomocí kružítk prvítk) konstrukci Mohrových kružnic zdné npjtosti. z z z Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 48. DEORMČNÍ ENERGIE při jednoosé, dvojosé trojosé npjtosti PROSTÝ TH/TLK VÍCEOSÁ NPJTOST (rovinná, prostorová) ) jen normálová npětí ) dvojosá (rovinná) npjtost: Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 49 ) trojosá (prostorová) npjtost nlogicky B) jen čistý smyk C) obecná npjtost působí vše Využití poměrné změny objemu = ( + + ): Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 5 Zvláštní přípd (budeme využívt při kombinovném nmáhání, npř. ohyb + krut, ): ODVOZENÍ: POMĚR MODULŮ PRUŽNOSTI (E/G) POMOCÍ DEORMČNÍ ENERGIE O Čistý smyk ( = y = z = = y = ; z = ) Hlvní npětí při čistém smyku ( = + ; = ; = ) HUSTOT DEORMČNÍ ENERGIE N ZMĚNU OBJEMU ZMĚNU TVRU Změn objemu Změn tvru. Normálová npětí: = + Poměrná změn objemu: Rozšířený Hookův zákon (ztím stčí jen vzth mezi ): Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 5 = = ZMĚN OBJEMU ZMĚN TVRU. Smyková npětí: Poměrná změn objemu: Rozšířený Hookův zákon (nyní stčí jen vzth mezi ): Čistý smyk ( = y = z = = y = ; z = = + ; = ; = ): VÝSLEDEK: Hustot deformční energie n změnu objemu (jen od thových npětí): Hustot deformční energie n změnu tvru (jk od thových tk i od smykových npětí): Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 5 4. TEORIE (HYPOTÉZY) PEVNOSTI/PRUŽNOSTI Podle vhodných teorií (hypotéz) pružnosti pevnosti stnovte bezpečnosti k prostorové npjtosti, která vzniká v temeni hlvy kolejnice v místě styku kol dvojkolí lokomotivy s kolejnicí. Mez kluzu oceli, ze které je kolejnice vyroben, uvžujte Re = 4 Nmm -. Lokomotiv 8- Z numerické nlýzy pomocí metody konečných prvků (MKP) této kontktní úlohy vyplývá, že jednotlivé složky npětí jsou: = 8 Nmm -, = 9 Nmm - = Nmm -. MEZNÍ STV - Rozeznáváme mezní stv:... 4. Chování mteriálu: TVÁRNÝ STV KŘEHKÝ STV Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 5 Highův prostor: Rovinná npjtost - zobrzení v rovině ( = ): Ztěžovcí křivk Prosté ztěžování Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 54 MÍR BEZPEČNOSTI: PODMÍNKY PEVNOSTI Mezní stv pružnosti: Mezní stv pevnosti: Jednoosá thová zkoušk: ) houževnté mteriály: b) křehké mteriály: JEDNOOSÁ NPJTOST: Pevnostní podmínk (již u thu tlku): Houževnté mteriály Křehké mteriály PROSTOROVÁ NPJTOST: Mezní stv pružnosti: Mezní stv pevnosti: Určení mezního stvu: ) YZIKÁLNĚ: ) EXPERIMENTÁLNĚ: ) HYPOTETICKY (teoreticky): Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 55 PRINCIP VŠECH HYPOTÉZ (TEORIÍ) PRUŽNOSTI PEVNOSTI JE REDUKCE Obecný stv npjtosti v bodě:, y, z,, y z Výsledek thové zkoušky mteriálu U, K P HOUŽEVNTÉ MTERIÁLY (mteriály v houževntém stvu) ) Hypotéz mimálního smykového npětí (MX): Nznčeno již roku 77 Chrles-ugustinem de Coulombem (76 86), zvedeno v roce 868 Henri Edourdem Trescou (84 885) okolo roku 9 uprveno ještě Jmesem J. Guestem. TH: TLK: PROSTOROVÁ NPJTOST: Pozor!!! Pro rovinnou npjtost pltí =!!! Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 56 Užití teorie mimálního smykového npětí (MX): výhody nevýhody Highov ploch pro teorii mimálního smykového npětí (MX): ) Hypotéz energetická (H.M.H.): ormulováno nejprve Jmesem Clerkem Mwellem (8 879) pk počátkem XX. stol. třemi vědci součsně: Mksymilinem Huberem (87-95), Richrdem von Misesem (88 95) Heinrichem Henckym (885 95) TH/TLK: PROSTOROVÁ NPJTOST: Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 57 Užití energetické teorie (H.M.H.): výhody nevýhody Highov ploch pro energetickou teorii (H.M.H.): Srovnání teorií mimálního smykového npětí (MX) energetické (H.M.H.): Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 58 KŘEHKÉ MTERIÁLY (mteriály v křehkém stvu) ) Hypotéz mimálního normálového npětí (MX): Nejstrší pevnostní hypotéz formulován již okolo 84 Willimem J. Mcquornem Rnkinem (8 87). TH: TLK: PROSTOROVÁ NPJTOST: Pozor: Pro rovinnou npjtost pltí =!!! Highov ploch pro teorii mimálního normálového npětí (MX): Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 59 ) Hypotéz Mohrov: ormulován okolo 88 Christinem Ottem Mohrem (85 98). Použití: Mezní bod: Mezní čár: Coulombov proimce nhrzení obecné mezní čáry přímkou Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 6 Highov ploch pro teorii Mohrovu: Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 6 PŘÍKLD 4. (TEORIE PEVNOSTI): Dáno: = Nmm, y = 6 Nmm, z = Nmm, = Nmm (y = z = ). ) mteriál je konstrukční ocel - K = 4 MP ) mteriál je litin - Pt = 8 Nmm Pd = 4 Nmm P Určit: V přípdě ) bezpečnost k mezi kluzu kk ) výslednou bezpečnost vůči mezi pevnosti kp Řešení: Využijeme řešení příkldu u Mohrových kružnic, kde jsme určili hlvní npětí: - z y z y N mm, ) Teorie MX: MX - red m min ( ) Nmm k MX K K MX red 4,85 7 Nmm 5 Nmm - - b) Teorie energetická (H.M.H.): H.M.H. red H.M.H. K 4 k K, H.M.H. - red 8 7 7 ( ) ( ) 8Nmm K výpočtu redukovného npětí podle energetické teorie lze použít přímo zdná npětí : - 6 8 N mm H.M.H. red y y z z y z (souhlsí!) Pokud bude součást vyroben z konstrukční oceli, bude její výsledná bezpečnost: - podle teorie MX: kk MX =,85 - podle teorie energetické (H.M.H.): kkenerg,. =, ) Teorie mimálního normálového npětí (MX): MX red m min N mm N mm - - k t k d Pt m Pd min 8,8 4 4 min( k t ; k ), 8 k MX V rámci jedné teorie je třeb uvžovt menší z obou bezpečností. d b) Teorie Mohrov 8 8 Mohr Pt - red m min ( ) N mm Pt k Mohr, Pd 4 Mohr red Pokud bude součást vyroben z litiny, bude její výsledná bezpečnost: - podle teorie mimálního normálového npětí (MX): k MX =,8 - podle teorie Mohrovy: kmohr =, V obou přípdech jsou ob výsledky správné kždý má svou prvdu záleží n podmínkách nebo n předpisech nebo normách, pro kterou z teorií se rozhodneme. Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 6 5. KRUT KRUHOVÉHO MEZIKRUHOVÉHO PROILU Vypočtěte sttickou bezpečnost spojovcího hřídele přední brzdy závodního vozu Lotus 7C, který tvoří trubk s vnějším průměrem D = 4 mm tloušťce stěny t = mm vyrobená z vysokopevnostní oceli s mezí kluzu Re = 8 Nmm -. Hřídel spojuje kolo s brzdovým kotoučem umístěným pro snížení neodpružených hmot uvnitř rámu kroserie. Hmotnost vozu Lotus 7 připrveného n trénink budeme uvžovt m = 7 kg vnější průměr předních kol DP = 6 mm. Ve výpočtu budeme předpokládt při intenzivním brzdění rozložení brzdného účinku 7% % n přední zdní náprvě. Poznámk: Při tréninku n Velkou cenu Itálie n okruhu v Monze dne 5. září 97 byl pro dosžení mimální možné rychlosti nszen vůz Lotus bez přítlčných ploch. Prvděpodobně defekt přední brzdy nebo zvěšení předního kol byl během intenzivního brzdění při nájezdu do Prbolické ztáčky příčinou nehody, kdy rkouský pilot Jochen Rindt utrpěl zrnění, kterým později podlehl. Monz 97 Stnovte zákldní chrkteristiky pružícího členu podvozku železničního vgónu typu Es-u, který se v ČD používá k přeprvě zejmén sypkých mteriálů. Kždé ze čtyř dvoukolí tohoto vgónu je uloženo pomocí dvou pružících členů, které tvoří dvě v sobě zsunuté pružiny viz obrázek. Dále stnovte mimální sttické nmáhání pružin pro zcel nplněný vgón (vliv příčných sil n pružiny neuvžujte předpokládejte pružinu jko tenkou, těsně vinutou). Vgón ČD Es-u Celková váh rámu prázdné korby vgónu je mv 6 5 kg podle tbulky je mimální přípustná hmotnost nákldu mn = 57 5 kg. Celková tíh, kterou podvozek vgónu přenáší n kolejový svršek je tedy: G = (mv + mn)g = (6 5 + 57 5)9,8 = 7 487 N. Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 6 Krut je vyvolán dvojicemi sil KROUTICÍMI MOMENTY MK [Nm] resp. [Nmm] [knm]. ROZDĚLENÍ KRUTU: ) podle typu průřezu: b) podle zchycení deformcí: DEPLNCE = Pltí Sint-Vénntův princip řešíme řezy v dosttečné vzdálenosti od působišť momentů. ODVOZENÍ: KRUT PRUTŮ KRUHOVÉHO MEZIKRUHOVÉHO PRŮŘEZU O VZTH SMYKOVÉHO NPĚTÍ KROUTICÍHO MOMENTU MK: Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 64 Zákon o sdružených smykových npětí pltí i při krutu: Výpočet konstnty c : POLÁRNÍ KVDRTICKÝ MOMENT PRŮŘEZU: (je ditivní) Mimální smykové npětí: PRŮŘEZOVÝ MODUL V KROUCENÍ: (!!! NENÍ ditivní!!!) PEVNOSTNÍ PODMÍNK PŘI KRUTU: Určení D musí vycházet z některé teorie pružnosti (rovinná npjtost): TRESCOV TEORIE (MX) ENERGETICKÁ TEORIE (H.M.H.) Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 65 VZTH NTOČENÍ KONCŮ HŘÍDELE KROUTICÍHO MOMENTU MK: TUHOSTNÍ PODMÍNK PŘI KRUTU: Výpočet polárního kvdrtického momentu průřezu JP průřezového modulu průřezu v kroucení WK pro kruhový mezikruhový průřez: KRUH: MEZIKRUH: Poznámk: Tenkostěnná trubk je zvláštním přípdem mezikruhového průřezu (zjednodušení díky tomu, že pltí: s << r; R) Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 66 ODVOZENÍ: DEORMČNÍ ENERGIE PŘI KRUTU: O Užití Cstiglinovy věty při krutu: STTICKY NEURČITÉ ÚLOHY: Řešení je obdobné jko u THU/TLKU OBECNÝ POSTUP ŘEŠENÍ:. rozhodnutí. uvolnění. nhrzení. doplnění 4. řešení YZIKÁLNÍ INTERMEZZO: Vzth mezi výkonem P [kw], otáčkmi n [min - ], krouticím momentem M K [Nmm] ntočením [rd] resp. [ ] je čsto uváděn pro hřídel délky l, o průřezovém momentu J P, vyrobeného z mteriálu o modulu pružnosti G ve tvru: n M K P odkud 6 9,55 Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7 M K 6 P 9,55, tedy n 5,67 P [ ]. G J n P 6 9,55 P [ rd], resp. G J n P M

PRUŽNOST PEVNOST 67 PŘÍKLD 5. (KRUT): Dáno: MK, MK,, b, c, (), D, G Určit: mimální smykové npětí po celé délce prutu (hřídele)m() P UVOLNĚNÍ NHRZENÍ DOPLNĚNÍ yzikální rovnice (Hookův zákon pro krut): Mimální smyková npětí v jednotlivých úsecích budou: Ze sttické rovnice MŮŽEME dopočítt druhý rekční moment: Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 68 ODVOZENÍ: TĚSNĚ VINUTÉ VÁLCOVÉ PRUŽINY: O Rozkld síly Rozkld momentu Npětí v těsně vinutých válcových pružinách: Poznámk: Pro D/d pro velké stoupání již nelze použít tuto teorii, tk někteří utoři uvádějí vzth pro mimální smykové npětí i (interní) zhrnující vliv jk ohybu tk i posouvjící síly: i i 8 D π d D. d i nom, resp. i nom,5 TBULK (HODNOTY SOUČINITELE PODLE GEOMETRIE PRUŽINY): D/d = 5 =,54,44,4 4,67,6,6 6,,8,9 8,7,4,99,4,9,966 T Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 69 Deformce těsně vinutých válcových pružin: Cstiglinov vět: Deformční energie kumulovná v celé válcové pružině (pouze od krutu zbytek znedbáme): Zjednodušíme výrz protože vše je podle předpokldu po celé délce konstntní: Tuhost těsně vinuté válcové pružiny: Poznámky:. Při uvžování všech vnitřních účinků je v litertuře uváděn vzth pro výpočet skutečné deformce vinuté válcové pružiny y jko funkce deformce vypočtené podle teorie těsně vinutých válcových pružin y součinitele, který zhrnuje vliv reálné geometrie pružiny: y y, kde: 8 D i y 4 G d d sin d,6 cos,5. D D. U dlouhých pružin nebo pružin s velkým stoupáním tké může v průběhu ztěžování dojít ke ztrátě stbility vybočení celé pružiny komplikovný výpočet (NEŘEŠÍME!).. V litertuře lze njít i vzthy pro řešení jiných typů vinutých pružin (spirálné, kuželové,...). PŘÍKLD 5. (PRUŽINY): Dáno: D, d, i, D, d, i, G= G = G m. Určit: (npětí v pružinách po jejich spojení). Řešení: Sttická rovnice rovnováhy: Deformční podmínk: P před po před Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 7 yzikální rovnice (zákldní rovnice deformce těsně vinutých válcových pružin): Výsledná npětí po spojení obou pružin: Číselný výpočet pro: D = mm, d =,5 mm, i = 9, D = mm, d =,5 mm, i =, G =,8 5 Nmm (ocel), m = mm Nejprve vypočteme číselně velikosti tuhostí jednotlivých pružin v soustvě: První pružin: Druhá pružin: 5 4,8,5,6 N k mm. 8 9 5 4,8,5,5 N k mm. 8 Síl působící n pružiny po jejich spojení bude:,6,5, N.,6,5 Známe-li síly působící n pružiny, můžeme vypočítt npětí, které v nich vyvoljí: První pružin: Druhá pružin: 8, 5,9 N mm.,5 8, 8, N mm.,5 N závěr můžeme provést pro =, N výpočet deformcí jednotlivých pružin s jejich pomocí zkontrolovt správnost celého výpočtu: První pružin: Druhá pružin:, y,74 mm. k,6, y,6 mm. k,5 Kontrolní součet obou deformcí y y MUSÍ být roven velikosti původní vůle m: y y,74,6, mm m. Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 7 VZOROVÉ PŘÍKLDY Z TESTŮ: Prut kruhového průřezu o průměru d délce c, vyrobený z mteriálu o modulu pružnosti E Poissonovu čísle je n obou svých koncích přivřen ke dvěm bsolutně tuhým čelistem. Ve svých třetinách je tento prut ztížen osmělými krouticími momenty MK. Npište deformční podmínku pro tento prut. Vyjádřete pomocí zdných veličin velikosti rekčních momentů MB MC v obou vetknutích B C. Vypočtěte pomocí zdných veličin velikosti smykových npětí jednotlivých částech (I, II III) tohoto prutu. B c/ MK c MK c/ C d Prut oszeného kruhového průřezu o průměrech d D = d délce c, vyrobený z mteriálu o modulu pružnosti E Poissonově čísle je n obou svých koncích přivřen ke dvěm bsolutně tuhým čelistem. Ve své třetině je tento prut ztížen n krut osmělým momentem M. Uvolněte prut npište pro ní vhodnou deformční podmínku.. Vyjádřete pomocí zdných veličin velikosti rekčních momentů MB MC v obou vetknutích B C. Vypočtěte velikosti deformčních energií kumulovných v jednotlivých částech (UI UII) smyková npětí (I II). B D II c/ M d I c C Prut oszeného kruhového průřezu o průměrech d D délce c, vyrobený z mteriálu o modulu pružnosti E Poissonově čísle v je n obou svých koncích přivřen ke dvěm bsolutně tuhým čelistem. Ve své třetině je tento prut ztížen osmělým krouticím momentem M. Npište deformční podmínku pro tento prut. Vyjádřete pomocí zdných veličin velikosti rekčních momentů MB MC v obou vetknutích B C. Vypočtěte velikosti deformčních energií kumulovných v jednotlivých částech (UI, UII UIII) celkovou deformční energii Ucelk. kumulovnou v tomto prutu. B D III c/ d II M c D I c/ C Soustv dvou pružin spojených z sebou v bodě B je pevně uchycená k rámu v bodě mezi koncem soustvy C dlším úchytem v bodě C je vůle m. Dáno: D = mm, d = 5 mm, i = 5, D = 5 mm, d = 8 mm, i =, m = 6 mm, G = G = G =,8 5 Nmm -, K = Nmm -. B Po spojení bodů C C : Vypočtěte velikosti rekcí R RC v uloženích C těchto pružin do pevného zákldu. Vypočtěte velikosti npětí v pružinách. Vypočtěte bezpečnost této soustvy vůči mezi kluzu. m C C Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 7 6. OHYB 6. NOSNÍK JEHO VLSTNOSTI Posuďte, kolikrát se zvětší ohybová tuhost ocelového nosníku I, jestliže jeho stojin bude rozříznut v podélném směru (viz obrázek), ob díly vůči sobě budou posunuty (ve stojině vzniknou šestiúhelníkové otvory) nosník bude v dotykových místech svřen (výšk pásnice nosníku se tk výrzně zvětší). Stnovte, jk se úprvou změní mimální ohybové npětí v profilu, je-li délk pole = m ztížení je uprostřed pole osmělou silou = 5 kn. Možnou ztrátu stbility ohýbného profilu nebudeme ve výpočtu uvžovt. y rozříznuto B y z svřeno B z Hlvní nádrží - Prh Stnovte nmáhání listového per podvozku dvounáprvového železničního vgónu typu Eu. Dvoukolí je uloženo pomocí dvou listových per. Zákldní rozměry tohoto listového per jsou: vzdálenost čepů (podpěr) = mm, šířk jednoho listu b = 4 mm výšk uprostřed per h = 6 mm (h mm). Vgón ČD Eu Podle tbulkových hodnot n vgónu je jeho celková hmotnost mv 84 kg mimální hmotnost nákldu mn = 7 kg. Celková tíh, kterou podvozek vgónu přenáší n kolejový svršek je tedy: G = (mv + mn)g = 9 8 N. Při uvžování rovnoměrného rozložení síly bude: = G/4 Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 7 Nosník = Ztížení nosníku: ) ) ) Nosník MUSÍ být uložený uložení nosníku zákldní typy: ) ) ) Zvláštní přípdy (npř. ve stvitelství,...) Podle uložení dělíme nosníky n: STTICKY URČITÉ STTICKY NEURČITÉ Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 74 Nosník: Ohyb: Stop ohybového momentu: POSOUVJÍCÍ SÍL T() OHYBOVÝ MOMENT MO(): Metod řezu (zvedl Euler): POSOUVJÍCÍ SÍL: OHYBOVÝ MOMENT: Sttické rovnice odříznuté části: Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 75 Posouvjící síl: Ohybový moment: Princip kce rekce: POSTUP ZLEV: POSTUP ZPRV: Zvedení kldných směrů jednotlivých účinků: PŘÍKLD 6.. (PRŮBĚH T() Mo() METODOU ŘEZU): Dáno: qo. Určit: T(), Mo() Mo m. P T() Mo() Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 76 PŘÍKLD 6.. (PRŮBĚH T() Mo() METODOU ŘEZU): Dáno:. Určit: T(), Mo() Mo m. P T() Mo() Vzth mezi Mo(), T() q() (Schwedlerov vět): ODVOZENÍ: SCHWEDLEROV VĚT O Výhody: Nevýhody: Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 77 PŘÍKLD 6.. (PRŮBĚH T() Mo() SCHWEDLEROVOU VĚTOU): Dáno: qo. Určit: T(), Mo() Mo m. P T() Mo() DŮSLEDKY PLTNOSTI SCHWEDLEROVY VĚTY: ) ) ) 4) 5) 6) 7) Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 78 TBULK (ZÁKLDNÍ TYPY NOSNÍKŮ ): T Osmělá síl Osmělý moment M Spojité ztížení qo l = + b M l = + b q o b b l +b/ l +b/l /l Mb/l +M/ l +M/l +q ol/ +q ol /8 q ol/ M q o l l l q ol l M q ol / M q o l l l + +q o /l M/l q o /(l) M q o / Poznámk: Jko jste se zhrub ve třetí třídě nučili vyjmenovná slov po B,, L, M, P, S, V Z ( těch je podsttně víc než 9), je velice výhodné se nučit těchto devět přípdů vyjmenovných nosníků s jejichž pomocí lze sestvit prkticky jkékoliv běžné ztížení nosníku. Vzpomeňte n zákon o superpozici deformcí v elstickém stvu, který jsme zvedli n zčátku jko jeden ze zákldních principů řešení úloh v pružnosti pevnosti (výsledný průběh posouvjící síly T() resp. ohybového momentu M o() lze získt součtem průběhů určených od jednotlivých silových účinků). Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 79 Th/tlk: 6. GEOMETRICKÉ CHRKTERISTIKY PRŮŘEZU Krut: Ohyb: (OSOVÉ) KVDRTICKÉ MOMENTY PRŮŘEZU: DEVIČNÍ MOMENT PRŮŘEZU: (OSOVÉ) KVDRTICKÉ POLOMĚRY PRŮŘEZU: Zákldní definice: ZÁKLDNÍ VLSTNOSTI: ) ditivnost: ) Poloh souřdnicových os: ) CENTRÁLNÍ KVDRTICKÝ MOMENT PRŮŘEZU: Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 8 b) OS SYMERTIE PRŮŘEZU (musí procházet těžištěm T): ) Vzth osových polárního kvdrtického momentu průřezu: 4) Posunutí souřdnicového systému (Steinerov vět): ODVOZENÍ: STEINEROV VĚT (Huygens Steinerův teorém podle Christin Huygense nd Jkob Steiner) O T Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 8 5) Pootočení souřdnicového systému: T 6) Hlvní kvdrtické momenty průřezu: Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 8 TBULK (PRVIDLO VYNÁŠENÍ ÚHLU ): T Dyz tg J J z y PŘÍKLD 6.. (PRŮŘEZOVÉ CHRKTERISTIKY): Dáno: b, h. Určit: Jz, Jy jz, jy (kvdrtické momenty kvdrtické poloměry) P Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 8 PŘÍKLD 6.. (PRŮŘEZOVÉ CHRKTERISTIKY): Dáno: D. Určit: Jz, Jy jz, jy (kvdrtické momenty kvdrtické poloměry) D/ d d d sin z Řešení: J z ( ) y d j z J z y = sin d = dd meze integrálů jsou: ; D/ ;. Po doszení tk dostáváme: D P J z D / π D/ 4 D π D sin d d d sin d π 64 64 Protože profil je nekonečněkrát symetrický, bude Dzy =, Mohrov kružnice degeneruje v bod osový kvdrtický moment průřezu Jy bude stejný jko Jz. Kvdrtické poloměry jz jy budou tké stejné: j z j y D 64 D 4 4 π D D 6 4 Obecný postup výpočtu hlvních centrálních kvdrtických momentů průřezu: 4 T T T T T T Dáno: Rozměry průřezu původní poloh souřdnicových os. Řešení:. Rozdělíme průřez n i jednoduchých obdélníků (i = ),. Pomocí sttických momentů určíme polohu těžiště celého průřezu T (zt, yt). Vypočteme jednotlivé osové kvdrtické momenty jednotlivých částí (z definice), 4. Přepočteme osové kvdrtické momenty deviční moment pomocí Steinerovy věty k těžištním osám získáme: Jz T, Jy T Dy T z T 5. Pomocí Mohrovy kružnice (vzorce) určíme velikosti hlvních centrálních kvdrtických momentů (J J) polohu hlvních centrálních os (). 6. Vše zkreslíme do původního průřezu. Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 84 VZOROVÉ PŘÍKLDY Z TESTŮ: Příčný průřez prutu je složen ze tří obdélníků (číslo, ) o strnách = mm b = 5 mm. Vypočtěte hlvní centrální osové kvdrtické momenty (Jy Jz) deviční moment (Dyz) tohoto průřezu. Vypočtěte hlvní centrální kvdrtické momenty (J J). Vypočtěte průřezový modul v ohybu k ose zt (Woz) k ose yt (Woy) zdného průřezu. y b b z Příčný průřez prutu je složen z obdélník (číslo ) o strnách b = mm, h = 8 mm kruhu (číslo ) o průměru d = mm. y Vypočtěte polohu těžiště T tohoto složeného profilu vůči zdným osám y z. Vypočtěte hlvní centrální osové kvdrtické momenty (Jy Jz) deviční moment (Dyz) tohoto průřezu. Vypočtěte hlvní centrální kvdrtické momenty (J J). Vypočtěte průřezový modul v ohybu k ose z (Woz) zdného průřezu. h b d z Příčný průřez prutu je složen ze čtverce (číslo ) o strně d = mm kruhu (číslo ) o průměru d = mm. y Vypočtěte polohu těžiště T tohoto složeného profilu vůči zdným osám y z. Vypočtěte hlvní centrální osové kvdrtické momenty (Jy Jz) deviční moment (Dyz) tohoto průřezu. Vypočtěte hlvní centrální kvdrtické momenty (J J). Vypočtěte průřezový modul v ohybu k ose z (Woz) zdného průřezu. d d z Příčný průřez prutu je složen ze čtverce (číslo ) o strně = mm obdélníku (číslo ) o strnách = mm b = 5 mm. Vypočtěte polohu těžiště T tohoto složeného profilu vůči zdným osám y z. Vypočtěte hlvní centrální osové kvdrtické momenty (Jy Jz) deviční moment (Dyz) tohoto průřezu. Vypočtěte hlvní centrální kvdrtické momenty (J J). Vypočtěte průřezový modul v ohybu k ose z (Woz) zdného průřezu. y b z Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 85 NPĚTÍ PŘI OHYBU: Prostý ohyb pltí Bernoulliho hypotéz ODVOZENÍ: BERNOULLIHO HYPOTÉZ ROZLOŽENÍ NPĚTÍ PŘI OHYBU O Poloh neutrálné osy on: Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 86 Sklon neutrální osy on: Rozdělení ohybových npětí = co to je c : Etrémy ohybových npětí: PEVNOSTNÍ PODMÍNK PŘI OHYBU: Průřezový modul v ohybu [m ] resp. [mm ]!!!NENÍ DITIVNÍ!!! Nevýhodné profily Výhodné profily PRŮŘEZOVÉ MODULY V OHYBU Woz: h D d/d b Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 87 Nosník stálé pevnosti: ODVOZENÍ: DEORMČNÍ ENERGIE PŘI OHYBU: O Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 88 ODVOZENÍ: VLIV POSOUVJÍCÍ SÍLY T() Žurvského vzorec Vliv T() je většinou mlý ve výpočtech ho znedbáváme, le musíme být schopni ho popst, bychom mohli rozhodnout, kdy ho skutečně můžeme znedbt. Rozložení smykových npětí po průřezu (Žurvskij) řešíme obdélník h b: O Předpokldy: ) ) Odvození vychází z rovnováhy odříznuté části průřezu: plikce n obdélník b h: Obdobné výpočty i pro jiné profily: Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 89 Důsledky uvžování smykových npětí: SMYKOVÉ ČÁRY: ODVOZENÍ: DEORMČNÍ ENERGIE PŘI SMYKU OD T() pro obdélník b h: O Dlší profily (bez odvození): y y D z Rozměry dle normy z,4,8 Kruhový profil :, I-profily: 7 Obecný vzorec pro nosníky neproměnného průřezu o ploše : J z ( ) S b( y) d Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 9 VSUVK DEORMČNÍ ENERGIE SHRNUTÍ Probrány všechny zákldní způsoby nmáhání: Zákldem výpočtu je hustot deformční energie, která vychází (z použití Hookov zákon) ve tvru: E E G G. resp. TBULK (DEORMČNÍ ENERGIE OD JEDNOTLIVÝCH ÚČINKŮ): T DEORMČNÍ ENERGIE OD ZÁKLDNÍCH TYPŮ NMÁHÁNÍ PRUTU DÉLKY Nmáhání Ztížení Modul pružnosti Průřezová chrkteristik Celková deformční energie Th/tlk Ohyb Krut Smyk N() síl Mo() moment MK() moment T() síl E modul v thu G modul ve smyku J z ( ) ploch ( ) y d d osový kvdrtický moment J d p ( ) polární kvdrtický moment ( ) ploch d U U U N M o M K U T ( ) ( ) ( ) N ( ) d E ( ) M o ( ) d E J ( ) z M K ( ) d G J ( ) T ( ) d G ( ) ( ) p Pozor při sčítání jednotlivých energií V přípdě shodného typu npětí (npř. při kombinci thu ohybu) musí pro výslednou energii U pltit: Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7 U celk. U N UM U N,, o M o protože výsledné npětí je dáno jko součet energie závisí n kvdrátu tohoto součtu: N M o N M o N Mo!!!POZOR!!! Celková energie není prostým součtem dílčích energií: Ucelk U N U Mo. ).. Nopk při kombinci různých typů npětí (npř. při kombinci thu s krutem nebo kombinci ohybu se smykem) můžeme energie U od jednotlivých účinků sčítt, protože normálová npětí smyková npětí nejsou spolu vázán: Ucelk. U N U resp. U celk U. M U o T POHÁDKOVÉ MTEMTICKÉ INTERMEZZO M K ) Zde si opět připomeňte pohádku o dědkovi, bábě, vnučce, psovi, kočce myši, jk thli řepu! nebo si vzpomeňte n součtové vzorce: ( + b) = + b + b ( b) = b + b. M

PRUŽNOST PEVNOST 9 DEORMCE NOSNÍKŮ: Deformce: DV PŘÍSTUPY ŘEŠENÍ: ) NLYTICKÝ ) ENERGETICKÝ ) DIERENCIÁLNÍ ROVNICE PRŮHYBOVÉ ČÁRY (Bernoulli): ODVOZENÍ: (BERNOULLIHO) DIERENCIÁLNÍ ROVNICE PRŮHYBOVÉ ČÁRY (nebudeme již uvžovt vliv posouvjící síly resp. smyku) Vzth pro npětí: Hookův zákon: O Definice osové deformce: Definice křivosti (z nlytické mtemtiky): Tto rovnice (Bernoulliov) vyhovuje většině nosníků normálních rozměrů. Pokud všk bude nosník etrémně dlouhý ( >> h) jko jsou npř. plnžety, budou i deformce velké, křivk již nebude plochá k řešení těchto přípdů bude třeb použít složité eliptické integrály, což zjevně překrčuje rozsh tohoto předmětu i možnosti plikce mtemtických nástrojů z. ročníku. Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 9 Postup řešení:... 4. b) ÚPLNÁ DIERENCIÁLNÍ ROVNICE PRŮHYBOVÉ ČÁRY (spojení Bernoulliho rovnice průhybové čáry se Schwedlwrovou větou jko první provedl Euler): ODVOZENÍ: ÚPLNÁ DIERENCIÁLNÍ ROVNICE PRŮHYBOVÉ ČÁRY O Schwedlerov vět: Bernoulliho diferenciální rovnice průhybové čáry: Postup:... 4. V obou přípdech je jedním z nejdůležitějších okmžiků výpočtu sestvení správných okrjových podmínek, které odpovídjí jednk způsobu uložení jednk způsobu ztížení řešeného nosníku. Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 9 TBULK (ZÁVĚRY MTEMTICKÉ NLYZY DIERENCIÁLNÍ ROVNICE): Veličin [rozměr] v() [mm] v I () [] [rd] v II () [mm ] v III () [mm ] v IV () [mm ] Je rovn nebo odpovídá Proč? T PŘÍKLD 6..4 (NLYTICKÉ ŘEŠENÍ DEORMCÍ NOSNÍKU): Dáno: qo,, EJz = konst. Určit: v() () P Bernoulliho diferenciální rovnice Úplná diferenciální rovnice průhybové čáry přímého nosníku Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 94 Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7 Okrjové podmínky: (pro v nebo ) (pro v,, Mo nebo T).... Odkud vychází:. 4. Odkud vychází: Hledné funkce jsou: Hledné funkce jsou: Mám-li hotové nlytické řešení v(), (), Mo() nebo T(), stčí do rovnic pouze dosdit souřdnici ; l je to! Dostáváme přímo velikost hledné veličiny v místě. Npř. uprostřed nosníku, kde = l/ vychází: z o z o J E q J E q v 4 4 84 5 4 4 ) / ( pro kontrolu: m ] m m [N ] m m [N 4 4 4 4 6 ) / ( z o z o J E q J E q pro kontrolu: ] m m [N m ] m [N 4 8 ) / ( o o o q q M pro kontrolu: m N ] [m ] m [N o q o q T ) / ( pro kontrolu: N [m] ] m [N Řešením úplné diferenciální rovnice dostávám úplně všechno, le je to úplně nejprcnější způsob!! [] [rd]

PRUŽNOST PEVNOST 95 PŘÍKLD 6..5 (ÚPLNÁ DIERENCIÁLNÍ ROVNICE PRŮHYBOVÉ ČÁRY): Dáno: qo,, EJz = konst. Určit: v() () P Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 96 PŘÍKLD 6..6 (ÚPLNÁ DIERENCIÁLNÍ ROVNICE PRŮHYBOVÉ ČÁRY): Dáno: qo,, EJz = konst. l q o Určit: v() () dále mimální průhyb tohoto nosníku Řešení: Rovnice popisující spojité ztížení bude shodná s předchozím příkldem: q q( ) o, P tedy i úplná diferenciální rovnice včetně řešení postupnou integrcí bude shodná s předchozím příkldem: v( ) E J z IV qo v ( ) E J z 5 qo K K K K 6 4. Řešení se zčne odlišovt ž při sestvování okrjových podmínek, které musí popst rozdílný způsob uložení tohoto nosníku od nosníku z předchozího příkldu: Okrjové podmínky:. v() =,. Mo() =,. v(l) = 4. Mo(l) = Řešením těchto okrjových podmínek dostáváme: Z. okrjové podmínky: K4 =. Z. okrjové podmínky: K =. Ze 4. okrjové podmínky: Ze. okrjové podmínky: Výsledné funkce tedy jsou: qo K. E J 6 z qo 7 K. E J 6 qo v( ) 6 E J I qo ( ) v ( ) 6 E J z z z 5 5 4 7 7 Mimální průhyb vm - etrém funkce v() musí nstt tm, kde je první derivce rovn nule: 4 q o 5 etr. v I ( etr.) etr. 7 6 E J z,7. etr. I,II První řešení etr. =,54l nemá smysl, protože je mimo nosník: etr. ; l. Možné je tedy jen druhé řešení etr. =,59l, které splňuje podmínku: etr. ; l. Mimální průhyb tohoto nosníku tedy bude ve vzdálenosti,59l od levé podpěry jeho velikost je: v q 4 o 5 m v( etr ),59,59 7,59, 65767 6 E J z. qo E J 4 z. Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 97 PŘÍKLD 6..7 (BERNOULLIHO DIERENCIÁLNÍ ROVNICE PRŮHYBOVÉ ČÁRY): Dáno:, (),, b, EJz = konst. Určit: v() (). P Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 98 Deformční energie průhyb ntočení nosníků (vektorový Newtonský přístup je nhrzen sklárním) ) MOHRŮV INTEGRÁL (plikce Cstiglinovy věty n energii při ohybu): Cstiglinov vět: Deformční energie při ohybu: PŘÍKLD 6..8 (MOHRŮV INTEGRÁL): Dáno:,, EJz = konst. Určit: v (průhyb ntočení pod silou ) P Pro určení v by šlo přímo použít Cstiglinovu větu: Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 99 PŘÍKLD 6..9 (MOHRŮV INTEGRÁL): Dáno: M,, EJz = konst. Určit: (ntočení v podpěře ) P PŘÍKLD 6.. (MOHRŮV INTEGRÁL): qo B C Dáno: qo,, EJz = konst. Určit: vc (ntočení v krjním bodě C) l l/ Řešení: Vzhledem k rozdílným funkcím popisujícím jk Mo tk i mo v levé prvé části nosníku musíme tké řešení pomocí I Mohrov integrálu provést ve dvou polích I II. II Pro popis momentu v I. poli zlev nám stčí znát jen R: R Mo (I) () RB Mo (II) () vc I. ; l: Mo (I) () = R qo / = qo(l )/ mo (I) () = ""/ P "" II. ; l/: Mo (II) () = mo (II) () = "" mo (I) () mo (II) () v Nyní již tyto funkce dosdíme do Mohrov integrálu: "" d "" qo E J C z... qo... E J 4 z d Znménko ve výsledku znmená, že skutečný směr deformce vc bude právě opčný než byl zvolený směr jednotkové síly deformce tedy nebude dolů le nhoru (je v souldu s logikou deformce tohoto nosníku, kterou jsme předpokládli n zčátku). Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST PŘÍKLD 6.. (MOHRŮV INTEGRÁL): Dáno: qo,, EJz = konst. Určit: vc (průhyb uprostřed nosníku ntočení v podpěře ) P Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST b) GRICKO NLYTICKÁ METOD (Vereščginov metod výpočtu Mohrov integrálu): Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST MTEMTICKÉ INTERMEZZO TBULK (PŘÍKLDY NĚKTERÝCH TVRŮ OBSHY POLOHY TĚŽIŠTĚ): Tvr T T T T T T T T T T M T T b b T b T V b n T V b V T n Ploch b b b b n n b n T 4 n n n T 4 n n n n PŘÍKLD 6.. (VEREŠČGINOVO PRVIDLO): Dáno:,, EJz = konst. Určit: v (průhyb ntočení pod silou ) P Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST PŘÍKLD 6.. (VEREŠČGINOVO PRVIDLO): Dáno: M,, EJz = konst. Určit: (ntočení v podpěře ) P PŘÍKLD 6..4 (VEREŠČGINOVO PRVIDLO): Dáno: qo,, EJz = konst. Určit: vc C (průhyb ntočení v místě C). P Tbulk výpočtu průhybu vc: i Mi mti vc Mi mti vc vc = E J z Tbulk výpočtu ntočení C: i Mi mti C Mi mti C C = E J z Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 4 PŘÍKLD 6..5 (VEREŠČGINOVO PRVIDLO): Dáno: qo,, EJ, EJ Určit: vc C (průhyb ntočení v místě C). P Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 5 SOUČINITELE PODDJNOSTI PŘI OHYBU (příčinkové činitele): Vzájemnost prcí ) = zákldní princip P&P ODVOZENÍ: BETTIHO VĚT. nejprve v bodě M pk Q v bodě N. nejprve Q v bodě N pk v bodě M O PRO DV OBECNÉ SILOVÉ SYSTÉMY Q PLTÍ PRINCIP VZÁJEMNOSTI PRCÍ DVOU SYSTÉMŮ SIL PŘI PŘETVÁŘENÍ PRUŽNÉHO TĚLES: Výpočet pomocí PODDJNOSTÍ ij: MXWELLOV VĚT O VZÁJEMNOSTI POSUVŮ: Výhodné využití při řešení nosníků (poddjnosti nhrzujeme příčinkovými činiteli ): ij mm N... ij N... ij mm N mm... ij N mm... ) Již v roce 864 odvodil tento princip pro dvě síly Jmes Clerk Mwell (8 879) následně ho v roce 87 zobecnil Enrico Betti (8 89). Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 6 Využití výpočty příčinkových činitelů:. systém předstvuje jednotkový účinek v místě hledné deformce. systém předstvuje soustv osttních sil... n Skutečný nosník: Výpočet npř. C Mo() C Mo() Mo() Mo() "" mo() mo() mo() mo() B K výpočtu C užijeme Mohrův integrál: C E J Odkud vychází: z / / / / d d C 5 944 E J z. d... Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 7 STTICKY NEURČITÉ NOSNÍKY ) : Přímý nosník ztížený rovinným ohybem = ROVINNÉ TĚLESO má TŘI stupně volnosti (třetím stupněm volnosti je posun u() ve vodorovném směru, který je tk mlý, že ho nebudeme uvžovt). Pro nosník lze le npst pouze DVĚ NEZÁVISLÉ sttické rovnice, protože složková rovnice do směru je splněn utomticky : = (většinou používáme složkovou rovnici do směru y jednu momentovou nebo používáme dvě momentové rovnice). Volný konec: neuvžujeme Kloubová podpěr: Posuvná podpěr: neuvžujeme Pevné vetknutí: OBECNÝ POSTUP ŘEŠENÍ:. rozhodnutí. uvolnění. nhrzení. doplnění 4. řešení Silové účinky nhrzující odebrné vzby deformční podmínky: - bez uvžování horizontálních sil (: = ): Posuvná podpěr: Kloubová podpěr: Vetknutí: ) Někteří utoři používjí u všech stticky neurčitých úloh univerzální definici: Ve stticky neurčité úloze je více neznámých silových účinků než kolik jsme schopni sestvit nezávislých sttických rovnic. Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 8 PŘÍKLD 6..6 (STTICKY NEURČITÝ NOSNÍK): Dáno: qo,, EJz = konst. Určit: Mo() (průběh momentu po celé délce prutu). P Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 9 Nyní vyřešíme tentýž příkld, le při použití vhodnějšího uvolnění. Tímto uvolněním sice porušíme původní symetrii, le vzniklé plochy budou jednodušší. Uvolnění v podpěře C nhrzení rekcí RC doplnění deformční podmínky vc =. B qo C 5 v vc C M mt i E J (užití Věreščginov prvidl) i z i +q o /8 q o / +R C RC i Mi mti vb Mi mti vb ( o ) 8 ( "" ) ( o ) 4 ( "" ) ( o ) ( "" ) 4 ( R C ) ( "" ) 5 ( R C ) ( "" ) q 4 q o 8 q o 6 R C R C 4 o 4 4 +"" "" Výsledný tvr deformční podmínky po doszení z tbulky bude: v 6 4 C qo RC E J 4. z Pro reálný pružný nosník musí pltit EJz, proto bude: 6 4 q o RC R C qo 4 8 Pro vyjádření momentu budeme postupovt zprv od známého RC. I když bychom mohli znovu oprášit symetrii říci, že svislá rekce R v bodě musí být stejná jko RC. M ( ) o RC qo qo. 8 Pozici etrému Mo m určíme pomocí derivce: dm ( ) o d q 8 o e. t r 8 M o( etr.) qo. 8 ještě dopočítáme místo nulového momentu: M o ( ) q o 8. 4 tké velikost momentu ve střední podpěře: 8 M ( ) o qo qo. 8. Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST PŘÍKLD 6..7 (STTICKY NEURČITÝ NOSNÍK): Dáno: qo,, EJz = konst. Určit: vhodně uvolněte, npište deformční podmínku nkreslete momentové plochy. P PŘÍKLD 6..8 (STTICKY NEURČITÉ NOSNÍKY): qo Dáno: qo,(, M),,, EJz = konst. P l l Určit: uvolněte, npište deformční podmínku nkreslete momentové plochy. M Všechny tři příkldy je vhodné uvolnit odebráním kloubové podpěry, l jejím nhrzením osmělou silou RB připojením deformční podmínky vb =, která zručí shodné chování uvolněné i původní soustvy. qo M vb = vb = vb = RB RB RB +RBl +RBl +RBl qo(/+l) (+l) M +qo /4 +/ +M/ qo / M Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7 Zde si předvedeme různá řešení první vrinty vždy le s použitím jiného způsobu uvolnění:. uvolnění v podpěře B nhrzení rekcí RB doplnění deformční podmínky vb =. i v T M z B B i m i J E v. Při doszení podle tbulky bude: 6 q R J E o B z. i Mi mti vb Mi mti vb ) ( B R ) "" ( ) "" ( ) ( B R q o ) "" ( ) "" ( q o q o ) "" ( ) "" ( q o Pro EJz bude: 4 q q R o o B q R o B 4. 4 4 q q q R M o o o B.. uvolnění v podpěře nhrzení momentem M doplnění deformční podmínky =. i T M z i m i J E. Při doszení podle tbulky bude: q M J E o z. i Mi mti Mi mti ) ( M ) "" ( ) "" ( ) ( M q o ) "" ( ) "" ( q o Pro EJz bude: q M o 4 q M o. q q q M R o o o B 4 4. RB B qo +R B q o / q o ( /+) "" +"" M B qo +M q o / "" +""

PRUŽNOST PEVNOST VZOROVÉ PŘÍKLDY Z TESTŮ: Stticky určitý nosník podepřený v bodech B je tvořen prutem obdélníkového příčného průřezu (hh/) je vyroben z mteriálu o dovoleném npětí D = MP. Tento nosník má zákldní délku =,8 m je ztížen v místě C osmělou silou = N v místě D osmělým momentem M = 5 5 Nmm. C on h h/ B M D Zobrzte průběhy posouvjící síly T() ohybového momentu Mo() po celé délce nosníku. Vypočtěte mimální velikost posouvjící síly Tm mimální velikost ohybového momentu Mom. Ndimenzujte tento nosník pro zdné dovolené npětí D. /4 / Stticky určitý nosník podepřený v bodech B je tvořen prutem čtvercového příčného průřezu (h) je vyroben z mteriálu o dovoleném npětí K = 5 MP. Tento nosník má zákldní délku =,5 m je ztížen v místech C D osmělými momenty M = 5 5 Nmm M = 5 Nmm. M C h B M D Zobrzte průběhy posouvjící síly T() ohybového momentu Mo() po celé délce nosníku. Vypočtěte mimální velikost posouvjící síly Tm mimální velikost ohybového momentu Mom. Pro bezpečnost kk =,5 ndimenzujte příčný průřez tohoto nosníku. / / Stticky určitý nosník vetknutý v bodě je tvořen prutem kruhového příčného průřezu (d) je vyroben z mteriálu o dovoleném npětí D = Nmm -. Tento nosník má zákldní délku =, m je ztížen v místech B C osmělými silmi = N v místě D osmělým momentem M = 4 5 Nmm. Zobrzte průběhy posouvjící síly T() ohybového momentu Mo() po celé délce nosníku. /4 B d / C M /4 D Vypočtěte mimální velikost posouvjící síly Tm mimální velikost ohybového momentu Mom. Ndimenzujte tento nosník pro zdné dovolené npětí D. Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST VZOROVÉ PŘÍKLDY Z TESTŮ - POKRČOVÁNÍ: Nosník délky vetknutý v bodě B podepřený v bodě je ztížen uprostřed (bod C) osmělou silou. Vyrobený je z tyče o mteriálu s modulem pružnosti v thu E stálém průřezu (EJ = konst.). Vypočtěte velikost rekce R v podpěře. Nznčte průběh ohybového momentu Mo() po celé délce nosníku. Vypočtěte mimální ohybový moment Mo m (oznčte jeho polohu n nosníku). Vypočtěte průhyb nosníku v pod silou. / C / B Nosník délky je uložený v bodě kloubově v bodech B C posuvně. V poli -B je ztížen konstntním spojitým ztížením qo. Celý nosník je vyrobený z tyče o mteriálu s modulem pružnosti v thu E stálém průřezu (EJ = konst.). qo P B / / C Určete velikosti rekcí v podpěrách, B C jko funkce síly. Nčrtněte průběh ohybového momentu Mo() po délce nosníku. Vypočtěte etrémní hodnotu ohybového momentu Mo v podpěře B. Vypočtěte průhyb vp v bodě P uprostřed pole B-C. Nosník délky je uložený v bodě kloubově v bodech B C posuvně. V bodech K P (uprostřed polí -B B-C) je ztížen osmělou silou. Celý nosník je vyrobený z tyče o mteriálu s modulem pružnosti v thu E stálém průřezu (EJ = konst.). K P / / B / / C Určete velikosti rekcí v podpěrách, B C jko funkce síly. Nčrtněte průběh ohybového momentu Mo() po délce nosníku. Vyznčte etrémní hodnoty ohybového momentu Mo vypočtěte jejich velikosti. Vypočtěte průhyb v pod silou (bod K nebo P). Nosník obdélníkového průřezu bh délky je uložený v bodě kloubově v bodech posuvně. Uprostřed pole - je ztížen osmělou silou. Celý nosník je vyrobený z tyče o mteriálu s modulem pružnosti v thu E. / / Stnovte průběh ohybového momentu po celé délce nosníku h průběh nznčte přibližně v měřítku b Vyjádřete obecně pomocí zdných veličin velikosti rekcí v podpěrách,. Vyjádřete obecně pomocí zdných veličin velikost mimálního ohybového momentu n tomto nosníku. Vypočtěte obecně pomocí zdných veličin velikost mimálního ohybového npětí o m vznikjícího v zdném nosníku. Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 4 7. KOMBINOVNÉ NMÁHÁNÍ Určete všechn ztížení popište všechn nmáhání, která působí n střední hřídel převodovky. z y O R O R T T Šroubem se šestihrnnou hlvou jsou spojen dvě přírubová hrdl. Vypočtěte, kolikrát se zvětší mimální npětí ve šroubu m oproti nominálnímu npětí nom, nebude-li při dothování dodržen rovinnost dosedcích ploch hlvy šroubu mtice viz obrázek. vrint I vrint II Th/tlk () Krut () Ohyb () Smyk od T () Předpokldy:... Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 5 Rozdělení vnitřních účinků: SÍLY: MOMENTY: M y My z Mz Obvykle znčíme: = N ; y = Tz ; z = Tz ; M = MK ; My = Moy Mz = Moz. Normálová npětí : Smyková npětí : Kombince: Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 6 PROSTOROVÝ/ŠIKMÝ OHYB (OHYB + OHYB): ) Stop ohybového momentu StMo NENÍ totožná ni s jednou z hlvních os setrvčnosti. b) Neutrální os on NEMUSÍ být kolmá ke stopě StMo. OHYB Mimální npětí při šikmém ohybu/dimenzování: Poloh neutrální osy: Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 7 Grfická (sklární) konstrukce neutrální osy: Pevnostní podmínk/podmínky při šikmém ohybu:. HOUŽEVNTÝ MTERIÁL. KŘEHKÝ MTERIÁL Postup řešení:.. ) b) TH+TH. 4. 5. TLK+TLK 6. Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 8 PŘÍKLD 7. (ŠIKMÝ OHYB): Dáno: D = Nmm, E =, 5 Nmm, =, m, b = mm; h = 6 mm; = N. Určit: red ( provést pevnostní kontrolu). P Deformce při šikmém ohybu: Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 9 EXCENTRICKÝ TH/TLK (OHYB + TH/TLK): ) Síl působí kolmo k průřezu b) Síl nepůsobí v těžišti průřezu působí-li n hlvní centrální ose ROVINNÝ OHYB nepůsobí-li n hlvní centrální ose ŠIKMÝ OHYB POZOR! Neutrální os on se posouvá mimo těžiště. PŘÍKLD 7. (EXCENTRICKÝ TLK): Dáno: Dt = 5 Nmm, Dd = c, = mm; = N. z Určit: k (bezpečnost vzhledem k dovoleným hodnotám). y Řešení: Nejnmáhnější je. TLK: celá tto stěn N = = N t = N/ = / = / = 5 Nmm tlk N. OHYB (zde vzhledem k ose y): M oy = / = / = 5 Nmm ohyb o m/min = Moy/Woy = 6Moy/ = 75 Nmm. REDUKOVNÉ NPĚTÍ: red = (tlk): t + o= 5 75 = Nmm (th): t o = 5 ( 75) = +5 Nmm P 4. PEVNOSTNÍ KONTROL: Th: kt = Dt/red (th) = 5/5 =, StMo TH TLK Tlk: kd = Dd/red (tlk) = / =, k = min(kt ; kd) =, on Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST OHYB + KRUT Budeme řešit jen kruhový nebo mezikruhový průřez, kde jsou poměrně jednoduché vzthy pro výpočet smykových npětí. TLK+SMYK TH+SMYK Rovinná npjtost: Teorie (hypotézy) pevnosti: MX: MOHR: MX: Energetická (H.M.H.): Houževntý mteriál úprv vzthů pro kruhový mezikruhový průřez: Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST TH/TLK + KRUT Budeme opět řešit jen kruhový nebo mezikruhový průřez, kde jsou poměrně jednoduché vzthy pro výpočet smykových npětí. TH+SMYK Rovinná npjtost: Teorie (hypotézy) pevnosti (jen pro houževntý mteriál): MX: Energetická (H.M.H.): Úprv vzthů pro kruhový mezikruhový průřez: Prktický postup:... 4. ) b) c) Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST PŘÍKLD 7. (OHYB KRUT): Dáno: D = Nmm, = N, = 5 mm; = mm. Určit: dd (dovolený vyhovující průměr hřídele). P PŘÍKLD 7.4 (TH KRUT): Dáno: D = 7 Nmm, m = 5 kg, MK = 6 Nmm. Určit: dd (dovolený vyhovující průměr hřídele). P Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST VZOROVÉ PŘÍKLDY Z TESTŮ: Tyč čtvercového průřezu je ztížen svislou silou působící v krjním vlákně vrcholu průřezu (bod B). Velikost síly je N = 4 N, použitý mteriál má mez kluzu Re = K = Nmm - velikost strny příčného rozměru průřezu je = mm. Vypočtěte smosttně velikosti jednotlivých složek působícího nmáhání. Vypočtěte velikost redukovného npětí zdné kombince. Vypočtěte výslednou bezpečnost vůči mezi kluzu. Oznčte nejnmáhnější místo (míst) této tyče. N B B N Prut obdélníkového průřezu o strnách = mm b = 6 mm má délku = 5 mm je n jednom svém konci vetknut (bod B) n druhém volném konci (bod ) je ztížen silou = 5 N, která svírá se svislou osou y úhel =. B Stnovte míst mimálního nmáhání tohoto prutu. Vypočtěte mimální redukovné npětí v těchto místech. Vypočtěte polohu neutrální osy on v tomto přípdě. b Tyč mezikruhového průřezu (trubk) je ztížen svislou osovou silou působící n ronci rmene přivřeného k trubce (bod B). Velikost síly je N = 4 N, použitý mteriál má mez kluzu K = Nmm -, průměry trubky jsou d = mm D = 4 mm příčný rozměr průřezu je = mm. N B Vypočtěte smosttně velikosti jednotlivých složek působícího nmáhání. Vypočtěte velikost redukovného npětí zdné kombince. Vypočtěte výslednou bezpečnost vůči mezi kluzu. Oznčte nejnmáhnější místo zdné součásti. N B Trubk (D/d) délky vetknutá v bodě B je ztížená v bodě n rmeni délky osmělou silou. Trubk je vyrobená z mteriálu s mezí kluzu K. D = 8mm, d = 7mm, = 5mm, = mm = N K = 4Nmm -. D d Proveďte rozbor ztížení trubky vypočtěte mimální velikosti jednotlivých nmáhání této trubky (připojené rmeno povžujte z bsolutně tuhé). Vypočtěte v nejnmáhnějším místě/místech redukovné npětí podle obou vhodných teorií pružnosti. Vypočtěte podle obou použitých teorií pružnosti bezpečnost trubky vůči mezi kluzu použitého mteriálu. Oznčte jsně nejnmáhnější místo/míst dné součásti. B Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 4 8. KŘIVÉ PRUTY RÁMY (nlogie s přímými nosníky stticky určitými stticky neurčitými) Stnovte nmáhání závěsu kbinové lnové dráhy, který je vyroben z dutého čtvercového profilu. Ztížení je způsobeno jednk hmotností kbiny jednk šesti cestujícími, jejichž hmotnost musíme uvžovt včetně lyžřského vybvení uvžovt. Mt. Elmo - Itálie 6 R - z R6 9 Kbin lnové dráhy, detil jejího závěsu n nosném lně výpočtový model Stnovte teoreticky mimální nmáhání křivého prutu, který tvoří nosnou konstrukci historické hly Hlvního nádrží v Prze. Hlvní nádrží v Prze R S, m q o q o H H H H V=q o R V= q o R V=q o R R R Nosný oblouk hly, detil uložení jeho konců výpočtový model Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 5 8. KŘIVÉ PRUTY ROZDĚLENÍ KŘIVÝCH PRUTŮ ( RÁMŮ). PODLE CELKOVÉ GEOMETRIE h Mo R Mo tenké křivé pruty R 8 ( i 5) tlusté křivé pruty R < 8 ( i 5) (málo zkřivené) h (silně zkřivené) h Předpokládáme, že neutrální ploch prochází T Předpokládáme, že neutrální ploch je mimo T Mo střednice on T o R ( ) Mo Mo e R o T on Mo T ds T d d = R T e ds ds+ds T d R d +d ds = d ODVOZENÍ LINEÁRNÍHO ROZLOŽENÍ Z pod. d vypočteme osovou deformci o: d d d ( ) o d ODVOZENÍ NELINEÁRNÍHO ROZLOŽENÍ Z délek částí oblouků určíme osovou def. o: ds d o ( ) ds ( ) d Při pltnosti Hookov zákon určíme osové (ohybové) npětí o jko funkci polohy : E d o( ) E o( ) o ( ) c o( ) E o( ) o ( ) E ( ) d Z momentové rovnováhy o ( ) d M o určíme konstntu c resp. člen (d/d): M o d M o c J z d E e získáme tk výsledný vzth, který se pro tenké tlusté křivé pruty velice podsttně liší: M o( ) J z o ( o ) M o e Dále uvžujeme pouze tenké (málo zkřivené) křivé pruty (i rámy) Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 6. PODLE USPOŘÁDÁNÍ rovinné křivé pruty prostorové křivé pruty M qo y r z. PODLE ULOŽENÍ (stejně jko u nosníků) Ry R Ry R Ry volný konec posuvná podpěrkloubová podpěr pevné vetknutí (neodebírá nic)(odebírá volnosti) (odebírá křivé pruty stticky určité křivé pruty stticky neurčité M B q o B = (stticky určité) = ( stticky neurčité) Volný krj B neodebírá žádný stupeň volnosti Podpěr (vetknutí) odebírá vždy volnosti (dv posuvy ntočení) Křivý prut (těleso) v rovině má celkem volnosti (posuvy y ntočení ) M = ( stticky neurčité) M B B B = (stticky určité) B q o = ( stticky neurčité) q o B Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 7 MTEMTICKÉ INTERMEZZO Řd křivých prutů, které budeme řešit, je tvořen částmi kruhových oblouků (nejčstěji ½ nebo ¼ kružnice). Při řešení pomocí Mohrov integrálu je třeb integrovt různé kombince goniometrických funkcí. Proto si zde připomeneme vzorečky, které nám tyto výpočty zjednoduší. unkce sinus: M + / + /. π π π π sin d, sin d, sin d, sin d. π π π π π π π π sin d, sin d, sin d, sin d. unkce cosinus: + / + / π π π π cos d, cos d, cos d, cos d. π π π π π π π cos d, cos d, cos d, cos d. π unkce sinus n druhou: + / /4 + / /4 π π π sin d 4 π π sin d π. unkce cosinus n druhou: + /4 / + /4 / π π π cos d 4 π π cos d π. Součin funkcí sinus cosinus: π sin t sin cos d ; ; cos d dt π t t dt Součtové vzorce: sin( ) sin cos cos sin ; cos( ) cos cos sin sin. sin( ) sin cos ; cos( ) cos. Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 8 PŘÍKLD 8.. (KŘIVÝ PRUT STTICKY UČITÝ): Dáno: Kloubově uložený křivý prut, který má tvr polokružnice o poloměru r, je ztížen osmělým momentem M. Prut je vyroben z tyče o modulu E kvdrtickém momentu průřezu J. C r B M B P Určit: Ntočení B vrchního bodu křivého prutu posunutí u prvé posuvné podpěry. u Řešení: Opět se jedná o křivý prut ve tvru části kružnice musíme tedy použít k výpočtu Mohrův integrál. ( s) M ( s) m o mb ( s) ds B E J u ( s) M ( s) m o E J f ( s) ds Protože úloh je stticky určitá ( = ), můžeme rekce v podpěrách vyvolné momentem M určit přímo ze stt. rovnic: MC: R y r M M: r M R Cy Ry = RCy = M /R (: RC = ). Nyní připojíme do bodu B jednotkový moment opět určíme rekce v podpěrách C: ry = rcy = /r rc =. Pro výpočet posunutí u připojíme jednotkovou sílu do bodu určíme rekci v podpěře B: rc =. pole -B B-C horní mez ds Mo(s) m mb (s) dolní mez f o mo (s) π / M R d r ( cos ) r ( cos ) r r π M R d r ( cos ) M π / ( cos ) " " r r r Hledné deformce (ntočení B posuv u) vypočteme integrcí přes celou délku prutu: B E J π π π M M cos ( cos ) r d cos M ( cos ) "" r d C C C B B M R Cy /R B R y /R " " r sin " " r sin, M r E J u E J π π π M M cos " r sin ) r d M r 4 E J cos M "" r sin r d 4. Znménko + ve výsledku B znmená, že skutečný smysl deformce je shodný se zvoleným smyslem (dle směru jednotkového momentu). Výsledek ve výpočtu u znmená, že se bod působením momentu M neposune. Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 9 PŘÍKLD 8.. (KŘIVÝ PRUT STTICKY URČITÝ): Dáno: Vetknutý lomený křivý prut o délkách polí h je vyroben z ocelové tyče o modulu E čtvercovém průřezu o strně je ztížen n svém volném konci v bodě osmělým momentem M. Určit: Průhyb v úhel ntočení volného konce křivého prutu mimální nmáhání. h B C M v P Řešení: Průřezové chrkteristiky potřebné v tomto přípdě budou osový kvdrtický moment průřezu resp. 4 průřezový modul v ohybu: J z resp. Woz 6 M T B M i M T M Deformce tohoto stticky určitého ( = ) lomeného křivého prutu ztíženého osmělým momentem M je velice výhodné řešit s využitím Vereščginov prvidl výpočtu Mohrov integrálu. v f M m i T E J m i M m i T E J. i i i M C B f mt C f mt m f o () v Momentové plochy Mi tvoří dv obdélníky podél strn křivého prutu. Jejich těžiště jsou pk právě uprostřed délky jednotlivých strn lomeného křivého prutu. Nyní připojíme do míst sílu ve směru hledné deformce (prvděpodobně dolů). Momentové plochy mo f () tvoří trojúhelník obdélník se shodnou mimální hodnotou. Hledný posuv v bude: M E J z E J z M "" M h "" h B m m T C m m T m mo () Dále připojíme do míst moment ve směru hledné deformce (resp. zvolíme předpokládný směr). Momentové plochy mo m () tvoří obdobně jko vnější ztížení momentem M dv obdélníky se shodnou mimální hodnotou. Hledný úhel ntočení bude: M M "" M h "" h. 4 E J E z Mimální nmáhání o m tohoto prutu je po celé jeho délce stejné je velikosti M. Hledné npětí tedy bude v krjních vláknech průřezu po celé délce ( + h) stejné: M o m 6 M o m. W o Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST YZIKÁLNÍ INTERMEZZO Řd křivých prutů, které budeme řešit, bude ohřátá o T oproti původnímu stvu. V přípdě stticky určitých úloh vyvolá toto ohřátí deformci v přípdě stticky neurčitých úloh vyvolá toto ohřátí vnitřní účinky v důsledku zbránění volným deformcím. Toto vše souvisí s teplotní roztžností mteriálů, kterou lze u běžných konstrukčních mteriálů popst pomocí součinitele lineární teplotní roztžnosti, který povžujeme pro dný mteriál z konstntní. Všichni zjisté znáte vzorec pro prodloužení prutu při jeho ohřátí: ( ) T pro konstntní ohřev T() = konst. dostáváme: T ( ) d T T. Ze zkušenosti od zkoušek dobře vím, že tento vzth ovládáte, le o hodně horší to je s jeho plikcí, tkže se to pokusím shrnout:. Teplotní deformce se vždy vzthuje k počátku resp. k nějkému pevnému bodu. Teplotní deformce nstává ve všech směrech stejně záleží jen n původní velikosti. Teplotní deformce v určitém směru je vždy závislá n kolmé vzdálenosti vyšetřovného míst vztžného bodu (počátek resp. pevný bod). M T Protože délk (vzdálenost míst B ve vodorovném směru)je ve všech třech přípdech stejná teplotní deformce do vodorovného směru: B T T Při určení posunutí od teploty ve vodorovném směru T nehrje roli tvr těles le pouze jen jeho rozměr do vodorovného směru. T Obdobně bude u křivých prutů rozhodující kolmá vzdálenost řešeného míst od vztžného resp. pevného bodu. Zde uvedu některé příkldy pro objsnění výpočtu teplotních deformcí. h T Th T h T h T(h h) T T R R T = TR Celková změn délky prutu je =TR, le to v tomto přípdě není vůbec důležité. POZOR!! Teplot neovlivňuje ntočení ve vetknutí!! Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST PŘÍKLD 8.. (KŘIVÝ PRUT STTICKY NEURČITÝ OHŘÁTÝ): Dáno: Tenký křivý prut je n obou krjích vetknutý. Tvoří ho půlkružnice o poloměru R. Prut je vyroben z mteriálu o modulu pružnosti E součiniteli teplotní roztžnosti. Tyč má čtvercový průřez o strně je celý ohřátý o T. B r C T P Určit: Rekční účinky v uložení (R; Ry RB; RBy) místo velikost největšího nmáhání o m tohoto tenkého křivého prutu. Řešení: Tto úloh je obecně stticky neurčitá: =. B UVOLNĚNÍ NHRZENÍ DOPLNĚNÍ ŘEŠENÍ stticky určitý prut přidáme rekci R deformční podmínk tento křivý prut je tvořen částí kruhového oblouku, u u u C T C T T R proto použijeme přímo nebo řešení pomocí U Mohrov integrálu. T r B R R Z rovnováhy do svislého směru při zchování symetrie prutu musí pltit: Ry = RBy =. ds Rsin d B R "" pole -B Tbulk funkcí doszených do Mohrov integrálu: horní ds Mo(s) m f (s) dolní π r d R r sin " " r sin o Mohrův integrál vyjdřující obecné volné vodorovné posunutí bodu bude: U R u E J po doszení jednotlivých funkcí určených pro tento příkld: π ( ) f M ( s) m o o ( s) ds R r R r π R r r r d d r T E J sin "" sin E J sin. E J Odtud již vychází velikost hledné (stticky neurčité) rekce: R 4 T E J π r π T E π r Znménko + ve výsledku znmená, že zvolený směr rekce R odpovídá skutečnosti. Mimální nmáhání vzniká v horním dolním krjním vlákně to v nejvzdálenějším místě od nositelky síly R, tedy ve vrchním bodě (C): 4. o m M o m R T E r π r 4 M o m T E o m. W π r o o m C Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 8. RÁMY (TENKÉ) RÁM = obecný křivý prut se spojenými konci Určete mimální nmáhání rámu sedčkové lnovky při ztížení dvěm lyžři kždý, znáte-li jejich hmotnost, mteriál rozměry rámu sedčky. / R EJ RB EJ /4 / /4 () Sedčková lnovk, detil jedné sedčky výpočtový model Stnovte mimální nmáhání mimální deformci bezpečnostního oblouku vozu errri 56 Dino při ztížení osmělou silou v ose oblouku. errri 56 d D R / (4R) R R 45 (4R) errri 56 Dino, celkový pohled n trubkovou konstrukci výpočtový model bezpečnostního rámu Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST ROVINNÝ RÁM: tři vnitřní NEZNÁMÉ účinky (, y Mz resp. N, T Mo) je obecně stticky neurčitý PROSTOROVÝ RÁM: šest vnitřních NEZNÁMÝCH účinků (, y, z, M, My Mz) je obecně 6 stticky neurčitý Dále budeme řešit pouze rovinné rámy tedy pouze se třemi vnitřními účinky v kždém bodě rámu. Způsob řešení: Prut uvolníme (rozřízneme) v bodě dále počítáme jko vetknutý křivý prut: Rekční síly přiřdíme k vnějším ztížením deformční podmínky t v bod M T n u U = M N U uvolnění u = N U v = T Obecný rovinný rám je tedy třikrát stticky neurčitý máme tři neznámé vnitřní účinky. Prvky ovlivňující stupeň sttické neurčitosti rámu (tenkého rovinného): Eistují le dvě skutečnosti, které ovlivňují sttickou neurčitost tedy počet neznámých účinků:. kždá os symetrie (jk vzhledem ke tvru tk i součsně i k ztížení) SNIŽUJE sttickou neurčitost o jeden stupeň (mimálně všk nejvíce o úloh bude vždy stticky neurčitá!!!). kždá příčk vložená do rámu ZVYŠUJE sttickou neurčitost o jeden stupeň (bez omezení) Příkldy plikce obou prvidel do pre: Uvžujme tenký rovinný rám ve tvru čtverce, který bude různě ztěžován bude se tk měnit jeho celková symetrie z toho plynoucí dlší způsob výpočtu. Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 4. Rám je ztížen různými silmi ž 4 dvěm různými spojitými ztíženími q q. 4 bod Tento rám nemá žádnou osu symetrie, T bude neurčitý řešíme ho vcelku. Deformční podmínky pro bod budou: U M U U,. N T 4 N M q Získáme tk soustvu rovnic pro hledné neznámé: M, N T. q q q. Rám je ztížen dvěm stejnými silmi spojitým ztížením qo. bod qo Tento rám má jednu osu symetrie, bude stticky N =? neurčitý stčí řešit jen jeho jednu M =? polovinu. Sílu T určíme ze symetrie z rovnováhy: T =. T = qo součsně symetrie rovnováh (kce Deformční podmínky pro bod tk stčí jen:. Získáme tk soustvu rovnic pro hledné zbývjící neznámé: M N.. Rám je ztížen jednou silou spojitým ztížením qo. bod qo Tento rám má jednu osu symetrie, bude T = / stticky N =? neurčitý stčí řešit jen jeho jednu M =? polovinu. Sílu T určíme opět ze symetrie z podmínky rovnováhy v bodě po spojení obou částí k sobě: qo T = /. Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7 symetrie součsně rovnováh

PRUŽNOST PEVNOST 5 ) Rám můžeme uvolnit i opčně (vetknout v bodě řešit v bodě B). Toto uvolnění není z hledisk prcnosti výhodné, le je možné. V tom přípdě nesmíme zpomenout, že n původním rámu v bodě B n epůsobil žádná osmělá síl (spojité ztížení je po celé délce), tk opět NB =? TB = MB =? qo 4. Rám je ztížen dvěm silmi. bod Tento rám má dvě osy symetrie, bude stticky neurčitý stčí řešit jen jeho jednu čtvrtinu. Sílu T určíme opět ze symetrie M =? z rovnováhy v bodě : T = /. Sílu N určíme ze symetrie z rovnováhy: N =. součsně rovnováh Zbývá tedy jediný neznámý moment M, ten určíme z deformční podmínky:. 5. Rám je ztížen čtyřmi silmi. v tomto přípdě se již nesnižuje sttická neurčitost, jen by stčil T řešit = / pouze N = / jedn osmin rámu (většinou všk řešíme celou čtvrtinu),) M =? stnovíme pomocí tří sttických rovnic rovnováhy složkových nebo momentových) symet : N = N = T = / Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 6 6. Rám s poddjnou příčkou (E ) je ztížen dvěm silmi. bod B Tento rám má dvě osy symetrie, le ještě má jednu příčku bude tedy stticky neurčitý. Stčí sice řešit jen jeho jednu čtvrtinu, le příčk vnáší dlší neznámou TB = Rpř. NB = Zbývjí tedy dv neznámé vnitřní účinky - moment MB rekce v příčce Rpř.. Ty určíme ze dvou deformčních podmínek: MB =? TB =? E/ příčk uvžujeme jen ¼ E = konst. příčky, protože i n příčce. Sílu NB určíme ze symetrie zbývjící čtvrtiny z rovnováhy: NB = ptří k dlším. / N celou příčku tedy působí n obou koncích síly o TB TB PŘÍKLD 8.. (TENKÝ RÁM SE DVĚM OSMI SYMETRIE): Dáno: Tenký rám tvoří dvě polokružnice spojené přímými částmi v protilehlých bodech E je ztížen osmělými silmi. Určit: Zvětšení E střední vzdálenosti E v důsledku ztížení silmi, znáte-li rozměr r je-li EJz = konst.. B C D r r r E P Řešení: Rovinný rám je obecně stticky neurčitý, le kždá os symetrie snižuje neurčitost o jeden stupeň (mimálně le o ). Náš rám má právě dvě osy symetrie, tk bude jedenkrát stticky neurčitý stticky neurčitým účinkem je v těchto přípdech vždy vnitřní ohybový moment M. Vzhledem k symetrii stčí řešit pouze ¼ tohoto rámu jko vetknutý křivý prut s volným koncem, n který připojíme vnitřní účinky T, N M. Hodnoty T N musíme určit s využitím symetrie stticky neurčitý moment M pomocí deformční podmínky. Obecně eistují dvě možnosti uvolnění řešení tohoto tenkého rámu. My vzhledem k dlšímu zdání prut vetkneme v bodě C, do bodu připojíme vnitřní účinky N, T M doplníme deformční podmínku: =. Ze symetrie nepůsobí nic do svislého směru N =. Ze symetrie se síl rozdělí n obě části stejně T = /. r T = / N "" = M B C Nyní vyjádříme deformční podmínku pomocí Mohrov integrálu přes pole BC: Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 7 Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7 ] [ [""] ] [ ] [ [""] ] sin [ π r z d r M d r r M J E π r M. Deformci E = u určíme tké pomocí Mohrov integrálu přes pole -B-C, do kterého dosdíme z stticky neurčitý moment M vypočtenou velikost připojíme jednotkovou sílu:. ] [ ] "" [ ] [ ] [ ] sin "" [ ] sin [ π z r z J E r d r r M d r r r M J E E Poznámk: Druhý způsob uvolnění: Křivý prut vetkneme v bodě do bodu C připojíme vnitřní silové účinky N C, T C M C doplníme deformční podmínku: C =. Ze symetrie k vodorovné ose vychází N C = / ze symetrie ke svislé ose ze zákon kce rekce vychází T C =. Deformční podmínku vyjádříme opět pomocí Mohrov integrálu přes pole CB: ] [ [""] )] cos ( [ ] [ [""] ] [ π d r r M d M J E r z C C C π) ( π) ( r M C. Správnost výsledku ověříme pomocí momentové rovnice v místě ze složek v místě C: C C M r N M r r r M π π) ( π) ( (odpovídá předchozímu výsledku). B NC = / MC TC = C "" B T = / C "" M = r +

PRUŽNOST PEVNOST 8 VZOROVÉ PŘÍKLDY Z TESTŮ: Dáno: T; ; ; EJ = konst. Určit: Mo m (polohu velikost) T Dáno: ; ; EJ = konst. Určit: Mo m (polohu velikost) nebo / / Dáno: ; R; EJ = konst. Určit: Mo m (polohu velikost) R EJ = konst. Vetknutý lomený (prvoúhlý) tenký křivý prut s volným koncem B ztížený ve svém vrcholu C osmělým momentem M. Prut je vyroben z tyče čtvercového průřezu o strně c mteriálu s mezí kluzu K. Dáno: M ; ; c ; E ; K. Určit: Mo m, kk (bezpečnost vůči mezi kluzu K), deformce koncového bodu B: ub, vb B. c C M B Vetknutý (bod ) tenký křivý prut ve tvru půlkružnice o poloměru r s volným koncem B je ztížený ve svém vrcholu C osmělým momentem M. Prut je vyroben z ocelové tyče čtvercového průřezu. Dáno: M = 5 Nmm ; r = mm ; c = mm; E = 5 Nmm - ; K = 5 Nmm -. Určit: Mo m, kk (bezpečnost vůči mezi kluzu K), deformce koncového bodu B: ub, vb B. c C M r B Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 9 VZOROVÉ PŘÍKLDY Z TESTŮ - POKRČOVÁNÍ: Tenký rám ve tvru čtverce o strně je ve vodorovném směru ztížen protilehlými spojitými ztíženími qo (viz obrázek). Dáno: qo ; ; EJ = konst. Určit: Vnitřní účinky v bodě B: TB ; NB ; MB. qo B qo EJ = konst. Tenký rám ve tvru kružnice o poloměru r je ve vodorovné ose -C ztížen protilehlými silmi (viz obrázek). Dáno: ; r ; EJ = konst. Určit: ) Vnitřní účinky v bodě : T ; N ; M, b) Vnitřní účinky v bodě B: TB ; NB ; MB. EJ = konst. B D r C Tenký rám ve tvru čtverce o strně je ve vodorovné ose -C ztížen protilehlými silmi (viz obrázek). Dáno: ; ; EJ = konst. Určit: ) Vnitřní účinky v bodě : T ; N ; M, b) Vnitřní účinky v bodě B: TB ; NB ; MB. EJ = konst. B D C Tenký rám ve tvru čtverce o strně je ve vodorovné ose -C) ztížen protilehlými silmi (viz obrázek). Dáno: ; ; EJ = konst. Určit: ) Vnitřní účinky v bodě : T ; N ; M, b) Vnitřní účinky v bodě B: TB ; NB ; MB. EJ = konst. B C D Tenký rám ve tvru kružnice o poloměru r je jk ve vodorovné ose -C tk i ve svislé ose B-D ztížen protilehlými silmi ). Dáno: ; r ; EJ = konst. Určit: ) Vnitřní účinky v bodě : T ; N ; M, b) Vnitřní účinky v bodě B: TB ; NB ; MB. B r C EJ = konst. D Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 4 9. ÚVOD DO EXPERIMENTÁLNÍ P&P Při tlkové zkoušce zkušebního těles (viz dolní obrázek) o středním průměru Ds = 86 mm s nominální tloušťkou stěny tnom = mm o délce 7 m vyrobeného z oceli oznčené X6 (E =, 5 Nmm - =,) byl pro přesné stnovení nominálního stvu npjtosti ve stěně potrubí ve střední části zkušebního těles ninstlován tenzometrický kříž HBM 6/ XY9 orientovný do hlvních směrů. SNÍMČ TLKU Tlk Deformce Číslo p t o měř. [MP] [ -6 ],, 5 7, 69 5 4, 45 99 5 4, 57 5 Toto je kpitol, která doplňuje zákldní znlosti pružnosti pevnosti o část eperimentální, protože ne všechno lze spočítt. Zde se budeme věnován zejmén odporové tenzometrii optickým metodám stnovení npětí resp. deformcí těles. Část věnovná odporové tenzometrii je přehledem toho nejdůležitějšího, co je třeb o této oblsti vědět. Podrobně se tenzometrii věnuje předmět Eperimentální nlýz npětí, který je součástí výuky oboru plikovná mechnik. Část věnovnou optickým metodám čerpá ze strších skript Pružnost pevnost Lbortorní cvičení je doplněn o moderní pozntky z různých zdrojů prcovišť zbývjících se optickými metodmi. Historie tenzometrie:. ODPOROVÁ TENZOMETRIE Máme-li hovořit o odporové tenzometrii, je třeb vrátit se hodně do minulosti. Musíme si při té příležitosti připomenout jednotlivá význmná dt, důležitá i pro řdu jiných vědních oborů než jen pružnost pevnost. Součsné trendy jsou změřeny zejmén n zpřesňování měření následně n oblst vyhodnocovcí. To všk neznmená, že by byl odporová tenzometrie uzvřenou eperimentální metodou, spíše nopk. Stále se objevují nová řešení zejmén v oblsti zprcování měřeného signálu tenzometrická měření se stl běžnými n řdě prcovišť. Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 4... jk to vlstně všechno zčlo? Rok Obrázek Událost XV. ž XVII. stol. 66 87 Pt K u Náčrt od Leonrd d Vinci E Thový digrm konstrukční oceli Jedním z prvních učenců, kteří se zbývli otázkmi pevnosti, byl itlský renesnční umělec, myslitel vynálezce Leonrdo d VINCI (45-59), který řdu svých návrhů doplňovl jednoduchými pevnostními kontrolmi. Oprvdový zčátek pružnosti pevnosti jko vědní disciplíny je všk spojen ž se jménem itlského vědce Glileo GLILEI (564-64), který působil v Pdově jko profesor mtemtiky byl prvním, kdo se zbývl otázkou pevnosti nosníků provedl i celou řdu prktických eperimentů ztěžování vetknutých nosníků ž do jejich porušení. Dlší vědci již nedoshovli věhlsu těchto dvou. Britský přírodovědec fyzik Robert HOOKE (65 7) jko první objevil závislost mezi npětím deformcí (66), kterou roku 87 popsl Thoms YOUNG (77 89) je znám jko Hookův zákon jeho nejznámější tvr je pro jednoosou npjtost:, E kde E znčí modul pružnosti nebo Youngův modul pružnosti.... jk to šlo dál? Rok Obrázek Událost Následné období 84 856 Huggenbergerův tenzometr ~ Schém Whestoneov můstku Vzth deformce - npětí je využíván pro vyhodnocování hodnot nměřených mechnickými "tenzometry". Ty prcují n principu pákových převodů zvětšujících deformce do sledovtelné velikosti. Zákldní nevýhody těchto snímčů jsou: vzhledem k velikosti zákldny nelze měřit lokální hodnoty, měřený objekt musí být vzhledem k pozorovteli v klidu, vzhledem ke způsobu odečtu lze měřit jen sttické děje, k měřenému povrchu musí být reltivně dobrý volný přístup, není možná utomtizovná registrce měřených hodnot jejich následné zprcování V polovině XIX. století je objeven elektrická energie její vlstnosti. Okmžitě dochází ke snhám využít tyto vlstnosti k měření různých veličin, tedy i deformcí. Pro dlší vývoj měly význm zejmén dv objevy, které se po mnoh letech upltnily v tenzometrii. Brit Chrles WHESTONE (8-875) popsl princip můstkového zpojení odporů jeho plikci ve fyzice, Brit Willim THOMSON (84 95), známý spíše jko Lord Kelvin, popsl Thomsonův jev vedení proudu vodičem. Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 4... jk to šlo dál? 9 ž 98 94 95 měřící vinutí lepené n ppíře ochrnná krycí látk izolátory s vyvedenými vodiči 4 pomocná výztuh (odstrní se) 5 přívodní vodiče 4 5 Rugeho tenzometr mm Drátkový tenzometr (Mikrotechn M) mm M óliový tenzometr (HBM -LY-6/) V US prcují dv vědci zbývjící se problemtikou měření mechnických veličin pomocí elektrického proudu, kteří prkticky ve stejné době docházejí k principu funkčního odporového tenzometru: Edwrd E. SIMONS v Klifornii nlepil tenký drát n povrch válečku sledovl elektrickou odezvu n ztížení válečku, rthur C. RUGE v Msschusetts jko první použil skutečné odporové tenzometry, které lepil n dn nádrží. Celý vývoj dovedl ž do fáze prktické plikce, to i n dynmické problémy. V Evropě probíhly pokusy n bázi Thomsonov efektu zejmén v Německu. Elektrotechnická společnost EG zde prováděl pokusy s měřením pomocí uhlíkových pásků, le tto metod se neosvědčil. Letečtí konstruktéři velice brzy zčli využívt odporové tenzometry při zkouškách nových konstrukcí, tk zčíná sériová výrob tenzometrů. V roce 94 je během dvou měsíců v US vyroben série 5 kusů tenzometrů v podobě, která přežil řdu následujících let s minimem úprv ž do součsnosti. U nás dříve drátkové tenzometry vyráběl podnik Mikrotechn Prh. Německý inženýr Pul EISLER poprvé předvedl technologii tištěných spojů. Tto technologie se okmžitě upltnil i v odporové tenzometrii, kdy již nebylo třeb n nosné médium lepit mendr vytvořený z drátku, le bylo možno přímo n nosné médium (nejčstěji fólie z plstu) nnést "vinutí" poždovného tvru podle potřeby určení tenzometru.... jk je to v součsnosti? Rok Obrázek Událost 954 Následné období ž XXI. století, mm 6 mm Polovodičový tenzometr (VZLÚ SP-7-6-) mm Snímčový tenzometr (HBM -KY4-6/5), mm meričn C. S. SMITH popsl piezoelektrický efekt polovodičů. Tento efekt byl následně využit k měření mlých deformcí. Nejprve to byly tenké pásky germni později křemíku. Tyto tenzometry jsou používány dodnes jejich předností je velká citlivost tedy použitelnost při měření velmi mlých deformcí. Nevýhodou je vyšší cen kvlittivně vyšší nároky n měřící prturu., zejmén n její přesnost Stále nové technologie ncházejí upltnění v měřících metodách. Sem ptří npř. technologie npřování, kdy je měřící vrstv přímo nnesen n měřený povrch součásti. Jedná se všk spíše o ojediněle používný způsob měření. irm HBM zse uvedl n trh v devdesátých letech tenzometry třídy K, které jsou určeny pro výrobu přesných měřících prvků. Dnes již eistuje celá typová řd tenzometrů této třídy. Postup instlce těchto tenzometrů je shodný s běžným fóliovým tenzometrem. Dlší vývoj se změřuje zejmén n zpřesnění měřící prtury n následné zprcování dt. Princip odporového tenzometru: Slovo tenzometr sice vychází z ltinského slov tensó, což v překldu znmená npětí, le jk záhy zjistíte o npětí zde ve skutečnosti nepůjde. Některá cizojzyčná vyjádření téhož zřízení jsou podsttně šťstnější výstižnější, le některá jsou stejně zvádějící jko v češtině: Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 4... jk to kdo říká? Kdo? Jk? co to doslov znmená? ngličn Strin guge snímč deformce Němec der Dehnungmeßstreif (DMS) pásek měřící prodloužení Slovák tenzometer měřič npětí rncouz le tensiomètre měřič npětí Rus тензометер [tjenzométěr] měřič npětí Zákldní princip tenzometru je postven n znlostech z počátků pružnosti pevnosti n znlostech z počátků klsické elektrotechniky. Simeon Denis POISSON žil v letech 78 ž 84. utor můstkového zpojení Chrles WHESTONE žil v letech 8-875 Lord KELVIN, který popsl Thomsonův jev, žil v letech 84-95. Nicméně ke vzájemnému propojení těchto pozntků došlo ž o mnoho let později. meričné Edwrd E. SIMONS v Klifornii rthur C. RUGE v Msschusetts v letech 9 99 nezávisle n sobě využili změny odporu vodiče v důsledku jeho deformce k prktickým měřením. ž teprve v roce 94 byl poprvé zhájen velkosériová výrob zbytek je vlstně už součsnost obecně lze tedy princip odporového tenzometru odvodit n zákldě mtemtiky, elektrotechniky pružnosti.... jk to funguje? Elektrotechnik Odpor vodiče: R, kde: je měrný odpor [m] je délk vodiče [m] je ploch průřezu [m ] Tké le pltí: = (T), kde T je teplot. Pk tedy: T Poissonův zákon: Pružnost pevnost př, pod kde: pod je podélná deformce [], př je příčná deformce [], je Poissonovo číslo []. Pk tedy: pod př b b př. resp. pod b b. pod Mtemtik Dojde-li k ztížení vodiče v podélném směru, dojde v tomto směru k jeho prodloužení v příčném směru k jeho zkrácení. Tím se smozřejmě změní jeho výsledný odpor. Tuto změnu můžeme zpst ve tvru: d d dr d d d d Předpokládáme-li nezávislost n ztížení nedojde-li během uvžovného děje ke změně teploty T, budeme tedy moci uvžovt d = pk tedy: dr d d. resp. v diferencích R Pro = b pltí =b + b + b při znedbání diferencí vyšších řádů dostáváme: =b + b. Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 44... jk to funguje dohromdy? Pružnost pevnost + elektrotechnik + mtemtik dohromdy Změn průřezu bude při využití Poissonov zákon tedy rovn: b ( b) pod Nyní vše dosdíme do rovnice pro změnu odporu: pod pod R Zvedeme-li nyní poměrnou změnu odporu jko poměr změny odporu R ku původní hodnotě R dostáváme: pod R pod R pod pod Odporová tenzometrie R k pod R Veličin k se nzývá k-fktor tenzometru. Z předpokldu plstického chování mteriálu, ze kterého je vyrobeno vinutí tenzometru, lze předpokládt hodnotu Poissonov čísle,5. Pk le (+). Přesnou velikost k-fktoru udává kždý výrobce individuálně nejčstěji pro jednotlivé blení. pod Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 45 Instlce tenzometru: V první řdě je třeb uvést n prvou míru formulci nlepení tenzometru. Lepí se známky n dopisy, le tenzometry si instlují, což je širší pojem lepení je jen jednou z jeho částí. Tenzometr je třeb propojit s prturou náležitě zbezpečit proti všem možným nástrhám prostředí. Instlce tedy znmená sled určitých dějů, které by měly být prováděny v dném pořdí s nejvyšší možnou pečlivostí. Již od prvních kroků instlce se totiž rozhoduje o přesnosti následujícího měření. Není proto vhodné tuto fázi uspěcht n úkor pečlivosti, neboť čsový zisk v tomto okmžiku je jen zdánlivý mnohonásobně se nám vymstí při vlstním měření následném zprcování nměřených hodnot.... jk tedy n tenzometr? kce Obrázek Popis P Ř Í P R V ( I ) Příprv měřeného objektu Prvotní rozměření součásti V této fázi se snžíme přibližné měřené místo zbvit nejhorších nečistot, kterými může být v přípdě měření v terénu npř. i hlín. Je potřeb s rozmyslem umístit měřený objekt tk, by by byl možný dobrý přístup ke všem plánovným měřeným místům. Musíme tké vést v ptrnosti, zd nebude třeb objekt před vlstním měřením vrátit do původní polohy nebo ho dokonce trnsportovt n jiné místo, kde proběhne vlstní měření. Je-li měřený objekt nehybný, je třeb si v okolí měřených míst vytvořit dosttečný prostor pro sndný přístup k těmto místům (npř. odstrněním izolce, odpojení přípojných zřízení pokud to situce dovoluje, ). Poté provedeme prvotní rozměření, kdy si oznčíme míst, km chceme instlovt tenzometry. Tké musíme zkontrolovt, jestli tto míst nekolidují s jinými prvky (npř. poškození povrchu v důsledku mnipulce,...). P Ř Í P R V ( I I ) Hrubá příprv povrchu Zejmén při měření v provozních podmínkách může být povrch výrzně zkorodovný nebo npř. optřen silnou vrstvou ochrnného nátěru. V tkovýchto přípdech musíme nejprve nhrubo odstrnit rez nebo brvu. Používáme k tomu ruční brusky s kotouči různé hrubosti, ocelové krtáče různá rozpouštědl nebo ředidl. I po broušení bruskou povrch očistíme (setřeme) cetonem nebo jiným ředidlem. Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 46... jk dál? kce Obrázek Popis P Ř Í P R V ( I I I ) Příprv potřebného vybvení Očištění potřebného nářdí Jemná příprv povrchu Orýsování měřených míst Nejprve si připrvíme všechny potřebné pomůcky do blízkosti měřeného míst, bychom již nemuseli zbytečně přerušovt instlci. Co tedy budeme potřebovt: jemný smirkový ppír, odmšťovcí roztok, tmpony, tenzometrické lepidlo, tenzometry, fólii k zkrytí tenzometru při vytvrzování nůžky, pinzetu, rýsovcí jehlu, izolepu, měřítko nebo prvítko. Od tohoto okmžiku je třeb během celé instlce dbát n čistotu, která výrzně ovlivňuje kvlitu připrvovného měření. Je vhodné jednk před vlstní instlcí v přípdě dlouhotrvjící instlce i v jejím průběhu očistit veškeré nástroje, které používáme. Stejně tk bychom měli očistit i místo, km budeme nástroje pokládt. Důležitá je i čistot rukou, proto je vhodné i je očistit před zčátkem instlce nebo i následně během ní. V této fázi je třeb vyhldit nhrubo očištěný povrch, zbvit ho všech ostrých hrn zbylých mechnických korozních nečistot. K tomuto účelu je vhodné použít jemný smirkový ppír přípdně jemné brusné kotoučky. Snžíme se při tom brousit pouze očištěnou oblst, bychom si z okolního neočištěného povrchu nennesli zpět nečistoty. Je vhodné i při jemném broušení čistit obroušený povrch mezi jednotlivými broušeními pomocí odmšťovcího roztoku. Je-li třeb orýsovt vyčištěný prostor, je třeb to provádět rýsovcí jehlou, le jen tk, bychom n obroušeném povrchu nevytvořili nové ostré hrny. Toto orýsování by již mělo odpovídt přesně plánovným místům pro instlci tenzometrů, protože podle těchto znček budeme orientovt vlstní tenzometry při jejich lepení do zvolených míst. Rozměry tkto orýsovného povrchu bychom si měli zpst do dokumentce, resp. do protokolu o měření. Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 47... jk dál? kce Obrázek Popis P Ř Í P R V ( I V ) Konečné odmštění očištění povrchu Zde již používáme čisticí roztoky, které doporučuje výrobce tenzometrů. Některé firmy dodávjí univerzální čisticí roztoky, jiné kombinují npř. dv roztoky. Povrch čistíme tmpóny vždy jen v jednom směru pro nové nnesení roztoku použijeme vždy nový tmpón. Použití vty nebo obdobných prostředků není vhodné, neboť znechávjí n povrchu drobné chloupky nebo části vláken, které způsobí šptné přilepení tenzometru. L E P E N Í ( I ) Přenos konečná loklizce tenzometru Nnesení tenké vrstvy lepidl Vlstní lepení Při této operci se snžíme ustvit tenzometr do správného míst fiovt jeho orientci pro následné lepení při tom minimlizovt možnost jeho poškození nebo kontktu s rukou. Používáme k tomu izolepu, n kterou přiložíme tenzometr horním povrchem mnipulujeme pouze s touto izolepou. Pro fici zvolené polohy izolepu n jedné strně pevně přitiskneme druhou necháme volnou pro mnipulci při nnášení lepidl při vlstním lepení. Volný konec izolepy ndzvedneme tk, by byl přístup ke spodní strně tenzometru hlvně k měřenému povrchu. N povrch pk nneseme mlé množství lepidl, které roztáhneme do tenké vrstvy pod celým tenzometrem. Je třeb, by vrstv byl co možná nejtenčí, le zároveň v celé ploše. Přípdná volná míst totiž vyplní vzduchové bubliny, které znehodnocují nlepení le i celé měření. Mlé množství lepidl, které vyteče mimo okrj tenzometru, není n závdu. Plynule přiklápíme tenzometr pomocí nlepené izolepy k povrch při tom prstem (nejlépe plcem) přitlčujeme přes krycí fólii tenzometr k měřenému povrchu zároveň vymčkáváme přebytečné lepidlo. Tlk prstu vyvozujeme pokud možno kolmo k po-vrchu, bychom nezpůsobili boční posuv tenzometru z předem zvoleného míst. Tlk provádíme nejlépe přes slbou plstovou fólii (dříve se užívl tenký cigretový ppír), bychom se smi "nepřilepili". Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 48... jk dál? kce Obrázek Popis L E P E N Í ( I I ) Vytvrzení lepidl Odstrnění izolepy Kždé lepidlo vyžduje určitou dobu ke svému vytvrzení, kterou udává výrobce v návodu. Tto dob je závislá n druhu použitého lepidl zejmén n teplotě. Lepidl pro běžné účely se vytvrzují při běžných teplotách po dobu zhrub minuty. Při nižších teplotách pk dob vytvrzování roste. Lepidl pro speciální účely vyždují delší dobu vytvrzování při vyšších teplotách. Zde pk používáme různé pomůcky k fici po celou dobu vytvrzování. Nyní by měl být tenzometr již pevně fiován k měřenému povrchu pomocná izolep již není třeb. U tenzometrů bez vývodů by bránil přístupu ke svorkovnicím u všech tenzometrů komplikuje jejich zkrytí lky krycími prostředky. Odstrňujeme ji táhlým pomlým pohybem, bychom tím nepoškodili tenzometr, zejmén pokud má již přívodní drátky. Je to první test kvlity nlepení, protože zůstne-li tenzometr n izolepě, byl nlepen šptně! D O K O N Č O V Á N Í ( I ) Připojení vodičů Kontrol tenzometru U tenzometrů bez přívodních vodičů se kbely letují přímo n svorkovnice, které jsou součástí tenzometru. Tyto vodiče je pk vhodné v blízkosti tenzometru fiovt k povrchu součásti, by je nebylo možno sndno odtrhnout ze svorkovnice. U tenzometrů s vývody je vhodné nlepit do blízkosti tenzometru pomocnou svorkovnici, teprve k ní připojit přívodní vodiče k prtuře. Vývody tenzometru ke svorkovnicí je vhodné odizolovt. Při mnipulci s tenzometrem může dojít v průběhu instlce k porušení vinutí nebo ke vzniku studeného spoje při letování. Proto je vhodné tenzometr i jeho přívodní vodiče překontrolovt ohmmetrem. Výrobcem je udáván nominální odpor tenzometru ( nebo 5), který nesmí instlce výrzně ovlivnit. Toto není kontrol správné instlce tenzometru, le jen kontrol elektrické funkčnosti nlepeného tenzometru. Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 49... jk dál? kce Obrázek Popis D O K O N Č O V Á N Í ( I I ) Připojení tenzometru k prtuře Zkrytí tenzometru Nyní již můžeme nlepený odzkoušený funkční tenzometr připojit k tenzometrické prtuře. Pro správný způsob připojení je třeb znát pokyny výrobce dodávné k použité prtuře. V dnešní době je běžné vícedrátové připojení kždého měřicího míst. Díky této technologii si měřicí prtur sm sepruje odpor přívodních vodičů, které mohou tk být hodně dlouhé, od odporu vlstního tenzometru tím výrzně zpřesní měření. Tto operce má několik důvodů: chrání tenzometr proti mechn. poškození, chrání před vlivem vzdušné vlhkosti, působí jko částečná tepelná ochrn. K zkrytí se používjí různé vosky tmely nebo rychleschnoucí pružné lky nebo příprvky n bázi silikonové gumy. Tkto chráněný tenzometr je možno ještě dále zkrýt pro lepší teplotní mechnickou ochrnu plstovou nebo kovovou fólií, kterou dodávjí různí výrobci. Poznámky: V přípdě jkékoliv pochybnosti o kvlitě ninstlovného tenzometru je vhodné ihned v této fázi tenzometr odstrnit n jeho místo ninstlovt nový tenzometr. Tento postup vyžduje sice dlší práci s instlcí, le tto vynložená práce se bohtě vrátí při zprcovávání "spolehlivých" výsledků získných z kvlitně ninstlovných tenzometrů. Při odstrňování reinstlci tenzometru je třeb dbát zvýšené pozornosti, bychom nepoškodili okolní tenzometry, le nopk povrch měřené součásti je třeb připrvit stejně pečlivě nebo ještě pečlivěji než při první instlci je třeb vyvrovt se chyb, které znehodnotili pr vní instlci. HBM -LY-6/ Vishy CE-XX-75UW- HBM -XY4-6/ (vše zvětšeno cc 5) HBM -LY-/ Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 5 Tenzometrické prtury HBM Při lbortorních cvičeních n zčátku výuky předmětu Pružnost pevnost II budete v lbortořích mimo jiné používt sttickou tenzometrickou prturu UPM 6. Tto prtur je prezentován jko mnohomístný měřící přístroj", což je doslovný překld německého originálu Vielstellen-Messgerät". U nás je běžnější oznčení měřící ústředn" toto oznčení bude používáno i ndále. Ústředn UPM 6 je jednou z řdy ústředen firmy HBM oznčených UPM 4, UPM 6 UPM. Přímým pokrčovtelem třídy UPM je prtur Centipde (viz obr.). Číslo v názvu ústředny určuje počet měřících knálů. Vzestupně je tké uspořádán komfort ovládání jednotlivých prtur. Nejjednodušší ústřednou je UPM 4 má proti nejsložitější UPM možnosti znčně omezenější. HOTTINGER BLDWIN MESSTECHNIK UPM 4 UPM 6 UPM POWER TRNSER ERROR Centipde Tenzometrické prtury HBM Měřící ústředn UPM 6 je konstruován pro připojení mimálně 6 měřených míst. HBM N r. HBM VIELSTELLEN -MESSGERÄT UPM 6 N r. D MV 9 5 + 58 DTE 6.8.94 TIME 4::5 TIME 4 : 55 : + 4578 UM/M - 7897 UM/M ERROR 4 + 54 UM/M e t. 5 Hz 5 khz in t. UMH 9 UMH 9 UMH 9 UMH 9 UMH 9 UMH 9 N r. N r. N r. N r. N r. N r. 6 zesilovčů UMH Centrální zesilovč CPU + rozhrní V 5 Hz Ústředn UPM 6 Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 5 Zprcování nměřených hodnot: Jestliže se nám podřilo tenzometricky nměřit poždovná dt, nstává otázk, co s nimi dál. Eistují smozřejmě přípdy, kdy přímo nměřené deformce jsou výsledkem pk již není třeb je dál zprcovávt, le stčí je jen vhodně prezentovt, což bude popsáno v následujících kpitolách. Čstější jsou všk přípdy, kdy tenzometricky nměřené deformce jsou pouze prostředkem k získání dlších informcí o chování součásti. Nejčstějším přípdem je popis pole npjtosti v měřených místech. V těchto přípdech musíme zjistit, zd vyšetřovný stv bude ještě v elstické - lineární oblsti nebo již bude v plstické - nelineární oblsti. V prvním přípdě eistuje poměrně jednoduchý nástroj převodu nměřených deformcí n npětí - Hookův zákon, to ť v jednoduché podobě vhodné pro jednoosou npjtost tk v rozšířeném tvru vhodném pro víceosou npjtost. Ve druhém přípdě již tk jednoznčný postup neeistuje pro vyhodnocení nměřených deformcí v plstické oblsti je třeb přijmout některou z obecnějších teorií, které jsou všk znčně složité v rámci těchto skript se jim nebudeme věnovt. jk vyhodnotit signál? Npjtost Obrázek Výpočtové vzthy Popis Jednoosá známe směr Dvojosá známé směry Kříž - 9 Poznámk: Pokud bychom neznli směr npětí, museli bychom postupovt jko při obecné dvojosé npjtosti. Hookův zákon: E nměřená deformce E modul pružnosti v thu Poznámk: Budou-li nměřené deformce v [i] je výhodné modul pružnosti převést E n eponenciální tvr s eponentem 6. Ve výpočtu se tk mocniny zkrátí ten bude npř. pro ocel: [MP] =, [i]. Rozšířený Hookův zákon E v E v nměř. def. ve směru nměř. def. ve směru E modul pružnosti v thu Poissonovo číslo Poznámk: Pltí totéž co v přípdě jednoosé npjtosti, protože v [] výpočet rozměrově nijk neovlivní. Nejjednodušší přípd npjtosti, který vzniká npř. při čistém thu nebo tlku nebo při ohybu při jejich vhodné kombinci. V těchto přípdech vystčíme s instlcí jednoduchých tenzometrů. Výsledný signál je přímo použitelný pro dlší zprcování výpočty npětí. Npjtost, která vzniká npř. ve stěně tenkostěnných le i silnostěnných nádob v dosttečné vzdálenosti od den hrdel. V těchto přípdech je třeb instlovt dv tenzometry nebo tenzometrický kříž se dvěm kolmými vinutími. Výsledné signály doszujeme přímo do rozšířeného Hookov zákon. Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 5... jk dál? Npjtost Obrázek Výpočtové vzthy Popis Dvojosá neznámé směry Růžice - 45-9 Růžice -6-9 45 Výpočet hlvních deformcí s 9 9 r 45 9 s r s r. nměř. def. ve směru 45 nměř. def. ve směru 45 9 nměř. def. ve směru 9 s. střed Mohrovy kružnice r. poloměr Mohrovy kružnice Tyto růžice nejsou tk běžné jko předchozí, proto uvedeme jen zákldní vzthy: Obecný přípd npjtosti, která vzniká ve složitějších konstrukcích. V těchto přípdech je třeb instlovt tři smosttné tenzometry nebo tenzometrickou růžici se třemi vinutími (po 45 nebo po 6 ). Výsledné signály doszujeme nejprve do trnsformčních vzthů teprve poté vypočtené hlvní deformce do rozšířeného Hookov zákon., s r, kde 6 r 6, 6 jsou nměřené poměrné deformce ve směrech, 6. s 6 Grficky lze výpočty hlvních deformcí z tenzometrické růžice 45 9 vyjádřit pomocí Mohrovy kružnice v souřdnicích -/: / 9 9 45 9 S 45 9 r 9 45 Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 5 Nyní, když známe velikosti hlvních deformcí, je třeb ještě stnovit jejich orientci podle vzthu: tg 45 9, který stnoví velikost úhlu mezi původními směry resp. 9 směry hlvní deformce. Orientce úhlu je dán velikostmi vstupních hodnot deformcí, 9 45. Orientce úhlu se určuje v závislosti n velikosti čittele jmenovtele zákldního vzthu: 9 jk se otáčí hlvní rovin? tg 45 9 9 Č I T T E L 45 9 45 9 45 9 J M E N O V T E L 9 9 9 9 9 9 Všechny nměřené deformce, 45 9 jsou stejné, tedy kterýkoliv směr je hlvní. Úhel tk může nbývt jkékoliv hodnoty. V přípdě vyhodnocení obecné rovinné npjtosti vždy musíme použít rozšířený Hookův zákon předpokld, že směry hlvních deformcí směry hlvních npětí jsou totožné (viz PP I): E v 45 45 = 45 45 v 9 9 E 45 45. 9 9 9 45 45 = 45 45 vypočtená první hlvní deformce (směr ), vypočtená druhá hlvní deformce (směr ), E v modul pružnosti v thu Poissonovo číslo. Poznámk: Pltí totéž co v přípdě jednoosé npjtosti, protože v [] výpočet rozměrově nijk neovlivní. Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 54 Rozměr tenzometru měření Nevýhodou je reálný rozměr vinutí tenzometru, které tím pádem měří integrální hodnotu deformce po celé své délce. To může být nevýhodné zejmén v přípdech velkých grdientů npětí resp. deformcí v měřeném tělese tk, jk je to nznčeno pro tenzometry se zákldnou mm. chyb měř. Rozdíl výsledků měř. chyb [mm] [mm] mm mm PŘÍKLD 8. (TENZOMETRIE VYHODNOCENÍ NMĚŘENÝCH DT): Dáno: Při měření tenzometrickou růžicí ( 45 9 ) byly v dném místě zkoumné součásti nměřeny deformce: = 694 i, 45 = 8 i 9 = 5 i. Tto součást je vyroben z oceli (E =, 5 Nmm -, v =, K = 4 Nmm - ). 45 P Určit: Hlvní npětí, redukovné npětí red. podle teorie MX včetně směrů celkovou bezpečnost kk vůči mezi kluzu. Řešení: Nměřené deformce je zvykem uvádět v mikrojednotkách ( i m/m -6 ) do vzthů pro výpočet npětí musíme doszovt skutečné hodnoty po přepočtu: 866 6 694 ( 5) 694 ( 5) 694 ( 5) 6, ( 8). 6 44 694 ( 8) ( 5) tn( ),988 6. 694 ( 5), E,,,, 5 866, ( 44),, 5 6 7,5 N mm 6 ( 44), 866 7,9 N mm MX τ red. m min 7,5 ( 7,9) 8,4 N mm MX K, 5 9. 4 k. 8,4 Poznámk: Nezpomeňte, že řešíme rovinnou npjtost ( = ), mohou tké nstt dlší dv přípdy: Pro > > bude red =, resp. pro < < bude red =. Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 55 PŘÍKLD 8. (TENZOMETRIE NÁVRH SILOMĚRU N BÁZI TENZOMETRŮ): Dáno: Jednoduchý siloměr je určen pro měření síly m = 5 N, jeho zákldní rozměry jsou: D = mm, d = mm je vyroben z běžné oceli (E =, 5 Nmm -, v =, Re = 5 Nmm - ). P Určit: Mimální velikost výstupního signálu U m, je-li snímč npájen konstntním npětím UB = 5 V. Při výrobě byly použity čtyři shodné jednoduché fóliové tenzometry s k-fktorem k =,5. Řešení: Snímč využívá celomostového zpojení s využitím Poissonov vzthu. Čtyři tenzometry jsou instlovány n vnitřním povrchu střední části mezikruhového profilu. Velikost plochy průřezu v tomto místě je: π D d π 65 mm. 4 D 4 Zákldní vzth popisující poměr výstupního ku vstupnímu npětí má pro celomostové zpojení tvr: U R R R4 R4. U R R R R R R R R B Pro mlé změny odporů Ri, při použití vzthů pltných pro tenzometry 4 i 4 R R k pro stejné k- fktory použitých tenzometrů (k k k k4 k) dostáváme poměr vstupního výstupního npětí již jko funkci čtyř tenzometry měřených deformcí,, 4: U U 4. B 4 k Při doszení vzthů pltných pro th/tlk: E E dostáváme výsledek: U U Mimální síl vyvolá ve střední části npětí:,, B k 4 E, ( v),4 v, m, 9N mm.. 5 65 i i i Hledné výstupní npětí pk bude mít velikost: U m k ( v) U 4 E B,5 9 (,) 5,887 V 5 4, PŘÍKLD 8. (TENZOMETRIE NÁVRH SILOMĚRU N BÁZI TENZOMETRŮ): Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7. P

PRUŽNOST PEVNOST 56 Dáno: Rozměry ocelového (E =, 5 Nmm - =,) snímče krouticího momentu jsou D = 6 mm d = 4 mm. Podle obrázku byl ve střední části ninstlován speciální tenzometrický kříž pro měření smykových npětí (k-fktor obou vinutí je k =,98). Jednoduchý siloměr je určen pro měření síly m = 5 N, jeho zákldní rozměry jsou: D = mm, d = mm je vyroben z běžné oceli (E =, 5 Nmm -, v =, Re = 5 Nmm - ). Určit: Stnovte velikost přenášeného krouticího momentu MK snímčem, jestliže n měřicí prtuře bylo nměřeno výstupní npětí U =, V při npájecím npětí UB = V. Řešení: V tomto přípdě jsou pouze dv ktivní tenzometry zpojené do polovičního mostu zbývjící dv odpory do celého mostu doplňuje již tenzometrická prtur. Výsledný vzth proto je: U U k ( v) m. B 4 E Protože velikost hledného krouticího momentu závisí n velikosti m WK podle vzthu: Musíme určit nejprve modul průřezu v kroucení: M K m W K, 4 4 π D d π 6 4 W K 4 4 mm. 6 D 6 6 Pro toto polomostové zpojení využijeme vlstnosti npjtosti čistého smyku, kdy pltí: M K m WK Odkud po doszení zdných hodnot vychází: M K U U B E W k ( ) 4 6 K 5, 4, 4 4,,98 (,) M K 4 m. WK N mm,kn m. Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 57 PŘÍKLD 8.4 (TENZOMETRIE NÁVRH SILOMĚRU N BÁZI TENZOMETRŮ): Dáno: Tenzometrický snímče síly zloženého n principu ztěžování tenkého rámu ve tvru kružnice podle obrázku. Snímč je oszen čtyřmi odporovými tenzometry zpojenými do celého mostu. Zákldní rozměry snímče jsou: poloměr rámu r = 5 mm, tloušťk rámu t = 5 mm šířk rámu b = mm. Snímč je vyroben ze speciální oceli o modulu pružnosti v thu E =,5 5 Nmm mezi kluzu K = Nmm jsou n něj ninstlovány čtyři lineární tenzometry s k-fktorem k =,6. P Určit: Stnovte obecně přibližnou převodní chrkteristiku tohoto snímče poté závislost měřené síly n výstupním npětí při npájecím npětí UB = 5 V. Řešení: V tomto přípdě jsou všechny čtyři tenzometry ktivní zpojené do celého mostu. Nejprve musíme sestvit výpočtový model, bychom určili nmáhání v místech ninstlovných tenzometrů R ž R4. Podle teorie tenkých křivých prutů rámů stčí z původního tenkého rámu vzhledem k symetrii řešit pouze křivý prut ve tvru jedné čtvrtiny původního rámu. Tto úloh je vzhledem k symetrii k vodorovné i svislé ose jedenkrát stticky neurčitá. Díky těmto dvěm symetriím tké můžeme přímo určit velikost svislé síly N velikost tečné síly T. Vznikjící moment M působící v bodě pk pro nás zůstává N, T v tomto přípdě jedinou neznámou: Neznámý moment M určíme z deformční podmínky, která pro tento symetrický Mprut musí? zručit, že se v bodě prut vzniklý rozdělením (uvolněním) původního rámu nesmí ntočit:. Tuto deformční podmínku vyjádříme pomocí Mohrov integrálu jko: π ( cos ) M r E J "" r d. z Z této rovnice pro EJz vyplývá, že neznámý moment M je: M π r, 869 r π. Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 58 Nyní již můžeme vyjádřit velikosti npětí vznikjících v místě tohoto tenkého rámu:. thové npětí:. ohybové npětí: N t, 8, b t 5 M,869 6,869 o m r 5, 869. W oz b t 5 6 Výsledná redukovná npětí n vnitřním resp. vnějším povrchu tenkého rámu vypočteme jko součet resp. rozdíl vypočtených npětí:. vnitřní povrch (místo tenzometru R): (,8,869), 9, R t o m. vnější povrch (místo tenzometru R): (,8,869), 76. R t o m Vzhledem k obecné symetrii řešeného tenkého rámu můžeme npětí n vnitřním resp. vnějším povrchu v místě B určit pomocí npětí v místě jko:, 9 resp., 76. R R R 4 R Obecný výrz pro podíl výstupního ku vstupnímu npětí pomocí (mechnického) npětí bude: U U B k k k R R R R4 R R R R. 4 4 E E Ten již můžeme vyjádřit pomocí vypočtených npětí jko: U U B,6 5,5 6,9 (,76),858. Pro mimální velikost síly m bude podíl výstupního ku vstupnímu npětí: U U B m,776 6,88 V V mv V. Tto hodnot přibližně odpovídá stndrdu, který se postupem čsu ustálil pro lineární chrkteristiky snímčů mv/v. Teoretická chrkteristik nvrženého snímče síly n bázi ohybu tenkého rámu ve tvru kružnice je ptrná z obrázku. Rovnici závislosti ztěžující síly n výstupním npětí U této ideální chrkteristiky lze pro zdné npájecí npětí UB = 5 V psát jko: U,776 5 765 6. Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 59 Poznámky: Nkonec bychom měli zkontrolovt nmáhání snímče v přípdě ztížení mimální silou: Znmená to, že bezpečnost k siloměru vůči mezi kluzu K je: m R,9 m Nmm. k K,5. m Tento výpočet určil přibližnou chrkteristiku snímče, le pro prktické měření by bylo třeb tento snímč po zkompletování cejchovt z pomoci npř závží známé hmotnosti nebo jiného siloměru se známou chrkteristikou. ž tkto stnovená konečná chrkteristik bude použitelná při prktickém nszení tohoto snímče, protože již postihuje všechny odchylky od ideálníého stvu s nímž počítl výpočtový model tohoto snímče. Příkldy komerčních snímčů n bázi odporových tenzometrů Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 6.. OTOELSTICIMETRIE. OPTICKÉ METODY Optický efekt, n kterém je tto metod zložen, je znám již od počátku XIX. století. Při pokusech s polrizovným světlem se zjistilo, že při průchodu tohoto světl sklem, které bylo ztíženo - tudíž do něho byl vnesen mechnická npětí - vznikly různobrevné obrzce. Vědci nejprve využívli tento efekt ke stnovení hrničních npětí rovinných modelů, le následně vznikl metodik vyšetřování npjtosti rovinné postupem čsu i prostorové úlohy. Při fotoelsticimetrii můžeme i prostým okem poměrně zřetelně pozorovt děje, ke kterým dochází ve zkoumném objektu (stčí k tomu jednoduchý optický filtr můžeme se podívt, co zbylo ve školním trojúhelníku jko důsledek jeho výroby. Princip fotoelsticimetrie: Principem fotoelsticimetrie je tzv. dočsný dvojlom, ke kterému dochází u opticky nizotropních mteriálů v důsledku npjtosti. Při dvojlomu se kždý světelný pprsek rozloží n dv, které se liší rychlostí i orientcí. Tto orientce odpovídá orientci hlvních směrů řešené npjtosti. Protože předpokládáme zejmén rovinné modely tedy rovinnou npjtost, jedná se o dv nvzájem kolmé směry vzhledem k optické ose měření. Rozlišujeme dv druhy fotoelsticimetrie: Přímá veškeré součásti měřicího řetězce leží v jedné přímé optické ose 4 5 zdroj světl, polrizátor, model v ztěžovcím rámu, 4 depolrizátor (nlyzátor), 5 snímč (pozorovtel) Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 6 Reflení využívá se odrzu pprsku od měřeného povrchu součásti řetězce neleží v přímce 9 měřená součást, reflení vrstv (stčí leštěný povrch nebo nástřik), 8 vrstv fotoelsticky citlivého mteriálu, 7 4 dopdjící polrizovný pprsek, 5 polrizátor, 6 zdroj světl, 6 7 održený pprsek již po dvojlomu v optické vrstvě, 5 8 - depolrizátor (nlyzátor), 4 9 snímč (pozorovtel). Přístroj, kterým se provádí fotoelsticimetrické měření, se nzývá POLRISKOP. Polriskop pro přímou fotoelsticimetrii Hlvní části jsou: ) Zdroj světl může to být zdroj monochromtického světl nebo obyčejného bílého světl (zdrojem monochromtického jednofrekvenčního světl může být npř. sodíková lmp) b) Polrizátor optický filtr, který usměrní světelné pprsky. Pokud usměrňuje pprsky pouze do jedné roviny nzývá se tto polrizce přímková. Pokud složíme dvě kolmé přímkově polrizovné vlny se stejnou frekvencí i mplitudou, které se liší pouze fázovým posuvem o /, pk hovoříme o kruhové polrizci. c) Model ztěžovcí rám smotný zkušební model je vyroben ze speciálního průhledného fotoelsticimetrického mteriálu ztěžovcí rám má z úkol vytvořit n modelu poždovné ztížení dosáhnout v modelu poždovné npjtosti. d) Depolrizátor (nlyzátor) druhý optický filtr, který opět usměrní světelné pprsky. Jeho vlstnosti jsou shodné s vlstnostmi polrizátoru. e) Snímč nejjednodušším snímčem bylo v minulosti zejmén lidské oko, později ho nhrdil objektiv fotoprátu dnes to může být jkýkoliv digitální snímč obrzu, který zjistí jeho uložení sndný přenos k dlšímu zprcování. Polriskop pro reflení fotoelsticimetrii Hlvní části jsou: ) Zdroj světl shodný s přímým polriskopem b) Polrizátor shodný s přímým polriskopem c) Skutečná součást, která má uprvený povrch tk, by co nejlépe odrážel světelné pprsky (leštění, nástřik,...). N tkto uprvený povrch je nlepen tvrovná vrstv opticky citlivého mteriálu, který se deformuje spolu s povrchem skutečné součásti v důsledku jejího ztížení. Vlstní pprsek tk prochází optickou vrstvou dvkrát: při dopdu i při odrzu. d) Depolrizátor (nlyzátor) shodný s přímým polriskopem. e) Snímč shodný s přímým polriskopem. Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 6 Příprv měření: Nejdůležitějším krokem příprvy měření je výrob vhodného modelu, který je zhotoven ze speciálního průhledného dosttečně opticky citlivého mteriálu. Tento mteriál musí mít vhodné mechnické vlstnosti, které jsou úměrné jeho optickým vlstnostem. Při výrobě modelu (oprcování, ohýbání,...) nesmíme do modelu vnést vnitřní npětí, která by celé měření zkreslil. Při reflení fotoelsticimetrii musíme vyrobit plátky opticky citlivého mteriálu, které věrně kopírují povrch měřené součásti, pk je spolehlivě přilepit n předem připrvený odrzivý povrch. Vlstní měření: Vyrobený model umístíme do prcovního prostoru mezi polrizátor depolrizátor do ztěžovcího rámu. Nejprve zkontrolujeme stv bez ztížení, nejsou-li do modelu vnesen zbytková npětí v důsledku výroby. Poté pomocí ztěžovcího rámu zjistíme ztížení modelu odpovídjící poždovným podmínkám. N snímči pk zznmenáváme stv světelných pprsků po průchodu celou optickou osou: zdroj světl polrizátor ztížený model depolrizátor (nlyzátor). Zprcování nměřených dt: Vlivem ztížení vzniká v modelu npjtost, která způsobí deformci jednotlivých částí struktury mteriálu modelu. V jejich důsledku dochází v modelu k dvojlomu, kdy se pprsek rozloží do dvou kolmých směrů odpovídjícím hlvním npětím součsně nstne mezi nimi fázový posun v důsledku rychlejšího šíření jednoho z pprsků modelem. Velikost fázového posuvu je úměrná rozdílu hlvních npětí v řešeném místě. N záznmech z měření můžeme sestrojit dv druhy čr: Izoklíny: To jsou křivky spojující body se stejným sklonem hlvních npětí. Izochromy: To jsou křivky spojující body se stejným rozdílem hlvních npětí. Nejjednodušeji lze výsledky vyjádřit vzthy: I I sin () sin (π n), n c, t kde: I... je intenzit světl vycházejícího ze zdroje, I... je intenzit světl přicházejícího n snímč,... je úhel mezi hlvním npětím osmi polrizátoru depolrizátoru, n... je řád izochromtické čáry (,,,...), c... je optická citlivost mteriálu modelu, t... je tloušťk modelu ve směru optické osy. Poznámk: Stále nesmíme zpomínt, že ob způsoby měření popisují rovinnou npjtost, kde =. Pokud bude = m > = min <, odpovídá vypočtený rozdíl ( ) přímo teorii MX. Problémem měření nstává tehdy, budou-li obě npětí kldná > >, protože z hledisk pevnosti podle teorie MX je rozhodující rozdíl ( ) nebo budou-li obě npětí záporná < <, kdy je z hledisk pevnosti podle teorie MX je rozhodující rozdíl ( ). Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 6 Příkldy měření pomocí fotoelsticimetrie: otoelsticimetrie může být pojt i jko jistý druh umění (foto HGB llersm Jn Pták) Výsledky měření koncentrce v okolí kruhového otvoru, polriskop příkld modelu ok závěsu Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 64 Metod zmržených deformcí: Používné opticky citlivé mteriály n bázi orgnických plstických hmot mjí z hledisk použití ještě jednu zjímvou vlstnost. Tou je poměrně velký rozdíl mezi dolní horní přechodovou teplotou. To znmená, že při ztížení vzorku při teplotě vyšší než je přechodová teplot v něm zůstnou uchovány veškeré deformce i po odlehčení. K jejich opětnému uvolnění by došlo ž při opětném překročení přechodové teploty. Princip metody: Vyrobíme z opticky nizotropního citlivého mteriálu (litím, oprcováním, lepením, ) prostorový model, který odpovídá skutečné součásti. Vlstní model může být kombincí mteriálů, když z fotoelsticimetrického mteriálu vyrobíme jen části, které jsou pro eperiment důležité. V tomto přípdě je třeb le zjistit správné uspořádání celého modelu vzhledem k možným rozdílným součinitelům teplotní roztžnosti mteriálů jednotlivých částí. Tento model ztížíme tk, by to odpovídlo ztížení skutečné součásti umístíme ho do ohřívcího zřízení. Po dosttečném prohřátí celého modelu ho můžeme již vyndt, odlehčit dál ho uchovávt jen při poko jové teplotě, protože eistující deformce jsou v modelu již zfiovány. Poté můžeme celý model nebo jeho části rozebrt nebo rozřezt n tenké plátky, které lze vložit do polriskopu prosvítit světlem zznment pole deformcí. Jen je třeb při řezání dbát zvýšené optrnosti, by nedošlo k ndměrnému ohřátí řezné plochy tím k dosžení horní přechodové teploty, což by mělo z následek uvolnění zmrzených deformcí znehodnocení celého eperimentu. Dlší příkldy měření pomocí fotoelsticimetrie: Tyto dv obrázky jsem použil z učebního tetu pánů Jiřího Vrby Petr rntík ÚVOD DO OTOELSTICIMETRIE, který je určen posluchčům druhého ročníku stvební fkulty VUT v Brně pro seznámení s fotoelsticimetrií. Jsou n nich zobrzené jednotlivé izochromy při ztížení poloroviny osmělou silou rozložení rdiálního kontktního npětí po délce hmoždinky. Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 65.. METOD MOIRÉ Tto metod je zložená moiré efektu, který ptří mezi zákldní optické efekty procházejícího světl. V řdě lidských činností má tento efekt negtivní vliv n výsledné snžení. Jedná se zejmén o oblsti, kde se prcuje s rstrovým zprcováním obrzu jko je digitální fotogrfie, televizní vysílání video, PC monitory, le tké tiskárny nebo scnnery). Prkticky to znmená, že politik v TV studiu v jemně kostkovném sku vytváří n sobě i při sebemenším pohybu různé prostodivné obrzce, protože princip snímání obrzu je po řádcích (buď 576 nebo 7 nebo dokonce 8). Poznámk: Tuto metodu znáte prkticky všichni, i když se nedíváte n politiky v TV nebo se nezbýváte digitální fotogrfií. Stčí, pokud máte dom záclony vyrobené z tenkých vláken. Při jejich překrývání vznikjí pohybem různé futuristické obrzce, které ještě umocňuje přímo dopdjící sluneční světlo. Princip metody moiré: Metod moiré předstvuje jkési optické zesílení měřené deformce. Principem metody je eistence dvou mřížek pevné pozorovcí pohyblivé spojené s měřeným objektem. Při průchodu světl spolu tyto dvě mřížky interferují i neptrný pohyb jedné z mřížek předstvuje význmné okem postřehnutelné změny ve světelných poměrech n pozorovcí mřížce. počáteční stv posun o, mm posun o, mm posun o, mm počáteční stv pootočení o pootočení o pootočení o Poznámk: Moiré efekt se projeví i při zobrzení zejmén tisku této stránky, protože mřížky interferují s rstrem monitoru resp. s rstrem použité tiskárny. Přesto věřím, že výsledek efektu je lespoň trochu ptrný. Velice čsto se k tvorbě mřížky n zkušebním tělese využívá promítnutí pevné mřížky n povrch zkoušeného těles nebo i promítnutí dvou nvzájem posunutých nebo pootočených mřížek, které pk v různých výškách D objektu spolu různě interferují. Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 66 Příkldy měření (zobrzení) pomocí metody moiré: Metod moiré plikovná n D objekty Dlší plikce metody moiré Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 67.. METOD S.P..T.E. (Stress Pttern nlysis by Therml Emissions) Princip této metody spočívá v předpokldu, že kždý děj (i elstický) není ideální tedy bezztrátový. V průběhu ztěžování vzniká v důsledku deformcí určité množství tepl, které se ztrácí n povrchu součásti. ž dosud jsme tento děj neuvžovli, protože vznikjící teplotní změny jsou tk mlé, že výsledný stv neovlivní. I v pri nebylo možno vzhledem k technickým možnostem toto uvolněné teplo pozorovt zznment. První pokusy s měřením v infrčerveném poli pocházejí z oblsti zbrojního kosmického progrmu. Postupně se všk metody infrčerveného vidění rozvinuly i do běžnějších oblstí lidského život. Jednk to je upltnění v lékřství jednk to zejmén souvisí s úspormi energií. Pomocí infrčervených snímků je možné pozorovt nemocná míst n lidském těle resp. odhlit bnormlity v teplotě povrchu těl v technické pri odhlit míst se zvýšenou teplotou nejčstěji míst šptně izolovná. Tyto obrázky jste určitě již někdy viděli jsou velice ilustrtivní efektní. Záznm úniku tepl z obytné budovy, záznm rozložení teplot v horském údolí záznm rozložení teplot v lidské dlni Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 68 V oblsti měření dissipovného (uvolněného) tepl v důsledku deformcí součásti je situce o to komplikovnější, protože vznikjící ohřevy jsou v řádech setin ž desetin stupně celsi v důsledku odvodu tepl bezprostředně po deformci vymizí dissipují do okolí. ) b) c) Příkldy rozložení teplotního pole v okolí: ) kolmé trhliny, b) šikmé trhliny, c) kruhového otvoru Nejčstěji se tk tto metod využívá při cyklickém nmáhání, kde se teplo uvolňuje při kždém cyklu nedochází tk k jeho rychlému odvodu do okolí. le i tk je tto metod velice citlivá n podmínky provedení, kvlitu měřícího zřízení přesnost celého měření. Obrázky výsledku infrčerveného testu (S.P..T.E.) pro vzorek z titnové slitiny komerčně znčené S. Měřítko je provedeno v bezrozměrných jednotkách odpovídjících teplotní mplitudě získné infrčervenou kmerou. Relizce měřícího řetězce pro metodu S.P..T.E. počítčové zprcování nměřených hodnot. P. Brémond, Cedip Infrred Systéme, Croissy Beubourg, rnce Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7

PRUŽNOST PEVNOST 69 Vážené kolegyně vážení kolegové, DOSLOV rád jsem s vámi trávil kždý týden pondělní dopoledne úterní čsné ráno. Moje přání bylo, předt vám co nejvíce informcí, které by vám lespoň trochu usndnily příprvu ke zkoušce z Pružnosti pevnosti. Tké jsem vám chtěl ukázt, že pružnost není žádným stršákem, le jedním z mnoh předmětů n nší škole. Doufám, že jsem vás moc nenudil splnil předsevzetí, že chci ť se bvíte společně se mnou, s pány Hookem, Eulerem, Bernoullim hlvně s pružností. Snd jste lespoň občs poznli, jk může být pružnost pevnost zjímvou vědní disciplínou. Pokud jsem někoho z vás oslovil ntolik, že se rozhodl pro dlší studium pružnosti n oboru plikovná mechnik tk, jk se to povedlo pnu profesoru Hájkovi v mém přípdě, jsem rád dvojnásob již se těším n dlší setkání s vámi. Dlším pokrčováním je v bklářských studijních progrmech TZSI STR hned v příštím semestru předmět Pružnost pevnost II, který je tké součástí teoretického zákldu je tedy vyučován v obou úrovních. Nezpomeňte, že moje nbídk z první přednášky n pomoc při řešení všich osobních studijních problémů není čsově omezená, tk si můžete přijít problémy vyříkt, i když už nebudete moji studenti, protože chtě nechtě mými studenty budete stále, ť vás učím nebo ne. Všem vám přeji hodně úspěchů v nstávjícím zkouškovém období, to nejen při zkoušce z Pružnosti pevnosti I nebo jen Pružnosti pevnosti I, le i z osttních předmětů, které jsou neméně důležité pro vše dlší studium. Hlvně vám přeji pevné zdrví, protože bez něho to nejde. O prázdninách si pk odpočiňte, neubližujte si po prázdninách dorzte s novou sílou. učitel Pružnosti pevnosti I KDOPK VÁS TO VLSTNĚ UČIL? Nrodil jsem se v roce 957. Zákldní devítiletou školu gymnázium jsem bsolvovl v Benešově. V letech 976-98 jsem studovl n kultě strojní ČVUT v Prze obor plikovná mechnik. Od roku 98 učím n S hlvně předměty: Pružnost pevnost I II, Pevnost letdel motorů, Eperimentální nlýz npětí, Vybrné sttě z mechniky pružnosti nově tké Eperimentální metody certifikce strojů. V letech 98-984 jsem bsolvovl stáž ve výpočetním oddělení SVÚSS v Prze Běchovicích, kde jsem se věnovl výpočtům potrubí. Po vzniku kulty doprvní n ČVUT jsem v letech 995-998 učil předmět Pružnost pevnost i budoucí doprvní bkláře. Přednášky z PP I ( 5) LS kdemického roku 6/7