CVIČNÝ TEST 47 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 3 IV. Záznamový list 5
I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE Sbor chlapců a mužů se pro různé příležitosti štěpí do různých koncertních skupin (mužský sbor, gospelová skupina, komorní skupina, madrigaly). Každý zpěvák sboru účinkuje právě ve dvou takových koncertních skupinách. Ne zcela doplněná tabulka níže ukazuje, kolik členů sboru zpívá v různých dvojicích skupin, např. v chrámovém sboru a ve skupině madrigaly zpívá 0 sboristů. V posledním sloupci je uveden počet členů sboru v dané koncertní skupině, například v komorním sboru zpívá 30 sboristů. chrámový sbor gospelová skupina komorní skupina madrigaly dohromady chrámový sbor 0 0 gospelová skupina 40 5 komorní skupina 5 30 madrigaly 0 20. Kolik členů má celý sbor?.2 Kolik zpěváků zpívá v gospelové nebo v komorní skupině? max. 2 body VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 2 Jídelní servis vyřazený z prodeje obsahuje 27 stejných mělkých talířů, 80 stejných hlubokých talířů, 72 stejných polévkových misek a 90 stejných desertních talířů. V rámci příměstského podnikového tábora pořádaného porcelánkou pro děti zaměstnanců proběhla série soutěží a vždy tři nejúspěšnější děti obdržely ceny sestavené právě z kusů nádobí z vyřazeného servisu. Každý ze tří vítězů obdržel tři různé kusy. 2 Kolik nejvíce soutěží mohlo proběhnout? bod 2 Maturita z matematiky 08
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 3 Viditelná část jistého akvária v sekci vodního světa v ZOO má tvar rovnostranného trojúhelníka s jednou vodorovnou stranou, zbytek akvária je kryt dřevěným ostěním. Voda sahá ve viditelné části do 3 3 cm výšky a smáčí 75 % viditelné části akvária. max. 2 body 3 Jakou plochu má viditelná část akvária, která je pod vodou? (Výsledek zaokrouhlete na celé centimetry čtvereční.) VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 4 Betonový válec na lepení plakátů je polepen 00 nepřekrývajícími se plakáty o rozměru 200 mm 300 mm tak, že se žádné dva plakáty nepřekrývají a celá plocha válce je využita. Válec má v průměru m. 4 Kolik m je válec vysoký? (Výsledek zaokrouhlete na celé m.) bod VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 Jsou dány přímky p: x y + 7 = 0 a q = { t, 2 + t; t R}. max. 3 body 5. Určete y tak, aby bod M[ 6, y] ležel na přímce p. 5.2 Určete obecnou rovnici přímky m, která prochází průsečíkem přímek p a q a je kolmá k souřadnicové ose x. Do záznamového listu uveďte celý postup řešení. 6 Které celé číslo je nejmenší hodnotou výrazu 2 2 x 3 2, jestliže x R? bod Maturita z matematiky 08 3
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Je dána posloupnost čtyř racionálních čísel { 2, a, 3, 9 2 }. max. 2 body 7 Rozhodněte o každém tvrzení (7.7.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): 7. Je-li a = 5 2, jedná se o aritmetickou posloupnost. 7.2 Je-li a = 3 2, jedná se o geometrickou posloupnost. 7.3 Je-li a = 2,3, jedná se o rostoucí posloupnost. 7.4 Je-li a = 2,3, nejedná se o posloupnost. ANO NE VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 Kvadratická rovnice 2x 2 p 3 x + p 2 = 0, p R má dva různé reálné kořeny. 8 Která z možností AE určuje, čemu je roven součin těchto kořenů? 2 body A) p 3 B) 2p 3 C) p 6 D) p2 3 E) p 2 2 2 body 9 Která z možností AE určuje jen takové hodnoty parametru p, pro které má rovnice x p = x p s neznámou x R vždy právě jedno řešení. A) p > B) p C) p, D) p (, 0) (0, + ) E) p R 4 Maturita z matematiky 08
0 Přiřaďte k výrazům (0.0.4) jejich ekvivalentní vyjádření (AF). 0. x x 2 + x max. 4 body 0.2 0.3 + x x 2 x x x x 0.4 + x x (x )2 A) x 2 B) 0 C) x D) x E) F) KONEC TESTU Maturita z matematiky 08 5
II. AUTORSKÉ ŘEŠENÍ VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE Sbor chlapců a mužů se pro různé příležitosti štěpí do různých koncertních skupin (mužský sbor, gospelová skupina, komorní skupina, madrigaly). Každý zpěvák sboru účinkuje právě ve dvou takových koncertních skupinách. Ne zcela doplněná tabulka níže ukazuje, kolik členů sboru zpívá v různých dvojicích skupin, např. v chrámovém sboru a ve skupině madrigaly zpívá 0 sboristů. V posledním sloupci je uveden počet členů sboru v dané koncertní skupině, například v komorním sboru zpívá 30 sboristů. chrámový sbor gospelová skupina komorní skupina madrigaly dohromady chrámový sbor 0 0 gospelová skupina 40 5 komorní skupina 5 30 madrigaly 0 20. Kolik členů má celý sbor? max. 2 body Doplníme tabulku kompletně tabulka je podél hlavní diagonály osově souměrná, počty se shodují, protože vyjadřují stejný průnik. chrámový sbor gospelová skupina komorní skupina madrigaly dohromady chrámový sbor 40 0 0 60 gospelová skupina 40 5 20 75 komorní skupina 0 5 5 30 madrigaly 0 20 5 35 Ve sboru zpívá celkem 00 sboristů, neboť každý z členů sboru je započten právě do dvou z koncertních skupin. Řešení: 00 členů.2 Kolik zpěváků zpívá v gospelové nebo v komorní skupině? Chceme-li spočítat, kolik zpěváků zpívá v komorní nebo gospelové skupině, sečteme jejich počty (05 zpěváků), ale tím jsme započítali ty, kteří zpívají v obou skupinách (5 zpěváků), dvakrát. Musíme tedy počet těchto zpěváků jednou odečíst. V komorní nebo gospelové skupině zpívá 90 zpěváků. Řešení: 90 zpěváků 6 Maturita z matematiky 08
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 2 Jídelní servis vyřazený z prodeje obsahuje 27 stejných mělkých talířů, 80 stejných hlubokých talířů, 72 stejných polévkových misek a 90 stejných desertních talířů. V rámci příměstského podnikového tábora pořádaného porcelánkou pro děti zaměstnanců proběhla série soutěží a vždy tři nejúspěšnější děti obdržely ceny sestavené právě z kusů nádobí z vyřazeného servisu. Každý ze tří vítězů obdržel tři různé kusy. 2 Kolik nejvíce soutěží mohlo proběhnout? bod Při vyhodnocení jedné soutěže se rozdalo devět kusů nádobí. Každý soutěžící, který byl oceněn, snížil počet kusů ve třech baleních o jeden kus. Výpočet se nezmění, budeme-li uvažovat, že zprvu budeme plnit ceny ze tří konkrétních balení. Předpokládejme, že po vyhodnocení ubude v balení tří ze čtyř typu trojice kusů. Protože platí: 27 = 3 9 80 = 3 60 72 = 3 24 90 = 3 30, vyčerpá se po devíti soutěžích napřed balení plytkých talířů, po dalších 5 soutěžích pak balení polévkových misek. Ze zbylých dvou balení už nelze tvořit ceny, v nichž je jednomu výherci předána trojice různých kusů. Při zadaných podmínkách může proběhnout nejvýše 24 soutěží. Řešení: 24 soutěží VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 3 Viditelná část jistého akvária v sekci vodního světa v ZOO má tvar rovnostranného trojúhelníka s jednou vodorovnou stranou, zbytek akvária je kryt dřevěným ostěním. Voda sahá ve viditelné části do 3 3 cm výšky a smáčí 75 % viditelné části akvária. max. 2 body 3 Jakou plochu má viditelná část akvária, která je pod vodou? (Výsledek zaokrouhlete na celé centimetry čtvereční.) Maturita z matematiky 08 7
Pokud rozdělíme rovnostranný trojúhelník v jeho středních příčkách, zjistíme, že výška smáčené části je polovinou délky celkové výšky trojúhelníka. Výška celého trojúhelníka měří 6 3 cm. Ze vztahu pro výšku rovnostranného trojúhelníka o straně délky a spočteme a: v = a 3 2 a = 2v 3 a = 2 (6 3 cm) a = 2 cm. 3 Obsah S viditelné části akvária, která je pod vodou, spočteme jako tři čtvrtiny obsahu trojúhelníka, tj. S = 3 8 cm 6 cm 6 cm 6 cm = 3 36 3 cm 2 = 27 3 cm 2 47 cm 2. 4 4 Viditelná část akvária má plochu 47 cm 2. Řešení: 47 cm 2 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 4 Betonový válec na lepení plakátů je polepen 00 nepřekrývajícími se plakáty o rozměru 200 mm 300 mm tak, že se žádné dva plakáty nepřekrývají a celá plocha válce je využita. Válec má v průměru m. 4 Kolik m je válec vysoký? (Výsledek zaokrouhlete na celé m.) bod Spočteme plochu pláště válce S pl, kterou pokryjí nepřekrývající se plakáty. S pl = 00 (200 mm 300 mm) = 6 000 000 mm 2 = 6 m 2 Protože průměr podstavy válce je m, určíme její obvod o. o = π ( m) = π m Rozvinutý plášť válce je obdélník, tedy výška válce a obvod podstavy jsou jeho rozměry. Ze známé výměry S pl pláště a obvodu o podstavy určíme výšku v. Spl S pl = o v v = v = 6 m2 o π m v = 6 m 2 m π Válec na lepení plakátů je vysoký přibližně 2 m. Řešení: 2 m 8 Maturita z matematiky 08
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 Jsou dány přímky p: x y + 7 = 0 a q = { t, 2 + t; t R}. 5. Určete y tak, aby bod M[ 6, y] ležel na přímce p. max. 3 body M[6, y] p 6 y + 7 = 0 y = Řešení: y = 5.2 Určete obecnou rovnici přímky m, která prochází průsečíkem přímek p a q a je kolmá k souřadnicové ose x. Do záznamového listu uveďte celý postup řešení. Určíme průsečík P přímek p a q. t (2 + t) + 7 = 0 t 2 t + 7 = 0 6 = 2t t = 3 P[ 3, 2 + 3] P[2, 5] Protože přímka m má být kolmá k ose x, je její normálový vektor rovnoběžný se směrem osy x. Takovým vektorem je třeba vektor n = (, 0). Sestavíme torzo obecné rovnice přímky m a dosadíme do něj bod P. x + 0 y + c = 0 2 + 0 + c = 0 c = 2 m: x + 2 = 0 Řešení: m: x + 2 = 0 6 Které celé číslo je nejmenší hodnotou výrazu 2 2 x 3 2, jestliže x R? bod Výraz 2 2 x 3 2 lze chápat jako předpis exponenciální funkce. Ta nabývá hodnoty pro x = 2. Jedná se o rostoucí exponenciální funkci, jejíž graf má v přímce y = 2 asymptotu. Pro všechny funkční hodnoty platí, že jsou větší než hodnota 2. Žádné celé číslo, které by bylo nejmenší hodnotou výrazu, tedy neexistuje. Řešení: žádné VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Je dána posloupnost čtyř racionálních čísel { 2, a, 3, 9 2 }. max. 2 body 7 Rozhodněte o každém tvrzení (7.7.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): 7. Je-li a = 5 2, jedná se o aritmetickou posloupnost. 7.2 Je-li a = 3 2, jedná se o geometrickou posloupnost. 7.3 Je-li a = 2,3, jedná se o rostoucí posloupnost. 7.4 Je-li a = 2,3, nejedná se o posloupnost. ANO NE Maturita z matematiky 08 9
7. Ověříme, že pro čísla a 2 = a 2 = 2 + 3 = 5 2 2 5 + 9 a 3 = 2 2 = 2 4 2 2 = 5 2 a a 3 = 3 platí, že jsou aritmetickými průměry sousedních členů. 7 2 3 Pro druhý člen by byl vztah splněn, ale pro třetí člen nikoliv. Posloupnost není aritmetická. Tvrzení je nepravdivé. 7.2 Ověříme, že pro čísla a 2 = a 2 = 2 3 = 6 3 2 3 2 a a 3 = 3 platí, že jsou geometrickými průměry sousedních členů. Pro druhý člen již vztah splněn není, posloupnost není geometrická. Tvrzení je nepravdivé. 7.3 Protože posloupnost má jen čtyři členy a jejich hodnoty postupně rostou s přibývajícím pořadím, posloupnost je rostoucí. Tvrzení je pravdivé. 7.4 Hodnoty členů mohou být libovolná racionální čísla, záporné číslo s periodicky se opakujícím desetinným rozvojem je racionální (lze vyjádřit zlomkem, 2,3 = 7 ), o posloupnost se tedy jedná. 3 Tvrzení je nepravdivé. Řešení: NE, NE, ANO, NE VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 Kvadratická rovnice 2x 2 p 3 x + p 2 = 0, p R má dva různé reálné kořeny. 8 Která z možností AE určuje, čemu je roven součin těchto kořenů? 2 body A) p 3 B) 2p 3 C) p 6 D) p2 3 E) p 2 2 0 Maturita z matematiky 08
Dle Vietových vztahů platí v normované kvadratické rovnici x 2 p x + p2 = 0, že má-li tato dva různé 6 2 reálné kořeny, jejich součin je roven prostému členu, tj. p2. Správně je možnost E. 2 Řešení: E 2 body 9 Která z možností AE určuje jen takové hodnoty parametru p, pro které má rovnice x p = x p s neznámou x R vždy právě jedno řešení. A) p > B) p C) p, D) p (, 0) (0, + ) E) p R x = x p p Rovnice nemá smysl pro p = 0. Vyřadíme tedy možnosti B, C a E, protože obsahují 0. Pro p 0 rovnici řešíme: x = x p p p x = xp p 2 p 2 = x(p ) Rovnici řešíme zvlášť pro p =, protože pro něj nelze řešit předchozí krok dělením. = x 0 Tato rovnice ale řešení nemá. Pokračujeme pro p 0 a s p řešením rovnice dělením: p 2 = x(p ) : (p ) x = p 2 p Výsledný kořen je jen jeden. Právě jeden kořen mají rovnice pro p = (, 0) (0, ) (, + ). Protože pro každé p > platí, že je pod množinou množiny (, 0) (0, ) (, + ), má pro taková p rovnice jen jeden reálný kořen. Správně je tedy možnost A. Řešení: A Maturita z matematiky 08
0 Přiřaďte k výrazům (0.0.4) jejich ekvivalentní vyjádření (AF). 0. x x 2 + x max. 4 body 0.2 0.3 + x x 2 x x x x 0.4 + x x (x )2 A) x 2 B) 0 C) x D) x E) F) 0. x x 2 + x = x x(x + ) = x Řešení: C 0.2 + x x x = = 0 2 2 Řešení: B 0.3 x x = x x = (x )2 x x x x 2 x Řešení: A 0.4 + x x = x + x = x x Řešení: D KONEC TESTU 2 Maturita z matematiky 08
III. KLÍČ ) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 6 jsou otevřené. 3) Úlohy 70 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka 207 výborně 64 chvalitebně 3 dobře 07 dostatečně 6 a méně nedostatečně Úloha Správné řešení Počet bodů. 00 členů bod.2 90 zpěváků bod 2 24 soutěží bod 3 47 cm 2 max. 2 body 4 2 m bod 5 5. y = bod 5.2 Určíme průsečík P přímek p a q. t (2 + t) + 7 = 0 t 2 t + 7 = 0 6 = 2t t = 3 P[ 3, 2 + 3] P[2, 5] Protože přímky m má být kolmá k ose x, je její normálový vektor rovnoběžný se směrem osy x. Takovým vektorem je třeba vektor n = (, 0). Sestavíme torzo obecné rovnice přímky m a dosadíme do něj bod P. x + 0 y + c = 0 2 + 0 + c = 0 c = 2 m: x + 2 = 0 max. 2 body Řešení: m: x + 2 = 0 6 žádné bod 7 max. 2 body 4 podúlohy 2 b. 7. NE 3 podúlohy b. 2 podúlohy 0 b. 7.2 NE podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b. 7.3 ANO 7.4 NE Maturita z matematiky 08 3
8 E 2 body 9 A 2 body 0 max. 4 body 4 podúlohy 4 b. 0. C 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b. 0.2 B podúloha b. 0 podúloh 0 b. 0.3 A 0.4 D 4 Maturita z matematiky 08
IV. ZÁZNAMOVÝ LIST ) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 6 jsou otevřené. Zapište výsledek. V úloze 5.2 uveďte i celý postup řešení. 3) Úlohy 70 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Zapište vybranou možnost. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka 207 výborně 64 chvalitebně 3 dobře 07 dostatečně 6 a méně nedostatečně Úloha Správné řešení Počet bodů. bod.2 bod 2 bod 3 max. 2 body 4 bod 5 5. bod 5.2 max. 2 body 6 bod 7 max. 2 body 4 podúlohy 2 b. 7. 3 podúlohy b. 2 podúlohy 0 b. 7.2 podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b. 7.3 7.4 Maturita z matematiky 08 5
8 2 body 9 2 body 0 max. 4 body 4 podúlohy 4 b. 0. 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b. 0.2 podúloha b. 0 podúloh 0 b. 0.3 0.4 6 Maturita z matematiky 08