NUMERICKÉ METODY PRO ŘEŠENÍ EVOLUČNÍCH PARCIÁLNÍCH DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC

NUMERICKÉ METODY PRO ŘEŠENÍ EVOLUČNÍCH PARCIÁLNÍCH DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC Marek Brader Jiří Egermaier Haa Kopicová Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická uiverzita Ostrava a Západočeská uiverzita v Plzi

Marek Brader, Jiří Egermaier, Haa Kopicová Numerické metody pro řešeí evolučích parciálích difereciálích rovic c Marek Brader, Jiří Egermaier, Haa Kopicová, 2012 ISBN

V Plzi 31. 1. 2012 Marek Brader, Jiří Egermaier, Haa Kopicová iii

Obsah 1 Základí teoretické pozatky 1 1.1 Příklady matematických modelů..................... 1 1.2 Základí defiice............................. 3 1.2.1 Rakieův-Hugoiotův vztah.................. 5 1.3 Skalárí lieárí rovice......................... 7 1.3.1 Riemaův problém pro skalárí lieárí rovici........ 9 1.4 Soustava lieárích rovic........................ 10 1.4.1 Oblast závislosti.......................... 11 1.4.2 Riemaův problém pro soustavu lieárích rovic...... 12 1.5 Hugoiotovy možiy........................... 13 1.6 Skalárí elieárí rovice........................ 15 1.6.1 Riemaův problém pro skalárí elieárí rovici...... 17 1.7 Soustavy elieárích rovic....................... 19 1.7.1 Riemaův problém pro soustavy elieárích rovic..... 19 1.7.2 Zobecěý Riemaův problém, věta o řešeí zobecěého Riemaova problému........................ 31 1.8 Parabolické rovice............................ 33 2 Diferečí metody 36 2.1 Skalárí úlohy............................... 36 2.1.1 Laxova-Friedrichsova metoda.................. 37 2.1.2 Laxova-Wedroffova metoda................... 38 2.1.3 MacCormackova metoda..................... 39 2.1.4 Metoda typu upwid....................... 40 2.1.5 Metody pro soustavy rovic................... 42 2.1.6 Vlastosti metod......................... 45 2.1.7 Lokálí Laxova-Friedrichsova metoda.............. 54 2.2 Úlohy s pravou straou.......................... 56 Příklady k procvičeí........................... 58 Klíč k příkladům k procvičeí...................... 58 iv

3 Metody pro úlohy s ehladkým řešeím 60 3.1 Nehladká data............................... 61 3.2 Modifikace diferečích metod...................... 62 3.2.1 Metoda umělé vazkosti...................... 62 3.2.2 Harteovo TVNI schéma..................... 64 3.3 Metoda koečých objemů........................ 66 3.4 Metody s vysokým rozlišeím...................... 72 3.4.1 Hybridí metody......................... 73 3.4.2 Metody koečých objemů založeé a rekostrukcích vyššího řádu................................ 74 3.5 Přibližé Riemaovy řešiče....................... 76 3.6 Kovergece k zobecému řešeí. Laxova-Wedroffova věta...... 78 3.7 Numerické metody pro řešeí soustav parciálích difereciálích rovic hyperbolického typu......................... 87 3.7.1 Metody pro lieárí soustavy s kostatími koeficiety... 87 3.7.2 Metoda umělé vazkosti...................... 87 3.7.3 Harteova hybridí metoda................... 89 3.7.4 Metody Goduovova typu.................... 90 3.7.5 Přibližé Riemaovy řešiče................... 92 4 Numerické metody pro parabolické rovice 98 4.1 Parabolické rovice............................ 98 4.2 Explicití metody............................. 99 4.2.1 Eulerova metoda......................... 99 4.2.2 Stabilita explicití metody.................... 101 4.3 Implicití metody............................. 105 4.3.1 Crakova-Nicolsoova metoda.................. 106 4.3.2 Theta metoda........................... 107 4.4 Semidiskrétí metody........................... 107 4.4.1 Metoda přímek.......................... 108 4.4.2 Metoda časové diskretizace.................... 109 5 Numerické Metody štěpeí 111 5.1 Proč štěpeí................................ 111 5.2 Vícedimezioálí úlohy......................... 113 5.3 LOD - Lokálě jedodimezioálí metody............... 117 5.3.1 LOD-implicití Eulerova metoda................ 117 5.3.2 LOD Crakova-Nicolsoova metoda............... 118 5.4 ADI - Metody střídavých směrů..................... 118 5.4.1 Douglasova metoda........................ 119 5.5 Závěrečé pozámky........................... 120 Literatura 121 v

Rejstřík 123 vi

1 Kapitola 1 Základí teoretické pozatky Průvodce studiem Z S V V této kapitole se budeme zabývat základími teoretickými pozatky týkajícími se evolučích parciálích difereciálích rovic. Prví část kapitoly bude zaměřea a hyperbolické parciálí difereciálí rovice a jejich soustavy. Uvedeme příklady matematických modelů, které vedou a hyberbolické rovice a soustavy a hlavě zde rozebereme speciálí úlohu s espojitými počátečími podmíkami azývaou klasický Riemaův problém. Tato úloha a její řešeí bude podrobě popsáa pro růzé typy možých rovic i soustav, tj. lieárí i elieárí. Na koci této části přiblížíme tzv. zobecěý Riemaův problém, osvětlíme souvislost s klasickým Riemaovým problémem a zavedeme pojem Hugoiotových moži. Druhá část kapitoly se bude stručě věovat parabolickým evolučím rovicím, kde bude uvedea základí formulace problému, jeho řešeí a základí teoretické pozatky, potřebé pro studium umerických metod v dalších kapitolách. J Cíle Po prostudováí této kapitoly budete schopi: formulovat Riemaův problém a představit si jeho řešeí pro všechy typy rovic a soustav, porozumět pojmům potřebým k řešeí hyperbolických a parabolických rovic, jako jsou charakteristiky, pricip maxima, apod. porozumět základím teoretickým pricipům z oblasti evolučích rovic, a jejichž základě je možé porozumět i ásledým umerickým metodám a postupům. 1.1 Příklady matematických modelů Matematické modelováí růzých fyzikálích situací vychází z využití zákoů zachováí (ejčastěji hmotosti, mometu, eergie) ebo bilačích vztahů (eulové

2 Základí teoretické pozatky zdrojové čley). Jedím z ejobecějších modelů z oblasti modelováí prouděí je založe a Navierových-Stokesových rovicích, popisujících prouděí vazkých stlačitelých i estlačitelých tekuti. Často však eí uté používat takto obecý model, proto za jistých vhodých omezujících předpokladů lze získat modely mohem jedodušší. Je důležité v úvodu zmíit, že zákoy zachováí či bilačí vztahy jsou itegrálí rovosti, eboť uvažujeme hmotost, momet ebo eergii v určité oblasti a v určitém časovém itervalu. Častěji je však alezeme zapsaé v jedodušším difereciálím tvaru, který se často používá pouze jako reprezetace původích obecých itegrálích tvarů zákoů zachováí ebo bilací. Příkladem, jak zjedodušit Navierovy-Stokesovy rovice pro modelováí říčího prouděí korytem eměého obdélíkového průřezu v jedé dimezi jsou tzv. Sait- -Veatovy rovice (reprezetují záko zachováí hmotosti a mometovou bilaci), které v difereciálím tvaru lze zapsat ásledově h t + (hv) x = 0, (1.1) (hv) t + ( hv 2 + 12 ) gh2 = ghb x. Fukce h(x, t) reprezetuje hledaou hloubku, v(x, t) horizotálí rychlost, q(x, t) = = hv průtok, b = b(x) je daá fukce popisující tvar da a g je tíhová kostata. Jak jsme již popsali ve skriptech [1], lze zvolit i jiý tvar koryta. Dalším modelem, velmi často využívaým v modelováí prouděí stlačitelé evazké tekutiy v jedé dimezi, jsou tzv. Eulerovy rovice (za předpokladu chemické a termodyamické rovováhy a vitří eergie je zámá fukce tlaku a hustoty), reprezetující záko zachováí hmotosti, hybosti a eergie, které opět v difereciálím tvaru zapisujeme ásledově x ρ t + (ρu) x = 0, (1.2) (ρu) t + (ρu 2 + p) x = 0, E t + (Eu + up) x = 0, kde ρ(x, t) reprezetuje hledaou hustotu plyu, u(x, t) je hledaá rychlost prouděí, E(x, t) reprezetuje hledaou hustotu celkové eergie a p(x, t) je tlak. Dále uveďme model dopravího proudu, též ozačovaý jako LWR (Lighthill, Whitham, Richards) model (více lze alézt v [9]) ( u t + [ v max 1 u ) ] u = 0, (1.3) u max kde u = u(x, t) reprezetuje hustotu aut (jde o relativí veličiu, a tudíž bezrozměrou). Kostata v max je rychlost při ulové hustotě, tj. když je prázdá silice. u max je maximálí hustota aut, tj. úplě plá silice (obvykle klademe u max = 1). Posledím modelem, který zde uvedeme je jedoduchá elieárí skalárí rovice popisujícím dopraví proud, tzv. Burgersova rovice. Zde uvedeme jedak ho- x

1.2 Základí defiice 3 mogeí tzv. evazkou Burgersovu rovici ( ) 1 u t + 2 u2 = 0, (1.4) kde u(x, t) reprezetuje rychlost dopravího proudu. Vazká Burgersova rovice je ehomogeí elieárí skalárí parabolicko-hyperbolická (advekčě-difúzí) rovice ásledujícího tvaru ( ) 1 u t + 2 u2 = εu xx, (1.5) kde ε popisuje viskozitu. Burgersova rovice se využívá spíše ež k modelováí fyzikálích situací, jako příklad jedoduché elieárí rovice k ilustrováí ěkterých klíčových vlastostí modelováí prouděí tekuti. 1.2 Základí defiice Na úvod pouze ve stručosti shreme základí formulaci problému a defiice klasického, slabého a etropického řešeí a dalších pojmů, které budeme potřebovat. Všechy jsou k alezeí apř. v [4] ebo v [9], ebo jsou podrobě vysvětley ve skriptech [1]. Problémy (1.1) s ulovou pravou straou (tj. rovým dem), (1.2), (1.3), (1.4) a (1.5) s ulovou pravou straou (tj. ulovou viskozitou), lze formulovat jako počátečí úlohu u t + [f(u)] x = 0, x R, t (0, T ), T > 0, (1.6) u(x, 0) = u 0 (x), x R, kde u = u(x, t) : R (0, T ) R m je hledaá fukce (vektor zachovávaých veliči), u 0 = u 0 (x) : R R m a f = f(u) : R m R m jsou daé fukce. Předpokládáme, že fukce f = f(u) je dostatečě hladká. Defiice 1.1. Klasickým řešeím úlohy (1.6) azveme u(x, t) takové, že u [C(R 0, T ))] m, má všechy derivace obsažeé v rovici (1.6) spojité a R (0, T ) a splňuje všechy rovice (1.6) a R (0, T ) a počátečí podmíku a R. Defiice 1.2. Slabým řešeím úlohy (1.6) azveme u(x, t) takové, že u(x, t) [L loc (R (0, ))]m, u 0 (x) [L loc (R)]m, f(u) [C 1 (R)] m a pro libovolé φ [C0 (R 0, ))] m platí ásledující itegrálí rovost [φ t u + φ x f(u)] dxdt = φ(x, 0)u 0 (x) dx. (1.7) 0

4 Základí teoretické pozatky Defiice 1.3. Slabé řešeí u(x, t) úlohy (1.6) azveme etropické (často též přípusté), pokud pro libovolé φ [C 1 0(R (, T ))] m, φ 0 a pro každou kovexí a spojitou etropii E s etropickým tokem F, splňuje [φ t E(u) + φ x F (u)] dx dt + φ(x, 0)E(u 0 (x)) dx 0. (1.8) 0 Pozámka 1.4. Prostor fukcí C(X) začí možiu všech spojitých fukcí a odpovídající možiě X. Symbol [C(X)] m začí, že všech m složek vektoru leží v C(X). Prostor fukcí C0 ozačuje možiu všech fukcí, které jsou ekoěčěkrát spojitě diferecovatelé a mají kompaktí osič (tj. pro dostatečě velké x a t je φ(x, t) = 0). Prostor fukcí C0 1 je možia jedou spojitě diferecovatelých fukcí s kompaktím osičem. Prostor fukcí L loc začí možiu všech fukcí defiovaých skoro všude a Ω (tj. R (0, ) ebo R), které jsou eseciálě omezeé a všech kompaktích podmožiách Ω. Více o vlastostech a defiicích prostorů lze alézt apříklad v [8]. Defiice 1.5. Soustava elieárích parciálích difereciálích rovic (1.6) se azývá slabě hyperbolická, pokud Jacobiho matice f (u 0 ) má reálá vlastí čísla pro jakýkoliv fyzikálě relevatí stav u 0 R m. Soustava elieárích parciálích difereciálích rovic (1.6) se azývá (silě) hyperbolická, pokud Jacobiho matice f (u 0 ) je diagoalizovatelá a má reálá vlastí čísla pro jakýkoliv fyzikálě relevatí stav u 0 R m. Soustava elieárích parciálích difereciálích rovic (1.6) se azývá ryze (striktě) hyperbolická, pokud Jacobiho matice f (u 0 ) je diagoalizovatelá a má avzájem růzá reálá vlastí čísla pro jakýkoliv fyzikálě relevatí stav u 0 R m. Vlastí čísla Jacobiho matice f (u) se azývají charakteristické rychlosti, začí se λ i (u) a defiují tzv. charakteristická pole λ i. Pozámka 1.6. Gradiet vlastích čísel (tj. charakteristických rychlostí) je dá [ λi λ i (u) =,..., λ ] T i. u 1 u m Vektor r i (u) začí vlastí vektory (přesěji pravé vlastí vektory) příslušející vlastímu číslu λ i (u). Defiice 1.7. Charakteristické pole λ i se azývá lieárě degeerovaé pokud platí λ i (u)r i (u) = 0, u R m. (1.9)

1.2 Základí defiice 5 Defiice 1.8. Charakteristické pole λ i se azývá ryze elieárí pokud platí λ i (u)r i (u) 0, u R m. (1.10) 1.2.1 Rakieův-Hugoiotův vztah Protože slabé řešeí může obsahovat espojitosti, apříklad tzv. rázovou vlu, budeme se v této sekci zabývat odvozeím rovosti, která se azývá Rakieův-Hugoiotův vztah. Teto vztah odvodíme pro ásledující skalárí záko zachováí, ale jeho platost lze rozšířit i a soustavy, u t + [f(u)] x = 0, x R, t (0, T ), T > 0, (1.11) u(x, 0) = u 0 (x), Předpokládejme oblast Ω, která je rozdělea a dvě části Ω 1 a Ω 2 hladkou křivkou x = ξ(t), viz Obr. 1.1. Dále předpokládejme platost zákoa zachováí v difereciálím tvaru (1.11) a dostatečě hladkou fukci u, která tuto rovost splňuje pro x < ξ(t) a x > ξ(t) se skokem podél hladké křivky x = ξ(t), avíc tato fukce splňuje počátečí podmíku (jde o klasické řešeí ve smyslu defiice 1.1), více viz [11]. Tato Obr. 1.1 Ilustrace k odvozeí Rakieovy-Hugoiotovy podmíky. fukce má pro libovolé t limity zprava a zleva, které budeme začit ásledujícím způsobem lim x ξ(t) + u(x, t) = u+ (ξ(t), t) := u r, lim x ξ(t) u(x, t) = u (ξ(t), t) := u l,

6 Základí teoretické pozatky aalogicky lim f(u(x, t)) := f(u r), x ξ(t) + lim f(u(x, t)) := f(u l). x ξ(t) Námi předpokládaá fukce u(x, t) musí v Ω 1 a v Ω 2 splňovat defiici slabého řešeí (viz defiice 1.2), kde ebude zahruta počátečí podmíka, protože oblast Ω je volea mimo počátek, tj. musí platit Ω i [φ t u + φ x f(u)] dxdt = 0 pro i = 1, 2 pro všechy fukce φ, které yí uvažujeme ulové a hraici Ω = Ω v 1 Ω v 2, tj. z podprostoru fukcí [C0 (R 0, ))]. Ozačíme hraici oblasti Ω 1 jako Ω 1 = Ω v 1 S a hraici oblasti Ω 2 jako Ω 2 = Ω v 2 S. Dále ozačíme složky vějších ormál k Ω 1 a Ω 2 ásledově: 1 = ( x 1, t 1) a 2 = ( x 2, t 2). Použitím Greeovy věty, (1.11) v oblastech Ω 1, Ω 2 a faktu, že φ jsme speciálě zvolili ulové a hraici Ω, dostaeme 0 = [φ t u + φ x f(u)] dxdt + [φ t u + φ x f(u)] dxdt = Ω 1 Ω 2 = φ u t 1 ds + φf(u) x 1 ds φ u t dxdt φ f(u) x dxdt + Ω 1 Ω 1 Ω 1 Ω 1 + φ u t 2 ds + φf(u) x 2 ds φ u t dxdt φ f(u) x dxdt = Ω 2 Ω 2 Ω 2 Ω 2 = = (f(u) x 1 + u t 1)φ ds + (f(u) x 2 + u t 2)φ ds (u t + f(u) x ) φ dxdt Ω 1 Ω 2 Ω 1 (u t + f(u) x ) φ dxdt = (f(u), u) φ 1 dxdt + (f(u), u) φ 2 dxdt = Ω 2 Ω 1 Ω 2 (f(u), u) φ 1 dxdt + lim x ξ(t) (f(u), u) φ 1 dxdt + (f(u), u) φ 2 dxdt + Ω v 1 S Ω v 2 + S lim x ξ(t) +(f(u), u) φ 2 dxdt = S (f(u r ), u r ) φ 1 ds + Pro S platí, že = 1 = 2, a tedy (f(u r ) f(u l ), u r u l ) φ ds = 0. S (f(u l ), u l ) φ 2 ds. S

1.3 Skalárí lieárí rovice 7 Fukce φ je libovolá, a tedy platí (f(u r ) f(u l ), u r u l ) = 0. Pro křivku S parametrizovaou x = ξ(t) je jedotkový vektor ormály = 1 ξ(t) 1 + ξ(t), 2 1 + ξ(t), 2 a tedy a křivce S platí f(u r ) f(u l ) = ξ(t)(u r u l ), (1.12) kde ξ(t) = s je rychlost šířeí espojitosti. Výše uvedeá rovost se azývá Rakieův-Hugoiotův vztah (v této souvislosti velmi často azývaý Rakieova-Hugoiotova podmíka ebo podmíka skoku). Fukce u(x, t) je slabé řešeí, pokud je řešeím v klasickém smyslu v obou regioech Ω 1 a Ω 2 a splňuje Rakieův-Hugoiotův vztah podél hladké křivky x = ξ(t). 1.3 Skalárí lieárí rovice V této kapitole uvažujme ejjedodušší z modelů využívající se k popisu prouděí a to počátečí úlohu pro lieárí skalárí rovici u t + au x = 0, x R, t (0, T ), T > 0, a R, (1.13) u(x, 0) = u 0 (x), x R. (1.14) Tato rovice se azývá též advekčí. Modeluje advekci (trasport) apříklad ečistoty spolu s proudem. Kocetrace ečistoty se předpokládá dostatečě malá, tak aby její malé změy eovlivily dyamiku prouděí. Hledaá veličia u = u(x, t) zde tedy může reprezetovat apříklad hustotu (kocetraci) ečistot ve vodě a a = = kost. je rychlost proudu. Řešeí výše uvedeé počátečí úlohy ebudeme studovat a celém časoprostorovém válci R (0, T ), ale bude ás zajímat chováí řešeí a určitých křivkách. Tyto křivky azýváme charakteristikami, eboli charakteristickým systémem difereciálí rovice: Defiice 1.9. Rovici (1.13) přiřadíme soustavu obyčejých difereciálích rovic (charakteristický systém) pro ezámé x = x(s) a t = t(s) dx(s) ds dt(s) ds = a, (koeficiet u u x ), (1.15) = 1, (koeficiet u u t ). (1.16) Každé klasické řešeí Z(s) = (x(s), t(s)) azveme charakteristikou.

8 Základí teoretické pozatky Pro výše uvedeou advekčí rovici přidáme počátečí podmíky x(0) = x 0 a t(0) = 0 odpovídající počátečím podmíkám pro advekčí rovici (1.14) a lze již vypočítat hledaé charakteristiky: x(s) = as + C 1, C 1 = kost. (1.17) t(s) = s + C 2, C 2 = kost. (1.18) Dosazeím počátečích podmíek určíme kostaty C 1 a C 2 : x(0) = C 1 = x 0, (1.19) t(0) = C 2 = 0. (1.20) Získáváme charakteristiku Z(s) = (as + x 0, s), eboli vyloučeím parametru s získáme polopřímky x = x 0 + at. Dále lze sado ukázat, že řešeí u(x, t) je podél polopřímek Z(s) kostatí (využitím (1.15), (1.16) a (1.13)): d u dt u(x(s), t(s)) = ds t ds + u x Výše uvedeá advekčí rovice má tedy jedoduché řešeí dx ds = u t + au x = 0. (1.21) u(x, t) = u 0 (x at). (1.22) Tedy podél polopřímek x 0 + at, viz Obr. 1.2, kde x 0 je libovolý bod a ose x, bude řešeí u(x, t) rovo hodotě u 0 (x at). Jiými slovy, hodota u 0 se pouze trasportuje podél polopřímek. Jedoduchým zobecěím skalárí advekce je předpoklad, že t x = x 0 + at x 0 x Obr. 1.2 Charakteristiky advekčí rovice pro a > 0. a = a(x), tedy získáváme advekčí rovici s ekostatími koeficiety (jde o tzv. ekozervativí tvar): u t + a(x)u x = 0, x R, t (0, T ), T > 0, (1.23) u(x, 0) = u 0 (x). (1.24) Teto model popisuje apříklad prouděí ečistot (opět předpokládáme ízkou kocetraci) v řece, kdy v každém bodě může být rychlost prouděí růzá. Opět určíme charakteristiky této ové advekčí rovice řešeím ásledující soustavy obyčejých

1.3 Skalárí lieárí rovice 9 difereciálích rovic se stejými počátečími podmíkami jako v předchozím případě dx(s) ds dt(s) ds = a(x), (1.25) = 1. (1.26) Získáme tak soustavu charakteristik Z(s) = (x(s), s), které pro a kost. již ebudou přímkami. Podél těchto křivek však stále platí, že je řešeí kostatí. 1.3.1 Riemaův problém pro skalárí lieárí rovici V této podkapitole defiujeme speciálí počátečí úlohu pro advekčí rovici azývaou Riemaův problém, viz Obr. 1.3: u t + au x = 0, x R, t (0, T ), T > 0, a R, (1.27) { ul pro x < 0, u(x, 0) = u 0 (x) = (1.28) u r pro x > 0, kde u l = kost. a u r = kost. Pokud předpokládáme espojité počátečí podmíky, které jsou kostatí, mluvíme také o klasickém Riemaově problému. V případě, že předpokládáme po částech polyomiálí počátečí podmíky, mluvíme o zobecěém Riemaově problému, viz podkapitola 1.7.2. u 0 u l u r x 0 = 0 x Obr. 1.3 Počátečí podmíky Riemaova problému. Pro espojitou počátečí podmíku získáme ásledující etropické řešeí Riemaova problému (odvozeé řešeí (1.22) lze použít i pro espojité počátečí podmíky), viz Obr. 1.4, u(x, t) = u 0 (x at) = { ul pro x at < 0, u r pro x at > 0. (1.29) Jiými slovy, espojitost (skok u r u l ) se šíří rychlostí a doprava ebo doleva (v závislosti a zaméku u rychlosti a) s eměým profilem.

10 Základí teoretické pozatky t x at < 0 x at = 0 x at > 0 u l u r 0 x Obr. 1.4 Ilustrace řešeí Riemaova problému pro advekčí rovici. 1.4 Soustava lieárích rovic V této kapitole se budeme zabývat počátečí úlohou pro soustavu lieárích rovic u t + Au x = 0, x R, t (0, T ), T > 0, (1.30) u(x, 0) = u 0 (x), x R. (1.31) kde u = u(x, t) je vektor ezámých fukcí (zachovávaé veličiy), soustava se předpokládá ryze hyperbolická, tj. matice A R m m je diagoalizovatelá s reálými růzými vlastími čísly, více viz apříklad [9], ebo [1]. Jedoduchým příkladem takovéto lieárí soustavy může být model lieárí akustiky: [ p u ] t [ 0 + K0 1 ρ 0 0 ] [ p u ] x = [ 0 0 ], (1.32) kde p = p(x, t) a u = u(x, t) jsou perturbace tlaku a rychlosti (v akustice). Parametr K 0 reprezetuje objemový modul pružosti a ρ 0 je hustota. Teto model popisuje apříklad šířeí zvukových vl v jedodimezioálí trubici aplěé plyem. Jde o liearizovaý (zjedodušeý) model, protože obecě jsou problémy akustiky elieárími úlohami, které obsahují takzvaé rázové vly (apříklad tzv. soický třesk). Abychom mohli řešit lieárí soustavu (1.30), je potřeba provést ásledující kroky: využijeme diagoalizovatelosti matice A, tedy existece regulárí matice R (jejími sloupci jsou pravé vlastí vektory matice A), takové, že platí A = RΛR 1, (1.33) kde Λ = diag(λ 1,..., λ m ), kde λ p, p = 1,..., m, jsou vlastí čísla matice A. Tedy získáme u t + RΛR 1 u x = 0. (1.34) Dalším krokem je vyásobeí soustavy maticí R 1 zleva: R 1 u t + R 1 RΛR 1 u x = 0. (1.35)

1.4 Soustava lieárích rovic 11 Posledím krokem je zavedeí ové ezámé a trasformace počátečí podmíky tedy získáme ásledující počátečí úlohu v(x, t) = R 1 u(x, t), (1.36) v(x, 0) = R 1 u(x, 0), (1.37) v t + Λv x = 0, x R, t (0, T ), T > 0, (1.38) v(x, 0) = v 0 (x), x R. (1.39) Protože matice Λ je diagoálí, lze počátečí úlohu (1.38), (1.39) rozdělit a m ezávislých lieárích advekčích počátečích úloh, tedy v p t + λ p v p x = 0, x R, t (0, T ), T > 0, p = 1,..., m, (1.40) v p (x, 0) = v p 0(x), x R. (1.41) Protože jsme předpokládali, že matice A je ryze hyperbolická, tedy vlastí čísla jsou reálá, mají tyto rovice stejý fyzikálí smysl, jako v kapitole 1.3. Jak bylo ukázáo, iformace (počátečí podmíka) se bude šířit po charakteristických křivkách (polopřímkách) x(s) = x 0 + λ p t rychlostí (charakteristickou rychlostí) λ p, eboli řešeí advekčích rovic je ásledující (viz (1.22)) v p (x, t) = v p 0(x λ p t), p = 1,..., m. (1.42) Návratem k původí proměé u, viz (1.36), získáme ásledující u(x, t) = Rv(x, t) = m v p (x, t)r p = p=1 m v0(x p λ p t)r p, (1.43) p=1 kde r p, p = 1,..., m, jsou pravé vlastí vektory matice A (sloupce matice R). Řešeí je tedy lieárí kombiace pravých vlastích vektorů matice A, eboli je superpozicí vl (šířeá iformace se často azývá vla), které se šíří rozdílými rychlostmi λ p a svůj tvar, tj. v p 0(x λ p t)r p, eměí. Pokud zavedeme levé vlastí vektory l p, tedy sloupce matice R 1, získáme řešeí závislé přímo a počátečí podmíce u 0, tedy u(x, t) = m l p u 0 (x λ p t)r p. (1.44) p=1 K určeí řešeí soustavy lieárích rovic je tedy potřeba zát vlastí strukturu matice A, tj. vlastí čísla a příslušé levé a pravé vlastí vektory. 1.4.1 Oblast závislosti V této podkapitole rozebereme pojem oblast (též obor) závislosti. Ve stručosti byl popsá v [1]. Předpokládejme soustavu rovic s vlastími čísly λ p, p = 1,..., m.

12 Základí teoretické pozatky Hledáme oblast závislosti v ějakém bodě (x d, t d ), v tomto bodě je řešeí u(x d, t d ) ovlivěo počátečí podmíkou pouze v bodech x d λ p t d, viz (1.44). Defiujeme tedy oblast závislosti ásledově: Defiice 1.10 (Oblast závislosti). Oblastí (oborem) závislosti bodu (x d, t d ) hyperbolické soustavy rovic (1.30) azveme ásledující možiu D(x d, t d ) = {x d λ p t d, p = 1,..., m}, (1.45) kde λ p, p = 1,..., m, jsou vlastí čísla matice A. t (x d, t d )... x d λ m t d x d λ (m 1) t d... x x d λ 1 d λ 2 t d t d x Obr. 1.5 Oblast závislosti. Situaci ilustruje Obr. 1.5, řešeí v bodě (x d, t d ) ovlivňuje počátečí podmíka v m vyzačeých bodech. Pro hyperbolické rovice je oblast závislosti vždy omezeá možia (viz pozámka 1.12), protože se iformace šíří vždy koečou rychlostí (a rozdíl od parabolických rovic), viz model advekčí rovice, kapitola 1.3. Oblast závislosti úzce souvisí s umerickou oblastí závislosti, tzv. CFL (Courat, Friedrichs, Levy) podmíkou. Více viz apříklad [9]. 1.4.2 Riemaův problém pro soustavu lieárích rovic V této podkapitole opět defiujeme speciálí počátečí úlohu pro lieárí soustavy s po částech kostatí počátečí podmíkou (klasický Riemaův problém) u t + Au x = 0, x R, t (0, T ), T > 0, A R m m, (1.46) { ul pro x < 0, u(x, 0) = u 0 (x) = (1.47) u r pro x > 0, kde u l R m a u r R m (vektory kostat). Jak již bylo řečeo v podkapitole 1.3.1, je řešeí klasického Riemaova problému pro jedotlivé advekčí rovice ásledující { v p (x, t) = v0(x p v p λ p l pro x λ t) = p t < 0, vr p pro x λ p (1.48) t > 0

1.5 Hugoiotovy možiy 13 a pro počátečí podmíky platí u l = Rv l = u r = Rv r = m v p l rp, (1.49) p=1 m vrr p p. (1.50) p=1 Tedy hledaé řešeí u(x, t) má ásledující tvar u(x, t) = = p:λ p <x/t p:λ p <x/t v p rr p + l p u r r p + p:λ p >x/t p:λ p >x/t v p l rp = (1.51) l p u l r p. (1.52) Rakieova-Hugoiotova podmíka, viz podkapitola 1.2.1, pro soustavu lieárích rovic je ásledující A(u r u l ) = λ(u r u l ), (1.53) tedy skok ve vektoru u r u l je vlastím vektorem matice A a λ, tj. λ p, p = 1,..., m, jsou rychlosti šířeí espojitostí. Jak bylo vysvětleo v podkapitole 1.3.1, jedotlivé espojitosti (skoky) u p r u p l se šíří po odpovídající p-té charakteristice rychlostí λ p doleva ebo doprava (v závislosti a zaméku p-tého vlastího čísla). Lze tedy hledaé řešeí apsat v ásledujícím tvaru, viz (1.44), u(x, t) = u l + p:λ p <x/t = u r p:λ p >x/t 1.5 Hugoiotovy možiy l p (u r u l )r p = (1.54) l p (u r u l )r p. (1.55) V této kapitole rozebereme pojem Hugoiotových moži, podroběji lze toto téma alézt apříklad v [9], ebo v [22]. Předpokládejme soustavu lieárích rovic pro dvě ezámé, viz apříklad model (1.32). Zopakujme Riemaův problém pro soustavu lieárích rovic, podroběji viz podkapitola 1.4.2, u t + Au x = 0, x R, t (0, T ), T > 0, A R m m, (1.56) { ul pro x < 0, u(x, 0) = u 0 (x) = (1.57) u r pro x > 0,

14 Základí teoretické pozatky kde u l R m a u r R m. Připomeňme, že soustavu předpokládáme ryze hyperbolickou s vlastími čísly λ 1, λ 2 a odpovídajícími vlastími vektory r 1, r 2. Možé řešeí výše uvedeého Riemaova problému pro soustavu lieárích rovic je a Obr. 1.7. Fázovou roviou azveme roviu závislosti u 1 a u 2, často začeo (u 1, u 2 ) rovia. Každý vektor u(x, t) = [u 1, u 2 ] T je v této roviě reprezetová bodem. Stavy u r a u l jsou tedy v (u 1, u 2 ) roviě reprezetováy body. Jak bylo již řečeo v 1.4.2 skok u r u l se šíří jako espojitost pouze pokud je vlastím vektorem matice A. Tedy úsečka u r u l musí být rovoběžá s jedím z vlastích vektorů r 1 ebo r 2. u 2 p 2 x(t) = λ 1 t t x(t) = λ 2 t p 1 u l u r 2 u l u r r 1 x 0 = 0 x Obr. 1.6 Ilustrace k Hugoiotovým možiám. u 1 Obr. 1.7 Ilustrace řešeí Riemaova problému. Situaci ilustruje Obr. 1.6, skok mezi u r u l se může šířit je pokud stav u r bude ležet a jedé z vyzačeých přímek p 1 ebo p 2, kdy platí již zmíěá rovoběžost s vlastími vektory, tj. r 1 p 1 a r 2 p 2. Tyto přímky jsou možiami všech bodů, které mohou spojovat stav u l 1. ebo 2. vlou (espojitostí, iformací). Tuto možiu bodů azýváme Hugoiotovou možiou. Uvažujme dvě možosti počátečích podmíek Riemaova problému pro lieárí soustavy a jeho řešeí u *, který je spoje se stavem u l prví vlou (espojitostí) a zároveň se stavem u r druhou vlou, viz obrázky 1.8 a 1.9. u 2 u l p 2 p 2 u p 1 p 1 u 2 u r p 2 p 2 p 1 p 1 u r u l u r 2 r 2 r 1 r 1 u 1 u 1 Obr. 1.8 Řešeí Riemaova problému ve fázové roviě 1. Obr. 1.9 Řešeí Riemaova problému ve fázové roviě 2. Podroběji vysvětlíme situaci a Obr. 1.8. Tedy stav (ve fázové roviě bod) u l je spoje vlou se stavem (bodem) u *, protože leží a úsečce p 1 rovoběžou s r 1,

1.6 Skalárí elieárí rovice 15 procházející stavem (bodem) u l. Stejě tak je stav (bod) q r spoje vlou se stavem (bodem) q *, protože leží a úsečce p 2 rovoběžou s r 2 procházející stavem (bodem) u r. Aalogické vysvětleí lze provést u Obr. 1.9. 1.6 Skalárí elieárí rovice Věujme se yí ásledující počátečí úloze pro skalárí elieárí rovici u t + [f(u)] x = 0, x R, t (0, T ), T > 0, (1.58) u(x, 0) = u 0 (x), x R. (1.59) Budeme předpokládat, že fukce f(u) je kovexí, tedy f (u) je vždy kladé. Upozorěme, že pokud f(u) = au, kde a = kost. získáváme lieárí skalárí rovici, viz kapitola 1.3. Nelieárí rovice lze přepsat do tzv. kvazilieárího tvaru, tj. u t + f (u)u x = 0, (1.60) kde f (u) = df(u). Lze tedy tuto rovici chápat jako advekčí rovici (1.13) s proměou rychlostí prouděí f (u). Charakteristiky budou, dle defiice 1.9, řešeí á- du sledující soustavy obyčejých difereciálích rovic dx(s) ds dt(s) ds = f (u), (1.61) = 1, (1.62) s počátečími podmíkami x(0) = x 0 a t(0) = 0. Řešeím jsou tedy křivky o rovici x = x 0 +f (u)t. Na těchto křivkách je řešeí kostatí, eboť, stejě jako v kapitole 1.6, platí: d ds u dt u(x(s), t(s)) = t ds + u x dx ds = u t + f (u)u x = 0. (1.63) Protože řešeí je a křivce kostatí, tj. u = kost., musí platit, že i f (u) = = kost. a křivky jsou tedy opět přímkami. Na rozdíl od lieárí skalárí rovice, kdy se charakteristiky ikdy eprotly, může být struktura charakteristik u elieárí skalárí rovice velmi růzá. Tato struktura umožňuje vzikout rázovým vlám, které jsou speciálím případem řešeí Riemaova problému, viz podkapitola 1.6.1. O existeci, jedozačosti a vlastostech řešeí elieárí skalárí rovice pojedává ásledující fudametálí věta a pozámka (i s důkazy k alezeí apř. v [4]): Věta 1.11 (Kružkov). Skalárí počátečí úloha (1.58), (1.59), kde f C 1 (R) a u 0 L (R) má jedozačé etropické řešeí u(x, t) L (R R + ).

16 Základí teoretické pozatky Pozámka 1.12 (Vlastosti řešeí). Lze ukázat, že etropické řešeí z předchozí věty splňuje ásledující vlastosti (viz [4]): 1. stabilita: pro skoro všecha t R + platí u(x, t) L (R R + ) u 0 L (R), 2. mootóost řešeí: pokud pro dvě počátečí podmíky platí: u 0 (x) r 0 (x) pro skoro všecha x R, potom pro odpovídající řešeí platí: u(x, t) r(x, t) pro skoro všecha x R a skoro všecha t R +, 3. klesající totálí variace (TVD vlastost): pokud u 0 BV(R), potom u(, t) BV(R) a TV(u(, t)) TV(u 0 ( )), 4. kozervativita: pokud u 0 L 1 (R), potom u(x, t) dx = u 0 (x) dx R R pro skoro všecha t R +, 5. koečá oblast závislosti: pokud u(x, t) a r(x, t) jsou dvě etropická řešeí odpovídající počátečím podmíkám u 0 (x), r 0 (x) L a M = max { f (s) : s max ( u 0 (x) L (R), r 0 (x) L (R)) }, potom platí b a r(x, t) u(x, t) dx b Mt a Mt r 0 (x) u 0 (x) dx, jedoduše řečeo: pokud u 0 (x) a r 0 (x) bude ležet v {x : x x 0 < d}, potom u(x, t) a r(x, t) bude ležet v trojúhelíku {(x, t) : x x 0 + Mt < d}, viz podkapitola 1.4.1. Pozámka 1.13. Prostor BV(R) začí prostor fukcí, které mají omezeou totálí variaci a R, symbol TV( ) ozačuje totálí variaci ějaké fukce, která je defiováa ásledově: pro libovolou fukci u(x) je TV(u) = sup N u(ξ j ) u(ξ j 1 ), kde supremum je přes všecha děleí = ξ 0 < ξ 1 < < ξ N =. Defiice a vlastosti prostorů L 1, L a C 1 lze alézt v pozámce 1.4, ebo v [8]. Výše uvedeá věta ám kromě jedozačosti řešeí také uvádí moho vlastostí tohoto řešeí. Je saha, aby umerické řešeí ějakým vhodým způsobem kopírovalo tyto vlastosti. j=1

1.6 Skalárí elieárí rovice 17 1.6.1 Riemaův problém pro skalárí elieárí rovici Defiujme klasický Riemaův problém pro skalárí elieárí rovici u t + [f(u)] x = 0, x R, t (0, T ), T > 0, (1.64) s espojitými počátečími podmíkami u(x, 0) = u 0 (x) = { ul pro x < 0, u r pro x > 0, (1.65) kde u l a u r jsou kostaty. Jako motivačí příklad zde použijeme evazkou Burgersovu rovici, viz (1.4), tj. řešíme ásledující úlohu ( ) 1 u t + 2 u2 = 0, x R, t (0, T ), T > 0 (1.66) x s počátečími podmíkami u(x, 0) = u 0 (x) = { 1 pro x < 0, 1 pro x 0. (1.67) Lze ukázat, že fukce u 1 (x, t) = u 0 (x) je slabým řešeím této rovice, viz Obr. 1.10. Také lze ukázat, že i fukce 1 pro x < t, x u 2 (x, t) = pro t x t, (1.68) t 1 pro x > t je slabým řešeím, viz Obr. 1.11. Ovšem pouze řešeí u 2 (x, t) je etropické, tedy fyzikálě správé. u u 1 1 x x 1 1 Obr. 1.10 Řešeí Burgersovy rovice u 1. Obr. 1.11 Řešeí Burgersovy rovice u 2. Pokud u(x, t) je řešeím Riemaova problému, potom i u(αx, αt), pro libovolé α > 0, bude řešeím, protože rovice (1.64) i počátečí podmíky (1.65) jsou ivariatí vzhledem ke změě souřadic x αx a t αt. Velmi stručě ačrtěme myšleku důkazu: pokud u 0 (x) je počátečí podmíka a u(x, t) je odpovídající etropické řešeí, potom pro počátečí podmíku u 0 (αx) (což je stejá počátečí

18 Základí teoretické pozatky podmíka jako u 0 (x)) existuje etropické řešeí u(αx, αt). Podle věty 1.11 je toto řešeí jedozačé, a tedy musí platit u(αx, αt) u(x, t). Pokud zvolíme α = 1/t, získáváme u(x, t) = u(x/t, 1) = w(x/t). V případě Riemaova problému se tedy často mluví o tzv. podobostím řešeí ( self-similar solutio ) a počátečí úloha (1.64) a (1.65) se redukuje a hledáí fukce w(η) L, kde jsme ozačili η = x/t, pro kterou platí ásledující rovice ve smyslu distribucí s počátečími podmíkami ηw η(η) + [f(w(η))] η = 0, η R (1.69) w( ) = u l, (1.70) w( ) = u r. Více lze alézt v [4]. Budeme předpokládat, že řešeí Riemaova problému (pokud existuje) lze zkostruovat kombiací z ásledujících tří elemetárích vl (řešeí): 1. Kostatí stav, tj. u(x, t) = kost. Jde o klasické řešeí. 2. Rázová vla. 3. Vla zředěí. Viz apříklad [6], [5], [4] a další. Rázová vla Rázová vla je řešeí Riemaova problému (1.64), (1.65) ve tvaru { ul pro x < st, u(x, t) = u r pro x > st, kdy musí platit Rakieova-Hugoiotova podmíka (1.71) f(u r ) f(u l ) = s(u r u l ), (1.72) kde s je rychlost šířeí espojitosti, a avíc podmíka etropie f (u l ) > s > f (u r ), viz Obr. 1.12. Odpovídající struktura charakteristik je a Obr. 1.13. Vla zředěí Vla zředěí, viz Obr. 1.14, je spojité řešeí Riemaova problému (1.64) a (1.65), resp. (1.69) a (1.70). Platí (budeme používat začeí u(x, t) = u(η) = w(η), protože, jak bylo azačeo v podkapitole 1.6, jde o jedo a totéž řešeí, a proto eí uté zavádět jié symboly) [ η + f (u(η))]u η(η) = 0. (1.73) Pro u η(η) = 0 je řešeí kostatí, a tedy klasické. Pro u η(η) 0 bude mít rovice η = f (u(η)) jedozačé řešeí podle věty o řešitelosti rovic. Struktura charakteristik v případě vly zředěí je a Obr. 1.15, kdy platí f (u l ) < f (u r ).

1.7 Soustavy elieárích rovic 19 t x st < 0 u l x(t) = st x st > 0 u r x(t) = f (u l )t t x(t) = st x(t) = f (u r )t x 0 = 0 x x 0 = 0 x Obr. 1.12 Řešeí Riemaova problému rázová vla. Obr. 1.13 Struktura charakteristik rázová vla. u t x(t) = tf (ul) u l f ( u ( )) x t = x t f ( u ( )) x t = x t x(t) = tf (ur) u r x 0 = 0 x x0 = 0 x Obr. 1.14 Řešeí Riemaova problému vla zředěí. 1.7 Soustavy elieárích rovic Uvažujme yí soustavu elieárích hyperbolických rovic Obr. 1.15 Struktura charakteristik vla zředěí. u t + [f(u)] x = 0, x R, t (0, T ), T > 0, (1.74) u(x, 0) = u 0 (x), x R. (1.75) Soustavu (1.74) přepíšeme do kvazilieárího tvaru u t + f (u)u x = 0, (1.76) kde f (u) je Jacobiho matice fukce f = f(u). Soustava (1.74) se, stejě jako v případě lieárích soustav, předpokládá ryze hyperbolická. Vlastí čísla Jacobiho matice λ p (u), p = 1,..., m, se opět azývají charakteristické rychlosti šířeí vl (espojitostí, iformací). 1.7.1 Riemaův problém pro soustavy elieárích rovic Stejě jako v předchozích případech defiujme klasický Riemaův problém pro soustavu elieárích rovic s espojitými počátečími podmíkami u t + [f(u)] x = 0, x R, t (0, T ), T > 0 (1.77) u(x, 0) = u 0 (x) = { ul pro x < 0, u r pro x > 0, (1.78)

20 Základí teoretické pozatky kde u l R m a u r R m jsou vektory kostat. Stejě jako ve skalárím případě platí, že pokud u je slabým řešeím (1.77) a (1.78), potom i u(αx, αt), pro libovolé α > 0, bude řešeím. Riemaův problém lze přepsat pomocí ové proměé η = x a soustavu obyčejých difereciálích t rovic ηu η(η) + f (u(η))u η = 0, η R, (1.79) u( ) = u l, (1.80) u( ) = u r. (1.81) Existeci řešeí výše uvedeého klasického Riemaova problému pro elieárí soustavy řeší ásledující věta, která je i s důkazem k alezeí apříklad v [4], ebo v [21]: Věta 1.14 (Lax). Za předpokladu, že u r u l je dostatečě malé, bude řešeí Riemaova problému ve tvaru u = u(η), η = x. Toto řešeí se bude skládat z m vl oddělujících m + 1 stavů u l = u 0, u 1,..., u m = u r. Pro libovolé t k = 1,..., m je k-tá vla buď rázová vla, vla zředěí, popř. kotaktí espojitost, pokud odpovídající charakteristické pole je ryze elieárí, popř. lieárě degeerovaé. Pokud amplituda všech m vl je dostatečě malá, potom řešeí je jedozačé. Výše uvedeé pozatky lze shrout do ásledujících tří případů: 1. Dva kostatí stavy u r a u l jsou spojey rázovou vlou, viz Obr. 1.16, v ryze elieárím charakteristickém poli λ i a platí Rakieův-Hugoiotův vztah f(u r ) f(u l ) = s i (u r u l ) (1.82) a podmíka etropie λ i (u l ) > s i > λ i (u r ). (1.83) 2. Dva kostatí stavy u r a u l jsou spojey kotaktí espojitostí, viz Obr. 1.17, v lieárě degeerovaém charakteristickém poli λ i a platí Rakieův-Hugoiotův vztah f(u r ) f(u l ) = s i (u r u l ) (1.84) a podmíka λ i (u l ) = s i = λ i (u r ). (1.85)

1.7 Soustavy elieárích rovic 21 t s i u l u r 0 x Obr. 1.16 Řešeí Riemaova problému rázová vla. t s i u l u r 0 x Obr. 1.17 Řešeí Riemaova problému kotaktí espojitost. 3. Dva kostatí stavy u r a u l jsou spojey vlou zředěí, viz Obr. 1.18, v ryze elieárím charakteristickém poli λ i a platí λ i (u l ) < λ i (u r ). (1.86) Příklad 1.15. Určete řešeí Riemaova problému pro Sait-Veatovy rovice s eměým obdélíkovým průřezem a rovým dem, tj. (1.1) s ulovou pravou straou, tedy pro připomeutí jde o ásledující model: s espojitými počátečími podmíkami [ ] hl q l u(x, 0) = [ ] hr kde h l, h r, q l, q r R a q = hv. h t + q x = 0, (1.87) ( q 2 q t + h + 1 ) 2 gh2 = 0 q r x pro x < 0, (1.88) pro x > 0,

22 Základí teoretické pozatky λ(ul) t λ(ur) u l u r 0 x Obr. 1.18 Řešeí Riemaova problému vla zředěí. Řešeí. Velmi podrobě lze řešeí uvedeé úlohy alézt v [9]. Pro řešeí Riemaova problému pro (1.87) budeme potřebovat vlastí čísla a vlastí vektory Jacobiho matice soustavy. Uvedeme zde pouze výsledky, protože podrobý výpočet lze alézt v [1] ebo v [9]. Tedy Jacobiho matice soustavy je [ ] f 0 1 (u) = q2 + gh 2 q (1.89) h 2 h s vlastími čísly a odpovídajícími vlastími vektory [ r 1 1 = q gh h λ 1,2 = q h gh (1.90) ] [, r 2 = 1 q + gh h ]. (1.91) Dále připomeňme, že charakteristická pole defiovaá vlastími čísly λ 1,2 jsou obě ryze elieárí, odvozeí opět v [1] ebo v [9]. Jako prví rozebereme rázovou vlu, tedy espojité řešeí Riemaova problému. V úvodu stručě ačrtěme způsob řešeí: víme že rázová vla je takové řešeí Riemaova problému, které musí splňovat Rakieovu-Hugoiotovu podmíku a také podmíku etropie. Navíc budeme hledat řešeí v takovém tvaru, abychom ho mohli jedoduše zobrazit ve fázové roviě. Tedy podroběji: hledáme všechy stavy u, které mohou být spojey s pevě zvoleým stavem u c, reprezetující u l ebo u r. Jak bylo již řečeo, podél rázové vly musí být splěa Rakieova-Hugoiotova podmíka, tedy s(u c u) = f(u c ) f(u), (1.92) kde s je rychlost šířeí rázové vly. Pro uvedeý model prouděí obdélíkovým korytem je Rakieova-Hugoiotova podmíka ásledující s(h c h) = q c q, (1.93) s(q c q) = q2 c q2 h c h + g ( h 2 2 c h 2).

1.7 Soustavy elieárích rovic 23 Získáváme dvě rovice pro tři ezámé h, q a s. Nejjedodušší způsob je získat řešeí závislé a jedom parametru, vyberme jako parametr h a elimiujme rychlost s. Důvodem je, že když získáme závislost q(h), lze ji pak ihed zobrazit ve fázové roviě, a my tak získáme rychlým způsobem Hugoiotovy možiy. Z prví rovice soustavy (1.93) určíme rychlost šířeí rázové vly s = q c q h c h a dosazeím do druhé rovice soustavy (1.93) získáme (q c q) 2 h c h (1.94) = q2 c q2 h c h + g ( h 2 2 c h 2). (1.95) Po úpravách získáme ásledující kvadratickou rovici pro q ( ) ( q 2 h 2q c q + q 2 h c g ) h (h c + h)(h c h) 2 = 0, (1.96) h c h c 2 h c jejíž řešeím je q 1,2 = q c h h c ± q 2 c ( h 2 h ) + g h (h c + h)(h c h) h c 2 h 2. (1.97) c h 2 c V případě, že zvolíme h = h c, potom dosazeím získáme q = q c, eboť požadujeme, aby křivka procházela bodem (h c, q c ), eboli body (h l, q l ) ebo (h r, q r ). Na obrázku 1.19 je zobrazea Hugoiotova možia bodů u, které mohou být spojey se stavem u l 1. rázovou vlou. Uvozovky jsou použity z toho důvodu, že jde o vlu, která splňuje Rakieovu-Hugoiotovu podmíku. Aby šlo o rázovou vlu (tedy etropické řešeí) musí být avíc splěa podmíka etropie, viz dále. Tedy Hugoiotovou možiou jsou pouze ěkteré body vyzačeé (čárkovaé) křivky. Na Obr. 1.20 je Hugoiotova možia bodů, které mohou být spojey 2. rázovou vlou. Je potřeba zde uvést, že 1. ebo 2. rázová vla eí určea zaméky + ebo v rovici (1.97). Volbou zaméka získáme pouze část možiy, druhá část patří ke druhé možiě. Abychom získali etropické řešeí, je potřeba split tzv. podmíku etropie (kokrétě používáme Laxovu podmíku etropie), tedy musí platit pro 1. rázovou vlu spojující stav u l a u * (ze všech výše určeých u vybereme ty, co splňují Laxovu podmíku etropie a ozačíme je u * ) a pro 2. rázovou vlu spojující stav u * a u r λ 1 (u l ) > s 1 > λ 1 (u * ) (1.98) λ 2 (u * ) > s 2 > λ 2 (u r ). (1.99) V případě ašeho modelu prouděí eměým obdélíkovým korytem lze odvodit jedoduché kritérium, abychom určili, které body a křivce a Obr. 1.19 jsou Hugoiotovou možiou (tj. splňující podmíku etropie), a které e. V případě 1. rázové

24 Základí teoretické pozatky q q u l u r 0 0 0 Obr. 1.19 Hugoiotova možia bodů spojující stav q l 1. rázovou vlou. h 0 Obr. 1.20 Hugoiotova možia bodů spojující stav q r 2. rázovou vlou. h vly, tj. vly spojující stav u l a u *, musí charakteristická rychlost λ 1 = v gh klesat (jak plye z podmíky (1.98)). Rakieova-Hugoiotova podmíka ám tedy říká, že h musí růst, a tedy musí platit h * > h l. Stejou úvahu lze provést pro 2. rázovou vlu, kdy získáme podmíku h * > h r. Hugoiotovy možiy jsou pro jedotlivé rázové vly vyzačey a Obr. 1.19 a 1.20 plou čarou. Nyí uvedeme dvě možé kombiace vl, viz Obr. 1.21 a 1.22. Rozeberme ejprve prví situaci. Na Obr. 1.21 jsou dvě možiy Hugoiotových bodů pro stavy u l a u r zobrazey plou čarou. Jak bylo řečeo v kapitole 1.5, řešeí Riemaova problému u * je a průsečíku uvedeých dvou křivek. Protože pro obě vly, splňující Rakieovu-Hugoiotovu podmíku (leží a křivce vyzačeé čárkovaě) splňují i etropickou podmíku (leží zároveň a plě vyzačeé části křivek), tedy platí výše uvedeé erovosti h * > h l a h * > h r, jsou obě vly rázové, tj. stav u l je spoje se stavem u * 1. rázovou vlou a stav u r je spoje se stavem u * 2. rázovou vlou. Jiá q q u u l 0 u r u 0 u r u l 0 Obr. 1.21 Hugoiotova možia bodů pro dvě rázové vly. h 0 Obr. 1.22 Hugoiotova možia bodů pro 2. rázovou vlu. je situace a Obr. 1.22. Jak je vidět, opět je řešeí průsečíkem obou čárkovaých křivek, tj. opět splňuje Rakieovu-Hugoiotovu podmíku, ovšem pouze 2. vla je vlou rázovou, tj. splňující zároveň etropickou podmíku (leží a plé čáře), tj. h

1.7 Soustavy elieárích rovic 25 platí h * > h r. Prví vla, spojující stav u l se stavem u * eí rázovou vlou, eboť esplňuje podmíku etropie, tj. eleží a plé čáře, tj. eplatí erovost h * > h l. Protože charakteristické pole defiovaé vlastím číslem λ 1 je ryze elieárí, může tyto stavy spojovat vla zředěí. Nyí se tedy zabývejme vlou zředěí, což je spojité řešeí Riemaova problému. Opět v úvodu hledáí řešeí stručě astííme jedotlivé kroky. Místo hledáí Hugoiotových moži budeme hledat itegrálí křivky a opět pouze tu část, která splňuje podmíku etropie. Na takovýchto křivkách určíme chováí vly zředěí. Jak již bylo řečeo v odstavci 1.6.1 a v 1.7.1, lze řešeí u(x, t) hledat ve tvaru u(η), kde η = x/t, která splňuje ásledující rovici f (u(η))u (η) = ηu (η). (1.100) V případě skalárí elieárí rovice lze elimiovat u (η), jak bylo ukázáo v odstavci 1.6.1, ovšem v případě elieárích soustav je u (η) vektor. Podle (1.100) je uté, aby vektor u (η) byl vlastím vektorem Jacobiho matice f (u(η)) pro každou hodotu η = x/t. Neboli hledáme itegrálí křivku vektorového pole r 1,2. Itegrálí křivka u(η) parametrizovaá skalárím parametrem η je defiováa jako křivka, v jejímž každém bodě je vektor r 1,2 ve směru tečy, tj. ve směru vektoru u (η). Pokud máme možiu vlastích vektorů, potom skalárí ásobek je také vlastím vektorem, tedy platí u (η) = α(η)r 1,2 (u(η)), (1.101) kde α(η) závisí a zvoleé parametrizaci η a zvoleé ormalizaci vektorů r 1,2. Pro áš model zvolíme pro jedoduchost α(η) = 1 a tedy musí platit: [ ] u (η) = r 1,2 1 (u(η)) = q. (1.102) gh h Tím získáme soustavu dvou obyčejých difereciálích rovic h (η) = 1 (1.103) q (η) = q h gh. (1.104) Budeme hledat řešeí ve tvaru q(h), tj. parametrizovaé podle h, abychom mohli řešeí jedoduše zobrazit ve fázové roviě. Prví difereciálí rovice má jedoduché řešeí: dh(η) = 1 h(η) = η. (1.105) dη Dosadíme do druhé rovice a získáme ásledující difereciálí rovici s pravou straou, ke které připojíme počátečí podmíku q(h c ) = q c, protože požadujeme, aby itegrálí křivka procházela ve fázové roviě bodem (h c, q c ), kde q c = h c v c, dq(η) dη = q η gη. (1.106)

26 Základí teoretické pozatky Protože jde o rovici s pravou straou, musíme ejprve alézt homogeí řešeí (ulová pravá straa), poté partikulárí řešeí, apříklad metodou variace kostat. Součtem homogeího a partikulárího řešeí a zohleděím počátečích podmíek získáme obecé řešeí difereciálí rovice (1.106). Tedy ejprve řešme homogeí rovici: dq H (η) dη = q H η q H (η) = Cη. (1.107) Dále hledáme partikulárí řešeí metodou variace kostat, tedy předpokládáme partikulárí řešeí v ásledujícím tvaru určíme derivaci dq p (η) dη q p (η) = C(η)η, (1.108) = C (η)η + C(η) (1.109) a dosazeím do difereciálí rovice (1.106) získáme g C (η) = η, (1.110) tedy přímou itegrací získáme Partikulárí řešeí má ásledující tvar Obecé řešeí po ávratu proměé h je zohleděím počátečích podmíek získáme C(η) = 2 gη. (1.111) q P (η) = 2η gη. (1.112) q(h) = Kh 2h gh, (1.113) q(h) = hv c ± 2h( gh c gh). (1.114) Vypočteé itegrálí křivky jsou zobrazey a Obr. 1.23 a 1.24. Upozorňujeme, že ejde o stejé křivky jako v případě Hugoiotových moži, ačkoliv jsou velmi podobé. Pro zájemce: Pouze pro zajímavost zde uvedeme pojem Riemaových ivariatů. Vyjděme ze vztahu 1.114, máme tedy ásledující dva vztahy hv = hv c + 2h( gh c gh), resp. hv = hv c 2h( gh c + gh). (1.115)

1.7 Soustavy elieárích rovic 27 q q 0 0 0 Obr. 1.23 Itegrálí křivky pro vektorové pole r 1. h 0 Obr. 1.24 Itegrálí křivky pro vektorové pole r 2. h po zkráceí h a drobé úpravě, získáváme v + 2 gh = v c + 2 gh c, resp. v 2 gh = v c 2 gh c. (1.116) Uvědomme si, že body (h c, v c ) a (h, v) jsou dva body a daé itegrálí křivce pro vektorové pole r 1 resp. r 2, a tedy fukce w 1 (u) = v + 2 gh, resp. w 2 (u) = v 2 gh (1.117) mají stále stejou hodotu podél odpovídající itegrálí křivky. Tyto fukce se azývají 1. resp. 2. Riemaův ivariat. Vraťme se k vlě zředěí (kokrétě středová vla zředěí), jde o řešeí v ásledujícím tvaru u l pro x/t η 1, u(x, t) = u(η) pro η 1 x/t η 2, (1.118) u r pro η 2 x/t, kde u l a u r jsou dva body a stejé itegrálí křivce, pro které platí λ p (u l ) < λ p (u r ) (abychom získali fyzikálě správé, tj. etropické řešeí), viz podkapitola 1.7.1. Tedy hledáme řešeí u(x, t) = u(η), které splňuje rovici (1.100) a leží a itegrálí křivce příslušející jedomu z vlastích vektorů r 1,2. Také bylo řečeo, že u (η) je vlastím vektorem Jacobiho matice f (u(η)), tedy platí ásledující eboli [f(u(η)) η] u (η) = 0 [λ p (u(η)) η] u (η) = 0, (1.119) λ p (u(η)) = η. (1.120) Výše uvedeé lze psát přímo z rovice (1.100), eboť podle defiice vlastích čísel a vlastích vektorů musí platit, že pokud u (η) je vlastím vektorem, pak η = x je t vlastím číslem. Zderivujeme (1.120) podle η: 1 = λ p (u(η))u (η), (1.121)

28 Základí teoretické pozatky kde λ p (u(η)) je gradiet p-tého vlastího čísla. Využitím (1.101) a drobou úpravou můžeme formulovat soustavu obyčejých difereciálích rovic u (η) = r p (u(η)) λ p (u(η))r p (u(η)). (1.122) Řešeím v itervalu η 1 η η 2 s počátečími podmíkami: u(η 1 ) = u l, u(η 2 ) = u r (1.123) získáme vlu zředěí uvitř tzv. vějíře zředěí, viz Obr. 1.18. Popsaý postup je obecý, yí určíme soustavu obyčejých difereciálích rovic pro áš model (1.87). Vlastí čísla a vlastí vektory lze alézt v (1.90) a (1.91), proto zde uveďme pouze ásledující výpočty: λ 1 (u(η)) = [ q h 2 1 2 g h 1 h ] [, λ 2 q + (u(η)) = 1 g h 2 2 h 1 h ]. (1.124) λ 1 (u(η))r 1 (u(η)) = 3 g 2 h, λ2 (u(η))r 2 (u(η)) = 3 g 2 h. (1.125) Dosazeím do (1.122), získáme ásledující obyčejé difereciálí rovice u (η) = 2 [ ] h 1 q 3 g, u (η) = 2 [ ] h 1 q gh h 3 g + (1.126) gh h s počátečími podmíkami (1.123). Podrobě vyřešíme pouze prví ze dvou soustav, máme tedy ásledující soustavu h (η) = 2 h(η) 3 g, (1.127) Separací proměých a poté itegrací (1.127) získáme q (η) = 2 q + 2 h. (1.128) 3 gh 3 dh(η) = 2 1 dη h(η) = 1 h 3 g 9g (K η)2. (1.129) Dále musíme idetifikovat kostatu K zohleděím počátečích podmíek (1.123) a též rovice (1.120), eboli h(η 1 ) = h l, η 1 = λ 1 (u(η 1 )) = q l h l gh l = v l gh l, (1.130) h(η 2 ) = h r, η 2 = λ 1 (u(η 2 )) = q r h r gh r = v r gh r. (1.131) Po užití obou podmíek získáme hodotu kostaty K: K = v l + 2 gh l = v r + 2 gh r. (1.132)

1.7 Soustavy elieárích rovic 29 Pro zájemce: Opět zde pro zájemce astííme souvislost kostaty K a Riemaova ivariatu. Protože K je 1. Riemaovým ivariatem, viz (1.117), tj. fukce, která je podél odpovídající itegrálí křivky kostatí, eí tedy uté dosazovat druhou podmíku a rovítko v (1.132) je možo psát ihed. Řešme yí druhou difereciálí rovici, tj. (1.128): dq(η) dη = 2 q + 2 h. (1.133) 3 gh 3 Protože řešeí h(η) již záme, dosadíme (1.129) do (1.133) a získáme ásledující difereciálí rovici s pravou straou dq(η) dη = 2q K η + 2 27g (K η)2, (1.134) kde kostata K je defiováa v (1.132). Opět budeme hledat homogeí a partikulárí řešeí jejichž součtem získáme obecé řešeí ehomogeí rovice. Tedy ejprve hledejme homogeí řešeí, tj. řešíme rovici (1.134) s ulovou pravou straou: dq H (η) dη separací proměých a ásledou přímou itegrací získáme = 2q H K η, (1.135) q H (η) = C 1 (K η) 2, (1.136) kde C 1 je libovolá kostata. Tuto kostatu upravíme ještě před dalším výpočtem ásledově (z důvodu jedoduššího vyjádřeí řešeí): C 1 = C, kde C je stále 27g libovolá kostata. Získáme ásledující homogeí řešeí q H (η) = C 27g (K η)2. (1.137) Partikulárí řešeí alezeme metodou variace kostat, tedy hledáme jej ve tvaru Zderivujeme partikulárí řešeí podle η: dq P (η) dη q P (η) = C(η) 27g (K η)2. (1.138) = C (η) 27g (K η)2 2 C(η) (K η). (1.139) 27g Dosazeím (1.138) a (1.139) do difereciálí rovice (1.133) ěkolika drobými úpravami a poté přímou itegrací získáme C (η) = 2 C(η) = 2η. (1.140)

30 Základí teoretické pozatky Partikulárí řešeí má tedy tvar q p (η) = 2 27g η(k η)2. (1.141) Obecé řešeí získáme součtem homogeího a partikulárího řešeí q(η) = C 27g (K η)2 + 2 27g η(k η)2. (1.142) Posledím krokem je určeí kostaty C zohleděím počátečích podmíek a též dosazeí kostaty K, tj. Opět získáme q(η 1 ) = q l, η 1 = λ 1 (u(η 1 )) = v l gh l, K = v l + 2 gh l (1.143) q(η 2 ) = q r, η 2 = λ 1 (u(η 2 )) = v r gh r, K = v r + 2 gh r. (1.144) C = v l + 2 gh l = v r + 2 gh r = K. (1.145) Je vidět, že kostata je stejá jako předchozí kostata K (z tohoto důvodu jsme mírě upravovali tvar kostaty C 1 ). Pokud bychom chtěli vyjádřit závislost q(h), využijeme řešeí (1.129), a získáme eboli Nyí tedy záme chováí u přes vlu zředěí. Pro zájemce: q(h) = Kh 2h gh, (1.146) v(h) = K 2 gh, (1.147) Stejě jako v předchozím případě je kostata C 1. Riemaovým ivariatem (tj. fukce, která je kostatí a odpovídající itegrálí křivce), tedy rovítko mezi v l +2 gh l a v r + + 2 gh r je oprávěé. Dále zde pro zájemce ačrteme jiý, elegatější, způsob řešeí druhé rovice. Protože záme chováí h(η) a záme i chováí itegrálí křivky (stavy popisující vlu zředěí musí ležet a odpovídající itegrálí křivce). Lze tedy pomocí řešeí (1.129) s kostatou defiovaou v (1.132) a odpovídající charakteristikou (po vyděleí h), viz (1.114), a využitím vlastosti 1. Riemaového ivariatu, získáme v(h) = v l + 2 gh l 2 gh = (1.148) = v r + 2 gh r 2 gh = (1.149) = K 2 gh. (1.150) Získali jsme tedy stejé řešeí druhé rovice, viz (1.147), a řešili jsme pouze jedodušší difereciálí rovici.