Jihočká uivrzita Pdagogická fakulta katdra fyziky Zpracováí a prztac výldků měří (KFY/ZPM) tručý učbí tt Pavl Kříž Čké Budějovic
005 Úvod Přdmět Zpracováí a prztac výldků měří (ZPM) volě avazuj a přdmět Fyzikálí praktikum I Úvod do fyzikálího praktika (FPR), určý pro tudty magitrkých oborů aprobací fyzika pro základí bo třdí školu. Dál také avazuj a přdměty Základí fyzikálí měří I Úvod do fyzikálího měří (ZFMB) a tatitické vyhodocováí primtálích dat I a II (VEB a VEB) určé pro tudty bakalářkého oboru Měřicí a výpočtí tchika akrditovaého a katdř fyziky Pdagogické fakulty Jihočké uivrzity v Čkých Budějovicích. Oproti výš zmíěým přdmětům j zd víc čau věováo kokrétím příkladům zpracováí fyzikálího měří a další prztaci výldků v růzých formách. Při zpracováváí kokrétích hypottických měří tudti učí využívat přdvším oobí počítač a jho růzé oftwarové vybaví. Jdá přdvším o aplikac produktů firmy Microoft, kokrétě o tabulkový kalkulátor Microoft Ecl a o program pro tvorbu prztací Microoft PowrPoit. Zbytk čaové dotac v přílušém mtru j věová záadám tvorby kofrčí vývěky, tzv. potru, v protřdí aplikac CorlDRAW. Vlatí zpracováí hypottických měří j zaměřo přdvším a zautomatizováí potupů při zpracováí a vytváří aplikačích tabulk a grafů. Do těchto tabulk by jjich budoucí uživatl pouz vyplil hodoty zíkaé vlatím měřím a oftwar by automaticky vypočítal přílušé hodoty tudovaých vliči a jjich odchylk a trojil přílušé grafy včtě jjich popik. Aplikačí tabulky a grafy jou pak vytvářy v takové formě, aby j bylo možé jdoduchým způobm vkládat do jiých oftwarových aplikací pro prztaci dat, apř. pomocí chráky Widow. Hodocí přoti vliči V této čáti bud tručě hruta tori zíkáváí měřé bo vypočítávaé vličiy a zíkáváí chyb těchto vliči z ouboru primtálě zjištěých hodot. Podrobější tortický rozbor j uvd v litratuř, ktrá byla doporuča u jdotlivých přdmětů zmíěých v úvodu, apř. [,, 3]. Hodota libovolé fyzikálí vličiy zjištěá měřím vždy o ěco liší od jjí kutčé hodoty. Jjich rozdíl azývá kutčá, bo také abolutí chyba měří. Pokud bychom tuto chybu zali, mohli bychom určit kutčou hodotu měřé vličiy. To ovšm í z pricipu možé. Proto ažím určit alpoň jpravděpodobější hodotu měřé vličiy a jjí pravděpodobou chybu.
Podl příči vziku dělím chyby a ytmatické a áhodé []. ytmatická chyba ovlivňuj výldk měří zcla určitým způobm, jitou pravidlotí. Měřá hodota vličiy j v takovém případě buď utál vyšší bo ižší ž hodota kutčá. ytmatické chyby mají původ v použité mtodě (apř. využití zjdodušujících přdpokladů), v měřicích přítrojích (lz ji korigovat cjchováím bo korkčími křivkami) a amozřjmě v pozorovatli (apř. dokoalot oka, rakčí doba atd.). ytmatická chyba avíc rotoucím počtm měří zmšuj, proto j vhodé provét důldou aalýzu tohoto druhu chyb a pokuit j co jvíc limiovat jště přd vlatím měřím. Náhodé chyby jou výldkm půobí přě dfiovaých vlivů při měří přibližě za tjých podmík. Proto měří fyzikálích vliči přdtavuj tatitický proc áhodou proměou. Výhodou j, ž vliv áhodých chyb a výldk měří klá rotoucím počtm opakovaých měří. Vlatí tori chyb vychází z tori pravděpodoboti a matmatické tatitiky a j přdmětm kurzů VEB a VEB, proto jí zd budm podroběji zabývat, pouz provdm tručé hrutí. Rozdělí chyb měří řídí Gauovým ormálím rozdělím, viz [, 4], třdí hodotou rovou ul a ulovou hodotou měrodaté odchylky σ (v valé většiě případů). Důlžitou hodotou j i hodota tzv. mzí chyby κ, ktrá j rova trojáobku měrodaté odchylky. Jjí výzam počívá v 99,7% pravděpodoboti, ž aměřá hodota od aritmtického průměru liší o víc ž j tato chyba κ. Prakticky to zamá, ž z ouboru aměřých dat vyputím ta měří, ktrá odlišují od aritmtického průměru o víc ž ±κ. Poté j ovšm uté zovu tatiticky zpracovat ový, takto korigovaý oubor dat. V ěktré litratuř, apř. [5], j kromě měrodaté odchylky boli třdí kvadratické chyby σ uváděa i tzv. pravděpodobá chyba ϑ. J dfiováa tak, ž pravděpodobot aměří hodoty, ktrá od aritmtického průměru liší o méě ž ±ϑ, j 50%. Mzi oběma chybami platí vztah: ϑ = 0,674 σ /3 σ. Tato chyba j tdy opticky přízivější. Zíkám-li měřím oubor aměřých hodot k, kd k =, pak po případé korkci pro á tto oubor přdtavuj áhodý výběr z ouboru všch možých hodot aměřé vličiy. Z tori tatitického zpracováí áhodého výběru [, 4, 6] vyplývají áldující jdůlžitější vztahy: aritmtický průměr = k k =, ()
výběrová měrodatá odchylka jdoho měří = ( k ) k = () výběrová měrodatá odchylka aritmtického průměru = = k = ( ) k ( ) (3) pravděpodobá chyba aritmtického průměru ϑ ϑ k = = 3 = 3 ( ) k ( ) (4) Aritmtický průměr zd přdtavuj jpravděpodobější hodotu měřé vličiy. t(p, ) P = 68,3% P = 95% P = 99% P = 99,73% 3,3 4,30 9,9 9, 4,0 3,8 5,84 9, 5,5,78 4,60 6,6 6,,57 4,03 5,5 7,09,45 3,7 4,90 8,09,37 3,50 4,53 9,07,3 3,36 4,7 0,06,6 3,5 4,09,06,3 3,7 3,96,05,0 3, 3,85 5,04,5,98 3,63 0,03,08,86 3,45 30,0,05,76 3,8 50,0,0,68 3,6 00,00,98,63 3,08,00,96,58 3,00 Tab. tudtův oučiitl t = t(p, ) Čato u zíkaých výldků udává tzv. itrval polhlivoti, což j itrval t ; + t, (5)
v ěmž bud při daém počtu měří lžt zvolou pravděpodobotí P hodota měřé vličiy. oučiitl t = t(p, ) j tzv. tudtův oučiitl [6, 7], ktrý j závilý právě a počtu měří a zvolé pravděpodoboti P. Hodoty tohoto oučiitl pro růzá a P jou uvdy v tab.. V vlké většiě případů potačuj provádět 0 až 0 měří, přičmž pravděpodobot P potačuj 68,3%. Potom tudtův oučiitl t j pouz o 6% až 3% odlišý od jdé a proto při uváděí itrvalu polhlivoti muí uvažovat. Nměřím-li přímo hldaou vličiu, al počítám ji z ěkolika aměřých vliči (apř. určováí hutoty matriálu těla tvaru válc z hmototi těla, výšky těla a průměru těla), j počítáí jpravděpodobější hodoty a měrodaté odchylky aritmtického průměru počítaé vličiy poěkud ložitější. Nchť j hldaá vličia u vázaá měřými vličiami, y, z, ymbolickým vztahm u = u(, y, z, ). (6) Njdřív j uté určit aritmtické průměry a měrodaté odchylky kutčě měřých vliči, y, z,.potom jpravděpodobější hodota hldaé vličiy j (, y, z,... ) u = u. (7) Horí mz měrodaté odchylky vypočté vličiy j dáa tzv. liárím zákom hromaděí chyb [4] u u u u = + ma y z. (8) y z ( ) + +... Výldkm tori pravděpodoboti j pro výběrovou měrodatou odchylku odlišý vztah u u u u = + y + z +..., (9) y ktrý j ozačová jako kvadratický (Gauův) záko hromaděí chyb [4] a j pro výběrovou měrodatou odchylku přízivější ž záko liárí. Využití vztahu (9) pro výpočt měrodatých odchylk vliči v zvláštích případch j uvdo v litratuř, apř. [3, 4]. Grafická aalýza dat měří Při měří fukčích závilotí fyzikálích vliči můžm provét buď rgrí aalýzu této záviloti bo přhldější, ovšm méě přou, aalýzu grafickou. Nchť uvažovaé vličiy, y mají závilot y = f(), ktrou přě zám. Při měří zíkám upořádaých dvojic [ i, y i ], ktré jou zatížé chybami. Njčatějším případm grafického zázorěí j zobrazí těchto dvojic v pravoúhlém (kartézkém) ouřadicovém ytému, i když itují i jié
ytémy, apř. polárí. V pravoúhlém ytému j obrazm každého jdotlivého měří bod. Tím zíkám bodů, ktré přdtavují tzv. bodový graf, z ktrého budm vycházt při kotrukci pojitého grafu hldaé fukčí záviloti, protož valá většia fyzikálích vliči má pojitý průběh bz dikrétích pojitotí. Na druhou trau mohou jité děj probíhat pojitě, apř. ty, ktré ouvijí počtm čátic apod.). J-li jda vličia fukcí dvou vliči, potřbovali bychom trojrozměrý graf, ktrý umožňuj přější grafickou aalýzu. V takovém případě j vhodější využít dvourozměrého zobrazí, kd vykrlím graf záviloti vličiy a jdé závil proměé pro kotatí hodoty druhé závil proměé, přičmž využijm jjích kotatích hodot v zvolé řadě. Tím zíkám v podtatě érii řzů trojrozměrého grafu roviami, a ktrých druhá závil proměá vličia abývá daých kotatích hodot. Tvar grafu hldaé fukčí záviloti výrazě ovlivňuj volba tupic a ouřadicových oách. V prai jvíc využívá 4 fukcí, ktré přiřazují hodotě fyzikálí vličiy hodotu a tupici přílušé ouřadicové oy. Jdá přdvším o fukc. liárí a + b (rovoměrá tupic),. logaritmickou a + b log bo a + b l (logaritmická tupic), 3. kvadratickou a + b (kvadratická tupic), 4. liárě lomou a + b / (liárě lomá tupic), přičmž b 0 a a 0 určuj hodotu zobrazovaé vličiy v uvažovaém počátku tupic. Njčatěji používají prví typ a obou oách (apř. milimtrový papír), bo druhý typ a obou oách (apř. logaritmický papír), bo kombiac prvího a druhého typu (apř. milogaritmický papír). Při vlatí tvorbě grafu j potřba dodržovat áldující záady:. pooudím průběh aměřé záviloti a rozhodm pro typ tupic,. zhodotím rozah hodot měřých vliči a vhodě zvolím počátk a míru o tak, aby graf pokrýval výzamou čát plochy vymzou oběma oami, 3. vytvořím tupic v zvolých jdotkách a popíšm oy (většiou začkou fyzikálí vličiy lomou jjí jdotkou apř. R / kω), 4. pčlivě vym hodoty aměřých vliči, při růzých závilotch vyášých do jdoho grafu použijm růzé začky, popř. růzé barvy. Tím zíkám bodový graf aměřých hodot. Při hrubých odchylkách ěktrých bodů j třba zjitit příčiu odchylky, abychom odtraili body, ktré popiují ějaký výzamý fyzikálí jv, apř. hrubě měřou rzoaci. Někdy j vhodé k jdotlivým bodům vyášt i výběrovou
měrodatou odchylku v formě vilých chybových účk. Zám-li kutčou závilot, j vhodé do bodového grafu vykrlit i graf aalytické fukc, čímž můžm áz pooudit hodu a případé odchylky. Rgrí aalýza dat měří V dší době počítačů od grafické aalýzy dat měří upouští. Nzámou fyzikálí závilot vliči y = f() totiž můžm hldat také aalyticky pomocí tatitického odhadu (prdikc) zvaého rgr bo rgrí aalýza. Při zpracováváí vycházím z upořádaých dvojic [ i, y i ], přičmž platí y i = f( i ) + ε i, kd ε i j áhodá chyba i tého měří. Hldaá fukc obahuj určitý počt zámých paramtrů y = f(, b 0, b,, b k ). Tyto paramtry azývají rgrí koficity [, 4]. Využijm mtodu jmších čtvrců, ktrá zíkává hodoty těchto koficitů a základě miima tzv. rziduálího (zbytkového) oučtu čtvrců, tj. kd = b, b,..., b k [ yi f ( i b0, b,..., bk )] i=,, (0) 0 jou tatitické odhady rgrích koficitů. Aby fukc abývala miima, muí být parciálí drivac fukc podl jdotlivých odhadů rgrích koficitů rovy ul, tz. b j = 0 pro všcha j = 0,,, k. () Tak zíkám outavu ormálích rovic, jjímž řším jou hldaé odhady rgrích koficitů. Njjdodušším případm fukčí záviloti j liárí fukc tvaru y = a + b, () pro íž j řší uvdo v řadě publikací, apř. [, 4, 6]. Protož jdá o jdoduchou ado řšitlou fukci, j vhodé i jié typy závilotí přvét (pokud to lz) pomocí pciálích ubtitucí a liárí typ. Příklady takových fukcí a přílušých ubtitucí jou uvdy v tab.. Při hodocí kvality rgr kromě rziduálího oučtu čtvrců (0) používá jště totálí (clkový) oučt čtvrců t = ( yi y ) i=. (3) Pro vlatí hodocí užívají áldující vličiy:. Koficit dtrmiac r, dfiovaý vztahm
r = t, (4) Tto koficit j záporý, mší bo rov jdé. Hodoty blízké jdé považují za vhodé kritérium přijtí zvolého modlu. Tto koficit í vhodé použít u liárí rgrí fukc.. Koficit korlac r j odmociou z koficitu dtrmiac a používá u liárí rgrí fukc. 3. Rziduálí rozptyl, dfiovaý vztahm = ( k + ), (5) kd k + j počt odhadovaých rgrích koficitů a f = (k + ) > 0, tj. počt měří zmšý o počt rgrích koficitů, azývá počt tupňů voloti rziduálího oučtu čtvrců. 4. měrodatá odchylka j odmociou rozptylu a má výzam odhadu měrodaté odchylky ktréhokoliv měří y i. Pro hodocí rgr má větší výzam ž koficit dtrmiac (4). Nliárí rgrí fukc ubtituc Liarizovaá rgrí fukc Tab. b y = a + = ξ y = a + bξ y = ab l y = η, l a = A, lb = B η = A + B y = a + bl l = ξ y = a + bξ b y = a y l y = η, l a = A, l = ξ b = a y =, l a = A y = a b η = A + bξ l η η = A + b l y = η, l a = A, = ξ Příklady fukcí, ktré lz vhodými ubtitucmi přvét a liárí η = A + bξ Liárí rgrí fukc jdé závil proměé pomocí aplikac Microoft Ecl V protřdí programu Microoft Ecl lz vlmi jdoduš zjišťovat paramtry liárí rgrí fukc (). Prví možotí j proloží bodového grafu tzv. pojicí trdu. Po ozačí aměřých hodot v bodovém grafu vybrm z mítí abídky možot Přidat pojici trdu, a kartě Typ vybrm Liárí a a kartě Možoti zaškrtm Zobrazit rovici rgr a Zobrazit koficit polhlivoti R. Na obrazovc objví rgrí přímka, zápi
rgrí fukc, z ktrého můžm vyčít hodoty rgrích paramtrů, a koficit dtrmiac r. Počt zobrazých dtiých mít můžm upravit formátováím. Chcm-li rgrími koficity dál počítat, tz. vypočítávat z ich hodoty dalších fyzikálích vliči, j vhodější využít maticový vzorc fukcí litu LINREGREE, viz apř [8]. Njdřív vybrm oblat 5 buňky (viz Tab. 3) a v řádku vzorců zvolím tatitickou fukci LINREGREE. Objví dialogové oko, v ktrém vyplím pol hodot y, pol hodot a dva logické paramtry B a tat. V případě, ž zvolím B = 0 (NEPRAVDA), bud rgrí přímka procházt počátkm ouřadicové outavy. V opačém případě, tz. B = (PRAVDA), bo bud-li paramtr B vychá, muí rgrí přímka utě tímto počátkm procházt. J-li paramtr tat = (PRAVDA), budou vypáy i hodoty dalších rgrích tatitik. V opačém případě, tz. tat = 0 (NEPRAVDA), bo bud-li paramtr tat vychá, budou další tatitiky vypáy a zjitím pouz hodoty rgrích koficitů. Po zmáčkutí kombiac kláv CTRL + HIFT + ENTER provd výpočt a v vybraé oblati vypíší hodoty hldaých paramtrů a jiých rgrích tatitik. Výzam jdotlivých hodot j zřjmý z Tab. 3, popř. z ápovědy aplikac Microoft Ecl. rgrí koficit b, viz () rgrí koficit a, viz () měrodatá chyba koficitu b měrodatá chyba koficitu a b = b a = b f i t koficit dtrmiac r, viz (4) měrodatá chyba odhadu y f t F tatitika F = počt tupňů voloti f, viz (5) totálí oučt čtvrců t, viz (3) zbytkový oučt čtvrců, viz (0) Tab. 3 Výzam hodot vrácých maticovou fukcí LINREGREE v oblati 5 buňky i= y = f V prvím přiblíží j důlžité věovat pozorot přdvším hodotám rgrích koficitů a a b, jjich měrodatým chybám a a b, koficitu dtrmiac r a zbytkovému oučtu čtvrců.
Litratura [] Brož, J. a kol.: Základy fyzikálích měří, I. díl. PN, Praha 983. [] Pavlka, L., Dolžalová, J.: Pravděpodobot a tatitika. Vyoká škola báňká, Tchická Uivrzita, Otrava 995. [3] Procházková, E.: Úvod do fyzikálího praktika. Pdagogická fakulta, Jihočká uivrzita, Čké Budějovic 99. [4] Vybíral, B.: Zpracováí dat fyzikálích měří. tudijí tt pro outěžící FO, tudující fyziku a UHK a otatí zájmc o fyziku. MAFY, Hradc Králové 00. [5] Horák, Z.: Praktická fyzika. NTL, Praha 958. [6] Rktory, K.: Přhld užité matmatiky. NTL, Praha 963; 6. vydáí: Prométhu, Praha 995. [7] Čmlík, M., Machoký, L., Buriaová, L.: Úvod do fyzikálích měří. Tchická uivrzita, Librc 00. [8] Šdivý, P.: Tplotí záviloti fyzikálích vliči. tudijí tt pro outěžící FO a otatí zájmc o fyziku. MAFY, Hradc Králové 00.