Funkce jedné proměnné

Funkce jedné proměnné Lineární funkce f: y = kx + q, D f = R, H f = R, grf je přímk množin odů [x, y], x D f, y = f(x) q úsek n ose y, tj. od [0, q], k směrnice, k = tn φ = 2 2 1 1, A[ 1, 2 ], B[ 1, 2 ] jsou ody grfu k > 0 funkce je rostoucí k = 0 funkce je konstntní k < 0 funkce je klesjící Kvdrtická funkce f: y = x 2 + x + c, 0, D f = R, grfem je prol s osou rovnoěžnou s osou y, oor hodnot je určen y-ovou souřdnicí vrcholu proly. Pro > 0 je funkce konvexní, pro < 0 je funkce konkávní. Počet průsečíku grfu funkce s osou x zjistíme z diskriminntu D = 2 4c kvdrtické rovnice x 2 + x + c = 0. > 0 D < 0 D = 0 D > 0

< 0 D < 0 D = 0 D > 0 Nepřímá úměrnost f: y = k, k 0, D x f = H f = R {0} = (, 0) (0, + ), grfem je rovnoosá hyperol, osy x,y jsou jejími symptotmi počátek soustvy souřdnic středem. k > 0 k < 0 y = k x m směru osy x. : pro m > 0 posunutí grfu doprv o m, pro m < 0 posunutí grfu o m dolev ve

y= k + n : pro n > 0 posunutí grfu o n nhoru, pro n < 0 posunutí grfu o n dolu ve směru x osy y. Zákldní tvr oecné rovnice: y = D f = R {m}, H f = R {n}. k x m + n, kde od S[m, n] je střed hyperoly. Exponenciální funkce f: y = x, > 0, 1, D f = R, H f = (0, + ), pro 0 < < 1 je funkce klesjící, pro > 1 je funkce rostoucí. 0 < < 1 > 1

Inverzní funkce: Jestliže funkce f: x = f(y ) je prostá n množině M D f (tj. pro kždé y 1 y 2 M je f(y 1 ) f(y 2 )), potom funkci f 1 : y = f 1 (x) nzýváme inverzní funkcí k funkci f, D f 1 = H f. Grfy oou funkcí jsou souměrné podle přímky y=x. Npř. inverzní funkce k funkci f: y = x 2 n D f = 0, + ) je funkce f 1 : y = x, D f 1 = 0, + ). Inverzní funkce k funkci f: y = x 2 n D f = (, 0 je funkce f 1 : y = x, D f 1 = 0, + ) Logritmická funkce f: y = log x, > 0, 1 je zákld logritmu. Funkce f je funkce inverzní k funkci exponenciální: y = log x y = x D f = (0, + ), H f = R, pro 0 < < 1 je funkce f klesjící, pro > 1 je funkce f rostoucí. log e x = ln x, kde e 2,718 je Eulerovo číslo, se nzývá přirozený logritmus log 10 x = log x je dekdický logritmus Pltí: ln = ln + ln, ln = ln ln, ln m = m ln e ln x = x, e ln x = e ln 1/x = 1, x x x ln = e x = y ln x = y ln y = ln x ln log x = ln x ln

Číselná posloupnost f: N R, znčíme f(n) = n, grf je {[n, n ], n N} Aritmetická posloupnost n = + (n 1)d, d 0 diference, d = n+1 n, n = 1 ( 2 n 1 + n+1 ) ritmetický průměr d > 0, rostoucí posloupnost d < 0, klesjící posloupnost Součet prvních n členů: s n = n 2 ( 1 + n ). Geometrická posloupnost n = q n 1, q kvocient, n+1 n = q, n = n 1 n+1 geometrický průměr q < 1 1 < q < 0 0 < q < 1 q > 1 Posloupnost n = q n osciluje, klesá, roste. Součet prvních n členů: s n = qn 1 q 1 pro q 1, s n = n pro q = 1.

Hrmonická posloupnost nepřímá úměrnost n = 1, {1, 1, 1, 1, } klesjící posloupnost n 2 3 4 Okolí odu R je intervl U() = ( δ, + δ), U(+ ) = (δ, +. Limit posloupnosti { n } je číslo R, jestliže ke kždému okolí U() existuje n o N tkové, že pro kždé n n o, n N, je n U(). = R konverguje k lim = diverguje k + n { n + = + }, potom { n } { } diverguje k neexistuje osciluje Kždá posloupnost má nejvýše jednu limitu. lim n + 1 n = 0, lim ( + (n 1)d) = {+ n + pro d > 0 d < 0 = 0 lim n + qn 1 { + neexistuje pro q < 1 q > 1, > 0 q > 1, < 0 q 1 lim n + (1 + 1 n )n = e Eulerovo číslo Je-li lim n + n =, lim n + n =, potom pltí: lim n + ( n ± n ) = ±, lim n + n n =, lim n + n Limit funkce n =, kde 0 { n} není nulová posl. Neúplné okolí odu c je intervl U (c) = (c δ, c) (c, c + δ). Neúplné levé okolí odu c je intervl U l (c) = (c δ, c), neúplné prvé okolí odu c je intervl U p (c) = (c, c + δ).

Nechť k odu c R existuje neúplné okolí U (c) v definičním ooru D f funkce f. Funkce f má v odě c limitu A R, jestliže ke kždému okolí U(A) existuje neúplné okolí U (c) odu c tkové, že pro kždé x U (c) je f(x) U(A). Symolicky: lim f(x) = A U(A) x c U (c) tk, že x U (c) je f(x) U(A). Funkce f má v odě c limitu A R zlev: lim f(x) = A U(A) x c U l(c) tk, že x U l(c) je f(x) U(A). Funkce f má v odě c limitu A R zprv: lim f(x) = A U(A) x c+ U p(c) tk, že x U p(c) je f(x) U(A). Funkce f má v odě c limitu A R, právě když má limitu zprv limitu zlev rovnou A. Funkce f má v odě c nejvýše jednu limitu. Je-li c nevlstní číslo, +, mluvíme o limitě v nevlstním odě. Je-li A R, je limit vlstní, je-li A nevlstní číslo, je limit nevlstní. Funkce f je spojitá v odě D f, jestliže lim x f(x) = f(). + pro k < 0 pro k < 0 lim (kx + q) = { q pro k = 0, lim (kx + q) = { q pro k = 0 x x + pro k > 0 + pro k > 0 + pro > 0 lim x ± (x2 + x + c) = { pro < 0 lim k x ± x = 0, lim k x 0 x pro k > 0 = { + pro k < 0, lim x 0+ k x = { pro k < 0 + pro k > 0 + pro 0 < < 1 lim x x = { 0 pro > 1, lim 0 pro 0 < < 1 x + x = { + pro > 1 lim log + pro 0 < < 1 x = { x 0+ pro > 1, lim log pro 0 < < 1 x = { x + + pro > 1 Derivce funkce Přírůstek funkční hodnoty funkce f v odě je f(x) = f( + h) f(), který odpovídá přírůstku h nezávisle proměnné x. Existuje-li vlstní limit poměru přírůstku funkce f(x) ku přírůstku h proměnné, nzýváme ji vlstní derivce funkce f v odě, je f(+h) f() lim = f (). h 0 h Derivce vyjdřuje rychlost změny přírůstku funkční hodnoty v závislosti n změně nezávisle proměnné.

f(+h) f() Je-li limit lim nevlstní, říkáme, že funkce má v odě nevlstní derivci. h 0 h Jednostrnné derivce funkce f v odě : f(+h) f() f(+h) f() Derivce zlev: lim = f h 0 h (). Derivce zprv: lim = f h 0+ h + (). Funkce f má v odě derivci, jestliže má v odě derivci zprv derivci zlev oě derivce se soě rovnjí. Prvidl pro derivování Existují-li derivce f (), g (), potom Derivce některých elementárních funkcí f(x) = c f (x) = 0, D f = D f = R (f ± g) () = f () ± g (), ( f) () = f (), α R, (fg) () = f ()g() + f()g (), ( f g ) () = f ()g() f()g () (g()) 2, (f g) () = f (g())g (). f(x) = x n, n N f (x) = nx n 1, D f = D f = R f(x) = e x f (x) = e x, D f = D f = R f(x) = x, > 0, 1 f (x) = x ln, D f = D f = R f(x) = ln x f (x) = 1 x, D f = (0, + ), D f = R {0} f(x) = log x, > 0, 1 f (x) = 1 x ln, D f = (0, + ), D f = R {0}. Tečn grfu funkce Je-li derivce funkce f vlstní, určuje směrnici k = f () tečny grfu funkce f. Rovnice tečny v odě [, f()] je y = f ()(x ) + f(). Je-li derivce funkce f v odě nevlstní, je tečn grfu rovnoěžná s osou y, její rovnice je x =. Směrnice tečny ke křivce celkového užitku určuje mezní užitek. Funkce rostoucí v odě n intervlu

Je-li f (c) > 0, potom je funkce f v odě c rostoucí. Funkce f je rostoucí n intervlu (, ), právě když je rostoucí v kždém odě x (, ). Funkce klesjící v odě n intervlu Je-li f (c) < 0, potom je funkce f v odě c klesjící. Funkce f je klesjící n intervlu (, ), právě když je klesjící v kždém odě x (, ). Druhá derivce funkce konvexit funkce Existuje-li vlstní limit f f (+h) f () () = lim, říkáme ji 2. derivce funkce f v odě. h 0 h Funkce f je v odě konvexní, leží-li její grf v okolí odu nd tečnou v odě [, f()]. Je-li f () > 0, je funkce f v odě ryze konvexní. Funkce je konvexní n intervlu (, ), je-li konvexní v kždém odě x (, ). Funkce f je v odě konkávní, leží-li její grf v okolí odu pod tečnou v odě [, f()]. Je-li f () < 0, je funkce f v odě ryze konkávní. Funkce je konkávní n intervlu (, ), je-li konkávní v kždém odě x (, ). Přechází-li grf funkce f z jedné strny tečny v odě [, f()] n strnu druhou, říkáme, že funkce má v odě inflexní od. V inflexním odě je f () = 0 (pokud derivce existuje). Tečn v inflexním odě se nzývá inflexní tečn. Extrémy funkce f () > 0 f () < 0 f () = 0 Je-li funkce f spojitá n uzvřeném intervlu,, potom existují čísl c, d, tková, že pro kždé x, je f(c) f(x) f(d). Číslo f(c) je minimum, číslo f(d) je mximum funkce n,. V odě, ve kterém je f () = 0 f () > 0, má funkce f ostré lokální minimum. V odě, ve kterém je f () = 0 f () < 0, má funkce f ostré lokální mximum.

Funkce dvou proměnných je kždé zorzení f množiny M R 2 do množiny R. Množin M je definiční oor funkce f. Oor hodnot je množin H f = {z R, z = f(x, y), [x, y] D f }. Grf funkce f je množin všech odů [x, y, f(x, y)] z prostoru R 3, kde [x, y] D f. Vrstevnice funkce je množin odů [x, y] D f, pro které je f(x, y) = c, kde c H f. (izokvnty v ekonomických vědách). Lineární funkce f: z = x + y + c, D f = R 2, H f = R, grf je rovin neo její část Npř. Funkce f: z = 2 2x y zorzí D f {[x, y] R 2, 0 x 1, 0 y 2 2x} n H f = 0,2. Grf je trojúhelník ABC, A[1,0,0], B[0,2,0], C[0,0,2]. Vrstevnice jsou úsečky 2x + y = 2 c. Funkce g: z = 2 2x, D g = {[x, y] R 2, 0 x 1, y 0}, H f = 0,2. Vrstevnice jsou polopřímky rovnoěžné s osou y s počátečním odem n ose x. Kvdrtická funkce f: z = x 2 + y 2 + cx + dy + exy + g, kde spoň jedno z čísel,,e je různé od nuly. 1. f: z = x 2 + y 2, D f = R 2, H f = 0, + ), grfem je rotční proloid, vrstevnice jsou kružnice x 2 + y 2 = c, c 0. 2. f: z = 2x 2 + 3y 2, D f = R 2, H f = 0, + ), grfem je eliptický proloid, vrstevnice jsou elipsy 2x 2 + 3y 2 = c, c 0.

3. f: z = x 2 y 2, D f = R 2, H f = R, grfem je hyperolický proloid, vrstevnice jsou hyperoly x 2 y 2 = c, c 0 různoěžky y = x, y = x pro c=0. 4. f: z = x y, D f = R 2, H f = R, grfem je hyperolický proloid, vrstevnice jsou hyperoly x y = c, c 0 různoěžky x = 0, y = 0 pro c=0. 5. f: z = 2 x2, D 2 f = R 2, H f = (, 2, grfem je prolická válcová ploch, Vrstevnice jsou přímky rovnoěžné s osou y.

Ircionální funkce 1. f: z = 1 x 2 y 2, D f = {[x, y] R 2, x 2 + y 2 1}, H f = 0,1, grf je polosfér, vrstevnice jsou kružnice x 2 + y 2 = 1 c 2, c H f. 2. f: z = 1 + x 2 + y 2, D f = R 2, H f = 1, + ), grf je část dvojdílného hyperoloidu, vrstevnice jsou kružnice x 2 + y 2 = c 2 1, c H f. 3. f: z = x 2 + y 2 1, D f = {[x, y] R 2, x 2 + y 2 1}, H f = 0, + ), grf je část jednodílného hyperoloidu, vrstevnice jsou kružnice x 2 + y 2 = c 2 + 1, c H f. 4. f: z = x 2 y 2 + 1, D f = {[x, y] R 2, y 2 x 1}, H f = 0, + ), grf je polovin jednodílného hyperoloidu, vrstevnice jsou hyperoly x 2 + y 2 = c 2 + 1, c H f.

5. f: z = x 2 + y 2, D f = R 2, H f = 0, + ), grf je část rotční kuželové plochy, vrstevnice jsou kružnice x 2 + y 2 = c 2, c H f. 6. f: z = y 2 x 2, D f = {[x, y] R 2, x y }, H f = 0, + ), grf je část rotční kuželové plochy, vrstevnice jsou hyperoly y 2 x 2 = c 2, c H f. 7. f: z = 1 x 2, D f = 1,1 R, H f = 0,1, grfem je část rotční válcové plochy, Vrstevnice jsou přímky rovnoěžné s osou y. Prciální derivce funkce Okolí odu A[, ] R 2 o poloměru r > 0 je množin U(A) = {X R 2, AX < r}, tj. kruh ez hrniční kružnice. Funkce z = f(x, y) je definovná v okolí U(A). Množin odů [x, ] U(A) určuje funkci g(x) = f(x, ) jedné proměnné. Její derivci v odě g g( + h) g() f( + h, ) f(, ) () = lim = lim h 0 h h 0 h

říkáme prciální derivce funkce f v odě A podle proměnné x. Množin odů [, y] U(A) určuje funkci h(y) = f(, y) jedné proměnné. Její derivci v odě h h( + k) h() f(, + k) f(, ) () = lim = lim k 0 k k 0 k říkáme prciální derivce funkce f v odě A podle proměnné y. Znčíme je f(a) x, f(a) y, neo krátce f x(a), f y (A). Olová křivk Rovnicí F(x, y, c) = 0, [x, y] R 2 je nezávisle proměnná, c je prmetr, je n R 2 dán jednoprmetrická soustv křivek. Pro kždé c (, ) je F(x, y, c) = 0 rovnice křivky. Pro c 1 c 2 (, ) jsou F(x, y, c 1 ) = 0 F(x, y, c 2 ) = 0 různé křivky. Křivk k je olovou křivkou jednoprmetrické soustvy křivek, jestliže se dotýká kždé křivky soustvy kždý její od je odem dotyku s některou z křivek soustvy. Tudíž rovnici olové křivky dostneme řešením soustvy rovnic F(x, y, c) = 0, F c (x, y, c) = 0 vzhledem k c, tj. z druhé rovnice vypočítáme c, které dosdíme do první rovnice. Pk k: F(x, y, c(x, y)) = 0. Křivk dlouhodoých celkových nákldů je olovou křivkou křivek krátkodoých nákldů

Prciální derivce 2. řádu funkce dvou proměnných Má-li funkce z = f(x, y) prciální derivce f x (x, y) = f(x,y), f x y (x, y) = f(x,y) y x nějkého intervlu M D f, jsou funkcemi proměnných x,y. v kždém odě Existují-li prciální derivce funkcí f x, f y v odě A M, píšeme f xx (A) = x f xy (A) = x f(x,y) x f(x,y) y (A) = 2 f(a), f x yx(a) = 2 y (A) = 2 f(a) x y, f yy(a) = y f(x,y) x f(x,y) y (A) = 2 f(a) y x, (A) = 2 f(a) y 2. Derivce f xy, f yx se nzývjí smíšené derivce 2. řádu pro nše funkce jsou stejné. Lokální extrémy funkce dvou proměnných Funkce f má v odě A D f lokální minimum f(a), jestliže existuje okolí U(A) D f tkové, že pro kždé X U(A) je f(x) f(a). Funkce f má v odě A D f lokální mximum f(a), jestliže existuje okolí U(A) D f tkové, že pro kždé X U(A) je f(x) f(a). Funkce f může mít lokální extrém v odě A D f, ve kterém její pciální derivce jsou rovny nule, neo neexistují. Funkce f má v odě A lokální mximum, jestliže f xx (A) < 0 f xx(a) f xy (A) f xy (A) f yy (A) > 0. Funkce f má v odě A lokální minimum, jestliže f xx (A) > 0 f xx(a) f xy (A) f xy (A) f yy (A) > 0. Funkce f nemá v odě A lokální extrém, jestliže f xx(a) f xy (A) =< 0. f xy (A) f yy (A) Kde jsme oznčili f xx(a) f xy (A) f xy (A) f yy (A) = f xx(a)f yy (A) f xy (A)f xy (A). Vázné extrémy Lgrngeov funkce Extrémy funkce f n množině M = {[x, y] D f, g(x, y) = 0} se nzývjí vázné extrémy funkce f. Funkce g je vz. Funkce f má v odě A vázný extrém n množině M, jestliže existuje λ, pro které má funkce L(x, y, λ) = f(x, y) + λ g(x, y) v odě A lokální extrém.

Aproximce rovinného orzce odélníky Určitý integrál Grf funkce f spojité nezáporné n,, úsečky x =, x = os x určují v rovině množinu M = {[x, y] R 2, x, 0 y f(x)}. Aychom určili její osh, rozdělíme intervl, n n stejných dílků (podintervlů), s krjními ody = x 0 < x 1 < < x n =, délky h = ( ). Osh množiny M můžeme přiližně vypočítt, proximovt, součtem n oshů odélníků šířky h výšky rovné funkční hodnotě funkce f v odě x i x i, x i+1, i = 0,, n 1: S O l = h(f(x 0 ) + f(x 1 ) + + f(x n 1 )) pro levý krjní od podintervlů, S O p = h(f(x 1 ) + f(x 2 ) + + f(x n )) pro prvý krjní od podintervlů S O s = h(f(s 0 ) + f(s 1 ) + + f(s n 1 )) pro střed s i = 1 2 (x i + x i+1 ) podintervlů. Množinu M můžeme proximovt součtem lichoěžníků s výškou h zákldnmi f(x i ), f(x i+1 ): S L p = h ( f(x 0 )+f(x 1 ) 2 + f(x 1 )+f(x 2 ) 2 + + f(x n 1 )+f(x n ) ), (to je chronologický průměr), 2 S L p = h ( 1 2 f(x 0) + f(x 1 ) + f(x 2 ) + + f(x n 1 ) + 1 2 f(x n)). Uvedené vzorce se nzývjí numerickou integrcí, pro jejich chyu se odvozují vzorce v numerické mtemtice. Ale i ez odhdu chyy můžeme uvedené vzorce použít npř. pro výpočet prvděpodonosti náhodné veličiny s hustotou dnou zjednodušenou Gussovou funkcí: Určitý integrál funkce f, spojité nezáporné n,, je roven oshu rovinného orzce mezi grfem funkce osou x. Znčíme ho f(x)dx, je dolní mez, je horní mez integrálu. Pltí: 1. f(x)dx = f(x)dx

2. (f(x) + g(x))dx = f(x)dx + g(x)dx c 3. f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx, c, 4. f(x)dx = 0 c 5. Je-li f spojitá n,, existuje c, tkové, že f(x)dx = f(c)( ), tj. střední hodnot funkce f n,. Primitivní funkce F k funkci f neurčitý integrál Je-li funkce f spojitá n, definujme funkci F: f(x)dx t t f(x)dx, t,, { f(x)dx tj. podle 4 je F() = f(x)dx = 0, dále F() = f(x)dx t F(t) = f(x)dx. Pltí: Funkce F je spojitá n,. Derivce F (t) = f(t) n intervlu,. Je-li F primitivní funkce k funkci f n,, potom tké F + c, kde c R, je primitivní funkcí k funkci f n,. Primitivní funkci F k funkci f znčíme nzýváme ji neurčitým integrálem. F(t) = f(t)dt + c Je-li funkce F primitivní funkcí k funkci f n, potom pltí Newtonův-Leinizův vzorec Zkrácený zápis F() F() = [F(x)]. Některé zákldní primitivní funkce f(x)dx = F() F(), x n dx = xn+1 + c, n 1 n + 1 e x dx = e x + c x dx = x + c, > 0, 1 ln

1 dx = ln x + c, x 0 x Metod per prtes Mjí-li dvě funkce u,v spojité derivce n,, derivce jejich součinu je (u(x) v(x)) = u (x) v(x) + u(x) v (x). Tudíž uv je primitivní funkcí k funkci u v + uv. Pltí u (x) v(x)dx = [u(x) v(x)] u(x) v (x)dx. Sustituční metod Je-li funkce t = g(x) spojitá n,, má tm spojitou nenulovou derivci funkce y = f(t) je spojitá n intervlu g(), g(), potom f(g(x)) g (x)dx = Je-li F primitivní funkce k funkci f, 0, potom g() f(t)dt g(). Nevlstní integrál f(x + )dx = 1 F(x + ) + c f (x) dx = ln f(x) + c f(x) Je-li funkce f neomezená n intervlu (, ), neo, {, + } nzýváme f(x)dx nevlstním integrálem. Je-li F primitivní funkce k funkci f n (, ) R, potom nevlstní integrál f(x)dx = lim F(x) lim F(x) x x + konverguje, jsou-li oě limity vlstní integrál diverguje, jestliže některá z limit diverguje. Osh rovinného orzce M = {[x, y] R 2, x, 0 y f(x)}, kde f je roven funkce spojitá n, je roven f(x)dx.