Studujeme,kde 0pro N. Prořdysezáporýmičleymohousttpouzedvěmožosti. Rebo =+. Toplyeztoho,žeposloupost {s m } jeeklesjící,tedydlev2.9- lim s m =. VĚTA 2(lierit kovergetích řd): Nechť b kovergují.pk: (i) ( + b )koverguje. (ii) c koverguje αc koverguje pro α R \. Důkz: cvičeí VĚTA 3(srovávcí kritérium): Nechť b jsouřdysezáporýmičley. Nechťdáleexistuje 0 Ntkové,žepro 0 pltí b.pk: (i) b koverguje koverguje. (ii) diverguje b diverguje. Obětvrzeíříkjívpodsttětotéž.( je hodější řd, b zlobivější.) (i) s = + +, σ m = b + +b m Dáledefiujme σ:=lim σ m R. Nvícvíme,že {s }jeposlouposteklesjící. s = + +0 + 0++ + + +0 + σ ( 0 ) + +0 + σ ( R) Tedyje {s }eklesjícíshoromezeáposloupost,tudíž jedlev2.9-kovergetí. (ii) (i) /L:.66
VĚTA 4(limití srovávcí kritérium): Nechť, b jsouřdysezáporýmičley. Nechťdáleexistujelim /b = A R.Pk: (i) A (0, )= koverguje b koverguje (ii) A=0= koverguje b koverguje (iii) A= = koverguje b koverguje (i) Víme,že 0 Ntkové,žepro 0 pltí: 2 A b 2A (ješikovéepsilo) : : koverguje V.3- b koverguje V.2- A 2 b 2Ab A 2 b koverguje V.2-2Ab koverguje V.3- b koverguje koverguje (ii) Zvol ε=,pk 0 tkové,že /b <pro 0,tedy < b,v.3-. (iii) Zvol ε=,pk 0 tkové,že /b >pro 0,tedy > b,v.3-. (i) 3 + 3++2 8? 3 4= = 3 + 3++2 8,zvol b = 4 + 2 lim = lim b = (0, ) 3++2 8 2 Tedydle(i) koverguje b koverguje.mylevíme,že b = =+ diverguje. =+ (diverguje) /L:.66 2
(ii) 5 3 = 5 3,zvol b =/2 Potom lim = lim b 5 ( 3 2) =0 idukcí,beroulli,...( cvičeí ) Nvíc víme, že: b koverguje (geometrickářd) (ii) koverguje VĚTA 5(Cuchyovo odmociové kritérium): Nechť jeřdsezáporýmičley: (i) Nechť q (0,), 0 N, 0 : q.pk koverguje. (ii) Nechťlimsup <.Pk koverguje. (iii) Nechťlim <.Pk koverguje. (iv) Nechťlimsup >.Pk diverguje. (v) Nechťlim >.Pk diverguje. (i) Položme b = q,pk b pro 0. Dále b koverguje(geometrickářd, q <) V.3- tké koverguje. (ii) Ozčlimsup = A <.Zvol ε >0, A+ε <. 0, 0 : sup{ k,k } A+ε Tedy A+ε, 0. Ozč q def = A+ε <,tvrzeíplyezv.-. (iii) PlyezV.-2: lim lim=limsup. (iv) lim sup > vybráposloupost {k } k=, k k > k > k N epltí utá podmík lim =0 { } Jiý pohled posledí krok k (eboť 0) =+ (v) IhedplyezV.-4. /L:.66 3
VĚTA 6(d Alembertovo podílové kritérium): Nechť jeřdskldýmičley: (i) q (0,), 0 N, 0 : q koverguje. (ii) Nechťlimsup + <.Pk koverguje. (iii) Nechťlim + <.Pk koverguje. (iv) Nechťlim + >.Pk diverguje. (i) 0+ q0 0+2 q0+ q0 0+k q k 0 + 0 q k } {{ } koverguje V.3- koverguje (ii) (i) (ii)( cvičeí ) (iii) (ii) (iii)( cvičeí ) (iv) lim > 0, 0 : > { }jerostoucíodjistéhoidexu lim 0 V.- diverguje!"!#!$%& (i) lim = evímeic. (ii) lim + = evímeic. diverguje, 2 koverguje,oběmjílimitu. (iii) Prmetr q <jedůležitý! < koverguje 0 < koverguje 0 /L:.66 4
(iv) Jestliže lim sup >,řddivergovtemusí. + 2 + 4 + 8 + + 2 koverguje.pozpřeházeítké,lelimessuperioružesedí. Vyšetřete,prokterá 0kovergujeřd.! (i) =0: koverguje. (ii) mocvelké: diverguje. (iii) =:! =+ koverguje. Dle d Alembert: = + (+) +! (+)! = ( + lim = e (0,/e) koverguje ) = ( + ) (/e, ) diverguje '"()% *!+! = e evímeic = e ( ( ) ) e! Diverguje, eboť ( ( ) ) lim 0 e! cvičeí VĚTA 7(Cuchyovo kodezčí kritérium): Nechť jeřdsezáporýmičleyechť 0 Ntkové,žepro 0 pltí. Pk: koverguje 2 2 koverguje /L:.66 5
: Přímo: Nechť 2 2 koverguje.ozč: Víme: lim k t k < Potomkdému k: <2 k. s = + + t k = +2 2 +4 4 + +2 k 2 k s = + 2 + 3 + 4 + + +( 2 + 3 )+( 4 + + 7 )+ +( 2 k+ + 2 k+ ) +2 2 +4 4 + +2 k 2 k= t k : s lim t t k s jeomezeá koverguje : Nepřímo: Nechť 2 2 diverguje. Víme: lim k t k=+ Potomkdému k: >2 k. s = + 2 + 3 + 4 + + = + 2 +( 3 + 4 )+( 5 + + 7 )+ +( 2 k ++ + 2 k) 2 + 2+2 4 +4 8 + +2 k 2 k= 2 t k lim s lim t k=+ k diverguje Prokterá α Rkovergujeřd α? (+) Způvodíchkritériíevyplýváic,eboťlim =,lim α α =. Nvíc α víme,žeřdkovergujepro α=2divergujepro α=.pro α 0divergujetké.Pro α >0 je klesjící,tedylzeužítv.7-. α αkoverguje V.7-2 (2 ) α koverguje ', 2 α koverguje α >(geometrickářd) αkoverguje α > /L:.66 6
=2 koverguje log α 2 log α koverguje α > =2 2 2 log α 2 koverguje αkoverguje α > VĚTA 8(Rbeovo kriterium): Nechť jeřdskldýmičley. lim > koverguje lim < diverguje cvičeí 2 4 7 (3 2), = 3 6 9 3 /L:.66 7