POSLOUPNOSTI A ŘADY, ÚVOD DO INTEGRÁLNÍHO POČTU Obsh Poslouposti řdy. Poslouposti reálých čísel................................ Aritmetická geometrická posloupost........................ 4.3 Nekoečé číselé řdy................................. 4 Úvod do itegrálího počtu 6. Primitiví fukce, Neurčitý itegrál.......................... 6. Výpočet primitiví fukce............................... 9.3 Určitý itegrál...................................... 0 Litertur 3 Příkldy k procvičeí 4 Poslouposti řdy Nejprve vysvětlíme pojem posloupost reálých čísel ukážeme ěkteré vlstosti posloupostí včetě zvedeí ritmetické geometrické poslouposti. Dále se změříme ekoečé číselé řdy, především problemtiku stoveí jejího součtu. S pojmem vlstostmi ekoečých řd se dále setkáme v teorii prvděpodobosti při studiu diskrétích áhodých veliči.. Poslouposti reálých čísel Defiice. Nekoečou číselou posloupostí rozumíme reálou fukci defiovou možiě přirozeých čísel. Jedotlivé hodoty fukce zýváme čley poslouposti, hodotu poslouposti v čísle zýváme -tý eboli obecý čle poslouposti zčíme jej. Je-li defiičím oborem moži {,, 3,..., k}, mluvíme o koečé poslouposti. Nekoečou číselou posloupost,, 3,...,,... zčíme { } ebo stručěji { }. Koečou číselou posloupost,, 3,..., k zčíme { } k. Grfem poslouposti je moži izolových bodů A = [; ], N. Operčí progrm Vzděláváí pro kokureceschopost Název projektu: Iovce mgisterského studijího progrmu Fkulty ekoomiky mgemetu Registrčí číslo projektu: CZ..07/..00/8.036 PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY.
se zývá Leib- Číselé poslouposti budeme zdávt: { }. předpisem pro obecý čle poslouposti, př.. rekuretě, př. =, + = +. { } { ( ) + Posloupost se zývá hrmoická, ztímco posloupost izov. Jejich grfické zázorěí je obrázku. } Obrázek : Prvích 5 čleů hrmoické Leibizovy poslouposti Příkld { }. Npište prvích pět čleů poslouposti: ), b) =, + = +. ) Doszeím čísel,, 3, 4 5 z dosteme prvích pět čleů poslouposti:,, 3, 4, 5. b) Z rekuretího vzorce pro = dosteme = +, tj. = 3. Alogicky určíme čley 3, 4, 5. Hledá posloupost je proto dá prvími pěti čley, 3, 7, 5, 3. Vlstosti poslouposti Obdobě jko v difereciálím počtu zvádíme: Defiice. Posloupost { } se zývá mootóí, to. rostoucí, resp. eklesjící, právě když pro všech N pltí + >, resp. +,. klesjící, resp. erostoucí, právě když pro všech N pltí + <, resp. +. Defiice.3 Posloupost { } se zývá omezeá zdol, resp. omezeá shor, právě když existuje tkové číslo d, resp. h, že pro všech N pltí d, resp. h. Posloupost { } se zývá omezeá, je-li omezeá zdol i shor.
Obrázek : Grfické zázorěí limity poslouposti Limit poslouposti Defiice.4 Říkáme, že reálé číslo je limitou poslouposti { }, jestliže k libovolému ε > 0 existuje přirozeé číslo 0 tkové, že pro všech > 0 pltí < ε. Zpisujeme lim =. Existuje-li limit, R, zývá se posloupost { } kovergetí. Pokud uvedeá limit eexistuje, zývá se posloupost divergetí. Je-li = 0, zývá se posloupost ulová. Geometrická iterpretce defiice limity poslouposti Necht lim =, kde R. K dému číslu ε > 0 existuje idex 0 tk, že všechy čley poslouposti s výjimkou prvích 0 čleů leží v pásu mezi rovoběžkmi o rovicích y = ε, y = + ε (obrázek ). Příkld { }. Vypočtěte limity posloupostí: { + ),, b) } ) Položme f(x) =, x, ). Pk pltí x. lim x x = lim t 0 + t = lim t 0 + t = 0. { } Jelikož lim = 0, je posloupost ulová (koverguje k ule). x x, x, ). Pk s využitím l Hospitlov prvidl pltí b) Položme f(x) = x+ x x + lim x x = = lim x =. 3
{ + Posloupost } proto koverguje k číslu.. Aritmetická geometrická posloupost Defiice.5 Posloupost { } se zývá ritmetická, právě když existuje číslo d tkové, že pro všech N pltí + = + d. Číslo d se zývá diferece ritmetické poslouposti. Pro ritmetickou posloupost pltí: = + ( )d, r = s + (r s)d, s = ( + ), kde zčí, r, s postupě -tý, r-tý, s-tý čle s součet prvích čleů ritmetické poslouposti. Defiice.6 Posloupost { } se zývá geometrická, právě když existuje číslo q tkové, že pro všech N pltí + = q. Číslo q se zývá kvociet geometrické poslouposti. Pro geometrickou posloupost pltí: = q, r = s q r s, s = q q pro q, s = pro q =, kde zčí, r, s postupě -tý, r-tý, s-tý čle s součet prvích čleů geometrické poslouposti..3 Nekoečé číselé řdy Defiice.7 Necht { } je posloupost reálých čísel. = + + 3 + + + () se zývá ekoečá číselá řd. Posloupost {s }, kde s =, s = +,..., s = + + +, se zývá posloupost částečých součtů této řdy. Existuje-li vlstí limit lim s = s, řekeme, že řd koverguje má součet s. Neexistuje-li vlstí limit lim s, říkáme, že řd diverguje. 4
Příkldy číselých řd ) = + + 3 + + b) c) d) e) f) ( ) = + 3 4 + q = + q + q + q 3 + ( ) + = + + ( + ) = + 3 + 3 4 +! = +! + 4 3! + 8 4! + hrmoická řd Leibizov řd Příkld.3 Vypočítejte součet řdy: ), b) +. geometrická řd s kvocietem q ) Posloupost { } je geometrická posloupost s kvocietem q =. čleem poslouposti =. N-tý částečý součet řdy je součtem prvích čleů geometrické poslouposti, pltí s = ( ) ( ) =, [ s = lim s = lim ( ) ] = lim ( ) =. Dá řd tedy koverguje má součet s =. b) Posloupost { +} je ritmetická posloupost s diferecí d =. Součet jejích prvích čleů je s = + 3 + 4 + 5 + + + Dá řd proto diverguje k +. = ( + 3 + 4 + 5 + + + ), s = ( + + ) = ( + 3), 4 s = lim s = 4 lim ( + 3) =. 5
Vět. Necht 0. Pk geometrická řd q koverguje právě tehdy, když pro její kvociet pltí q <. Přitom součet geometrické řdy je s = q. Příkld.4 Vypočítejte součet řdy: ) 5 3+, b) 4 3. + ) Protože 5 3+ = ( ) 3 5 3 = její kvociet q = 3 >, 5 3+ diverguje. b) Jedá se o geometrickou řdu, ebot kvociet q = 3 <, 45 ( ) 3, jedá se o geometrickou řdu. Jelikož 4 3 + = 4 3 + koverguje má součet 4 3 ( ) = 3 8 9 ( ). Protože 3 s = 8 9 3 = 8 3. Příkld.5 Periodické číslo 0,3 vyjádřete ve tvru zlomku v zákldím tvru. 0,3 = 3 0 + 3 0 + 3 4 0 + = 3 6 0, což je geometrická řd s kvocietem q = 0. Jelikož q <, tto řd koverguje má součet s = Úvod do itegrálího počtu q = 3 0 = 3 99. 0. Primitiví fukce, Neurčitý itegrál Itegrál je jedím z ústředích pojmů mtemtiky. Historicky vzikly dvě zákldí úlohy motivující potřebu itegrálu: určeí fukce zákldě zlosti její derivce, výpočet plochy vymezeé grfem fukce f itervlu, b osou ezávislé proměé x. 6
Tyto dvě úlohy vedou k pojmu primitiví fukce, eurčitého určitého itegrálu. Vyložeé zákldy itegrálího počtu využijeme později příkld při výpočtu geometrické prvděpodobosti ebo při studiu spojitých áhodých veliči. V rámci studi difereciálího počtu jsme se zbývli úlohou lézt k fukci f její dervci f. Při řešeí růzých problémů se čsto setkáváme s obráceou úlohou. Máme lézt fukci, záme-li její derivci v ějkém itervlu (, b). Nlezeí tkové fukce je v jistém smyslu iverzí opercí k derivováí. Defiice. Necht f je fukce defiová (, b) R. Pk fukci F, pro kterou pltí F (x) = f(x) pro všech x (, b), zýváme primitiví fukcí k fukci f itervlu (, b). Npř. fukce F (x) = x je primitiví fukcí k fukci f(x) = x itervlu (, ), ebot pro kždé x R pltí (x ) = x. Podobě F (x) = tg x je primitiví fukcí k fukci f(x) = /cos x itervlu ( π/, π/), ebot pro kždé x ( π/, π/), pltí (tg x) = / cos x. Primitivích fukcí k fukci f může být více. K fukci f(x) = x defiové itervlu (, ) je primitiví fukcí eje fukce x, le i tké fukce x + 3, ebot pro kždé x R pltí (x + 3) = x. K fukci f(x) = x sdo lezeme dlší primitiví fukce (obrázek 3). Obrázek 3: Vlevo primitiví fukce k fukci f(x) = / cos x, vprvo primitiví fukce k fukci f(x) = x 7
Vět. Vlstosti primitiví fukce. Necht F, F jsou primitiví fukce k fukci f itervlu (, b). Potom jejich rozdíl je kosttí fukce.. Je-li f spojitá itervlu (, b), pk tomto itervlu existuje lespoň jed primitiví fukce k fukci f. 3. Kždá primitiví fukce je spojitá. 4. Je-li F ějká primitiví fukce k fukci f itervlu (, b), pk tomto itervlu je {F + c; c R} moži všech primitivích fukcí k fukci f. Defiice. Možiu všech primitivích fukcí k fukci f itervlu (, b) budeme zývt eurčitým itegrálem fukce f zčit f dx, přípdě f(x) dx. Přitom se zývá itegrčí zk, f itegrová fukce (itegrd), x itegrčí proměá, dx difereciál itegrčí proměé. Postup při hledáí primitivích fukcí se zývá itegrováí. Zápis f(x) dx = F (x) + c; x (, b) je ovšem edůsledý epřesý, ebot ve skutečosti pltí f(x) dx = {F (x) + c; c R}. Symbol dx vyzčuje, ke které proměé se primitiví fukce hledá. Zákldí vzorce pro výpočet primitivích fukcí () () (3) (4) (5) (6) (7) (8) 0 dx = k, k R, (9) dx = tg x, cos x k dx = kx, k R, (0) si dx = cotg x, x x dx = x+,, () dx = rcsi x, + x dx = l x, () x x dx = rcsi x, > 0, e x dx = e x, (3) dx = rctg x, + x x dx = x l, > 0, (4), + x dx = rctg x, 0, x si x dx = cos x, (5) x + b dx = l + x + b, b 0, f (x) cos x dx = si x, (6) dx = l f(x). f(x) 8
. Výpočet primitiví fukce Následující tvrzeí ám usdí výpočet primitiví fukce. Vět. Je-li itervlu (, b) F i (i =,,..., ) primitiví fukcí k fukci f i pro kždé i =,,..., jsou-li c, c..., c libovolá reálá čísl, existuje itervlu (, b) k fukci f = c f + c f + + c f primitiví fukce F = c F + c F + + c F. V symbolice eurčitých itegrálů lze větu stručěji zpst ásledově: (c f + c f + + c f ) dx = c f dx + c f dx + + c x (, b), z předpokldu existece f i dx (, b) pro i =,,...,. Příkld. Vypočítejte: ) ( x 3 + ) x + x dx, b) dx. si x cos x f dx, ) ( x 3 + x + x) dx = x 3 dx + x dx + x4 dx = + x x + l x + c. x 3 b) dx = dx = cos x+si x dx = ( cos x + si x si x cos x si x cos x si x cos x si x cos x) dx = = l si x l cos x + c = l si x + c = l tg x + c. Metod substituce cos x U moh jiých typů fukcí, příkld pro souči dvou fukcí, je uté postupovt jik. Použijeme zákldí itegrčí metody metodu substituce metodu per prtes. Vět.3 Necht fukce ϕ : (α, β) (, b) má všude v (α, β) derivci echt fukce f je defiová (, b). Potom ) Je-li F primitiví fukcí k f (, b), je F ϕ primitiví fukce k fukci (f ϕ) ϕ itervlu (α, β). b) Je-li víc ϕ prostá, zobrzuje itervl (α, β) (, b) ϕ má všude v (α, β) eulovou derivci, pk pro ψ = ϕ pltí: je-li G primitiví fukcí k fukci (f ϕ) ϕ (α, β), je G ψ primitiví fukcí k fukci f itervlu (, b). Vzorec pro itegrci substitucí odpovídjící předchozí větě ) zpisujeme ve tvru f (ϕ(x)) ϕ (x) dx = f(t) dt, dosdíme-li do primitiví fukce prvé strě t = ϕ(x). Vzorec pro itegrci substitucí odpovídjící předchozí větě b) zpisujeme ve tvru f(x) dx = f(ϕ(t)) ϕ (t) dt, dosdíme-li do primitiví fukce prvé strě t = ϕ (x). 9
Metod per prtes Dlší metodou, které lze z jístých okolostí využít k itegrci součiu fukcí, je metod per prtes. Vět.4 Necht fukce u, v mjí derivci itervlu (, b). Existuje-li (, b) primitiví fukce k jedé z fukcí uv, u v, existuje i ke druhé z ich. Je-li F primitiví fukce k u v itervlu (, b), je uv F primitiví fukce k uv (, b). Prvidlo pro itegrci metodou per prtes zpisujeme ve tvru uv dx = uv u v dx, x (, b). Příkld. Vypočítejte: ) l x x dx, x (, ), b) x l x dx. ) Itegrová fukce je ve tvru součiu složeé fukce derivce její vitří složky, ebot pltí l x = l x = x x l x(l x), kde l x je vitří složkou složeé fukce l x. Proto k výpočtu itegrálu použijeme substitučí metodu. Volíme substituci l x = t. Dopočítáme difereciál substituce, tj. (l x) dx = t dt, tedy dx = dt. Pro všech x (, ) pk pltí x l x dx = t dt = t3 + c = l3 x + c. x 3 3 b) Použijeme metodu itegrce po částech per prtes. Pro všech x (0, ) pltí x l x dx = = u = x v = l x u = x3 v = = x3 l x x x3 x3 dx = l x + c = ( x3 3 3 3 9 3 l x 3) + c. 3 x.3 Určitý itegrál Motivčí příkld Necht f je spojitá ezáporá fukce itervlu, b echt A je moži všech bodů [x, y] v roviě R, pro ěž pltí x b, 0 y f(x). Máme určit plošý obsh P obrzce A obrázku 5. Rozdělme itervl, b dílků dělícími body = x 0 < x < < x i < x i < < x < x = b. Možiu D = {x 0, x,..., x } zýváme děleí itervlu, b. Ozčme x i, x i = x i x i velikost kždého dílku. Uvitř kždého itervlu x i, x i zvolme bod ξ i určeme f(ξ i ). Číslo σ(f, D ) = f(ξ i ) x i zýváme itegrálí součet fukce f příslušý děleí D. Leží-li body ξ i uprostřed dílků, hovoříme o středím itegrálím součtu. Pro jedoduchost předpokládejme, že dílky jsou stejě velké (obrázek 5). i= 0
Obrázek 4: Obsh P obrzce A Obrázek 5: Dolí horí proximce A Defiice.3 Fukci f zýváme (Riemovsky) itegrovtelou itervlu, b, jestliže existuje vlstí limit středích itegrálích součtů fukce f, tj. lim σ(f, D ) = lim f(ξ i ) x i = I, kde I R. Číslo I se zývá (Riemův) určitý itegrál fukce f itervlu, b. Zčíme ho b i= f(x) dx, kde se zývá dolí (itegrčí) mez, b horí (itegrčí) mez.
Vět.5 Necht fukce f(x), g(x) jsou itervlu, b spojité, m je libovolé číslo, přičemž < m < b. Pk pltí: b b cf(x) dx = c f(x) dx, c R, b (f(x) ± g(x)) dx = b f(x) dx ± b g(x) dx, m b b f(x) dx + f(x) dx = f(x) dx. m Vět.6 Newto-Leibizov formule Je-li fukce f spojitá uzvřeém itervlu, b má-li tomto itervlu primitiví fukci F, pk b Příkld.3 Vypočítejte: π ) si x dx, b) 0 0 f(x) dx = [F (x)] b = F (b) F (). 0 x 3 x 4 +3 dx. π ) Využijeme předchozí formuli si x dx = [ cos x] π 0 = (cos π cos 0) =. b) Uvědomíme-li si, že čittel zlomku x 3 je ž multipliktiví kosttu derivcí jmeovtele x 4 + 3, pk jedoduchou úprvou dosteme = 4 (l 4 l 3) = 4 l 4 3. 0 x 3 x 4 +3 dx = 4 0 4x 3 x 4 +3 dx = 4 [l(x4 + 3)] 0 =
Litertur Zákldí MANN, P.S. Itroductory Sttistics. 6th editio. Hoboke: Wiley, 007. ISBN 978-0-47-75530-. MOUČKA, J., RÁDL, P. Mtemtik pro studety ekoomie.. vyd. Grd 00. ISBN 978-80- 47-360-. NEUBAUER, J., SEDLAČÍK, M., KŘÍŽ, O. Zákldy sttistiky Aplikce v techických ekoomických oborech. Grd 0.ISBN: 978-80-47-473-. ŘEZANKOVÁ, H. Alýz dt z dotzíkových šetřeí.. vydáí, Professiol Publishig, 00. ISBN: 97880743095. Doporučeá AGRESTI, A. Ctegoricl Dt Alysis. Secod Editio. Wiley 00. ISBN: 0-47-36093-7. ANDĚL, J. Sttisticke metody. 3. vydáí. Prh: Mtfyzpress, 003. ISBN 80-8673-08-8. ANDĚL, J. Zákldy mtemtické sttistiky.. vyd. Prh: Mtfyzpress, 007, 358 s. ISBN 978-80-7378-00-. VÁGNER, M. Itegrálí počet fukcí jedé proměé.. vydáí. Bro: UO, 005,6 s. ISBN 80-73-05-9. VÁGNER, M., KAŠTÁNKOVÁ, V. Poslouposti řdy.. vydáí. Bro: UO, 006. ISBN 80-73-3-X. 3
Příkldy k procvičeí Poslouposti řdy. Npište { prvích } pět čleů poslouposti: ), { + 3 b) cos π }, c) {00 }.. Která z čísel 5, 50, 75, 00 jsou čley poslouposti { + }. 3. U dých posloupostí určete, + : ) 3, 9, 3 7, 4 8, 5 43, b) 4,, 0, 7, 8, 3 c),!, 5 3!, 7 4!, 9 5!. 4. Vypočítejte { limity } posloupostí: + 6 ), { 3 } e b), {( c) 4 ) }. 5. Dokžte, že čísl 5, 3, 5+ jsou tři z sebou jdoucí čley geometrické poslouposti (využijte vlstost, že pro geometrickou posloupost je pro všech N podíl + = q). 6. Ce ového zřízeí je 86 400 Kč. Opotřebeím se ročě zehodotí o 0 %. Jká bude hodot zřízeí po 5 letech?. ) 4, 0, 6, 7, 3 ; b) 0,, 0,, 0; c) 98, 96, 9, 84, 68; 8. 5, 00; 3. ) = 3, + = + 3 + ; b) = 3 + 3, + = 4. ) 3 ; b) ; c) e 4 ; 5. Pltí; 6. 3 040 Kč. + 4 ; c) =!, + = + ( + )! ; 4
Úvod do itegrálího počtu. Vypočítejte: ( ) 4x 3 + si x + ) dx, ( ) x + 4 b) x + x dx, x 3 (x ) c) dx. x 3. Metodou substituce vypočítejte: ) x 3 x + dx, x 4 b) 4 + x dx, 5 3e x c) (e x ) dx. 4 3. Metodou per prtes vypočítejte: ) l x dx, b) e 3x cos x dx, c) x l x dx. 4. Nlezěte v dém itervlu středí hodotu fukce použijte Větu itegrálího počtu o středí hodotě µ = b b f(x) dx: ) f(x) = x +, x, 4, b) f(x) = x e x, x 0,, c) f(x) = x l x, x,. 5. Vhodou metodou vypočítejte určité itegrály: ) b) c) e l x x dx, π x cos x dx, π x + x 3 dx. 5
(x x ) l x + c;. ) x 4 cos x + rctg x x + c; b) l + c; c) x. ) 3 3 (x 8 + ) 4 + c; b) 4 + x 5 5 + c; c) (e x ) 3 + c; 3. ) x l x x(l x ) + c; b) 0 e3x (si x + 3 cos x) + c; c) 3 x x 4. ) 8; b) e ; c) 5 l 4; 5. ) π e ; b) π 4 ; c) 4 9. ( l x ) + c; 3 6