Diferenciální rovnice 7 OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Diferenciální rovnice jsou velmi důležitou částí matematické analý protože umožňují řešit mimo jiné celou řadu úloh fik a technické prae Při řešení praktických problémů je nutno nejprve e námých vlastností problému diferenciální rovnici sestavit pak ji vřešit a nakonec řešení převést pět do prae 7 Základní pojm Občejnou diferenciální rovnicí naýváme rovnici v níž se vsktuje derivace nenámé funkce jedné neávisle proměnné Řádem diferenciální rovnice naýváme řád nejvšší derivace nenámé funkce v rovnici Řešením nebo také integrálem diferenciální rovnice na intervalu I naýváme každou funkci která na intervalu I danou rovnici splňuje Integrální křivka diferenciální rovnice je grafické náornění některého řešení diferenciální rovnice Ponámka: Pojem řešení má u diferenciálních rovnic dva výnam: jednak postup výpočtu jednak výsledek rovnice Příklad 7: Určete řád diferenciálních rovnic: a) = b) + = c) d = ( ) d Řešení: a) Diferenciální rovnice = je prvního řádu b) Diferenciální rovnice + = je druhého řádu (nejvšší je druhá derivace) c) Diferenciální rovnice je prvního řádu (rovnici převedeme na tvar = ( ) d a d uvědomíme si že d = ) d Řešení diferenciálních rovnic dělíme do tří tpů: Obecné řešení rovnice prvního řádu tvoří každá funkce tvaru ϕ ( C ) = 0 případně = ψ ( C ) která rovnici splňuje pro libovolnou konstantu C Obecné řešení vžd obsahuje integrační konstantu (rovnice prvního řádu) nebo n konstant (rovnice n-tého řádu) Partikulární řešení je obsaženo v obecném řešení Získáme ho obecného řešení kdž a integrační konstant dosadíme konkrétní hodnot (které volíme nebo vpočítáme daných podmínek) Výjimečné řešení není obsaženo v obecném řešení Vniká jen u některých tpů diferenciálních rovnic v průběhu jejich řešení Příklad 7: Určete: a) Obecné řešení diferenciální rovnice = b) partikulární řešení pro které platí () = 7 c) Načrtněte integrální křivku partikulárního řešení Řešení: a) Nenámou funkci určíme integrováním rovnice: d = d = + C je obecné řešení ted
Diferenciální rovnice b) Podmínka () = 7 říká že hodnotě = odpovídá hodnota = 7 hledáme ted takové řešení které procháí bodem P[7] Dosadíme tto dvě hodnot do obecného řešení: 7= + C a odtud vpočítáme C = Dosaením a C do obecného řešení ískáme partikulární řešení: = + c) Je řejmé že integrální křivka je parabola s vrcholem V[0] a osou v ose 6 P[7] 4-0 Integrální křivka = + 7 DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE I ŘÁDU Senámíme se poue se ákladními tp 7 Separovaná diferenciální rovnice Ponáme ji podle toho že jednotlivé proměnné jsou oddělen (separován) to je u diferenciálu d se vsktuje poue proměnná a u diferenciálu d se vsktuje poue proměnná Obecný tvar: P( ) d = Q( ) d Q ( ) 0 případně pro Q ( ) = = f( ) d protože po dosaení a = a jednoduché úpravě dostaneme d = f ( ) d d Postup řešení: Separovanou diferenciální rovnici řešíme integrací: Příklad 7: Vřešte diferenciální rovnici P( ) d = Q( ) d + C (sin + ) d= (cos ) d platí-li (0) = π Řešení: Obecné řešíme ískáme integrací: (sin + ) d = (cos ) d Obě stran rovnice le integrovat podle ákladních vorců: cos + = sin + C Dále hledáme partikulární řešení které procháí bodem P[0π] Dosadíme do obecného řešení: 0 π π cos 0 + = sinπ + C a odtud vpočítáme C = Dosaením a C do obecného řešení ískáme partikulární řešení: π cos + = sin +
Diferenciální rovnice Příklad 74: Vřešte diferenciální rovnici = + Řešení: Obecné řešení ískáme opět integrací: d= + Pravou stranu můžeme integrovat podle ákladního vorce [] uvědomíme-li si že v čitateli d lomku je derivace jmenovatele Obecné řešení má tvar: = ln( + ) + C 7 Separovatelná diferenciální rovnice Tento tp le upravit na separovanou diferenciální rovnici Podstatné je že mei funkcemi v proměnné a funkcemi v proměnné musí být po úpravě naménko krát (děleno) Obecný tvar: P( ) P( ) + Q( ) Q( ) = 0 Q( ) 0 Q( ) 0 Postup řešení: I Derivaci nahradíme podílem diferenciálů d ( ) ( ) + ( ) ( ) = 0 P P Q Q d d = : d II Rovnici vnásobíme d abchom osamostatnili diferenciál: P( ) P( ) d + Q( ) Q( ) d = 0 III Rovnici separujeme ted k d převedeme všechn funkce v proměnné a k d převedeme všechn funkce v proměnné Přitom obvkle necháme na každé straně rovnice jen jeden diferenciál P( ) P( ) d + Q( ) Q( ) d = 0 P( ) Q( ) P ( ) 0 P( ) Q( ) d = d což je separovaná rovnice Q( ) P( ) POZOR: Podmínkou P ( ) 0 jsme mohli rušit případné řešení Musíme ted vlášť koumat da P ( ) = 0 není výjimečné řešení které vniklo v průběhu řešení dané rovnice IV Separovanou rovnici integrujeme a ískáme obecné řešení: P( ) Q( ) d = d C Q( ) + P( ) Příklad 75: Vřešte diferenciální rovnici = + 0 0 platí-li () = Řešení: Budeme dodržovat výše uvedený postup I IV: I Derivaci nahradíme podílem diferenciálů d = : d II Rovnici vnásobíme d abchom osamostatnili diferenciál: d = d + d= d +
Diferenciální rovnice 4 III Rovnici separujeme: ( ) d = d + + ( ) d d + = což je separovaná rovnice Žádnou další podmínku jsme v průběhu řešení nepoložili rovnice proto nemá výjimečné řešení IV Separovanou rovnici integrujeme a ískáme obecné řešení: ( + ) d = d ( + d ) = ( d ) 4 + = ln + C 4 Z podmínk () = vplývá že hledáme partikulární řešení které procháí bodem P[] Po dosaení do obecného řešení vpočítáme hodnotu integrační konstant: 4 + = ln + C a odtud C = 4 4 Partikulární řešení: + = ln + 4 Příklad 76: Vřešte diferenciální rovnici = + Řešení: Budeme dodržovat výše uvedený postup I IV: I Derivaci nahradíme podílem diferenciálů d = : d II Rovnici vnásobíme d abchom osamostatnili diferenciál: III Rovnici separujeme: IV Separovanou rovnici integrujeme: upravíme d = d 0 + d = d + d = d + ln = ln( + ) + ln C ln = ln( + ) C d = d + d = + d = C( + ) což je obecné řešení V kroku III jsme položili podmínku 0 musíme proto vlášť všetřit da = 0 není řešením dané rovnice: = 0 = 0 Tto hodnot dosadíme do adání rovnice: levá strana: LS = 0 pravá strana: 0 PS = 0 + =
Diferenciální rovnice 5 Je řejmé že funkce = 0 vhovuje adání rovnice Přesto není výjimečným řešením protože je obsažena v obecném řešením pro hodnotu konstant C = 0 7 Homogenní diferenciální rovnice Tento tp se dá upravit na tvar = ϕ( ) 0 Po úpravě se v rovnici mohou proměnné a vsktovat výhradně ve lomku nesmí v ní být samostatně ted Postup řešení: I Rovnici upravíme na tvar = ϕ( ) II Zavedeme substituci: = = ( ) (a) Abchom mohli dosadit do adání potřebujeme vpočítat derivaci Ze substituční rovnice proto vpočítáme = a derivujeme jako součin protože = ( ) : = + = + (b) Dosadíme do adání + = ϕ( ) III Dostaneme separovatelnou rovnici pro nenámou kterou vřešíme podle postupu uvedeného v 7 IV Po vřešení separovatelné rovnice nesmíme apomenout dosadit pět a Příklad 77: Vřešte diferenciální rovnici = vi (a) = 0 0 platí-li (4) = Řešení: Budeme dodržovat výše uvedený postup I IV uvedený v 7: I Rovnici upravíme: = = ( ) II Zavedeme substituci (a b): ( + ) = a upravíme: + = = III Dále řešíme jako separovatelnou rovnici vi 7: d d d = d = ( ) d 0 d = d
Diferenciální rovnice 6 Separovanou rovnici integrujeme: d = d 4 Upravíme: 4 d = d ln = ln + ln C 4 ln ( ) 4 = ln C ( ) 4 = C IV Nní dosadíme pět a = () a ískáme obecné řešení: ( ) 4 = C Z podmínk (4) = vplývá že hledáme partikulární řešení které procháí bodem P[4] Po dosaení do obecného řešení vpočítáme hodnotu integrační konstant: ( ) 4 = C4 4 4C = 4 C = Partikulární řešení: 4 ( ) = 4C 4 4 4 ( ) = 4 4 4 Výjimečné řešení musíme hledat podmínk 0 Položíme = 0 a dosadíme (a) = : ( ) = 4C = 0 4 ( ) = 4C Vpočítáme = =± =± Tto hodnot dosadíme do adání rovnice: levá strana: LS = ( ± )( ± ) = pravá strana: PS = = Je řejmé že funkce =± vhovují adání rovnice Proto jsou výjimečným řešením Příklad 78: Vřešte diferenciální rovnici + ( ) = 0 Řešení: Budeme dodržovat výše uvedený postup I IV uvedený v 7: I Rovnici upravíme: + ( ) = 0 0: + ( ) = 0 II Zavedeme substituci (a b): + ( )( + ) = 0
Diferenciální rovnice 7 + a upravíme: + = (podmínka je pro splněna) + = + ( ) = + = III Dále řešíme jako separovatelnou rovnici vi 7: d + = d d d= + d + d = d + Separovanou rovnici integrujeme: d = d + ( ) d = d + + ln( arctg + ) = ln + C IV Nní dosadíme pět a = (a) a ískáme obecné řešení: arctg ln( + ) = ln + C Příklad 79: Vřešte diferenciální rovnici = + 0 Řešení: Budeme dodržovat výše uvedený postup I IV uvedený v 7: I Rovnici upravíme: = + : = + ( ) II Zavedeme substituci (a b): + = + a upravíme: = + III Dále řešíme jako separovatelnou rovnici vi 7: d = + d d d = ( + ) d + d = d + Separovanou rovnici integrujeme: d = d +
Diferenciální rovnice 8 upravíme d = d ( = + ) ( + + ) 4 4 4 4 d = d + = ( ) + ( ) 4 4 Integrujeme podle vorce [4] a = : arctg = ln + C arctg = ln + C IV Nní dosadíme pět a = () a ískáme obecné řešení: arctg = ln + C 74 Lineární diferenciální rovnice Jsou jedn nejdůležitějších diferenciálních rovnic prvního řádu Ponáme je podle toho že nenámá a její derivace jsou vžd prvního stupně (proto náev lineární) Obecný tvar: + P( ) = Q( ) kde funkce P ( ) Q ( ) jsou spojité v intervalu I Dělíme je do dvou tpů: krácená pro Q ( ) = 0 : + P( ) = 0 úplná pro Q ( ) 0 : + P ( ) = Q ( ) Postup řešení: Zkrácená rovnice je speciálním případem rovnice úplné Proto uvedeme poue řešení úplné rovnice Řešíme ji Lagrangeovou metodou variace konstant Obecný postup řešení je trošku náročnější proto jej mohou méně matematick vbavení studenti přeskočit a metodu pochopit na řešených příkladech 70-7 Lagrangeova metoda variace konstant I Vřešíme příslušnou krácenou rovnici která je vžd separovatelná: + P( ) = 0 Vřešíme ji proto postupem uvedeným v 7 d P ( ) 0 d + = d P ( ) d = d d =P( ) d 0 d P ( ) d = d = P ( ) d
Diferenciální rovnice 9 ln = P ( ) d+ ln C Řešení upravíme vužitím pravidla o skládání vájemně inverních funkcí a pravidel pro počítání s logaritm: P ( ) d ln = ln e + ln C ln = ln Ce P ( ) d P( ) d = () což je předpokládaný tvar řešení Je to část řešení která odpovídá krácené rovnici Je řejmé že výjimečné řešení lineární diferenciální rovnice nemá protože řešení = 0 (vplývající podmínk 0 ) dostaneme dosaením a C = 0 do vtahu () Ce Pravou stranu Q ( ) do řešení abudujeme následujícím postupem II Druhý krok se naývá variace (měna) konstant V obecném řešení () bude místo konstant C funkce proměnné : C = C( ) Dosadíme a ni do (): P( ) d = C( ) e P ( ) d P ( ) d Derivujeme součin: = C ( ) e + C( ) e ( P( ) ) Za a dosadíme do adání: P ( ) d P ( ) d C ( ) e + C( ) e P( ) P ( ) d + P( ) C( ) e = Q( ) ( ) Následuje kontrolní krok: sčítance s C ( ) se vájemně musí vrušit ůstává poue sčítanec s derivací C ( ) P ( ) d C ( ) e P ( ) d = Q( ) upravíme C ( ) = Q( ) e P ( ) d a odtud vpočítáme integrační konstantu C ( ) = Qe ( ) d+ K III Obecné řešení adané lineární diferenciální rovnice ískáme dosaením vpočítané konstant do předpokládaného tvaru řešení (): ( ) ( ) ( ( ) P d P d = Q e d+ K) e 5 Příklad 70: Vřešte diferenciální rovnici = 0 Řešení: Budeme dodržovat výše uvedený postup I III uvedený v 74: 5 I Vřešíme příslušnou krácenou rovnici = 0 která je vžd separovatelná Vřešíme ji proto postupem uvedeným v 7 d 5 = 0 d d 5 = d d 5 d = d 0 d 5 = d
Diferenciální rovnice 0 d = 5 d ln = 5ln + ln C Řešení upravíme vužitím pravidel pro počítání s logaritm: 5 ln = ln + ln C ln 5 = ln C 5 = C () což je předpokládaný tvar řešení Je to část řešení která odpovídá levé straně rovnice Je řejmé že výjimečné řešení lineární diferenciální rovnice nemá protože řešení = 0 (vplývající podmínk 0 ) dostaneme dosaením a C = 0 do vtahu () Pravou stranu Q ( ) = do řešení abudujeme následujícím postupem II Druhý krok se naývá variace (měna) konstant Obecné řešení () bude mít místo konstant C funkci proměnné : C = C( ) 5 Dosadíme a ni do (): = C ( ) 5 4 derivujeme součin: = C ( ) + C( )5 5 5 4 5 C ( ) Za a dosadíme do adání C ( ) + C( )5 = Následuje kontrolní krok: sčítance s C ( ) se vájemně musí odečíst ůstává poue sčítanec s derivací C 5 ( ) : C ( ) = upravíme C ( ) = = a odtud vpočítáme integrační konstantu C ( ) = C ( d ) = d= + K= + K III Obecné řešení adané lineární diferenciální rovnice ískáme dosaením vpočítané konstant do předpokládaného tvaru řešení (): 5 5 = ( + K) po úpravě = K Je řejmé že obecné řešení tvoří dvě části: = 0 + ˆ 5 kde 0 = K je řešení krácené rovnice ˆ = je partikulární integrál odpovídající pravé straně Q ( ) Příklad 7: Vřešte diferenciální rovnici + = platí-li (0) = 4 Řešení: Budeme dodržovat uvedený postup I III uvedený v příkladu 70: I Vřešíme příslušnou krácenou rovnici + = 0 která je vžd separovatelná postupem uvedeným v 7 d 0 d + = d d d =
Diferenciální rovnice d = d 0 d d = d d = ln = + ln C Řešení upravíme vužitím pravidla o skládání vájemně inverních funkcí a pravidel pro počítání s logaritm: ln = ln e + ln C ln = ln Ce = Ce což je předpokládaný tvar řešení (4) II Integrační konstantu C budeme považovat a funkci proměnné : C = C( ) Dosadíme a ni do (4): Derivujeme součin: = C( ) e = C ( ) e + C( ) e ( ) Za a dosadíme do adání: C ( ) e C( ) e + C( ) e = Následuje kontrolní krok: sčítance s C ( ) se vájemně vruší ůstává poue sčítanec s derivací C ( ) C ( ) e = C ( ) upravíme = e a odtud vpočítáme integrační konstantu C ( ) = e t t C( ) = C ( ) d = e d = = t d = dt = e dt = e + K = e + K III Obecné řešení adané lineární diferenciální rovnice ískáme dosaením vpočítané konstant do předpokládaného tvaru řešení (4): = ( e + K) e po úpravě = + Ke Z podmínk (0) = 4 vplývá že hledáme partikulární řešení které procháí bodem P[04] Po dosaení do obecného řešení vpočítáme hodnotu integrační konstant: 0 4= + Ke a odtud K = Partikulární řešení: = + e
Diferenciální rovnice Ponámka: Uvedený příklad + = vřešíme i jiným postupem: Stačí kdž provedeme jednoduchou úpravu = = ( ) Získáme separovatelnou rovnici kterou vřešíme postupem uvedeným v 7 d ( ) d d = d = ( ) d d = d d = d ln = + ln C což je obecné řešení které můžeme (ale nemusíme) dále upravit: ln ( ) = ln e + ln C ( ) = Ce Ce = = = + Ke kde K = C Ce Z tohoto příkladu je řejmé že diferenciální rovnice nemusí být poue jednoho tpu Pokud splňuje současně podmínk pro více tpů volíme vžd jednodušší postup řešení (v uvedeném příkladě je to řešení separovatelné diferenciální rovnice) Příklad 7: Vřešte diferenciální rovnici = + platí-li () = + Řešení: Budeme dodržovat uvedený postup I III uvedený v příkladu 70: I Vřešíme příslušnou krácenou rovnici = 0 + která je vžd separovatelná postupem uvedeným v 7 d = 0 d + d = d d + d = d 0 + d = d + d = d + ln = ln + + ln C Řešení upravíme vužitím pravidel pro počítání s logaritm:
Diferenciální rovnice ln = ln C+ = C( + ) což je předpokládaný tvar řešení (5) II Integrační konstantu C budeme považovat a funkci proměnné : C = C( ) Dosadíme a ni do (5): Derivujeme součin: = C ( )( + ) = C ( )( + ) + C( ) C ( )( + ) Za a dosadíme do adání: C ( )( + ) + C( ) = + + Následuje kontrolní krok: sčítance s C ( ) se vájemně vruší ůstává poue sčítanec s derivací C ( ) : C ( )( + ) = + po vkrácení C ( ) = a vpočítáme integrační konstantu C ( ) = C ( d ) = d= + K III Obecné řešení adané lineární diferenciální rovnice ískáme dosaením vpočítané konstant do předpokládaného tvaru řešení (5): = ( + K)( + ) Z podmínk () = vplývá že hledáme partikulární řešení které procháí bodem P[-] Po dosaení do obecného řešení vpočítáme hodnotu integrační konstant: = ( + K)(+ ) a odtud vpočítáme K = 4 Partikulární řešení: = ( )( + ) po úpravě = + Ponámka: Eistuje řada dalších tpů diferenciálních rovnic I řádu které nejsou ařaen do tohoto stručného přehledu 7 Diferenciální rovnice II řádu Ve stručném přehledu se budeme abývat výhradně řešením lineárních diferenciálních rovnic II řádu s konstantními koeficient Obecný tvar: a + a + a0 = Q( ) kde a 0 a a0 jsou reálné konstant Dělíme je do dvou tpů: krácená pro Q ( ) = 0 : a + a + a0 = 0 úplná pro Q ( ) 0 : a + a + a0 = Q( ) Řešením lineárních diferenciálních rovnic II řádu se abýval švýcarský matematik Leonhard Euler 7 Zkrácená rovnice a a a + + 0 = 0 Euler jistil že řešení má tvar Pro derivace platí Dosadíme do adání r = e kde r je konstanta vaná charakteristický kořen r = re = r e r r r r 0 0 are + are + ae =
Diferenciální rovnice 4 vtkneme r e r Protože e 0 musí platit r 0 0 0 e ( a r + a r+ a ) = 0 ar + ar+ a = (6) Rovnice (6) se naývá charakteristická rovnice lineární diferenciální rovnice II řádu Je to kvadratická rovnice pro nenámou r Můžeme ji snadno odvodit přímo e adání jestliže 0 do adání místo dosadíme r místo dosadíme r = r a místo dosadíme r = Řešení krácené rovnice ávisí na tom jaká jsou charakteristické kořen r: a) r r reálné růné charakteristické kořen fundamentální sstém řešení tvoří složk ( ) r = = e ( ) r = = e r obecné řešení má tvar r = C e + C e (A) 0 b) r = r = r reálný dvojnásobný charakteristický kořen fundamentální sstém řešení tvoří složk ( ) r = = e ( ) r = = e r r obecné řešení má tvar 0 = Ce + C e (B) c) r = a± bi kompleně sdružené charakteristické kořen fundamentální sstém řešení tvoří složk ( ) a = = e cos b ( ) a = = e sin b a obecné řešení má tvar 0 = e ( Ccosb+ Csin b) (C) Ponámka: Ab složk = ( ) a = ( ) tvořil fundamentální sstém řešení musí být funkce = ( ) a = ( ) lineárně neávislé O lineární neávislosti funkcí rohodneme pomocí Wronského determinantu (Wronskiánu): ( ) ( ) W( ) = ( ) ( ) pro W ( ) 0: ( ) ( ) lineárně neávislé pro W ( ) = 0: ( ) ( ) lineárně ávislé Příklad 7: Vřešte krácenou lineární diferenciální rovnici + = 0 Řešení: Napíšeme charakteristickou rovnici r r+ = 0 roložíme na součin lineárních činitelů ( r)( r ) = 0 r = r = (nebo vřešíme kvadratickou rovnici pomocí diskriminantu) a podle (A) napíšeme obecné řešení: = Ce + C e 0 Příklad 74: Vřešte krácenou lineární diferenciální rovnici 4 + 4 = 0 Řešení: Napíšeme charakteristickou rovnici r 4r+ 4= 0 upravíme podle vorce a ab+ b = ( a b) ( r ) = 0 r = (nebo vřešíme kvadratickou rovnici pomocí diskriminantu) a podle (B) napíšeme obecné řešení: = Ce + C e 0 Příklad 75: Vřešte krácenou lineární diferenciální rovnici 4 = 0 Řešení: Napíšeme charakteristickou rovnici r 4r = 0 vtkneme r rr ( 4) = 0 r = 0 r = 4 a podle (A) napíšeme obecné řešení: 0 4 0 = C e + C e 4 0 = C + C e
Diferenciální rovnice 5 Příklad 76: Vřešte krácenou lineární diferenciální rovnici + 4 = 0 Řešení: Napíšeme charakteristickou rovnici upravíme r + 4= 0 r = 4 r = ± i (nebo vřešíme kvadratickou rovnici pomocí diskriminantu) Porovnáním s (C) jistíme a= 0 b= a podle (C) napíšeme obecné řešení: 0 0 = e ( C cos+ C sin ) 0 = Ccos + Csin Příklad 77: Vřešte krácenou lineární diferenciální rovnici 4 + 5 = 0 Řešení: Napíšeme charakteristickou rovnici r 4r+ 5= 0 vřešíme kvadratickou rovnici pomocí diskriminantu 4 ± ( 4) 45 4± 4 4± i r = = = = ± i Porovnáním s (C) jistíme a= b= a podle (C) napíšeme obecné řešení: 0 = e ( C cos+ C sin ) 0 = e ( C cos+ C sin ) 7 Úplná rovnice a + a + a0 = Q( ) Obecné řešení úplné rovnice má tvar = 0 + ˆ (7) kde 0 je řešení příslušné krácené rovnice a + a + a0 = 0 ŷ je partikulární integrál příslušný pravé straně Q ( ) Úplnou rovnici řešíme: Lagrangeovou metodou variace konstant (univerální metoda použitelná pro každou lineární diferenciální rovnici) metodou neurčitých koeficientů (metoda použitelná poue v případě speciálních tvarů pravé stran Q) ( ) Lagrangeova metoda variace konstant Princip metod je analogický řešení lineární diferenciální rovnice I řádu Proto si poue ukážeme na konkrétním příkladu nejjednodušší algoritmus řešení Příklad 78: Vřešte diferenciální rovnici: + 9 = cos Řešení: I Vřešíme příslušnou krácenou rovnici: + 9 = 0 napíšeme charakteristickou rovnici porovnáním s (C) jistíme a= 0 b= fundamentální sstém řešení tvoří složk r + 9= 0 0 = e cos r = 9 r = ± i 0 = e sin
Diferenciální rovnice 6 a podle (C) napíšeme obecné řešení krácené rovnice: 0 = Ccos+ Csin (8) II Metoda variace konstant C = C( ) C = C( ) ted C Cjsou funkce proměnné Vpočítáme Wronskián ( ) ( ) cos sin W( ) = = = cos + sin = (cos + sin ) = 0 ( ) ( ) sin cos Ve Wronskiánu nahradíme (Cramerovo pravidlo) první sloupec sloupcem 0 0 0 sin sin Q ( ) = a vtvoříme tak determinant W ( ) = = cos cos a cos cos Ve Wronskiánu analogick nahradíme druhý sloupec sloupcem 0 0 cos 0 cos Q ( ) = a vtvoříme tak determinant W ( ) = = = sin cos a cos cos Konstant C C vpočítáme podle vtahů: sin W ( ) cos sin sin ( ) C = d = d d d ln cos K W( ) = = = + cos cos 9 W ( ) C( ) = d = d K W( ) = + III Dosaením do obecného řešení krácené rovnice (8) a C C ískáme obecné řešení úplné rovnice: = ( ln cos + K)cos + ( + K)sin 9 = Kcos+ Ksin+ ln cos cos+ sin 9 Metoda neurčitých koeficientů Metodu můžeme použít poue v případě těchto speciálních tvarů pravé stran Q: ( ) a α) Q ( ) = e (eponenciální funkce) β) Q ( ) = Pn ( ) (polnom stupně n) γ) Q ( ) = cosbnebo sin b (goniometrické funkce) δ) kombinace α β γ
Diferenciální rovnice 7 Partikulární integrál ŷ příslušný pravé straně Q ( ) vtvoříme podle následující tabulk: Pravá strana Q ( ) Charakteristický kořen r krácené rovnice a + a + a = 0 0 Partikulární integrál ŷ Pn ( ) r = 0 k násobný k R n ( ) r 0 Rn ( ) a e r = a k násobný r a k a A e a Ae cosb sin b a P ( ) e cosb n a P ( ) e sinb n r =± ib ( Acosb+ Bsin b) r ± ib Acosb+ Bsin b r = a± ib a e ( Rn( )cos b+ Sn( )sin b) r a± ib a e ( Rn( )cos b+ Sn( )sin b) 0 Pn ( ) Rn ( ) Sn( ) jsou polnom stupně n ( A + A+ A + + A ) Výpočet touto metodou si ukážeme opět na příkladu Příklad 79: Vřešte diferenciální rovnici + + = Q( ) Řešení: I Vřešíme příslušnou krácenou rovnici: + + = 0 napíšeme charakteristickou rovnici r r + r+ = 0 ( r+ )( r+ ) = 0 = r = fundamentální sstém řešení tvoří lineárně neávislé složk a podle (A) napíšeme obecné řešení krácené rovnice: n e 0 n = = e = Ce + C e II Z metodických důvodů teď budeme pro tuto krácenou rovnici volit růné pravé stran Q ( ) a k nim vtvářet podle tabulk příslušný partikulární integrál α) Pro Qα ( ) = 4e řešíme rovnici + + = 4e Mocnitel na pravé straně rovnice a = a = a r = Ae vpočítáme derivace ˆ ˆ = Ae ˆ = 4Ae a dosadíme do adání α): 4Ae + Ae + Ae = 4e vkrátíme e 0 a sečteme A = 4 A = ˆ = e
Diferenciální rovnice 8 III α) Dosaením do (7) ískáme obecné řešení úplné rovnice: = 0 + ˆ α = Ce + Ce + e II β) Pro Qβ ( ) = 4e řešíme rovnici + + = 4e Mocnitel na pravé straně rovnice a = a = = r ( k = ) ˆ = Ae vpočítáme derivace ˆ = Ae Ae ˆ Ae Ae 4Ae 4Ae = + = 4Ae a dosadíme do adání β): 4Ae 4Ae + ( Ae Ae ) + Ae = 4e Člen s e se vruší vkrátíme ˆ = 4e III β) Dosaením do (7) ískáme obecné řešení: = 0 + ˆ 4 β = Ce + C e e e 0 a sečteme A = 4 A = 4 II γ) Pro Qγ ( ) = 4 řešíme rovnici + + = 4 Na pravé straně rovnice je polnom stupně a r 0 = A + B + C vpočítáme derivace ˆ = A + B ˆ = A a dosadíme do adání γ): ˆ A+ ( A+ B) + ( A + B+ C) = 4 upravíme: A + (6A + B) + (A + B + C) = 4 porovnáme koeficient u jednotlivých mocnin : u : A= 4 A= u : 6A+ B= 0 B= A= = 6 0 u : A+ B+ C = C = A B= ( 6) = C = 6 ˆ = 6+ 6 III γ) Dosaením do (7) ískáme obecné řešení: = 0 + ˆ γ = Ce + Ce + 6+ 6 II δ) Pro Qδ ( ) = 0sin řešíme rovnici + + = 0sin Na pravé straně rovnice je funkce sin a= 0 b= r 0± i ˆ = Acos + Bsin vpočítáme derivace: ˆ = Asin + Bcos ˆ =4Acos 4Bsin a dosadíme do adání δ): ( 4Acos 4Bsin ) + ( Asin+ Bcos ) + ( Acos+ Bsin ) = 0sin upravíme: cos ( A+ 6 B) + sin ( 6A B) = 0sin porovnáme koeficient u jednotlivých funkcí: u cos : A+ 6B= 0 A= B u sin : 6A B= 0 6B B= 0 B= A= ˆ =cos sin
Diferenciální rovnice 9 III δ) Dosaením do (7) ískáme obecné řešení: = 0 + ˆ δ = Ce + Ce cos sin Příklad 70: Vřešte diferenciální rovnici + = Q( ) Řešení: I Vřešíme příslušnou krácenou rovnici: + = 0 napíšeme charakteristickou rovnici fundamentální sstém řešení tvoří lineárně neávislé složk a podle (A) napíšeme obecné řešení krácené rovnice: r + r = 0 rr+ ( ) = 0 r = r = 0 = e 0 = e = 0 = Ce + C = Ce + C II Z metodických důvodů teď budeme pro tuto krácenou rovnici opět volit růné pravé stran Q ( ) a k nim vtvářet partikulární integrál podle výše uvedené tabulk: ε) Pro Qε ( ) = e řešíme rovnici Mocnitel na pravé straně rovnice vpočítáme derivace: a dosadíme do adání ε): vkrátíme + = e ˆ a = a = a r = Ae ˆ = Ae ˆ = 9Ae 9Ae + Ae = e e 0 a sečteme 5A = III ε)dosaením do (7) ískáme obecné řešení: = 0 + ˆ ε = Ce + C + e 5 A = 5 II φ) Zvolme Qϕ ( ) = 4 řešíme rovnici + = 4 Na pravé straně rovnice je polnom stupně a protože r = 0 ˆ = ( A+ B) = A + B vpočítáme derivace: ˆ = A + B ˆ = A a dosadíme do adání φ): A+ ( A+ B) = 4 upravíme: 4 A + (A + B) = 4 porovnáme koeficient u jednotlivých mocnin : u : 4A= 4 A= 0 u :A+ B= 0 B= A= ŷ = III φ) Dosaením do (7) ískáme obecné řešení: = 0 + ˆ = Ce + C + ϕ ˆ = e 5 II σ) Pro Qσ ( ) = 8cos 4 řešíme rovnici + = 8cos4 Na pravé straně rovnice je funkce cos 4 a= 0 b= 4 r 0 ± 4i ˆ = Acos 4+ Bsin 4 vpočítáme derivace: ˆ = 4Asin4+ 4Bcos4 ˆ =6Acos4 6Bsin4
Diferenciální rovnice 0 a dosadíme do adání σ): ( 6Acos 4 6Bsin 4 ) + ( 4Asin 4+ 4Bcos 4 ) = 8cos 4 upravíme: cos 4 ( 6A+ 8 B) + sin 4 ( 8A 6 B) = 8cos 4 porovnáme koeficient u jednotlivých funkcí: u sin 4 : 8A 6B= 0 A= B u cos 4 : 6A+ 8B= 8 6( B) + 8B= 8 B= A= 5 5 ˆ = cos 4+ sin 4 5 5 III σ) Dosaením do (7) ískáme obecné řešení: = 0 + ˆ σ = Ce + C cos 4+ sin 4 5 5 Příklad 7: Vřešte diferenciální rovnici + 4 = Q( ) Řešení: I Vřešíme příslušnou krácenou rovnici: + 4 = 0 napíšeme charakteristickou rovnici r + 4= 0 r =4 r =± i a= 0 b= fundamentální sstém řešení tvoří lineárně neávislé složk = cos = sin a podle (C) napíšeme obecné řešení krácené rovnice: 0 = Ccos + Csin II Z metodických důvodů teď budeme pro tuto krácenou rovnici opět volit růné pravé stran Q ( ) a k nim vtvářet partikulární integrál ς) Pro Qς ( ) = 4e řešíme rovnici Mocnitel na pravé straně rovnice vpočítáme derivace: a dosadíme do adání ς): vkrátíme e 0 a sečteme: 8A = 4 + 4 = 4e ˆ a = a = a r = Ae ˆ = Ae ˆ = 4Ae III ς) Dosaením do (7) ískáme obecné řešení: = 0 + ˆ ς = Ccos + Csin + e 4Ae + 4Ae = 4e A = ˆ = e II ξ ) Pro Q ξ = řešíme rovnici + 4 = Na pravé straně rovnice je polnom 0 stupně (konstanta) a protože r 0 ˆ = A vpočítáme derivace ˆ = 0 ˆ = 0 a dosadíme do adání ξ ): 0+ 4A= A= ˆ = III ξ ) Dosaením do (7) ískáme obecné řešení: = 0 + ˆ ξ = Ccos + Csin
Diferenciální rovnice Příklad 7: Určete tvar partikulárního integrálu pro rovnici + 4 + = Q( ) je-li e a) Q ( ) = b) Q ( ) = c) Q ( ) = sin d) Q ( ) = sin cos e) Q ( ) = e cos Řešení: Napíšeme charakteristickou rovnici r vřešíme kvadratickou rovnici pomocí diskriminantu r 4 ± 4 4 4 ± 6 4 ± 6i + 4r+ = 0 = = = r = ± i Porovnáním s (C) jistíme a= b= a podle (C) napíšeme obecné řešení: 0 = e ( C cos+ C sin ) a) Pro e Q ( ) = řešíme rovnici + 4 + = e Mocnitel na pravé straně rovnice a = a = a r ˆ = Ae b) Pro Q ( ) = řešíme rovnici + 4 + = Na pravé straně rovnice je polnom stupně a protože r 0 ŷ = A + B + C + D c) Pro Q ( ) = sinřešíme rovnici + 4 + = sin Na pravé straně rovnice je funkce sin a= 0 b= r 0 ± i ˆ = Acos+ Bsin d) Pro Q ( ) = sin cos řešíme rovnici + 4 + = sin cos Na pravé straně rovnice je funkce sin cos a= 0 b= r 0± i ˆ = Acos+ Bsin e) Pro Q ( ) = e cosřešíme rovnici Na pravé straně rovnice je funkce r = a± bi= ± i + 4 + = e cos e cos a= b= ˆ = e ( Acos+ Bsin ) Příklad 7: Určete tvar partikulárního integrálu pro rovnici + 5 = Q( ) je-li a) b) 5 Q ( ) = e 5 e Q ( ) = c) Q ( ) = 5 d) Q ( ) = cos5
Diferenciální rovnice Řešení: Napíšeme charakteristickou rovnici r + 5r = 0 vtkneme r rr+ ( 5) = 0 r = 0 r = 5 a podle (A) napíšeme obecné řešení: 0 5 0 = Ce + C e 0 5 = C + C e a) Pro b) Pro 5 Q ( ) = e řešíme rovnici 5 + 5 = e Mocnitel na pravé straně rovnice a= 5 a= 5 a r 5 e Q ( ) = řešíme rovnici 5 + 5 = e Mocnitel na pravé straně rovnice a = 5 a =5 a = r 5 ˆ = Ae 5 ˆ = Ae c) Pro Q ( ) = 5 řešíme rovnici + 5 = 5 Na pravé straně rovnice je polnom stupně a protože r = 0 ˆ = ( A + B + D) d) Pro Q ( ) = cos5řešíme rovnici + 5 = cos5 Na pravé straně rovnice je funkce cos 5 a= 0 b= 5 r 0 + 5i ˆ = Acos5+ Bsin 5