Jemný úvod do numerických metod

Jemný úvod do numerických metod Mtemtické lgoritmy (K611MAG) Jn Přikryl 10. přednášk 11MAG pondělí. prosince 013 verze:013-11-5 18:7 Obsh 1 Numerická integrce 1.1 Formulce úlohy.................................... 1. Numerické metody výpočtu integrálu: podmíněnost stbilit........... 3 1.3 Algebrická přesnost kvdrturních vzorců...................... 4 1.4 Konvergence kvdrturních vzorců.......................... 6 Newtonovy-Cotesovy vzorce 7.1 Příkldy Newtonových-Cotesových vzorců...................... 7. Vlstnosti Newtonových-Cotesových vzorců..................... 8 3 Gussovy kvdrturní vzorce 11 3.1 Odvození Gussových kvdrturních vzorců..................... 11 3. Gussovy kvdrturní vzorce pro obecný intervl.................. 13 3.3 Některé vlstnosti Gussových kvdrturních vzorců................ 14 3.4 Progresívní Gussov kvdrtur........................... 14 4 Složené kvdrturní vzorce 15 5 Dodtky 16 5.1 Adptivní kvdrtur................................. 16 5. Dvojné integrály.................................... 17 5.3 Vícerozměrné integrály................................. 18 Pro detilnější obeznámení s pojmy, uváděnými níže, doporučuji i zde konzultovt knihu Michel T. Hethe [4], přípdně nějkou z českých učebnic či mnoh skript o numerické mtemtice, 1

která v posledních letech vyšl npříkld [1], [], [3] (části tohoto skript jsou dostupné i on-line). Mnohé ze zde použitých obrázků jsme převzli právě z [4]. 1 Numerické metody výpočtu jednorozměrných integrálů V této přednášce se budeme zbývt numerickými metodmi pro (přibližný) výpočet jednorozměrných integrálů s konečnými mezemi, tedy integrálů I(f) tvru I(f) = f(x) dx, (1) kde f : R R je reálná funkce jedné reálné proměnné, definovná integrovtelná n intervlu [, b], b jsou dná reálná čísl. Počítt některé tkové integrály explicitně v ruce jsme se nučili možná již n střední škole pokud ne, pk v zákldních kursech mtemtiky n škole vysoké. Pro porozumění podsttě metod pro numerický výpočet integrálu je výhodné podívt se znovu n to, jk se definuje Riemnnův jednorozměrný integrál funkce. Stejně jko v této definici, kde se hodnot integrálu definuje jko limit jistých vážených průměrů funkčních hodnot, se totiž většin numerických metod pro výpočet integrálů (říká se tké numerická kvdrtur) konstruuje jko vhodně sestvený vážený průměr určitého počtu nvzorkovných funkčních hodnot. Hlvním problémem je zde tedy volb bodů, v nichž se počítjí (vzorkují) funkční hodnoty (říká se jim uzly kvdrtury nebo kvdrturního vzorce) stnovení vhodných koeficientů pro jejich lineární kombinci ve tvru váženého průměru (váhy kvdrturního vzorce). Formálně má tedy obecný kvdrturní vzorec Q n (f) s n uzly tvr Q n (f) = n w i f(x i ), () i=1 kde w i jsou váhy nebo tké koeficienty uvžovného vzorce kde budeme předpokládt, že pro uzly x i plti x 1 < x < < x n b. Říkáme, že kvdrturní vzorec je otevřený, pokud < x 1 x n < b, že je uzvřený, jestliže = x 1 x n = b. Kvdrturní vzorec () nzýváme tké n-bodový kvdrturní vzorec. 1.1 Formulce úlohy Numerický výpočet integrálu tedy spočívá v tom, že řešení mtemtické úlohy (1), která má infinitesimální chrkter (obecnou funkci nelze chrkterizovt konečným počtem prmetrů, limit v definici) přibližně nhrdíme (proximujeme) řešením numerické úlohy, totiž výpočtem hodnoty vhodného kvdrtického vzorce (), který má konečný počet uzlů vh. Hlvním cílem numerických metod pro výpočet integrálu je pk volit uzly váhy tkovým způsobem, bychom dosáhli poždovné úrovně přesnosti přitom vynložili pouze rozumné výpočetní úsilí, které je chrkterizovné především počtem výpočtů hodnot integrndu. Poprvdě řečeno se velká část integrálů, které se vyskytují v prxi, v té či oné formě proximuje numericky. Integrály, které jsme počítli v zákldním kurzu mtemtické nlýzy, byly spíše ukázkové příkldy n procvičení. Tk npříkld už jednoduše vypdjící integrál neumíme vypočítt nlyticky. I(f) = 1 0 e x dx

Užitečnost numerického výpočtu integrálů vidíme n první pohled v oblsti geometrie mechniky, což jsou oblsti v nichž vlstně pojem integrálu vznikl, le k plikcím ptří tké mnohé dlší oblsti vědy techniky, jko integrální trnsformce, jko je třeb Lplceov trnsformce, výpočet hodnot speciálních funkcí v plikovné mtemtice mtemtické fyzice (gmm funkce, Besselovy funkce, funkce chyb td.), z nichž mnohé lze vyjádřit pomocí integrálů, metod konečných hrničních prvků pro řešení diferenciálních rovnic, integrální rovnice vriční metody, prvděpodobnost sttistik, kde jsou mnohé zákldní pojmy definovány pomocí integrálů, klsická kvntová fyzik jistě i jiné. 1. Numerické metody výpočtu integrálu: podmíněnost stbilit Přirozený princip numerických metod pro výpočet integrálu vychází z nšich znlostí o proximci funkcí (k témtu se vrátíme v pozdější části těchto textů). Postupujeme tk, že dnou funkci f nhrdíme nějkpu její proximcí ϕ, jejíž integrál umíme vypočítt nlyticky jko přibližnou hodnotu integrálu I(f) použijeme integrál I(ϕ). Jko proximující funkce se typicky používjí polynomy, to jednk proto, že je sndné je explicitně integrovt, jednk tké díky tzv. Weierstrssově větě, která velmi zhrub říká, že kždá funkce spojitá n uzvřeném intervlu se dá libovolně přesně nhrdit vhodným polynomem dosttečně vysokého stupně. A funkce, pro něž jsou běžné numerické kvdrtury určeny, jsou především funkce spojité nebo po částech spojité. Není těžké ukázt, že je-li proximující funkce ϕ dobrým přiblížením funkce f n celém intervlu [, b], je integrál z ϕ dobrou proximcí integrálu z f, nebot f(x) dx ϕ(x) dx f(x) ϕ(x) dx (b ) sup f(x) ϕ(x). x [,b] Odsud tké plyne, že bsolutní číslo podmíněnosti výpočtu integrálu vzhledem k poruchám ve funkčních hodnotách je (b ) integrce je tedy vnitřně v tomto smyslu dobře podmíněná. Dá se ukázt, že pro reltivní číslo podmíněnosti odsud le dostáváme odhd cond(i(f)) (b ) sup x [,b] f(x), I(f) který může nbývt velkých hodnot, jestliže počítáme integrál o mlé bsolutní hodnotě z funkce, která má velké funkční hodnoty. Je ovšem otázkou, zd v tkovém přípdě (jmenovtel blízký nule), bychom i zde neměli používt spíše bsolutní číslo podmíněnosti. Pokud jde o podmíněnost vzhledem k poruchám v integrčních mezích, zde pouze řekneme (viz k tomu [4]), že bsolutní podmíněnost je v zásdě dobrá, s výjimkou přípdů, kde funkce f má vně intervlu [, b] singulrity poblíž koncových bodů (což nepřekvpuje). 3

Kromě přesnosti kvdrturního vzorce, kterou se budeme zbývt později (ž popíšeme konkrétní vzorce), je třeb se zbývt tké stbilitou výpočtu, tedy vlivem zokrouhlovcích chyb jiných poruch n výsledek výpočtu podle kvdrturních vzorců. Tto nlýz stbility se dá v dném přípdě provést obecně. Jesliže ˆf je funkce f porušená nějkými chybmi, pk pltí Q n ( ˆf) Q n (f) = Q n ( ˆf f) n = w i ( ˆf(x i ) f(x i )) i=1 n ( w i ˆf(x ) i ) f(x i ) i=1 ( n ) w i sup ˆf(x) f(x). x [,b] i=1 Odsud je vidět, že bsolutní číslo podmíněnosti kvdrturního vzorce je nnejvýš n i=1 w i. Je přirozené od kvdrturních vzorců poždovt, by dávly přesnou hodnotu integrálu lespoň pro konstntní funkce. Díky lineritě integrálu i kvdrturních vzorců stčí, by tuto vlstnost měly pro funkci identicky rovnou jedné n [, b]. Integrál z tkové funkce je b, tkže pro použitelné kvdrturní vzorce musí pltit n w i = b. i=1 Řekneme, že numerický lgoritmus je stbilní, jestliže jeho podmíněnost je stejná jko je podmíněnost řešené úlohy nebo je s ní srovntelná. Stbilní lgoritmy tedy nezhoršují citlivost řešení n poruchy ve vstupních dtech během výpočtu. Pokud jde o námi uvžovné kvdrturní vzorce, pk pokud jsou všechny váhy nezáporné, je tedy jeho bsolutní číslo podmíněnosti nnejvýš b, což je srovntelné s podmíněností řešené úlohy n výpočet integrálu. Kvdrturní vzorce s nezápornými vhmi jsou tedy numericky stbilní. N druhé strně, budou-li některé váhy záporné (tkové vzorce se tké vyskytují), může být bsolutní číslo podmíněnosti vzorce mnohem větší tkový kvdrturní vzorec je pk nestbilní. 1.3 Algebrická přesnost kvdrturních vzorců K dosžení poždovné přesnosti z rozumnou cenu se musíme při konstrukci kvdrturních vzorců zbývt dvěm otázkmi: Jk by měly být zvoleny vzorkovcí body (uzly vzorce)? Jké váhy bychom měli přisoudit jednotlivým vzorkům (funkčním hodnotám v uzlech)? Vzhledem k tomu, co jsme řekli o proximci spojitých funkcí polynomy, je přirozené, že se při konstrukci kvdrturních vzorců používjí dv zákldní postupy: snžíme se při předem dných uzlech stnovit váhy tk, by vzorec přesně integrovl polynomy co nejvyššího stupně; protože vzorec Q n má při pevně dných uzlech n volných prmetrů (vh), sestrojíme jej pokud možno tk, by přesně integrovl polynomy do stupně n 1 (ty mjí totiž právě n koeficientů); pokud připustíme i libovolnou volbu uzlů, má Q n celkem n prmetrů snžíme se, by sestrojený vzorec přesně integrovl polynomy do stupně n 1, 4

nebo sestvíme předem proximci obecné integrovné funkce polynomem dosttečně vysokého (v prxi le čsto i nízkého) stupně tu pk zintegrujeme; použitá proximce bude přirozeně využívt funkční hodnoty f(x i ) v jistých uzlech x i dá se ukázt, že její integrál pk bude mít obecně opět tvr (). V souvislosti s tím, co jsme právě řekli, se zdá být užitečné zvést pojem lgebrické přesnosti kvdrturního vzorce, který bude udávt mximální stupeň přesně integrovných polynomů pro dný vzorec. Řekneme, že kvdrturní vzorec Q n má lgebrickou přesnost d (nebo tké je řádu d), jestliže integruje přesně (tedy s nulovou chybou) všechny polynomy stupně d, le není už přesný pro nějký polynom stupně d + 1. Ukážeme nyní, že při dném n lze vždy sestrojit kvdrturní vzorec lgebrické přesnosti lespoň n 1. Zvolme libovolně n uzlů kvdrtury pokusme se stnovit váhy w i, i = 1,,..., n, tk by náš kvdrturní vzorec integrovl přesně všechny polynomy ž do stupně n 1. Protože kždý polynom stupně n 1 je lineární kombincí bázových funkcí 1, x, x,..., x n 1 jk výpočet integrálu, tk výpočet kvdrtury je lineární záležitost, stčí, by náš vzorec integrovl přesně tyto bázové funkce (říká se jim tké monomy). Tento poždvek nám ihned dává soustvu n lineárních lgebrických rovnic pro váhy w i (pmtujme, že uzly jsme pevně zvolili předem; jediný poždvek je, by byly vzájemně různé), kterým se tké říkává momentové rovnice: w 1 1 + w 1 + + w n 1 = w 1 x 1 + w x + + w n x n = w 1 x n 1 1 + w x n 1 + + w n x n 1 n =. 1 dx = b, x dx = (b )/, (3) x n 1 dx = (b n n )/n. Čtvercová mtice této soustvy (npište si ji) se nzývá Vndermondov mtice je o ní známo, že pokud jsou čísl x i nvzájem různá, je regulární. Soustv (3) má tedy právě jedno řešení jejím vyřešením můžeme získt hledné váhy dokončit tk konstrukci kvdrturního vzorce Qn(f) s lgebrickou přesností nejméně n 1 (díky dlším vlstnostem získného vzorce může být jeho řád i o něco vyšší). Příkld 1 (Výpočet vh kvdrturního vzorce). Právě popsný postup zložený n řešení soustvy (3) popíšeme n odvození tříbodového kvdrturního vzorce Q 3 (f) = w 1 f(x 1 ) + w f(x ) + w 3 f(x 3 ) pro integrci přes intervl [, b] Z tři uzly vzorce vezmeme dv krjní body s střed intervlu, tj. položíme x 1 =, x = ( + b)/, x 3 = b. Soustvu 3 lineárních rovnic pro w 1, w, w 3 zde nevypisujeme, čtenář si ji sndno může sestvit sám podle (3). Soustvu vyřešíme, npříkld bez problémů Gussovou elimincí, dostneme váhy w 1 = 1 6 (b ), w = 3 (b ), w 3 = 1 (b ). 6 Výsledný kvdrturní vzorec je znám jko Simpsonovo prvidlo dá se ukázt, že (díky své symetrii) je přesný dokonce pro polynomy třetího stupně. Pokud uzly nezdáme předem pevně necháme je tké jko volné prmetry, nebude soustv (3) už soustvou lineárních rovnic, le budeme místo ní mít soustvu nelineárních rovnic s 5

neznámými w i i x i. Protože je zde více volných prmetrů, bude tké více těchto rovnic, pokud se nám je le podří nlyticky nebo numericky vyřešit, můžeme při dném n dosáhnou v podsttě dvojnásobné lgebrické přesnosti. N tkovém přístupu jsou zloženy Gussovy kvdrturní vzorce, k nimž se ještě krátce vrátíme později. Při pevně zvolených uzlech je le místo výše popsného příkldem ilustrovného postupu běžnější používt postup druhý, totiž změřit se n náhrdu integrovné funkce vhodným proximujícím polynom ten integrovt. N tomto principu jsou zloženy Newtonovy-Cotesovy vzorce, které v dlší kpitole popíšeme podrobněji. Ptří k nim tké Simpsonovo prvidlo z nšeho předchozího příkldu. 1.4 Konvergence kvdrturních vzorců Vzpomeneme-li si n definici Riemnnov integrálu, kde hodnot integrálu je u integrovtelné funkce limitou Riemnnových vážených průměrů při počtu vzorkovcích bodů rostoucím do nekonečn, můžeme čekt, že podobně se budou chovt i lespoň některé posloupnosti kvdrturních vzorců při n. Při dné funkci f budeme posloupnost kvdrturních vzorců {Q n (f), n = 1,,... } tké nzývt kvdrturou. Řekneme pk, že dná posloupnost vzorců tvoří n intervlu [, b] konvergentní kvdrturu, jestliže pro kždou funkci f, která je n [, b] spojitá, pltí lim Q n(f) = n f(x) dx. Pro pořádek pro ty, kdo o proximci funkcí již vědí více, uvádíme, že pojem konvergentní kvdrtury vyžduje pltnost uvedeného limitního vzthu pro kždou funkci, která je spojitá, dlší poždvky se zde n ni nekldou. Pokud budeme vědět, že funkce f má npříkld ohrničené všechny derivce n [, b], mohou pro ni konvergovt i tkové posloupnosti kvdrturních vzorců, jež v nšem smyslu konvergentní kvdrturu netvoří. Posloupnost Riemnnových součtů je tedy z nšeho hledisk konvergentní kvdrtur. V předchozích odstvcích jsme nznčili, že je v zásdě možné konstruovt posloupnosti kvdrturních vzorců {Q n (f), n = 1,.... } tkové, že s roustoucím n jejich lgebrická přesnost poroste. Bylo by proto přirozené čekt, že vezmeme-li tkovou posloupnost, bude tvořit konvergentní kvdrturu. To le není obecně prvd, ukzuje se, že podsttnou roli přitom hrje to, jkým způsobem n [, b] rozmist ujeme vzorkovcí body (uzly kvdrtury). O příkldech konvergentních nekonvergentních kvdrtur se zmíníme ještě později. V prxi se při výpočtu snžíme minimlizovt výpočetní práci, tkže zde posloupnosti kvdrturních vzorců volíme především tk, by vzorce byly do sebe vnořené. Přesněji, říkáme, že dná kvdrtur je vnořená nebo progresívní, jestliže při m > n tvoří uzly Q n podmnožinu uzlů Q m. To tedy znmená, že již spočítných n funkčních hodnot můžeme v Q m (f) znovu použít potřebujeme tedy vypočítt pouze m n nových funkčních hodnot, čímž šetříme. Dá se ukázt, že kromě zvyšování řádu kvdrtury zvyšováním počtu uzlů je smysluplné tké postupovt způsobem obdobným, jko použil Riemnn ve své definici integrálu, kde mezi kždými dvěm dělicími body proximovl funkci se stále stejnou řádovou přesností (konstntou), nezvyšovl tedy lgebrickou přesnost, le pouze počet vzorkovcích bodů. Přesnost lze tedy zvyšovt nejen zvyšováním lgebrického řádu, le tké tk, že vyjdeme z jednoho zákldního kvdrturního vzorce, intervl integrce postupně dělíme n mlé části (pnely) dný zákldní kvdrturní vzorec plikujeme postupně n kždém pnelu. Se zjemňováním sítě pnelů tk můžeme docílit poždovné přesnosti, niž bychom zvyšovli řád kvdrtury. Tímto způsobem (rozmyslete si) dostáváme opět posloupnost kvdrturních vzorců, která je zložen n jednom 6

vzorci zákldním. Tkto zkonstruovným kvdrturním vzorcům se pk říká vzorce složené. Změříme se nyní nejprve n popis vybrných zákldních kvdrturních vzorců. Newtonovy-Cotesovy vzorce Nejjednodušší způsob, jk rozložit vzorkovcí body n intervlu [, b] je bezesporu rozložit je rovnoměrně, ekvidistntně (ve stejné vzdálenosti). Při tkovémto rozložení uzlů pk vznikjí kvdrturní vzorce, kterým se říká Newtonovy-Cotesovy vzorce. Budeme-li chtít sestrojit n- bodový otevřený Newtonův-Cotesův vzorec, použijeme jko uzly body x i = + i(b )/(n + 1), i = 1,..., n, kdežto uzvřený n-bodový Newtonův-Cotesův vzorec bude mít uzly x i = + (i 1)(b )/(n 1), i = 1...., n..1 Příkldy Newtonových-Cotesových vzorců Uvádíme tři příkldy nejjednodušších nejznámějších čsto používných Newtonových-Cotesových vzorců. Příkld (Obdélníkové prvidlo). Pokud integrovnou funkci nhrdíme n [, b] konstntou (tedy polynomem nultého stupně) rovnou funkční hodnotě ve středu intervlu tuto konstntu zintegrujeme přes [, b], dostneme jednobodový otevřený Newtonův-Cotesův vzorec ( ) + b M(f) = (b )f, kterému se říká obdélníkové prvidlo (ngl. midpoint rule). Příkld 3 (Lichoběžníkové prvidlo). Pokud integrovnou funkci nhrdíme n [, b] lineární funkcí spojující její hodnoty v krjních bodech (přímkou, tedy polynomem prvního stupně) tuto lineární funkci zintegrujeme, dostneme dvoubodový uzvřený Newtonův-Cotesův vzorec T (f) = b (f() + f(b)), kterému se říká lichoběžníkové prvidlo (ngl. trpezoid rule). Příkld 4 (Simpsonovo prvidlo). Pokud integrovnou funkci nhrdíme n [, b] kvdrtickou funkcí (tedy prbolou, polynomem druhého stupně), která má stejné hodnoty jko f v krjních bodech intervlu [, b] v jeho středu, tento polynom druhého stupně zintegrujeme, dostneme tříbodový uzvřený Newtonův-Cotesův vzorec S(f) = b 6 ( f() + 4f ( + b ) ) + f(b), kterému se říká Simpsonovo prvidlo. Setkli jsme se s ním již v příkl. 1. Použití tří uvedených Newtonových-Cotesových kvdrturních vzorců ilustrujeme n příkldu. 7

Obrázek 1: Integrce funkce f(x) = e x Newtonovými-Cotesovými kvdrturními prvidly. Příkld 5 (Newtonov-Cotesov kvdrtur). Budeme proximovt integrál I(f) = 1 0 e x dx pomocí kždého z tří jednoduchých Newtonových-Cotesových vzorců, jež jsme právě popsli. Dostneme M(f) = (1 0) exp( 0.5) 0.778801, T (f) = 1 (exp(0) + exp( 1)) 0.683940, S(f) = 1 (exp(0) + 4 exp( 0.5) + exp( 1)) 0.747180. 6 N obr. 1 je zobrzen průběh integrndu tří použitých proximujících polynomů. Přesná hodnot integrálu zokrouhlená n 6 pltných cifer je 0.74684. Může se zdát poněkud překvpivým, že velikost chyby lichoběžníkového prvidl (0.06884) je si dvkrát tk velká, jko je tomu u obdélníkového prvidl (0.031997); k tomu se ještě vzápětí vrátíme. Simpsonovo prvidlo s chybou 0.000356 se zdá být pozoruhodně přesné, uvážíme-li, že je použito n poměrně velkém intervlu délky 1.. Vlstnosti Newtonových-Cotesových vzorců Pro chybu Newtonových-Cotesových vzorců se u hldkých funkcí s dosttečným počtem spojitých derivcí n [, b] djí odvodit obecné odhdy. Odvození se provádí tk, že se integrovná funkce rozvine do Tylorovy řdy; nebudeme jej zde všk provádět uvedeme pouze některé výsledky. Pro obdélníkové prvidlo dostneme (znčíme zde m = ( + b)/) I(f) = f(m)(b ) + f (m) 4 (b )3 + f (4) (m) 190 (b )5 + = M(f) + E(f) + F (f) +, kde E(f) F (f) reprezentují první dv členy rozvoje chyby pro obdélníkové prvidlo. Pro lichoběžníkové prvidlo nám podobným způsobem vyjde I(f) = T (f) E(f) 4F (f) 8

pro Simpsonovo prvidlo dostneme I(f) = S(f) 3 F (f) +. Odečtením rozvojů pro lichoběžníkové prvidlo obdélníkové prvidlo odsud dostneme prktický symptotický vzorec pro odhd hlvního členu chyb u těchto dvou kvdrturních vzorců. Vyjde nám totiž (po úprvě znedbání členů vyšších řádů) E(f) T (f) M(f). (4) 3 Tento vzorec ovšem pltí z předpokldu, že délk intervlu integrce je mlá (tk, by pltilo (b ) 5 (b ) 3 ) že funkce f je tková, že její čtvrtá derivce f (4) se chová rozumně. Z těchto předpokldů pk můžeme z dosvdních úvh pro tyto dv kvdrturní vzorce dospět k následujícím závěrům: Obdélníkové prvidlo je zhrub dvkrát tk přesné jko prvidlo lichoběžníkové (viděli jsme to již v příkl.5), přesto, že je zloženo n proximci funkce f polynomem menšího stupně. Rozdíl hodnot získných obdélníkovým lichoběžníkovým prvidlem se dá využít o odhdu chyby kždého z těchto kvdrturních vzorců. Snížíme-li délku integrčního intervlu n polovinu, zmenší se chyb proximce u kždého z těchto vzorců fktorem cc 1/8. Příkld 6 (Odhd chyby). Vrt me se k příkl. 5, kde jsme obdélníkovým lichoběžníkovým prvidel počítli přibližné hodnoty integrálu. Dosdíme-li získné hodnoty do přibližného vzorce (4), dostneme jko odhd hlvního členu chyby E(f) 0.03160, což n tři desetinná míst dobře souhlsí se skutečnými velikostmi chyb uvedenými v příkl. 5. V předchozím jsme ukázli, že n-bodový kvdrturní vzorec lze sestrojit tk, by jeho lgebrická přesnost byl nejméně n 1. Mohli bychom tedy očekávt, že lgebrická přesnost obdélníkového prvidl bude nul, lichoběžníkového prvidl jedn, Simpsonov prvidl dvě td. To koneckonců souhlsí s tím, že tyto vzorce jsme odvodili pomocí náhrdy integrovné funkce polynomy stupně nul, jedn dvě. Podíváme-li se le n výše uvedené rozvoje chyb, vidíme, že chyb obdélníkového prvidl závisí n derivcích řádu dvě vyšších, které jsou le rovny nule nejen pro konstntu, le i pro polynomy prvního stupně. Obdélníkové prvidlo tedy integruje přesně nejen konstnty, le i lineární funkce jeho řád je tedy o jedničku větší než nul. Podobně u Simpsonov prvidl závisí chyb n derivcích integrndu řádu čtyři vyšších, které se nulují nejen pro kvdrtické, le i pro kubické polynomy, tkže Simpsonovo prvidlo je řádu tři, nikoli pouze dv (to tké vysvětluje překvpivě dobrý výsledek získný v příkl. 5). Obecně se dá ukázt, že pro kždé liché n má n-bodový Newtonův-Cotesův vzorec lgebrickou přesnost n nikoli n 1. Tento jev, který plyne z rozvojů pro chybu, je tké možné vykládt jko kncelci (vzájemné rušení) kldných záporných složek chyby proximce, což ilustrujeme n obr. pro přípd obdélníkového Simpsonov prvidl. N obrázku vidíme vlevo lineární polynom konstntní funkci dnou jeho hodnotou ve středu intervlu, vprvo je kubický polynom kvdrtická funkce, která se s ním shoduje v krjních bodech ve středu. Integrce lineárního polynomu obdélníkovým prvidlem vede ke dvěm trojúhelníkovým oblstem, které jsou stejně velké. Vliv jednoho z těchto trojúhelníků se přesně vyruší s vlivem trojúhelníku 9

Obrázek : Kncelce chyb u obdélníkového (vlevo) Simpsonov (vprvo) prvidl. druhého. Podobně je tomu u kubického polynomu, kde obě stínovné oblsti mjí rovněž stejný obsh, tkže se jejich vliv vzájemně vyruší. K tkové kncelci le nedochází u Newtonových- Cotesových vzorců se sudým počtem uzlů. Souhrnně tedy můžeme říci, že lgebrická přesnost n-bodového Newtonov-Cotesov kvdrturního vzorce je n 1 při n sudém, le je rovn n při n lichém. Newtonovy-Cotesovy vzorce se poměrně sndno odvozují používjí, le mjí tké jisté závžné nevýhody. Příčinou těchto nevýhod je především skutečnost, že proximce spojitých funkcí polynomy vysokých stupňů, které nbývjí stejných hodnot jko proximovná funkce n rovnoměrné síti uzlů, mohou vykzovt nežádoucí oscilce. To pk vede k tomu, že Newtonov- Cotesov kvdrtur při n nepředstvuje obecně (pro kždou spojitou funkci) konvergentní kvdrturu. Pro konečná n je dále známo, že kždý n-bodový Newtonův-Cotesův kvdrturní vzorec má při n 11 lespoň jednu zápornou váhu. Není u nich tedy zručen stbilit. Skutečnost je ještě horší, nebot se dá ukázt, že při n pltí n i=1 w i, což znmená, že při růstu počtu uzlů odpovídjícím růstu řádu Newtonových-Cotesových kvdrturních vzorců se libovolně zhoršuje jejich podmíněnost tedy stbilit výpočtu. Přítomnost velkých kldných záporných vh tké znmená, že se hodnot integrálu počítá jko součet velkých hodnot mjících opčná znménk, tkže zde v konečné počítčové ritmetice může docházet k výrzné kncelci. Z důvodů, které jsme právě uvedli, je vidět, že nemůžeme čekt, že bychom n dném intervlu dosáhli libovolně velké přesnosti tk, že bychom postupně zvětšovli počet uzlů (vzorků) používli Newtonovy-Cotesovy vzorce stále vyšších řádů. V prxi se proto p5i používání Newtonových-Cotesových vzorců obvykle omezujeme n zákldní vzorce s nevelkým počtem uzlů pokud poždujeme vyšší přesnost, dělíme intervl integrce n dílčí subintervly (pnely) zvolený kvdrturní vzorec pk plikujeme n kždém z těchto pnelů smosttně (k tkovým postupům se ještě později vrátíme), tkže tk vytváříme složený kvdrturní vzorec. Z tohoto hledisk je pozitivním rysem Newtonových-Cotesových kvdrturních vzorců, že jsou progresívní, tkže při zvyšování počtu uzlů můžeme k jemnějšímu vzorkování využít funkční hodnoty jiže vypočítné dříve. N druhé strně le nemjí Newtonovy-Cotesovy vzorce při dném n ( tedy dném počtu vzorků) největší možnou lgebrickou přesnost ( tedy ni přesnost obecně), což je dáno tím, že jsme z n prmetrů vzorce n prmetrů (uzly) pevně zvolili předem. Popíšeme si nyní kvdrturní vzorce, které jsou z tohoto ohledu mnohem lepší. 10

3 Gussovy kvdrturní vzorce V kvdrturních vzorcích, které jsme dosud viděli, bylo všech n uzlů zdáno předem n odpovídjících vh se pk hledlo tk, bychom dosáhli co největší lgebrické přesnosti. Poněvdž jsme tedy měli pouze n volných prmetrů, byl výsledný řád vzorce obecně n 1. Pokud le uvolníme tké rozmístění uzlů, budeme mít n volných prmetrů, tkže by mělo být možné dosáhnout lgebrické přesnosti n 1. 3.1 Odvození Gussových kvdrturních vzorců U Gussovy kvdrtury se volí jk váhy, tk uzly tím způsobem, že ve výsledném kvdrturním vzorci je dosženo mximálního možné lgebrické přesnosti. Při dném počtu uzlů tedy Gussovy vzorce poskytují mximální možnou přesnost, le n druhé strně je podsttně obtížnější je odvodit než tomu bylo při pevně zvolených uzlech u Newtonových-Cotesových vzorců. Důvodem je skutečnost, že soustv rovnic pro uzly váhy má sice stejný tvr jko (3) (rovnic je ovšem dvkrát tolik, máme dvojnásobek neznámých), le díky tomu, že neznámými jsou tké uzly, je tto soustv momentových rovnic tentokrát nelineární. Řešit tuto soustvu pro obecný intervl [, b] je nepohodlné, proto se zákldní Gussovy vzorce odvozují pro některý konkrétní intervl, typicky třeb pro [ 1, 1]. N obecný intervl [, b] se pk sndno trnsformují jednoduchou lineární trnsformcí, ke které se vrátíme později. Při konstrukci Gussových kvdrturních vzorců nejde jenom o to soustvu momentových rovnic vyřešit. Je zde předem nutno zodpovědět některé teoretické otázky týkjící se této soustvy, totiž: Má dná soustv momentových rovnic řešení? Je toto řešení jediné? Pokud ne, jsou jednotlivá řešení pouze permutcemi řešení osttních? Jsou tto řešení reálná pdnou uzly do intervlu [ 1, 1]? Jká znménk mjí získné váhy? Odpovědi n tyto otázky jsou vesměs příznivé ukzuje se, že pro kždé n existuje právě jeden Gussův kvdrturní vzorec všechny jeho váhy jsou kldná čísl. Příkld 7 (Gussův kvdrturní vzorec). Odvodíme dvoubodový Gussův kvdturní vzorec n intervlu [ 1, 1] I(f) = 1 1 f(x) dx w 1 f(x 1 ) + w f(x ), kde se uzly x 1, x stejně tk váhy w 1, w budou volit tk, by se mximlizovl řád vzorce. Máme čtyři volné prmetry, tkže budeme poždovt, by vzorec integrovl přesně první čtyři monomy tím pádem všechny polynomy do třetího stupně. Stejně jko dříve sestvíme čtyři momentové rovnice w 1 + w = 1 1 1 dx =, w 1 x 1 + w x = 1 1 x dx = 0, w 1 x 1 + w x = 1 1 x dx = 3, w 1 x 3 1 + w x 3 = 1 1 x3 dx = 0. 11

Jedním řešením této nelineární soustvy rovnic jsou hodnoty x 1 = 1/ 3, x = 1/ 3, w 1 = 1, w =. Existuje ještě jedno řešení, které získáme prohozením znmének u x 1 x, tkže toto řešení dává identický Gussův vzorec. Dvoubodový Gussův kvdrturní vzorec má tedy tvr jeho lgebrická přesnost je tři. G (f) = f( 1/ 3) + f(1/ 3) Alterntivní způsob, jk předem získt uzly Gussových kvdrturních vzorců spočívá ve využití ortogonálních polynomů. Řekneme, že dv polynomy p(x) q(x) jsou n intervlu [, b] ortogonální, jestliže pltí p(x)q(x) dx = 0. Necht p je polynom stupně n tkový, že je n [, b] ortogonální ke všem monomům menšího stupně, neboli necht pltí p(x)x k dx = 0, k = 0,..., n 1, tkže p je n [, b] ortogonální vzhledem ke všem polynomům stupně menšího než n. Pk se dá ukázt, že pltí: 1. Všechny kořeny polynomu p jsou jednoduché (je jich tedy n různých), reálné leží v otevřeném intervlu (, b).. Při uzlech zvolených jko kořeny polynomu p lze sestrojit již popsným způsobem kvdrturní vzorec, jehož váhy jsou řešením lineární soustvy momentových rovnic (3). Tyto váhy jsou kldné řád tkto získného kvdrturního vzorce je n 1; je to tedy nutně jednoznčně určený n-bodový Gussův kvdrturní vzorec. Teorie konstrukce ortogonálních polynomů jsou v mtemtice dobře zprcovány, le tém se vymyká možnostem tohoto textu. Pro zájemce pouze uvádíme, že vhodnými ortogonálními polynomy jsou zde tzv. Legendrovy polynomy P n že se díky tomu vzniklé kvdrturní vzorce nzývjí tké Gussovy-Legendrovy kvdrturní vzorce. Jkkoli jsou tedy Legendrovy polynomy známou věcí, zbývá zde ještě provést výpočet jejich kořenů; teprve pk můžeme stnovit váhy kvdrtury ze soustvy momentových rovnic. Touto témtikou, která je tké dobře zprcován teoreticky i lgoritmicky, se zde všk opět nemůžeme podrobněji zbývt. Zájemce odkzujeme n dostupnou literturu, npříkld n [1], [], [3] nebo [4]. Příkld 7 je typický v tom smyslu, že pro všechn n jsou gussovské uzly rozloženy symetricky kolem středu intervlu; pro lichá n je střed intervlu vždy sám tké uzlem. Příkld 7 je typický tké v tom, že uzly jsou většinou ircionální čísl, i když koncové body b jsou rcionální. Dá se říci, že tento rys může činit Gussovu kvdrturu poněkud nepohodlnou pro ruční výpočty, pokud ji totiž srovnáme s jednoduchými Newtonovými-Cotesovými vzorci. Ovšem n počítči jsou obvykle uzly váhy Gussových kvdrturních vzorců tbelovány předem obsženy v podprogrmech, které se podle potřeby vyvolávjí, tkže uživtel ni nemusí znát jejich hodnoty ntož je počítt. 1

3. Gussovy kvdrturní vzorce pro obecný intervl Použití Gussových kvdrturních vzorců je poněkud komplikovnější než je tomu u vzorců Newtonových-Cotesových tké proto, že jejich váhy uzly se odvozují udávjí pro konkrétní intervl, jko je npříkld [ 1, 1]. Tím pádem je třeb obecný intervl integrce [, b] trnsformovt n tento stndrdní intervl, pro nějž jsou tbelovány hodnoty uzlů vh. Pokud tedy chceme použít (pltí to obecně, nejen pro Gussovu kvdrturu) kvdrturní vzorec, jehož prmetry jsou udány pro intervl [α, β], β α f(x) dx n w i f(x i ), i=1 k proximci integrálu přes intervl [, b], I(g) = g(t) dt, musíme provést substituci, jež bude trnsformovt x v intervlu [α, β] n t v intervlu [, b]. Tkových substitucí existuje celá řd, le my budeme používt jednoduchou lineární trnsformci (b )x + β bα t =, β α která zobrzuje ob intervly n sebe vzájemně jednoznčně má tu přednost, že zchovává řád kvdrturního vzorce. Počítný integrál je pk I(g) = b β ( ) (b )x + β bα g dx β α α β α b n ( ) (b )xi + β bα w i g. β α β α i=1 Příkld 8 (Změn intervlu). Jko ilustrci právě popsného postupu použijeme dvoubodový Gussův kvdrturní vzorec G z příkl. 7 odvozený pro intervl [ 1, 1] k přibližnému výpočtu integrálu I(f) = 1 0 e t dt z příkldu 5. Právě popsná lineární trnsformce má v tomto přípdě tvr t = x + 1, tkže náš integrál se proximuje jeko G (g) = ( 1 ( 1/ ) ( 3) + 1 exp (1/ ) 3 1) + exp 0.746595, což je o něco přesnější výsledek než ten, který jsme v příkl. 5 pro tento integrál obdrželi Simpsonovým prvidlem, přestože jsme zde použili pouze dvě funkční hodnoty místo tří. 13

3.3 Některé vlstnosti Gussových kvdrturních vzorců Shrneme zde některé důležité vlstnosti Gussovy kvdrtury, o nichž jsme se dosud zmínili: Gussovy kvdrturní vzorce lze sestrojit pro kždé n, to právě jedním způsobem Gussovy kvdrturní vzorce mjí při dném počtu uzlů mximální možný řád, tedy optimální přesnost váhy Gussových vzorců jsou pro všechn n vždy kldné, tkže lgoritmy výpočtu podle Gussových vzorců jsou numericky stbilní nvíc se dá ukázt, že Gussovy kvdrturní vzorce tvoří konvergentní kvdrturu Gussovy kvdrturní vzorce mjí tké le jednu vážnou nevýhodu: pro m n nemjí vzorce G m G n žádné společné uzly (s výjimkou středu intervlu, pokud jsou m i n lichá čísl). Gussov kvdrtur tedy není progresívní, což znmená, že pokud zvýšíme počet uzlů řekněme z n n m, musíme počítt nvíc m funkčních hodnot nmísto m n hodnot. Tento nedosttek se všk dá obejít. 3.4 Progresívní Gussov kvdrtur Jk jsme se právě zmínili, Gussovy kvdrturní vzorce nejsou progresívní: pokud volíme všechny uzly váhy volně tk, by se při dném počtu uzlů mximlizovl lgebrická přesnost, nebudou mít vzorce s různým počtem uzlů v podsttě žádné uzly společné, což znmená, že funkční hodnoty integrndu vypočítné pro jeden soubor uzlů se nedjí v jiném vzorci s odlišným počtem uzlů znovu využít. Kronrodovy kvdrturní vzorce se tkové práci nvíc vyhýbjí. Jsou to dvojice vnořených kvdrturních vzorců: jeden člen dvojice je obvyklý n-bodový Gussův kvdrturní vzorec G n druhý z nich je (n + 1)-bodový Kronrodův kvdrturní vzorec K n+1, jehož uzly se opět volí optimálně tk, by se mximlizovl lgebrická přesnost, ovšem z podmínky, že se v Kn + 1 znovu použijí všechny uzly z G n. Mezi uzly K n+1 je tedy n uzlů pevně dáno předem, tkže jko volné prmetry máme zbývjících n + 1 uzlů rovněž všechny váhy pro všechny uzly dohromdy, kterých je n + 1. Celkem je zde tedy 3n + volných prmetrů ty se určí opět tk, by se mximlizovl řád vzorce. Algebrická přesnost vzorce K n+1 je tedy rovn 3n + 1, kdežto stndrdní Gussův kvdrturní vzorec s n+1 uzly by měl lgebrickou přesnost 4n+1. Jk vidíme, je zde jistý kompromis mezi přesností efektivitou. Jedním z hlvních důvodů, proč používáme dvojice vnořených kvdrturních vzorců je to, že pomocí rozdílu mezi přibližnými hodnotmi integrálu získnými oběm vzorci můžeme odhdnout chybu metody. Použijeme-li Gussův-Kronrodův pár vzorců, vezmeme jko proximci integrálu hodnotu K n+1 relistickým přitom konzervtivním odhdem chyby slouží veličin (00 G n K n+1 ) 1.5. Tento n první pohled podivný vzorec plyne zčásti z teorie kvdrtury, zčásti z prktických zkušeností (není tedy exktní). Gussovy-Kronrodovy kvdrturní vzorce ptří k nejefektivnějším numerickým metodám výpočtu integrálu, nebot efektivně poskytují jk vysokou přesnost, tk spolehlivý odhd chyby. Obecně se dnes používá především dvojice (G 7, K 1 5). Dříve než opustíme toto tém se ještě zmíníme o jednom mírnějším rozšíření Gussových kvdrturních vzorců, které se tké používá může být užitečné. Jk jsme se již zmínili, prvý 14

Gussův kvdrturní vzorec je vždy otevřený, jeho uzly tedy neobshují krjní body intervlu integrce. Ale z jistých důvodů je někdy rozumné koncové body intervlu jko uzly ve vzorci mít. U Gussových-Lobttových kvdrturních vzorců se ob koncové body předepisují jko předem pevně dné uzly, tkže nám zbývá n uzlů n vh jko volné prmetry, které se volí tk, by se mximlizovl lgebrická přesnost. Výsledný n-bodový Gussův-Lobttův kvdrturní vzorec je pk řádu n 3. 4 Složené kvdrturní vzorce Až dosud jsme se zbývli zákldními kvdrturními vzorci zloženými n proximci integrndu jedním polynomem n celém intervlu integrce. Přesnost tkového vzorce lze svýšit jeho chybu lze odhdnout tk, že zvýšíme počet uzlů kvdrtury tím i řád proximujícího polynomu. Jinou možností je rozdělit intervl integrce n dv nebo více subintervlů některý zákldní kvdrturní vzorec plikovt n kždém tkovém subintervlu odděleně. Sečtením tkto získných dílčích výsledků pk dostneme proximci integrálu přes celý intervl. Složený kvdrturní vzorec n dném intervlu [, b] dostneme tk, že tento intervl rozdělíme n k subintervlů (budeme jim říkt pnely), které mjí typicky stejnou délku h = (b )/k, n kždém z těchto pnelů plikujeme nějký n-bodový zákldní kvdrturní vzorec Q n jko přibližnou hodnotu celkového integrálu pk vezmeme součet tkto získných dílčích výsledků. Jestliže je použitý kvdrturní vzorec Q n otevřený, bude tkový výpočet vyždovt kn výpočtů funkčních hodnot. Je-li nproti tomu vzorec Q n uzvřený, pk se ve složeném vzorci některé body opkují, tkže je třeb vypočítt pouze k(n 1) + 1 funkčních hodnot. Uvedeme příkldy složených kvdrturních vzorců zložených n jednoduchých zákldních Newtonových- Cotesových vzorcích. Příkld 9 (Složené kvdrturní vzorce). Rozdělíme intervl [, b] n k pnelů délky h = (b )/k položíme x j = + jh, j = 0,... k. Složené obdélníkové prvidlo je pk M k (f) = k ( ) xj 1 + x j (x j x j 1 )f = h j=1 složené lichoběžníkové prvidlo je T k (f) = k j=1 k ( ) xj 1 + x j f j=1 (x j x j 1 ) (f(x j 1 ) + f(x j )) = h( 1 f() + f(x 1) + + f(x k 1 + 1 f(b)). Pokud je použitý zákldní kvdrturní vzorec stbilní, je stbilní i vzniklý složený kvdrturní vzorec. Pokud má použitý zákldní kvdrturní vzorec řád lespoň nul (tj. integruje přesně konstnty), dá se ukázt, že z něj postupně při k vznikjící složené kvdrturní vzorce tvoří konvergentní kvdrturu. V zásdě tedy pltí, že pokud zvolíme dosttečně velké k, můžeme dosáhnout libovolné přesnosti (t je ovšem v prxi omezen přesností počítčové ritmetiky) i tehdy, je-li smotný zákldní kvdrturní vzorec nízkého řádu. Nemusí to být ovšem ten nejefektivnějí způsob, jk poždovné přesnosti dosáhnout, v prxi je zprvidl nutno zvolit vhodný kompromis mezi řádem zákldního vzorce n počtem pnelů k. Složené vzorce tké jksi nvíc poskytují obzvláště jednoduchý způsob odhdu chyby, při němž se zprvidl využijí přibližné hodnoty integrálu získné n k pnelech n rozpůlených k pnelech. Podrobnosti nejsou složité lze je njít v běžné litertuře, npříkld v[1], [], [3] nebo [4]. 15

5 Dodtky Numerická integrce je témtem, které je v numerické mtemtice dobře zprcovné je k dispozici kvlitní numerický softwre pro přibližný výpočet integrálů, především integrálů jednorozměrných. Řdu témt jsme zde nuceni vynecht, uvádíme pouze pár stručných informcí o některých z nich. 5.1 Adptivní kvdrtur Stručně se zde zmíníme o principech součsného softwru pro výpočet jednorozměrných integrálů. Složený kvdrturní vzorec doplněný o odhd chyby poskytuje možnost sestrojit jednoduchý utomtický lgoritmus pro přibližný výpočet integrálu se zdnou poždovnou přesností: postupně pokrčujeme s půlením pnelů tk dlouho, ž celková odhdovná chyb klesne pod poždovnou úroveň. Pro mnohé integrndy je le vysoce neefektivní udržovt n celém [, b] stejně veliké pnely, protože by se tk vynložil výpočet velkého počtu funkčních hodnot v částech intervlu, kde se integrnd dobře chová kde se dá sndno vyhovět tolernci n chybu. Používá se proto inteligentnější přístup, dptivní kvdrtur, při němž se intervl integrce dělí n pnely selektivně tk, by to odpovídlo chrkteru integrovné funkce. Dělení n pnely tk bude obecně nerovnoměrné. Typická dptivní strtegie funguje následujícím způsobem. Především potřebujeme mít k dispozici vhodně vybrnou dvojici zákldních kvdrturních vzorců, řekněme Q n1 Q n, jejichž rozdíl nám poskytuje poždovný odhd chyby. jko jednoduchý příkld tu může posloužit lichoběžníkové obdélníkové prvidlo, jejichž rozdíl je zhrub trojnásobkem chyby přesnějšího z nich, jk jsme viděli v odst..1. Větší efektivity se obvykle le dosáhne použitím vzorců vyššího řádu, jko je npříkld Gussův-Kronrodův pár (G 7, K 1 5). Jinou lterntivou je použít jeden zákldní vzorec n dvou rozdílných úrovních dělení. V tomto směru je oblíbené Simpsonovo prvidlo. Ve všech přípdech ovšem je k minimlizci počtu potřebných funkčních hodnot třeb, by použitá dvojice kvdrturních vzorců byl progresívní. Postup dptivního lgoritmu je pk v principu prostý: nejprve ob vzorce Q n1 Q n plikujeme n počáteční intervl integrce [, b]. Pokud se tkto získné přibližné hodnoty integrálu liší o více, než je předepsná tolernce, rozdělíme intervl integrce n dv nebo více pnelů uvedený postup opkujeme n kždém z nich. Pokud se n některém pnelu dosáhne splnění chybové tolernce, pk se tento pnel už dále nedělí. Pokud n dném pnelu odhd chyby přeshuje předepsnou tolernci, pokrčuje se v dělení, to tk dlouho, ž je předepsné tolernci n chybu vyhověno n všech pnelech. Tková strtegie vede k tomu, že vzorkovcí body integrndu budou obecně rozloženy nerovnoměrně, přičemž jich bude více tm, kde se dná funkce integruje obtížně, reltivně málo tm, kde se integruje snáze. Typické rozložení vzorkovcích bodů (uzlů složeného kvdrturního vzorce), které tkový lgoritmus sám generuje, je n obr. 3. Funkce zobrzená n obrázku je f(x) = (1 30x ), intervl integrce je [0, 1] chybová tolernce je 10 4. Progrm zložený n dptivní Simpsonově kvdrtuře vygenerovl celkem 109 uzlů, které jsou znázorněny jk n grfu funkce, tk n ose x. V Mtlbu jsou k dispozici tři kvlitní funkce pro dptivní numerický výpočet jednorozměných integrálů. Je to jednk funkce qud, zložená n Simpsonově prvidlu, dále funkce qudl, která používá dvojice vnořených Gussových-Lobttových vzorců, konečně funkce qudgk zložená n Gussově-Kronrodově páru (G 7, K 1 5). I když se dptivní kvdrturní lgoritmy v prxi velmi dobře osvědčují, ve výjimečných přípdech mohou tké selhávt: výsledná přibližná hodnot integrálu i odhd chyby mohou být 16

Obrázek 3: Typické rozložení uzlů u dptivní kvdrtury. výjimečně i zcel chybné. Důvodem je tu skutečnost, že integrnd se vzorkuje pouze v konečném počtu bodů, tkže může dojít i k tomu, že se nějký jeho podsttný rys pomine. Může se npříkld stát, že intervl integrce je velmi dlouhý, le veškeré zjímvé chování integrndu je soustředěno do jeho velmi úzké části. V tkovém přípdě může dojít k tomu, že dptivní lgoritmus při svém vzorkování tuto zjímvou část integrndu zcel pomine výsledná hodnot integrálu vyjde zcel chybně. Je proto rozumné nespokojit se při výpočtu integrálů s jedním získným výsledkem, le porovnávt výsledky získné s různými tolerncemi. Dlší užitečnou informci poskytují ty lgoritmy, které n výstupu udávjí tké počet použitých funkčních hodnot. Je totiž (známe tkový příkld z prxe) npříkld nemožné, bychom rozumně vypočítli integrál z funkce sin 100x n intervlu [0, ] pomocí pouhých 33 vzorků (proč?). 5. Dvojné integrály Až dosud jsme se zbývli pouze jednorozměrnými integrály, kde z geometrického hledisk chceme určit obsh oblsti pod nějkou křivkou n nějkém intervlu. U dvojrozměrného neboli dvojného integrálu si přejeme vypočítt objem těles pod nějkou plochou n dnou rovinnou oblstí Ω. Pro obecnou oblst Ω R tkový integrál má tvr f(x, y) dω. Ω V přípdě, že integrujeme přes obdélníkovou oblst R = [, b] [c, d] se dvojný integrál dá čsto převést n dvojnásobný integrál, v němž jsou vlstně do sebe vnořeny dv integrály jednorozměrné: ( d ) f(x, y) dr = f(x, y) dy dx. R Anlogicky jko tomu bylo se zvedením pojmu numerická kvdrtur, se numerická proximce dvojrozměných integrálů někdy nzývá numerická kubtur. K výpočtu dvojných integrálů se dá použít řd postupů, le jejich popis se vymyká rozshovým možnostem tohoto textu. Poznmenáváme pouze, že čsto i dvojné integrály se djí počítt 17 c

pomocí lgoritmů pro integrály jednorozměrné, to tk, že npříkld pro výše popsný integrál přes obdélník použijeme jeden kvdrturní vzorec pro vnější integrál druhý (třeb i identický) pro vnitřní integrál. Pokždé, když vnější rutin bude vyvolávt integrovnou funkci, bude se tk vyvolávt rutin pro výpočet vnitřního integrálu. Dlší detily k výpočtu dvojných integrálů lze njít v litertuře, viz npříkld [4]. Tké Mtlb má k dispozici řdu funkcí pro výpočet tkových integrálů, to i přes obecné dvojrozměrné oblsti. 5.3 Vícerozměrné integrály K výpočtu vícerozměrných integrálů ve více než dvou dimenzích lze sice v principu využít postupů používných pro dvojné integrály, le nákldy n výpočet rostou s počtem dimenzí nelineárně. Jediným obecně užitečným přístupem k výpočtu složených integrálů ve více dimenzích se zdá být metod Monte Crlo. Postupuje se tk, že se integrovná funkce vyvzorkuje v n bodech, které jsou (pseudo)náhodně rozloženy v oblsti integrce, vypočítá se střední hodnot vzorů t se vynásobí objemem integrční oblsti, čímž dostneme odhd integrálu. Chyb této proximce klesá k nule jko 1/ n při n, což znmená npříkld, že bychom získli jednu dlší přesnou desítkovou číslici ve výsledku, musíme počet vzorkovcích bodů zvýšit stokrát. Z tohoto důvodu není u integrce metodou Monte Crlo žádnou vzácností, jestliže se počet použitých funkčních hodnot pohybuje v řádu milionů. Metod Monte Crlo nemůže soutěžit s osttními metodmi u jednorozměrných dvojrozměrných integrálů, její krás le spočívá v tom, že rychlost konvergence u ní nezávisí n počtu dimenzí. Tím pádem npříkld milion vzorkovcích bodů v šesti dimenzích vlstně znmená pouze 10 bodů n kždou dimenzi, to je podsttně méně, než by vyždovl k získání poždovné přesnosti jkákoli konvenční kvdrtur. Existuje řd účelných způsobů vzorkování, které mjí zvýšit efektivitu metody, le zde můžeme zájemce pouze odkázt n literturu, npř. [4]. Generování pseudonáhodných čísel ke užitečné i jinde než při numerické integrci k tomuto témtu se ještě vrátíme n závěr kurzu. Reference [1] [] [3] PŘIKRYL, Petr. MVŠT. Numerické metody mtemtické nlýzy. Prh: SNTL, 1985. PŘIKRYL, Petr. MVŠT. Numerické metody mtemtické nlýzy.. oprvené doplněné vyd. Prh: SNTL, 1988. PŘIKRYL, Petr Mrek BRANDNER. Numerické metody II. Plzeň: FAV ZČU, 001. [4] HEATH, M. T. Scientific Computing: An Introductory Survey. nd Edition. New York: McGrw-Hill, 00, 563 s. 18