7. Integrální počet 7.. Primitivní funkce, Neurčitý integrál Definice 7. Říkáme, že F (x) je v intervlu (, b) (přitom může být tké =, b = + ) primitivní funkcí k finkci f(x), jestliže pro všechn x (, b) pltí F (x) = f(x). Vět 7. Ke kždé funkci f(x) spojité v (, b) existuje v (, b) primitivní funkce. Je jich dokonce nekonečně mnoho. Je-li F (x) jedn z nich, pk všechny osttní mjí tvr F (x) + C, kde C je libovolná konstnt píšeme: f(x) dx = F (x) + C. Poznámk Symbol f(x) dx znmená tedy množinu všech primitivních funkcí k funkci f(x) nzývá se neurčitý integrál funkce f(x). Přesto je zvykem prcovt s tímto symbolem jko s jedinou primitivní funkcí ve výsledku připst integrční konstntu C. Vět 7.3 Nechť funkce F je primitivní funkcí k funkci f n (, b), potom funkce F je spojitá n (, b).
7.. Newtonův integráll Definice 7.4 Nechť funkce F je primitivní funkcí k funkci f n intervlu I =, b. Číslo F (b) F () se nzývá Newtonův integrál funkce f n intervl, b znčí se [ F (x) ] b = F (b) F () = b f(x) dx, kde je dolní mez, b je horní mez integrálu. (pozn. Výše uvedený vzth je tzv. Newtonův Leibnizův vzorec). Množinu všech funkcí f, k nimž existuje Newtonův integrál, tj. které jsou newtonovsky integrovtelné znčíme N (I) píšeme f N (I). Vět 7.5 Nechť f je spojitá funkce n uzvřeném intervlu I =, b. Potom f je newtonovsky integovtelná, tj. pltí f N (I). Vět 7.6 Newtonův integrál nezávisí n výběru primitivní funkce. Vět 7.7 Nechť f N (I), pk pro, b, c I pltí:.. f(x) dx = f(x) dx = 0, b f(x) dx, 3. b f(x) dx = c f(x) dx + b f(x) dx. c
7.3. Riemnnův integrál Nechť je dán funkce f(x), omezená v intervlu I =, b. Tj. existují čísl m, M R tková, že m = inf f(x), M = inf f(x). x I x I Rozdělme intervl, b body = x 0 < x < x <... < x n < x n = b n n podintervlů I i = x i, x i, které nemusí být stejné délky ( x i = x i x i ). Protože f(x) je omezená v I, je omezená i n kždém podintervlu I i. Tj. existují čísl m i, M i R tková, že m i = inf f(x), M i = sup f(x)) x I i x I i Zvolené dělení intervlu, b oznčme d sestrojme k tomuto dělení tzv. dolní integrální součet s(d) horní intergální součet S(d) tkto: s(d) = n i= m i x i, S(d) = n i= M i x i. Hodnot horního součtu S(d) i dolního součtu s(d) závisí n zvoleném dělení! Supremum množiny všech dolních součtů (při všech možných děleních d) se nzývá dolní integrál z funkce f(x) n intervlu, b : sup d s(d) = b f(x) dx Infimum množiny všech horních součtů (při všech možných děleních d) se nzývá horní integrál z funkce f(x) n intervlu, b : inf d S(d) = b f(x) dx b Definice 7.8 Pltí-li, že f(x) dx = b f(x) dx, pk společné hodnotě těchto integrálů říkáme Riemnův integrál z funkce f v intervlu, b píšeme: f(x) dx, resp. (R) f(x) dx Množinu všech funkcí f, k nimž existuje Riemnnův integrál, tj. které jsou riemnnovsky integrovtelné znčíme R(I) píšeme f R(I).
Vět 7.9 Mějme n intervlu, b, posloupnost dělení d, d, d 3,... tkovou, že lim mx( x i) = 0. Potom, je-li funkce f R(, b ), je k i(d k ) f(x) dx = lim k S(d k ) = lim k s(d k ). Vět 7.0 Nechť f R(, b ) nechť součsně f N (, b ), Potom pltí: (R) f(x) dx = (N ) 7.4. Zákldní prvidl integrování f(x) dx Vět 7. Existují-li k funkcím f (x), f (x) f(x) primitivní funkce, pk:. αf(x) dx = α f(x) dx, α R,. ( f (x) + f (x) ) dx = f (x) dx + f (x) dx. Vět 7. Je-li f (x), f (x), f(x) N (, b ):.. αf(x) dx = α ( f (x) + f (x) ) dx = f(x) dx, α R, f (x) dx + f (x) dx.
Tbulk zákldních integrálů f(x) f(x) dx x x + α + + C, podmínky x R,, N 0, x R\{0},, Z\N 0 x > 0,, R, x ln x + C, x 0, e x e x + C, x R, x x ln + C, x R,, > 0, sin x cos x + C, x R, cos x sin x + C, x R, cos x sin x x + x tg x + C, cotg x + C, rcsin x + C, rccos x + C, rctg x + C, rccotg x + C, x (k + ) π, k Z x kπ, k Z x (, ), x R, sinh x cosh x + C, x R, cosh x sinh x + C, x R, cosh x sinh x x + x x tgh x + C, x R, cotgh x + C, rgcosh x + C ln x + x + C, rgsinh x + C, ln x + x + + C, rgtgh x + C, rgcotgh x + C, x R\{0}, x (, ) (, + ), x R, x (, ), x (, ) (, + ).
Zákldní věty integrálního počtu Vět 7.3 (o střední hodnotě) Je-li f N (, b ), potom existuje ξ (, b) tkové, že pltí f(ξ) = f(x) dx, b resp. f(x) dx = f(ξ)(b ). Poznámk Číslo f = b b f(x) dx se nzývá střední hodnotou funkce f n, b. Vět 7.3 říká, že pro f N (, b ) je střední hodnot rovn funkční hodnotě funkce f v nějkém vnitřním bodě. Důsledek 7.3() Pro f N (, b ) f(x) 0, x, b pltí f(x) dx 0. Důsledek 7.3() Pro f, g N (, b ) f(x) g(x), x, b pltí f(x) dx g(x) dx. Důsledek 7.3(3) Pro f N (, b ), f N (, b ) pltí f(x) dx f(x) dx. Důsledek 7.3(4) Nechť g N (, b ), fg N (, b ). Pokud g(x) 0, m f(x) M, x, b, potom pltí ) m b g(x) dx b b f(x)g(x) dx M g(x) dx; b) m (b ) b f(x) dx M(b ).
Metody výpočtu primitivních funkcí Zákldní integrály / Zákldní prvidl integrování Integrování per prtes (po částech) Vět 7.4 (integrce per prtes - po částech) Nechť funkce u = u(x), v = v(x) jsou diferencovtelné n, b nechť uv N (, b ). Potom tké u v N (, b ) pltí resp. u (x)v(x) dx = [u(x)v(x)] b b u(x)v (x) dx. u (x)v(x)dx = u(x)v(x) u(x)v (x)dx, Zjímvá užití per prtes. K hledání primitivních funkcí k funkcím typu: x n e kx, x n ln x, x n cos ωx, x n sin ωx, x n rcsin x, x n rccos x, Lze npř. odvodit vzorce: e αx cos ωx dx = eαx (ω sin ωx + α cos ωx) α + ω + C, e αx sin ωx dx = eαx (α sin ωx ω cos ωx) α + ω + C.. Odvození rekurentních formulí integrováním per prtes pro n : J n = cos n x dx J n+ = n + cosn+ x sin x + n + n + J n J n = sin n x dx J n+ = n + sinn+ x cos x + n + n + J n J n = dx ( + x ) J n n+ = n x ( + x ) + (n )J n n
Integrování substitucí Vět 7.5 (integrce substitucí) Nechť g N (Z) nechť funkce z = f(x) je diferencovtelná n intervlu X, přičemž f(x) Z. Potom pro, b X pltí g(f(x))f (x) dx = f(b) f() g(z) dz = G(f(b)) G(f()), resp. g(f(x))f (x)dx = g(z)dz = G(f(x)) + C. Integrály typu R(x) dx R(x) = P (x), P, Q jsou polynomy; (st P ) < (st Q). Q(x) Funkci R(x) rozložíme n součet zákldních rcionálních funkcí typu: (rozkld n prciální zlomky). A x x 0 ; A, x 0 R,. A (x x 0 ) k, A, x 0 R k N, k, 3. Ax + B x, A, B, p, q R, + px + q kořeny jmenovtele jsou komplexní (sdružené); 4. Ax + B (x + px + q) k, A, B, p, q R k N, k kořeny jmenovtele jsou komplexní k-násobné.
Integrály typu R(sin x, cos x)dx V intervlech, které neobshují body x k = (k + )π, k Z, volíme buď univerzální substituci: tg x = t, tj. x = rctg t. Potom nebo Integrály typu Užije se vzorců: Integrály typu vzorce: cos x = t t, sin x = + t + t, dx = + t dt. tg x = t R( sin x, cos x) = R(sin x, cos x) cos x = t R( sin x, cos x) = R(sin x, cos x) sin x = t R(sin x, cos x) = R(sin x, cos x) cos mx cos nx dx, sin mx cos nx dx, sin mx sin nx dx, m, n Z. [ ] cos mx cos nx dx = cos(m + n)x + cos(m n)x, [ ] sin mx cos nx dx = sin(m + n)x + sin(m n)x, [ ] sin mx sin nx dx = cos(m + n)x + cos(m n)x. R( x )dx substituce: x = sin t nebo x = cos t sin t + cos t =, sin t = sin t cos t, cos t = cos t sin t. Integrály typu R( + x )dx substituce: x = sinh t vzorce: cosh t sinh t =, sinh t + cosh t = cosh t. Integrály typu R( x )dx substituce: x = cosh t vzorce: cosh t sinh t =, sinh t + cosh t = cosh t.
7.5. Primitivní funkce jko funkce proměnné horní meze Definice 7.6 Nechť, x I f N (I). Potom primitivní funkci F k funkci f určenou vzthem x F (x) F () = f(t) dt nzýváme integrálem s proměnnou mezí. Poznámk d dx d dx d dx x x f(t) dt = F (x) = f(x); f(t) dt = F (x) = f(x); ϕ(x) f(t) dt = d dx [F (ϕ(x)) F ()] = F (ϕ(x))ϕ (x) = f(ϕ(x))ϕ (x). Definice 7.7 Nechť f N (, x ) pro kždé x >. Existuje-li lim F (x), potom x + lim [F (x) F ()] se nzývá nevlstní Newtonův integrál vlivem meze znčí x + se lim x + x f(t) dt = + f(t) dt. Definice 7.8 Mějme intervl, b nechť f N (, x ) pro kždé x, b), všk f N (, b ) (tj. rovnost F (x) = f(x) pltí pouze pro x, b)). Existuje-li lim F (x), potom lim [F (x) F ()] se nzývá nevlstní Newtonův x b integrál vlivem funkce znčí se x b lim x b x f(t) dt = f(t) dt.
Poznámk Existuje-li konečná limit + f(t) dt konverguje. lim x x + f(t) dt, říkáme, že nevlstní integrál Neexistuje-li konečná limit že nevlstní integrál + lim x x + f(t) dt (npř. je nevlstní), říkáme, f(t) dt diverguje (neexistuje!).