- 7 - Křivkové a plošé itegrály 5 Křivkové a plošé itegrály 51 Křivky Pozámka V této kapitole se budeme zabývat obecými křivkami v Vždy však můžeme položit = 2 či = a přejít tak k speciálím případům roviy či trojrozměrého prostoru, které jsou v aplikacích bezesporu ejvýzamější Defiice Pod spojitou křivkou v budeme rozumět spojité zobrazeí :, Obraz itervalu, v tomto zobrazeí azveme geometrickým obrazem křivky a budeme jej ozačovat symbolem Pozámka Spojitá křivka v je zadáa -ticí spojitých reálých fukcí ( ),, ( ) 1 t t defiovaých a itervalu, Jedá se tedy o spojitou vektorovou fukci (viz kap 17) Protože jsou jedotlivé body křivky popsáy pomocí reálého parametru t, hovoříme též o parametrickém zadáí křivky Všiměte si též, že růzým křivkám mohou odpovídat stejé geometrické obrazy V dalším textu se budeme zabývat křivkami, které mají a itervalu, eulové spojité prví derivace tyto křivky se obvykle azývají křivkami třídy C 1 ebo alespoň po částech eulové spojité prví derivace křivky po částech třídy C 1 Navíc budeme předpokládat, že příslušá vektorová fukce je a itervalu (, ) prostá 1 Tyto vlastosti již ebudeme v dalším výkladu explicitě zdůrazňovat Pod křivkou budeme íže vždy (!) rozumět spojitou křivku alespoň po částech třídy C 1 Defiice Křivku azveme uzavřeou, splývá-li její počátečí bod s bodem kocovým, tj ( ) ( ) Defiice Pod tečou ke křivce v bodě ( t ),, ( t ) která prochází bodem x a splňuje x 1 rozumíme přímku tt () t x() t lim tt t t p : x x ( ), Vektor azveme tečým vektorem ke křivce v bodě x Pozámka Má-li křivka v bodě 1( t),, ( t) je rove vektoru ( t ),, ( t ) x eulovou prví derivaci, má v ěm i teču Její směrový vektor 1 2, kde tečkou ad písmeem ozačujeme prví derivaci podle parametru t 1 Připouštíme tedy ( ) ( ) 2 Použijeme-li v parametrické rovici pro teču p jiého parametru, p: x x s, kde x x pro s =, bude její směrový vektor (a tedy i ový tečý vektor ke křivce ) obecě libovolým reálým ásobkem ( t ),, ( t ) vektoru 1
Křivky - 71 - Věta (o skládáí a iverzi křivek) Nechť a jsou křivky v defiovaé a itervalech, a,, které jsou avíc po částech třídy C 1 Nechť dále platí ( ) ( ) Pak vektorová fukce :, defiovaá předpisem () t () t pro t,, () t () t pro t, a dále též vektorová fukce :, defiovaá předpisem jsou křivky po částech třídy C 1 () t ( t) Defiice Křivku azýváme křivkou složeou z křivek a a používáme pro i též symbolický zápis Křivku ~ pak azýváme křivkou opačou (iverzí) ke křivce Pozámka Při pohybu po složeé křivce probíháme ejdříve všemi body prví křivky a ásledě i všemi body křivky druhé Opačá křivka je totožá s křivkou původí, ovšem probíhaou pozpátku Všiměte si též vztahů, které platí v případě skládáí a ivertováí křivek pro jejich geometrické obrazy:, 52 Křivkový itegrál prvího druhu Defiice (křivkový itegrál prvího druhu pro křivky C 1 ) Nechť :, je křivka třídy C 1 a f : reálá fukce reálých proměých, jež je spojitá a ějakém okolí každého bodu geometrického obrazu Pak předpisem d f d f( ( t)) ( t) defiujeme křivkový itegrál prvího druhu fukce f po křivce 1 Je-li křivka uzavřeá, používáme zpravidla pro odpovídající křivkový itegrál symbol f d 1 V itegradu a pravé straě defiičího vztahu ozačujeme symbolem a eukleidovskou ormu vektoru d a Platí tedy d / 2 i 1 i
- 72 - Křivkové a plošé itegrály Pozámka Formálím porováím pravé a levé stray defiičího vztahu pro křivkový itegrál prvího druhu získáme symbolickou rovost d d ebo též d d Difereciál d a levé straě odpovídá tedy délce ifiitezimálího oblouku křivky a itervalu tt, a itegrál délce křivky d 1 d ( t) Věta (aditivita křivkového itegrálu prvího druhu vůči skládáí křivek) Nechť křivky a jsou a itervalech, a, třídy C 1 a splňují ( ) ( ) Pak platí f d f d f d Defiice (křivkový itegrál prvího druhu pro křivky po částech C 1 ) Nechť f : je reálá fukce spojitá a ějakém okolí každého bodu geometrického obrazu křivky :,, která je a tomto itervalu po částech třídy C 1 Existuje tedy takové děleí t t1 tm itervalu,, že má a každém dělicím itervalu tk 1, tk, k 1,, m, eulovou spojitou prví derivaci Pak pod křivkovým itegrálem prvího druhu fukce f po křivce rozumíme t m k d f d f( ( t)) ( t) k 1 tk1 Pozámka Aditivita itegrálu 1 druhu pro křivky třídy C 1 zaručuje, že výše uvedeá defiice je korektí Jako dělicí body t k musíme vždy vybrat především ty, v ichž křivka emá spojitou prví derivaci Přidáme-li k im i takové, v ichž tato křivka spojitou prví derivaci má, pravá straa výše uvedeé rovosti se díky zmíěé aditivitě ezměí Pozámka V ásledujících větách je f : (popř i g : ) spojitá fukce defiovaá pro každý bod obrazu uvažovaých křivek a ějakém jeho okolí Křivky jsou alespoň po částech třídy C 1 Věta (ezávislost křivkového itegrálu prvího druhu a parametrizaci) Nechť dvě křivky :, a :, mají stejý obraz a avíc echť existuje vzájemě jedozačé a spojitě diferecovatelé zobrazeí h :,, takové, že () t ( h()) t Pak platí f d f d Změa parametrizace křivky tedy hodotu křivkového itegrálu prvího druhu eměí Speciálě pro opačou křivku platí f d f d
Křivkový itegrál prvího druhu - 7 - Věta (liearita křivkového itegrálu prvího druhu) cf d c f d, c, f g d f d gd Pozámka Křivkové itegrály prvího druhu je možo defiovat eje pro skalárí fukce, ale i pro vektorová pole a to po složkách: f d f1 d,, f d 5 Křivkový itegrál druhého druhu Křivkové itegrály prvího a druhého druhu jsou si velmi blízké Níže si zejméa všiměte, jak mohé věty formulovaé pro itegrály druhého druhu odpovídají větám předcházející kapitoly Defiice Nechť :, je křivka třídy C 1 a f : vektorové pole spojité a ějakém okolí každého bodu geometrického obrazu Pak předpisem d fd f( ( t)) ( t) defiujeme křivkový itegrál druhého druhu pole f po křivce Je-li křivka uzavřeá, používáme pro obvykle odpovídající křivkový itegrál symbol f d Pozámka V defiičím vztahu stojí v závorce itegradu a pravé straě skalárí souči dvou vektorů z, tedy d f fi i1 d i Formálím porováím pravé a levé stray defiičího vztahu pro křivkový itegrál druhého druhu získáme d d Ifiitezimálí vektor d je tedy v každém bodě tečý ke křivce a symbolickou rovost míří do směru, v ěmž hodota parametru t roste Jeho velikost odpovídá avíc s přesostí do prvího řádu délce oblouku této křivky a itervalu tt, Vektor d můžeme proto s přesostí do prvího řádu iterpretovat jako ifiitezimálí orietovaý oblouk křivky a itervalu tt, Pozámka Velmi ázorá je fyzikálí iterpretace křivkového itegrálu druhého druhu Chápeme-li totiž křivku jako trajektorii opisovaou hmotým bodem v prostoru (pak ovšem ) a vektorové pole f jako pole vějších sil a teto bod působících, pak odpovídající křivkový itegrál eí ic jiého ež práce vykoaá těmito silami
- 74 - Křivkové a plošé itegrály Defiice Nechť f : je vektorové pole spojité a ějakém okolí každého bodu geometrického obrazu křivky :,, která je a tomto itervalu po částech třídy C 1 Existuje tedy takové děleí t t1 tm itervalu,, že má a každém dělicím itervalu tk 1, tk, k 1,, m, eulovou spojitou prví derivaci Pak pod křivkovým itegrálem druhého druhu pole f po křivce rozumíme t m k d fd f( ( t)) ( t) k 1 tk1 Pozámka V ásledujících větách je f : (popř i g : ) spojité vektorové pole defiovaé pro každý bod obrazu uvažovaých křivek a ějakém jeho okolí Křivky jsou alespoň po částech třídy C 1 Věta (závislost křivkového itegrálu druhého druhu a parametrizaci) Nechť dvě křivky :, a :, mají stejý obraz a avíc echť existuje vzájemě jedozačé a spojitě diferecovatelé zobrazeí h :,, takové, že () t ( h()) t Pak platí fd fd, kde kladé zaméko platí pro rostoucí h a záporé zaméko pro h klesající Pozámka Předcházející tvrzeí je možo vyslovit sice méě přesě, ale o to ázorěji: Pro dvě pouze parametrizací lišící se křivky se odpovídající křivkové itegrály druhého druhu liší pouze zamékem Při souhlasé orietaci obou křivek jsou si oba itegrály rovy Speciálě pro zadaou křivku a křivku k í opačou můžeme psát fd fd Věta (aditivita křivkového itegrálu druhého druhu vůči skládáí křivek) Nechť křivky a defiovaé a itervalech, a, splňují ( ) ( ) Existuje-li pravá straa, platí fd fd fd Věta (liearita křivkového itegrálu druhého druhu) Existují-li pravé stray, platí cfdc fd, c, f gd fd gd
Poteciál vektorového pole - 75-54 Poteciál vektorového pole V této kapitole se budeme zabývat obecými vektorovými poli a V techických a přírodovědých aplikacích jsou sice ejzajímavější případy 2 a (vektorová pole v roviě a prostoru), obecá teorie ale eí o moho komplikovaější ež v obou speciálích případech Pokud ebude zdůrazěo jiak, budeme pracovat s jedekrát spojitě diferecovatelými poli a ějaké oblasti (souvislé otevřeé možiě 1 ) z Poteciál Defiice Poteciálem vektorového pole F : azveme takovou reálou fukci U : která splňuje U Fi x Vektorové pole, které má poteciál, azveme poteciálí i, Pozámka Vztah mezi vektorovým polem F a jeho poteciálem U můžeme zkráceě zapsat pomocí operátoru gradietu 2 F U V přírodích vědách (apř ve fyzice) se obvykle používá poěkud odlišá defiice F U Pozámka Obecé vektorové pole emusí mít žádý poteciál Pokud jej a ějaké oblasti má, je teto poteciál urče jedozačě až a aditiví kostatu Věta (utá podmíka poteciálosti vektorového pole) Má-li spojitě diferecovatelé vektorové pole F poteciál a oblasti A, platí pro každé x z této oblasti a pro každou dvojici i, j 1,,, i j, F F i j ( x) ( x ) x x j Pozámka Uvědomme si, že výše uvedeé podmíky pro derivace složek pole jsou pouze podmíkami utými Samy o sobě estačí k tomu, aby vektorové pole F vůbec ějaký poteciál mělo 4 Nutou podmíkou poteciálosti vektorového pole v roviě je jedoduchý (a jediý) vztah F x F y y x V případě trojrozměrých polí v prostoru je možo přepsat trojici utých podmíek poteciálosti pole F, i F x F y y x F z F x x z, a F z F y y z, do formálě elegatějšího tvaru rot F =, kde rot je vektorový operátor rotace 1 1 Bližší vysvětleí použitých pojmů můžete ajít v Apedixu A2 2 Viz též kapitoly 2 a 62 Platost této věty vyplývá okamžitě ze záměosti druhých derivací poteciálu pole F 4 Níže v této kapitole je ukázáo, že v roviě a v prostoru jsou tyto podmíky postačující, jsou-li splěy a jedoduše souvislé oblasti
- 76 - Křivkové a plošé itegrály Nalezeí poteciálu vektorového pole v roviě Budiž F Fx( xy, ), Fy( xy, ) spojitě diferecovatelé vektorové pole defiovaé a ějaké oblasti v roviě Jeho poteciál, pokud existuje, je defiová vztahy F x U a Fy x U y Levé stray těchto vztahů jsou zadaé fukce, poteciál můžeme proto získat jejich itegrací Z prvího vztahu máme U( x, y) Fx ( x, y) dxc( y), kde azačeý eurčitý itegrál počítáme tak, že a ezávislou proměou y pohlížíme během itegrace jako a kostatu Explicitě uvedeá itegračí kostata C může proto rověž a y záviset Derivováím takto získaého vztahu podle y dostaeme F (, ) (, ) (, ) ( ) x( x, y) C( y) Fy x y U x y Fx x y dxc y dx y y y y a po úpravách C( y) Fx ( x, y) Fy ( xy, ) dx y y Má-li pole F poteciál, závisí pravá straa posledí rovosti pouze a ezávislé proměé y, a ezámou fukci C( y ) můžeme v takovém případě sado získat (s přesostí až a aditiví kostatu, tetokrát již skutečou) prostou itegrací Pokud ovšem pravá straa závisí i a ezávislé proměé x, poteciál vektorového pole F eexistuje Pro vícerozměrá vektorová pole fuguje aprosto stejý postup, který je sad je s rostoucím stále pracější Určeí poteciálu pomocí křivkových itegrálů Věta Je-li vektorové pole F : spojitě diferecovatelé a oblasti A, jsou ásledující tvrzeí ekvivaletí: F má poteciál, pro každou uzavřeou křivku :, A platí F d, 1 Viz kapitola 64
Poteciál vektorového pole - 77 - pro každé dvě křivky :, A a :, A splňující ( ) ψ( ) a ( ) ψ( ) platí Fd Fd Poteciál U pole F pak lze psát ve tvaru U( x) Fd, kde je libovolá křivka spojující předem zvoleý (libovolý ovšem) bod x A s bodem x Pozámka Ve třetí odrážce předcházející věty vystupují křivky se společými počátečími a kocovými body V této odrážce se tedy říká, že uvedeé křivkové itegrály ezávisejí a samotých křivkách, ale je a jejich okrajových bodech Z této podmíky dále vyplývá, že itegrálí předpis pro poteciál je korektí Hodota U(x) ezávisí a zvoleé křivce, ale je a jejím pevě, leč libovolě zvoleém počátečím bodě x a a bodě kocovém, x Libovůle, kterou máme při volbě bodu x, odráží ejedozačost poteciálu zmíěou v úvodu této kapitoly Pozámka Pro vektorové pole F v roviě vyplývá z druhé odrážky výše uvedeé věty a věty Greeovy 1, že postačující podmíkou jeho poteciálosti a jedoduše souvislé oblasti je rovost křížových derivací F x F y y x Podobě je postačující podmíkou poteciálosti vektorového pole F v (trojrozměrém) prostoru, založeou a tzv Stokesově větě 1, současé splěí rovostí ebo zkráceě F x F y y x, Fx Fz, z x rot F, F F y z z y, kde rot ozačuje vektorový difereciálí operátor rotace defiovaý v kapitole 64 55 Plochy V této kapitole se budeme zabývat dvojrozměrými plochami v a v ásledujících dvou kapitolách pak itegrály a ich Až a ěkolik málo výjimek by bylo možo vše uvedeé zobecit i a (-1)-rozměré adplochy v, výklad by se ovšem patřičě komplikoval Omezíme se proto a z hlediska aplikací pravděpodobě ejvýzamější případ ploch v trojrozměrém prostoru Plochy a plošé itegrály jsou dvojrozměrou obdobou křivek a křivkových itegrálů Jejich studium je ovšem přece je poěkud komplikovaější V ásledujícím výkladu se proto omezíme je a základí pojmy a věty Podrobější poučeí může čteář alézt v celé řadě učebic a příruček matematické aalýzy (viz apř kiha Rektorysova [5]) 1 Viz kapitola 58
- 78 - Křivkové a plošé itegrály Defiice Nechť : je jedou spojitě diferecovatelé zobrazeí oblasti Matici 2 do t t t t 1 1 1 2 t ( ) 2 2 J 1 2 t 1 2 azveme Jacobiho maticí zobrazeí Jsou-li sloupce této matice v každém bodě možiy lieárě ezávislými vektory a zobrazeí je prosté (a iverzí zobrazeí je avíc spojité), azveme jedoduchou hladkou plochou 1 Obraz možiy v tomto zobrazeí azveme geometrickým obrazem plochy a budeme jej ozačovat Pozámka Podle výše uvedeé defiice popisujeme jedotlivé body plochy pomocí dvou reálých parametrů t 1 a t 2 Hovoříme proto o parametrickém zadáí plochy 2 Obecou plochu v můžeme zadat ovšem i jiými způsoby Uveďme si dva ejdůležitější z ich Explicití zadáí plochy Odpovídá-li geometrický obraz plochy grafu ějaké spojitě diferecovatelé fukce z f( x, y), je možo tuto plochu popsat právě touto fukcí Hovoříme pak o explicitím zadáí plochy Podle potřeby můžeme použít i fukcí y g( x, z) ebo x f( y, z) Přejít od explicitího zadáí plochy k zadáí parametrickému eí obtížé : x t 1, y t2, a z f( t1, t2) Implicití zadáí plochy Plochu je dále možo popsat prostředictvím vazebé podmíky, kterou musí splňovat souřadice bodů a í ležících 4 Nechť F : je eulová spojitě diferecovatelá fukce tří reálých proměých, která emá v žádém bodě ulový gradiet Pak je možo tuto vazebou podmíku zapsat ve tvaru F( x, y, z) O takovém zadáí plochy hovoříme jako o zadáí implicitím Alespoň lokálě od ěj můžeme přejít k zadáí explicitímu tak, že rovici (,, ) F x y z vyřešíme vzhledem k ěkteré proměé, apř z Příklad (kulová plocha) Kulovou plochu se středem v počátku souřadic a o poloměru r je možo zadat: parametricky: x rcossi, y rsisi, z rcos, kde,2,,, 1 V dalším se budeme zabývat pouze jedoduchými hladkými plochami, i když to ebudeme zpravidla explicitě zdůrazňovat 2 Porovejte s parametrickým zadáím roviy Pokuste se pro teto případ apsat Jacobiho matici a ověřit, že její sloupce jsou lieárě ezávislé vektory 4 Porovejte s ormálovou rovicí roviy
Plochy - 79 - implicitě: explicitě: 2 2 2 2 x y z r, 2 2 2 z r x y 1 Pozámka () () () Budiž x ( t1, t2 ) ějaký bod zadaé plochy Na okolí tohoto bodu je možo zobrazeí aproximovat pomocí věty o prvím difereciálu 2 x x t t t t t t t t i i 1, 2 1 1 1, 2 2 2 () i () () () () () () i t1 t2 kde i = 1, 2, Sado zjistíme, že uvedeá rovice, v íž přibližou rovost ahradíme rovostí přesou, odpovídá parametrickému zadáí roviy, a to podle geometrické iterpretace prvího difereciálu roviy tečé k ploše v bodě x () Vektory 1 () () 2 () () () () τ 1 t1, t2 ; t1, t2 ; t1, t2, t1 t1 t1 () () () () () () t, t ; t, t ; t, t 1 2 2 1 2 1 2 1 2 t2 t2 t2 jsou tedy tečými vektory k ploše v bodě x () Jak je vidět z přímého porováí, odpovídají složky obou vektorů sloupcům Jacobiho matice počítaým v bodě x () Podle předpokladu jsou tedy lieárě ezávislé a skutečě zadávají roviu Výše uvedeý výpočet můžeme ovšem provést je tehdy, je-li možo aplikovat větu o prvím difereciálu - jsou-li apříklad splěy předpoklady defiice jedoduché plochy Existují ovšem obecější plochy, které emají v každém bodě tečou roviu Těmi se ale v tomto textu zabývat ebudeme Defiice () () () Neulový vektor vázaý v zadaém bodě x ( t1, t2 ) plochy a kolmý k tečé roviě k této ploše (viz předcházející pozámka), azveme vektorem ormálovým k ploše v bodě x Má-li teto vektor jedotkovou délku (eukleidovskou ormu), azveme jej jedot- () kovým ormálovým vektorem Obvykle jej budeme ozačovat písmeem Pozámka Normálových vektorů existuje ve skutečosti ekoečě moho zaplňují jedorozměrý vektorový prostor Dokoce ai jedotkový ormálový vektor eí urče jedozačě existují vždy dva, které se avzájem liší zamékem Ze všech možých ormálových vektorů k zadaé ploše v zadaém bodě stačí ale zát je jede vybraý Sado pak umíme zkostruovat i všechy ostatí Tímto vybraým ormálovým vektorem může být apříklad vektorový souči dvou libovolě zvoleých lieárě ezávislých tečých vektorů Pozámka Velmi jedoduše se hledá ormálový vektor pro plochu zadaou implicitě Nechť,,, je libovolý 1 2 vektor ležící v roviě tečé k ploše F( x, y, z) v bodě x () Pak můžeme pro v absolutí hodotě malé číslo přibližě psát 4 1 Další možá explicití vyjádřeí jsou 2 2 2 y r x z a 2 2 2 x r y z Volbou zaméka se ovšem vždy omezujeme a jedu polokouli 2 Viz kapitola 24 V každém bodě plochy je její ormálový vektor současě ormálovým vektorem její tečé roviy v tomto bodě 4 Opět využíváme věty o totálím difereciálu z kapitoly 24 Symbolem ozačujeme difereciálí operátor gradiet (viz též kapitola 62)
- 8 - Křivkové a plošé itegrály () () () x x x F F F Bod x () () je ale bodem plochy, musí tedy platit přesé a platí tedy F x V limitě přecházejí přibližé rovosti a () F x Vzhledem k tomu,že je libovolý vektor z roviy tečé v zadaém bodě k zadaé ploše a gradiet F podle () předpokladu eulový, je utě F( x ) jedím z hledaých ormálových vektorů Příklad Pro kulovou plochu můžeme získat eulový ormálový vektor v zadaém bodě [ xyz,, ] přímo z implicitího vyjádřeí 2 2 2 2 F( x, y, z) x y z r Především platí F( xyz,, ) 2 x,2 y,2z Normálový vektor v bodě [ x, y, z ] můžeme proto psát ve tvaru a jedotkové ormálové vektory jako kde 2 2 2 r x y z xyz,, x y z,, r r r, V parametrickém vyjádřeí je možo pro jedotkové ormálové vektory psát cossi,si si,cos Defiice Nechť geometrický obraz plochy je hraicí ějaké oblasti V Pak plochu azveme uzavřeou Normálový vektor, který míří ve z oblasti V, azýváme vějším ormálovým vektorem ebo také vektorem vější ormály Příklad Kulová plocha je uzavřeá Jedotkový vektor cossi,si si,cos vější ormály je jedotkovým vektorem
Plošý itegrál prvího druhu - 81-56 Plošý itegrál prvího druhu Defiice Budiž : jedoduchá hladká plocha a ějakém okolí každého bodu Pak předpisem f : spojitá fukce defiovaá a f d f ( t, t ) 1 2 1 2 t1 t2 defiujeme plošý itegrál prvího druhu fukce f a ploše 1 se obvykle používá symbol f d V případě uzavřeé plochy Pozámka Pro malé změy parametrů 1 či 2 můžeme popsat změy souřadic bodů ležících a daé ploše v okolí () () vybraého bodu ( t, t ) pomocí věty o totálím difereciálu (viz kap 24 ): 1 2 d t1 t2 1, t měí-li se t 1 a t 2 zůstává kostatí, lze psát x (1) (), () pokud se měí t 2 a aopak t 1 zůstává kostatí, platí x (2) (), () 1 d t1 t2 2 t 2 Podle toho se tedy obdélík o straách 1 a 2 (patřící do možiy zobrazí a elemet plochy, který (1) (2) odpovídá v prvím přiblížeí kosodélíku o straách dx a dx Podle elemetárího vzorce je plošý (1) (2) obsah tohoto kosodélíka dá velikostí vektorového součiu dx dx Proto (porováme-li formálě pravou a levou strau defiičího vztahu pro plošý itegrál prvího druhu) d 12 dx dx t t 1 2 (1) (2) odpovídá s přesostí do prvího řádu plošému obsahu ifiitezimálí části plochy vymezeé hodotami () () () () parametrů t 1 a t 2 z dvojrozměrého itervalu ( t, t ) ( t, t ) 1 1 1 2 2 2 Pozámka Z defiice plošého itegrálu prvího druhu a z předcházející pozámky vyplývá, že obsahu plochy 1d je rove plošému Věta (ezávislost plošého itegrálu prvího druhu a parametrizaci) Nechť : a : jsou dvě jedoduché hladké plochy takové, že, existuje vzájemě jedozačé spojitě diferecovatelé zobrazeí h : splňující t, t h t, t 1 2 1 2 1 Aby bylo možo počítat azačeé dvojé itegrály, musí být možia měřitelá To budeme vždy v této i v dalších kapitolách předpokládat 2 Ověřte pro kulovou plochu
- 82 - Křivkové a plošé itegrály f : defiovaou a ějakém okolí geometrické- Pak pro libovolou spojitou fukci ho obrazu platí f d f d Hodota plošého itegrálu prvího druhu ezávisí tedy a parametrizaci plochy 57 Plošý itegrál druhého druhu Defiice Nechť je pole jedotkových ormálových vektorů defiovaé a ploše : a spojité a celé oblasti Dále budiž A : spojité vektorové pole defiovaé a ěja- kém okolí každého bodu geometrického obrazu Pak předpisem 1 Ad Ad defiujeme plošý itegrál druhého druhu pole J a ploše V případě uzavřeé plochy obvykle volíme jako jedotkový vektor vější ormály a používáme se symbol d Pozámka Z defiičího vztahu pro plošý itegrál druhého druhu formálě plye d = d A Elemetu plochy d přiřazujeme tedy prostředictvím ormálového vektoru i směr To umožňuje u zadaé plochy odlišit oblasti před plochou a za plochou, což je velmi užitečé v techických a přírodovědých aplikacích apř při počítáí průtoku ejrůzějších veliči vybraou plochou Pro obecou jedoduchou hladkou plochu můžeme vždy zkostruovat dvě pole jedotkových ormálových vektorů zmiňovaých v předcházející defiici Tato pole se v každém bodě geometrického obrazu liší pouze zamékem Volba jedé kokrétí možosti pak zadává kokrétí orietaci zadaé plochy V případě uzavřeých ploch máme takto a výběr mezi vektory vější a vitří ormály, obvykle se ale používají je vější ormálové vektory Pozámka (ezávislost plošého itegrálu druhého druhu a parametrizaci) Z věty o ezávislosti plošého itegrálu prvího druhu a parametrizaci plochy, a které itegrál počítáme vyplývá obdobé tvrzeí i pro plošé itegrály druhého druhu Jsou-li totiž a plochách a lišících se pouze parametrizací zadáa pole ormálových vektorů, která jsou totožá v každém bodě, vyplývá z věty o parametrizačí ezávislosti pro itegrály prvího druhu a tedy podle defiice i A d A d, Ad Ad 1 Na pravé straě rovosti stojí plošý itegrál prvího druhu defiovaý v předcházející kapitole
Itegrálí věty - 8-58 Itegrálí věty Věta (Greeova) Nechť je roviá uzavřeá křivka po částech třídy C (1), která obepíá měřitelou a jedoduše souvislou možiu M Křivka echť je obíháa v kladém směru (tj proti 2 2 2 směru hodiových ručiček) Dále budiž f : vektorové pole spojitě diferecovatelé a ějakém obdélíku obsahujícím geometrický obraz Pak platí f d y x M f x f dxdy y Věta (Gaussova Ostrogradského) Budiž V omezeá měřitelá oblast a a A : spojitě diferecovatelé vektorové pole defiovaé alespoň a V V 1 Dále budiž : uzavřeá jedoduchá hladká plocha, jejíž geometrický obraz je totožý s hraící V Pak platí 2 Α d div A dxdydz Pozámka Vzhledem k ezávislosti plošého itegrálu druhého druhu a parametrizaci plochy, a íž itegrujeme, se Gaussova-Ostrogradského věta často píše ve tvaru V V Α d divadxdydz V Věta (Stokesova) Budiž : hladká jedoduchá plocha a :, křivka splňující Dále echť je spojité pole jedotkových ormálových vektorů defiovaé a a orietovaé tak, že v každém bodě míří vektor směrem dovitř A budiž spojitě diferecovatelé vektorové pole defiovaé alespoň a Pak platí 4 A drot A d Pozámka Vzájemou orietaci plochy a křivky je možo popsat rověž ásledujícím ázorým způsobem: Půjdeme-li po křivce ve směru tečého vektoru a ormálový vektor k ploše bude mířit od ohou k aší hlavě, pak plochu musíme mít stále po levé ruce 1 V je hraice oblasti V (viz Apedix A2) 2 Symbolem div ozačujeme vektorový difereciálí operátor divergece (viz kapitola 6) Plocha je uzavřeá, při výpočtu používáme jedotkové vektory vější ormály je vektor tečý ke křivce 4 Symbolem rot ozačujeme vektorový difereciálí operátor rotace (viz kapitola 64)