Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20
Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé vektory Norma vektoru Skalární součin dvou vektorů Matice a jak s ním umíme počítat... Co je to matice... Jaké typy matic známe... Jak se matice sčítají a odčítají... Jak se matice násobí... Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 2 / 20
Lineární kombinace vektorů Definice: Lineární kombinace vektorů Necht jsou dány vektory v 1, v 2,... v k lineární kombinací těchto vektorů rozumíme každý vektor tvaru v = α 1 v 1 + α 2 v 2 + α 3 v 3 + + α k v k čísla α 1, α 2,... nazýváme souřadnice vektoru vzhledem k systému v 1, v 2... vektor (2, 3) vzhledem k vektorům (1, 0) a (0, 1) má souřadnice 2 a 3, protože (2, 3) = 2 (1, 0) + 3 (0, 1) vektor (2, 3) vzhledem k vektorům (1, 1) a (0, 1) má souřadnice 2 a 1, protože (2, 3) = 2 (1, 1) + 1 (0, 1) Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 3 / 20
Závislé a nezávislé vektory Definice: Závislé a nezávislé vektory Vektory jsou lineárně závislé, pokud každý vektor lze napsat jako lineární kombinaci zbylých vektorů. Tj. vektory v 1, v 2,... v k jsou závislé, pokud vektor v 1 je lineární kombinací vektorů v 2, v 3,... v k. Tj. existují čísla α 1, α 2,..., α k tak, že v 1 = α 2 v 2 + α 3 v 3 + + α k v k pro dvourozměrné vektory platí, že jsou lineárně závislé, pokud je jeden násobkem druhého vektory, které mají stejnou směrnici jsou lineárně závislé pokud mám v dvourozměrném prostoru R 2 tři vektory, pak jsou VŽDY závislé Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 4 / 20
Velikost (norma) vektoru Definice: Norma vektoru dimense n x = x1 2 + x 2 2 + x 3 2 + + x n 2 norma vektoru je nezáporné číslo norma vektoru v je rovna nula právě tehdy, když v = (0, 0) platí trojúhelníkové pravidlo x + y x + y norma vektoru odpovídá délce vektoru libovolný vektor v můžeme normovat tak, že výsledný vektor má normu (délku) jedna: u = v v Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 5 / 20
Skalární součin a úhel dvou vektorů Definice: Skalární součin dvou vektorů x y = x 1 y 1 + x 2 y 2 + + x n y n skalární součin je číslo (kladné, záporné nebo nula) pro skalární součin platí kde α je úhel, který svírají vektory x y = x y cos(α), skalární součin je roven 0 cos α = 0 α = 90 o nebo α = 270 o vektory jsou kolmé právě tehdy, když je skalární součin roven nule k vektoru (x 1, x 2 ) je kolmý vektor (x 2, x 1 ) skalární součin je asociativní, komutativní a pro sčítání a skalární součin platí distributivní zákon Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 6 / 20
matice jsou složeny ze stejně dimensionálních vektorů počet prvků matice je m n číslo a ij nazýváme prvkem matice; index i označuje číslo řádku (řádkový index); index j označuje číslo sloupce (sloupcový index). prvky se stejným řádkovým a sloupcovým indexem a ii nazveme diagonální prvky a jejich spojnici nazveme hlavní diagonálou matice A. Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 7 / 20 Matice Matice Matice je schéma složené z m n prvků (reálných, komplexních, celých čísel,... ), které jsou uspořádány do m řádů a n sloupců. A = a 11 a 12... a 1n.. a m1... a mn
Různé typy matic I Matice se nazývá čtvercovou maticí, pokud n = m, číslo n se nazývá řád matice. Nulová matice je matice A m n, jejíž všechny prvky jsou nulové, nulovou matici značíme O. Matice, která má na diagonále nenulové prvky a ostatní prvky nulové se nazývá diagonální matice. Trojúhelníková matice je matice, v níž jsou prvky po jedné straně hlavní diagonály rovny nule. Příklady trojúhelníkových matic: 1 0 0 0 5 6 0 0 4 2 8 0 3 4 1 a a 2 0 1 a 0 0 1 3 3 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 8 / 20
Různé typy matic II Čtvercová diagonální matice, která má diagonální prvky rovny jedničce, se nazývá jednotková matice a značí se I n nebo E n. 1 0 0 0 I 4 = 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 4 4 Čtvercová matice A = (a ij ) i,j=1...n se nazývá symetrická matice, pokud pro její prvky platí a i,j = a j,i. Vektory jsou speciální typy matic 1 v 1 = 2 2 0, v 2 = ( 1 2 0 ) 1 3 4 1 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 9 / 20
Operace s maticemi transponování matic: transponovat můžeme libovolnou matici sčítání a odčítání matic: se stejnými rozměry násobení matice reálným číslem: pro libovolnou matici násobení dvou matic: pokud mají příslušné rozměry Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 10 / 20
Transponování matic Transponovaná matice Necht je dána matice A = (a ij ) j=1...n i=1...m typu m n, pak matici s prvky (b ij = a ji ) nazveme transponovanou maticí k matici A a značíme ji A T. Transponovaná matice vznikne přehozením řádků a sloupců původní matice. ( ) 1 5 1 0 2 4 A = A T = 0 6 5 6 0 3 2 0 2 4 4 3 4 2 transponování mění rozměry matice (A T ) T = A (A + B) T = A T + B T Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 11 / 20
Sčítání a odčítání matic Sčítání matic Při sčítání dvou matic provádíme operaci sčítání prvek po prvku. Necht jsou dány dvě matice A, B stejných rozměrů, pak matici s prvky a i j + b i j nazveme součtem matic A a B. Značíme A + B. sčítat můžeme pouze matice stejných rozměrů ( 1 0 2 5 6 0 ) + ( 1 5 5 0 6 0 neutrální matice ve smyslu sčítání je nulová matice A + 0 = A + 0 = A sčítání je komutativní a asociativní A + B = B + A a (A + B) + C = A + (B + C) sčítání nemění rozměry matice ) = ( 1 + 1 0 + 5 2 + 5 5 + 0 6 + 6 0 + 0 ) Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 12 / 20
Násobení matice číslem Násobení matice číslem Při násobení matice číslem provádíme operaci násobení prvek po prvku. Pro prvky matice B = λ A platí b ij = (λ a ij ). ( ) ( 1 0 2 10 0 20 10 = 5 6 0 50 60 0 násobení matice číslem nemění rozměry matice r A + sa = (r + s) A distributivní zákon r (A + B) = r A + r B distributivní zákon (r A) T = r A T ) Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 13 / 20
Násobení dvou matic Násobení matic Necht matice A je matice s rozměry m n a matice B je matice s rozměry n p, pak součinem matic A B nazveme matici C s prvky c ij = n k=1 a ik b kj. Násobit lze pouze matice, kdy počet sloupců první matice je roven počtu řádků druhé matice. Výsledná matice C = A B má rozměry m p. Prvek c ij je skalární součin i tého řádku matice A a j tého sloupce matice B Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 14 / 20
a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 b 11 b 12 b 21 b 22 b 31 b 32 c 11 c 12 c 21 c 22 a 11 b 11 + a 12 b 21 + a 13 b 31 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 b 11 b 12 b 21 b 22 b 31 b 32 c 11 c 12 c 21 c 22 a 11 b 12 + a 12 b 22 + a 13 b 32 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 b 11 b 12 b 21 b 22 b 31 b 32 c 11 c 12 c 21 c 22 a 21 b 11 + a 22 b 21 + a 23 b 31 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 b 11 b 12 b 21 b 22 b 31 b 32 c 11 c 12 c 21 c 22 a 21 b 12 + a 22 b 22 + a 23 b 32 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 15 / 20
3 7 + 2 6 + 1 0 = 33 1 8 + ( 1) 1 + 0 1 = 7 7 8 6 1 0 1 3 2 1 0 8 5 1 1 0 0 0 1 33 27 48 13 1 7 0 1 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 16 / 20
Vlastnosti násobení matic POKUD NESOUHLASÍ ROZMĚRY MATIC, NELZE MATICE NÁSOBIT (! ) ( ) 3 2 1 7 8 1 = neexistuje 0 8 5 6 1 0 NÁSOBENÍ ( ) MATIC ( NENÍ) KOMUTATIVNÍ ( ) A B B A 1 0 1 3 1 3 = 2 1 1 0 3 6 ( 1 3 1 0 ) ( 1 0 2 1 ) = ( 7 3 1 0 ) Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 17 / 20
Další vlastnosti Pro násobení matic platí následující vztahy (předpokladem je, že matice A,B a C mají příslušné rozměry takové, že násobky matic existují): A (B C) = (A B) C asociativní zákon (A + B) C = A C + B C distributivní zákon (A B) T = B T A T!! A 0 = 0 A = 0 r(a B) = (r A) B A B = 0 A = 0 B = 0 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 18 / 20
Inverzní matice Inverzní matice Pokud ke čtvercové matici A existuje matice A 1 tak, že platí A A 1 = A 1 A = I, kde I je jednotková matice, pak matici A 1 nazýváme maticí inverzní k matici A. inverzní matice může a nemusí existovat matice, ke kterým existuje inverzní matice, nazýváme regulární matice, ke kterým neexistuje inverzní matice, nazýváme singulární pokud inverzní matice existuje, pak je dána jednoznačně (A 1 ) 1 = A (A B) 1 = B 1 A 1 (A T ) 1 = (A 1 ) T Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 19 / 20
A co příště... Použití maticového počtu pro řešení soustav lineárních rovnic... Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 20 / 20