4. Booleov lger Booleov lger yl nvržen v polovině 9. století mtemtikem Georgem Boolem, tehdy nikoliv k návrhu digitálníh ovodů, nýrž jko mtemtikou disiplínu k formuli logikého myšlení. Jko příkld použijeme tvrzení: Jestli ude pršet udou hrát hezký film, půjdu do kin. Tuto logikou formuli můžeme znázornit tulkou Bude pršet Zjímvý film Půjdu do kin Jedině poslední řádek tulky vyhovuje splnění podmínky úvodního tvrzení. Až v roe 938 Clude Shnnon - solvent MIT ve své diplomové prái popsl, jk je možné použít Booleovu lgeru k návrhu logikýh ovodů - sepnutý spínč - logiká nul - rozepnutý spínč - logiká jedničk Byl tk položen zákld k návrhu moderní digitální tehniky. Booleov lger používá proměnné, které mohou nývt hodnot neo, reprezentujíí výroky o prvdivosti neo neprvdivosti výrzu. Ke tvorě logikýh výrzů používá logikýh operátorů AND logiký součin, OR logiký součet NOT negi. Uvžujme logiké proměnné, y. Potom pro operi y OR je y rovno jenom v přípdě, že nejméně jedn z proměnnýh neo je rovn. Operi logikého součtu udeme dále znčit operátorem ritmetikého součtu y. Můžeme použít jinou funki, npř. y AND NOT, která znčí, že y je je-li. Tuto operi udeme zpisovt tkto: y Jk jsme již poznli, Booleov lger pruje s operátory logikého součinu AND, logikého součtu OR nege NOT. o Logiký součin AND nývá hodnoty, jestliže oě vstupní proměnné jsou, jk ukzuje tulk.
o Logiký součet OR poskytuje hodnotu tehdy, jestliže jedn neo oě vstupní proměnné jsou, viz. t.. o Nege NOT je rovn, jestliže proměnná je t.. y y y funke AND funke OR funke NOT & y y y Uvedené tulky se nzývjí prvdivostní tulky. V levé části oshují všehny komine vstupníh proměnnýh, v nšem přípdě,, které mohou nývt hodnot,,,. Pro negi pouze proměnná,. V prvé části je výstupní proměnná y, která nývá hodnot neo podle poždvků. Tkové tulky udeme sestvovt při návrhu digitálníh ovodů. Uvedené zákldní operátory Booleovy lgery znázorňujeme zákldními digitálními ovody logikými hrdly, jejihž symoly jsou znázorněny pod tulkmi. Uvedeme zákldní prvidl Booleovy lgery: Komuttivní zákon Distriutivní zákon rfinovné! Druhé prvidlo není zel zřejmé. Je možné je ověřit porovnáním oou strn rovnie pro všehny hodnoty,. Asoitivní zákon Prvidlo identity
Z prvidl je zřejmé, že při logikém součtu je nul neutrální. Pro konkrétní hodnoty pltí + = + =. Podoně neutrální je jedničk v logikém součinu, tedy. Nul v součtu jedničk v součinu neovlivní hodnotu logiké proměnné. Prvidlo doplňku Bez ohledu n konkrétní hodnoty jsou vzájemně negovné doplňkové. Proto je jedn z hodnot jedničková druhá nulová. Součet oou proměnnýh musí át tedy roven součin musí ýt roven. Ukžme si několik příkldů pro pliki dosvdníh prvidel. Příkld : Dokžte, že. Řešení: první distriutivní zákon umožní vytknout člen :, dále plikujeme prvidlo doplňku Pk je zřejmé, že prvidlo identity poskytne výsledek: Příkld 2: Zjednodušte výrz x x z. Řešení: použijeme druhý distriutivní zákon, který jsme oznčili rfinovný. Potom x x z x x x z, po použití prvidl prvního doplňku, dostneme x x z x z. Druhým prvidlem identity dostneme výsledek: x x z x z. Uvedeme dlší prvidl Booleovy lgery: Dominne nuly jedničky Toto prvidlo je zel zřejmé, jestliže nulou vynásoím logikou proměnnou neo skupinu logikýh proměnnýh, je výsledkem viz. npř. tulk funke AND. Pokud k logiké proměnné neo skupině logikýh proměnnýh přičteme je výsledkem viz. tulku funke OR.
Zákon sorpe Idempotent Lw, zákon shodnýh proměnnýh Prvidlo lze opět sndno dokázt, ude-li, pk + =, ude-li, pk. Zákon dvojí nege Prvidlo je nprosto zřejmé neudeme ho ni dokzovt. DeMorgnovy zákony Tyto zákony jsou důležité při konstruki logikýh ovodů pomoí logikýh členů NOR NAND. O zákony je možné formulovt slovně, nege součtu je rovná součinu negí jednotlivýh proměnnýh. Druhý zákon pk, nege součinu je rovná součtu negovnýh proměnnýh. Ověření pltnosti provedeme npř. tk, že pro první zákon je levá strn rovnie je rovn pokud AND jsou, tedy =. Podoně pro druhý zákon je prvá strn To nstne pokud lespoň jedn z proměnnýh =. De Morgnovy zákony názorný doplněk. To nstne tehdy, pokud oě proměnné je rovn, když =. OR je rovn nule, tedy. De Morgnův zákon - převádí negi součtu n součin negí Rovnie: Prvdivostní tulk y
Logiké ovody NOR 2. De Morgnův zákon převádí negi součinu n součet negí Rovnie: Prvdivostní tulk y Logiké ovody NAND
Zákony Booleovy lgery - shrnutí Zákon komuttivní Zákon distriutivní Zákon soitivní Identit Prvidlo doplňku Dominne nuly jedničky Zákon sorpe Zákon dvojí nege DeMorgnovy zákony
Uveďme několik dlšíh příkldů n použití zákonů Booleovy lgery: Příkld 3: Převeďte rovnii F d n sumu součinů. Řešení: Použijeme distriutivní zákon roznásoíme závorku d d d d Sumu součinů můžeme dále uprvit: Prvidlo doplňku použijeme při úprvě prvního členu d, druhý člen nelze uprvit, v třetím členu použijeme zákon sorpe, dostneme d. Funke F má potom tvr F d d d d Příkld 4: Dokžte, že výrz nemůže nikdy nývt hodnoty. Řešení: Použijeme distriutivní zákon roznásoíme závorky Použijeme prvidlo doplňku n členy, potom původní výrz Je nulový ez ohledu n hodnoty proměnnýh,. Příkld 5: Určete negovnou funki G k funki F. Řešení: Poždovná funke G F, použijeme De Morgnův zákon dostneme G. N první člen opět použijeme DeMorgnův zákon: G