Mtmtik II.. Mtod pr prts pro určité intgrály.. Mtod pr prts pro určité intgrály Cíl Sznámít s s použitím mtody pr prts při výpočtu určitých intgrálů. Zákldní typy intgrálů, ktré lz touto mtodou vypočítt jsou stjné, jko při výpočtu nurčitých intgrálů v kp... Přdpokládné znlosti Přdpokládám, ž znát princip mtody pr prts vít, pro ktré typy intgrálů j tto mtod vhodná. Přdpokládá s znlost pojmu určitý intgrál dovdnost počítt určité intgrály pomocí Nwtonovy Linizovy formul. Výkld Při výpočtu složitějších intgrálů používám i u určitých intgrálů mtodu pr prts sustituční mtodu. Při výpočtu určitých intgrálů z složitějších funkcí můžm postupovt v zásdě dvěm způsoy: Oddělím fázi nlzní primitivní funkc od fáz výpočtu určitého intgrálu. Njprv si nvšímám mzí počítám pouz nurčitý intgrál. Po vypočítání vyrm jdnu z nlzných primitivních funkcí (ovykl volím intgrční konstntu Nwtonovy Linizovy formul dosdím horní dolní mz. C = ) podl Noddělujm fázi výpočtu primitivní funkc od výpočtu určitého intgrálu. U mtody pr prts průěžně doszujm mz do již vypočtné části primitivní funkc, u sustituční mtody změním intgrční mz, jk uvidím v dlší kpitol. V dlším s změřím n druhou možnost výpočtu. Vět... Mjí-li funkc u ( ) v ( ) v intrvlu <, > spojité drivc u ( ) v ( ), pk pltí u ( ) v ( ) d= [ u ( ) v ( )] u ( ) v( d ). Důkz: Z spojitosti drivcí u ( ) v ( ) plyn, ž jsou spojité i funkc u ( ) v ( ) v intrvlu <, >. Potom udou spojité tdy intgrovtlné i součiny u ( ) v( ) u ( ) v ( ). - 5 -
Mtmtik II.. Mtod pr prts pro určité intgrály Podl věty.. ud intgrovtlná i funkc u ( ) v( ) + u( ) v ( ). K ní primitivní u ( ) v ( ) = u ( ) v ( ) + u ( ) v ( ). Podl Nwtonovy funkc j u ( ) v ( ), protož [ ] [ ] [ ] Linizovy formul pltí u ( ) v( ) + u( ) v ( ) d= u( ) v( ). Pomocí věty.. dostnm věty. u ( ) vd ( ) + u ( ) v ( d ) = [ u ( ) v ( )] po úprvě održím tvrzní Poznámk Prktické použití mtody pr prts j zcl nlogické jko v přípdě nurčitého intgrálu (kp..). Zjmén pltí návody, pro ktré funkc j mtod pr prts vhodná. Řšné úlohy Příkld... Vypočtět intgrál Řšní: sin d Přdvdm první způso výpočtu, kdy njprv nlznm primitivní funkci tprv potom dosdím mz: u = sin v= = sin d= = cos + cos d u = cos v = u = cos v= = = cos + sin sin d= cos + sin + cos C u = sin v = +. Použijm jdnu z primitivních funkcí pro C = dostnm sin d cos sin cos = + + = ( ( ) + + ( )) ( + + ) = =. Při druhém způsou výpočtu použijm větu..: u = sin v= sin d= = cos + cos d u = cos v = = - 6 -
Mtmtik II.. Mtod pr prts pro určité intgrály u = cos v= = = ( ) + [ sin ] sin d= + ( ) + [ cos ] u = sin v = = = + ( ) =. Výhod druhého způsou spočívá v tom, ž mz průěžně doszujm do částčně vypočtné primitivní funkc nmusím ji nustál opisovt ž do konc výpočtu. Výpočt s tím zkrátí zpřhldní. V dlších příkldch udm používt tnto způso výpočtu. Příkld... Vypočtět intgrál ( ) d. Řšní: u = v= ( ) d= = ( ) () d u = v = = u = v= = = ( ) ( ) + u v d= = = ( ) = + + = + =. Příkld... Vypočtět intgrál Řšní: u = v= ln ln d. ln d= = [ ln ] d ( ln ln) = [ ] = u = v = = ( ) ( ) =. Příkld... Vypočtět intgrál rctg d. Řšní: u = v= rctg d d= + rctg = = rctg u = v = + - 7 -
Mtmtik II.. Mtod pr prts pro určité intgrály + = ( ) = ( ) = rctg 8 8 + + d d [ ] = = ( ) =. 8 Příkld..5. Nlznět rkurntní formuli pro výpočt intgrálu Řšní: Pro n = j S Sn (sin ) n d =, n =,,,.... = d= pro Pro n mtodou pr prts dostnm: = sin = cos =. n = j S d [ ] n n n n u = sin v= (sin ) Sn = (sin ) d= = cos (sin ) + u = cos v = ( n)(sin ) cos n n ( n )(sin ) cos d [ ] ( n )(sin ) ( sin ) d= + = + n n S ) = ( n) (sin ) d (sin ) d = ( n)( S n n Z rovnic Sn = ( n)( Sn Sn ) sndno dostnm S n n n = Sn ( n ). Tto rkurntní formul nám umožní vypočítt uvdný intgrál pro liovolnou mocninu n. Npříkld: S = (sin ) d= S = =, S = (sin ) d= S = S = 6 =. - 8 -.
Mtmtik II.. Mtod pr prts pro určité intgrály Kontrolní otázky. Proč j intgrční mtod nzýván pr prts?. Jk s liší výpočt určitého intgrálu mtodou pr prts od použití této mtody v nurčitém intgrálu.. Jk y s podl věty.. vypočítl intgrál typu u ( ) v ( d )?. Jk volit funkc u ( ) v ( ) při výpočtu intgrálu 5. Jk volit funkc u ( ) v ( ) při výpočtu intgrálu 6. Jk volit funkc u ( ) v ( ) při výpočtu intgrálu sin d? ln d? ln d? 7. Jk volit funkc u ( ) v ( ) při výpočtu intgrálu sin d? 8. Vypočtět intgrál 9. Vypočtět intgrál d. ( )sind.. Odvoďt rkurntní formuli pro výpočt intgrálu Ln = (ln ) n d. Úlohy k smosttnému řšní. ) d) ln sin d ) d c) sin d d ) cos d f) ( + ) d - 9 -
Mtmtik II.. Mtod pr prts pro určité intgrály. ) d) ln d ) ( + ) rctgd ) lnd c) ln d f) rctg d ln d. ) d). ) 5. ) ln d ) rctg d c) rccos d ) ln ( + ) d f) sin d ) co s( ln ) d c) ln d rctg d sin ln d ) sin d f) cos d d) ( ) d ) sin ln d c) sin d d ( + ) Výsldky úloh k smosttnému řšní. ) ; ) ( ) 7 ) ln ; c) ) ln ; c) ; d) 9 + ; ) ; f).. ) ( ) 7 6 ; d) ; ) ( + ) ; f) ( ) ln ; c) ; d) + ; ) ln ; f) ) ( + ); c) ( + ) 5 5. ) + ln ; ) 6 ; c). 9 6 + ;.. ) + ; + ; ln.. ) 8 ; d) ( + ) ; ) ( ) ; f) ( ) 5 +. - -
Mtmtik II.. Mtod pr prts pro určité intgrály Kontrolní tst. Vypočtět intgrál ),. Vypočtět intgrál ( + )cos d. ), c), d). d. ) +, ), c) +, d) -.. Vypočtět intgrál sin d. ) ( ), ) ( ) +, c), d).. Čmu s rovná intgrál rctg d? ) ln, ) ln, 6 + c) + ln, d) 5. Čmu s rovná intgrál 6 d? sin ) ln, ) + ln, c) + ln, d) 6 6 6 6. Čmu s rovná intgrál ln( + ) d? ), ) +, c), d) +. 7. Vypočtět intgrál ln( + ) d. ), ) ln +, c) ln +, d) +. ln. 6 + ln. 6 - -
Mtmtik II.. Mtod pr prts pro určité intgrály 8. Vypočtět intgrál ), 9. Vypočtět intgrál rc cotg d. ) ( + ), c) ( ), d). ln d. ) ( 9 ), ) ( ) 9 +, c) ( 9 ), d) ( ) 9 +.. Odvoďt rkurntní vzorc pro výpočt intgrálu n + S =, S =, Sn = Sn n ) c). n S =, S=, Sn = Sn n Výsldky tstu Sn = cos d, n=,,,.... pro n, n + ) S =, S=, Sn = Snpro n n n, pro n, d) S =, S =, S n = S pro n n n.. );. c);. );. ); 5. c); 6. ); 7. ); 8. c); 9. d);. c). Průvodc studim Pokud jst správně odpověděli njméně v 8 přípdch, pokrčujt dlší kpitolou. V opčném přípdě j tř prostudovt kpitoly.. znovu. Shrnutí lkc Použití mtody pr prts v určitém intgrálu j zcl nlogické jko v přípdě nurčitého intgrálu. Typy intgrálů řšitlných mtodou pr prts jsou uvdny v kpitol.. Při výpočtu určitých intgrálů mtodou pr prts průěžně doszujm mz do částčně vypočtné primitivní funkc nmusím ji nustál opisovt ž do konc výpočtu. Výpočt s tím zkrátí zpřhldní. - -