Ustálená odezva harmonicky (polyharmonicky) buzených soustav Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc. Komplexní čísla Každémukomplexnímučíslu c=a+ib,kdei= jeimaginárníjednotka,přiřaďme jehoabsolutníhodnotu(modul) c = a + b aúhel ϕ,kterýsvírájehoobrazv Gaussově rovině s kladnou reálnou poloosou(tzv. argument). Na obr. je znázornění zavedených pojmů v Gaussově rovině. Zřejmě platí Im c b = Im c c ϕ a = Re c Re Obrázek : Atributy komplexního čísla Dále odtud plyne cos ϕ= a c =Re c, sin ϕ= b c c =Im c. c c=a+ib=rec+iim c= c cos ϕ+i c sin ϕ= c (cosϕ+isin ϕ). Z teorie funkcí komplexní proměnné je znám tzv. Eulerův vztah cos ϕ+isin ϕ=e iϕ, kde e=.788885... je základ přirozených logaritmů. Proto je c= c e iϕ. Toto vyjádření komplexního čísla je známo jako jeho exponenciální tvar.. Komplexní popis harmonických funkcí Mějme harmonickou funkci s kruhovou frekvencí ω tvaru a(t)=a c cos ωt+a s sin ωt. ()
Přiřaďme k této funkci tzv. komplexní amplitudu ā vztahem ā=a c ia s () a komplexní funkci(tzv. rotující fázor) a(t) vztahem a(t)=āe iωt. (3) Potom platí a(t)=a(t) iȧ(t) ω. (4) Proověřenítohototvrzenídosadímedo(3)zakomplexníamplituduz()azEulerova vztahu.protožei =,dostaneme ā(t)=(a c ia s )(cos ωt+isin ωt)=a c cos ωt ia s cos ωt+ia c sin ωt+a s sin ωt= Derivací() vznikne = a c cos ωt+a s sin ωt+i(a c sin ωt a s cos ωt). (5) ȧ(t)=ω( a c sin ωt+a s cos ωt). (6) Dosazením()a(6)do(5)vzniknevztah(4).Vztahjetímověřen. Poznámka:Zřejměje ā = a c+ a s= a.zapíšeme-likomplexníamplituduvexponenciálním tvaru máme ā=ae iϕ, kdecos ϕ= ac,sin ϕ= as.protožeje a a ā(t)=āeiωt = ae iϕ e iωt = ae i(ωt+ϕ),představuje rotující fázor komplexní číslo o absolutní hodnotě rovné reálné amplitudě, jež rotuje konstantní úhlovou rychlostí ω v Gaussově rovině(obr.). Průmět tohoto rotujícího fázoru do reálné osy dává reálnou harmonickou funkci a(t). Komplexní amplituda ā představuje v jediné veličině informaci jak o reálné amplitudě harmonické funkce, tak o fázovém posunutí této harmonické funkce při jejím zápisu v kosínovém tvaru. Potom totiž je Im a (t) ωt ϕ a a (t) Re Obrázek : Komplexní amplituda a rotující fázor harmonické funkce
a(t)=acos(ωt ϕ). (7) Zcela analogicky lze postupovat v případě vektorové harmonické funkce a(t)=a c cos ωt+a s sin ωt. (8) Zavedemeknítotižvektorkomplexníchamplitud ā=a c ia s akomplexnívektorovoufunkci(tzv.vektorrotujícíchfázorů) ā(t)=āe iωt,kde ā(t)=a(t) i ω da(t) dt. (9) 3. Ustálená odezva harmonicky buzené soustavy s více stupni volnosti v reálném oboru Uvažujme nyní harmonicky buzenou kmitající soustavu o pohybové rovnici M q(t)+b q(t)+kq(t)=f c cosωt+f s sin ωt, () kde Mjematicehmotnosti, Bmaticetlumení, Kmaticetuhosti, f c vektorkosinových amplitudbuzení,f s vektorsinovýchamplitudbuzeníaωbudícífrekvence.řešenírovnice ()lzepsátvetvaru q(t)=q h (t)+q p (t), kde q h (t)jeobecnéřešeníhomogennírovnice(snulovoupravoustranou)aq p (t)je jediné, odhadnuté, tzv. partikulární řešení příslušné maticové rovnice(). Homogenní řešení, závisející na počátečních podmínkách, se pro případ stabilních soustav(to jest soustav, jejichž všechna vlastní čísla mají zápornou reálnou část) se vzrůstající dobou provozu postupně utlumí. Pro takové soustavy totiž platí lim q t h(t)=, takže homogenní řešení se pro jakékoliv počáteční podmínky stane v dostatečně dlouhém čase neměřitelným. Partikulární řešení však zůstává a zatěžuje soustavu v libovolně dlouhém čase. Říkáme, že toto řešení popisuje ustálený stav soustavy. Vzhledem k tomu, že v přítomnosti tlumení nejsou vlastní čísla soustavy ryze imaginární, lze partikulární řešení(které od této chvíle už označujeme bez indexu) odhadovat jako harmonickou funkci s budící frekvencí ω, tedy jako Derivacemi získáme q(t)=q c cosωt+q s sin ωt. () q(t)=ω( q c sin ωt+q s cos ωt); q(t)= ω (q c cos ωt+q s sin ωt). Protože partikulární řešení musí rovnici() splňovat, dosadíme do ní předchozí výrazy, čímž vznikne vztah 3
ω Mq c cosωt ω Mq s sin ωt ωbq c sin ωt+ωbq s cos ωt+kq c cos ωt+kq s sin ωt= = f c cos ωt+f s sin ωt, jenžmábýtisplněnvlibovolnémčase.musíseprotorovnatkoeficientyjakucosωttak u sin ωt. Srovnáním těchto koeficientů získáme soustavu maticových rovnic tvaru (K ω M)q c + ωbq s = f c, () ωbq c +(K ω M)q s = f s. (3) Pokud je budící frekvence různá od všech vlastních frekvencí přidružené konzervativní soustavy, existuje inverzní matice apotomz()určíme Dosazením do(3) máme po dílčí úpravě T=(K ω M) q c = T(f c ωbq s ). (4) ωbtf c + ω BTBq s + T q s = f s. Pokudmatice ω BTB+ T jeregulární,vyplýváodtud q s =(ω BTB+ T ) (f s + ωbtf c ). (5) Přiznalosti q s potomz(4)určímeiq c,čímžjepartikulárnířešeníurčeno. 4. Ustálená odezva harmonicky buzené soustavy s více stupni volnosti v komplexním oboru Rychleji a efektivněji lze partikulární řešení určit převedením matematického modelu ()dokomplexníhotvaru.derivací()anásobenímkonstantou i ω (ijeimaginární jednotka) dostaneme M ( i ω ) ( d q(t) + B i dt ω ) ( d q(t) + K i dt ω ) dq(t) = i df(t). dt ω dt Sečtením této rovnice s rovnicí() dostaneme vzhledem k platnosti(9), že M q(t)+b q(t)+kq(t)=f(t), (6) kde q(t) je rotující fázor ustálené odezvy(partikulárního řešení()) a f(t) je rotující fázor buzení. Jestliže podle definice píšeme q(t)= qe iωt ; f(t)= fe iωt, kde qa fjsoupříslušnékomplexníamplitudy,dostanemederivováním(protožesymboly rotujícího fázoru a derivace lze zaměnit, jak se snadno přesvědčíme z definice) 4
a posléze dosazením do(6) vznikne q(t)=iωqe iωt ; q(t)= ω qe iωt ω Mqe iωt +iωbqe iωt + Kqe iωt = fe iωt. Tato rovnice musí být splněna v libovolném čase. Koeficienty u exponenciální funkce na obou stranách rovnice se proto musí rovnat. Odtud získáme výraz ( ω M+iωB+ K)q= f (7) udávající důležitý vztah mezi komplexní amplitudou buzení a ustálené odezvy soustavy. Komplexní matice Z(ω)=K ω M+iωB (8) se nazývá matice dynamické tuhosti soustavy. Její reálná i imaginární část závisí na budícífrekvenci ω.pro ω=je Z= K.Lzedokázat,žematice Z(ω)jeprolibovolné ω regulární. Matice k ní inverzní, tedy matice G(ω)=Z (ω)=(k ω M+iωB) (9) se nazývá matice dynamické poddajnosti nebo též matice frekvenčních přenosů soustavou. Násobíme-li(7) zleva maticí G(ω) získáváme Podle definice komplexní amplitudy zřejmě q= G(ω)f. () přičemž q(t)=q c cosωt+q s sin ωt, q c =Req; q s = Im q. Tím je úloha získání ustálené odezvy q(t) soustavy vyřešena. Poznámka: Jestliže je buzena pouze j tá souřadnice soustavy, např. funkcí f = =cos ωt(pro t ),je f=,...,,,,..., T,přičemžjedničkasenacházína j tém místě.podle(),jestližeoznačujeme G=g ij,jepotom q= q i =g ij ; i=,...,n, j=,...,n. Prvek g ij matice Gprotovyjadřujefrekvenčnípřenosmezi j toubuzenousouřadnicí a odezvou v místě i té zobecněné souřadnice. 5. Charakteristiky ustálené odezvy Komplexníamplituda q i i tézobecněnésouřadnicesoustavyjekomplexníčíslo,jehož modul vyjadřuje reálnou amplitudu ustálené odezvy a argument vyjadřuje fázové zpožděnípřikosínovémvyjádřeníharmonickéfunkce q i (t).obapopisovanéparametry závisejínabudícífrekvenci ω.závislost q i (ω) nazývámeamplitudovouchrakteristikou ustálené odezvy v i té zobecněné souřadnici(podle starého názvosloví amplitudo-frekvenční charakteristikou). 5
Závislost-arg q i (ω)nazývámefázovouchrakteristikouustálenéodezvyvi tézobecněné souřadnici(podle starého názvosloví amplitudo-fázovou charakteristikou). Obětytocharakteristikyjsoureálné.Zobrazíme-lipřímokomplexníamplitudu q i (ω)v Gaussově rovině se záporně orientovanou imaginární osou, obdržíme frekvenční chrakteristiku ustálené odezvy v i té zobecněné souřadnici(podle starého názvosloví amplitudo-fázo-frekvenční charakteristiku). V popisované Gaussově rovině získáme křivku, jež bude parametrizována budící frekvencí(pro každou frekvenci ω získáme obecně jiný bod této charakteristiky). Spojením tohoto bodu s počátkem Gaussovy roviny získáme úsečku, jejíž délka odpovídá reálné amplitudě ustálené odezvy na buzení příslušné frekvence. Pokud na obou osách Gaussovy roviny zvolíme stejné měřítko, odpovídá úhel sklonu ϕ této úsečky s kladně orientovanou reálnou poloosou argumentu ustálenéodezvyzobecněnésouřadnice q i (obr.3). Im q i q (ω ) i L (ω ) = q i (ω ) ϕ (ω ) i Re q i Obrázek 3: Frekvenční charakteristika 6. Ustálené odezva proporcionálně tlumené soustavy řešená modální metodou Uvažujme nyní proporcionálně tlumenou soustavu s pohybovou rovnicí(), kde B = = αm+ βkprovhodnékonstanty αaβ.víme,žezmíněnápohybovárovniceplatí pro případ harmonického partikulárního řešení i pro rotující fázory. Platí tedy rovnice (6). Provedeme-li modální analýzu přidružené konzervativní soustavy, tedy soustavy o pohybové rovnici M q(t)+kq(t)=, získámevlastnífrekvenceω i uloženédospektrálnímaticeλ=diagω iam normou znormovanévlastnívektory v i,uloženéposloupcíchdomodálnímatice V.Protuto maticitedyplatívztah V T MV = E n,kde E n jejednotkovámaticeřádu n.zdefiničního vztahu pro problém vlastních hodnot zapsaného pro všechny vlastní hodnoty najednoupotéplyne,že V T KV =Λ.Zproporcionalitymaticetlumenípakplyneexistencepoměrnýchútlumů D i >,žeplatí V T BV =diagd i Ω i.modálnítransformace rovnice(6) ve tvaru q(t)=vx(t) () dávápolevémnásobenímaticí V T přiuváženídiagonalizačníchvztahůvýše,žepro rotující fázory modálních souřadnic x(t) platí 6
E n ẍ(t)+diagd i Ω i ẋ(t)+diagω ix(t)=v T f(t). () Píšeme-li podle definice rotujícího fázoru při jeho derivování f(t)= fe iωt ; x(t)= xe iωt ; ẋ(t)=iω xe iωt ; ẍ(t)= ω xe iωt ; dosazenímdo()azkrácenímnenulovýmčleneme iωt získáme ( ω E n +diagω i+iωdiagd i Ω i ) x=v T f. Protože všechny matice na levé straně rovnice jsou diagonální, můžeme psát x=(diagω i ω +id i Ω i ω) V T f. Inverzní matice k diagonální matici s nenulovými prvky na diagonále zřejmě existuje, je rovněž diagonální s převrácenými hodnotami původních prvků na diagonále. Proto je x=diag V T f. (3) Ω i ω +id i Ω i ω Dosazenímdo()zdefinicerotujícíhofázoruzískámepozkráceníčiniteleme iωt,že dosazením z(3) vzniká finální výsledek q= V x. q= Vdiag V T f. (4) Ω i ω +id i Ω i ω Srovnáním s() získáme pro proporcionálně tlumené soustavy výraz G(ω)=Vdiag V T. (5) Ω i ω +id i Ω i ω Proprvek g jk (ω)maticedynamicképoddajnosti,tedyprofrekvenčnípřenosmezi k tou buzenou souřadnicí a ustálenou odezvou v místě j té zobecněné souřadnice, potom zřejmě platí g jk (ω)= n i= v ji v ki Ω i ω +id i Ω i ω. (6) Protože modální matice je reálná, dostáváme odtud pro netlumenou soustavu reálný přenos tvaru g jk (ω)= n i= v ji v ki Ω i ω. Bezohledunapořadíindexů ja kpřikonvergenci ωkω i rostezřejměabsolutníhodnota i tého sčítance nade všechny meze. Amplituda ustálené odezvy libovolné zobecněné souřadnice při libovolném harmonickém buzení tedy roste nade všechny meze. Jedná se o tzv. stavy rezonance, kterých je tolik, kolik má soustava stupňů volnosti. Poznámka: V případě nenulového(proporcionálního) tlumení je situace složitější. Korektně můžeme posoudit pouze chování jednotlivých(komplexních) sčítanců v(6). Jejich absolutní hodnota je zřejmě tvaru ji v ki v (Ω i ω ) +4Di Ωω.Chápeme-litentovýrazjako i 7
funkci budící frekvence ω, bude zřejmě maximální právě když je jmenovatel minimální. Protože argument odmocniny je kladný, stačí zkoumat minimum funkce γ(ω)=(ω i ω ) +4D iω iω. Nutnou podmínkou extrému je nulová první derivace. Řešíme tedy rovnici dγ dω =(Ω i ω )( ω)+8d iω iω=. (7) Vyloučíme nulovou budící frekvenci, takže krácením dostaneme ekvivalentní rovnici Ω i+ ω +D iω i= ω i = ±Ω i D i. (8) Fyzikální význam má samozřejmě jen řešení se znaménkem plus. Pod odmocninou musí být kladné číslo, takže D i > D i <. =.77. Protytopoměrnéútlumyjebudícífrekvence ω i v(8)stacionárnímbodemjmenovatele i tého sčítance(6). Že příslušný stacionární bod je skutečně minimem se přesvědčíme podle znaménka druhé derivace. Zřejmě d γ dω =43ω +Ω i(d i ), Minimum jmenovatele(6) má za postačující podmínku kladnost druhé derivace, ovšem ve stacionárním bodě. Protože podle(8) d γ dω (ω i)=43ω i( D i)+ω i(d i ), máme postačující podmínku maxima i tého sčítance(6) ve tvaru 3Ω i( D i)+ω i(d i ) > D i <. =.77. Pro tyto poměrné útlumy se vyvine maximum každého sčítance ve(6). Chování celéhovýrazu(6)vokolíbodůdanýchvýrazy(8)ovšemzávisínachováníiostatních sčítanců. Je proto závislé např. na hustotě spektra vlastních frekvencí i na hodnotách souřadnic příslušných vlastních vektorů. Je proto možné(a pro soustavy s větším počtem stupňů volnosti dokonce velmi pravděpodobné), že se v bodech(8) extrémy(6) vůbec nevyvinou. Příklad: Uvažujme soustavu tvaru oboustranně vetknutého přímého řetězce(např. podélněkmitajících)hmotpodleobrázku4,oparametrech m, m kg, k, k, k 3 N/ma b, b, b 3 Ns/m.Určímematicidynamicképoddajnosti(frekvenčníchpřenosů)soustavy aamplitudovéafrekvenčnícharakteristikyobousouřadnicpřibuzeníhmoty m funkcí cos ωt. Řešení:Uvažujeme-lijakozobecněnésouřadnicevýchylky q i hmotzestatickýchrovnovážných poloh, má matematický model soustavy zřejmě tvar soustavy diferenciálních rovnic M q(t)+b q(t)+kq(t)=f(t), 8
k k k 3 m m b b b3 Obrázek 4: Řetězec se dvěma stupni volnosti kdematicehmotnosti M,tlumení Batuhosti Kmajítvar M= m m b + b ; B= b b b + b 3 k + k ; K= k k k + k 3. Podle(8)promaticidynamickétuhosti Z(ω)=z jk (ω)platí Z(ω)= m ω + k + k +iω(b + b ) k iωb k iωb m ω + k 3 + k +iω(b 3 + b ) Inverzní matici pak určíme z definice jako Z (ω)=g(ω)=g jk (ω)= kdesohledemnasymetriimatice Z z (ω) z (ω) det Z(ω) z (ω) z (ω) det Z(ω)=z (ω)z (ω) z (ω). Vektor komplexních amplitud buzení je podle zadání reálný a má tvar Podle() potom což vzhledem k předchozím výrazům dává f T =,. q i (ω)=g i (ω),, q (ω)= k + k m ω +iω(b + b ) k + k m ω +iω(b + b )k 3 + k m ω +iω(b 3 + b ) (k +iωb ), q (ω)= k +iωb k + k m ω +iω(b + b )k 3 + k m ω +iω(b 3 + b ) (k +iωb ). Reálná část jmenovatele je zřejmě polynom čtvrtého stupně v proměnné ω a imaginární část je polynom třetího stupně. Absolutní hodnota jmenovatele se proto v okolí nekonečna (tedy pro velmi vysoké budící frekvence) chová jako polynom čtvrtého stupněvproměnné ω.reálnáčástčitatelevýrazu q (ω)jepolynomdruhéhostupně a imaginární část polynom prvního stupně v proměnné ω. Absolutní hodnota čitatele výrazu q (ω)seproto vokolínekonečna chovájakopolynomdruhéhostupně.reálná 9
částčitatelevýrazu q (ω)jekonstantaaimaginárníčástjepolynomprvníhostupněv proměnné ω. Proto se jeho absolutní hodnota v okolí nekonečna chová jako polynom prvního stupně. Odtud ihned plyne, že lim q (ω) = lim ω ω q (ω) =. Odezva na vysoké budící frekvence je tedy u obou souřadnic neměřitelná. Soustava na tak vysoké frekvence nestačí reagovat. Frekvenční charakteristika obou souřadnic modelu proto končí v počátku Gaussovy roviny. Amplitudová charakteristika má pak osu ω za asymptotu. Pro nulovou budící frekvenci(což odpovídá statické odezvě na jednotkovou sílu, jež působínahmotu m )zřejměplatí q ()= k + k (k + k )(k + k 3 ) k = k + k k k + k k 3 + k k 3 ; q ()= k k k + k k 3 + k k 3. Z těchto hodnot vycházejí frekvenční charakteristiky. Protože se jedná o hodnoty reálné, vycházejí frekvenční charakteristiky obou souřadnic z příslušných hodnot na reálné ose. Zároveň z těchto hodnot vycházejí i amplitudové charakteristiky. Měníme-li budící frekvence ω a vykreslíme-li v Gaussově rovině bod po bodu křivky q (ω)a q (ω),dostanemefrekvenčnícharakteristikyobousouřadnic.vykreslenímzávislostí q (ω) a q (ω) dostanemeamplitudovécharakteristikyobousouřadnic.pro číselnéhodnoty m = m =kg, k = k = k 3 = 4 N/m, b = b = b 3 = Ns/m jsou příslušné charakteristiky odezvy obou hmot uvedeny na obrázcích 5. a 6. Zobrázkůjepatrno,ževokolíbudícíchfrekvencí ω =rad/saω =7rad/s se vyskytují rezonanční stavy, vyznačující se extremálními amplitudami ustálené odezvy. V okolí těchto hodnot budící frekvence se silně mění i fázové zpoždění odezvy, jak se můžeme přesvědčit z frekvenčních charakteristik, při volbě ekvidistantního dělení v budící frekvenci(na obrázcích po 5rad/s). Zvedneme-li tlumení o řád(na Ns/m), pak příslušné charakteristiky jsou na obrázcích7.a8.jeznichpatrno,žerezonančnístavvokolíbudícífrekvence ω =7 rad/s se už nevyvinul. Rovněž změna fázového zpoždění v okolí první rezonance není zdaleka tak výrazná jako při malém tlumení, Poznámky:. Jestliže určíme vlastní frekvence přidružené konzervativní soustavy, vyřešíme frekvenční rovnici det( Ω M+ K)= m Ω + k + k k k m Ω + k + k 3 = = m m Ω 4 Ω m (k + k 3 )+m (k + k )+(k + k )(k + k 3 ) k =. Jedná se o bikvadratickou rovnici, pro naše číselné zadání tvaru Ω 4 4 4 Ω +3 8 = majícířešeníω = 4,Ω =3 4.Vlastnífrekvencesoustavymajítudížhodnoty Ω =rad/saω = 3. =73.rad/s,cožvelicedobřekoresponduje se získanými rezonančními stavy.
x 4 ta souradnice frekvencni charakteristika ω min = ω max =3 ω=5 4 3 Im 8 6 4 Re 4 6 8 x 4 6 x Amplitudova charakteristika b= b= b3= 4 5 amplituda odezvy 4 3 5 5 5 3 ω rad/s Obrázek 5: Charakteristiky odezvy-.souřadnice-nižší tlumení 5 x 4 ta souradnice frekvencni charakteristika ω min = ω max =3 ω=5 4 3 Im 6 4 4 6 8 Re x 4 6 x 4 Amplitudova charakteristika b= b= b3= 5 amplituda odezvy 4 3 5 5 5 3 ω rad/s Obrázek 6: Charakteristiky odezvy-.souřadnice-nižší tlumení. Protože soustava je lineární, stačí určovat charakteristiky pro jednotková buzení. Pro jakákoliv jiná buzení budou charakteristiky násobeny(ve všech bodech stejnou) konstantou a jejich kvalita tudíž zůstane zachovaná. 3. Pro měření fázového zpoždění odezvy přímo z frekvenční charakteristiky je potřeba měřítko reálné i imaginární osy Gaussovy roviny volit stejné.
4 x 5 ta souradnice frekvencni charakteristika ω min = ω max =3 ω=5 3 Im 6 4 4 6 Re x 5 5 x 5 Amplitudova charakteristika b= b= b3= amplituda odezvy 4 3 5 5 5 3 ω rad/s Obrázek 7: Charakteristiky odezvy-.souřadnice-vyšší tlumení 6 x 5 ta souradnice frekvencni charakteristika ω min = ω max =3 ω=5 5 4 Im 3 6 4 4 6 8 Re x 5 8 x 5 Amplitudova charakteristika b= b= b3= amplituda odezvy 6 4 5 5 5 3 ω rad/s Obrázek 8: Charakteristiky odezvy-.souřadnice-vyšší tlumení 7. Ustálená odezva na polyharmonické buzení Nechť budící funkce má tvar součtu konečného počtu p harmonických funkcí budících frekvencí ω,...,ω p.pohybovárovnicesoustavymápotomtvar
p M q(t)+b q(t)+kq(t)= (f ic cos ω i t+f is sin ω i t), (9) i= kde f ic a f is jsouvektorypořaděkosínovéasínovéamplitudy i téhosčítancebudící funkce. Ustálený stav soustavy popisuje opět partikulární řešení rovnice(9). Protože zmíněná soustava diferenciálních rovnic je lineární, platí pro její partikulární řešení principsuperpozice.nechť q i (t)jepartikulárnířešenísoustavy M q(t)+b q(t)+kq(t)=f ic cos ω i t+f is sin ω i t. (3) Potom partikulární řešení soustavy(9) má tvar p q(t)= q i (t). (3) i= Rovnice(3) má ovšem harmonickou pravou stranu, takže platí i pro rotující fázory q i (t).zavedeme-likomplexníamplitudy q i propartikulárnířešenía f i = f ic if is pro buzení, dostaneme podle předchozí kapitoly mezi nimi vztah q i =( Mω i+ K+iω i B) f i. (3) Označíme-li q ic =Re q i a q is = Im q i,pak(reálné)partikulárnířešení(3)mátvar q i (t)=q ic cos ω i t+q is sin ω i t a podle(3) partikulární řešení rovnice(9) potom je p q(t)= (q ic cos ω i t+q is sin ω i t). (33) i= Poznámka:Označíme-li q i = q (i) j n j=(njepočetstupňůvolnostisoustavy),pak q (i) j = = q (i) jc + q (i) js jereálnáamplituda j tésouřadnicepartikulárníhořešení q i (t).příslušná j tásouřadnice q j (t)vektoru(33)potomje kde ϕ (i) j p p q j (t)= (q jccosω (i) i t+q jssin (i) ω i t)= q (i) j cos(ω i t+ϕ (i) j ), i= i= jeargumentkomplexníamplitudy q (i) j. Obvykleseprovádějíhorníodhady q justálenéodezvy q j (t)nezávislénačase.protože platí cos(ω i t+ϕ (i) j ) prolibovolné i,ja t,odhadujeme p q j (t) = i= q (i) j cos(ω i t+ϕ (i) p j ) i= q (i) j cos(ω i t+ϕ (i) j ) p i= q (i) j =q j. (34) Tento odhad(součtem reálných amplitud jednotlivých partikulárních řešení) je skutečným horním odhadem platným pro libovolný čas t. Protože rotující fázory jednotlivých partikulárních řešení rotují různými úhlovými rychlostmi a startují v čase t = z různých fází, zřídkakdy se v jednom čase sejdou na stejném argumentu. Ovšem pouze v tomtopřípaděbyv(34)protentočasplatilaznaménkarovnosti.tojedůvod,pročse odhad q jjevívněkterýchpřípadechjakozbytečněkonzervativní(přílišvelký).zavádíme ještětzv.efektivní horní odhadˆq j jako 3
p ˆq j = q (i) j. (35) i= V matematice se dokazuje tzv. zobecněná trojúhelníková nerovnost platná pro libovolná komplexní čísla ve tvaru p q (i) j i= p i= q (i) j,. Podle(34)a(35)jeˆq j q j,atudíž(35)nemusíbýtskutečnýmhornímodhademodezvy. Můžetedyexistovatčas,vněmžustálenáodezva q j (t)budevětšínež horníodhad ˆq j. Pokudzkoumámeodezvunaomezenémčasovémintervaluabudícífrekvence ω i mají vysokýnejmenšíspolečnýnásobek,tentopřípadnenastaneaˆq j jeméněkonzervativním hornímodhademodezvy q j (t). 8. Ustálená odezva na periodické buzení Jestližeprofunkci f(t)existujekladnéčíslo T,žeplatí f(t)=f(t+ T)prolibovolný čas t,říkáme,žefunkce fjeperiodickáanejmenšízčísel Tnazvemejejíperiodou. Nechťvšechnyfunkce f j (t)vevektorupravýchstran f(t)vpohybovérovnicijsou funkcemi s toutéž periodou T. Jsou-li tyto funkce rozumné (například na intervalu délky periody po částech spojité a monotónní), lze je rozvinout ve Fourierovu řadu, jež konverguje k dané funkci v bodech její spojitosti. Pohybovou rovnici lze tedy psát ve tvaru M q(t)+b q(t)+kq(t)= (f jc cos jωt+f js sin jωt)= j= = f + (f jc cos jωt+f js sin jωt), (36) j= kde ω je tzv. základní budící frekvence, jež souvisí s periodou T pravých stran pohybové rovnice vztahem ω= π T. (37) Vektory f, f jc a f js jsoutzv.vektoryfourierovýchkoeficientů,prokteréplatí f = T T f(t)dt; f jc = T T T f(t)cos jωtdt; f js = f(t)sin jωtdt; j=,,.... (38) T Označme q (konstantnívektor)partikulárnířešenírovnice a q j (t)partikulárnířešenírovnice M q(t)+b q(t)+kq(t)=f (39) M q(t)+b q(t)+kq(t)=f jc cos jωt+f js sin jωt. (4) 4
Vzhledem k platnosti principu superpozice je p p q(t)=q + q j (t)= q j (t) (4) j= j= partikulárním řešením rovnice(36), ve které na pravé straně stojí prvních p sčítanců. Z matematiky víme, že pokud nekonečná funkcionální řada q j (t)konvergujestejnoměrně, lze(4) rozšířit limitním přechodem p i na partikulární řešení rovnice(36).definujeme-likomplexníamplitudy f j = f jc if js projednotlivábuzenía q j = q jc iq js propříslušnápartikulárnířešenírovnice(4),platímezinimi,stejně jako v předchozí kapitole, vztah q j =( j ω M+ K+ijωB) fj, (4) přičemžneindexovéiznačíimaginárníjednotku.označíme-li q jc =Re q j a q js = = Im q j,dostávámepodle(4) j= p q(t)=q + (q jc cos jωt+q js sin jωt). j= V případě stejnoměrné konvergence řady vpravo pro p lze tento limitní přechod provést a vyjádřit tak partikulární řešení(36) jako q(t)=k f + (q jc cos jωt+q js sin jωt), (43) j= kde q = K f jepartikulárnířešenírovnice(39)ajednotlivékomplexníamplitudy partikulárních řešení rovnic(4) jsou určeny v(4). Poznámka:Funkcecos jωtisin jωtmajízřejměperiodu T j.chovajíseprotoperiodicky ivzhledemkperiodě T.Vzhledemkdefiniciperiodypotomlzemezevintegrálech(38) shodněposunoutolibovolnéposunutí.posunutímo T získámevýrazyanalogickék(38), vnichžsebudeintegrovatpřessymetrickýinterval( T ; T ).Licháfunkceintegrovaná přes symetrický interval zřejmě dává jako výsledek nulu. Protože součin sudé a liché funkcejefunkcelicháaprotožecos jωtjeprokaždé jfunkcesudáasin jωtjepro každé j funkce lichá, dostáváme následující tvrzení: Je-li souřadnice vektoru pravých stran f(t) funkce lichá, jsou její kosínové Fourierovy koeficienty nulové. Je-li tato funkce naopak sudá, jsou její sínové Fourierovy koeficienty nulové. Příklad:Nechťnahmotu m soustavypodleobr.4působíperiodickyproměnnásílas periodou T =3s,kteránaintervalu( T ; T )máprůběh F(t)=t (obr.9).určíme ustálenouodezvusoustavyproparametry m = m =kg, k = k = k 3 = 4 N/m a b = b = b 3 =Ns/mnapopsanébuzení. Řešení: Podle(38) určíme nejprve příslušné Fourierovy koeficienty k funkci F(t). Použijeme přitom posunutí mezí o polovinu periody. Pro konstantní složku platí F = T T T t dt= t3 3T Protožebudícífunkcejesudá,je F js =provšechna j.dáleje 5 T T = T. (44)
4 perioda=3 s 3 F(t) 3 4 5 6 cas t s Obrázek 9: Průběh periodické funkce buzení F jc = T T T t cos jπ T tdt. Dvojí aplikací integrace per partes(vždy derivujeme polynom a integrujeme harmonickou funkci) dostaneme F jc = T Tt jπ sinjπ T t+ T t 4j π cosjπ T t T3 8j 3 π 3sinjπ T t T T. První a třetí sčítanec v obou mezích vymizí(sínus přirozeného násobku π), takže je F jc = T T ( T j π + T )cos jπ= ( )j T j π, (45) protože kosínus sudého násobku π je jedna a lichého násobku π pak mínus jedna. Vzhledem k tomu, že budící funkce F(t) je všude spojitá, konverguje Fourierova řada tvaru F + F jc cos jωt=t j= + ( ) j cosπj t π j= j T ve všech bodech k této funkci. Její částečné součty pro různý počet sčítanců jsou uvedeny na obr.. Z obrázku je patrno, že pro dobré nasimulování hrotů grafu(bodů, v nichž neexistuje derivace) je potřeba větší počet sčítanců. Pro vyjádření konstantního členu ustálené odezvy invertujeme podle definice matici k + k tuhosti K= k soustavy. Dostaneme k k + k 3 K k3 + k = k. (46) k k + k k 3 + k k 3 k k + k Protožebudícísílapůsobínahmotu m,mávektorbuzenítvar 6
soucet n scitancu Fourierovy rady periodicke funkce t=. n= n=5 n= n=.5 F(t) N.5 3 4 cas t s Obrázek : Částečné součty Fourierovy řady periodické funkce z obr.9 f(t)=f(t) Podle(43),(44) a(46) pro konstantní vektor ustálené odezvy platí q = K f = F K = = T (k k + k k 3 + k k 3 ). F k k + k k 3 + k k 3 k k + k k k + k =. (47) Jednotlivé sčítance ve Fourierově řadě(43) jsou partikulárními řešeními rovnice M q j (t)+b q j (t)+kq j (t)=f jc cosπj t T. Přechodemkekomplexnímfunkcímdostanememezikomplexníamplitudou q j partiku- lárníhořešeníakomplexníamplitudou f j = F jc buzení podle(4) vztah q j = G(j,T)F jc = ( M 4π j + K+iB πj ) F T jc T. Matice dynamické poddajnosti G(jω)=G(j,T)=g kl (j,t) jeurčenavpříkladěnastraně8(stejnásoustavavobouúlohách).platítedypro ω= πj T 7
q () j (ω)=f jc k + k m ω +iω(b + b ) k + k m ω +iω(b + b )k 3 + k m ω +iω(b 3 + b ) (k +iωb ), (48) q () k +iωb j (ω)=f jc k + k m ω +iω(b + b )k 3 + k m ω +iω(b 3 + b ) (k +iωb ), (49) kdejsmeoznačili q j = q (i) j pro i =, (souřadnice komplexní amplitudy partikulárního řešení s j tým sčítancem Fourierovy řady buzení). Jestliže píšeme je q(t)=q + q (i) j j= =Re q (i) j Re q () j Re q () j +iim q (i) j, cos πj t T Im q() j sin πj t T cos πj t T Im q() j sin πj t T funkcionální řada, která(pokud konverguje stejnoměrně) konverguje k partikulárnímu řešení pohybové rovnice soustavy s popsanou periodickou pravou stranou, jež vyjadřuje příslušnou ustálenou odezvu soustavy na definované periodické buzení. Ve finálním vztahu(5)jekonstantnívektor q dánv(47),komplexníamplitudy j téhosčítance řadyprojednotlivésouřadnice ijsoudányv(48)a(49),kde ω = πj a Fourierovy T koeficienty F jc jsoupodle(45). (5).8 x 4.6 soucet 5 ti scitancu Fourierovy rady odezvy srovnani souradnic.hmota.hmota.4. q i (t) m.8.6.4. 3 4 cas t s Obrázek : Součet 5-ti sčítanců Fourierových řad odezev Srovnání obou souřadnic vektoru q(t) je pro částečný součet 5-ti sčítanců uvedeny na obr.. Na obr.. je uvedeno srovnání částečných součtů různého počtu sčítanců pro druhouhmotumodelu.protožezákladnífrekvenceprodanouperioduje ω= π. =. 3 8
.8 x 4.6 soucet n scitancu Fourierovy rady odezvy srovnani poctu scitancu n= n=5 n= n=5.4. q (t) m.8.6.4. 3 4 cas t s Obrázek : Částečné součty Fourierovy řady odezvy druhé hmoty rad/s, tedy silně v podrezonanční oblasti, nejsou kmity v uvedeném měřítku na grafu vůbec patrné. Jestliže zvolíme periodu T =.s, čemuž odpovídá základní frekvence ω = 3.4rad/s, tedy blíže k první rezonanci, jest situace jiná. Kmity ovíjející tvar budící funkce jsou pak zřetelné, jak je vidět na obrázku 3. 6.73 x 5 soucet 5 scitancu Fourierovy rady odezvy pro periodu T=. s 6.7 6.7 6.7 6.69 q (t) m 6.68 6.67 6.66 6.65 6.64 6.63..5.5..5..5.3 cas t s Obrázek 3: Součet 5-ti sčítanců Fourierovy řady odezvy. hmoty- perioda T=.s Poznámka: Slušelo by se ještě ověřit, zda řada v(5) skutečně konverguje stejnoměrně na libovolném časovém intervalu. Ověříme to konstrukcí konvergentní číselné majoranty k řadám, vyjadřujícím jednotlivé souřadnice vektoru q(t) v(5). Uvedené řady lze zřejmě 9
přepsat do tvaru (ϕ (i) j j= q() j q () j cos ( ) πj T t+ϕ() j ) cos ( πj T t+ϕ() j jsou fázové posuny dané argumenty příslušných komplexních amplitud). Vzhledem k omezenosti harmonických funkcí na každém časovém intervalu v absolutní hodnotě jedničkou, jsou číselné majoranty k funkcionálním řadám v(5) tvaru j= q (i) j, i=,. Zbývádokázatjejichkonvergenci.Protože ω= πj,vyplývázrozboruvpříkladěna T straně8,že q () j seprodostatečněvelká jchovájako j a q () j dokoncejako j 3.Dále podle(45)existujekonstanta A,že F jc A.Odtudihnedplyneexistencekonstant B j a C,žeprodostatečněvelká j q () j B j 5a q() j C j. 4 Z matematiky víme, že řada j= j konvergujeprovšechna α >.Řady q (i) α j tedy j= tvoří konvergentní majoranty a(5) skutečně konverguje k parikulárnímu řešení pohybové rovnice s periodickou pravou stranou.