5.1 ČÍM JE ZPŮSOBENO ZRYCHLENÍ?

5 SÌl pohyb I Vöude n svïtï mjì lidè v oblibï soutïûe rekordy. Snd proto, by se p esvïdëili, ûe hrnice lidsk ch moûnostì lze neust le posouvt. A tk se tu tm dovìd me o nejr znïjöìch neobvykl ch v konech, vëetnï neuvï iteln ch sil ck ch kousk. Jeden z nich p edvedl 4. dubn 1974 belgick sil k John Mssis, kdyû se mu pod ilo posunout dv osobnì vgony newyorskè ûelezniënì spoleënosti Long Islnd: zuby stiskl n stek p ipevnïn k lnu, n nïmû byly vgony uv z ny, zp el se chodidly do prûc zklonil se. Vozy v ûily kolem osmdes ti tun. Npdne n s, ûe Mssis urëitï musel vyvinout ndlidskou sìlu, by je uvedl do pohybu! Je tomu tk skuteënï?

5.2 PRVNÍ NEWTONŮV ZÁKON 89 5.1 ČÍM JE ZPŮSOBENO ZRYCHLENÍ? Pozorujeme-li, že rychlost nějkého mlého tělísk mění svou velikost nebo směr, můžeme si být jisti, že něco muselo tuto změnu (toto zrychlení) způsobit. Z běžné zkušenosti totiž víme, že změn rychlosti těles je způsoben jeho interkcí s okolními objekty. Pozorujeme-li npříkld hokejový kotouč, který klouže po ledové ploše náhle se zství či náhle změní směr, usuzujeme, že určitě nrzil do nějkého hrbolku n ledovém povrchu. Zrychlení tělísk je způsobeno jeho interkcí (vzájemným působením) s okolními objekty. Kvntittivně ji popisujeme fyzikální veličinou,kterou nzýváme síl.sndnosi dokážeme předstvit, že některý z okolních objektů působí n tělísko npříkld silou tlkovou nebo thovou.* Úder povrchové nerovnosti do hokejového kotouče lze npříkld popst jko tlkové působení, které je příčinou zrychlení kotouče. Tto kpitol je věnován diskusi o vzthu mezi zrychlením silmi, které je způsobují. Jko první jej pochopil Isc Newton (1642 1727).Teorii zloženou n jeho způsobu prezentce tohoto vzthu nzýváme newtonovskou mechnikou. Newtonovská mechnik není použitelná v kždé situci. O jednom omezení její pltnosti už víme: v kp. 4 jsme se zmínili o přípdech, kdy rychlosti intergujících těles nejsou znedbtelné ve srovnání s rychlostí světl. Tehdy musíme nhrdit newtonovskou mechniku Einsteinovou speciální teorií reltivity, pltnou pro všechny rychlosti, včetně rychlostí blízkých rychlosti světl. Druhé omezení souvisí přímo s povhou smotné fyzikální soustvy. Náleží-li intergující objekty do oblsti mikrosvět (npříkld elektrony v tomu), je třeb změnit newtonovskou mechniku mechnikou kvntovou. Fyzikové dnes chápou newtonovskou mechniku jko speciální přípd těchto obecnějších teorií. Jedná se všk o přípd velmi význmný, nebo je použitelný pro studium pohybu těles v obrovském rozshu jejich velikostí, od objektů velmi mlých, téměř n hrnici tomové struktury, ž k objektům stronomickým, jko jsou glie či jejich kupy. Zmyslíme se nyní nd prvním pohybovým zákonem newtonovské mechniky. 5.2 PRVNÍ NEWTONŮV ZÁKON Před tím, než Newton formulovl svoji mechniku, pnovl názor, že jkési působení, tj. síl, je nezbytné pro udržení * Síl vyjdřuje vzájemné působení objektů. Při přesném vyjdřování bychom tedy měli hovořit o silách, kterými n sledovné tělísko T působí okolní objekty A, B td. Někdy všk budeme stručně říkt, že n tělísko působí síly, niž se stráme o jejich původ. těles v pohybu se stálou rychlostí. Klid byl povžován z přirozený stv těles. Aby se těleso pohybovlo stálou rychlostí, mělo by být nějk poháněno, třeb tlkem či them. Jink by se přirozeně zstvilo. Tkové úvhy se zdjí být rozumné. Uvedeme-li npříkld knihu do klouzvého pohybu po dřevěné podlze, bude se skutečně zpomlovt nkonec se zství. Hodláme-li docílit toho, by po podlze klouzl stálou rychlostí, měli bychom ji neustále tlčit či táhnout. Po ledové ploše by ovšem knih dorzil o něco dále. Lze si předstvovt stále delší kluzčí plochy, po nichž by knih klouzl do větší větší vzdálenosti, než by se zstvil. V limitě můžeme uvžovt o dlouhé, etrémně kluzké ploše, kterou budeme nzývt dokonle hldká podložk. Při pohybu po ní se knih tkřk nezpomluje. (Tkovou situci lze připrvit v lbortoři, máme-li k dispozici vodorovnou vzduchovou lvici, podél níž se knih pohybuje n vzduchovém polštáři.) Dospěli jsme k závěru, že k udržení stálé rychlosti pohybu těles nepotřebujeme sílu. Dokážeme si jistě uvědomit, že ni k udržení rotčního pohybu těles, které bylo jednou roztočeno kolem nějké vhodně zvolené osy, nepotřebujeme v ideálním přípdě žádné silové působení. Stčí si předstvit setrvčník. Proztím všk nebudeme dlší výkld tímto způsobem komplikovt, i když tím původní Newtonovu formulci jeho mechniky poněkud ochudíme. Abychom utomticky vyloučili úvhy o otáčivém pohybu, budeme prcovt výhrdně s modelem hmotného bodu neboli částice, který jsme zvedli již v kp. 2, i když někdy, zejmén v úlohách, budeme hovořit o tělese nebo konkrétním objektu. Částici, n kterou její okolí nepůsobí, nzveme volnou. Volná částice je smozřejmě opět jedním z idelizovných modelů, který všk vystihuje celou řdu reálných situcí ve velmi dobrém přiblížení. Jko volná se částice chová npříkld tehdy, nelze-li vliv jednotlivých okolních objektů n její pohyb zjistit v rámci přesnosti prováděných měření,nebo se vlivy okolních objektů nějkým způsobem kompenzují. Dospíváme k formulci prvního ze tří Newtonových pohybových zákonů. První Newtonův zákon: Je-li volná částice v klidu vzhledem ke vhodně zvolené vztžné soustvě, pk v něm setrvá. Pohybuje-li se stálou rychlostí, bude v tomto pohybu neustále pokrčovt. Tento zákon dobře zpdá do úvh v čl. 4.8 o vztžných soustvách, jejichž vzájemná rychlost je konstntní. Bude-li volná částice v jedné z nich v klidu, bude se vůči druhé pohybovt stálou rychlostí. Klid částic nebo vztž-

90 KAPITOLA 5 SÍLA A POHYB I ných soustv se tedy nijk neliší od rovnoměrného přímočrého pohybu. První Newtonův zákon lze interpretovt i tk, že zručuje eistenci preferovných vztžných soustv, v nichž pltí zákony newtonovské mechniky. Tyto soustvy se vyznčují tím, že v nich jsou volné částice v klidu nebo se pohybují stálou rychlostí. Rychlost vzájemného pohybu tkových soustv je tedy rovněž konstntní. Z uvedeného hledisk lze první Newtonův zákon vyjádřit tkto: První Newtonův zákon: S kždou volnou částicí lze spojit vztžnou soustvu, v níž jsou osttní volné částice v klidu, nebo se vůči ní pohybují stálou rychlostí. Newton sám se k formulcím svého prvého zákon vrcel řdu let. V jeho díle jich dokážeme vystopovt celkem devět, lišících se zejmén výstižností. Žádná z nich, stejně jko formulce dlších Newtonových zákonů, všk neobshuje výslovnou informci o tom, k jké vztžné soustvě se váže. Všechny totiž předpokládjí bsolutní prostor bsolutní čs, nezávislé n jkýchkoli objektech. Již z Glileiových pokusů všk vyplynulo, že zákony mechniky jsou stejné ve všech vztžných soustvách pohybujících se nvzájem rovnoměrně přímočře, neumožňují tedy bsolutní prostor čs zjistit. V dnešním pojetí newtonovské mechniky proto interpretujeme první Newtonův zákon jko iom zručující eistenci preferovných vztžných soustv, soustv inerciálních. Prvnímu Newtonovu zákonu se někdy říká zákon setrvčnosti. Vztžné soustvy, které definuje, se nzývjí inerciální vztžné soustvy nebo jednoduše inerciální soustvy*. Obr. 5.1 ukzuje, jk lze zjistit, zd dná vztžná soustv je inerciální. V železničním vgonu, který je v klidu vůči nástupišti, nkreslíme n stůl znčku pod rovnovážnou polohu kyvdl. Při pohybu vgonu zůstává tělísko kyv- dl neustále nd znčkou jedině tehdy, je-li pohyb vgonu rovnoměrný přímočrý. Pk je vgon inerciální soustvou. ;;;;;;; ;;;;;;; Obr. 5.1 Ověření inerciálnosti vztžné soustvy spojené s železničním vgonem. Jestliže se vgon urychluje, zpomluje či ztáčí, uhýbá tělísko od znčky. Vůz je v tkovém přípdě neinerciální vztžnou soustvou. 5.3 SÍLA Síl způsobuje zrychlení těles. Jednotku síly nyní definujeme prostřednictvím zrychlení, kterésíl uděluje stndrdnímu referenčnímutělesu. Jko referenční těleso použijeme (spíše v předstvě nežli ve skutečnosti) stndrdní kilogrm z obr. 1.6. Toto těleso určuje definitoricky přesně hmotnost jednoho kilogrmu. Položíme stndrdní těleso n vodorovný, dokonle hldký stůl táhneme je vprvo (obr. 5.2). Když dosáhneme měřeného zrychlení o velikosti 1 m s 2, definujeme velikost síly, kterou n těleso působíme, jko 1 newton (zkráceně N). F * Inerciální vztžná soustv, stejně jko volná částice, jsou smozřejmě pouze idelizovné modely. Vesmírná těles, npříkld hvězdy, všk lze z volné částice povžovt s velmi dobrou přesností, nebo jejich vzájemné grvitční působení je znedbtelné díky obrovským vzdálenostem mezi nimi. (Čtenář si může provést odhd velikosti grvitční síly, jíž n sebe působí npříkld Slunce nejbližší hvězd Proim v souhvězdí Kentur.) Vztžné soustvy spojené s tkovými tělesy jsou pk v rámci této přesnosti inerciální. Čsto používáme inerciální soustvu spojenou se Sluncem, zvnou Glileiov. Vní umís ujeme počátek soustvy souřdnic do těžiště sluneční soustvy, souřdnicové osy jsou nmířeny k vybrným hvězdám. Při studiu pohybů v pozemských podmínkách je ovšem výhodné spojovt vztžnou soustvu přímo s pozemskou lbortoří,tj. povrchem Země v dném místě. Tto soustv všk vlivem pohybu Země kolem Slunce zejmén vlivem její vlstní rotce není inerciální (odhdněte velikosti příslušných zrychlení). Pokud všk neprovádíme velmi přesná měření, lze i s touto vztžnou soustvou, kterou nzýváme lbortorní, prcovt jko s inerciální. Obr. 5.2 Síl F působí n stndrdní kilogrm udílí mu zrychlení. Můžeme tké n stndrdní těleso působit silou 2 N měřené zrychlení bude mít velikost 2 m s 2 td. Obecně, má-li nše stndrdní těleso o hmotnosti 1 kg zrychlení o velikosti, víme, že n ně musí působit síl, jejíž velikost F (v newtonech) je číselně rovn velikosti zrychlení (v metrech z sekundu n druhou). Velikost síly lze tedy měřit prostřednictvím velikosti zrychlení, které síl způsobuje. Zrychlení je všk vektorovou veličinou, chrkterizovnoujk velikostí, tk směrem. Je síl rovněž vektorovouveličinou? Síle můžeme přisoudit

5.4HMOTNOST 91 směr velmi sndno, totiž shodně se směrem zrychlení. To všk nestčí. Vektorový chrkter sil musíme ověřit eperimentem. Výsledek splňuje očekávání: síly jsou skutečně vektorové veličiny. Mjí směr i velikost skládjí se podle prvidel pro sčítání vektorů, uvedených v kp. 3. Pro oznčení sil budeme tedy používt tučných symbolů, nejčstěji F. Symbol F užijeme pro oznčení vektorového součtu několik sil, který nzveme výslednou silou neboli výslednicí. Jko kždý vektor lze i jednotlivé síly či výslednici promítt do souřdnicových os určovt jejich složky. Nkonec poznmenejme, že první Newtonův zákon pltí nejen v přípdech, kdy n těleso nepůsobí žádné síly, le i tehdy, když síly sice působí, le jejich výslednice je nulová. K ONTROLA 1: Dvě kolmé síly F 1 F 2 n obrázku jsou kombinovány šesti různými způsoby. Které z nich správně určují výslednici F? Nyní budeme působit toutéž silou n jiné těleso, řekněme těleso X, jehož hmotnost není znám. (Je třeb se při tom nějkým způsobem ujistit, i když to může být obtížné, že působící síl je skutečně táž jko v prvním pokusu.) Předpokládejme, že jsme u těles X nměřili zrychlení 0,25 m s 2. Víme, že méně hmotný fotblový míč získá působením téže síly (při výkopu) větší zrychlení než hmotnější medicinbl. Můžeme tedy vyslovit následující hypotézu: hmotnosti dvou těles jsou v obráceném poměru velikostí jejich zrychlení, působí-li n obě těles stejná síl. Pro těleso X stndrdní těleso to znmená, že pltí Pk m X m 0 = 0 X. m X = m 0 0 X = (1,0kg) (1,0m s 2 ) (0,25 m s 2 ) = 4,0kg. F 1 F 1 F 2 F 2 F 2 () (b) (c) F 1 Nše hypotéz bude ovšem užitečná jedině tehdy, bude-li pltit pro libovolnou velikost působící síly. Budeme-li npříkld působit n stndrdní těleso silou o velikosti 8,0 N, nměříme zrychlení 8,0 m s 2. Bude-li tto síl působit n těleso X, udělí mu zrychlení o velikosti 2 m s 2. Nše hypotéz pk vede k výsledku F 1 F 2 F 1 (d) (e) (f ) F 2 F 1 5.4 HMOTNOST Kždodennízkušenostnámukzuje,žejedn táž síl uděluje různým tělesům různá zrychlení. Předstvme si, že n podlhu položíme fotblový míč stejně velký medicinbl, vycpný látkou, do obou prudce kopneme. Aniž bychom museli tkový pokus uskutečnit, víme, jk dopdne: lehký fotblový míč získá výrzně větší zrychlení než těžký medicinbl. Zrychlení obou těles jsou různá proto, že se liší jejich hmotnosti. Avšk co je to přesně hmotnost? Měření hmotnosti vyložíme pomocí série myšlenkových eperimentů. V prvním z nich budeme působit silou n stndrdní těleso, jehož hmotnost m 0 byl definován jko 1,0 kg. Předpokládejme, že velikost zrychlení stndrdního těles je 1,0 m s 2. Pk můžeme říci, že n těleso působí síl o velikosti 1,0 N. F 2 m X = m 0 0 X = (1,0kg) (8,0m s 2 ) (2,0m s 2 ) = 4,0kg, který souhlsí s eperimentem. Četné dlší eperimenty potvrzují, že vyslovená hypotéz umožňuje jednoznčně spolehlivě přisoudit kždému tělesu jeho hmotnost. Eperimenty tké ukzují, že hmotnost je vlstní chrkteristikou těles, tj. tkovou, která je utomticky dán smotnou eistencí těles. Plyne z nich i to, že hmotnost je sklární veličin. Zůstává všk stále neodbytná otázk: Co je to přesně hmotnost? Slov hmotnost, hmot se v běžné řeči hojně užívjí. O hmotnosti má proto jistě kždý intuitivní předstvu, snd předstvu něčeho, co lze přímo smyslově vnímt, hmtt. Je to velikost těles, jeho váh, jeho hustot? Odpově zní ne, přestože jsou tyto chrkteristiky někdy s hmotností směšovány.můžeme pouze říci,že hmotnost těles je chrkteristik, která určuje poměr mezi silou působící n těleso udíleným zrychlením. Hmotnost již nelze definovt přesněji. K fyzikálnímu vnímání hmotnosti můžeme dospět jedině tk, že budeme zkoušet urychlovt různá těles, npříkld kopt do fotblového míče nebo medicinblu.

92 KAPITOLA 5 SÍLA A POHYB I 5.5 DRUHÝ NEWTONŮV ZÁKON Všechny dosvdní definice, pokusy pozorování lze shrnout do jednoduché vektorové rovnice, zvné druhý Newtonův pohybový zákon: m = F (druhý Newtonův zákon). (5.1) Při použití rov. (5.1) si musíme ujsnit, n jké těleso ji plikujeme. Pk F je vektorový součet (výslednice) všech sil, které působí n ono těleso. Do výslednice jsou zhrnuty pouze síly, které působí n vymezené těleso, n rozdíl od sil působících n jiná těles, která v zdné úloze mohou rovněž figurovt. Součet F zhrnuje pouze vnější síly, tj. ty, jimiž n těleso působí jiná těles. Neobshuje síly vnitřní, jimiž působí jednotlivé části těles n sebe nvzájem. Jko kždá vektorová rovnice je i rov. (5.1) ekvivlentní třem rovnicím sklárním: m = F, m y = F y, m z = F z. (5.2) Tyto rovnice předstvují vzthy mezi složkmi zrychlení těles odpovídjícími složkmi výslednice sil, které n těleso působí. Můžeme si všimnout, že druhý Newtonův zákon není v rozporu s prvním: těleso, n něž nepůsobí žádné síly, se podle rov. (5.1) pohybuje bez zrychlení. V jednotkách SI podle rov. (5.2) pltí 1N= (1kg)(1m s 2 ) = 1kg m s 2, (5.3) což souhlsí s úvhmi v čl. 5.3. Přestože budeme téměř výhrdně prcovt s jednotkmi soustvy SI, poznmenejme, že se stále ještě používjí i jiné jednotky, zejmén jednotky Britské soustvy soustvy CGS (centimetr grm sekund). Tb. 5.1 obshuje příslušné převody. (Viz rovněž dod. D.) Tbulk 5.1 Jednotky v druhém Newtonově zákoně (rov. (5.1) (5.2)) SOUSTAVA SÍLA HMOTNOST ZRYCHLENÍ SI newton kilogrm m/s 2 CGS dyn grm cm/s 2 britská* libr (lb) slug ft/s 2 * 1dyn = 1g cm/s 2, 1lb = 1slug ft/s 2. Při řešení úloh pomocí druhého Newtonov zákon čsto používáme silový digrm, v němž je studovné těleso vyznčeno bodem všechny vnější síly, které n těleso působí, přípdně i jejich výslednice F, jsou reprezentovány vektory umístěnými v tomto bodě. (Místo bodu můžeme schemticky kreslit studovné těleso.) Digrm bude obshovt soustvu souřdnicových os někdy i vektor zrychlení těles. Při řešení úlohy vycházíme z vektorové rovnice (5.1). Postupně si všímáme sklárních rovnic (5.2) prcujeme tk se složkmi vektorů ve směrech jednotlivých souřdnicových os. První ze sdy rovnic (5.2) znmená, že součet -ových složek všech sil určuje -ovou složku zrychlení těles, niž ovlivňuje jeho y-ovou či z-ovou složku. Podobně je y-ová složk zrychlení určen výhrdně součtem y-ových složek všech sil z-ová složk zrychlení součtem z-ových složek všech sil. Obecně pk pltí: Složk zrychlení ve směru dné souřdnicové osy je určen výhrdně součtem složek všech sil měřených podél téže osy nezávisí n složkách sil ve směrech os osttních. V př. 5.1 půjde o sílu, která n těleso působí ve směru osy. Prcujeme tedy jen s jedinou složkou síly (osttní jsou nulové). V př. 5.2 působí n těleso tři síly, z nichž dvě svírjí nenulový úhel s osmi y. V této dvojrozměrné situci musíme určit jk -ové, tk y-ové složky sil použít dvě z rovnic (5.2). Př. 5.2 poslouží součsně jko modelový přípd zvláštního typu úloh: Těleso se neurychluje ( = 0), přestože n ně působí síly. V tkové situci je podle rov. (5.1) F = 0. Výslednice sil je tedy nulová, síly působící n těleso jsou vyváženy. Říkáme, že těleso je v rovnováze, přípdně že síly jsou v rovnováze. Všimněme si ještě jedné vlstnosti rov. (5.2), užitečné pro řešení úloh. Z nulovosti zrychlení vyplývá, že = 0, tedyi F = 0. Jsou tedy v rovnováze -ové složky všech sil. Dosdíme-li do F konkrétní hodnoty složek působících sil, dostneme lgebrický vzth, využitelný pro řešení úlohy.* Podobněpři y = 0 usoudíme, že F y = 0. Po doszení y-ových složek sil máme dlší lgebrický vzth. Může se stát, že se složky jednotlivých sil podél některé z os nvzájem kompenzují, ztímco u složek měřených ve směru druhé osy tomu tk není. Znmená to, že zrychlení směřuje podél této druhé osy. Abychom se nučili spolehlivě řešit konkrétní situce, potřebujeme získt určitou zkušenost. Proto zřzujeme do této kpitoly celou řdu příkldů. KONTROLA 2: N obrázku jsou zkresleny dvě vodorovné síly působící n kostku pohybující se po dokonle hldké podložce. Předpokládejme, že n kostku * Vzth umožňuje určit -ovou složku některé ze sil, známe-li -ové složky sil osttních.

5.5 DRUHÝ NEWTONŮV ZÁKON 93 působí ještě třetí síl F 3. Určete její velikost směr, je-li kostk () v klidu, (b) pohybuje se dolev konstntní rychlostí o velikosti 5 m s 1. 3N 5N PŘÍKLAD 5.1 Student eperimentální fyziky zkouší testovt pltnost pohybových zákonů. Obul si boty s neklouzjící podrážkou tlčí nložené sáně o hmotnosti 240 kg do vzdálenosti 2,3 m po dokonle hldké hldině zmrzlého jezer. Působí n ně při tom stálou vodorovnou silou F o velikosti F = 130 N (obr. 5.3). Položíme-li v 0 = 0, 0 = d uvědomíme-li si, že v nšem přípdě je v = v, =, dostneme pro v: v = 2d = 2(0,542 m s 2 )(2,3m) = = 1,6m s 1. (Odpově ) Síl, zrychlení, posunutí i výsledná rychlost sání mjí směr osy jejich-ové složky jsou kldné. Všechny tyto vektory tedy směřují v obr. 5.3b zlev doprv. (b) Student chce změnit směr rychlosti v opčný během 4,5 s. Jk velkou stálou silou musí sáně táhnout? ŘEŠENÍ: Užitím rov. (2.11), tj. v = v 0 + t, nejprve určíme zrychlení potřebné ke změně směru rychlosti v opčný během 4,5 s. Dostáváme = v v 0 t = 0,711 m s 2. = ( 1,6m s 1 ) (1,6m s 1 ) (4,5s) = sáně () m (b) F led Velikost tohoto zrychlení je větší než v úloze (), kde činilo 0,542 m s 2, tkže je zřejmé, že student musí nyní táhnout sáně větší silou. Tuto sílu určíme z prvé rovnice ze sdy rov. (5.2), uvědomíme-li si, že y = 0 z = 0. F = m = (240 kg)( 0,711 m s 2 ) = = 171 N. (Odpově ) Znménko minus ukzuje, že student musí táhnout sáně ve směru klesjící souřdnice, tj. zprv dolev v silovém digrmu n obr. 5.3c. F m sáně (c) Obr. 5.3 Příkld 5.1. () Student tlčí sáně po dokonle hldkém povrchu. (b) Silový digrm příkldu (), znázorňující výslednou sílu působící n sáně zrychlení, které tto síl sním udílí. (c) Silový digrm příkldu (b). Člověk nyní sáně táhne, tkže jejich zrychlení má opčný směr. () Jká je výsledná rychlost sání, rozjíždějí-li se z klidu? ŘEŠENÍ: Obr. 5.3b předstvuje silový digrm popsné situce. Zvolme osu vodorovně orientujme ji doprv. Uvžujme o sních jko o hmotném bodu. Předpokládáme, že síl F, kterou působí student, předstvuje jedinou sílu působící n sáně. Vzhledem k tomu, že F je její jediná nenulová složk, určíme velikost zrychlení sání z druhého Newtonov zákon tkto: = F m = (130 N) (240 kg) = 0,542 m s 2. Poněvdž je zrychlení konstntní, můžeme pro zjištění výsledné rychlosti užít vzthu (2.16), v 2 = v2 0 + 2 ( 0 ). PŘÍKLAD 5.2 Ve dvojrozměrné přethovné se Aleš, Božen Cyril přethují o pneumtiku ve směrech znázorněných n obr. 5.4 (obrázek ukzuje pohled shor). Pneumtik je v klidu, přestože n ni působí tři thové síly. Aleš táhne silou F A o velikosti 220 N Cyril silou F C o velikosti 170 N. Směr síly F C neznáme. Jk velká je síl F B, jíž působí n pneumtiku Božen? ŘEŠENÍ: N obr. 5.4b je znázorněn silový digrm úlohy. Poněvdž je zrychlení pneumtiky nulové, je podle rov. (5.1) nulová i výslednice všech sil, které n ni působí: F = FA + F B + F C = m = 0. Tto vektorová rovnost je ekvivlentní prvým dvěm sklárním rovnostem v sdě rov. (5.2). Pro složky ve směru osy pltí F = F A + F B + F C = 0, (5.4) ve směru osy y pk Fy = F Ay + F By + F Cy = 0. (5.5)

94 KAPITOLA 5 SÍLA A POHYB I Pomocí zdných velikostí sil úhlů vyznčených v obr. 5.4b vyjádříme nyní složky sil dosdíme do rov. (5.4) (5.5). Znménk vyznčují orientci průmětů. Ze vzthu (5.4) dostáváme F = F A cos 47,0 + 0 + F C cos ϕ = 0. Doszením známých hodnot pk získáme odtud (220 N) cos 47,0 + 0 + (170 N) cos ϕ = 0 (220 N) cos 47,0 cos ϕ = = 0,883, (170 N) ϕ = 28,0. Obdobně plyne ze vzthu (5.5) Fy = F A sin 47,0 F B + F C sin ϕ = 0, PŘÍKLAD 5.3 Obr. 5.5 ukzuje pohled shor n dvoukilogrmovou plechovku pohybující se po dokonle hldké podložce vlivem působení tří sil. Její zrychlení má velikost 8 m s 2. Síl F 1 má velikost 10 N síl F 2 12 N. Obr. 5.5b, v němž je vyznčeno i zrychlení, předstvuje neúplný silový digrm úlohy. Vypočtěte třetí sílu F 3 vyjádřete ji pomocí jednotkových vektorů i, j k krtézské soustvy souřdnic. ŘEŠENÍ: Zrychlení je způsobeno výslednicí všech tří vodorovných sil. Z rovnice (5.1) plyne F = F1 + F 2 + F 3 = m. Z rovnic (5.2) dostáváme pro směr F = F 1 + F 2 + F 3 = m, (5.6) pro směr y Fy = F 1y + F 2y + F 3y = m y. (5.7) kde jsme položili F By = F B, nebo Božen táhne pneumtiku přímo v záporném směru osy y. Doszení známých hodnot vede k výsledku F B = (220 N) sin 47,0 + (170 N) sin 28,0 = = 241 N. (Odpově ) Nechme si znovu projít hlvou postup, který jsme použili při řešení soustvy dvou rovnic (5.4) (5.5) o dvou neznámých F B ϕ. Nejprve jsme řešili rov. (5.4) (pro -ové složky sil), která obshovl jedinou neznámou ϕ. Získnou hodnotu ϕ = 28,0 jsme pk dosdili do rov. (5.5) pro y-ové složky sil. Kdybychom zčínli s rov. (5.5), v níž vystupují obě neznámé, byl by výpočet podsttně komplikovnější. Museli bychom totiž vyjádřit sin ϕ pomocí F B dosdit do rov. (5.4), která ovšem obshuje cos ϕ. Získli bychom tk nepříliš jednoduchou goniometrickou rovnici pro úhel ϕ. Při řešení úloh je třeb dávt pozor i n tkové zdánlivé drobnosti, jko je způsob zprcování rovnic. 137 Aleš Cyril Božen F A 47,0 y F B F C ϕ pneumtik () (b) Obr. 5.4 Příkld 5.2. () Děti přethující se o pneumtiku (pohled shor). (b) Silový digrm. Přepíšeme-li rov. (5.6) pomocí velikostí sil úhlů mezi nimi vezmeme-li v úvhu správná znménk jednotlivých složek, můžeme psát F 1 cos 60 + 0 + F 3 = m sin 30. Doszením číselných údjů pk dostneme tkže (10 N) cos 60 + 0 + F 3 = (2kg)(8m s 2 ) sin 30, F 3 = (10 N) cos 60 + (2kg)(8m s 2 ) sin 30 = 13 N. Obdobně z rov. (5.7) získáme postupně F 1 sin 60 + F 2 + F 3y = m cos 30, (10 N) sin 60 + 12 N + F 3y = (2kg)(8m s 2 ) cos 30, odkud Třetí síl je tedy 60 F 1 F 2 y 30 F 3y = 17,2N. = 17 N. F 3 = (13 N)i (17 N)j. 60 F 1 F 2 y 30 (Odpově ) plechovk Obr. 5.5 Příkld 5.3. () Pohled shor n plechovku urychlovnou třemi silmi. Dvě z nich jsou vyznčeny. (b) Silový digrm úlohy.

5.6 NĚKTERÉ TYPY SIL 95 KONTROLA 3: Obrázek ukzuje pohled shor n čtyři situce, kdy dvě síly urychlují tutéž kostku po dokonle hldké podlze. Uspořádejte situce sestupně podle () velikosti výslednice sil působících n kostku (b) podle velikosti zrychlení kostky. 3N 5N (1) (2) 3N 5N 3N (3) (4) RADY A NÁMĚTY 3N 5N Bod 5.1: Rozbor úlohy z hledisk působících sil 5N Přečteme si zdání úlohy několikrát, ž získáme dobrou předstvu o tom, jká je situce, jké údje jsou zdány jké jsou úkoly. Tk třeb u př. 5.1 jsme si říkli: Někdo tlčí sáně. Jejich rychlost se mění, tkže zrychlení je nenulové. Víme, že pohyb je přímočrý. V prvé části úlohy je síl zdán, v druhé části ji máme určit.vypdá to tedy tk,že je třeb použít druhý Newtonův zákon plikovt jej n přípd jednorozměrného pohybu. Je-li jsné, o jký problém jde, le nevíme-li, jk dále postupovt, problém proztím odložíme znovu si přečteme zdání. Nejsme-li si jisti správným pochopením druhého Newtonov zákon, přečteme si znovu celý článek. Prostudujeme příkldy. Skutečnost, že problém formulovný v př. 5.1 je jednorozměrný zrychlení pohybu je konstntní, nás vrcí ke kp. 2 speciálně k tb. 2.1, obshující všechny rovnice, které budeme potřebovt. Bod 5.2: Dvojí obrázky Při řešení kždé úlohy je užitečné mít dv obrázky. Jedním z nich je hrubý náčrt skutečné situce. Zkreslíme do něj síly, přičemž počáteční bod kždého vektoru síly umístíme n povrch či do objemu těles, n něž síl působí. Druhým obrázkem je silový digrm, v němž jsou zkresleny síly působící n jediné těleso, které je v nákresu znázorněno bodem. Počáteční bod kždé ze sil umístíme právě do tohoto bodu. Bod 5.3: Jkou soustvu studujeme? Používáme-li druhý Newtonův zákon, musíme si uvědomit, n které těleso nebo soustvu jej plikujeme. V př. 5.1 jsou to sáně (nikoli student nebo led). V př. 5.3 je to plechovk. Bod 5.4: Zvolíme vhodně soustvu souřdnic V př. 5.2 jsme si ušetřili práci tím, že jsme jednu ze souřdnicových os ztotožnili se směrem jedné z působících sil (os y měl směr síly F B ). Užitím druhého Newtonov zákon jsme dostli soustvu dvou rovnic o dvou neznámých, která byl díky vhodné volbě souřdnicových os velmi jednoduchá: první rovnice obshovl pouze jednu neznámou. Tuto rovnici jsme proto vyřešili npřed výsledek dosdili do druhé. V podobných přípdech je tkový postup rozumný, nebo velmi zjednodušuje celý výpočet. 5.6 NĚKTERÉ TYPY SIL Tíhová síl (váh) Tíhovou silou G (nepřesně též váhou těles, viz poznámku k př. 5.11) rozumíme sílu, kterou je těleso přithováno k stronomickému objektu v jeho těsné blízkosti. V běžných situcích je tímto stronomickým objektem Země. Tíhová síl je dán především přitžlivou grvitční interkcí dvou těles. Podrobně o ní budeme hovořit v kp. 14. Proztím ji všk budeme chápt jko sílu, která udílí tělesu tíhové zrychlení g. Tíhová síl působící n těleso o hmotnosti m (váh těles o hmotnosti m) má velikost Vektor tíhové síly pk lze zpst jko G = mg. (5.8) G = mgj = Gj, (5.9) (kde vektor +j míří svisle vzhůru, směrem od Země), nebo jko G = mg, (5.10) kde g je tíhové zrychlení. Je lhostejné, pro jký způsob zápisu tíhové síly se rozhodneme. Jestliže všk podle obvyklé konvence orientujeme osu y směrem vzhůru, musíme dát pozor, bychomnezměnili (kldnou) velikost tíhového zrychlení, vystupující v rov. (5.8) s jeho (zápornou) y-ovou složkou v rov. (5.10). Jednotkou tíhové síly v soustvě SI je smozřejmě newton. Tíhová síl není hmotnost. Její velikost v dném bodě (v blízkosti Země či kteréhokoli jiného stronomického objektu) závisí n hodnotě g v tomto bodě. Bude-li npříkld n medicinbl působit n Zemi tíhová síl o velikosti 71 N, n Měsíci to bude pouhých 12 N. Tíhové zrychlení n Měsíci je totiž si šestkrát menší než n Zemi. Hmotnost medicinblu 7,2 kg je stejná v kterémkoli místě, nebo hmotnost je chrkteristikou předmětu smotného. (Chceme-li vážit méně, můžeme vylézt n vrchol hory. Nše hmotnost

96 KAPITOLA 5 SÍLA A POHYB I se tím smozřejmě nezmění. Ve vyšší poloze všk budeme ve větší vzdálenosti od středu Země hodnot g bude nižší. Zmenší se tedy i tíhová síl.) Běžně předpokládáme, žetíhovou sílu měříme v inerciální vztžné soustvě. V neinerciální soustvě všk mohou být výsledky měření zkresleny nmísto skutečné tíhové síly nměříme tzv. zdánlivou váhu. K tomuto problému se podrobněji vrátíme v př. 5.11b, c. Těleso můžeme vážit tk,* že je položíme n jednu misku rovnormennéváhy (obr. 5.6) n druhou misku kldeme referenční těles známých hmotností. Jkmile dosáhneme rovnováhy,jsou hmotnosti misek vyrovnány známe tedy i hmotnost těles m. Známe-li i hodnotu g v bodě, v němž měření provádíme, určíme velikost tíhové síly podle vzthu (5.8). Vážit můžeme i n pružinové váze (obr. 5.7). Těleso npíná pružinu ukztel se pohybuje podél stupnice cejchovné oznčené bu v jednotkách hmotnosti nebo v jednotkách síly. (Tímto způsobem funguje skoro kždá osobní váh. Její stupnice bývá cejchován v kilogrmech.) V přípdě cejchování stupnice v jednotkách hmotnosti je nměřený údj správný pouze tehdy, je-li hodnot g v místě vážení táž jko hodnot, při níž byl stupnice cejchován. těleso, jehož hmotnost zjiš ujeme m L G L = m L gj = m L g m L = m P Obr. 5.6 Rovnormenná váh. V přípdě rovnováhy je celková hmotnost těles n levé misce (L) rovn celkové hmotnosti těles n prvé misce (P). m P G P = m P gj = m P g stupnice cejchovná v jednotkách hmotnosti sd závží Kolmá tlková síl N těleso smozřejmě působí i okolní objekty, které jsou s ním v přímém styku. Spočívá-li těleso n nějké podložce, působí n ně podložk určitými silmi. Jednou z nich je tlková síl N, kolmák podložce. Čsto ji nzývámesilou normálovou. Název souvisí s mtemtickým pojmem normálový, neboli kolmý. Je-li těleso v klidu n vodorovné podložce (obr. 5.8), míří síl N svisle vzhůru. Tíhová síl G = mg směřuje smozřejmě dolů. Pro toto speciální uspořádání můžeme určit velikost síly N z druhé rovnice sdy rov. (5.2): G = mgj = mg Obr. 5.7 Pružinová váh. Hodnot čtená n stupnici je úměrná velikosti tíhové síly působící n objekt umístěný n misce udává přímo její velikost, je-li stupnice cejchován v newtonech. Je-li stupnice cejchován v kilogrmech, čteme n stupnici hmotnost těles. Hmotnost je všk správně určen jen tehdy, je-li velikost tíhového zrychlení při měření stejná jko při cejchování stupnice. kolmá tlková síl N y Fy = N mg = m y, (5.11) těleso N tedy, protože y = 0, N = mg. (5.12) tíhová síl G G těleso * V souhlsu s originálem knihy tké pro stručnost používáme někdy, spíše všk výjimečně, formulcí typu těleso váží 500 N, těleso o váze 500 N pod. Suplujeme tím údj o hmotnosti těles, která je právě tková,že Země působí n ono těleso,umístěné n jejím povrchu, tíhovou silou 500 N, tj. m = G g = 500N 9,8m s 2. = 51kg. () (b) Obr. 5.8 () N těleso spočívjící n stole působí stůl normálovou silou N kolmou ke svrchní desce. (b) Odpovídjící silový digrm.

5.6 NĚKTERÉ TYPY SIL 97 Bod 5.5: Normálová síl RADY A NÁMĚTY Vzth (5.12) pro normálovou sílu pltí jedině tehdy, směřuje-li tto síl vzhůru, svislá složk zrychlení těles je nulová n těleso nepůsobí kromě síly tíhové normálové žádné dlší síly s nenulovými svislými složkmi. Pro jiné situce jej nemůžeme použít musíme se vrátit k zápisu všech složek druhého Newtonov zákon. Sílu N můžeme v obrázku volně posouvt, pokud zchováme její směr. V obr. 5.8 bychom ji npříkld mohli přesunout tk, by koncový bod vektoru N ležel v místě styku svrchní desky stolu s tělesem (jko bychom tím vyjdřovli skutečnost, že desk stolu tlčí n podstvu těles). Správné umístění vektoru N je ovšem tkové, že jeho počáteční bod leží n rozhrní svrchní desky stolu těles oznčuje tk působiště normálové síly. Dokud všk s tělesem prcujeme jko s hmotným bodem, můžeme při kreslení schemtického obrázku umístit působiště síly N i kmkoli jinm do objemu těles. Možným interpretčním omylům se spolehlivě vyhneme, budeme-li prcovt se silovým digrmem (obr. 5.8b), v němž je síl N umístěn přímo v bodě symbolizujícím těleso. n sebe nvzájem působí silmi pnutí. Těleso je tženo silou T, která směřuje podél lnk ven z objemu těles je umístěn v bodě úchytu lnk (obr. 5.10). Hovoříme o thové nebo tžné síle lnk. Zprvidl předpokládáme, že lnko je nehmotné nepružné. Máme tím n mysli, že jeho hmotnost je znedbtelná ve srovnání s hmotností těles jeho délk je neměnná. Lnko tedy pouze relizuje spojení dvou těles. Táhne přitom obě těles silmi o stejné velikosti T. Pltí to i v přípdě, že se obě těles i s lnkem pohybují se zrychlením nebo když je lnko vedeno přes nehmotnou kldku, která se může otáčet bez tření (obr. 5.10b, c). (Jedná se o idelizovnou kldku, jejíž hmotnost je velmi mlá vzhledem k hmotnostem těles třecí síl bránící jejímu otáčení kolem osy je rovněž znedbtelná.) T () T KONTROLA 4: Stůl s tělesem z obr. 5.8 jsou umístěny ve výthu. Zjistěte, zd je velikost síly N větší, menší či stejná jko velikost tíhové síly mg, stoupá-li výth () stálou rychlostí, (b) se vzrůstjící rychlostí. Třecí síl Klouže-li těleso po podložce, nebo snžíme-li se je do klouzvéhopohybu uvést, brání tomuto pohybu vzby mezi tělesem podložkou. (Podrobněji o nich budeme mluvit v následující kpitole.) Tento odpor bývá chrkterizován jedinou silou F, zvnou třecí síl nebo jednoduše tření. Třecí síl působící n těleso míří podél podložky je orientován proti pohybu či zmýšlenému pohybu těles (obr. 5.9). Pro zjednodušení situce někdy tření znedbáváme. V tkovém přípdě nzýváme podložku dokonle hldkou. F směr zmýšleného skluzu Obr. 5.9 Třecí síl F brání skluzu těles po podložce. Thová síl Je-li těleso tženo n provze, vlákně, lnku či něčem podobném, říkáme, žeje lnko npínáno. Jeho jednotlivé části T = T T (b) T Obr. 5.10 () Tžné lnko je npnuté. Táhne těleso i ruku silou o velikosti T. Situce je stejná i n obrázcích (b) (c), kde je lnko vedeno přes nehmotnou kldku, která se otáčí bez tření. KONTROLA 5: Tíhová síl působící n těleso zvěšené n lně podle obr. 5.10c má velikost 75 N. Rozhodněte, zd velikost tžných sil ln, oznčených T, je stejná, větší, nebo menší než 75 N, jestliže těleso stoupá () s konstntní rychlostí, (b) s rostoucí rychlostí, (c) s klesjící rychlostí. PŘÍKLAD 5.4 Připomeňme si silák John Mssise železniční vgony. Kldli jsme si otázku, zd velikost síly, kterou musel vyvinout, by je posunul, nějk výrzně překrčovl běžnou T (c) T

98 KAPITOLA 5 SÍLA A POHYB I hrnici lidských možností. Předpokládejme, že Mssis, svírjící v zubech konec ln uvázného k vgonům, vyvinul tžnou sílu dvpůlkrát větší, než sám vážil. Jeho hmotnost byl 80 kg, lno svírlo s vodorovnou rovinou úhel θ = 30. Velikost tíhové síly vgonů G byl 7,0 10 5 N (odpovídá si osmdesáti tunám) John Mssis je posunul po kolejích o 1,0 m. Předpokládejme, že kolejnice nepůsobily n kol žádnou brzdnou silou. Jká byl výsledná rychlost vgonů? tj. v = 0 + 2(2,376 10 2 m s 2 )(1,0m) = = 0,22 m s 1. (Odpově ) Mssis by si svůj úkol usndnil, kdyby připojil lno k vgonu o něco výše, by bylo vodorovné. Víte proč? y 5.7 TŘETÍ NEWTONŮV ZÁKON Obr. 5.11 Příkld 5.4. Silový digrm Mssisov pokusu s vgony. Délky šipek oznčujících vektory neodpovídjí skutečným poměrům. Síl npínjící vlákno je totiž mnohem menší než síl tíhová normálová. vgony N G T θ = 30 Síly vždy působí ve dvojicích. Při úderu působí kldivo jistou silou n hlvičku hřebíku. Součsně všk působí i hřebík n kldivo, to silou stejně velkou, všk opčně orientovnou. Opře-li se člověk o stěnu, tlčí i stěn n člověk. Nech těleso A n obr. 5.12 působí n těleso B silou F BA. Eperimenty ukzují, že i těleso B působí n těleso A jistou silou F AB. Tyto síly mjí stejnou velikost opčný směr. Pltí tedy ŘEŠENÍ: N obr. 5.11 je znázorněn silový digrm, v němž jsou vgony reprezentovány bodem. Os směřuje podél kolejnic. Z rovnic (5.2) dostáváme F = T cos θ = M, (5.13) kde M je hmotnost vgonů. Ze zdných hodnot určíme T M. Podle předpokldu vyvine J. Mssis thovou sílu o velikosti T = 2,5mg = 2,5(80 kg)(9,8m s 2 ) = 1 960 N, což je hodnot běžná u dobrého vzpěrče střední váhy zdlek o ní nelze hovořit jko o ndlidské síle. Tíhová síl působící n vgony má podle vzthu (5.8) velikost G = Mg, tkže hmotnost vgonů M je M = G g = (7,0 105 N) (9,8m s 2 ) = 7,143 104 kg. Ze vzthu (5.13) zjistíme zrychlení = T cos θ M (1 960 N) cos 30 = (7,143 10 4 = 2,376 10 2 m s 2. kg) Pro určení výsledné rychlosti vgonů použijeme vzthu (2.16), km dosdíme v 0 = 0 0 = 1,0m: v 2 = v2 0 + 2 ( 0 ), F AB = F BA (třetí Newtonův zákon). (5.14) A m A FAB F AB = F BA F BA Obr. 5.12 Třetí Newtonův zákon. Těleso A působí silou F BA n těleso B těleso B působí silou F AB n těleso A. Pltí F AB = = F BA. Všimněte si pořdí indeů. Npříkld F AB je síl, která vyjdřuje působení těles B n těleso A. Rov. (5.14) pltí bez ohledu n to, zd se těles pohybují, nebo zd jsou v klidu. Vzth (5.14) vyjdřuje třetí Newtonův pohybový zákon. Běžně je jedn z těchto sil (kterákoli) nzýván kcí druhá rekcí.kdykoli nrzíme n sílu,má dobrý smysl se ptát: A kde je rekce? Vět Ke kždé kci eistuje stejně velká opčně orientovná rekce již tkřk zlidověl může mít různý význm podle toho, v jké souvislosti je vysloven. Ve fyzice všk neznmená nic jiného než slovní vyjádření rov. (5.14). Zejmén vůbec nic nevypovídá o příčině následku. Kterákoli z interkčních sil může hrát roli kce či rekce. Může nás npdnout: Je-li kždá síl spjt s jinou silou stejné velikosti opčného směru, proč se tyto síly nevyruší? Jk se vůbec může něco dát do pohybu? Odpově je jednoduchá názorně ji vidíme n obr. 5.12: m B B

5.7 TŘETÍ NEWTONŮV ZÁKON 99 Síly kce rekce působí vždy n různá těles. Nesčítjí se proto ve výslednou sílu nemohou se vyrušit. Toto tvrzení se týká situce, kdy je sledovnou soustvou bu jedno, nebo druhé z obou intergujících těles. (V dlších kpitolách uvidíme, že v přípdě studi soustvy dvou nebo i více těles má smysl v rámci celé soustvy mluvit o výslednici interkčních sil. T ovšem bude, díky třetímu Newtonovu zákonu, skutečně nulová.) Dvě síly,které působí n totéž těleso, nejsou kcí rekcí, ni když mjí stejnou velikost opčný směr. V následujících příkldech určíme všechny dvojice typu kce rekce. družice F DZ F ZD Země Obr. 5.13 Družice n oběžné dráze kolem Země. Znázorněné síly předstvují dvojici kce rekce. Všimněte si, že působí n různá těles. Družice Obr. 5.13 ukzuje družici n oběžné dráze kolem Země. Jedinou silou působící n družici je přitžlivá grvitční síl F DZ, jíž n ni působí Země. Kde je odpovídjící rekce? Je to přitžlivá grvitční síl F ZD, jíž působí družice n Zemi. Její působiště můžeme umístit do středu Země. meloun Mohli bychom se domnívt, že mlinká družice prkticky nemůže Zemi přithovt. Přesto tomu tk je, přesně podle třetího Newtonov zákon. Pro velikosti sil pltí F DZ = F ZD. Síl F ZD udílí Zemi zrychlení, které je všk vlivem obrovské hmotnosti Země tk mlé, že není měřitelné. Meloun n stole Obr. 5.14 znázorňuje meloun ležící v klidu n stole.*země působí n meloun svisle dolů tíhovou silou F MZ. Meloun se neurychluje, nebo tto síl je kompenzovánstejně velkou, všk opčnou, normálovou silou F MS, jíž n meloun působí stůl (obr. 5.14b). Síly F MZ F MS všk netvoří dvojici kce rekce, nebo působí n totéž těleso, meloun. Rekcí k síle F MZ je grvitční síl F ZM, jíž působí meloun n Zemi. Tto dvojice kce rekce je znázorněn n obr. 5.14c. Rekcí k síle F MS je síl F SM, jíž působí meloun n stůl. Tto dvojice kce rekce je znázorněn n obr. 5.14d. Dvojice kce rekce, vystupující v této úloze, spolu s příslušnými dvojicemi těles, jsou tedy první dvojice: F MZ = F ZM (meloun Země) druhá dvojice: F MS = F SM (meloun stůl). KONTROLA 6: Dejme tomu, že meloun stůl z obr. 5.14 jsou v kbině výthu, která se rozjíždí směrem vzhůru. () Rozhodněte, zd velikosti sil F SM F MS vzrostou, klesnou, či zůstnou beze změny. (b) Jsou tyto dvě síly stále stejně velké opčně orientovné? (c) Rozhodněte, zd velikosti sil F MZ F ZM vzrostou, klesnou, či * Nebereme v úvhu mlé komplikce způsobené rotcí Země. meloun stůl F MZ F MS (tlková síl stolu) F MS F ZM Země F MZ (tíhová síl melounu) Země F SM () (b) (c) (d) Obr. 5.14 () Meloun leží n stole, který spočívá n zemském povrchu. (b) N meloun působí síly F MS F MZ. Meloun je v klidu, nebo tyto síly jsou v rovnováze. (c) Dvojice kce rekce při interkci melounu Země. (d) Dvojice kce rekce při interkci melounu stolu.

100 KAPITOLA 5 SÍLA A POHYB I zůstnou beze změny. (d) Jsou tyto dvě síly stále stejně velké opčně orientovné? 5.8 UŽITÍ NEWTONOVÝCH ZÁKONŮ Zbývjící část této kpitoly tvoří příkldy. Měli byste se nd nimi hlouběji zmyslet. Neučte se dílčí výpočty odpovědi, le soustře te se n problém jko celek. Snžte se pochopit postupy, které vedou k jeho vyřešení. Zvláš důležité je vědět, jk přejít od schemtického náčrtu situce k silovému digrmu vhodně volit soustvu souřdnic, by bylo možné plikovt druhý Newtonův zákon. Zčneme př. 5.5, který je proprcován do nejmenších detilů formou otázk odpově. 2. Vlákno táhne zvěšenou kostku silou T o téže velikosti T. Tto síl směřuje vzhůru brání volnému pádu zvěšené kostky, ke kterému by jink smozřejmě došlo. Předpokládáme, že vlákno je npjto po celé délce stejně. Kldk slouží ke změně směru síly npínjící vlákno beze změny její velikosti. 3. Země přithuje klouzjící kostku tíhovou silou Mg. 4. Země přithuje zvěšenou kostku tíhovou silou mg. 5. Stůl tlčí n klouzjící kostku normálovou silou N. N Mg T T PŘÍKLAD 5.5 Obr. 5.15 znázorňuje kostku (klouzjící kostk) o hmotnosti 3,3 kg. Kostk se může volně pohybovt po vodorovné dokonle hldké podložce, npř. n vzduchové lvici. Kostk je připojen nehmotným vláknem vedeným přes nehmotnou kldku otáčející se bez tření k jiné kostce (zvěšená kostk), jejíž hmotnost je 2,1 kg. Zvěšená kostk klesá klouzjící kostk se pohybuje s určitým zrychlením vprvo. () Určete toto zrychlení. (b) Určete zrychlení zvěšené kostky (c) sílu npínjící vlákno. klouzjící kostk M hldká podložk m zvěšená kostk Obr. 5.15 Příkld 5.5. Kostk o hmotnosti M n vodorovné dokonle hldké podložce je spojen s kostkou o hmotnosti m vláknem vedeným přes kldku. Vlákno i kldk jsou nehmotné. Kldk se otáčí bez tření. Šipky vyznčují směr pohybu po uvolnění soustvy.? O co v úloze jde? Máme dv hmotné objekty, klouzjící zvěšenou kostku. Nesmíme zpomenout, že je zde tké Země, která ob tyto objekty přithuje. Bez přítomnosti Země by se nic nedělo. N kostky působí celkem pět sil, znázorněných n obr. 5.16: 1. Vlákno táhne klouzjící kostku vprvo silou T o velikosti T. T = T mg Obr. 5.16 Síly působící n dvě kostky Uvědomme si ještě dlší důležité věci. Předpokládáme, že vlákno je nepružné. Klesne-li tedy zvěšená kostk z jistou dobu o 1 mm, pohne se klouzjící kostk v témže čsovém intervlu o 1 mm vprvo. Kostky se pohybují společně jejich zrychlení mjí stejnou velikost.? Jk máme tuto úlohu posuzovt? Nbízí se nám n zákldě její formulce použití určitého fyzikálního zákon? Ano, nbízí. Síly, hmotnosti zrychlení jsou obsženy v druhém Newtonově pohybovém zákonu m = F.? Chceme-li použít tento zákon při řešení úlohy, n jké těleso jej máme plikovt? Změřme se n dvě těles vystupující v úloze, klouzjící zvěšenou kostku. I když jde ve skutečnosti o rozměrné objekty, můžeme je povžovt z hmotné body, protože kždý z elementů, z nichž jsou složeny (řekněme kždý tom), se pohybuje přesně stejným způsobem. Aplikujeme druhý Newtonův zákon n kždou kostku zvláš.? A co s kldkou? Kldku z hmotný bod povžovt nemůžeme, nebo pohyb jejích jednotlivých elementů je různý. Až budeme uvžovt o otáčivém pohybu, všimneme si kldek podrobně. Proztím se všk tomuto problému vyhneme tím, že budeme hmotnost kldky povžovt z znedbtelnou v porovnání s hmotnostmi obou kostek.? Dobrá.Jk tedy nyní plikujeme vzth m = F n klouzjící kostku? Předstvíme si kostku jko částici o hmotnosti M nkreslíme všechny síly, které n ni působí, podle obr. 5.17. Tento obrázek předstvuje silový digrm klouzjící kostky. Jsou

5.8 UŽITÍ NEWTONOVÝCH ZÁKONŮ 101 v něm tři síly. Nyní zvolíme souřdnicové osy. Je vhodné nkreslit osu rovnoběžně s deskou stolu ve směru pohybu kostky. y Znménko minus n levé strně rovnice signlizuje, že se kostk urychluje směrem dolů, v záporném směru osy y. Z rov. (5.17) plyne mg T = m. (5.18) N Tto rovnice obshuje tytéž neznámé veličiny jko rov. (5.16). Sečtením obou rovnic vyloučíme T. Řešením vzhledem k neznámé dostneme M T Mg klouzjící kostk = m g. (5.19) M + m Doszením tohoto výsledku do rov. (5.16) získáme Obr. 5.17 Silový digrm pro klouzjící kostku n obr. 5.15? Ano, le stále nebylo řečeno, jk plikovt n klouzjící kostku vzth m = F.Ztím jsme mluvili pouze o tom, jk nkreslit silový digrm. To je prvd. Vzth m = F je vektorovou rovnicí tu je třeb rozepst do složek: M = F,M y = F y,m z = F z, (5.15) kde F, F y, F z jsou složky výsledné síly. Vzhledem k tomu, že se klouzjící kostk nepohybuje ve svislém směru, je zřejmé, že y-ová složk výslednice je nulová. Normálová síl N,směřující vzhůru, tíhová síl G = mg jsou v rovnováze. z-ové složky všech sil jsou rovněž nulové (os z je kolmá k rovině nákresu). Můžeme ovšem použít první z rov. (5.15). Ve směru osy je nenulová pouze jediná složk, -ová složk síly T. Ze vzthu m = F tedy plyne M = T. (5.16) Tto rovnice obshuje dvě neznámé, T, tkže ji nedokážeme jednoznčně vyřešit. Připomeňme všk, že jsme ztím nic neřekli o zvěšené kostce.? Jistě.Budeme vzth m = F plikovt i n zvěšenou kostku? Jk? Nkreslíme silový digrm pro tuto kostku podle obr. 5.18. Tentokrát užijeme druhou z rovnic (5.15) dostneme m = F y = T mg. (5.17) y m T mg zvěšená kostk Obr. 5.18 Silový digrm pro zvěšenou kostku n obr. 5.15. Vektory T, mjí díky kldce jiné směry než vektory T,, pltí všk T = T, =. T = Pro zdné číselné hodnoty dostáváme = mm g. (5.20) M + m m M + m g = (2,1kg) (3,3kg+ 2,1kg) (9,8m s 2 ) = = 3,8m s 2 (Odpově ) T = mm M + m g = (3,3kg)(2,1kg) (3,3kg+ 2,1kg) (9,8m s 2 ) = = 13 N. (Odpově )? Nyní je problém vyřešen, že? To je správná otázk. Nším úkolem není jen řešit úlohy, le tké se učit fyziku. S úlohou nejsme ve skutečnosti hotovi, dokud jsme neověřili, zd jsou získné výsledky rozumné. Získáme tím čsto mnohem lepší zkušenost než smotným nlezením správné odpovědi. Nejprve se vr me k rov. (5.19). Všimněme si, že je rozměrově správný že hodnot bude vždy menší než g.musí tomu tk být, nebo zvěšená kostk nepdá volně. Vlákno ji táhne směrem vzhůru. Nyní se změřme n vzth (5.20), který můžeme přepst ve tvru T = M mg. (5.21) M + m V tomto tvru snáze ověříme rozměrovou správnost, nebo jk T,tkmg jsou velikosti sil. Z rov. (5.21) tké hned vidíme, že velikost síly npínjící vlákno je vždy menší než mg, tj. než velikost tíhové síly působící n zvěšenou kostku. To je potěšitelné zjištění, nebo kdyby vyšl hodnot T větší než mg, znmenlo by to, že se zvěšená kostk urychluje směrem vzhůru. Výsledky můžeme tké ověřovt rozborem speciálních přípdů, u nichž jsme si jisti správnou odpovědí. Jednoduchý přípd, odpovídjící eperimentům v mezihvězdném prostoru, dostneme volbou g = 0. Víme, že v tkovém přípdě zůstnou kostky v klidu vlákno nebude npjto. Dosdíme-li

102 KAPITOLA 5 SÍLA A POHYB I g = 0 do rov. (5.19) (5.20), vyjde oprvdu = 0T = 0. Dlší dvě speciální situce nstnou pro M = 0m. PŘÍKLAD 5.5 jiný způsob řešení Velikost zrychlení kostek n obr. 5.15 dokonce dokážeme určit n pouhých dvou řádcích lgebrických úprv, jestliže zvolíme poněkud zvláštní postup. () Užijeme neobvyklou volbu osy, řekněme u, která prochází oběm kostkmi podél vlákn, jk znázorňuje obr. 5.19. (b) V myšlenkách nrovnáme osu u podle obr. 5.19b budeme kostky povžovt z dvě součásti jednoho složeného těles o hmotnosti M +m. Silový digrm pro tuto soustvu je n obr. 5.19c. kde (M + m) je hmotnost těles. Zrychlení složeného těles podél osy u ( tedy i zrychlení kždé z kostek spojených vláknem) má velikost. Jediná síl udělující složenému tělesu zrychlení podél osy u má velikost mg. Dostáváme tedy (M + m) = mg = m g. (5.22) M + m Tento výsledek se shoduje s rov. (5.19). Abychom určili velikost T, plikujeme druhý Newtonův zákon n kteroukoli z obou kostek. Dostneme tk rov. (5.16), nebo (5.18). Doszením z z rov. (5.22) řešením vzhledem k neznámé T dostneme rov. (5.20). M m mg PŘÍKLAD 5.6 Kostk o hmotnosti M = 33 kg je tlčen po dokonle hldké podložce pomocí tyčky o hmotnosti m = 3,2 kg (obr. 5.20). Kostk, která je zpočátku v klidu, se pohybuje s konstntním zrychlením během 1,7 s se posune do vzdálenosti d = = 77 cm. () u m M hldká podložk M +m mg u složené těleso o hmotnosti M +m mg (b) (c) Obr. 5.19 () Os u prochází soustvou tvořenou kostkmi vláknem z obr. 5.15. (b) Kostky jsou uspořádány podél npřímené osy u povžovány z jediné těleso o hmotnosti M +m. (c) Příslušný silový digrm zhrnující pouze síly ve směru u. Tková síl je jediná. ŘEŠENÍ: Uvědomme si, že n složené těleso působí ve směru osy u pouze jediná síl, to tíhová síl mg, orientovná kldně. Síly T T npínjící vlákno (obr. 5.16) jsou nyní vnitřními silmi soustvy, tvořené složeným tělesem, nevstupují do druhého Newtonov zákon. Síl, jíž působí kldk n vlákno, je kolmá k ose u rovněž v druhém Newtonově zákonu nebude figurovt. Řídíme-li se v této situci vzthy (5.2), můžeme npst rovnici pro složku zrychlení těles podél osy u: (M + m) u = F u, u F RT F TR () m F TK F KT první dvojice druhá dvojice (b) Obr. 5.20 Příkld 5.6.() Tyčk o hmotnosti m tlčí kostku o hmotnosti M po dokonle hldké podložce.(b) Pohled n jednotlivé části soustvy ukzuje dvojice kce rekce, tj. vzájemné působení ruky tyčky (první dvojice) tyčky kostky (druhá dvojice). () Určete všechny dvojice kce rekce působící ve vodorovném směru. ŘEŠENÍ: Jk je zřejmé z obr. 5.20b, jsou zde dvě dvojice sil typu kce rekce: první dvojice F RT = F TR (ruk tyčk), druhá dvojice F TK = F KT (tyčk kostk). Sílu F RT, jíž působí tyčk n ruku, bychom pocítili, kdybychom eperiment prováděli vlstnoručně. (b) Jkou silou musí působit ruk n tyčku? M

5.8 UŽITÍ NEWTONOVÝCH ZÁKONŮ 103 ŘEŠENÍ: Hledná síl udílí zrychlení tyčce i kostce. Abychom ji zjistili, musíme nejdříve určit užitím vzthu (2.15) velikost stálého zrychlení : 28 A 47 B 0 = v 0 t + 1 2 t 2. uzel Doszením v 0 = 0 0 = d řešením vzhledem k neznámé = dostneme = 2d 2(0,77 m) = t2 (1,7s) 2 = 0,533 m s 2. () m C Pro zjištění síly, již vyvine ruk, použijeme druhý Newtonův zákon pro soustvu složenou z tyčky kostky. Pk y F TR = (M + m) = (33 kg + 3,2kg)(0,533 m s 2 ) = = 19,3N. = 19 N. (Odpově ) (c) Jkou silou tlčí tyčk n kostku? ŘEŠENÍ: Aplikujeme druhý Newtonův zákon n smotnou kostku: T C kostk mg 28 T A T B 47 uzel T C F KT = M = (33 kg)(0,533 m s 2 ) = = 17,6N. = 18 N. (Odpově ) (d) Jká je výsledná síl působící n tyčku? ŘEŠENÍ: Velikost této síly F můžeme njít dvěm způsoby. První z nich využívá výsledků (b) (c): F = F TR F TK = 19,3N 17,6N = = 1,7N. (Odpově ) Při výpočtu jsme využili skutečnosti, že podle třetího Newtonov zákon má síl F TK stejnou velikost (tj. 17,6 N) jko síl F KT. Druhý způsob spočívá přímo v použití druhého Newtonov zákon pro smotnou tyčku. Dostáváme F = m = (3,2kg)(0,533 m s 2 ) = = 1,7N, (Odpově ) což souhlsí s předchozím výsledkem. Musí tomu tk být, nebo ob postupy jsou ekvivlentní. Ověřte to obecným vyjádřením velikosti síly F pomocí zdných veličin oběm způsoby. (b) (c) Obr. 5.21 Příkld 5.7. () Kostk o hmotnosti m je zvěšen n třech vláknech. (b) Silový digrm kostky. (c) Silový digrm uzlu, v němž jsou vlákn spojen. ŘEŠENÍ: V silovém digrmu kostky (obr. 5.21b) směřuje thová síl T C, jíž působí n kostku vlákno C, svisle vzhůru, ztímco tíhová síl mg míří dolů. Soustv je v klidu, tkže podle druhého Newtonov zákon pltí F = TC + mg = 0. Poněvdž jsou síly T C mg svislé,dostáváme jedinou sklární rovnici Fy = T C mg = 0. Doszením zdných hodnot pk získáme T C = mg = (15 kg)(9,8m s 2 ) = = 147 N. = 150 N. (Odpově ) Dlší krok vychází ze skutečnosti, že všechny tři hledné thové síly mjí působiště v uzlu, v němž jsou vlákn spojen. Aplikujeme tedy druhý Newtonův zákon n uzel. Příslušný silový digrm je n obr. 5.21c. Protože se uzel neurychluje, musí být výsledná síl, která n něj působí, nulová. Pk F = TA + T B + ( T C ) = 0. PŘÍKLAD 5.7 Obr. 5.21 znázorňuje kostku o hmotnosti m = 15 kg zvěšenou n třech vláknech. Jkými silmi jsou vlákn npínán? Tto vektorová rovnice je ekvivlentní dvěm rovnicím sklárním Fy = T A sin 28 + T B sin 47 T C = 0 (5.23)

104 KAPITOLA 5 SÍLA A POHYB I F = T A cos 28 + T B cos 47 = 0. (5.24) Uvědomte si, že při zápisu -ové složky síly T A musíme výrz T A cos 28 optřit znménkem minus, bychom vyjádřili fkt, že průmět síly T A do osy je s touto osou nesouhlsně rovnoběžný. Doszením číselných hodnot do rov. (5.23) (5.24) dostneme Z rov. (5.26) vyplývá T A (0,469) + T B (0,731) = 147 N (5.25) T B (0,682) = T A (0,883). (5.26) T B = 0,883 0,682 T A = 1,29T A. Doszením tohoto výsledku do rov. (5.25) řešením vzhledem k neznámé T A získáváme 147 N T A = 0,469 + (1,29)(0,731) = = 104N =. 100 N. (Odpově ) y N θ m bez tření () T kostk mg cosθ θ θ mg mg θ mg sin θ (b) (c) Obr. 5.22 Příkldy 5.8 5.9. () Kostk o hmotnosti m upevněná n vlákně spočívá v klidu n dokonle hldké nkloněné rovině. (b) Silový digrm kostky. Všimněme si volby souřdnicových os. (c) Určení -ové y-ové složky tíhové síly mg. Rozepsáním vzthu (5.27) do složek dostneme F = T mg sin θ = 0 y Nkonec určíme T B : T B = 1,29 T A = (1,29)(104N) = = 134N. = 130 N. (Odpově ) PŘÍKLAD 5.8 N obr. 5.22 je kostk o hmotnosti m = 15 kg upevněná n vlákně spočívjící n dokonle hldké nkloněné rovině. Jkou silou je npínáno vlákno, je-li θ = 27? Jkou silou působí nkloněná rovin n kostku? ŘEŠENÍ: N obr. 5.22b je silový digrm pro přípd kostky. N kostku působí tyto síly: (1) normálová síl N, jíž n ni tlčí nkloněná rovin, (2) thová síl vlákn T (3) tíhová síl G = mg. Poněvdž je zrychlení kostky nulové, je podle druhého Newtonov zákon nulová i výslednice všech těchto sil: F = T + N + mg = 0. (5.27) Zvolíme soustvu souřdnic tk, by os byl rovnoběžná s nkloněnou rovinou. Při této volbě budou mít dokonce dvě ze sil (N T) směr souřdnicových os. To je výhod. Všimněme si, že úhel mezi tíhovou silou zápornou poloosou osy y je roven úhlu sklonu nkloněné roviny. Složky této síly určíme z trojúhelník znázorněného n obr. 5.22c. Fy = N mg cos θ = 0. Pk tedy T = mg sin θ = (15 kg)(9,8m s 2 ) sin 27 = = 67 N. (Odpově ) N = mg cos θ = (15 kg)(9,8m s 2 ) cos 27 = = 131 N. = 130 N. (Odpově ) KONTROLA 7: N obrázku působí n kostku vodorovná síl F. () Rozhodněte, zd průmět síly F do směru kolmého ke svhu má velikost F cos θ nebo F sin θ. (b) Dojde vlivem působení síly F ke zvýšení či ke snížení velikosti normálové tlkové síly,jíž působí svh n kostku? θ F

5.8 UŽITÍ NEWTONOVÝCH ZÁKONŮ 105 PŘÍKLAD 5.9 Předstvme si, že dojde k přetnutí vlákn udržujícího kostku n obr. 5.22 n nkloněné rovině v klidu. S jkým zrychlením se bude kostk pohybovt? ŘEŠENÍ: Přetnutím vlákn zmizí síl T, vyznčená n obr. 5.22b. Zbývjící síly působící n kostku se smozřejmě nemohou vyrušit, nebo nepůsobí v téže přímce. Použitím druhého Newtonov zákon pro -ové složky sil N mg dostneme m () M F = 0 mg sin θ = m, y y tkže = g sin θ. (5.28) Uvědomme si, že normálová síl N nemá vliv n zrychlení podél nkloněné roviny, nebo její -ová složk je nulová. Ze vzthu (5.28) vychází = (9,8m s 2 ) sin 27 = = 4,4m s 2. (Odpově ) Znménko minus signlizuje, že zrychlení má směr klesjící souřdnice, tedy dolů podél nkloněné roviny. Z rov. (5.28) je vidět, že zrychlení kostky nezávisí n její hmotnosti, stejně jko je tomu v přípdě zrychlení volně pdjícího těles. Rov. (5.28) předstvuje návod, jk lze užít nkloněné roviny ke zmírnění grvitce, tj. ke zpomlení volného pádu. Pro θ = 90 dostáváme = g, proθ = 0 je = 0. Ob tyto výsledky jsme očekávli. T m mg T M Mg (b) (c) Obr. 5.23 Příkld 5.10. () Kostk o hmotnosti M kostk o menší hmotnosti m jsou spojeny vláknem vedeným přes kldku. Směry zrychlení kostek jsou vyznčeny šipkmi. Silové digrmy pro kostku m (b) kostku M (c). Užitím druhého Newtonov zákon pro kostku o hmotnosti m, jejíž zrychlení má velikost je souhlsně rovnoběžné s osou y, dostneme m = T mg. (5.29) Pro kostku o hmotnosti M, jejíž zrychlení má stejnou velikost, je všk nesouhlsně rovnoběžné s osou y,máme M = T Mg, (5.30) PŘÍKLAD 5.10 N obr. 5.23 jsou dvě kostky spojené vláknem vedeným přes nehmotnou kldku, která se otáčí bez tření. (Tkové uspořádání se nzývá Atwoodův pdostroj.) Nech m = 1,3kg M = 2,8 kg. Určíme velikost síly npínjící vlákno (společnou) velikost zrychlení kostek. ŘEŠENÍ: Obr. 5.23b, c předstvují silové digrmy pro kždou z kostek. Zdli jsme M > m, tkže očekáváme, že kostk M bude klest, ztímco m bude stoupt. Tto informce umožní přiřdit zrychlením kostek správná znménk. Než zčneme s výpočtem, uvědomme si, že síl npínjící vlákno musí být menší než tíhová síl působící n kostku M (jink by kostk nezčl klest) větší než tíhová síl působící n kostku m (jink by tto kostk nezčl stoupt). Znázornění vektorů v silových digrmech n obr. 5.23 tuto skutečnost respektuje. nebo M = T + Mg. (5.31) Sečtením rovnic (5.29) (5.31) (nebo vyloučením T ) získáme = M m g. (5.32) M + m Doszením tohoto výsledku do rov. (5.29) nebo do (5.31) řešením vzhledem k neznámé T dostneme T = Doszením zdných údjů pk dostáváme 2mM g. (5.33) M + m = M m (2,8kg 1,3kg) g = M + m (2,8kg+ 1,3kg) (9,8m s 2 ) = = 3,6m s 2 (Odpově )

106 KAPITOLA 5 SÍLA A POHYB I T = 2Mm M + m g = 2(2,8kg)(1,3kg) (2,8kg+ 1,3kg) (9,8m s 2 ) = = 17 N. (Odpově ) Velikosti tíhových sil působících n jednotlivé kostky jsou 13 N (= mg)27n(= Mg). Velikost síly npínjící vlákno (17 N) skutečně leží v intervlu těchto dvou hodnot. PŘÍKLAD 5.10 jiný způsob řešení Obdobně jko při lterntivním* řešení př. 5.5 použijeme nekonvenční volbu osy u. složené těleso dvě síly: mg ve směru nesouhlsném s osou u Mg ve směru souhlsném. (Síly, jimiž působí n vlákno kldk, jsou kolmé k ose u nevstupují do výpočtu.) Síly, které působí podél osy u, udělují složenému tělesu zrychlení. Zápis druhého Newtonov zákon pro složku u má tvr Fu = Mg mg = (M + m), (5.34) odkud = M m M + m g, stejně jko při předchozím způsobu řešení. Pro získání T použijeme druhý Newtonův zákon pro kteroukoli z kostek užijeme obvyklý způsob volby osy y. Pro kostku o hmotnosti m dostneme rov. (5.29) po doszení z získáme výsledek (5.33). mg m M u () Mg mg mg M +m (b) Mg složené těleso o hmotnosti M +m (c) Mg Obr. 5.24 () Os u je veden přes celou soustvu znázorněnou n obr. 5.23. (b) Kostky jsou uspořádány v npřímené ose u povžovány z jediné těleso o hmotnosti M + m. (c) Příslušný silový digrm, v němž jsou vyznčeny pouze síly působící podél osy u. Tkové síly jsou dvě. ŘEŠENÍ: Vedeme osu u celou soustvou podle obr. 5.24 npřímíme ji podle obr. 5.24b. Kostky budeme povžovt z jediné těleso o hmotnosti M + m. Nkreslíme silový digrm podle obr. 5.24c. Uvědomme si, že podél osy u působí n * Způsob řešení úloh, použitý jko lterntiv v př. 5.5 5.10 zložený n myšlence npřímení nekonvenční osy u jdoucí celou soustvou, může mít svá úsklí, pokud jej důkldně nepromyslíme nepochopíme. Jeho použitelnost spočívá výhrdně v tom, že kždý vektor, tedy i všechny vektorové veličiny vstupující do nšich výpočtů, lze zpst pomocí složek v libovolně zvolené soustvě souřdnic. Npřímení nekonvenční osy u, o níž je řeč npř. v př. 5.10, nepředstvuje nic jiného, než dvojí volbu soustvy souřdnic: s kostkou m je spojen soustv souřdnic, jejíž y-ová os má směr zrychlení této kostky (směřuje tedy svisle vzhůru), y-ová os soustvy souřdnic spojené s kostkou M směřuje nopk svisle dolů, tj. opět ve směru zrychlení příslušné kostky. Vzební podmínk úlohy m = M požduje, by zrychlení kostek byly opčné vektory. Toto poždvek znedbtelné hmotnosti kldky pk zjistí, že druhý Newtonův zákon zpsný ve složkách má stejný tvr jko v přípdě s npřímenou osou u. u u PŘÍKLAD 5.11 Psžér o hmotnosti m = 72,2 kg stojí n nášlpné váze v kbině výthu (obr. 5.25). Jký údj ukzuje váh pro hodnoty zrychlení uvedené v obrázku? ŘEŠENÍ: Zbývejme se touto úlohou z hledisk pozorovtele v (inerciální) vztžné soustvě spojené se Zemí. Pozorovtel plikuje druhý Newtonův zákon n urychlujícího se psžér. Obr. 5.25-c ukzují silové digrmy, v nichž je psžér povžován z částici, pro různé hodnoty velikosti zrychlení kbiny. Bez ohledu n zrychlení kbiny působí Země n psžér tíhovou silou o velikosti mg, kde g = 9,8m s 2 je velikost tíhového zrychlení. Podlh výthu tlčí n váhu směrem vzhůru. Váh tlčí směrem vzhůru n psžér normálovou silou o velikosti N, která je shodná s údjem n stupnici váhy. Psžér se domnívá, že váží tolik, kolik ukzuje váh. Tto veličin se čsto nzývá zdánlivá váh, přičemž název tíhová síl nebo jen váh je rezervován pro veličinu mg.* * V originále je veličin mg nzývánvhou. V českéfyzikální terminologii se tento výrz již téměř neužívá. Vektorové veličině mg, kde g = 9,8m s 2, předstvující sílu, jíž působí Země n těleso o hmotnosti m v těsné blízkosti jejího povrchu, se říká tíhová síl, mg je velikost tíhové síly. Údj čtený n stupnici nášlpné váhy smozřejmě ukzuje velikost síly, jíž působí člověk n podložku váhy, resp. podložk váhy n člověk. Pro tuto veličinu se někdy užívá názvu tíh.pro = 0 je tíh rovn mg odpovídá skutečné váze zmiňovné v originále, pro 0 se od hodnoty mg liší odpovídá zdánlivé váze. Pro = g mluvíme o beztížném stvu. Bez pojmu tíh s přívlstky či bez nich se ovšem sndno obejdeme vyhneme se tk možným dezinterpretcím. Vzhledem k tomu, že stupnice osobních vh jsou cejchovány výhrdně v kilogrmech, může mít smysl mluvit o zdánlivé hmotnosti. Prkticky ve všech úlohách, s nimiž se setkáme, působí n studovná těles tíhová síl. Pro stručnost s přihlédnutím k původnímu tetu užíváme někdy nmísto obsáhlejší správné formulce n těleso působí tíhová síl 100 N použít zkráceného, všk nepřesného, vyjádření těleso váží 100 N.

PŘEHLED & SHRNUTÍ 107 tj. Druhý Newtonův zákon dává m = N mg, N = m(g + ). (5.35) () Jký je údj n stupnici váhy, je-li kbin v klidu, nebo pohybuje-li se stálou rychlostí? (Obr. 5.25.) ŘEŠENÍ: Pro tento přípd je = 0, tedy N = m(g + ) = (72,2kg)(9,80 m s 2 + 0) = = 708 N. (Odpově ) Tento údj povžuje psžér z svoji váhu. (b) Jký je údj n stupnici, směřuje-li zrychlení kbiny vzhůru jeho velikost je 3,20 m s 2? (Obr. 5.25b.) ŘEŠENÍ: Směřuje-li zrychlení kbiny vzhůru, znmená to, že kbin bu stoupá se vzrůstjící rychlostí, nebo klesá s klesjící rychlostí. V obou přípdech je vztžná soustv spojená s kbinou neinerciální. Z rov. (5.35) dostneme N = m(g + ) = (72,2kg)(9,80 m s 2 + 3,20 m s 2 ) = = 939 N. (Odpově ) Psžér tlčí n váhu větší silou než z klidu. Při pohledu n stupnici se psžér může domnívt, že přibrl 23,6 kg (odpovídá 231 N)! (c) Jký je údj n stupnici, směřuje-li zrychlení kbiny dolů má-li velikost 3,2m s 2? (Obr. 5.25c.) ŘEŠENÍ: Směřuje-li zrychlení kbiny dolů, znmená to, že kbin bu stoupá s klesjící rychlostí, nebo klesá se vzrůstjící rychlostí. Vztžná soustv spojená s kbinou je opět neinerciální. Z rov. (5.35) dostneme N = m(g + ) = (72,2kg)(9,80 m s 2 3,20 m s 2 ) = = 477 N. (Odpově ) Psžér tlčí n váhu menší silou než z klidu. Zdá se mu, že zhubl o 23,6 kg (odpovídá 231 N)! y y y N N = o m m m N mg mg mg odečítání hmotnosti nebo zdánlivé hmotnosti () (b) (c) Obr. 5.25 Příkld 5.11. Psžér o hmotnosti m stojí ve výthu n pružinové váze, která ukzuje jeho hmotnost nebo zdánlivou hmotnost. Silové digrmy pro přípdy, kdy () zrychlení kbiny výthu je nulové, (b) =+3,2m s 2,(c) = 3,2m s 2. KONTROLA 8: Jký by byl údj n stupnici, kdyby se lno kbiny přetrhlo kbin by pdl volným pádem? Jká je tedy zdánlivá váh (či zdánlivá hmotnost) psžér při volném pádu? PŘEHLED & SHRNUTÍ Newtonovská mechnik Rychlost částice nebo těles nhrzeného hmotným bodem se může měnit (částice se může urychlovt), jestliže n ni okolní objekty působí silmi. Newtonovská mechnik uvádí do souvislosti celkové silové působení n zkoumné těleso s jeho zrychlením. Síl Pozorujeme-li, že těleso má vzhledem k inerciální soustvě nenulové zrychlení (jeho pohyb je nerovnoměrný nebo křivočrý), jsme si díky prvnímu Newtonovu zákonu jisti, že je ovlivněno interkcí s okolními objekty. Kvntittivně je tto interkce popsán fyzikální veličinou zvnou síl. Vzthy pro síly chrkterizující konkrétní interkce jsou dány silovými zákony, které je třeb zjistit eperimentálně. Silový zákon lze odhlit tk, že sledujeme testovcí těleso o známé hmotnosti m, které interguje s jediným okolním objektem. Síl, kterou tento objekt působí n těleso, bude v kždém okmžiku dán součinem hmotnosti testovcího těles m jeho zrychlení. Eperimentálně bylo zjištěno, že síly jsou vektorové veličiny lze je skládt podle prvidel vektorové lgebry. Výslednice sil působících n těleso je jejich vektorovým součtem. Velikost síly je číselně dán velikostí zrychlení, které tto síl udílí stndrdnímu kilogrmu. Síl, která stndrdnímu kilogrmovému tělesu udělí zrychlení o velikosti 1 m s 2, má podle definice velikost 1 N. Směr zrychlení směr síly jsou shodné. Hmotnost Hmotnost těles je jeho chrkteristik, která určuje vzth mezi jeho zrychlením silou (nebo výslednicí sil), která mu toto zrychlení udílí. Hmotnost je sklární veličin.