Josef Janyška Anna Sekaninová ANALYTICKÁ TEORIE KUŽELOSEČEK A KVADRIK

Josef Janyška Anna Sekaninová ANALYTICKÁ TEORIE KUŽELOSEČEK A KVADRIK

Obsah 1 KOMPLEXNÍ ROZŠÍŘENÍ PROSTORU 7 1 Komplexní rozšíření vektorového prostoru........... 7 Komplexní rozšíření reálného afinního prostoru........ 1 Cvičení.............................. 17 PROJEKTIVNÍ ROZŠÍŘENÍ AFINNÍHO PROSTORU 1 4 Projektivní prostory....................... 1 5 Přechod od projektivního prostoru k afinnímu......... 0 6 Projektivní rozšíření afinního prostoru............. 1 7 Cvičení.............................. BILINEÁRNÍ A KVADRATICKÉ FORMY 5 8 Bilineární formy......................... 5 9 Kvadratické formy........................ 4 10 Ortogonální transformace kvadratické formy.......... 50 11 Cvičení.............................. 55 4 TEORIE KUŽELOSEČEK 61 1 Kuželosečky v projektivní rovině................ 61 1 Projektivní klasifikace kuželoseček............... 71 14 Afinní vlastnosti kuželoseček.................. 75 15 Afinní klasifikace kuželoseček.................. 8 16 Metrické vlastnosti kuželoseček................. 9 17 Metrická klasifikace kuželoseček................. 98 18 Kuželosečky jako množiny bodů daných vlastností......................... 114 19 Cvičení.............................. 118

4 OBSAH 5 TEORIE KVADRIK 19 0 Kvadriky v projektivním prostoru............... 19 1 Projektivní klasifikace kvadrik.................. 17 Tečná rovina........................... 14 Afinní vlastnosti kvadrik..................... 144 4 Afinní klasifikace kvadrik.................... 148 5 Metrické vlastnosti kvadrik................... 161 6 Metrická klasifikace kvadrik................... 167 7 Cvičení.............................. 180

Předmluva Tento učební text pokrývá zhruba látku, která je přednášena v 5. semestru učitelského studia matematiky v předmětu Teorie kuželoseček a kvadrik. Text vznikl na základě přednášek obou autorů. Přednáška vyžaduje předběžné znalosti lineární analytické geometrie v rozsahu skript Horák, Janyška [6] nebo učebnice Sekanina a kol. [1]. Obsahem textu je analytický přístup ke studiu kuželoseček respektive kvadrik v projektivní, afinní a euklidovské rovině respektive prostoru. K ucelenému výkladu jsou potřebné některé kapitoly z algebry, které nejsou součástí povinného kurzu, proto jsme do textu zařadili tyto kapitoly v nezbytném minimálním rozsahu. Jde o komplexní rozšíření vektorového a afinního prostoru (Kapitola 1), projektivní rozšíření afinního prostoru (Kapitola ) a konečně o úvod do teorie bilineárních a kvadratických forem (Kapitola ). Těžiště textu je v Kapitole 4 (analytická teorie kuželoseček) a v Kapitole 5 (analytická teorie kvadrik). I když je náš přístup analytický, snažíme se co nejvíce zdůraznit geometrické vlastnosti definovaných pojmů. K tomu slouží i řada obrázků. Pro přehlednost textu jsou definice vyznačeny rámečkem a konce důkazů respektive poznámek jsou označeny symboly respektive. Na konci každého paragrafu jsou uvedeny řešené příklady typické pro daný paragraf a v každé kapitole je zařazen paragraf s příklady na procvičení. Závěrem bychom chtěli poděkovat prof. RNDr. I. Kolářovi, DrSc., za pečlivé studium rukopisu a posluchačům J. Kopřivové a L. Vémolovi za kontrolu výsledků některých cvičení. V Brně, 1. května 001 Autoři 5

6 OBSAH

Kapitola 1 KOMPLEXNÍ ROZŠÍŘENÍ PROSTORU Až dosud jsme v analytické geometrii uvažovali všechny prostory (vektorové, afinní, euklidovské) pouze nad tělesem reálných čísel. Pro potřeby teorie kuželoseček a kvadrik se však reálné prostory jeví jako nedostatečné. Ukážeme si, proč. V lineární geometrii, např. v euklidovské rovině, platilo, že dvě souřadnicové lineární rovnice určují stejný geometrický objekt (nadrovinu) tehdy a jen tehdy, liší-li se o nenulový násobek. Mějme ale dvě rovnice. stupně x + y = 0, (1) x + y = 0, () kde [x; y] jsou souřadnice bodu v rovině vzhledem k nějakému ortonormálnímu repéru. Je zřejmé, že oběma rovnicím vyhovují pouze souřadnice počátku, tj. určují stejnou množinu v euklidovské rovině, a přitom není rovnice () násobkem rovnice (1). V této kapitole proto zavedeme takzvané komplexní rozšíření reálného prostoru tak, abychom docílili toho, že i dvě rovnice. stupně určují tutéž množinu právě tehdy, liší-li se o nenulový násobek. 1 Komplexní rozšíření vektorového prostoru Předpokládejme, že V je vektorový prostor konečné dimenze n nad tělesem reálných čísel. Podobným způsobem, jako se v teorii čísel sestrojí komplexní rozšíření tělesa reálných čísel v těleso komplexních čísel, sestrojíme i komplexní rozšíření vektorového prostoru V. Uvažujme množinu V V a definujme na ní operaci sčítání a násobení 7

8 1. KOMPLEXNÍ ROZŠÍŘENÍ PROSTORU komplexním číslem následujícím způsobem (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), (1.1) (α + iβ)(a, b) = (αa βb, αb + βa). (1.) Snadno se ověří, že V V spolu s operacemi sčítání a násobení komplexními čísly definovanými (1.1) a (1.) je vektorovým prostorem nad tělesem komplexních čísel C. Definice 1.1. Množinu V V s operacemi sčítání a násobení komplexními čísly definovanými vztahy (1.1) a (1.) budeme nazývat komplexní rozšíření reálného vektorového prostoru V a označovat V C. Uvažujme podmnožinu M = {(u, o) V V } V C. Snadno ověříme, že M je uzavřená vzhledem ke sčítání a násobení reálnými čísly. Uvažujme zobrazení V na M, které přiřadí vektoru u V vektor (u, o) M. Toto zobrazení je izomorfizmem vektorového prostoru V na M. Při ztotožnění V a M tedy dostáváme, že V V C. Poznámka 1.1. V je podmnožina ve V C, ale ne vektorový podprostor, protože V je definováno nad R a V C nad C. Nyní můžeme každý vektor (u, v) V C psát následujícím způsobem (u, v) = (u, o) + (o, v) = (u, o) + i(v, o) = u + iv. Vektor u V budeme nazývat reálnou složkou (částí) a vektor v V imaginární složkou (částí) vektoru w = u + iv V C a označovat u = Re(w), v = Im(w). Nulovým vektorem V C je (o, o) = o + io = o. Věta 1.1. Vektory u 1,..., u k V jsou lineárně nezávislé v prostoru V tehdy a jen tehdy, jsou-li lineárně nezávislé v prostoru V C. Důkaz. Je zřejmé, že jsou-li u 1,..., u k V lineárně závislé ve V, jsou i lineárně závislé ve V C. Nechť jsou u 1,..., u k lineárně závislé ve V C. Potom existují komplexní čísla α j +iβ j, j = 1,..., k, taková, že alespoň jedno z nich je nenulové a platí k (α j + iβ j )u j = o, tj. j=1 k α j u j + i j=1 k β j u j = o. j=1

1. Komplexní rozšíření vektorového prostoru 9 Musí tedy platit k j=1 α ju j = o a současně k j=1 β ju j = o, přičemž alespoň jedno α j R nebo β j R je nenulové, což znamená, že vektory u 1,..., u k jsou lineárně závislé ve V. Dokázali jsme tedy, že u 1,..., u k jsou lineárně závislé ve V tehdy a jen tehdy, jsou-li lineárně závislé ve V C, což je tvrzení ekvivalentní tvrzení Věty 1.1. Věta 1.. Každá báze prostoru V je i bází prostoru V C. Důkaz. Nechť u 1,..., u n je báze vektorového prostoru V. Potom u 1,..., u n jsou lineárně nezávislé ve V C a musíme dokázat, že u 1,..., u n je systém generátorů V C. Buď x + iy V C libovolný vektor. Potom existují reálná čísla x 1,..., x n, y 1 ;... ; y n tak, že x = n j=1 x ju j, y = n j=1 y ju j. Odtud x + iy = n x j u j + i j=1 což dokazuje naši Větu 1.. n y j u j = j=1 n (x j + iy j )u j, Definice 1.. Každá báze prostoru V C, která je současně i bází V, se nazývá reálná báze. Věta 1.. Buď U podprostor vektorového prostoru V. Potom U C je podprostorem vektorového prostoru V C. Důkaz. Věta 1. je přímým důsledkem definice komplexního rozšíření vektorového prostoru. Definice 1.. Podprostor W vektorového prostoru V C, který je komplexním rozšířením podprostoru U V, se nazývá reálný podprostor a označujeme ho U C. Ne každý podprostor ve V C je reálný, ale každý podprostor ve V C obsahuje nějaký reálný podprostor, minimálně triviální podprostor {o}. Vektory u + iv a u iv se nazývají vektory komplexně sdružené. Je-li w V C, budeme komplexně sdružený vektor označovat w. Je-li W V C vektorový podprostor, je W = {w w W } vektorový podprostor nazývaný komplexně sdružený podprostor k podprostoru W. Pro komplexně sdružené vektory ve V C platí vztahy obdobné vztahům pro komplexně sdružená čísla. Pro w, w V C, k C, platí w + w = w + w, kw = k w. j=1

10 1. KOMPLEXNÍ ROZŠÍŘENÍ PROSTORU kde k je komplexně sdružené číslo k číslu k. Dále platí Re(w) = 1 (w + w), Im(w) = i (w w). Věta 1.4. Vektorový podprostor W V C je reálný právě tehdy, když W = W. Důkaz. Nechť W je reálný podprostor ve V C, tj. W = {w = u + iv, u, v U} = U C pro nějaký podprostor U V. Je zřejmé, že pro každé w W je i w W, a tedy W = W. Nechť W = W. Potom pro w W je i w W, a tedy i reálné vektory Re(w) W. Množina U = {Re(w)} je uzavřená vzhledem ke sčítání a násobení reálnými čísly, a tedy je podprostorem ve V. Protože Im(w) = Re( iw), je {Im(w)} U a w = Re(w) + iim(w). Potom W = U C. Důsledek 1.1. Nechť W je podprostor ve V C. Potom maximální reálný podprostor obsažený v W je W W. Při určování maximálního reálného podprostoru v podprostoru W V C postupujeme podle Důsledku 1.1. Při praktickém výpočtu postupujeme podle způsobu zadání W. Je-li W = L(w 1,..., w k ), určíme W = L(w 1,..., w k ) a W W. Je-li dimw = dimw W, je W reálný podprostor. Je-li podprostor W vzhledem k nějaké reálné bázi V C zadán obecnými rovnicemi a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = 0,. a (n k)1 x 1 + a (n k) x + + a (n k)n x n = 0, a ij C, je obecné vyjádření podprostoru W a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = 0, (1.). a (n k)1 x 1 + a (n k) x + + a (n k)n x n = 0. (1.4) Potom W W je společným řešením soustav (1.) a (1.4). Je li W reálný podprostor, musí existovat takové jeho obecné vyjádření (1.), že a ij R. Věta 1.5. Nechť V a U jsou reálné vektorové prostory a ϕ : V U je lineární zobrazení. Potom existuje právě jedno lineární zobrazení ϕ C : V C U C takové, že pro každý vektor x V je ϕ C (x) = ϕ(x). Je-li lineární zobrazení ϕ prosté, je i lineární zobrazení ϕ C prosté a je-li ϕ surjektivní, je i ϕ C surjektivní.

1. Komplexní rozšíření vektorového prostoru 11 Důkaz. Nechť ϕ : V U je lineární zobrazení. Definujme zobrazení ϕ C z V C do U C vztahem ϕ C (x + iy) = ϕ(x) + iϕ(y) (1.5) pro každé x + iy V C. Je zřejmé, že ϕ C (x) = ϕ(x) pro každý vektor x V. Ověříme, že ϕ C je lineární zobrazení. Nechť x j + iy j V C, α j + iβ j C, j = 1,. Potom ϕ C ((α 1 + iβ 1 )(x 1 + iy 1 ) + (α + iβ )(x + iy )) = = ϕ C ((α 1 x 1 β 1 y 1 + α x β y ) + i(α 1 y 1 + β 1 x 1 + α y + β x )) = = ϕ(α 1 x 1 β 1 y 1 + α x β y ) + iϕ(α 1 y 1 + β 1 x 1 + α y + β x ) = = α 1 ϕ(x 1 ) β 1 ϕ(y 1 ) + α ϕ(x ) β ϕ(y )+ +i(α 1 ϕ(y 1 ) + β 1 ϕ(x 1 ) + α ϕ(y ) + β ϕ(x )) = = (α 1 + iβ 1 )(ϕ(x 1 ) + iϕ(y 1 )) + (α + iβ )(ϕ(x ) + iϕ(y )) = = (α 1 + iβ 1 )ϕ C (x 1 + iy 1 ) + (α + iβ )ϕ C (x + iy ). Předpokládejme, že ψ C je lineární zobrazení z V C do U C takové, že ψ C (x) = ϕ(x) pro každý vektor x V. Potom z linearity dostáváme, že musí platit vztah (1.5), a tedy ϕ C ψ C. Nechť je lineární zobrazení ϕ prosté a ϕ C (x 1 + iy 1 ) = ϕ C (x + iy ). Potom z (1.5) je ϕ(x 1 ) = ϕ(x ) a ϕ(y 1 ) = ϕ(y ), a tedy musí být x 1 = x a y 1 = y, což znamená, že i ϕ C je prosté zobrazení. Nechť lineární zobrazení ϕ je surjektivní zobrazení. Nechť x + iy U C je libovolný vektor. Protože ϕ je surjektivní zobrazení, existují vektory x, y V takové, že ϕ(x) = x a ϕ(y) = y. Potom ϕ C (x + iy) = x + iy, a tedy i ϕ C je surjektivní. Definice 1.4. Zobrazení ϕ C definované ve Větě 1.5 se nazývá komplexní rozšíření lineárního zobrazení ϕ. Nechť v 1,..., v n je báze vektorového prostoru V a u 1,..., u m je báze vektorového prostoru U. Nechť vzhledem k těmto bázím má lineární zobrazení ϕ z V do U matici A ϕ. To znamená, že má-li x V souřadnicové vyjádření x = x 1 v 1 + + x n v n a vektor ϕ(x) U souřadnicové vyjádření ϕ(x) = x 1 u 1 + + x mu m, potom x 1 = a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n, x = a 1 x 1 + a x + + a n x n,. x m = a m1 x 1 + a m x + + a mn x n,

1 1. KOMPLEXNÍ ROZŠÍŘENÍ PROSTORU a ij R, což píšeme maticově, při ztotožnění vektoru se sloupcovou maticí jeho souřadnic, ve tvaru ϕ(x) = A ϕ x. Protože každá báze prostoru V je i bází prostoru V C a podobně, každá báze prostoru U je i bází prostoru U C, můžeme vyjádřit i matici A ϕ C vzhledem k bázím v 1,..., v n a u 1,..., u m. Věta 1.6. Pro libovolné lineární zobrazení ϕ z V do U jsou matice A ϕ a A ϕ C vzhledem k reálným bázím v V C a U C totožné. Důkaz. Nechť v bázích v 1,..., v n ve V a u 1,..., u m v U je A ϕ matice lineárního zobrazení ϕ z V do U. Podle (1.5) je ϕ C (x+iy) = ϕ(x)+iϕ(y) = A ϕ x + ia ϕ y = A ϕ (x + iy). Poznámka 1.. Je třeba si uvědomit, jaký je rozdíl mezi souřadnicovým vyjádřením libovolného lineárního zobrazení z V C do U C a komplexním rozšířením lineárního zobrazení z V do U. Zatímco matice komplexního rozšíření reálného lineárního zobrazení vzhledem k reálným bázím je definována nad R, je obecně matice libovolného lineárního zobrazení z V C do U C definována nad C. Úloha 1.1. Ověřte, zda podprostor W ve V C určený vektory u 1 = (1; 1 + i; 1 i) a u = (1 + i; 0; + i) je reálný. V případě, že ano, určete nějakou jeho reálnou bázi. Řešení : Stačí ověřit, jaká je dimenze podprostoru W W. Protože hodnost matice sestavené ze souřadnic vektorů u 1, u, u 1 a u je rovna dvěma a protože dimw = = dimw, je dim(w W ) =, tedy W = W a W je reálný. Reálnou bázi tvoří např. vektory Re(u 1 ) = (1; 1; 1) a Im(u 1 ) = (0; 1; 1). Úloha 1.. Nechť podprostor W ve V C je v nějaké reálné bázi zadán obecnou rovnicí W : (1 + i)x 1 + ix + ( i)x = 0. Určete maximální reálný podprostor ležící v W. Řešení : Obecné rovnice komplexně sdruženého podprostoru W jsou W : (1 i)x 1 ix + ( + i)x = 0. Maximální reálný podprostor v W je W W, který je řešením soustavy rovnic (1 + i)x 1 + ix + ( i)x = 0, (1 i)x 1 ix + ( + i)x = 0. Obecné řešení této soustavy je reálný jednodimenzionální podprostor generovaný vektorem ( ; ; 1).

. KOMPLEXNÍ ROZŠÍŘENÍ REÁLNÉHO AFINNÍHO PROSTORU 1 Komplexní rozšíření reálného afinního prostoru V předchozím kurzu analytické geometrie jsme zavedli reálný n-rozměrný afinní prostor jako uspořádanou trojici (A, V, ), kde A je neprázdná množina bodů, V je n dimenzionální reálný vektorový prostor zaměření a : A A V je zobrazení splňující dva axiomy afinního prostoru. Nyní tento prostor rozšíříme v komplexní afinní prostor. Věta.1. Buď A C = A V a zobrazení C : A C A C V C (komplexní rozšíření prostoru V ) definované vztahem (X, u)(y, v) C = XY + i(v u), (.1) kde X, Y A, u, v V. Potom trojice (A C, V C, C) je komplexní afinní prostor. Důkaz. Musíme dokázat, že pro zobrazení (.1) platí axiomy afinního prostoru. Nechť je dán libovolný prvek (X, u) A C a libovolný vektor w = w 1 + iw V C. Potom existuje jediný prvek (Y, v) A C takový, že je splněno (.1). Konkrétně Y = X + w 1 a v = u + w. Dále pro libovolné tři prvky (X, u), (Y, v), (Z, w) A C platí (X, u)(y, v) C + (Y, v)(z, w) C = XY + i(v u) + Y Z + i(w v) = XZ + i(w u) = (X, u)(z, w) C, a tedy (A C, V C, C) je afinní prostor nad tělesem komplexních čísel C. Dále budeme body A A ztotožňovat s prvky (A, o) A C. Při tomto ztotožnění můžeme A považovat za podmnožinu v A C, která ovšem není afinním podprostorem. Definice.1. Komplexní afinní prostor A C sestrojený ve Větě.1 nazýváme komplexní rozšíření reálného afinního prostoru A. Úmluva. Jsou-li (X, u), (Y, v) A C, w V C, budeme místo (X, u)(y, v) C = w psát (Y, v) = (X, u)+w, což je ekvivalentní rovnostem Y = X +w 1, v = u + w, kde w = w 1 + iw. Při ztotožnění X A s (X, o) A C a u V s (u, o) V C můžeme každý prvek (X, u) A C psát ve tvaru (X, u) = (X, o) + (o, u) = X + iu. Tedy každý bod (X, u) A C n můžeme psát, při pevně zvoleném P A n, ve tvaru P + v + iu, kde vektor v je jednoznačně určen podmínkou X = P + v.

14 1. KOMPLEXNÍ ROZŠÍŘENÍ PROSTORU Zvolme nyní v afinním prostoru A afinní souřadnou soustavu afinním repérem P ; u 1,..., u n. (.) Podle Věty 1. určuje repér (.) afinní souřadnou soustavou také v A C a takovou afinní souřadnou soustavu budeme nazývat reálná afinní souřadná soustava. To znamená, že vzhledem k repéru (.) můžeme každému bodu X+iu A C přiřadit uspořádanou n-tici komplexních čísel [x 1 +iu 1,..., x n + iu n ] takovou, že X + iu = P + n j=1 (x j + iu j )u j, kde [x 1 ;... ; x n ] jsou souřadnice bodu X A v afinní souřadné soustavě určené repérem (.) a (u 1 ;... ; u n ) jsou souřadnice vektoru u V v bázi u 1,..., u n. Bod X A má vzhledem k (.) stejné souřadnice v A i v A C. Navíc X A C leží v A právě tehdy, jsou-li jeho souřadnice vzhledem k reálné afinní souřadné soustavě určené repérem (.) reálná čísla. Definice.. Buď B afinní podprostor v A a W jeho zaměření. Potom množinu B W nazýváme komplexní rozšíření podprostoru B a značíme ji B C. Je zřejmé, že B C je afinním podprostorem v A C. Obráceně ale neplatí, že každý afinní podprostor v A C je komplexním rozšířením nějakého afinního podprostoru v A. Například bod X+iu A C je afinním podprostorem v A C a pro u o není komplexním rozšířením žádného podprostoru v A. Afinní podprostor v A C, který vznikl jako komplexní rozšíření afinního podprostoru v A, budeme nazývat reálný afinní podprostor. Ke každému bodu X + iu A C můžeme sestrojit bod X iu A C. Tento bod budeme nazývat komplexně sdružený k bodu X + iu. Jsou-li dva body z A C navzájem komplexně sdruženy, pak jejich souřadnice v libovolné reálné afinní souřadné soustavě v A C jsou uspořádané n-tice navzájem komplexně sdružených čísel. Je li B afinní podprostor v A C určený bodem B A C a zaměřením W V C, je podprostor určený bodem B a zaměřením W afinní podprostor komplexně sdružený k afinnímu podprostoru B a budeme ho označovat B. Podprostor B je reálný právě tehdy, je li B B. Obecně mohou podprostory B = {B, W } a B = {B, W } mít nejrůznější vzájemné polohy. Mohou být mimoběžné, rovnoběžné i různoběžné. V případě, že jsou různoběžné, je jejich průnik reálný podprostor. Určování vzájemných poloh, průniku a součtu podprostorů je stejné jako v reálném případě. Věta.. Mějme dány reálné afinní prostory A n a A m a afinní zobrazení f : A n A m. Potom existuje právě jedno afinní zobrazení f C : A C n A C m takové, že f C (X) = f(x) pro každý bod X A n.

. Komplexní rozšíření reálného afinního prostoru 15 Důkaz. Zvolme libovolný bod P A n a označme P = f(p ) A m. Potom f(p + u) = P + ϕ f (u), kde ϕ f je asociované lineární zobrazení ze zaměření A n do zaměření A m. Máme jednoznačně určené zobrazení f C : A C n A C m, které zobrazí bod (P + u, v) z A C n na bod P + ϕ C f (u + iv), kde ϕc f je komplexní rozšíření ϕ f z Věty 1.5. Snadno se vidí, že f C je jediné afinní zobrazení požadovaných vlastností. Definice.. Zobrazení f C definované ve Větě. se nazývá komplexní rozšíření afinního zobrazení f. Poznámka.1. Platí ϕ C f = ϕ f C. Každá afinní souřadná soustava v A n určuje současně reálnou afinní souřadnou soustavu v A C n. Z předchozí poznámky a Věty 1.6 vyplývá, že souřadnicová vyjádření reálného afinního zobrazení a jeho komplexního rozšíření jsou vzhledem k reálným afinním souřadným soustavám v A C n (respektive v A C m) totožná. To znamená, že matice komplexního rozšíření afinního zobrazení má v reálných afinních souřadných soustavách reálné koeficienty na rozdíl od matice obecného afinního zobrazení z A C n do A C m, jejíž koeficienty jsou komplexní čísla. Úloha.1. Ověřte, zda daný podprostor je reálný: a) Podprostor v A C je určen body B 1 = [1 + i; i], B = [1 i; + i]. b) Podprostor v A C je určen rovnicemi x + ( + i)y iz = + i, x + ( i)y + iz = i. c) Podprostor v A C je určen rovnicí x + ( + i)y iz = 0. Řešení : a) Vektor B 1 B = ( i; i) = ( i; i). Potom přímka určená body B 1, B má parametrické rovnice x = 1 + i ti, y = i + ti a sečtením dostaneme její obecnou rovnici ve tvaru x + y = 0,

16 1. KOMPLEXNÍ ROZŠÍŘENÍ PROSTORU což znamená, že přímka je reálná. b) Nad komplexními čísly řešíme soustavu rovnic x + ( + i)y iz = + i, x + ( i)y + iz = i. Sečtením dostaneme x = y a dosazením do jedné z rovnic dostaneme z = + y. Parametrické vyjádření daného podprostoru je tedy tvaru x = t, y = t, což znamená, že podprostor je reálný. z = + t, c) Z rovnice podprostoru dostaneme x = ( + i)y + iz. Volbou y, z za parametry dostaneme parametrické rovnice ve tvaru x = ( i)t + is, y = t, z = s, což znamená, že podprostor je imaginární. Úloha.. Je dán podprostor B v A C 4. Určete maximální reálný podprostor ležící v B, když a) B : x 1 + (1 + i)x ix x 4 = + i, b) B : x 1 + ( + i)x ix = 0. Řešení : a) Maximální reálný podprostor ležící v B je B B. Máme B : x 1 + (1 i)x + ix x 4 = i. B B je společným řešením rovnic určujících B a B. Sečtením rovnic dostaneme x 4 = + x 1 + x a po dosazení do jedné z rovnic dostaneme x = 1 + x. Je tedy průnikem B B (a tím i maximálním reálným podprostorem v B) reálná rovina o parametrickém vyjádření x 1 = t, x = s, x = 1 + s, x 4 = + t + s. b) Máme B : x 1 + ( i)x + ix = 0.

. CVIČENÍ 17 Společným řešením rovnic určujících B a B dostaneme x 1 = t, x = t, x = t, x 4 = s, tj. maximálním reálným podprostorem v B je reálná rovina. Úloha.. V A C je dána přímka p bodem A = [1; i; i] a směrovým vektorem u = (1 + i; ; i). Určete vzájemnou polohu přímek p a p. Řešení : Přímka p je určena bodem A = [1; i; i] a směrovým vektorem u = (1 i; ; i). Snadno se přesvědčíme, že matice sestavená ze souřadnic vektorů u, u a AA = (0; i; i) má hodnost, což znamená, že přímky p a p jsou mimoběžné. Cvičení.1. V A C jsou v reálné bázi dány bod B = [1; ; ] a vektory u = (; 1; 1), v = (; 0; 1). Určete souřadnice bodů C = B + iu, C a vektorů w = u + iv, w. { C = [1 + i; + i; i], C = [1 i; i; + i], w = ( + i; 1; 1 + i), w = ( i; 1; 1 i) }.. V A C jsou v reálné bázi dány bod K = [ + i; i] a vektor u = ( 1 + i; + i). Určete parametrické i obecné rovnice přímky dané bodem K a vektorem u. { Parametrické rovnice: x = + i + t( 1 + i), y = i + t( + i). Obecné rovnice: ( + i)x + (1 i)y 1 + 4i = 0 }.. Najděte reálné body přímek v A C : a) p : ix + ( + i)y 1 = 0, b) p je určena body A = [1 + i; i], B = [i; 1 + i], c) p : x = (1 + i) + it, y = (1 i) + t. { a) [ ; 1 ], b) neexistují, c) [ 1 ; 1] }.4. Určete rovnici reálné přímky procházející bodem K = [ i; 1 + i]. { Reálná přímka je určena body K a K: x + y 5 = 0 }.5. V A C určete parametrické rovnice reálné přímky, která prochází imaginárním bodem A = [ + i; 1 + i; 1 i].

18 1. KOMPLEXNÍ ROZŠÍŘENÍ PROSTORU { x = t, y = 1 t, z = t }.6. V A C udejte příklad přímky p takové, že p a p jsou a) různoběžné, b) rovnoběžné, c) mimoběžné..7. V A C ukažte, že přímka p : (1 4i)y + (1 i)z + 1 i = 0, (1 i)x y + ( + i)z = 0 je různoběžná s přímkou s ní komplexně sdruženou a vypočtěte souřadnice jejich společného bodu a rovnici roviny jimi určené. { [ 1 ; ; 1 ], x 8y z 6 = 0 }.8. V A C určete rovnice reálné přímky, která leží v imaginární rovině α : ( i)x + (1 + i)y iz + = 0. { x = t, y = t, z = 5t }.9. Určete reálný podprostor obsažený v podprostoru A C 4 : a) B : ( i)x 1 + (1 + i)x ix + 5x 4 = 0, b) C : (1 + i)x 1 + ( i)x x 4 = 1, x 1 + x + ix (1 i)x 4 = 0, c) D : x 1 = 1 + t + is, x = it, x = i + s, x 4 = (1 + i) + ( + i)t. { a) x 1 x + x = 0, x 1 + x + 5x 4 = 0, b) bod [ 1 5 ; 1 5 ; 5 ; 5 ], c) bod [; 1 ; 1 ; ] }.10. Určete vzájemnou polohu podprostorů v A C 4 : a) B a C jsou podprostory z cvičení.9, b) B je podprostor z cvičení.9 a C : X = [1; 0; 0; 1] + t(0; 1; 1; i). { a) podprostory se protínají v přímce, b) podprostory se protínají v bodě [1; 1 1 1 1 (1 + 1i); 1 (1 + 1i); 1 ( 8 + i)] }.11. Nechť ϕ a ψ jsou lineární zobrazení z reálného vektorového prostoru V do reálného vektorového prostoru U. Dokažte, že zobrazení Φ z V C do U C definované předpisem Φ(x + iy) = ϕ(x) ψ(y) + i(ϕ(y) + ψ(x)) je lineární. Dále dokažte, že v reálných bázích je A Φ = A ϕ + ia ψ. { Návod: Postupujte jako v důkazech Vět 1.5 a 1.6 }

. Cvičení 19.1. Dokažte, že je-li f : A n A m afinní zobrazení a ψ : Z(A n ) Z(A m ) lineární zobrazení, je F : A C n A C m zadané předpisem F (P + u + iv) = f(p ) + ϕ f (u) ψ(v) + i(ϕ f (v) + ψ(u)) afinní zobrazení a v reálných afinních souřadných soustavách v A C n a A C m je A F = A f + ia ψ.

0 1. KOMPLEXNÍ ROZŠÍŘENÍ PROSTORU

Kapitola PROJEKTIVNÍ ROZŠÍŘENÍ AFINNÍHO PROSTORU V teorii kuželoseček a kvadrik hrají důležitou úlohu nevlastní body, které si můžeme intuitivně představit jako body, ve kterých se protínají rovnoběžné přímky. Tyto body ovšem nepatří do afinního prostoru a při použití afinních souřadnic se nedají souřadnicově vyjádřit. Proto v této kapitole zavedeme pojem projektivního rozšíření afinního prostoru, v němž budeme moci pracovat také s nevlastními body, které můžeme vyjádřit rovněž pomocí souřadnic. 4 Projektivní prostory V této kapitole V n+1 je (n + 1)-rozměrný vektorový prostor nad tělesem T (dále T bude buď těleso reálných nebo komplexních čísel). Definice 4.1. Množinu P n všech jednorozměrných podprostorů vektorového prostoru V n+1 nazveme n-rozměrným projektivním prostorem nad tělesem T. Jeho prvky nazýváme body. V n+1 nazýváme aritmetickým základem (nosičem) prostoru P n. Vektor x V, x o, který generuje bod X = x = {αx, α T} P n nazýváme aritmetickým zástupcem bodu X. Poznámka 4.1. Každý bod A P n má nekonečně mnoho aritmetických zástupců, protože jednodimenzionální podprostor má nekonečně mnoho bází. 1

. PROJEKTIVNÍ ROZŠÍŘENÍ AFINNÍHO PROSTORU Je-li a aritmetickým zástupcem bodu A, tj. A = a, je i αa, α T, α 0, aritmetickým zástupcem bodu A. Poznámka 4.. Přesněji by mělo být řečeno, že projektivním prostorem je dvojice (P n, V n+1 ). Pokud nemůže dojít k záměně vektorového prostoru V n+1, budeme psát jen P n. Definice 4.. Body A 1 = a 1,..., A k = a k nazveme lineárně nezávislé (závislé), jestliže jsou lineárně nezávislé (závislé) vektory a 1,..., a k. Řekneme, že bod A = a je lineární kombinací bodů A 1 ;... ; A k, jestliže vektor a je lineární kombinací vektorů a 1,..., a k. Je-li a = α 1 a 1 +... + α k a k, píšeme formálně A = α 1 A 1 +... + α k A k. Poznámka 4.. Z vlastností vektorových prostorů vyplývá, že v P n existuje nejvýše (n + 1) lineárně nezávislých bodů. Poznámka 4.4. Lineárně nezávislé body budeme také nazývat body v obecné poloze. Definice 4.. Aritmetickou bází projektivního prostoru P n rozumíme libovolnou bázi u 1,..., u n+1 vektorového prostoru V n+1. Geometrickou bází (projektivním repérem) prostoru P n rozumíme libovolnou (n + )- tici bodů O 1 ;... ; O n+1, E takových, že libovolných (n + 1) z nich je lineárně nezávislých. Body O 1 ;... ; O n+1 nazýváme základní body a bod E jednotkový bod geometrické báze. Věta 4.1. Je-li u 1,..., u n+1 aritmetická báze prostoru P n, potom je geometrická báze P n. u 1,..., u n+1, u 1 +... + u n+1 Důkaz. Stačí ukázat, že pro libovolné i je u 1,..., u i 1, u i+1,..., u n+1, u 1 +... +u n+1 soustava nezávislých vektorů. Nechť tedy α 1 u 1 +...+α i 1 u i 1 +α i+1 u i+1 +...+α n+1 u n+1 +α n+ (u 1 +...+u n+1 ) = o α 1,..., α n+ T. Vektory u 1,..., u n+1 jsou lineárně nezávislé, a tedy musí být α 1 +α n+ =... = α i 1 +α n+ = α n+ = α i+1 +α n+ =... = α n+1 +α n+ = 0, odtud α 1 =... = α i 1 = α i+1 =... = α n+1 = α n+ = 0.

4. Projektivní prostory Věta 4.. Je-li O 1 ;... ; O n+1, E geometrická báze P n, pak existuje aritmetická báze u 1,..., u n+1 taková, že O 1 = u 1,..., O n+1 = u n+1, E = u 1 +... + u n+1. Je-li v 1,..., v n+1 jiná aritmetická báze s touto vlastností, pak existuje α T, α 0, takové, že v i = αu i, i = 1,..., n + 1. Důkaz. Nechť O 1 ;... ; O n+1, E je geometrická báze. Uvažujme libovolné aritmetické zástupce w 1,..., w n+1, w těchto bodů. Vektory w 1,..., w n+1 musí být lineárně nezávislé, a tedy w = c 1 w 1 + + c n+1 w n+1. Navíc všechny koeficienty c i jsou nenulové. Kdyby se totiž c i = 0 pro některé i, potom by byly body O 1 ;... ; O i 1, O i+1,..., O n+1, E lineárně závislé, což je spor s předpokladem, že O 1 ;... ; O n+1, E tvoří geometrickou bázi. Položme nyní u i = c i w i, u = w. Potom je O i = u i a E = u = u 1 +... + u n+1. Je-li v 1,..., v n+1 jiná aritmetická báze s uvedenou vlastností, je v 1 = α 1 u 1,..., v n+1 = α n+1 u n+1, v 1 +...+v n+1 = α n+ (u 1 +...+u n+1 ). Odtud dostaneme α 1 u 1 +... + α n+1 u n+1 = α n+ (u 1 +... + u n+1 ) a z nezávislosti vektorů u 1,..., u n+1 je tedy α 1 =... = α n+1 = α n+ = α. α 1 α n+ =... = α n+1 α n+ = 0, Definice 4.4. Nechť X P n je bod, O 1 ;... ; O n+1, E je geometrická báze P n taková, že O 1 = u 1,..., O n+1 = u n+1, E = u 1 +... + u n+1. Nechť X = x, kde x = x 1 u 1 +... + x n+1 u n+1 x i T. Potom uspořádanou (n+1)-tici (x 1,..., x n+1 ) prvků z T nazveme projektivními homogenními souřadnicemi bodu X vzhledem ke geometrické bázi O 1,..., O n+1, E. Věta 4.. Nechť bod X P n má vzhledem k libovolné geometrické bázi O 1 ;... ; O n+1, E projektivní homogenní souřadnice (x 1 ;... ; x n+1 ). Potom (i) alespoň jedno z čísel x 1 ;... ; x n+1 je nenulové, (ii) (y 1 ;... ; y n+1 ) jsou také projektivní homogenní souřadnice bodu X vzhledem ke geometrické bázi O 1 ;... ; O n+1, E tehdy a jenom tehdy, když existuje α T, α 0, takové, že y i = αx i, i = 1,..., n + 1.

4. PROJEKTIVNÍ ROZŠÍŘENÍ AFINNÍHO PROSTORU Důkaz. (i) Je-li X = x, je x o, a tedy alespoň jedna souřadnice vektoru x vzhledem k aritmetické bázi u 1,..., u n+1 generované geometrickou bází O 1 ;... ; O n+1, E musí být nenulová. (ii) Je-li X = x a současně X = y, existuje takový nenulový prvek β z T, že y = βx. Dále můžeme uvažovat jinou aritmetickou bázi v 1,..., v n+1 generovanou geometrickou bází O 1 ;... ; O n+1, E. Podle Věty 4. existuje nenulové γ T takové, že v i = γu i. Potom y = y 1 v 1 + + y n+1 v n+1 je ekvivalentní x = γ β (y 1u 1 + + y n+1 u n+1 ) a odtud vyplývá y i = αx i, kde α = β γ. Věta 4.4. Body A 1 ;... ; A k jsou lineárně nezávislé tehdy a jenom tehdy, když matice, jejíž řádky či sloupce tvoří souřadnice bodů A 1 ;... ; A k vzhledem k nějaké geometrické bázi, má hodnost k. Důkaz. Převede se na lineární nezávislost aritmetických zástupců. Definice 4.5. Nechť (P n, V n+1 ) je projektivní prostor a W k+1 je (k + 1)- rozměrný podprostor ve V n+1, pak množinu všech bodů projektivního prostoru P n, jejichž aritmetičtí zástupci patří do W k+1, nazveme k- rozměrným projektivním podprostorem prostoru P n. Jednorozměrný podprostor nazýváme přímka, dvourozměrný rovina a (n 1) rozměrný nadrovina v P n. Věta 4.5. Nechť (Q k, W k+1 ) a (R l, U l+1 ) jsou dva podprostory projektivního prostoru (P n, V n+1 ). Pak platí: (i) množina Q k + R l = { u o u W k+1 + U l+1 } je projektivním podprostorem v P n, (ii) Q k R l je projektivním podprostorem v P n, přičemž Q k R l = { u o u W k+1 U l+1 }. Důkaz. Vyplývá okamžitě z definice projektivního podprostoru. Poznámka 4.5. Při označení z Věty 4.5 nazýváme podprostor Q k + R l součtem (spojením) a Q k R l nazýváme průnikem projektivních podprostorů Q k a R l. Z vlastností součtu a průniku vektorových podprostorů je zřejmé, že Q k + R l obsahuje jako podmnožinu množinové sjednocení Q k a R l. Dále platí dim(q k + R l ) = k + l dim(q k R l ). Věta 4.6. Nechť Q k je k-rozměrný podprostor v P n. Pak (i) v Q k existuje k + 1 lineárně nezávislých bodů, (ii) libovolných l k + bodů z Q k je lineárně závislých,

4. Projektivní prostory 5 (iii) jsou-li A 1 = a 1,..., A k+1 = a k+1 lineárně nezávislé body z Q k a X = x P n, pak X Q k právě tehdy, když x = λ 1 a 1 +... + λ k+1 a k+1 pro nějaká λ i T a alespoň jedno λ i 0. Důkaz. Vlastnosti (i) a (ii) jsou zřejmé z lineární nezávislosti aritmetických zástupců. (iii) Nechť Q k má aritmetický základ W k+1. Potom a 1,..., a k+1 je báze W k+1 a tedy, je-li X = x Q k, je x o W k+1 a existují λ i T, i = 1,..., k + 1 taková, že x = k+1 i=1 λ ia i a alespoň jedno λ i je nenulové. Každý bod X Q k lze napsat formálně jako X = λ 1 A 1 + + λ k+1 A k+1, (4.1) kde A 1 ;... ; A k+1 jsou libovolné lineárně nezávislé body z Q k. Takovéto zadání k-rozměrného podprostoru pomocí lineárně nezávislých bodů budeme nazývat parametrické zadání podprostoru Q k. Poznámka 4.6. Je-li bod X Q k vyjádřen jako v (4.1), budeme říkat, že X je projektivní kombinací lineárně nezávislých bodů A 1 ;... ; A k+1. Všimněme si, že u projektivní kombinace bodů klademe na koeficienty λ i T, i = 1,..., k+1, jedinou podmínku, a to, aby alespoň jedno λ i bylo nenulové. To je rozdíl proti afinní kombinaci bodů, kterou známe z afinní lineární geometrie, kde byla podmínka, aby součet koeficientů byl roven jedné. Parametrického zápisu projektivního podprostoru budeme často používat v případě jednodimenzionálního podprostoru, tj. přímky. Je-li přímka p určena body A, B P n, A B, potom X p právě tehdy, když X = αa + βb a alespoň jedno z čísel α, β je různé od nuly. Věta 4.7. Nechť P n je projektivní prostor a O 1 ;... ; O n+1, E je jeho geometrická báze. a 11... a 1n+1 (i) Nechť M =..... je matice nad T, h(m) n. Potom množina všech bodů X z P n, jejichž projektivní homogenní souřadnice a l1... a ln+1 (x 1 ;... ; x n+1 ) vzhledem ke geometrické bázi O 1 ;... ; O n+1, E vyhovují homogenní soustavě rovnic M x 1. x n+1 = 0., (4.) 0

6. PROJEKTIVNÍ ROZŠÍŘENÍ AFINNÍHO PROSTORU tvoří (n h(m))-rozměrný podprostor v P n. (ii) Každý podprostor v P n lze zadat způsobem popsaným v (i). Důkaz. Ad (i). Nechť O i = u i, E = i u i. Potom množina vektorů x V n+1, jejichž souřadnice vzhledem k bázi u 1,..., u n+1 vyhovují soustavě (4.), tvoří ((n + 1) h(m))-rozměrný podprostor W V n+1, který určuje (n h(m))-rozměrný podprostor Q P n. Ad (ii). Tato část byla dokázána v lineární algebře, kde bylo dokázáno, že každý podprostor vektorového prostoru se může v souřadnicích zadat jako řešení homogenní soustavy rovnic. Vyjádření podprostoru Q popsané v předchozí větě se nazývá obecným vyjádřením podprostoru. Jako důsledek Věty 4.7 dostáváme, že obecné vyjádření nadroviny, tj. podprostoru dimenze (n 1), je a 1 x 1 + + a n+1 x n+1 = 0, (a 1,..., a n+1 ) (0,..., 0). Poznámka 4.7. Všimněme si, že na rozdíl od obecného vyjádření podprostoru v afinním nebo euklidovském prostoru, je obecné vyjádření podprostoru v projektivním prostoru dáno homogenními rovnicemi. Poznámka 4.8. Z předchozího obecného vyjádření nadroviny okamžitě vyplývá, že dvě nadroviny v P n buď splývají (v tom případě se jejich obecné rovnice liší o nenulový násobek), nebo mají společný podprostor dimenze (n ). V projektivním prostoru tedy není definován pojem rovnoběžnosti nadrovin. Přechod od jednoho typu zadání podprostoru k druhému je následující. Nechť k-rozměrný podprostor Q k je zadán obecným vyjádřením (4.). Potom každé řešení soustavy (4.) je tvaru x = c 1 u 1 +... + c k+1 u k+1, kde u 1,..., u k+1 je fundamentální systém řešení (4.). Potom X = c 1 u 1 +... + c k+1 u k+1 je parametrické vyjádření Q k. Opačně, je-li zadáno parametrické vyjádření, musíme k danému fundamentálnímu systému řešení nalézt přislušný homogenní systém rovnic. Z algebry víme, že to lze provést vždy a tento systém rovnic je potom obecným vyjádřením podprostoru Q k. Mějme nyní dvě geometrické báze v P n O 1 ;... ; O n+1, E, (4.) O 1,..., O n+1, E (4.4) takové, že O i = e i, E = i e i, O i = e i, E = i e i. Potom vektory e 1,..., e n+1 a e 1,..., e n+1 tvoří dvě báze ve V n+1, a tedy každý vektor

4. Projektivní prostory 7 e i je lineární kombinací vektorů e 1,..., e n+1. Maticově to můžeme zapsat formálně ve tvaru (e 1... e n+1) = (e 1 e n+1 )Q, (4.5) kde matice Q je takzvaná matice přechodu od báze e 1,..., e n+1 k bázi e 1,..., e n+1 a je tvořena souřadnicemi vektorů e i vzhledem k druhé bázi e 1,..., e n+1 uspořádanými do sloupců. Potom vektor x V, který generuje bod X P n, můžeme vzhledem k první bázi vyjádřit maticově jako a vzhledem k druhé jako x = (e 1... e n+1 ) x = (e 1... e n+1) x 1. x n+1 x 1. x n+1. Dosadíme nyní za (e 1... e n+1 ) z (4.5) a dostaneme x = (e 1... e n+1 ) Q x 1. x n+1. Máme tedy dvě vyjádření vektoru x vzhledem k první bázi. Protože souřadnicová vyjádření bodu X vzhledem k téže geometrické bázi se mohou lišit o nenulový násobek, dostaneme x 1. x n+1 = α Q x 1. x n+1, α 0 T. Matice α Q se nazývá matice přechodu od první geometrické báze k druhé geometrické bázi. V jejich sloupcích jsou souřadnice bodů O i vyjádřené vzhledem ke staré geometrické bázi. Matice α Q je určena až na nenulový násobek. Budeme-li (X) = x 1. x n+1 značit sloupcovou matici projektivních homogenních souřadnic vzhledem ke staré geometrické bázi

8. PROJEKTIVNÍ ROZŠÍŘENÍ AFINNÍHO PROSTORU a (X ) = x 1. x n+1 vzhledem k nové geometrické bázi, je (X) = α Q(X ) maticový zápis transformačních rovnic v projektivním prostoru. Úloha 4.1. V P je dána geometrická báze O 1, O, O, O 4, E. Určete obecné i parametrické vyjádření roviny procházející body O 1 = (1; 0; 0; 0), O = (0; 1; 0; 0) a A = (; 1; 1; 1). Řešení : Parametrické vyjádření ρ (O 1, O, A) je ρ : X = α 1 O 1 + α O + α A, tj x 1 = α 1 + α, x = α + α, x = α, x 4 = α. Obecná rovnice má tvar ρ : a 1 x 1 + a x + a x + a 4 x 4 = 0. Souřadnice O 1, O, A musí být řešením, tedy a 1 = 0, a = 0, a 1 + a + a a 4 = 0. Odtud ρ : x + x 4 = 0. Poznámka : Obecná rovnice roviny v P, která je určena body A i = x 1 x x x 4 (a i1, a i, a i, a i4 ), i = 1,,, je také det a 11 a 1 a 1 a 14 a 1 a a a 4 = 0. Odtud a 1 a a a 4 x 1 x x x 4 ρ : det 1 0 0 0 0 1 0 0 = x x 4 = 0. 1 1 1 Úloha 4.. V P je dána geometrická báze O 1, O, O, O 4, E. Určete transformační rovnice při přechodu k nové geometrické bázi O 1 = (1; 1; 0; 0), O = (0; 1; 1; 0), O = (0; 0; 1; 1), O 4 = (0; 0; 0; 1), E = 4 i=1 O i.

4. Projektivní prostory 9 Řešení : Vzhledem k první bázi máme X = x 1 O 1 + x O + x O + x 4 O 4. Vzhledem k nové bázi je X = x 1 O 1 + x O + x O + x 4 O 4 a dosazením dostaneme X = x 1O 1 + x O + x O + x 4O 4 = = x 1(O 1 + O ) + x (O + O ) + x (O + O 4 ) + x 4O 4 = = x 1O 1 + (x 1 + x )O + (x + x )O + (x + x 4)O 4. Tedy X má vzhledem ke staré bázi také souřadnice X = (x 1 ; x 1 + x ; x + x ; x +x 4 ). Protože bod je svými projektivními homogenními souřadnicemi dán až na nenulový násobek, jsou transformační rovnice tvaru kde α 0 T. x 1 = αx 1, x = αx 1 + αx, x = αx + αx, x 4 = αx + αx 4,

0. PROJEKTIVNÍ ROZŠÍŘENÍ AFINNÍHO PROSTORU 5 Přechod od projektivního prostoru k afinnímu Nechť P n je n-rozměrný projektivní prostor a V n+1 jeho aritmetický základ. Nechť N je nadrovina (tj. podprostor dimenze (n 1)) v P n určený vektorovým podprostorem U n V n+1. Dále budeme N nazývat nadrovinou nevlastních bodů. Zvolme geometrickou bázi O 1 ;... ; O n N, O n+1, E N, O i = e i, E = i e i, i = 1,..., n + 1. Označme A n := P n N. Potom ve zvolené geometrické bázi má N obecné rovnice x n+1 = 0. Nechť X = x, Y = y A n. Potom x = x 1 e 1 + + x n+1 e n+1, x n+1 0, y = y 1 e 1 + + y n+1 e n+1, y n+1 0. Položme x i = x i x n+1, ȳ i = y i y n+1, i = 1,..., n, a XY = (ȳ 1 x 1 )e 1 +... + (ȳ n x n )e n. Je zřejmé, že je takto definováno zobrazení : A n A n U n. Aby trojice (A n, U n, ) tvořila afinní prostor, musíme dokázat, že platí následující axiomy afinního prostoru 1. pro každý bod X z A n a každý vektor u z U n existuje právě jeden bod Y z A n takový, že XY = u,. pro každé tři body X, Y, Z z A n platí XY + Y Z = XZ. Ad 1) Nechť X = (x 1,..., x n+1 ), u = α 1 e 1 + +α n e n. Hledáme Y A n tak, aby XY = u, tedy aby y i x i = α i, i = 1,..., n. y n+1 x n+1 Známe-li x 1,..., x n+1 a α 1,..., α n, jsou těmito rovnicemi určeny y 1,..., y n+1 až na nenulové násobky, a tedy bod Y je určen jednoznačně svými projektivními homogenními souřadnicemi. Ad ) Pro každé tři body X, Y, Z A n o souřadnicovém vyjádření X = (x 1 ;... ; x n+1 ), Y = (y 1 ;... ; y n+1 ), Z = (z 1 ;... ; z n+1 ) máme XY + ( y1 Y Z = x 1 y n+1 = ( z1 x n+1,..., + ( z1 x 1,..., z n+1 x n+1 z n+1 y 1 y n+1,..., y n y n+1 z n z n+1 z n z n+1 x n x n+1 y n y n+1 x ) n x n+1 ) + ) = = XZ.

6. PROJEKTIVNÍ ROZŠÍŘENÍ AFINNÍHO PROSTORU 1 Tedy (A n, U n, ) je afinní prostor se zaměřením U n a protože dimenze U n je rovna n, je i dima n = n. Přitom geometrická báze O 1 ;... ; O n+1, E přejde v afinní repér O n+1 ; e 1,..., e n. Je-li bod X / N s projektivními homogenními souřadnicemi (x 1 ;... ; x n+1 ), potom jeho [ souřadnicové vyjádření vzhledem k odpovídajícímu afinnímu repéru je x1 x x n+1,..., n x n+1 ]. Je-li X = (x 1 ;... ; x n, 0) N v projektivních homogenních souřadnicích, potom mu odpovídá v indukované afinní souřadné soustavě směr generovaný vektorem (x 1 ;... ; x n ) ze zaměření U n. Poznámka 5.1. Popsaná konstrukce závisela v podstatné míře na zvolené geo- metrické bázi. Dá se ovšem ukázat, že ať zvolíme body O 1 ;... ; O n N jakkoliv, vzniká popsanou konstrukcí afinní prostor totožný s předchozím. 6 Projektivní rozšíření afinního prostoru Nechť A n = (A n, V n, ) je n-rozměrný afinní prostor. Označme N A množinu všech jednodimenzionálních podprostorů (směrů) V n, tj. N A = { u u o, u V } je (n 1) rozměrný projektivní prostor. Položme P n = A n N A. Máme tedy v P n dva druhy bodů. Ty, které patří do A n, budeme nazývat vlastní body a ty, které patří do N A, budeme nazývat nevlastní body. Dokážeme nyní, že P n je n-rozměrný projektivní prostor. Definujme W n+1 = V n e, e / V n, vektorový prostor dimenze (n + 1) a P n jím určený n-rozměrný projektivní prostor. Musíme dokázat, že P n a P n jsou izomorfní. Uvažujme zobrazení ι : P n P n definované následujícím způsobem {ι(x) = e + OX prox A n a pevný bod O A n ι( x ) = x pro x N A. Nyní musíme dokázat, že ι je bijekce. 1) Injektivnost. Na N A jde o identitu, a tedy o prosté zobrazení. Nechť X, Y A n jsou dva body takové, že ι(x) = ι(y ). Potom e + OX = e + OY, a tedy existuje α 0 takové, že α(e + OX) = e + OY a odtud (1 α)e + α XO + OY = o. Součet V {e} je přímý, a tedy (1 α)e = o a α XO + OY = o. Odtud, protože e o, je α = 1 a XO + OY = XY = o, což implikuje X = Y. Je tedy ι prosté i na A n. Pro X A n a Y N A je z definice ι(x) ι(y ), a tedy ι je prosté zobrazení. ) Surjektivnost. Nechť w W n+1. Potom existují v V n a β T taková, že w = v + βe. a) Nechť β = 0, potom w = v a ι( v ) = w.

. PROJEKTIVNÍ ROZŠÍŘENÍ AFINNÍHO PROSTORU b) Nechť β 0 a nechť X A n tak, že OX = 1 β v. Potom ι(x) = e + OX = e + 1 β v = βe + v = w. Protože w W n+1 bylo libovolné, je surjektivnost ι dokázána. Definice 6.1. Projektivní prostor P n = A n N A budeme nazývat projektivní rozšíření afinního prostoru A n a označovat A n. Nechť B k = (B k, U k, ) je k-rozměrný podprostor afinního prostoru A n. Potom projektivní rozšíření B k = B k N B afinního prostoru B k je k-rozměrným projektivním podprostorem v projektivním rozšíření A n = A n N A afinního prostoru A n. Nechť P ; e 1,..., e n (6.1) je afinní repér v A n. Potom e 1,..., e n, e, e + i e i (6.) je geometrická báze projektivního prostoru A n. Je-li bod X A n vlastní, tj. leží-li v A n, jsou jeho souřadnice vzhledem k afinnímu repéru (6.1) označovány x 1 ;... ; x n. Tyto souřadnice budeme nazývat afinní nehomogenní souřadnice bodu X vzhledem k afinnímu repéru (6.1). Vzhledem k indukované geometrické bázi (6.) má potom bod X = e + P X indukované projektivní homogenní souřadnice ( x 1 ;... ; x n, 1), které jsou ale určeny až na nenulový násobek, a tedy jakákoliv uspořádaná (n+1)-tice (x 1 ;... ; x n+1 ) prvků z T takových, že x n+1 0 a x i = je homogenními projektivními x i x n+1 souřadnicemi vlastního bodu X A n určenými afinním repérem (6.1). Tyto souřadnice budeme nazývat afinní homogenní souřadnice bodu X vzhledem k afinnímu repéru (6.1). Nechť nyní X A n je nevlastní bod, tj. X = x, kde x je nenulový vektor ze zaměření A n. Potom vzhledem k afinnímu repéru (6.1) má vektor x souřadnice ( x 1 ;... ; x n ) a v indukované geometrické bázi (6.) na A n je bod X = x + 0e vyjádřen souřadnicemi ( x 1 ;... ; x n, 0), které budeme nazývat afinními homogenními souřadnicemi nevlastního bodu vzhledem k afinnímu repéru (6.1). Zavedení afinních homogenních souřadnic nám tedy umožňuje pracovat souřadnicově i s nevlastními body, což nehomogenní souřadnice neumožňovaly.

7. CVIČENÍ Úloha 6.1. Vzhledem k afinnímu repéru P ; e 1, e, e v A je dána přímka p obecným vyjádřením p : x + y z = 0; x y + z + 1 = 0. Určete rovnice přímky p v indukovaných afinních homogenních souřadnicích a určete souřadnice nevlastního bodu přímky p. Řešení : V rovnicích přímky p položíme x = x 1 x 4, y = x x 4, z = x x 4 a rovnice vynásobíme x 4. Dostaneme obecné rovnice přímky p ve tvaru p : x 1 + x x x 4 = 0; x 1 x + x + x 4 = 0. Nevlastní bod přímky p je průnikem přímky p s nevlastní rovinou x 4 = 0. Dosazením x 4 = 0 do homogenních rovnic přímky dostaneme P = (0; 1; 1; 0). 7 Cvičení 7.1. V P je dána geometrická báze O 1, O, O, O 4, E. a) Určete obecné vyjádření rovin O 1 O O, O 1 O E, O O 4 E, b) Určete parametrické i obecné vyjádření přímek O 1 O, O 1 E, O 4 E. { a) O 1 O O : x 4 = 0, O 1 O E : x x 4 = 0, O O 4 E : x 1 x = 0, b) O 1 O parametricky x 1 = r, x = s, x = 0, x 4 = 0, obecně x 4 = 0, x = 0; O 1 E parametricky x 1 = r + s, x = s, x = s, x 4 = s, obecně x x 4 = 0, x x 4 = 0; O 4 E parametricky x 1 = s, x = s, x = s, x 4 = r + s, obecně x 1 x = 0, x 1 x = 0 } 7.. V P je dána geometrická báze O 1, O, O, O 4, E a vzhledem k ní body A = ( ; 5; 15; 1), B = (0; 0; 7; 1), C = (; 1; 4; 1), D = (4; ; 0; 1). Ověřte, že přímky AB a CD mají společný bod a určete jeho souřadnice. { P = ( ; 5; ; ) } 7.. V P je dána geometrická báze O 1, O, O, O 4, E a vzhledem k ní bod A = (; ; 1; 1) a přímky p : x 1 + x = 0, x 1 x + x + 4x 4 = 0, q : x 1 + x x 4 = 0, x + x x 4 = 0. Určete rovnice přímky, která prochází bodem A a protíná přímky p, q. { x 1 9x + 5x + 0x 4 = 0, x 1 x 5x + 9x 4 = 0 } 7.4. V P je dána geometrická báze O 1, O, O, O 4, E a vzhledem k ní body A = (; ; 0; 4), B = (0; ; 4; 0), rovina ρ : x 1 x + x 4 = 0 a přímka p : x 1 x = 0, x 1 + 5x + 4x + x 4 = 0. Určete parametrické rovnice přímky, která leží v rovině ρ a protíná přímky AB a p. { X = α(45; 6; 0; 5) + β(8; 7; 0; 16) }

4. PROJEKTIVNÍ ROZŠÍŘENÍ AFINNÍHO PROSTORU

Kapitola BILINEÁRNÍ A KVADRATICKÉ FORMY V této kapitole se budeme zabývat úvodem do algebraické teorie bilineárních a kvadratických forem, které jsou algebraickým základem analytické teorie kuželoseček a kvadrik. 8 Bilineární formy Nechť V je vektorový prostor nad tělesem T, kde T je těleso reálných nebo komplexních čísel. Definice 8.1. Zobrazení f : V V T se nazývá bilineární forma na vektorovém prostoru V, jestliže pro každé tři vektory x, y, z V a každé α T platí (1) f(x + y, z) = f(x, z) + f(y, z), () f(x, y + z) = f(x, y) + f(x, z), () f(αx, y) = f(x, αy) = αf(x, y). Podmínky (1) () se dají také vyjádřit tak, že při pevně zvoleném vektoru u V jsou zobrazení f(, u) : V T a f(u, ) : V T lineární. Je tedy f lineární v obou složkách a takovéto zobrazení se nazývá bilineární zobrazení. Poznámka 8.1. Podmínky (1) () z Definice 8.1 se dají vyjádřit ekvivalentně také podmínkami (1 ) f(α 1 x 1 + + α k x k, y) = α 1 f(x 1, y) +... + α k f(x k, y), ( ) f(x, α 1 y 1 + + α k y k ) = α 1 f(x, y 1 ) + + α k f(x, y k ). Poznámka 8.. Zúžení bilineární formy f na podprostor V je bilineární forma na V. 5

6. BILINEÁRNÍ A KVADRATICKÉ FORMY Příklad 8.1. Skalární součin na reálném vektorovém prostoru je příkladem bilineární formy. Příklad 8.. f(x, y) = 0, x, y V, je takzvaná nulová bilineární forma. Příklad 8.. Nechť V = R, zobrazení f i : R R R zadaná předpisem f 1 (x, y) = x 1 y 1 x y + x 1 y, f (x, y) = x 1 y 1 + x y, f (x, y) = x 1 y 1 + x 1 y + x y 1 + x y, f 4 (x, y) = x 1 y x y 1, jsou bilineární formy na V. Zobrazení f 5 (x, y) = x y 1 + x 1 y není bilineární formou. Definice 8.. Řekneme, že bilineární forma f na V je symetrická, respektive antisymetrická, jestliže pro každé dva vektory x, y V platí f(x, y) = f(y, x), respektive f(x, y) = f(y, x). Příklad 8.4. Skalární součin je příkladem symetrické bilineární formy. Bilineární formy f a f z Příkladu 8. jsou symetrické bilineární formy, zatímco f 4 je antisymetrická bilineární forma. Definice 8.. Součtem bilineárních forem f, g na V, respektive násobkem bilineární formy f prvkem α T, nazýváme zobrazení h : V V T, respektive k : V V T, taková, že pro x, y V respektive Značíme potom h = f + g, k = αf. h(x, y) = f(x, y) + g(x, y), k(x, y) = αf(x, y). Poznámka 8.. Součet i násobek bilineárních forem na V jsou opět bilineární formy na V a prostor bilineárních forem na V je vektorovým prostorem nad tělesem T. Věta 8.1. Ke každé bilineární formě f na V existují právě jedna symetrická bilineární forma f S a právě jedna antisymetrická bilineární forma f A na V takové, že f(x, y) = f S (x, y) + f A (x, y).

8. Bilineární formy 7 Důkaz. Pro každé x, y V položme f S (x, y) = 1 (f(x, y) + f(y, x)), f A (x, y) = 1 (f(x, y) f(y, x)). Je zřejmé, že f S je symetrická a f A je antisymetrická bilineární forma a že f = f S + f A. Nechť existuje jiná symetrická bilineární forma f S a antisymetrická bilineární forma f A takové, že f = f S + f A. Potom f(y, x) = f S(x, y) f A(x, y), f(x, y) = f S(x, y) + f A(x, y). Sečtením dostaneme f S (x, y) = 1 (f(x, y) + f(y, x)) = f S(x, y). Podobně odečtením dostaneme f A = f A. Nechť u 1,..., u n je libovolná báze ve V. Potom x = x 1 u 1 + + x n u n, y = y 1 u 1 + + y n u n, kde x i, y i T. Dosazením dostaneme f(x, y) = f( x i u i, y j u j ) = x i y j f(u i, u j ). i j i j Označme a ij = f(u i, u j ) a uvažujme matici A f = (a ij ). Potom můžeme psát f(x, y) = i,j a ij x i y j. (8.1) Definice 8.4. (8.1) je souřadnicovým vyjádřením bilineární formy f v bázi u 1,..., u n a matice A f = (f(u i, u j )) se nazývá matice bilineární formy f v bázi u 1,..., u n. Poznámka 8.4. Bilineární forma f je symetrická (antisymetrická) bilineární forma právě tehdy, je-li A f symetrická (antisymetrická) matice. Souřadnicové vyjádření vektoru x = (x 1 ;... ; x n ) vzhledem k libovolné bázi u 1,..., u n budeme ztotožňovat s maticí (x) = formu f můžeme psát maticově ve tvaru f(x, y) = (x 1... x n ) (a ij ) y 1. y n x 1. x n = (x) T A f (y).. Potom bilineární

8. BILINEÁRNÍ A KVADRATICKÉ FORMY Příklad 8.5. V kanonické bázi na R jsou matice bilineárních forem f 1,..., f 4 z Příkladu ( 8. ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 1 1 0 1 A f1 =, A 0 f =, A 0 1 f =, A 1 f4 =. 1 0 Definice 8.5. Hodností bilineární formy f rozumíme hodnost matice formy A f v libovolné bázi. Je-li A f regulární matice, nazýváme bilineární formu f regulární, je-li A f singulární, nazýváme i bilineární formu f singulární. Věta 8.. Hodnost bilineární formy nezávisí na zvolené bázi. Důkaz. Mějme na V dvě báze a nechť (u) (1) = u 1. u n a (u) () = u 1,..., u n, (8.) v 1,..., v n (8.) u 1. u n jsou příslušná souřadnicová vyjádření vektoru u vzhledem k těmto bázím. Nechť Q je matice přechodu od báze (8.) k bázi (8.), tj. pro souřadnice vektoru u platí u 1 u 1. = Q. u n u n. Potom bilineární forma f má vyjádření f(x, y) = (x 1... x n ) A f (8.) a f(x, y) = (x 1... x n) B f y 1. y n y 1. y n v bázi v bázi (8.). Dosazením transformačních rovnic do vyjádření formy v bázi (8.) a porovnáním s vyjádřením v bázi (8.) dostaneme B f = Q T A f Q, kde Q T je transponovaná matice k matici Q. Potom h(b f ) = h(a f ), protože Q je regulární matice. Definice 8.6. Nechť f je symetrická bilineární forma na V. Singulárním vektorem formy f rozumíme vektor y takový, že f(x, y) = 0 pro každý vektor x V.