Cvičení KMA-MAF Neurčitý určitý integrál Jiří Fišer 9. prosince
Obsh Úlohy n přímou integrci 3 Úlohy n jednoduché substituce 3. Lineárnísubstituce ux+b.... 3.. Dlšíjednoduchésubstituce... 3 3 Integrce metodou per prtes 4 3. Výpočet I c I s... 5 3. Rekurentnívzorecprointegrál I n.... 6 4 Integrce rcionálních funkcí 7 4. Typyprciálníchzlomkůjejichintegrce.... 7 4. Postup při integrci rcionálních funkcí P(x)/Q(x), kde P(x), Q(x) jsoupolynomy:... 8 4.3 Příkldynintegrcircionálníchfunkcí... 9 5 Integrce některých ircionálních funkcí 5. Eulerovysubstituce.... 3 6 Určitý integrál 7 7 Dlší integrční metody (pro určitý i neurčitý integrál) 8 7. Integrcegoniometrickýchfunkcí.... 8 7. Integrcesoučinugoniometrickýchfunkcí... 7.3 Goniometrickéhyperbolickésubstituce... 7.4 UžitíEulerovýchvzorcůprovýpočetněkterýchintegrálů.... 3 7.5 Vlstnosti určitého integrálu závislé n integrovné funkci... 3 7.6 Vlstnosti určitého integrálu závislé n intervlu integrování... 5 7.7 Určitýintegrál metodperprtes.... 6 7.8 Určitýintegrál metodsubstituční.... 7 8 Vět o střední hodnotě integrálního počtu 9 9 Aplikce určitého integrálu v geometrii 3 9. Počáteční úvhy o výpočtu obshu geometrických útvrů vrovině... 3 9. Vzorceproobshdélku... 3 9.3 Plochrovinnýchobrzců.... 33 9.4 Délkoblouku(křivky)... 37 9.5 Těžištěoblouku... 4 9.6 Těžištěplochy.... 43
Úlohy n přímou integrci Úloh.. I Řešení. I 5 x 3 5x 3 x 5x ( 3 5x 3 ) x x x 5 x x 5 3 + 3 x cos x 5 Úloh.. I cos x 3 x cos x 5 Řešení. I cos x 5 x +Cx 5 +6x +C. 3 x 5 cos x. Úlohy n jednoduché substituce. Lineárnísubstituce ux+b ( ) Úloh.. I cos(x 3)+sin(x+5). (cos(x 3)+sin(x+5) ) Řešení. I ux 3 v x+5 du dv du cos(u)du + cos(x 3) + sin(v)dv sin(u) cos(v)+c sin(x 3) cos(x+5)+c. sin(x+5).. Dlší jednoduché substituce Úloh.. I e x. Řešení. I e x ue x due x duu du u du u u u(u ) du u+u ( u)+(u ) u(u ) du u(u ) du du u(u ) 3
( u u(u ) + u u(u ) u du ) ( du ) u + du u u duln u ln u +C ln e x ln e x +Cln e x lne x +Cln e x x+c. x Úloh.3. I x. Řešení. I x x ux dux du x u +C u+c x +C. du u u du 3 Integrce metodou per prtes (u v) u v+uv uv (u v) u v uv (u v) u vuv u v. Úloh3.. I sin x. ] usinx v Řešení. I sin x sinx u sinxcosx+ cos x cosx v cosx sinxcosx+ ( sin x) sinxcosx+ sin x sinxcosx+ x sin x. Máme tedy rovnost: sin x sinxcosx+x sin x. Odtud: sin x x sinxcosx +C. 4
Úloh3.. I x cosx. ux Řešení. x v cosx cosx u x v sinx x sinx x x sinx sinx ux v sinx u v cosx ] xsinx ] x sinx+x cosx cosx x sinx+ x cosx sinx+cx sinx+ x cosx 4 sinx+c. Úloh3.3. I tg x. Řešení. I tg x sin x cos x usin x v cos x u sinxcosx vtgx sinx cosx sin 3 x cosx sin x ] sin x sinx cosx sin x x sinxcosx +C (Úloh 3.) sin 3 x cosx x sinxcosx +C sin3 x cosx x+sinxcosx+c. sinxcosx sinx cosx 3. Výpočet I c I s Úloh 3.4. Vypočtěte I c e x cosbx, I s e x sinbx (budeme počítt primitivní funkce pro C ). Řešení.Vintegrálu I c sepoužijedvěmzpůsobymetodperprtes:)pro u cosbxv e x,b)pro ue x, v cosbx: ] ) I c e x ucosbx v cosbx e x u bsinbx v ex ex cosbx+ b e x sinbx ex cosbx+ b I s. 5
b) I c e x cosbx b ex sinbx b I s. Tím dostneme soustvu ue x v cosbx u e x v b sinbx ] b ex sinbx b e x sinbx tedy odtud I c ex cosbx+ b I s, I c b ex sinbx b I s, ex cosbx+ b I s b ex sinbx b I s, b I s+ b I s b ex sinbx ex cosbx b, I s sinbx bcosbx +b e x. (b + )I s e x sinbx be x cosbx, I c ex cosbx+ b I s ex cosbx+ b ( +b )cosbx+bsinbx b cosbx ( +b ) sinbx bcosbx +b e x e x bsinbx+cosbx +b e x 3. Rekurentnívzorecprointegrál I n Úloh3.5.Nlezněterekurentnívzorecprointegrál I n ( +x ) n, n. Řešení.Vintegrálu I m,kde m,položíme u ( +x ) n, v dostneme x I m ( +x ) m +mi m m I m+,odkudvyjádříme I m+.položíme-lipk mn,dostneme I n (n ) x ( +x ) n + n 3 (n ) I n. 6
Úloh3.6.Vypočtěte I ( +x ) 3. Řešení.Využijemerekurentnívzorecpro I 3 : x 3 3 I I 3 (3 ) ( +x ) 3 + (3 ) I 3 x 6 ( +x ) + 3 6 ( +x ) ( ) x 6 ( +x ) + 3 x n 3 6 ( ) ( +x ) + ( ) I ( x 6 ( +x ) + 3 ) x 6 8 +x + 8 +x ( ( x 6 ( +x ) + 3 )) x 6 8 +x + 8 + ( ) x ( x 6 ( +x ) + 3 ( x 6 8 +x + 8 rctg x ) ) +C 6 ( x ( +x ) +3 8 x +x + 3 6 rctg x ) +C. 4 Integrce rcionálních funkcí 4. Typy prciálních zlomků jejich integrce.. 3. A x Aln x +C. A A (x ) k k (x ) k +C. Ax+b x +px+q A x+ b A x +px+q A A x+q x +px+q + A q+ b A x +px+q A ln x +px+q + A ( q+ b ) A x+q q+ b A x +px+q x +px+q. 7
4. Ax+b (x +px+q) k A A x+q (x +px+q) k+ A A A k (x +px+q) k + x+ b A (x +px+q) k A q+ b A (x +px+q) k ( q+ b ) A x+q q+ b A (x +px+q) k (x +px+q) k. Typy 3. 4. mjí ve svých jmenovtelích nerozložitelné polynomy(nemjí reálné kořeny). Úloh 4.(Příkld dopočtu 3. typu). x +x+3 (x +x+)+ (x+) + ( ) x+ + x+ rctg +C rctg x+ +C. Úloh 4.(Příkld dopočtu 4. typu). (x +x+3) ] (x +x+)+] ux+ (x+) +] du du (u +) u du 4+u + 4 u + u du 4+u + ( ) 4 + ( ) u u 4+u + 8 rctg +C x+ u 4+(x+) + ( x+ 8 rctg )+C. 4. Postup při integrci rcionálních funkcí P(x)/Q(x), kde P(x), Q(x) jsou polynomy: Při jejich integrování převádíme rcionální funkci n uvedené zákldní typy, přičemž využíváme pozntků z lgebry. Algoritmus: () Je-li stupeň čittele menší než stupeň jmenovtele, přejdeme n krok(). Jink užitím dělení uprvíme funkci n tvr P(x) Q(x) A(x)+ R(x) Q(x), kde A(x) je polynom, který již dovedeme integrovt R(x)(zbytek dělení) je polynom stupně nižšího než Q(x); tedy: snížíme stupeň čittele pod stupeň jmenovtele. 8
() Je-li jmenovtel rozložen n lineární kořenové činitele nerozložitelné kvdrtické polynomy, přejdeme n bod(3), jink tento rozkld jmenovtele provedeme. (3) Je-li ve jmenovteli jen jeden kořenový činitel nebo jeho mocnin nebo jen jeden nerozložitelný kvdrtický polynom nebo jeho mocnin, přejdeme n bod(4); jink provedeme rozkld zlomku R(x)/Q(x) n prciální zlomky. (4) Integrujeme všechny komponenty rozkldu funkce y P(x)/Q(x). 4.3 Příkldy n integrci rcionálních funkcí Úloh 4.3. Njděte primitivní funkci Řešení. Rozkldem n prciální zlomky odkud Doszením x (x+)(x+)(x 3). x (x+)(x+)(x 3) A x+ + B x+ + C x 3, xa(x+)(x 3)+B(x+)(x 3)+C(x+)(x+). x : 4A A 4 x : 5B B 5 x 3: 3 C C 3 x (x+)(x+)(x 3) 4 x+ 5 x+ + 3 x 3 4 ln x+ 5 ln x+ + 3 ln x 3 +c. Úloh 4.4. Njděte primitivní funkci x 4 +5x x 3 x. Řešení. Vydělením rozkldem jmenovtele dostneme x 4 +5x x 3 x x+6x +x x 3 x x+ 6x +x (x )(x +x+) Rozkldem n prciální zlomky 6x +x (x )(x +x+) A x + Bx+C x +x+ 9
odkud 6x +x A(x +x+)+(bx+c)(x ). Doszením x : 5 5A A porovnáním koeficientů u mocnin proměnné x x : 6 A+B B 4 x : A C C 3. Je tedy x 4 +5x x 3 x x+ x + 4x+3 x +x+. Zlomek 4x+3 x +x+ jeprciálnízlomek.druhu,přijehointegrcipostupujeme následovně 4x+3 x +x+ 4x+ x +x+ + x +x+, prvníintegrálvprvořešímesubstitucí tx +x+,pkdt(4x+) po doszení 4x+ dt x +x+ ln t ln(x +x+), t ve druhém integrálu uprvíme nejprve jmenovtele x +x+x +x]+(x+ ) 4 ]+(x+ ) + 4(x+ ) +] (x+) +] dálesubstitucí tx+,pkdtpodoszení x +x+ (x+) + dt t + rctgtrctg(x+). Výsledkem je tedy x 4 +5x x 3 x x +ln x +ln(x +x+)+rctg(x+)+c.
Úloh 4.5. Njděte primitivní funkci x 4 + x 5 +x 4 x 3 x. Řešení. Úprvou jmenovtele x 5 +x 4 x 3 x x (x 3 +x x )x (x+)(x )x (x+) (x ) rozkldem n prciální zlomky dostneme Máme odkud doszením x 4 + A x 5 +x 4 x 3 x x + B C x + x+ + D E (x+) + x. x 4 + Ax(x+) (x )+B(x+) (x )+ +Cx (x )+Dx (x )+Ex (x+), x : B B x : D D x : 4E E porovnáním koeficientů u mocnin proměnné x x 4 : A+C+E x : A B dostneme A, B, C, D, E. Je tedy x 4 + x 5 +x 4 x 3 x x x x+ (x+) + x ln x + x ln x+ + x+ + ln x +c.
5 Integrce některých ircionálních funkcí Úloh5..Vypočtěte I Řešení. I 6 x 3 x+ 4x 6 t 6 3 t 6 + dt6 4t 66t5 t 4 3 +t dt3 6 x 3 x+ 4x. NSN{,3,6}6 xt 6 6t 5 dt t 6 t +t 3dt6 ( t 3 t +t + ( ) t 4 3 4 t3 3 + t t+ln t+ +C 3 ( x 4 6 4 x 3 6 6 ) dt t+ xt 6 3 + x x 6 +ln x 6 + )+C t 4 +t dt t 6 xx 6 ] 3 3 x x+ 3 3 x 3 6 x+3ln 6 x+ +C. 4 Úloh5..Vypočtěte I (x ) (x ). Řešení. I (x ) 3 x x (x ) (x ) 3 3 3(x ) (x ) (x ) (x ) x x t3, x (x )t 3, x xt 3 t 3, x( t 3 ) t 3, x t3 t 3, 3t ( t 3 ) ( t 3 )( 3t ) ( t 3 ) dt, 6t +3t 5 +3t 3t 5 ( t 3 ) dt, 3t ( t 3 ) dt 3(x ) 3(x ) (x ) 3t ( t 3 ) ( dt ) t 3 t 3 t 3 3 3t ( t 3 ) dt t 3 +t 3 t 3 t 3t ( t 3 ) dt t t 3
3t t 3 dt ( t 3 ) t 3t t 3dt 3t (t 3 )(t + 3 + 3 4) A t 3 + Bt+C t + 3 + 3 4 5. Eulerovy substituce Používjí se pro výpočet integrálů typu. 3t (t 3 )(t + 3 + 3 4) dt. ( R x, ) x +bx+c,kde R je rcionální funkce dvou proměnných. Účelem substituce je převést integrování ircionální funkce n integrování funkce rcionální. Eulerovy substituce jsou tři: () x +bx+c x+tpro >];hlvnímyšlenk:poumocněnísen oboustrnáchrovnostirušíčleny x. () x +bx+cxt+ cpro c >];hlvnímyšlenk:poumocněnísen oboustrnáchrovnostirušíčleny crovnostlzedělit x. (3) x +bx+c t(x λ)kde λjereálnýkořen];hlvnímyšlenk:po umocnění lze rovnost dělit kořenovým činitelem(x λ). Po nlezení integrálu z příslušné rcionální funkce se vrcíme k původní proměnné, tj. dosdíme při.substituci t x +bx+c x, x +bx+c c při.substitucitoje t, x x +bx+c při3.dosdíme t. x λ Úloh 5.3. Ověřte, že při výpočtu x 4x +5x+lzepoužítvšechnytři substituce. Ve všech přípdech převeďte integrál n integrál z funkce rcionální. Řešení. 4>, c>,uvedenýtrojčlenmáreálnékořeny,tkžejsou splněny předpokldy pro všechny tři Eulerovy substituce: 3
.ES:Připoužití.substitucemáme 4x +5x+x+t,tedy 4x +5x+ 4x +4xt+t, 5x+ 4xt+t, 5x 4xt t, x(5 4t) t, x t 5 4t, t(5 4t) (t )( 4) (5 4t) t 8t +4t 4 (5 4t) t 4t 4 dt, (5 4t) 4x +5x+ x+t, 4x +5x+ t 5 4t +t, 4x +5x+ t +5t 4t, 5 4t 4x +5x+ t +5t. 5 4t Vrátíme se k integrálu dosdíme: x t 4x +5x+ 5 4t t +5t t 4t 4 dt 5 4t (5 4t) 96 t3 7 43 t 56 48( 5+4t) 3 45 8 48( 5+4t) + 48( 5+4t) 45 5 ln( 5+4t)+C z tdosdíme ] 4x +5x+ x ( ) 3 7 4x +5x+ x 4x +5x++ 7 96 56 8 x 43 48 45 48 + 8 48 ( 5+4 4x +5x+ 8x ) 3 ( 5+4 4x +5x+ 8x ) + ( 5+4 4x +5x+ 8x ) 4 dt, dt,
45 ( 5 ln 5+4 ) 4x +5x+ 8x +C..ES:Připoužití.substitucemáme 4x +5x+xt+,tedy: 4x +5x+ xt+, 4x +5x+ x t +xt+, 4x +5x x t +xt, 4x+5 xt +t, 4x xt t 5, x t 5 4 t, (4 t ) (t 5)( ) (4 t ) t +4t (4 t ) dt, 4x +5x+ t 5 4 t t+ 4x +5x+ t t t 3 4 t. dt, Vrátíme se k integrálu dosdíme: x t 5 4x +5x+ t t t 3 t +4t dt 4 t 4 t (4 t ) ( 64(t ) 4 3 3 7 8(t ) 3+ 5(t ) + 56(t ) + + 79 64 9 43 64 (t+) 4 539 8 (t ) 3+ 3 56 (t+) 3+539 56 z t dosdíme (t+) 3+89 5 (t ) 3 5 (t+) 89 5 4x +5x+ ] x (t+) 7 56 (t+) (t ) + 7 56 ln(t ) ) dt (t+) 7 56 ln(t+)+c 9 ( ) 3 4x +5x+ + 3 x 56 ( 4x +5x+ ) x 5
( ) ( ) 3 4x +5x+ + 7 5 x 56 ln 4x +5x+ x ( ) 3 ( 43 4x +5x+ + + 539 4x +5x+ +) 64 x 56 x ( ) ( ) 89 4x +5x+ + 7 5 x 56 ln 4x +5x+ + + x C. 3.ES: Při použití 3. substituce máme tedy 4x +5x+ (x+)(4x+) (x+)(4x+) t(x+), (x+)(4x+) t (x+), (4x+) t (x+), 4x xt t, x t 4 t, 4(x+)(x+ 4 )t(x+), t(4 t ) (t )( t) (4 t ) 6t (4 t ) dt. dt, Vrátíme se k integrálu dosdíme: x ( ) t t 4x +5x+ 4 t t 6t 4 t + (4 t ) dt ( ) t 3t 4 t 6t (t )t 4 t (4 t ) dt8 (4 t ) 4dt 8 3 t3 36 t +4t 9 6336 7 4x +5x+ ] z t dosdíme x+ t 7 + 96 5 t 5 536t 3 +C 8 3 ( 4x +5x+ (x+) ) 3 36 ( ) 4x +5x+ + (x+) 6
( ) 9 4x +5x+ +4 6336 (x+) 7 ( ) 7 4x +5x+ + (x+) + 96 5 ( ) 5 ( ) 3 4x +5x+ 4x +5x+ 536 +C. (x+) (x+) 6 Určitý integrál Newtonův vzorec Vět6.(Newtonůvvzorec).Nechťfunkce fjeintegrovtelnán,b mátu (zobecněnou) primitivní funkci F. Pk pltí b f(x) F(x) ] b x F(b) F(). 7
7 Dlší integrční metody (pro určitý i neurčitý integrál) 7. Integrce goniometrických funkcí Přehled substitucí pro dvou proměnných: R(cosx,sinx), kde R je rcionální funkce ()sinxt,pokud R( cosx,sinx) R(cosx,sinx), ()cosxt,pokud R(cosx, sinx) R(cosx,sinx), (3)tgxt,pokud R( cosx, sinx)r(cosx,sinx), (4)tg x dt t t(univerzálnísubstituce).xrctgt, +t,sinx +t, cosx t t +t,tgx t. Převeďte n integrál z rcionální funkce: Úloh7.. I sinx+cosx. ttg x dt +t Řešení. I dt +t sinx t t +t + t +t +t cosx t +t dt t+ t. Úloh7.. I Řešení. I 4 ( ) 4. π/ sinxt cosxdt sin 3 xcosx. ] t 3 dt ] 4 t4 sin 4 x ] π/ 4 x Úloh7.3. I Řešení. I π/4 cos 5 xsinx. cosxt sinxdt sinx dt t 5 dt t 6 ] 8
cos 6 x ] x π/4 (cos6 cos 6 ( π/)) ( ). π/4 sin 3 x Úloh 7.4. Vypočtěte I cosx tkto:čtyřmirůznýmisubstitucemi sin 3 x převeďte příslušný neurčitý integrál cosx nintegrálzrcionálnífunkce, z těchto čtyř výsledků vyberte ten nejjednodušší příkld dopočítejte jen tímto jedním způsobem. Řešení. tsinx: tcosx: sin 3 x cosx tsinx dtcosx sin 3 x cos x cosx sin 3 x cosx tcosx dt sinx dtsinx ] sin 3 xcosx cosx cosx sin 3 x sin x cosx t 3 t dt sin x cosx sinx cos x t t sinx ( dt) dt cosx t t ( t ) dt t ttgx: sin 3 x ttgx cosx dt cos x sin 3 x cos 3 x cos4 x cos x cos x sin x+cos x cos x tg x+ cos x tg x+ t + cos 4 x (+t ) ] sin 3 xcosx cos x tg 3 xcos 4 x cos x t 3 (+t ) dt 9
ttg x : sin 3 x cosx ttg x dt +t sinx t +t cosx t +t 6t 3 (+t ) 3 ( t ) dt Dopočítáme nejjednodušší tvr(v rámečku): ( t ) dt t x t ln t +Ccos Určitý integrál: I π/4 cos π 4 ( ) ] sin 3 x cos π/4 cosx x ln cosx ln cos π 4 ( cos ln x ( t +t ) 3 +t dt t +t ln cosx +C. ) ln cos ( ) ln 4 ln ( ) 4 ln 4 ( )ln 4 +ln. 7. Integrce součinu goniometrických funkcí sinnxsinmx sinnxcosmx cosnxcosmx sin x cosx, cos x +cosx. ] cos(n m)x cos(n+m)x, ] sin(n m)x+sin(n+m)x, ] cos(n m)x+cos(n+m)x,
Úloh7.5.Vypočtěte I sin3xsin4x. Řešení. Integrnd uprvíme pomocí vzorce v rámečku: ] I cos(3 4)x cos(3+4)x ] cos( x) cos7x ( ) cos(x) cos7x ( sin(x) sin7x ) +C. 7 7.3 Goniometrické hyperbolické substituce Přehled substitucí: () R (x, ) x,substituce xsint(nebo xtht), () (3) R (x, ) +x,substituce xtgt(nebo xsht), R (x, ) x,substituce x cost Úloh7.6.Vypočtěte I x x. (nebo xcht). Řešení.Zřejmějdeopřípd(),kde.Použijemesubstituci xsint. xsint I x costdt x x sin tcos t x t x tπ/ π/?? sint cos tcostdt z dz π/ cos tsintdt ]? 3 z3 z? ] π/ 3 cos3 t + x 3 3. zcost dz sintdt dzsintdt Připřechoduod xktjsmemezetrnsformovli,vedruhémpřípděne,stčilo, žejsmesenkonecvrátilikproměnné t.
Úloh7.7.Vypočtěte I (x +4x+7) 3. Řešení. Nejprve je potřeb převést integrnd n potřebný tvr(pomocí doplnění n čtverec substituce: ] z x+ I (x +4x+7) 3 (x+) +3] 3 dz 3 dz z +3] 3 3 cos t 3 cos t cos 3 t cos t dt 3 subst.č.(),kde 3 z 3tgt dz z +3 3 dz 3 cos dt t z +33tg t+3 3(tg t+)3 cos t 3 3 cos t dt 3 cos 3 t 3 3 dt cos t ( ) 3 3 dt cost 3 sin ( rctg x+ 3 )+C. x Úloh7.8.Vypočtěte I. x Řešení. I ( x x costdt 3 sint+c 3 sin ( rctg z 3 )+C ) tgt cost dt cost) ( cost subst.č.(3),kde x cost sint cos t dttgt cost dt cos t cost cos t sin t sint cos t costtgtdt cost costtgtdt tgtdt cos t cos t cost sinttgtdt. tgtdt
7.4 Užití Eulerových vzorců pro výpočet některých integrálů cosx ( e ix +e ix), sinx ( e ix e ix). i e ix cosx+isinx, e ix cosx isinx. Úloh7.9.Vypočtěte I e x cosx. Řešení. I cosx ( e ix +e ix)] e x ( e ix +e ix) x ( ) e x+ix + e x ix ( e (+i)x + ( +i e(+i)x + ) i e( i)x +C ( i +i i e(+i)x + ) +i i+i e( i)x +C ( i e (+i)x + +i e )+C ( i)x 5 5 ) e ( i)x ( ( i)e (+i)x +(+i)e ( i)x) +C ex( ( i)e ix +(+i)e ix) +C ex (( i)(cosx+isinx)+(+i)(cosx isinx))+c (cosx+sinx icosx+isinx+ ex ) +cosx+sinx+icosx isinx +C ex (4cosx+sinx+i( cosx+sinx+cosx sinx))+c 5 ex (cosx+sinx)+c. 7.5 Vlstnosti určitého integrálu závislé n integrovné funkci Vět 7.(lineární vlstnosti). 3
()Je-li f R(,b ), k R,pk kf R(,b )pltí b kf(x)k b f(x). ()Je-li f,g R(,b ),pk(f+g) R(,b )pltí b ] b f(x)+g(x) f(x)+ b g(x). Vět 7.(vlstnosti vyjádřené nerovnostmi). Nechť f, g R(, b ). (3)Je-li f(x) n,b,pk b (4)Je-li f(x) g(x)n,b,pk (5) f(x) R(,b )pltí b f(x). b f(x) b g(x). b f(x) f(x). Úloh 7.. S využitím nerovnosti(4) z předchozí věty dokžte, že x 3 sin 4 x 4 ln. Řešení. Vyjdeme z nerovnosti pro funkci sin x: ze které přejdeme n sinx x, x R, sin 4 x x 4, x R. Integrovný zlomek tedy můžeme n uvžovném intervlu odhdnout: Podle(4) dostneme: x 3 sin 4 x x 3 sin 4 x x3 x4, zdepro x ;]. x 3 x 4 ] 4 ln( x4 ) x 4 (ln ln) 4 ln. 4
7.6 Vlstnosti určitého integrálu závislé n intervlu integrování Vět7.3(ditivitintegrálu).Nechť < c < b.pk f R(,b ),právěkdyž f R(,c ) f R( c,b ).Přitompltí b Úloh 7.4. Vypočtěte I f(x) 3 c f(x)+ b c f(x). x x x+. 5 x 3 5 5 Obrázek:Grffunkce y x x x+. Řešení. Pro integrci výrzů s bsolutní hodnotou rozdělíme n intervly: x 3,,, x x x x x+ (x+) x+ x+ x x x+ x+x(x+) x x(x+) x x(x+) poúprvě x +3x+ x 5x+ x 3x I Po rozdělení n tři integrály doszení dostneme: (x +3x+)+ ( x 5x+)+ 3 5 ( x 3x ).
I Nyní již provedeme výpočet: 3 (x +3x+)+ ( 3 x3 + 3 x +x ] x 3 + ( 3 ( )3 + 3 ) ( ) +( ) ( + 3 3 5 ) + ( x 5x+)+ 3 x3 5 x +x ] x + ( 3 ( 3)3 + 3 ( 3) +( 3) ( 3 ( )3 5 ( ) +( ) ( + 3 3 3 ) ( 3 3 3 )] ( 6 + ) 3 +6 ( 6 3 6 6 6 6+ 3 ( x 3x ) 3 x3 3 x x )] + ( 8+ 7 )] 3 + ( 3 ) 5 + ) ( 3 )] 3 + 7 5+3 48 3 9 +3 6 4 +3. )] + +(4+++ 8+) ] x ( )] 6 3 + 7.7 Určitý integrál metod per prtes Vět7.5.Jsou-li u, v spojitén,b,pk b Úloh 7.6. Vypočtěte I Řešení. I b u(x)v (x)u(x)v(x)] b x u (x)v(x). π ux u v sinx v cosx xsinx. π ] cosx] πx + cosx π. 6
7.8 Určitý integrál metod substituční Máme-li při výpočtu určitého integrálu použít substituci, pk můžeme nejprve vypočíst primitivní funkci pk použít Newtonův vzorec, nebo můžeme provést trnsformci mezí. V závislosti n tom, jkou substituciprovádíme(h(x)tnebo xϕ(z))použijemejednuznásledujících dvou vět. Vět7.7(substituce h(x)z).nechť f(x)mátvr f(x)g h(x) ] h (x),kde h (x)jespojitán,b g(z)jespojitáprovšechn z h(x),pokud x,b. Pk b f(x) Úloh 7.8. Vypočtěte I b π g h(x) ] h (x) sin 3 xcosx. h(b) h() Řešení. Použijeme předchozí větu, neboť zřejmě funkce kde Dále máme ověřit, že cožjistěje, sin 3 xcosx mátvr g h(x) ] h (x), h(x)sinx g(z)z 3. h (x)cosx jespojitán,b g(z)z 3 jespojitáprovšechn z h(,b )sin g(z)dz. (), π, (, π ),, což je jistě tké prvd. Substitucísinxztedybude h(x)sinxz, h()sin I h (x)cosxdz, h(b)sin π ] z 3 dz z 4 4 ] 4. Vět7.9(substituce xϕ(z)).nechť A < b B,nechť f(x)jespojitán A,B, ϕ (z)nechťjespojitán α,β nechťpro z α,β leží ϕ(z)vintervlu A,B, ϕ(α), ϕ(β)b.pk b f(x) β α f ϕ(z) ] ϕ (z)dz. () 7
Úloh 7.. Vypočtěte I Řešení. I π cos zdz x. ] xsinz x z coszdz x z π ]π z+sinz π 4. z Zdejsmehledli αβzrovnic sin(α)ϕ(α), π sin zcoszdz sin(β)ϕ(β)b, tk máme(nejjednodušší řešení, le možností je více je lhostejné, kterou z nich vybereme) α β π. Máme ověřit, že derivce substituční funkce je spojitá n zvoleném intervlu, π,cožjejistěprvd,neboťϕ (z)cos(z)jespojitáfunkce.dálenászjímá, kmsubstitučnífunkcezobrzíintervl α,β, π, ( ϕ, π ),. Zdetedykrozšířenípůvodníhointervlu,b, nedochází,tkstčí vyšetřitpřípd A B b,tedyvyšetřitspojitostpůvodní integrovnéfunkce f(x) x nintervlu A,B,,cožzřejmě oprvdu je. Úloh 7.. Vypočtěte Řešení. ln5 ln5 e x }{{} gh(x)] ln5 e x ex. z h(x) e x, z e x, e x z + e x ex dz h (x) ex e x x z e xln5 z e ln5 e x e x } {{ } h (x) ln5 (ex ) ] + } {{ } gh(x)] e x e x } {{ } h (x) (z +) } {{ } g(z) dz ] z (z 3 +)dz 3 +z ( 8 z 3 +) ()]8 3. 8
Poznámk 7.(K. Rektorys kol.: Přehled užité mtemtiky). Jk nesmíme provádět integrci substitucí, vyplývá z těchto příkldů: Příkld 7.3. Integrál 4 x nelzeintegrovtsubstitucí xsinz,neboť prožádnýintervl α z βnebude xsinzprobíhtintervl,4.dný integrállzejistěřešitnpříkldsubstitucí x z x.přitombude x 4, z 4+ 5. Příkld 7.4. Řešme integrál Substituce: tgxz, π +tg x, k >, k. +ktg x cos x dz, (+tg x)dz; tg(), tg(π). Je tedy π +tg x +ktg x dz +k z. Výsledek je zřejmě nesprávný, neboť integrál z kldné funkce je kldný nemůžemedosttjkovýsledeknulu.chybvzniklásubstitucítgxzjevtom,žetgx jev,π nespojitávbodě x π. 8 Vět o střední hodnotě integrálního počtu Vět8.(ostředníhodnotěintegrálníhopočtu).Nechť f R(,b )pltí m f(x) M.Pkexistuječíslo µ m,m tk,že b f(x)µ(b ). Je-li fspojitá,pkexistuječíslo ξ,b tk,že b f(x)(b )f(ξ). Úloh 8.. Podle věty o střední hodnotě integrálního počtu určete střední hodnotu µ funkce: y xnintervlu,4. 9
Řešení. Podle věty o střední hodnotě µ vypočteme následovně: b f(x)µ(b ) µ b f(x) (b ) 4 x (4 ) 4 3. Funkce xjen,4 spojitá,tkžeexistujepříslušné ξ: µf(ξ), 4 3 ξ ξ ( ) 4 6 3 9,7. Situci ilustruje následující obrázek: µ 4 3 ξ,7 Úloh 8.3. Podle věty o střední hodnotě integrálního počtu určete střední hodnotu µ funkce: ysinxnintervlu,π. Řešení. Podle věty o střední hodnotě µ vypočteme následovně: b f(x)µ(b ) µ b f(x) (b ) π sinx (π ) π. Funkcesinxjen,π spojitá,tkžeexistujepříslušné ξ(dokoncedvě): µf(ξ), π sinξ ξ rcsin π,69, ξ π ξ,45. Situci ilustruje následující obrázek: 3
µ π ξ,69 π ξ,45 π 9 Aplikce určitého integrálu v geometrii 9. Počáteční úvhy o výpočtu obshu geometrických útvrů vrovině Úloh9..Vypočtěteobshobrzceohrničenéhoprbolou y x osou x. P Řešení. Po nčrtnutí grfu zjistíme, že jde vlstně o úlohu n výpočet určitého integrálu(dotčený grf prboly leží nd osou x), u které le nejprve musíme nlézt integrční meze. Jde o průsečíky prboly s osou x, tedy nulové body: y x, x x, x b. P ( x ) x x3 3 ] x 3 + 3 4 3 j ]. 3
Úloh9..Vypočtěteobshobrzceohrničenéhoprbolou y x +přímkou y3 x. A P Řešení. Z obrázku je zřejmé, že meze pro výpočet njdeme jko x-ové souřdnice průsečíků obou grfů, tedy z rovnice: x +3 x, x +x, x 9, x b. Dálezobrázkuvíme,že ] x A (x 3 +) 3 +x x 3 ++8 3 +6j ] ] A+P (3 x) 3x x 3 x +6+ j ]. A tedy dohromdy: P(A+P) A 69 j ]. 9. Vzorceproobshdélku Explicitně Prmetricky Polárně β α b Obsh f(x) β y ψ(t)ϕ (t)dt α ϕ ρ (ϕ)dϕ ϕ 3 β α ϕ ϕ b Délk křivky +f (x) ϕ (t)+ψ (t)dt ρ (ϕ)+ρ (ϕ)dϕ
9.3 Ploch rovinných obrzců Úloh9.3.Grfyfunkcí f gvymezilyvrovinějistoukonečnouplochu.vypočtěte obsh této plochy, jestliže: f(x)4x 3 +4x 8x, g(x) x 3 x +4x. Řešení. Nejprve musíme zjistit, zd se grfy obou funkcí vůbec protnou, jkým způsobem: Průsečíky: f(x)g(x) x 5, x, x 3 4. Situci si ilustrujeme n následujícím obrázku: A y f(x) B y g(x) Zeznlostivzájemnévelikosti f(x)g(x)nintervlech 5,,4 dostnemeplochyoblstí AB: P P A +P B 5 5 ( ) f(x) g(x) + 4 ( ) g(x) f(x), pokud bychom neznli jejich uspořádání, stčí vzít: ( ) 4 ( ) P P A +P B f(x) g(x) + f(x) g(x), nebo dokonce P 4 5 f(x) g(x). Pro konečný výpočet použijeme prostřední vzth: ( ((4x f(x) g(x)) 3 +4x 8x ) ( x 3 x +4x )) ( 6x 3 +6x x )) 3 x4 +x 3 6x +C. 33
P ( ) 4 ( ) f(x) g(x) + f(x) g(x) 5 3 x4 +x 3 6x ] 5 65 + 448 5. + 3 x4 +x 3 6x ] 4 Úloh9.4.Grfyfunkcí f gvymezilyvrovinějistoukonečnouplochu.vypočtěte obsh této plochy, jestliže: f(x)3x 4 +6x 3 89x, g(x) x 4 x 3 +63x. Řešení. Nejprve musíme zjistit, zd se grfy obou funkcí vůbec protnou, jkým způsobem: Průsečíky: f(x)g(x) x 9, x x 3, x 4 7. Situci si ilustrujeme n následujícím obrázku: y f(x) A B y g(x) Nebudeme hledt uspořádání funkcí n intervlech 9,, 7, přímo vezmeme: ( ) 7 ( ) P P A +P B f(x) g(x) + f(x) g(x). ( f(x) g(x)) 9 ((3x 4 +6x 3 89x ) ( x 4 x 3 +63x )) ( 4x 4 +8x 3 5x )) 4 5 x5 +x 4 84x +C. 34
P ( ) 7 ( ) f(x) g(x) + f(x) g(x) 9 3 4 5 x5 +x 4 84x ] 5 35594 5 + 58 5 8846. 5 + 4 5 x5 +x 4 84x ] 4 Úloh 9.5. Určete obsh steroidy x cos 3 t, y sin 3 t, t, π. Řešení.Mámetedy x cos3 tϕ(t), t, π. y sin 3 tψ(t), N následujícím obrázku je znázorněn steroid postup výpočtu(vyjdeme ze symetrie steroidy, tk vypočteme obsh obrzce A jko čtvrtinu obshu celé steroidy): A 35
Použijeme vzorec pro výpočet obshu plochy ohrničené grfem funkce zdné prmetricky: β β P A y π ψ(t)ϕ (t)dt ( sin 3 t )( 3cos t( sint) ) dt α 3 3 8 3 6 π π π α sin 4 tcos tdt ( cost)sin tdt 3 6 sin t cost, sin tcos t sin t 4 π ( cos4t cost+costcos4t ) dt costcos4t cos6t+cost ] 3 6 3 3 π π ( cos4t cost+ cos6t+cost ) ( cost cos4t+cos6t)dt (t 3 )]π 3 sint sin4t+6 sin6t ( cost)( cos4t)dt dt ( ( 3 π 3 + 6 ) ( + 6 )) 3 3 π 3 3 π A tedy celková ploch steroidy je P4P A 3 8 π. ] 36
9.4 Délk oblouku(křivky) s β α ds β Úloh 9.6. Určete délku oblouku steroidy α x +y dt x cos 3 t, y sin 3 t, t, π. Řešení. x 3cos tsint, x 3cos tsint, x +y 9 (cos 4 tsin t+sin 4 tcos t )9 sin tcos t ( sin t+cos t ) s 9 sin tcos t. π/ 3sintcostdt3 ] π/ sin t 3. (Funkcesinticostjsounintervlu, π nezáporné,tkžepoodmocněnínení třeb psát bsolutní hodnotu.) Délkobloukusteroidyje s 3. (Celkovádélksteroidyjetedy 4s6.) 37
Objem těles Pomocí Riemnnov integrálu funkce jedné proměnné lze počítt objemy ve dvou přípdech. )Tělesoležímezirovinmi x, xbznámefunkci P(x),jejížhodnoty znmenjí obsh řezu těles rovinou kolmou k ose x. Element objemu je objemtělesje V P(x) x, tj. dv P(x), V b P(x). b)rotčnítěleso,kdeosourotcejeosxkterévzniknerotcíkřivočrého lichoběžníku ohrničeného grfem funkce f n intervlu, b. Zde je řezem kruhoobshu πf(x)] pltí V π b ] π b f(x) y. 38
Úloh 9.7. Vypočtěte objem těles vzniklého rotcí grfu funkce y x kolem osy xnintervlu,. Řešení. Vyjdeme ze vzorce pro objem těles vzniklého rotcí grfu funkce f kolem osy x: b ] ] π x V π f(x) x π x 3 π 3 3 j3 ]. y x Úloh9.8.Vypočtěteobjemtělesvznikléhorotcígrfufunkce ysin x kolem osy xnintervlu,π. Řešení. Obdobně jko u předchozí úlohy: V π π sin x π π cosx π x sinx]π π (π) π j 3 ]. ysin x π 39
Povrch rotční plochy Jdeoplochyvzniklérotcíkřivky lkolemosy x.elementpovrchuplochyje Sπy s, tkže diferenciál povrchu plochy je dsπyds. Je-li křivk l dán prmetricky: x ϕ(t), y ψ(t), t α,β, je β ϕ Sπ ψ(t) (t) ] + ψ (t) ] dt, α je-li křivk l dán explicitně: je Sπ y f(x), x,b, b f(x) + f (x) ]. Úloh 9.9. Vypočtěte povrch těles vzniklého rotcí grfu steroidy kolem osy x. Řešení. Ze symetrie steroidy vyplývá, že celkový povrch získáme jk dvojnásobek povrchu těles vzniklého rotcí prvního oblouku steroidy kolem osy x: ( β ) ( ) π P π yds π sin 3 t3sintcostdt α π π sin 4 tcostdt 5 π. 4
9.5 Těžiště oblouku ds y x Nhrzení těles hmotným bodem o stejné hmotnosti umístěným v těžišti stejné sttické momenty vůči osám. Hmotnostkřivky mσs, přijednotkovéměrnéhmotnosti: σ ms. Těžiště: Tx T ;y T ]. Těleso: m s M x M y β α β Hmotnýbod: M x my T α xds, yds. y T M x m M y mx T x T M y m β α β α β α β α xds, ds yds. ds 4
Úloh 9.. Určete těžiště jednoho oblouku steroidy. Řešení. Z dřívějšk víme, že délk( tedy i hmotnost při jednotkové délkové hustotě) jednoho oblouku steroidy je ms 3. Vzhledem k tomu, že uvžovný oblouk steroidy leží v prvním kvdrntu je symetrický vzhledem k ose prvního třetího kvdrntu(viz obrázek), tk jeho těžištěležíntétoose,tkže y T x T. y T x T M x m π/ s yds π/ sin 3 t3sintcostdt 3 π/ sin sin 4 5 t tcostdt 5 ] π/ Těžištěprvníhoobloukusteroidytedyležívbodě T ( ) 5 5. ] 5 ; 5. 4
9.6 Těžiště plochy y y y Nyníuvžujmejedenelementdesky,kterýmášířku x(). Sttický moment tohoto elementu vzhledem k ose x je dm x (y) σ y (hmotnost elementu násobená rmenem síly), podobně x x dm y (y) σ x. Sttický moment celé(homogenní) desky vzhledem k osám je M x b σ y, M y σ b xy. Těžiště Tx T,y T ]rovinnédeskyjebod,kterýmávzhledemksouřdnicovým osám stejný sttický moment jko celá desk, pokud z jeho hmotnost povžujeme hmotnost m celé desky. Proto mx T M y, my T η M x ztoho(pozkrácení σ) x T b b xy, y T y b b y. y Pokudmádesktvroblstinormálnívzhledemkose x,tj.je-li x b, y y y, pk lze podobně odvodit vzorce pro souřdnice těžiště: x T b b x(y y ), y T (y y ) b (y +y ) (y y ). b (y y ) 43
Úloh9..Určetetěžiště prvníhokvdrntu steroidy Řešení. Z dřívějšk víme, že ploch( tedy i hmotnost při jednotkové plošné hustotě) prvního kvdrntu steroidy je Aopětzesymetrie x T y T M x m π mp 3 8 π. ψ (t)ϕ (t)dt P 33 π sin7 tcos tdt 3 4 8 π π 4 π 4 π costz sintdtdz t z t π z π přehození znménk mezí sin 6 t3cos t( sint)dt 3 8 π π ( cos ) 3 cos tsintdt 4 π ( ( 3z +3z 4 z 6 )z ) dz 4 π z 3 3 3z5 5 +3z7 7 z9 9 ] ( z ) 3 z dz ( z 3z 4 +3z 6 z 8) dz 4 π 3 3 5 +3 7 9 4 6 π 35 64 35π. 44