Vlastní čísla a vlastní vektory

Kapitola 15 Vlastní čísla a vlastní vektory V této a následujících kapitolách budeme zkoumat jeden z nejdůležitějších pojmů tohoto kurzu. Definice15.1 Buď A:V Vlineárnízobrazení,Vvektorovýprostornad tělesem T. Číslo λ T nazýváme vlastní číslo lineárního zobrazení A, pokud existujenenulovývektorx Vtakový,že A(x)=λx.Je-li λvlastníčíslo lineárníhozobrazení A,paklibovolnývektorx Vtakový,že A(x)=λx nazýváme vlastní vektor lineárního zobrazení A příslušný vlastnímu číslu λ. Buď X= {u 1,...,u n }ay= {v 1,...,v n }nějakédvěbázevprostoruv apmaticepřechoduodbáze Xkbázi Y.Potomvíme,žepromatice[A] X a[a] Y lineárníhozobrazení Aplatívztah [A] X =P 1 [A] Y P. Máme-lidánunějakoubázi Y= {v 1,...,v n,vynasnažímesenajíttakovou bázi X= {u 1,...,u n },abymatice[a] X lineárníhozobrazení Avzhledemk bázi X byla co nejjednodušší. Například diagonální. Víme navíc, že každá matice přechodu je regulární a obráceně, že každá regulární matice P řádu nnadtjematicípřechoduodnějakébáze Xkdanébázi Y,stačíprokaždé j=1,...,ndefinovatu j = n i=1 p ij v i.kmatici[a] Y takhledámeregulární maticiptak,abymaticep 1 [A] Y Pbylaconejjednodušší. Definice15.2 Dvě čtvercové matice A,B řádu n nad tělesem T nazývámepodobné,pokudexistujeregulárnímaticepřádu nnadttaková,že B=P 1 AP.MaticeAsenazývádiagonalizovatelná,je-lipodobnánějaké diagonální matici. 88

89 Lemma 15.1 Podobnost je relace ekvivalence na množině všech čtvercových matic téhož řádu nad nějakým tělesem T. Je-li matice A podobná diagonální matici D, můžeme například snadno spočítatlibovolnoumocninua k.platítotiža=pdp 1 atedya k = PD k P 1 amaticed k jeopětdiagonálnímatice,najejížhlavnídiagonále jsou k-té mocniny diagionálních prvků matice D. Je-lix Vvlastnívektorlineárníhozobrazení A:V Vpříslušný vlastnímučíslu λ,pakplatí A(x)=λx.Nynízvolímenějakoubázi X = {u 1,...,u n }vprostoruv.cotoznamenápromaticilineárníhozobrazení Aasouřadnicevektorux,obojívzhledemkbázi X?PodleTvrzení13.10 platí λ[x] X =[λx] X =[A(x)] X =[A] X [x] X. Definice15.3 Je-liAčtvercovámaticeřádu nnadtělesemt.číslo λ T senazývá vlastníčíslomaticea,pokudexistuje nenulovývektorx T n takový,žeax=λx.je-li λvlastníčíslomaticea,paklibovolnývektorx T n,prokterýplatíax=λxsenazývávlastnívektormaticeapříslušný vlastnímu číslu λ. Tvrzení15.2 Je-li λvlastníčíslolineárníhozobrazení A:V V(nebo čtvercové matice matice A nad T), pak množina M všech vlastních vektorů lineárního zobrazení A(nebo matice A) příslušných vlastnímu číslu λ tvoří podprostorv(nebot n )takový,že A(x) M(neboAx M)prokaždý vektorx M. Definice15.4 Je-li A:V Vlineárnízobrazení,pakpodprostorMprostoru V se nazývá invariantní podprostor lineárního zobrazení A, pokud platí A(x) Mprokaždývektorx M.Podobněsedefinujeinvariantní podprostorm T n čtvercovématiceařádu nnadtělesemtjakoinvariantnípodprostorlineárníhozobrazení A:T n T n určenéhomaticía,tj. musíplatitax Mprokaždývektorx M. Tvrzení 15.3 Je-li x vlastní vektor lineárního zobrazení A příslušný bějakémuvlastnímu číslu λ,pak podprostor M λ prostoru V tvořený všemi vlastními vektory A příslušnými vlastnímu číslu λ je invariantní podprostor zobrazení A. Příklad15.1VlastníčíslalineárníchzobrazenívR 2 -osovásouměrnost

90 KAPITOLA 15. VLASTNÍ ČÍSLA A VLASTNÍ VEKTORY vzhledem k y = x, zkosení, zkosení a roztažení, otočení kolem počátku. Otočení kolem počátku jako lineární zobrazení nad komplexními čísly. Příklad 15.2 Derivace diferencovatelných lineárních funkcí na intervalu (0,1). Příklad 15.3 Fibonacciova posloupnost- P posunutí doleva na prostoru V, jeho vlastní čísla. Lemma15.4 Prolineárnízobrazení A:V VexistujebázeveVvzhledemkekterémá Adiagonálnímaticiprávětehdy,kdyžexistujebázeveV složená z vlastních vektorů zobrazení A. Tvrzení15.5 Jsou-li λ 1,...,λ k navzájem různá vlastní čísla lineárního zobrazení A(nebomaticeA)aprokaždé i=1,...,kjeu i nenulovývlastní vektorpříslušný λ i,pakjemnožina {u 1,...,u k }lineárněnezávislá. Důsledek15.6 Je-limaticeAřádu namá-li nnavzájemrůznýchvlastních čísel, pak je diagonalizovatelná. Tvrzení15.7 Je-liAmaticeřádu nnadtělesemt,pak λ Tjevlastní číslomaticeaprávěkdyžplatídet(a λi n )=0. Definice 15.5 Charakteristický polynom čtvercové matice A definujeme jakopolynom p A =det(a λi n )jednéproměnné λ. Vlastní čísla matice jsou tedy kořeny charakteristického polynomu této matice. Tvrzení15.8 Jsou-liA,Bpodobnématice,pak p A = p B. Poslední tvrzení nám umožňuje mluvit také o charakteristickém polynomulineárníhozobrazení A:V V-jetocharakteristickýpolynom matice tohoto zobrazení vzhledem k libovolné bázi V. Matice tohoto lineárního zobrazení vzhledem k různým bázím jsou podobné a podobné matice mají stejný charakteristický polynom. Příklad 15.4 Řešení soustavy dvou lineárních diferenciálních rovnic o dvou neznámých.

91 Tvrzení15.9 Je-liA=(a ij )čtvercovámaticeřáduna p A (t)=c n t n + c n 1 t n 1 + +c 1 t+c 0, pakplatí c n =( 1) n, c n 1 =( 1)(a 11 + a 22 + + c nn ), c 0 =deta. Definice15.6 Je-liA=(a ij )čtvercovámaticeřádu n,pakčíslo a 11 + a 22 + +a nn nazývámestopamaticeaaoznačujemejetrace(a). Věta 15.10 Základní věta algebry Každý nekonstatní polynom s reálnými nebo komplexními kořeny má aspoň jeden komplexní kořen. Důsledek 15.11 Je-li f(x) polynom jedné proměnné s reálnými nebo komplexními koeficienty, pak jej lze jednoznačně(až na pořadí činitelů) vyjádřit jako součin f(x)=a(x β 1 ) r 1 (x β 2 ) r2 (x β k ) r k, kde β 1,...,β k jsounavzájemrůznákomplexníčíslaar 1 + r 2 + +r k = n. Definice15.7 Číslo r i senazývánásobnostkořene β i. Existenci vlastních čísel tak máme zajištěnou pouze pro reálné nebo komplexní matice, v případě reálných matic ale mohou být vlastní čísla komplexní. Definice15.8 Je-li λvlastníčíslomaticea(lineárníhozobrazení A:V V), pak definujeme algebraickou násobnost vlastního čísla λ jako násobnost kořene λcharakteristickéhopolynomu p A maticea(maticelineárníhozobrazení A vzhledem k libovolné bázi V). Jak hledat vlastní čísla reálné(nebo komplexní) matice A? Spočítámepolynomdet(A λi n )anajdemejehokořeny.tojdedobře promaticeřádu2,oněcohůřepromaticeřádu3ahodněšpatněpro matice vyšších řádů. Vzorce pro kořeny polynomů stupňů větších než 4 totiž neexistují, pro stupeň 4 sice existují, ale jsou složité a prakticky nepoužitelné. Kořeny polynomů lze hledat přibližně pomocí iteračních metod. Matice A lze upravovat tak, abychom dostali podobnou matici, u které lze kořeny charakteristického polynomu uhádnout. Někdy to lze, většinou ale nikoliv.

92 KAPITOLA 15. VLASTNÍ ČÍSLA A VLASTNÍ VEKTORY Pro velké matice existují iterativní metody založené například na QRrozkladu matic. Nalezení vlastních čísel s dostatečnou přesností je výpočetně dobře zvládnutelná úloha. Příklad 15.5 Stopa a determinant diagonalizovatelné matice. Tvrzení15.12 Prokaždélineárnízobrazení A:V Vakaždévlastní číslo λzobrazení Aplatí,žedimenzepodprostoruM λ prostoruvtvořeného vlastními vektory zobrazení A příslušnými vlastnímu číslu λ je menší nebo rovná algebraické násobnosti vlastního čísla λ. Důkaz.ZvolímbázivM λ,doplnímjidobáze XceléhoV,vezmumatici A=[A] X vzhledemkbázi XvblokovémtvaruaspočtudeterminantA λi n. Definice15.9 Je-li λvlastníčíslolineárníhozobrazení A:V VaM λ podprostor V tvořený všemi vlastními vektory V příslušnými vlastnímu číslu λ, pak definujeme geometrickou násobnost vlastního čísla λ jako dimenzi podprostorum λ. Věta 15.13 Buď V vekorový prostor nad tělesem komplexních čísel C a A:V Vlineárnízobrazení.Potomjelineárnízobrazení Adigonalizovatelnéprávětehdykdyžprokaždévlastníčíslo λzobrazení Aplatí,žejeho geometrická násobnost se rovná jeho algebraické násobnosti. Definice15.10 Jordanovabuňka J(λ,k).MaticeAřádu nmájordanův normálnítvarsbuňkami J(λ i,k i ), i=1,2,...,m,kde k 1 +k 2 + +k m = n. Tvrzení 15.14 Jordanova buňka J(λ, k) není diagonalizovatelná matice, je-li k 2. Příklad 15.6 Derivece polynomů stupně nejvýše 3 má nediagonalizovatelnou matici.

93 Věta15.15 Je-liAčtverovámaticeřádu nnadc,pakajepodobnánějaké maticivjordanověnormálnímtvarusbuňkami J(λ i,k i ), i=1,2,...,m, kde k 1 +k 2 + +k m = n.dvojice(λ i,k i )jsoumaticíaurčenéjednloznačně až na pořadí. Je-li A:V Vlineárnízobrazení,dimV=n,pakexistujebázeveV taková,žematice AvzhledemktétobázijevJordanověnormálnímtvaru. Důkaz. Bez důkazu. Příklad 15.7 Formalizace myšlenky, že webová stránka je tím důležitější, čím důležitější jsou webové stránky, které na ni odkazují. Podle článku Herbert S. Wilf, Searching the web with eigenvectors. Definice 15.11 Spektrum a spektrální poloměr matice a lineárního zobrazení. σ(a), σ(a), ρ(a),ρ(a). Věta15.16 Je-liAčtvercovámaticenadRskladnýmiprvky,pak ρ(a) σ(a) a existuje vlastní vektor v matice A příslušný vlastnímu číslu ρ(a), který má všechny souřadnice kladné. Algebraická násobnost vlastního čísla ρ(a)serovná1. Důkaz. Bez důkazu. Definice 15.12 Čtverová matice A s nezápornými prvky se nazývá irreducibilní,pokudexistujenějakájejímocninaa6 n,kterámávšechnyprvky kladné. Matice, která není irreducibilní, se nazývá reducibilní. Věta 15.17 Je-li A irreducibilní čtvercová matice nad R s nezápornými prvky,pak ρ(a) σa, ρ(a) >0aexistujevlastnívektorvpříslušný ρ(a), který má všechny souřadnice kladné. Algebraická násobnost ρ(a) se rovná 1. Důkaz. Bez důkazu.