ÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE

ÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE MODELOVÁNÍ PROUDĚNÍ TEKUTIN s aplkacem v bomechace a ve vří aerodyamce Doc. Ig. Ja Vmmr, Ph.D.

Obsah předášky: 1. Movace vybraé kázky proděí ek v echcké pra. Movace vybraé kázky proděí ek v bomechace 3. Lamárí zoermcké proděí eslačelé Neoovy kapaly 4. Aplkace v bomechace - proděí krve 3D modely bypassů a aeryzma břší aory - kázky vybraých merckých výsledků 5. Proděí slačelé evazké a epelě evodvé eky 6. Nmercké řešeí modelové skalárí leárí hyperbolcké PDR v 1D 7. Aplkace rassocké a spersocké proděí evazké eky v kaále 8. Lamárí proděí slačelé Neoovy eky 9. Ukázky vybraých aplkací lamárího proděí ve vří aerodyamce

Vskoza ek projevje se př proděí reálých ek odporem pro pohyb prví formlace: Neo (1687) povrzea epermeálě Předsavme s proděí ve vodorovém směr podél desky jako pohyb ekých vrsev eky o lošťce dy, rovoběžých s desko. Takové proděí ve vrsvách se azývá lamárí. Na desce je rychlos eky lová (lpívá a í). Jedolvé vrsvy eky vzájemě po sobě klozají dochází k jejch vzájemém posv. Mez vrsvam působí smykové (řecí) síly vyvolaé vskozo eky. g d dy d dy Tečé (smykové) apěí Pa od vskozy je podle Neoa rčeo vzahem d dy

d dy grade rychlos Úvod do modelováí v mechace (UMM) Zavádí se pojem: kemacká vskoza s 1 v kolmém směr a pohyb eky 1 1 dyamcká vskoza eky Pas kgm s m s Vskoza ek je defováa Neoovým vzahem za předpoklad lamárího proděí. Dyamcká a kemacká vskoza závsí a eploě eky. U plyů rose vskoza s eploo. U kapal s rosocí eploo vskoza klesá. 1. Neoské kapaly vyhovjí Neoov záko vskozy Neeoské kapaly závslos smykového apěí a grade rychlos d / dy elze vyjádř Neoovým vzahem (apř. krev př proděí ízkým rychlosm v meších arerích se chová jako psedoplascká kapala)

Výchozí sysém rovc popsjících proděí reálých ek ve 3D je vyvoze ze základích fyzkálích zákoů zachováí: a) záko zachováí hmoos rovce koy (1 rce) Sysém pě b) záko zachováí hybos pohybové Naverovy eleárích Sokesovy rovce (3 rce) PDR c) záko zachováí celkové eerge eergecká rovce (1 rce) Rozdíl v kemace lamárího a rbleího proděí plye z časových průběhů rychlosí Lamárí proděí edochází k promícháváí sosedích vrsev eky Trbleí proděí časově sředí hodoa rychlos s rbleí (flkačí) složka rychlos (je malá, časově proměá velkosí směrem) rblece je ahodlý jev, kerý se vyhodocje sackým meodam

Lamárí zoermcké proděí eslačelé Neoovy kapaly Neslačelá kapala hsoa kapaly Izoermcké proděí Neoovy kapaly dyamcká vskoza kapaly Maemacký model proděí ve 3D je voře sosavo rovc (1) (4): - rovce koy (1) - pohybové () Naverovy Sokesovy (3) rovce (4) kde je čas, p je lak, je vekor rychlos kapaly a je vekor prosorových sořadc. Neleárí sysém PDR (1) (4) obecě azýváme sysém Naverových-Sokesových (NS) rovc pro zoermcké proděí eslačelé Neoovy kapaly. kos kos 0 z y v 1 1 1 z y z p z y v z v y v v z v y p y v v v z y z y v p T v,, v T z y,, y

Omezíme se dále a sáleé (plě vyvé) proděí mez dvěma rovoběžým ekoečě šrokým a ekoečě dlohým deskam ve vodorovém směr. Verkálí vzdáleos desek je H. Proděí ve vodorovém směr 0, v 0. Dosadíme do rovce koy (1) 0 y, z, eboť ve směr je složka rychlos kosaí. Proděí je sáleé (sacoárí) 0 Dosazeím vedeých předpokladů do NS rovc () (4) dosáváme: p p p kos y z 0 p 0 p eí fkcí y y p p p 0 p eí fkcí z z

Jedá se o rové proděí (v rovách rovoběžých s rovo rychlosí poměry) y rychlos eí fkcí z Koečě dosáváme y jso sejé dp d d dy kos, p p (5) Rovce (5) předsavje maemacký model ejjedodššího lamárího proděí eslačelé Neoovy kapaly.

Příklad: Coeeovo proděí proděí způsobeé poze pohybem horí desky dp rychlosí U = kos 0 Rovce (5) přejde a var: Řešeí: U y 1 y H d dy 0 d, okrajové podmíky: H 0 H U (6) Coeeovo proděí je způsobeé pohybem jedé sěy a rychlosí profl je leárí. Dále rčíme hodo smykového apěí a sěě (WSS all shear sress): d U yh dy H

Příklad: Proděí způsobeé poze lakovým gradeem jso fováy. Řešíme rovc (5): Úvod do modelováí v mechace (UMM) dp d d dy dp Proože kos, msí bý rozložeí d lak ve směr osy přímkové. kos dp d, okrajové podmíky: 0, kdy obě desky H H 0 0 Kapala prodí ve směr lakového spád p Tedy: p dp d p p l 1 p 1 p 1 p p l 1 0

Řešeí: Úvod do modelováí v mechace (UMM) dp 1 y H y H y 1 p 1 p d l (7) Rychlosí profl je v omo případě, kdy proděí je způsobeo poze lakovým gradeem, parabola. Rychlos je ezávslá a poloze ve všech průřezech je sejé parabolcké rozložeí rychlos plě vyvé proděí. d 1 dp H dp H p1 p 0 y y 0, y 0 ma dy d d l 3 1 Průočé možsví (průočý objem) Q m s kapaly v mezeře defjeme vzahem: Q y da (8) Pro sředí rychlos A avg kapaly v mezeře plaí: avg Q A 1 A A y da avg 1 Hb H H 1 dp H dp H y b dy avg ma d 3 d ma 3 (9)

Smykové apěí a sěě mezery: d dy yh y dp d yh H dp d H l H p1 p ma (10)

Příklad: Zobecěé Coeeovo proděí - proděí v mezeře je způsobeo kromě lakového grade dp / d 0 aké Řešíme rovc (5): Úvod do modelováí v mechace (UMM) dp d d d pohybem horí desky rychlosí U = kos. kos, okrajové podmíky: H 0 H U Řešeí: 1 dp U 1 d y H y H y (11) Rychlosí profl je v případě zobecěého Coeeova proděí sečeím rychlosích proflů (6) a (7) z předchozích příkladů

Pro sředí rychlos avg plaí: avg dp U y H y bdy H 1 1 1 yda A Hb 1 d A H H avg U ma 3 (1) Smykové apěí a sěě mezery: d dy yh y dp d U H yh H dp d U H (13)

Příklad: Usáleé lamárí proděí Neoovy kapaly ve vodorové válcové rbce s vřím poloměrem R a s edeformovaelým sěam V omo případě plaí: p kos y z Řešeí ohoo problém provedeme ve válcových sořadcích, r,, kde r y z r Dosadíme do (14) Neoův vzah y, z, v 0 0, Rovováha sl působících a vyký objemový eleme prodící eky: dp r dp r 1 p r p1 r 0 r r d d dp Tečé apěí je podle (14) přímo úměré poloměr r pro kos d d dr r dp d d dr, okrajové podmíky: a dosaeme: p1 p R 0 dp d p p 1 1 0 (14)

Řešeí: Úvod do modelováí v mechace (UMM) dp 1 r R r R r 1 p 1 p 4 d 4 l (15) Rychlosí profl je v omo případě roačí parabolod. Mamálí rychlos ma v rbce je: r 0 ma R 4 dp d R p 4 1 l p Průočý objem (průok kapaly rbcí): Q A r da R 0 r r dr Q 4 R 8 dp d (16) Vzah (16) odvodl fracozský lékař Poselle (1840), kerý sdoval proděí krve v žlách. Nezávsle a ěm odvodl eo vzah ěmecký fyzk Hage (1839) vzah (16) pro průočý objem ozačjeme jako Hageova-Poselleova formle. Z éo formle plye, že ejvěší vlv a změ proděí kapaly má poloměr rbce. Má-l bý průočý objem kapaly rbcí kosaí, ak 1%-í zmešeí poloměr rbce vyžadje 4 %-í přírůsek lakového spád. Př.: Hypereze (vysoký kreví lak) je vyvolá zúžeím krevích cév.

avg Pro sředí rychlos kapaly v rbc plaí: Q R dp 1 avg avg ma R 8 d (17) d R dp Smykové apěí a sěě rbce: rr (18) dr d Smyková rychlos Neoovy kapaly a sěě rbce: d R dp 4avg rr s dr d R Rozběhová dráha lamárího prod kapaly v rbc Vsp do rbce kapala má rychlosí profl odpovídající dokoalé kapalě. Vzdáleos r, a íž se vyve rychlosí profl ve var parabolod, se azývá rozběhová dráha lamárího prod a plaí pro í Bossesqův vzah R r avg 0, 065 Re, Re, R (19) kde Re je Reyoldsovo číslo. Ze vzah (19) je zřejmé, že k sáleí rychlosího profl dojde daleko od vspího průřez v krákých rbkách se lamárí rychlosí profl evyve, a proo ch Hageův Poselleův vzah eplaí. 1

Aplkace v bomechace Úvod do modelováí v mechace (UMM) proděí krve v cévách přemosěých bypassovým šěpem Kardovasklárí choroby (fark, mrvce) jso příčo 50% předčasých úmrí v ČR Aeroskleróza koraěí epe vlvem sazováí choleserol ve vří vrsvě cévy zúžeí průsv cévy sížeí průok krve edosaečé prokrveí káě (scheme). V případě srdce (schemcká choroba srdečí) může eo sav vés k fark myokard (lokálím odmřeí srdečího sval). její výsky ovlvě lokálím charakerem proděí, ejčasěj v mísech věveí cévy (bfrkace)

př 50 70% zúžeí průsv cévy (seóza) léčba medkamey a úpravo žvoosprávy př věší seóze balóková agoplaska (echrrgcký zákrok) aplkace bypassových šěpů (chrrgcký zákrok) syecké (polymery) aologí (žlí, arerálí) seheí (femorálí) bypass kyčelí bypass sekvečí aorokoroárí bypass dvojý aoro-koroárí bypass Sekvečí bypass víceásobé přemosěí aví arére

Základí ypy aasomóz (spojeí mez bypassovým šěpem a arerí) ed-o-ed ed-o-sde sde-o-sde Žvoos bypassových šěpů je omezea. Příčy selháí: zráa průchodos mplaovaého bypassového šěp v oblas aosomózy př hojeí aršeé céví sěy chrrgckým zákrokem Zrá průchodos bypassového šěp, resp. proces aršeí céví sěy ovlvňje lokálí charaker proděí (výsky recrklačích zó, ízké hodoy smykového apěí a sěě WSS, )

Saha o lepší pochopeí sovslosí mez zráo průchodos bypassových šěpů a lokálím charakerem proděí vede k dlohodobém výzkm éo problemaky. Proo je žádocí zabýva se maemackým modelováím a merckým smlacem proděí krve v modelech bypass a ověřova mercké výsledky epermeálě s cílem opmalzace var bypassových šěpů vedocí k prodložeí jejch žvoos.

Ukázka vybraých merckých výsledků proděí krve rekosrovaým aoro-koroárím bypassy z CTA símků (Chrrgcká klka a Klka zobrazovacích meod FN Plzeň spolpráce s: doc. MUDr. Jří Moláček, Ph.D., doc. MUDr. Ja Baa, Ph.D.) model rojého aoro-koroárího bypass

modelováí proděí v aoro-koroárím bypass (fyzologcké okraj. podmíky) mercké výsledky aalýza prodového pole, rozložeí WSS a OSI

modelováí proděí v aoro-koroárím bypass (fyzologcké okraj. podmíky) mercké výsledky aalýza prodového pole, rozložeí WSS a OSI

proděí krve v karockých epách a krk paologcké poškozeí karockých epe v důsledk aerosklerózy je jedím z hlavích příč mozkové mrvce (omezeí cévího zásobeí mozk, emboly ) důležá včasá defkace rzkových seóz (saha o přesější dagosk) saoveí hemodyamcké výzamos zejméa sředě ežkých seóz (40-70%) aalýza prodového pole a výzamých hemodyamckých fakorů

Ukázka vybraých merckých výsledků proděí krve v rekosrovaých modelech velkých epe z CTA símků (Chrrgcká klka a Klka zobrazovacích meod FN Plzeň spolpráce s: doc. MUDr. Jří Moláček, Ph.D. a doc.mudr. Ja Baa, Ph.D.) karocké bfrkace (vývoj průočého možsví ve vzespé a sespé aorě změřeo pomocí MRI) aorálí oblok

modelováí proděí krve v modelech velkých cév vč obo karockých bfrkací pro aplkac pae-specfc okrajových podmíek ž víceškálový přísp proděí krve v 3D model cév popsáo sysémem Naverových-Sokesových rovc chováí zbyk oběhové sosavy rčeo 0D modely proděí (aaloge s elekroechko) 0D modely é alad a základě klcky dospých da (průoky z MRI...) ží defkačích meod zámých apř. v kyberece (sceed Kalmaův flr, SMI meody) 3D model skeleozace 0D model (RLC model / RL model) & 3-prvkový Wdkessel model a výspech

Nmercké výsledky aalýza prodového pole, rozložeí lak, FFRCT a WSS šířeí ehmoých čásc v model karocké bfrkace FFRCT WSS [Pa]

Proděí slačelé evazké a epelě evodvé eky Maemacký model proděí je ve 3D voře sosavo rovc (1) (5): - rovce koy (1) () - pohybové Elerovy (3) rovce (4) - eergecká rovce (5) kde je čas, ρ je hsoa eky, p je lak, je vekor rychlos eky, je vekor prosorových sořadc a E je celková eerge vzažeá a jedok objem prodící eky. Neleárí sysém PDR (1) (5) obecě azýváme kozervaví sysém Elerových rovc pro proděí slačelé evazké a epelě evodvé eky. T v,, v T z y,, y 0 z p E y v p E p E E 0 z y v 0 0 0 z p z y v z v y p y v v v z y v p

Kozervaví sysém Elerových rovc (1) (5) ve 3D můžeme vyjádř v kompakím var eleárí vekorovo PDR kde f g h,, v,,, p, v,, E p v, v, v p, v, E pv,, v, p, E p E T f g h y je vekor kozervavích proměých T T T z 0 (6) karézské složky evazkého ok Celková eerge E vzažeá a jedok objem prodící eky: E e kde je měrá vří eerge sysém. 1 v kgm s 1 (7) Kozervaví sysém Elerových rovc (1) (5) obsahje více ezámých ež rovc 6 ezámých:,, v,, p, E a 5 rovc.

Termodyamcké úvahy eka jako deálí ply Proděí slačelé eky je provázeo ermodyamckým změam prodícího méda sysém Elerových rovc doplíme o ermcko savovo rovc p p,t defjící ermodyamcké vlasos važovaé eky. vyjadřjící měr- Bdeme pořebova ješě kalorcko savovo rovc o vří eerg sysém. V řadě aplkací lze slačelo ek považova za deálí ply. R p r T, r M p, (8) r je měrá plyová kosaa, pro vzdch: r 87 J kg R 8, 314 J mol 1 K 1 je verzálí plyová kosaa M je relaví moleklová hmoos, pro vzdch: M 8, 96kgmol cp cv 0, cp kos, cv kos... měré epelé kapacy př kosaím lak a př kosaím objem Mayerův vzah: r c p c v 1 K 1 1 (9)

c p Úvod do modelováí v mechace (UMM) Possoova adabacká kosaa: Pro vzdch (dvoaomový ply) plaí: r r, cv 1 1 c p 1 (10) c 1,4 Měrá vří eerge a měrá ehalpe h: v c 1 p T v 1 (11) (1) h c p T p 1 (13)

Rychlos zvk v deálím ply a Machovo číslo Rychlos zvk a další velča charakerzjící rozdíl mez dyamko slačelých a eslačelých ek. Z aksky je zámo, že šířeí zvk je provázeo podélým vlěím vzdšy. Je o pospé zhšťováí a zřeďováí prosředí, keré se šíří z mísa zdroje v klových vloplochách. Šířeí zvk v deálím ply považjeme za děj zoeropcký (adabacký), j. bez výměy epla s okolím. Zvk je způsobe malo lakovo porcho vycházející z mísa zdroje příča změy hsoy změa sav ply rychlos zvk je fkcí savových velč. Rychlos zvk v prodícím ply rychlos šířeí malé lakové porchy relavě k rychlos prodícího ply. a r T Okamžý mísí sav prod slačelé eky charakerzje Machovo číslo Ma (bezrozměrová velča) Ma v a p v a (14) (15)

Proděí slačelé evazké eky v 1D je edy popsáo rovcem: Vzah pro lak (19) získáme dosazeím rovce (1 ) do vzah pro eerg (18). Kozervaví sysém Elerových rovc v 1D (16) můžeme vyjádř ve var: kde je Jacobova mace evazkého ok. f A T T p E p,,, E,, f 0 A f 0 f 1 T c E v 1 1 E p (16) (17) (18) (19) (0) f ( )

Nmercké řešeí zjedodšeého skalárího model v 1D Uvažjme počáečí úloh pro skalárí leárí hyperbolcko PDR v 1D a, 0 0 0, a R, R, 0 0 R kde, : R ; je řešeí rovce (1) a 1 0 C R R je počáečí podmíka. a kos Úvod do modelováí v mechace (UMM). je rovce charakerscké přímky (zv. charakersky), podél íž se šíří velča kosaí rychlosí Nmercké řešeí počáečí úlohy (1) () provedeme pomocí meody koečých dferecí. Rovoměrá karézská síť: M, ;, 0, 1,,...;, N a 0 (1) () 1 0 1 0 krok v prosorové sořadc krok v časové sořadc

Rozveme fkc defovao a -é časové hladě do Taylorovy řady v okolí bod : Podobě rozveme fkc do Taylorovy řady v okolí bod : Dále rozveme fkc defovao v bodě do Taylorovy řady v čase:, 3 3 3 3 O,,...,!,!,,,, 4 3 3 3 3 O,!,!,,, 4 3 3 3 3 O,!,!,,,, (3) (5) (4) Úvod do modelováí v mechace (UMM)

Odečeím rozvoje (4) od (3) dosaeme cerálí dferečí forml drhého řád přesos, kerá apromje prví dervac fkce podle : Sečeím rozvojů (3) a (4) dosaeme cerálí dferečí forml drhého řád přesos, kerá apromje drho dervac fkce podle : Z rozvoje (5) vyjádříme dopředo dferečí forml prvího řád přesos O, kerá apromje prví dervac fkce, podle čas : Přesé řešeí bodech, O,,,, O Úvod do modelováí v mechace (UMM), O,,,, O,,, počáečí úlohy (1) () je apromováo v síťových po čásech kosaí fkcí U O,,, (6) (7) (8) (9)

Apromací časové a prosorové dervace v rovc (1) pomocí vzahů (8) a (6) v síťových bodech dosaeme: Úvod do modelováí v mechace (UMM),,,,, 1 a 1 1 a,,,,, 1 1 1 a 1 U U U 1 U 1 respekve (30) Jedá se o Elerovo FTCS eplcí dferečí schéma pro alezeí merckého řešeí U ve vřích bodech síě., Pozor! Too schéma je ale esablí a proo pro mercké řešeí epoželé. podmíěě sablí (a díž pro mercké řešeí poželé) mercké schéma dosaeme ak, že za U v (30) dosadíme armecký průměr: U 1 U 1 U

Laovo-Fredrchsovo (LF) schéma (31) Jedá se o eplcí dferečí schéma prvího řád přesos v prosor čase, keré je podmíěě sablí s podmíko sably (3) Dále odvodíme Laovo-Wedroffovo (LW) schéma. Uděláme Taylorův rozvoj fkce v čase kam dosadíme a dosaeme U U a U U U 1 1 1 1 1 1 a 3 O,, 3 O a a,, a a a, a,, O Úvod do modelováí v mechace (UMM)

Apromací prosorových dervací pomocí cerálích dferečích formlí (6) a (7) drhého řád přesos získáme v síťových bodech, : a a, 1, 1, 1, 1,, 1,, a a U U U U U 1 U U 1 1 1 1 Jedá se o eplcí dferečí schéma drhého řád přesos v prosor čase O,, keré je podmíěě sablí s podmíko sably (34) a Pozámka: a) Uvedeá dferečí schémaa (31) a (33) složí pro alezeí merckého řešeí U ve vřích bodech, karézské síě. V bodech a hrac výpočové oblas msíme spl předepsaé okrajové podmíky. b) Obecě dferečí schémaa prvího řád přesos (apř. LF schéma (31)) jso přílš dspaví a polačjí ampldy řešeí. Naopak schémaa drhého řád přesos (apř. LW schéma (33)) ejso dspaví, ale způsobjí slé osclace v řešeí, keré moho vés až k esablě výpoč. (33)

Příklad: Řeše rasporí PDR Počáečí podmíky: Okrajové podmíky: Úvod do modelováí v mechace (UMM), 0, 0 0 0... L..., a 0 0 50, 0 0, 0, 0 L, 0 j. v čase = 0 je vygeerovaá porcha (počáečí podmíka), kerá se šíří v 1D rbc délky L zavřeé a obo kocích., 50 100 s, 60 50 110 110 400 a 50ms 1

Řešeí: LF schéma (31): a 0,5 LW schéma (33): a 0, 5 5, 0, 005 0, 5s 0, 5s

Aplkace rassocké proděí v rovém GAMM kaále (10% výdť) Bezrozměrové okrajové podmíky: ple 1, le 1, le 0, pole 0, 737 Male 0, 675 Ma Ma loer all p Ma pper all T

Aplkace spersocké proděí v rovém GAMM kaále (10% výdť) Bezrozměrové okrajové podmíky: 1, v 0, 1, Ma 1, 65 Ma le le le le Ma loer all Ma pper all

Aplkace spersocké proděí v rovém GAMM kaále (4% výdť) Bezrozměrové okrajové podmíky: 1, v 0, 1, Ma 1, 65 Ma le le le le Ma loer all Ma pper all

Lamárí proděí slačelé Neoovy eky Maemacký model proděí ve D je popsá eleárím sysémem Naverových- Sokesových (NS) rovc zapsaých v kompakím var vekorovo PDR f g fv gv y y T kde,, v, E je vekor kozervavích proměých f g f g, p, v, E p v, v, v p, E p V V 0, Úvod do modelováí v mechace (UMM), y, v k 0, y, yy, y v yy k y y v T T T T T T karézské složky evazkého ok karézské složky vazkého ok v T T je čas, je hsoa eky,,v je vekor rychlos eky, y, y je vekor prosorových sořadc, T je eploa a k je sočel epelé vodvos eky. Pro celkovo eerg E vzažeo a jedok objem prodící eky plaí: 1 E v (36) (35)

Tlak p je dá v případě deálího ply vzahem 1 p 1 E v, kerý získáme dosazeím rovce (1) do (36). Possoova kosaa pro dvoaomový ply je 1,4 Pro složky ezor vazkých apěí plaí: 3 v y y v Sočel epelé vodvos eky k lze vyjádř ve var c p Úvod do modelováí v mechace (UMM) y y 3 yy kde je měrá epelá kapaca př kosaím lak a Pr je Pradlovo číslo. V případě lamárího proděí plaí Pr 0,7. Dyamcká vskoza eky se časo ve výpočech važje kosaí. Pomocí Sherladova vzah lze vyjádř její závslos a eploě 3 1, 457T 6 T 10 T 110 k c p Pr v y (37)

Aplkace lamárí rassocké proděí ply v rovém model ěsící mezery ve šrobovém kompresor bez vsřkováí 1 hlaví roor vedlejší roor 3 komora pracovího prosor 5 važovaá ěsící mezera D model ěsící mezery mez hlavo zb hlavího roor a skříí kompresor

H 350 m, p / p 0, ole le Izočáry Machova čísla Šlíry Gradey hsoy ve směr osy

H 00 m, p / p 018, ole le Izočáry Machova čísla Šlíry (ÚT AVČR) Gradey hsoy ve směr osy

Aplkace lamárí rassocké proděí ply ve D kaskádě DCA8% proflů Bezrozměrové okrajové podmíky: p 1, le 1, le, pole 0, 48 + perodcké okrajové podmíky le, Re 6450, Ma 0, 744 Zobrazey zočáry Machova čísla ve dvo růzých časových okamžcích ref le v 0 all

Aplkace lamárí sbsocké proděí ply v symerckém rovém kaál se dvěma DCA8% profly Bezrozměrové okrajové podmíky: pole / ple 0, 675, le 1, le 0, vall 0 + symercké okrajové podmíky Re 581, Ma 0, 7 Zobrazey zočáry Machova čísla ve dvo růzých časových okamžcích ref le