1. Pokyny pro vyprcování Zvolený příkld z druhé kpitoly vyprcujte písemně (nejlépe vysázejte pomocí LATEXu) dodejte osobně po předchozí domluvě milem n krbek@physics.muni.cz. Dále si vyberte tři z jednodušších úloh v třetí kpitole rovněž je vyprcujte. Řešení budeme následně diskutovt. Pokud bude řešení správné úplné, bude Vám udělen zápočet. Žádní dv studenti nemohou řešit stejný příkld, proto se mezi sebou musíte domluvit. 2. Příkldy n udělení zápočtu z vričního počtu 2.1. Soustv hrmonických oscilátorů, její symetrie přechod od této soustvy ke spojité struně. Uvžujme soustvu N hrmonických oscilátorů: kždý o hmotnosti m, jež jsou spojeny N pružinmi o tuhosti k, tk, že j-tý oscilátor je spojen s ( j + 1)-ním, j {1,..., N 1} N-tý opět s prvním (viz obrázek 1). 3 4 2 5 1 6 N 7 Obrázek 1: Konfigurce soustvy hrmonických oscilátorů () Npište lgrngián kci pro tuto soustvu oscilátorů npište rovněž příslušné pohybové rovnice. Využijte mticový zápis soustvy rovnic, ü = ω 2 Au, (1) kde ω 2 = k/m u je vektor výchylek oscilátorů, A je jistá N N mtice. Můžete využít mticového zápisu i pro potenciální kinetickou energii soustvy. 1
2.2 Minimální plochy v R 3 (b) Vyřešte soustvu rovnic pro N = 4. (c) Uvžte symetrii soustvy oscilátorů vzhledem k otočení, které přesune první oscilátor do druhého, j-tý do ( j + 1)-ního N-tý do prvního. Tuto symetrii vyjádřete mticí S. (d) Skutečnost, že S je symetrií soustvy oscilátorů znmená, že je rovněž symetrií soustvy rovnic (1) tedy pltí, že rovnice Sü = ω 2 A Su (2) je stejná jko rovnice (1). Z toho plyne SA = AS. Ověřte to přímo. (e) Mtice S A komutují, mjí tedy shodné systémy vlstních vektorů. Nlezněte vlstní hodnoty vektory S tím i vlstní vektory A. Uvědomte si, že S N = 1 N (jednotková mtice). (f) Ukžte, že vlstní hodnoty A jsou ( λ k = 2 1 cos 2πk ). (3) N (g) Proved te přechod N od součtů k integrci přes úhlovou souřdnici ϕ pro kci z () získejte tím Lgrngeovu hustotu. (h) Odvod te obecně řešte pohybové rovnice pro získnou Lgrngeovu hustotu. (i) Jký operátor v tomto spojitém přípdě odpovídá operátoru S jký zákon zchování mu odpovídá? 2.2. Minimální plochy v R 3. Minimální ploch je ploch s okrjem, jejíž kždý bod mimo hrnici má okolí, které má minimální možnou plochu vzhledem k dné hrnici tohoto okolí. () Zformulujte předchozí zdání jko vriční úlohu pro jistý vriční funkcionál pro funkci f (x, y), jež popisuje plochu. (b) Spočtěte Euler Lgrngeovy rovnice příslušné tomuto funkcionálu tím i nutnou podmínku pro minimální plochu. (c) Nlezněte minimální plochu ve speciálním přípdě, kdy se jedná o plochu vzniklou rotcí křivky kolem jisté osy. (d) Formulujte řešte úlohu rovněž pro přípd, kdy je ploch zdán prmetricky jko F : R 2 R 3. 2
2.3 Hmiltonián z lgrngiánu řešením vričního problému s vzbou (e) Dokžte, že helikoid (viz obrázek 2) je minimální plochou. Prmetrické vyjádření helikoidy (tj. její vložení do R 3 ) je dáno kde R je prmetr. F : R 2 R 3 (4) ( ) x r cos ϕ r y = r sin ϕ, (5) ϕ z ϕ 5 0 5 0.5 0 0.5 1 1 0.5 1 0 0.5 Obrázek 2: Závit helikoidy s prmetrem = 1 (f) Ukžte, že Euler-Lgrngeovy rovnice z části (d) jsou ekvivlentní poždvku, by tzv. střední křivost H byl nulová. Střední křivost je ritmetickým průměrem obou hlvních křivostí, tedy H = 1 2 (κ 1 + κ 2 ). (6) O střední křivosti se více dovíte n http://en.wikipedi.org/wiki/men_ curvture, o hlvních křivostech potom n http://en.wikipedi.org/wiki/ Principl_curvture. 2.3. Hmiltonián z lgrngiánu řešením vričního problému s vzbou. Mějme klsický vriční problém, tj. hledáme minimum funkcionálu min u L(x, u, u )d x. (7) 3
2.4 Vlstnosti extremlity pro vlstní hodnoty operátorů () Ukžte, že výše uvedenou minimlizci (7) lze ekvivlentně popst jko vriční problém hledání minim doplněného podmínkou u (x) = v(x). min u,v L(x, u, v)d x (8) (b) Tento problém řešte metodou Lgrngeových multiplikátorů, viz. http://en.wikipedi.org/wiki/lgrnge_multiplier dptovnou pro vriční počet. Lgrngeův multiplikátor oznčíme p(x). Hledáme tedy min mx [ L(x, u, v) p(u v) ] d x. (9) u,v p (c) Předchozí výrz uprvte užitím metody per prtes n integrnd pu d x, dále užijte mx-min nerovnost http://en.wikipedi.org/wiki/mx-min_inequlity (d) Pro nově vzniklý funkcionál npište první vrici. (lgrngián nezávisí n u ni v ). Získejte p p jko funkce u v. (e) Z funkcionálu vyloučete funkce p p. Co získáme? (f) Vyloučete funkce u v. Získáme tzv. duální vriční problém vzniklý Legendreovou trnsformcí. (g) Vyloučete v p. Získáme Hmiltonovu formulci vričního problému. (h) Předchozí proved te konkrétně pro lgrngiány příslušné hrmonickému oscilátoru tké pohybu částice v homogenním poli. (i) N příkldech z (h) ověřte, že Legendreov trnsformce je involutivní (tj. její plikce dvkrát po sobě je identit). 2.4. Vlstnosti extremlity pro vlstní hodnoty operátorů. Uvžte problém vlstních hodnot pro Lplceův operátor n dosttečně regulární oblsti Ω R 2 s Dirichletovými okrjovými podmínkmi, tj. u = λu, u = 0 n Ω. (10) () Ukžte, že nejmenší vlstní hodnot λ 1 je kldná, má násobnost rovnu jedné že k ní příslušná vlstní funkce u 1 nemá n Ω nulové body. 4
2.5 Vriční funkcionál k zobecněné Poissonově rovnici (b) Oznčme O množinu všech dosttečně regulárních oblstí v R 2. Uvžujte vriční problém min λ 1(Ω), µ(ω) = A, (11) Ω O kde µ je Jordnov mír µ(ω) je tedy ploch oblsti Ω, A > 0. Ukžte, že minimy tohoto vričního problému jsou kruhy o ploše A řešení je ž n trnslci určeno jednoznčně. 2.5. Vriční funkcionál k zobecněné Poissonově rovnici. Uvžujte vriční funkcionál [ K( u), u f u] d x (12) Ω pro dosttečně hldkou funkci u : R n R (13) x u(x) (14) n regulární oblsti Ω R n. Ve funkcionálu (12) je dále K v kždém bodě x oblsti Ω lineární, symetrický pozitivní operátor, (K je zdáno jko n n mtice funkcí n Ω), je grdient,, znčí sklární součin f je zdná funkce. () Odvod te Eulerovu Lgrngeovu rovnici pro výše uvedený funkcionál (12). (b) Jkou volbou K f dostneme stndrdní Poissonovu rovnici? (c) Jký je fyzikální význm K f? (d) Uvžte rovinný problém, tedy n = 2, polární souřdnice. Dále vezměte K digonální závisející pouze n polární souřdnici r. Npište obecně řešte Lgrngeovy rovnice pro tento přípd. Objsněte zse fyzikální význm rovnice. (e) Diskutujte jednoznčnost Dirichletovy úlohy pro rovnici z (). Dirichletov úloh je rovnice () doplněná okrjovou podmínku u = 0 n Ω. 2.6. Geodetické křivky n válci. Uvžujte nekonečný válec o poloměru R, jehož osou je os z. () Spočtěte element délky oblouku ve válcových souřdnicích ϕ z. (b) Npište vzth pro délku křivky zdné ve válcových souřdnicích, nlezněte řešte Euler-Lgrngeovy rovnice. 5
(c) Je řešení úlohy (b) jednoznčné? Formulujte podmínku pro minimum. (d) Stejnou úlohu řešte v krtézských souřdnicích s vzební podmínkou x 2 + y 2 = R 2 pomocí metody Lgrngeových multiplikátorů. 3. Jednodušší úlohy k zápočtu Příkldy jsou vesměs vybrány z doporučené učebnice Gelfnd, Fomin: Clculus of Vritions. 3.1. Euler Lgrngeovy rovnice jejich řešení. (1) Njděte řešte Euler Lgrngeovy rovnice pro funkcionál ( 1 2 m u2 1 2 ku2 Au sinωt ) d t N jkou fyzikální úlohu se předchozí funkcionál vzthuje? (2) Njděte obecné řešení Euler Lgrngeovy rovnice pro funkcionál f (x) 1 + (y ) 2 d x. (3) Njděte rovnovážnou polohu homogenního řetězu, jehož konce jsou upevněny n svislé stěně (obecně v různých výškách). (4) Mezi všemi křivkmi v rovině xy spojujícími bod (0, b) n ose y s osou x jež společně se souřdnicovými osmi ohrničuje obsh S njděte tkovou, jejíž rotcí kolem osy x získáme rotční plochu, která má co nejmenší možný obsh. 3.2. Obecné vlstnosti funkcionálů. (5) Njděte Hmiltonovy rovnice pro extremály funkcionálu x 2 + y 2 1 + (y ) 2 d x pomocí nich určete první integrál pro Eulerovy Lgrngeovy rovnice. (6) Spočtěte druhou vrici funkcionálu exp(s[u]), kde S[u] je dvkrát diferencovtelný funkcionál. 6
3.3 Vriční úlohy pro vícerozměrné oblsti, zákony zchování (7) Dokžte, že u funkcionálu typu se nevyskytují sdružené body. L(t, ẋ)d t 3.3. Vriční úlohy pro vícerozměrné oblsti, zákony zchování. (8) Njděte extremály níže zdného funkcionálu n oblsti Ω R n 1 2 Ω ( ) n u 2 d x 1... d x n. (9) Odvod te Euler Lgrngeovy rovnice pro Lgrngeovu hustotu L = 3 i=0 i=1 x i ( ) u 2 h i ea i + m 2 u 2 + x i 3 i=0 ( ) 2 Ai h i h j x j + m 3 h i A 2 i, kde pole jsou sklární u čtyřvektorové (A 0, A 1, A 2, A 3 ). Dále h 0 = 1, h 1 = h 2 = h 3 = 1. (10) Uvžujte Lgrngeovu hustotu z předchozí úlohy. Ukžte, že je invrintní vůči Lorentzovým trnsformcím (x 0, x 1, x 2, x 3 ). (11) Odvod te zákony zchování pro trnsformci z předchozí úlohy. i=0 3.4. Přibližné metody. (12) Ritzov vriční metod (metod konečných prvků): zvolme posloupnost funkcí {u n } splňující okrjové podmínky dného vričního problému. Potom můžeme uvžovt podprostory V n prostoru přípustných funkcí generovné lineárními kombincemi typu 1 u 1 + + n u n. Zjevně je V n vektorovým podprostorem ve V n+1. Vriční funkcionál můžeme vyčíslit n tkové lineární kombinci minimlizovt funkcionál pouze n V n jko funkci n proměnných 1,..., n. V příznivých přípdech pro n získáme řešení. Pro vriční funkcionál 1 ( 1 2 u2 1 2 u2 2tu ) d t 0 s okrjovými podmínkmi u(0) = u(1) = 0 předchozí postup proved te pro posloupnost {u n }, kde u n = t n (1 t). Srovnejte s přesným řešením. 7
3.4 Přibližné metody (13) Původní Eulerův přístup (metod konečných diferencí): Uvžte vriční úlohu npř. pro funkcionál z předchozí úlohy (12) se stejnými okrjovými podmínkmi. Intervl [0,1] rozdělíme n n + 1 stejně dlouhých dílků, kždý o šířce t = 1/(n + 1). Oznčme t k = k t u k = u(t k ), k {0,..., n + 1}. Potom u 0 = u n+1 = 0. Funkci u(t) nhrdíme lomenou črou s vrcholy (t 0, u 0 ),...,(t n+1, u n+1 ). Derivce u v bodě t k proximujeme npř. konečnými dopřednými diferencemi (u k+1 u k )/ t integrál proximujeme ptřičným Riemnnovým součtem. Potom vriční funkcionál můžeme proximovt funkcí n proměnných u 1,..., u n její extrémy hledt trdičními metodmi z diferenciálního počtu více proměnných. Proved te pro výše uvedený funkcionál! 8