ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ KATEDRA SPECIÁLNÍ GEODÉZIE DIPLOMOVÁ PRÁCE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ KATEDRA SPECIÁLNÍ GEODÉZIE DIPLOMOVÁ PRÁCE Praha 8 Pavel Třasák

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ KATEDRA SPECIÁLNÍ GEODÉZIE DIPLOMOVÁ PRÁCE GEOMETRICKÁ PŘESNOST VE VÝSTAVBĚ OVĚŘOVÁNÍ PODKLADŮ PRO STATISTICKOU PŘEJÍMKU Praha 8 Pavel Třasák

Prohlášeí Čestě prohlašuj, že jsem dplomovou prác vypracoval samostatě a použl je uvedeých prameů a lteratury. V Praze de 9. prosce 8 Podps

Poděkováí Děkuj vedoucímu mé dplomové práce Doc. Ig. Vladmíru Vorlov, CSc. za ceé rady, přpomíky a čas, který věoval mé prác. V Praze de 9. prosce 8

Abstrakt Dplomová práce se zabývá problematkou statstckých přejímek srováváím v oblast kotroly geometrcké přesost stavebích objektů. Sahou této práce je popsat vlv působeí leárí a harmocké korelačí závslost přejímaých dat a statstckou přejímku srováváím. Přejímaá data jsou reprezetováa modelovým soubory skutečých výškových odchylek krytu vozovky pozemí komukace. Základem této práce je volba a výpočet vhodé statstcké přejímky srováváím, tvorba a statstcká přejímka modelových souborů, zaváděí leárí a harmocké korelačí závslost do modelových souborů a statstcká přejímka korelovaých modelových souborů. Abstract Dploma thess deals wth problems of samplg spectos by attrbutes from doma of cotrol of geometrc accuracy buldg. The am of ths thess s descrpto of samplg specto by attrbutes wth learly ad harmoously correlatve data. Model sets of real devatos of measured alttudes o road surface represets the samplg data. The bases of the work are: choce ad calculato of sutable samplg specto by attrbutes, creato ad samplg specto of the model sets, jecto of lear ad harmoc correlato to the model sets ad samplg specto of correlatve model sets.

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta stavebí Thákurova 7, 66 9 Praha 6 ZADÁNÍ DIPLOMOVÉ PRÁCE studjí program: Geodéze a kartografe studjí obor: Geodéze a kartografe akademcký rok: 8/9 Jméo a příjmeí dplomata: Zadávající katedra: Vedoucí dplomové práce: Název dplomové práce: Název dplomové práce v aglckém jazyce Pavel Třasák K54 - Katedra specálí geodéze Doc. Ig. Vladmír Vorel, CSc. Geometrcká přesost ve výstavbě. Ověřováí předpokladů pro statstckou přejímku. Geometrc accuracy buldg. Testg of codtos for samplg specto. Rámcový obsah dplomové práce: Ověřeí použtelost ČSN př statstcké přejímce srováváím. Datum zadáí dplomové práce:..8 Termí odevzdáí: 9..8 Neodevzdá-l studet dplomovou prác včas, je pove tuto skutečost předem písemě zdůvodt, pokud bude omluva (předaá prostředctvím stud. odd.) děkaem uzáa, určí děka studetov áhradí termí koáí státí závěrečé zkoušky (zůstávají termíy SZZ). Pokud tuto skutečost řádě eomluví, ebo omluva ebude děkaem uzáa, určí děka studetov termí pro opakováí státí závěrečé zkoušky, SZZ je možé opakovat pouze jedou. (SZŘ čl, odst. 3, 4.) Dplomat bere a vědomí, že je pove vypracovat dplomovou prác samostatě, bez czí pomoc, s výjmkou poskytutých kozultací. Sezam použté lteratury, jých prameů a jme kozultatů je třeba uvést v dplomové prác....... vedoucí dplomové práce vedoucí katedry Zadáí dplomové práce převzal de:..8... dplomat Formulář uto vyhotovt ve 3 výtscích katedra, studet, studjí odd. (zašle katedra) Nejpozděj do koce. týde výuky v semestru odešle katedra kop zadáí DP a studjí odděleí a provede záps údajů do formačího systému fakulty KOS. (Směrce děkaa pro realzac stud. programů a SZZ a FSv ČVUT čl. 5, odst. 7)

Obsah Úvod... 8 Statstcká přejímka.... Základí pops statstcké přejímky.... Výběr statstcké přejímky srováváím....3 Přejímací plá....3. Typ přejímacího pláu....3. Výpočet přejímacího pláu....3.3 Volba přejímacích pláů... 5.4 Prováděí statstcké přejímky srováváím... 7 3 Tvorba a přejímka modelových dat... 9 3. Pops modelového souboru, specfkace jedotky... 9 3. Tvorba modelového souboru... 9 3.. Vstupí parametry pro tvorbu modelovaého souboru... 3.. Postup tvorby modelového souboru... 3..3 Pops vytvořeých modelových souborů... 3 3.3 Statstcká přejímka modelových souborů... 5 3.3. Problém árůstu počtu vadých výrobků př přejímce celých příčých řezů... 5 3.3. Vlv velkost souboru a statstckou přejímku srováváím... 6 3.3.3 Vlv hlady výzamost a statstckou přejímku srováváím... 8 3.3.4 Nevhodost volby hlady výzamost α %... 9 4 Korelačí aalýza... 3 4. Základí pops korelace... 3 4. Koefcet korelace... 3 4.. Koefcet leárí korelace... 3 4.. Koefcet harmocké korelace... 35 4..3 Harmocká regresí aalýza... 36 4..4 Testováí koefcetu korelace... 38 5 Zavedeí korelačí závslost do modelových souborů... 39 5. Vzk leárí korelačí závslost... 39 5. Vzk harmocké korelačí závslost... 4 5.3 Tvorba souborů korelovaých dat... 43 6

5.3. Pops leárě korelovaých modelových souborů... 44 5.3. Pops harmocky korelovaých modelových souborů... 46 6 Statstcká přejímka korelovaých modelových souborů... 49 6. Statstcká přejímka leárě korelovaých dat... 5 6.. Vlv velkost počátečí systematcké odchylky a statstckou přejímku... 5 6. Statstcká přejímka harmocky korelovaých dat... 5 6.. Vlv délky harmocké vly a statstckou přejímku... 5 6.. Vlv fázového posuu harmocké vly a statstckou přejímku... 53 6.3 Vyhodoceí výsledků statstcké přejímky korelovaých dat... 55 7 Zpracováí vzorového modelového souboru... 57 7. Tvorba vzorového modelového souboru... 57 7. Statstcká přejímka vzorového modelového souboru... 58 7.3 Zaváděí korelačí závslost dat do modelového souboru... 59 7.3. Zaváděí leárí korelačí závslost dat do vzorového modelového souboru... 59 7.3. Zaváděí harmocké korelačí závslost dat do vzorového modelového souboru... 6 7.4 Statstcká přejímka vzorového korelovaého souboru... 6 7.5 Dávkové zpracováí... 6 7.5. Dávkové zpracováí statstcké přejímky modelového souboru... 63 7.5. Dávkové zavedeí korelačí závslost a zpracováí statstcké přejímky korelovaých modelových souborů... 63 8 Pops vytvořeých dat... 65 8. Blace... 65 8. Ozačeí výpočetích výstupů... 66 8.. Výpočetí protokoly... 66 8.. Grafcké výstupy... 68 8.3 Struktura dat uložeých a přložeém CD dsku... 69 9 Závěr...7 Sezam použté lteratury... 74 Sezam příloh... 74 7

Úvod Dplomová práce svým tématem spadá do žeýrské geodéze a to do oblast kotroly geometrcké přesost stavebích objektů. Sahou této práce je popsat vlv působeí korelačí závslost přejímaých dat a statstckou přejímku srováváím. Práce se ejprve zaobírá obecou problematkou statstckých přejímek a užtí statstcké přejímky př kotrole jakost stavebích objektů. Statstcké přejímky jsou zde obecě zastoupey bezopravou statstckou přejímkou jedím výběrem jedotlvého souboru. Výsledky určeé př řešeí statstckých přejímek jsou porováváy s hodotam uvedeým v ormách ČSN 54 [] a ČSN 73-6 []. Př statstcké přejímce je užto devít růzě účých přejímacích pláů. Další část dplomové práce je věováa tvorbě a statstcké přejímce modelových dat. Modelová data jsou uměle vytvářea tak, aby co ejlépe odpovídala skutečým měřeým hodotám geometrckého parametru stavebího objektu. Kotrolovaým geometrckým parametrem stavebího objektu je zvolea skutečá výšková odchylka krytu vozovky pozemí komukace. Přejímaé soubory jsou tedy reprezetováy modelovým soubory skutečých výškových odchylek krytu vozovky pozemí komukace. U modelových souborů je studová vlv velkost souboru a vlv hlady výzamost souboru a statstckou přejímku. Na základě výsledků provedeých statstckých přejímek modelových souborů je vybrá jede modelový soubor, do kterého je uměle zaváděa růzě slá leárí a harmocká korelačí závslost. Vzklé korelovaé modelové soubory jsou podrobováy růzě účým statstckým přejímkám. U leárě korelovaých souborů je studová vlv velkost počátečí leárí systematcké odchylky a statstckou přejímku. U harmocky korelovaých souborů je zkoumá vlv délky a fázového posuutí harmocké vly (vly defující harmockou korelačí závslost dat v souboru) a statstckou přejímku. Cílem veškerého testováí je pops reakce růzě účých statstckých přejímek a měící se míru leárí č harmocké korelačí závslost přejímaých dat. 8

Tabulky, obrázky a rovce zde uváděé jsou číslováy v rámc jedotlvých kaptol. Tety výpočetích protokolů a popsy grafckých výstupů vytvářeých v prostředí Matlab ejsou opatřey dakrtckým zaméky. 9

Statstcká přejímka Veškerá symbolka a ázvosloví spojeé s problematkou statstckých přejímek jsou v této dplomové prác uváděy v souladu s ormou ČSN 54 [] a s kometářem k této ormě [3]. Prví část této kaptoly (až po odst..3.) je věováa obecé problematce statstckých přejímek, která eí vázáa pouze a oblast kotroly geometrcké přesost stavebích objektů.. Základí pops statstcké přejímky Statstcká přejímka je kotrolí metoda užívaá př kotrole jakost výroby. Prcp metody vychází z teore pravděpodobost a jeho podstatou je kotrola jakost výrobího celku a základě posouzeí výsledků kotroly jedoho č více áhodých výběrů z toho výrobího celku. Kotrolovaý výrobí celek je ozačová jako přejímaý soubor a je tvoře pouze výrobky téhož druhu a velkost, které byly vyrobey v rámc jedé výrobí dávky za stejých výrobích podmíek. Výsledkem statstcké přejímky je přjetí č zamítutí přejímaého souboru, tj. potvrzeí č vyvráceí jakost daé výroby. Přjetí přejímaého souboru vychází z kvaltatvího vyhověí kotrolovaého výběru staoveému přejímacímu krtéru. Přejímací krtérum je ejčastěj defováo jako ejvyšší přípustý počet vadých výrobků obsažeých ve výběru o určtém rozsahu. Přejímací krtérum spolu s rozsahem výběru tvoří tzv. přejímací plá. Z hledska způsobu kotroly jakost přejímaého souboru je možo statstckou přejímku rozdělt a statstckou přejímku srováváím a statstckou přejímku měřeím. Statstcká přejímka srováváím zahruje výběr jedotlvých výrobků z přejímaého souboru a posouzeí zda tyto výrobky odpovídají staoveým jakostím požadavkům (tříděí vybraých výrobků a dobré a vadé). Př statstcké přejímce měřeím jsou využíváy výsledky přímého měřeí určté sledovaé vlastost u vybraých výrobků a a základě těchto měřeých výsledků jsou určováy příslušé kvaltatví ukazatele přejímaého souboru. Tato dplomová práce se dále podroběj věuje pouze statstcké přejímce srováváím.

. Výběr statstcké přejímky srováváím Statstckou přejímku srováváím je dále možo člet [] z hledska typu poskytovaé záruky a statstckou přejímku jedotlvého souboru č a statstckou přejímku více souborů tvořících sér, z hledska postupu př zamítutí přejímaého souboru a statstckou přejímku opravou č statstckou přejímku bezopravou a dále dle počtu prováděých áhodých výběrů a statstckou přejímku jedím, dvojím č ěkolkerým výběrem. Z důvodu co ejjedodušší možé prezetace uváděých výsledků a usaděí prováděých výpočtů byla pro výzkum vlvu korelace přejímaých dat a statstckou přejímku zvolea bezopravá statstcká přejímka srováváím jedotlvého souboru jedím výběrem. Př této statstcké přejímce je pouze z jedého přejímaého souboru vybírá jedý áhodý výběr, u ěhož je prováděo tříděí vybraých výrobků a dobré a vadé. Je-l teto přejímaý soubor a základě výsledků kotrolovaého výběru zamítut, jž dále se etřídí a eprovádí se u ěho výměa vadých výrobků..3 Přejímací plá.3. Typ přejímacího pláu Jak jž bylo uvedeo v odst.., je přejímací plá tvoře přejímacím krtérem a rozsahem výběru. Každý přejímací plá lze staovt a základě předem požadovaé účost statstcké přejímky a to vždy pro příslušý druh statstcké přejímky. V tomto případě je vole bezopravý přejímací plá jedím výběrem ověřující jakost jedotlvého souboru. Zvoleý přejímací plá zajšťuje, že kotrolou ebude pozastave jedotlvý soubor obsahující P % vadých výrobků a současě že ebude převzat jedotlvý soubor obsahující P % vadých výrobků. Př prováděé statstcké přejímce jsou přpouštěa možá rzka evhodého přjetí č zamítutí přejímaého souboru. Je to rzko dodavatele α, které představuje pravděpodobost pozastaveí jedotlvého souboru obsahujícího P % vadých výrobků a rzko odběratele β, které určuje pravděpodobost převzetí jedotlvého souboru obsahujícího P % vadých výrobků. Rzko dodavatele odběratele je obvykle shodě astavováo a

hodotu α β 5%. Hodoty P a P představují tzv. přípusté a epřípusté proceto vadých výrobků v přejímaém souboru. Bezopravý přejímací plá jedím výběrem ověřující jakost jedotlvého souboru je v ormě ČSN 54 [] ozačová jako bezopravý přejímací plá ( ) P, P a je tvoře rozsahem výběru a ejvyšším přípustým počtem vadých výrobků obsažeých ve výběru c. Obr.. Operatví charakterstka ( α β 5% ).3. Výpočet přejímacího pláu Pro možost vyjádřeí účost přejímacího pláu je využíváo křvky, která popsuje pravděpodobost přjetí přejímaého souboru v závslost a měícím se možství vadých výrobků v přejímaém souboru. Tato křvka je ozačováa jako operatví charakterstka. Na základě počtu pravděpodobost vadých výrobků v souboru lze pro každý přejímací plá staovt aalytcký tvar operatví charakterstky. Každému přejímacímu pláu přísluší právě jeda operatví charakterstka. Př výpočtu operatví charakterstky pro bezopravý přejímací plá jedím výběrem ověřující jakost jedotlvého souboru je vycházeo ze vztahu pro podmíěou pravděpodobost P ( p, ) ;, že ve výběru rozsahu bude alezeo právě vadých výrobků, jestlže v souboru o rozsahu N je podíl vadých výrobků p

N p q ( ) P p;,. (.) N Velča q ve výše uvedeém vztahu představuje tzv. podíl dobrých výrobků v souboru, který je doplňkem k podílu vadých výrobků v souboru p a je rove Podíl vadých výrobků v souboru p se určí dle vztahu q p. (.) V p, (.3) N kde V je počet vadých výrobků v souboru a N je velkost souboru. Součtem pravděpodobostí P ( p, ) je možé určt hodotu pravděpodobost P ( p;, c) ; pro jedotlvé počty vadých výrobků, že ve výběru rozsahu alezeme c ebo méě vadých výrobků, jestlže v souboru o rozsahu N je podíl vadých výrobků p P N p q c ;. (.4) N ( p, c) Je-l splěa podmíka N <., (.5) je možé hypergeometrcké rozděleí pravděpodobost, ze kterého pocházejí pravděpodobost P a P, apromovat bomckým rozděleím pravděpodobost. V tomto případě tedy platí P P ;, (.6) ( p ) p q, c ; p q. (.7) ( p, c) 3

Kombačí číslo uvedeé v předchozích vztazích je rovo ( )( ) K ( ) +!. (.8) Operatví charakterstka pro bezopravý přejímací plá jedím výběrem ověřující jakost jedotlvého souboru je tedy L ( p, c) P ( p;, c) P ( p;, ) c ;. (.9) Př výpočtu bezopravého přejímacího pláu ( ) P, P je předem avržeo přípusté a epřípusté proceto vadých výrobků v souboru P a P a rzko odběratele a dodavatele α a β (ve všech případech přejímacích pláů řešeých v této dplomové prác jsou rzka odběratele a dodavatele astavea a hodotu α β 5% ). Na základě těchto vstupích velč je vypočte odpovídající rozsah výběru a ejvyšší přípustý počet vadých výrobků obsažeých ve výběru c. Př výpočtu přejímacích pláů ebylo využto přpraveých tabulek (vz apř. ČSN 54, tab. I), ve kterých jsou hodoty přejímacích pláů tabelováy, ale bylo využto vlastího výpočetího postupu. V prvím kroku byla vypočtea operatví charakterstka odpovídající zadaému přípustému procetu vadých výrobků v souboru P a to pro všechy možé kombace N, a c N, L L L ( P ; N, ) L( P ; N, ) L L( P ; N, N ) L( P ; N, N) ( P ; N, ) L( P ; N, ) L L( P ; N, N ) M M M ( ) ( ) P ;, L P ;,. (.) Stejý výpočet byl provede pro operatví charakterstku odpovídající zadaému epřípustému procetu vadých výrobků v souboru P L L L ( P ; N, ) L( P ; N, ) L L( P ; N, N ) L( P ; N, N) ( P ; N, ) L( P ; N, ) L L( P ; N, N ) M M M ( ) ( ) P ;, L P ;,. (.) 4

Výsledý přejímací plá (výsledý rozsah výběru a přejímací krtérum c) byl získá výběrem operatvích charakterstk, které splňují výběrové krtérum m [ ( P;, c) α ] + [ L( P ; c) β ] L. (.), Z důvodu utého zaokrouhleí vypočteého rozsahu výběru a ejvyššího přípustého počtu vadých výrobků obsažeých ve výběru c a celá čísla eí možé určt přejímací plá, který přesě odpovídá astaveým hodotám rzka dodavatele a odběratele α β 5%. Pro každý vypočteý přejímací plá je tedy uté zovu určt ové hodoty rzka dodavatele a odběratele α β & 5%. Nové hodoty daých rzk je možo určt pomocí vypočteé operatví charakterstky pro výsledý rozsah výběru a přejímací krtérum c.3.3 Volba přejímacích pláů [ L( P ;, )] α c, (.3) ( P ;, ) β L c. (.4) Veškeré přejímací pláy užívaé pro výzkum vlvu korelace přejímaých dat a statstckou přejímku srováváím jsou voley tak, aby co ejlépe odpovídaly statstckým přejímkám běžě prováděým př kotrole geometrcké přesost ve výstavbě. Tab.. Zvoleé bezopravé přejímací pláy ( P, P ) P P α β c.3. 4 4. 4.6.5 4. 3.7 4.5 3.75 5. 6. 5.8 4.5 6.5 37 4 5.6 5.3 5.. 73 3 5.9 5.8 6 4. 5. 67 5 5. 5. 7 5.. 56 6 4.9 5. 8 8. 5. 5 7 4.4 4.5 9. 3. 4 7 4.8 4.6 Jak je patro z výše uvedeé tabulky., bylo pro prováděí statstcké přejímky srováváím zvoleo celkem 9 bezopravých přejímacích pláů ( P, P ). Rzka odběratele a dodavatele byla u přejímacích pláů astavea a běžé 5

hodoty α β 5%. Hodoty přípustého a epřípustého proceta vadých výrobků v souboru P a P u přejímacích pláů až 6 byly převzaty z ormy ČSN 73-6 []. Z důvodu zamýšleého výzkumu vlvu korelace přejímaých dat a méě účou statstckou přejímku byla původí šestce přejímacích pláů rozšířea o 3 méě účé bezopravé přejímací pláy č. 7, 8 a 9. Proceto prjatyvh souboru 95 8 6 4 Operatv chrakterstka 3 4 5 6 7 8 9 5 5 5 5 3 Proceto vadych vyrobku v souboru Obr.. Průběh operatví charakterstky pro zvoleé přejímací pláy Př porováí vypočteých přejímacích pláů s přejímacím pláy uvedeým v ormě ČSN 73-6 [] (tabulka ) byly mez příslušým hodotam a c zjštěy určté rozdíly (vz tab..). Tyto rozdíly jsou pravděpodobě zapříčěy odlšým postupem výpočtu přejímacích pláů (apř. možým zaokrouhleím dílčích výsledků př výpočtu č volbou jého krtéra př výběru operatvích charakterstk). Pro kotrolu správost vlastích výpočtů bylo provedeo porováí ově určeých rzk odběratele a dodavatele (vz rovce.3,.4) u vlastích přejímacích pláů a přejímacích pláů daých ormou. Tab.. Porováí zvoleých přejímacích pláů Vlastí vypočteé přejímací pláy Přejímací pláy daé ormou [] c α β α β c 4 4. 4.6 5 4.3 3.9 3.7 4.5 3 4. 3. 3 6. 5.8 7 3 4..7 4 37 4 5.6 5.3 35 4 5.4 5.7 5 73 3 5.9 5.8 95 4 4. 3.3 6 67 5 5. 5. 65 5 4.5 6. 6

.4 Prováděí statstcké přejímky srováváím Bezopravé statstcké přejímky srováváím jedím výběrem ověřující jakost jedotlvého souboru jsou v této dplomové prác prováděy dle ásledujícího postupu: a/ Specfkace přejímaého souboru Základím specfkem přejímaého souboru je velkost souboru N a předem staoveá jedotka (výrobek). Blžší pops přejímaých modelových souborů (včetě specfkace jedotky) je uvede v kaptole 3. b/ Specfkace vadého výrobku Za vadý je považová takový výrobek, jehož určtá kvaltatví vlastost edosahuje staoveého jakostího krtéra. V případě prováděých statstckých přejímek je za vadý výrobek považováa skutečá odchylka geometrckého parametru, jejíž velkost je vetší ež staoveá mezí odchylka geometrckého parametru. c/ Specfkace požadavků jakost přejímaého souboru Požadavky a jakost přejímaého souboru jsou u bezopravých přejímek jedím výběrem ověřující jakost jedotlvého souboru staovey přípustým a epřípustým procetem vadých výrobků v souboru P, P a hodotam rzk dodavatele a odběratele α β 5%. d/ Výpočet přejímacího pláu Výpočet přejímacího pláu zahruje určeí rozsahu výběru a ejvyššího přípustého počtu vadých výrobků obsažeých ve výběru c a ový výpočet příslušých rzk dodavatele a odběratele α β & 5%. e/ Výběr jedotlvých výrobků z přejímaého souboru Veškeré výběry vzorků z přejímaých souborů byly provedey pomocí geerátoru pseudoáhodých čísel. Kokrétě bylo použto multplkatvího kogruetího geerátoru [4] používaého v prostředí Matlab, ve kterém byly prováděy veškeré výpočty. 7

f/ Kotrola vybraých výrobků Jedotlvé vybraé výrobky (skutečé odchylky geometrckého parametru) jsou porováváy s příslušým jakostím krtérem (s mezí odchylkou geometrckého parametru). g/ Rozhodutí o přjetí č zamítutí přejímaého souboru Celkový počet vadých výrobků ve výběru (počet vybraých skutečých odchylek geometrckého parametru přesahujících mezí odchylku geometrckého parametru) je porová s ejvyšším přípustým počtem vadých výrobků obsažeých ve výběru c. Překročí-l celkový počet vadých výrobků ve výběru ejvyšší přípustý počet vadých výrobků c, je přejímaý soubor zamítut. V opačém případě je přejímaý soubor přjat. Př výpočtech prováděých v této dplomové prác jsou jedotlvé přejímaé soubory přejímáy celkově krát. Z deset rozhodutí o přjetí č zamítutí souboru je určeo celkové proceto přjetí daého souboru. 8

3 Tvorba a přejímka modelových dat 3. Pops modelového souboru, specfkace jedotky Modelové soubory, a kterých je zkoumá vlv korelovaých dat a statstckou přejímku srováváím, jsou vytvořey tak, aby co ejvěrěj popsovaly soubory přejímaé př kotrole geometrcké přesost ve výstavbě. Kokrétě je vole případ přejímky souboru skutečých výškových odchylek krytu vozovek pozemích komukací [5]. Skutečé výškové odchylky představují rozdíl mez hodotam admořských výšek krytu vozovky určeým kotrolím měřeím a daým projektem. Skutečé výškové odchylky jsou v souboru čleěy do jedotlvých příčých řezů pozemí komukace. Idetfkátorem každého příčého řezu je jeho stačeí. Pro defc jedotky (výrobku) byly zvoley dva postupy: a/ Jedotka je tvořea skupou skutečých výškových odchylek obsažeých v jedom příčém řezu pozemí komukace. Za vadou je jedotka považováa v případě, kdy velkost jedé č více skutečých výškových odchylek v příčém řezu přesáhe příslušou mezí odchylku ve výšce. b/ Jedotka je tvořea jedou skutečou výškovou odchylkou z přejímaého souboru. Za vadou je jedotka považováa tehdy, je-l velkost daé skutečé výškové odchylky větší ež velkost mezí odchylky ve výšce. V oblast kotroly geometrcké přesost ve výstavbě jsou skutečé odchylky geometrckého parametru (v tomto případě skutečé výškové odchylky) začey symbolem δ. 3. Tvorba modelového souboru Na modelový soubor jsou kladey požadavky [6], jejchž dodržeí je ezbyté pro řádý průběh statstcké přejímky srováváím. Je uté, aby přejímaý modelový soubor pocházel z ormálího rozděleí, eobsahoval odlehlé hodoty, ebyl ovlvě systematckou odchylkou a aby byla zajštěa jeho homogeta. 9

3.. Vstupí parametry pro tvorbu modelovaého souboru Veškeré dále uváděé parametry jsou vstupím parametry, které jedozačě defují a popsují modelový soubor. Pops modelového souboru představuje přesý pops polohy jedotlvých skutečých odchylek a defc jejch velkost. Vstupím parametry pro tvorbu modelového souboru jsou: a/ Stačeí prvího příčého řezu Z důvodu zjedodušeí popsu přejímaého souboru je počátečí stačeí astavováo a m. b/ Vzdáleost příčých řezů U všech přejímaých souborů je vzdáleost příčých řezů astavováa a obvyklou hodotu m. c/ Počet příčých řezů S počtem příčých řezů je přímo spojea celková velkost souboru N. Z důvodu možého výzkumu vlvu velkost přejímaého souboru N a statstckou přejímku srováváím byl počet příčých řezů u modelových souborů postupě astavová a hodoty 5,,, 4 a. d/ Počet skutečých výškových odchylek v příčém řezu Počet kotrolě měřeých míst v příčém řezu závsí a typu pozemí komukace (šířce a počtu jízdích pruhů). Ve všech modelových souborech vytvořeých v této dplomové prác je počet skutečých výškových odchylek rove 5. Rozmístěí skutečých odchylek v rámc jedoho příčého řezu eí určováo, eboť vlv korelovaých dat a statstckou přejímku je zkoumá pouze v podélém směru (předpoklad korelačí závslost pouze mez celým příčým řezy). e/ Mezí odchylka ve výšce Od velkost mezí odchylky se přímo odvíjí velkost skutečých odchylek v modelovém souboru. Hodota mezí odchylky ve výšce je astavea dle TKP staveb pozemích komukací [7] (kaptola 8.6..6 Dodržeí výšek) a hodotu ± mm.

f/ Hlada výzamost Hladou výzamost se rozumí pravděpodobost, že se v modelovém souboru vyskyte skutečá výšková odchylka, jejíž velkost přesáhe hodotu daé mezí odchylky ve výšce. Hlada výzamostí je důležtým ukazatelem přesost výroby modelového souboru. V oblast kotroly geometrcké přesost stavebích objektů je hlada výzamost staovea dle ormy ČSN 73 5 [8] α %. Z důvodu možého zkoumáí vlvu velkost hlady výzamost a statstckou přejímku srováváím byla tato hlada u modelových souborů astavováa [ %, 5%, 5%, % ] α. Př užtí ormovaého ormálího rozděleí pravděpodobost N (,) je možé hladu výzamost α popsat jako plochu pod Gaussovou křvkou vymezeou mmo terval u, + u. p p 3.. Postup tvorby modelového souboru Obr. 3. Hlada výzamost Př tvorbě modelového souboru je ejprve uté staovt směrodatou odchylku souboru, která popsuje určtou míru rozptýleí jedotlvých skutečých odchylek v souboru kolem jejch středí hodoty. Směrodatou odchylku modelového souboru σ je možé určt a základě zadávaých hodot mezí odchylky ve výšce δ a hlady výzamost α σ. (3.) u P

Hodota u p ozačuje tzv. ormovaou áhodou velču ormálího rozděleí odpovídající hladě výzamost α. Tuto velču je možé určt z dstrbučí fukce ormovaého ormálího rozděleí áhodé velčy u [9] p + u p u Φ ( u;,) e du π u p ( p;,), (3.) u p Φ, (3.3) p ( α ). (3.4) Velča p v tomto případě představuje pravděpodobost, že se v modelovém souboru vyskyte skutečá výšková odchylka, jejíž velkost epřesáhe mezí odchylku ve výšce. V tabulce 3. jsou uvedey výsledé hodoty ormovaých áhodých velč ormálího rozděleí u p a směrodaté odchylky σ, které odpovídají souborům s mezí odchylkou ve výšce [.,.,.5,.] α. δ mm a hladou výzamost Tab. 3. Směrodaté odchylky modelových souborů δ α σ u p.64 6. 5.96 5. 3.33 4.3 4.58 3.9 Další charakterstkou, jejíž zalost je utá pro tvorbu modelového souboru, je středí hodota souboru. Středí hodota popsuje určtou průměrou hodotu skutečých výškových odchylek v modelovém souboru. V tomto případě je středí hodota souboru výškových odchylek δ δ vyjádřea artmetckým průměrem všech skutečých N δ. (3.5) N

Výběrový modelový soubor skutečých odchylek odpovídá základímu souboru, jehož středí hodota je rova. Celková velkost modelového souboru N je určea ze zámého počtu příčých řezů v souboru a počtu skutečých odchylek v jedom řezu. K tvorbě modelového souboru bylo využto geerátoru pseudoáhodých čísel (multplkatvího kogruetího geerátoru [4] používaého v prostředí Matlab). Pomocí tohoto geerátoru byla vytvořea moža N reálých čísel z ormovaého ormálího rozděleí N (,). Přeásobeím jedotlvých hodot z této možy příslušou směrodatou odchylkou σ je získá soubor z ormálího rozděleí N (, σ ). Takto vzklý modelový soubor skutečých výškových odchylek odpovídá základímu souboru z ormálího rozděleí, jehož středí hodota je rova a ve kterém je přesě α % skutečých výškových odchylek větších ež mezí odchylka ve výšce. Posledím krokem př tvorbě modelového souboru je roztříděí jedotlvých skutečých výškových odchylek do příčých řezů a přřazeí jedotlvým příčým řezům jejch stačeí. 3..3 Pops vytvořeých modelových souborů Pro možost posouzeí vlvu velkost souboru N a statstckou přejímku srováváím bylo vytvořeo celkem 5 modelových souborů o velkostech 5, 5,, a 5 skutečých výškových odchylek. Hlada výzamost je u těchto souborů volea %. Přejímaé soubory jsou ozačey popsým čísly až 5. Pro možost posouzeí vlvu velkost hlady výzamost α a statstckou přejímku modelového souboru byly vytvořey celkem 4 modelové soubory. U těchto souborů byla hlada výzamost astavea a hladu %, 5 %, % a %. Velkost souborů byla volea N 5. Přejímaé soubory jsou ozačey popsým čísly 6 až 9. Základí formace o vytvořeých modelových souborech jsou uvedey v tabulce 3.. 3

Tab. 3. Základí charakterstky modelových souborů l δ α σ δ ma + δ ma δ N [m] 5 5 -.3 5-6 5 -.3 7-7 3 6.. 9-8 4 4. - 5 5 -. -3 6 6.. -8 7 5 5. -. 6-4 5 8 4.3. 3-4 9 3.9. - Uváděá délka l popsuje vzdáleost mez prvím a posledím příčým řezem v modelovém souboru. Velčy ma + a ma δ představují hodoty mamálí kladé a mamálí záporé skutečé výškové odchylky v modelovém souboru. U každého modelového souboru byla provedea kotrola ověřující kvaltu správost jeho výroby. Tato jedoduchá kotrola spočívá ve vytvořeí hstogramu absolutích četostí modelového souboru a ve vzuálím porováí tohoto hstogramu s teoretckým průběhem ormálího rozděleí modelového souboru. Na íže uvedeém obrázku 3. je zobrazea ukázka kotroly modelového souboru. Normalta modeloveho souboru skutecych odchylek (vyberova smerodata odchylka: 5.mm, hlada vyzamost:.5) Absolut cetost [] 8 6 4-5 - -5 - -5 5 5 5 Obr. 3. Ověřeí ormalty modelového souboru číslo 7 4

Červeě ozačeé oblast a obr. 3. ozačují hladu výzamost, tj. oblast, ve které se alézají skutečé výškové odchylky přesahující mezí odchylku ve výšce (v tomto případě ± mm ). Zeleá oblast ozačuje pravděpodobost p α. Podrobé formace o modelových souborech jsou spolu s grafckým výstupy uvedey v Příloze č.. Z důvodu velkého možství výstupích dat jsou veškeré výpočetí protokoly, data souborů skutečých výškových odchylek a podrobé grafcké výstupy uváděy pouze a přložeém CD dsku. 3.3 Statstcká přejímka modelových souborů 3.3. Problém árůstu počtu vadých výrobků př přejímce celých příčých řezů Jak bylo jž uvedeo v odst. 3., bylo pro defc jedotky (výrobku) v přejímaém souboru užto dvou postupů. V případě volby jedotky, kterou tvoří celý příčý řez vozovky smulovaé pozemí komukace, se vyskytl problém. Teto problém vedl k zamítutí tohoto způsobu volby jedotky pro přejímku modelových souborů. Základ celého problému vyplývá ze samoté defce modelového souboru. Modelový soubor o určtém celkovém počtu skutečých výškových odchylek N je vytváře tak, aby odpovídal základímu souboru, ve kterém přesě α % skutečých výškových odchylek přesáhe mezí odchylku ve výšce. Je-l za jedotku vybrá příčý řez o m počtu skutečých výškových odchylek, klese celkový počet jedotek v souboru m krát. Je-l ovšem za vadý považová každý příčý řez, ve kterém přesáhe jedá výšková odchylka mezí odchylku ve výšce, zůstává počet vadých jedotek v souboru stejý. Z této úvahy vyplývá, že př užtí jedotky jako příčého řezu o m počtu skutečých výškových odchylek stoupe počet vadých výrobků v základím souboru m krát. Takto vzklý soubor je zcela v rozporu s použtím staoveých přejímacích pláů. V tabulce 3.3 jsou uvedey údaje o počtu vadých výrobků ve vytvořeých modelových souborech. 5

Jedotka Tab. 3.3 Nárůst vadých výrobků v modelových souborech Skutečá výšková odchylka N v Příčý řez 5 skutečých výškových odchylek α α N V Nárůst 5 8 7. 5 4 8. 3.9 5 44 8.8 38 38. 4.3 3 84 8.4 74 37. 4.4 4 79 9. 4 49 37.3 4. 5 5 47 8.3 353 35.3 4. 6 5 43 8.6 36 36. 4. 7 5 4. 9 9. 4.8 8 5 4.8 4 4. 5. 9 5.4. 5. Velča v představuje v tabulce 3.3 počet vadých výrobků ve vytvořeých modelových souborech. Velča α popsuje procetuálí výskyt vadých výrobků v modelových souborech. Tato hodota se u modelových souborů, kde jedotkou je jeda skutečá výšková odchylka, blíží zadávaé teoretcké hladě výzamost α. Pro veškeré dále prováděé statstcké přejímky srováváím je voleou jedotkou (výrobkem) skutečá výšková odchylka odpovídající jedomu kotrolě měřeému místu a vozovce pozemí komukace. 3.3. Vlv velkost souboru a statstckou přejímku srováváím Vlv velkost přejímaého souboru a statstckou přejímku je zkoumá a pětc modelových souborů ozačovaých popsým čísly až 5 (vz odst. 3..3). Na každý z těchto modelových souborů je užto devít statstckých přejímek srováváím s rozdílou mírou účost (s rozdílým přejímacím pláem, vz odst..3.3). Každá statstcká přejímka je pro jedotlvé modelové soubory opakováa krát a z celkového počtu přjetí každého přejímaého souboru je určeo výsledé proceto přjetí souboru. Výsledkem celého prováděého testováí je vytvořeí pět sloupcových grafů, které popsují přjetí jedotlvých modelových souborů (soubory číslo až 5) a dále vytvořeí celkové blačí tabulky 3.4, ve které jsou uvedea výsledá proceta přjetí přejímaých souborů pro jedotlvé přejímací pláy. Pro ukázku je a íže uvedeém obrázku 3.3 zobraze sloupcový graf procetuálího přjetí modelového souboru číslo. 6

Procetual vyjadrej prjet prejmacch plau ekorelovaa data 8 Prjet plau 6 4 3 4 5 6 7 8 9 Prejmac pla (pocet opakova prejmky: ) Obr. 3.3 Procetuálí přjetí modelového souboru číslo Tab. 3.4 Procetuálí přjetí modelových souborů číslo až 5 Přjetí souboru N 3 4 5 6 7 8 9 5 7 9 5 5 7 9 3 3 9 9 4 3 6 5 5 3 4 8 9 Podrobé výsledé formace o přejímkách modelových souborů číslo až 5 (zobrazeí sloupcových grafů procetuálího přjetí modelových souborů) jsou uvedey v Příloze č.. Podrobé formace o jedotlvých prováděých přejímkách (přejímací a blačí protokoly) jsou z důvodu velkého možství dat uváděy pouze a přložeém CD dsku. Z tabulky 3.4 vyplývá, že přjetí jedotlvých modelových souborů (s rozdílým velkostm) je pro všechy přejímací pláy téměř totožé. Drobé rozdíly v přjetí modelových souborů jsou způsobey malým počtem opakováí statstckých přejímek. Z těchto výsledků tedy vyplývá, že velkost přejímaého souboru emá a statstckou přejímku srováváím (přesěj a bezopravou statstckou přejímku jedím výběrem jedotlvého souboru) podstatý vlv. Př vyhodocováí je ovšem uté brát zřetel a poměr velkost souboru N a rozsahu áhodého výběru. Neí-l velkost souboru N větší ež čtyřásobek rozsahu 7

výběru, eí možé přesě zaručt určeou velkost rzk dodavatele a odběratele α β & 5% []. Velkost rzka dodavatele a odběratele v tomto případě klesá. 3.3.3 Vlv hlady výzamost a statstckou přejímku srováváím Vlv hlady výzamost a statstckou přejímku srováváím je zkoumá a čtveřc modelových souborů ozačovaých popsým čísly 6 až 9 (vz odst. 3..3). Na každý z těchto modelových souborů je užto 9 statstckých přejímek srováváím s rozdílou mírou účost (s rozdílým přejímacím pláem, vz odst..3.3). Každá statstcká přejímka je pro modelový soubor opakováa krát a z celkového počtu přjetí přejímaého souboru je určeo výsledé proceto přjetí souboru. Výsledkem celého prováděého testováí je vytvořeí čtyř sloupcových grafů, které popsují přjetí jedotlvých modelových souborů (číslo 6 až 9) a dále vytvořeí celkové blačí tabulky 3.5, ve které jsou uvedea výsledá proceta přjetí přejímaých souborů pro jedotlvé přejímací pláy. Tab. 3.5 Procetuálí přjetí modelových souborů číslo 6 až 9 Přjetí souboru α 3 4 5 6 7 8 9 6 3 7 7 5 9 8 4 7 9 8 8 Podrobé výsledé formace o přejímkách modelových souborů číslo 6 až 9 (zobrazeí sloupcových grafů procetuálího přjetí modelových souborů) jsou uvedey v Příloze č. 3. Podrobé formace o jedotlvých prováděých přejímkách (přejímací a blačí protokoly) jsou z důvodu velkého možství dat uváděy pouze a přložeém CD dsku. Z výsledků statstckých přejímek provedeých a čtveřc modelových souborů číslo 6 až 9 vyplývá, že přjetí č zamítutí přejímaého souboru je hladou výzamost souboru α velm ovlvěo. Př výzkumu vlvu korelovaých dat a statstckou přejímku je do modelových souborů vášea růzě korelačí fukčí závslost. Zaváděím této závslost velkost skutečých výškových odchylek v modelových souborech postupě roste a 8

kvalta modelových souborů klesá. Je tedy uté, aby původí modelová data co ejlépe vyhověla všem přejímacím pláům. Na základě těchto požadavků byl pro další výpočty zvole modelový soubor číslo 9, u kterého je hlada výzamost rova %. 3.3.4 Nevhodost volby hlady výzamost α % Př výpočtech statstckých přejímek modelových souborů bylo zjštěo, že pro modelové soubory s hladou výzamost α % jsou přejímací pláy číslo až 5 zcela evhodé. Př užtí přejímacích pláů až 4 byly výše zmíěé modelové soubory ve všech případech zamítuty. Přejímacímu pláu číslo 5 vyhovělo v průměru pouze 5% výše zmíěých modelových souborů. Norma ČSN 73 5 [8] avrhuje hladu výzamost α % pro užtí v oblast kotroly geometrcké přesost ve výstavbě. Přejímací pláy číslo až 5 jsou převzaty z ormy ČSN 73-6 [] (Tabulka ). Z uvedeých pozatků tedy vyplývá, že orma ČSN 73 5 [8] a orma ČSN 73-6 jsou ve vzájemém rozporu. 9

4 Korelačí aalýza 4. Základí pops korelace Obecý výzam korelace je možé vyjádřt jako vzájemý vztah č souvztažost mez dvěma procesy ebo velčam. V oblast statstky je korelací míě vzájemý vztah mez dvěma řadam s odpovídajících hodot velč a y. Sahou této dplomové práce je pops vlvu vzájemé závslost určtých měřeých hodot geometrckého parametru stavebího objektu a statstckou přejímku srováváím. Kotrolovaým geometrckým parametrem stavebího objektu byla zvolea skutečá výšková odchylka krytu vozovky pozemí komukace (vz kap. 3). Cílem práce je tedy pops vlvu vzájemé korelačí závslost skutečých výškových odchylek krytu vozovky pozemí komukace a statstckou přejímku srováváím. Předpokládaá korelačí závslost skutečých výškových odchylek krytu vozovky vychází ze samotého pracovího postupu výrobího procesu. Př výrobě krytu vozovky je využíváo stavebího stroje, tzv. fšeru. Kryt vozovky je aáše v celé šířce jízdích pruhů, a to postupě v podélém směru pozemí komukace. Na základě výrobího procesu je tedy uvažová vzk vzájemé závslost skutečých výškových odchylek pouze v podélém směru. Je tedy předpokládáo, že skutečé výškové odchylky jsou v rámc jedotlvých příčých řezů vzájemě ezávslé a závslost vzká pouze mez celým příčým řezy krytu vozovky pozemí komukace. Chyba v uložeí krytu vozovky v místě zkoumaého příčého řezu se projeví v sousedích příčých řezech. A B C Obr. 4. Závslost skutečých výškových odchylek krytu vozovky Na obrázku 4. je schématcky zobrazea vzájemá závslost výšky krytu vozovky v podélém směru pozemí komukace. V část A je zobraze kryt vozovky bez korelačí závslost v podélém směru komukace. V část B a C je 3

zázorěa leárí a harmocká korelačí závslost výšky krytu vozovky v podélém směru komukace. Na základě výše uvedeých předpokladů je zkoumáa korelačí závslost mez skutečým výškovým odchylkam krytu vozovky pozemí komukace (velča y) a stačeím příčých řezů (velča ), které popsuje polohu jedotlvých skutečých výškových odchylek v rámc podélé osy komukace. V této prác je uvažováa leárí a harmocká korelačí závslost výšky krytu vozovky pozemí komukace. V prvím případě je modelováa stuace, kdy je fšer ovlvě leárí systematckou odchylkou, která způsobuje jeho postupé rovoměré odkláěí od správé polohy. Skutečý průběh velety pozemí komukace se od projektovaého průběhu postupě odkláí. Leárí systematcká odchylka je modelováa pomocí leárí fukce. Skutečý průběh velety komukace Projektovaý průběh velety komukace Obr. 4. Vlv leárí závslost výšky krytu vozovky pozemí komukace Ve druhém případě je modelováa stuace, kdy je fšer ovlvě harmockou systematckou odchylkou, která způsobuje jeho harmocky se měící kolísavý odklo od správé polohy. Skutečá poloha velety pozemí komukace oscluje kolem polohy projektovaé. Harmocká systematcká odchylka je modelováa pomocí harmocké fukce. Skutečý průběh velety komukace Projektovaý průběh velety komukace Obr. 4.3 Vlv harmocké závslost výšky krytu vozovky pozemí komukace Jsou-l jedotlvé korelovaé hodoty velč a y vyesey do společého bodového grafu, vytvářejí svým seskupeím plošý útvar, tzv. korelačí pole []. 3

4. Koefcet korelace Míru korelace mez dvěma velčam ( a y) je možé ejsáze popsat pomocí koefcetu korelace. Teto koefcet může abývat hodoty z tervalu,. Blíží-l se koefcet korelace hračím hodotám r ±, je míra korelace mez zkoumaým velčam velm vysoká. Je-l koefcet korelace rove r ±, je možo hovořt o fukčí závslost mez oběma velčam. Je-l hodota koefcetu korelace blízká č rová, eí mez zkoumaým velčam prokázáa žádá korelačí závslost. 4.. Koefcet leárí korelace Koefcet leárí korelace, který popsuje korelac velč a y, je defová jako odmoca z podílu směrc dvou regresích přímek y + Ay B y, A y + B, (4.) které splňují podmíku metody ejmeších čtverců (dále je MNČ) v y m, v m. (4.) Prcp této defce vychází ze skutečost, že jsou-l zkoumaé velčy leárě fukčě závslé, jsou všechy body korelačího pole dokoale seřazey do přímky. V tomto případě mají obě regresí přímky stejý průběh a jejch směrce (vztažeé ke stejé ose) jsou totožé. Podíl těchto směrc je rove. V případě zcela ezávslých velč jsou regresí přímky a sebe kolmé a jsou rovoběžé s osam a y. Podíl těchto směrc (vztažeých ke stejé ose) je rove. Rovce oprav mají tvar v y A + B y, v A + B. (4.3) y y Dále uváděé vztahy popsují výpočet vyrovávací přímky pro velču y, a to pro případ vyrováí možy hodot o souřadcích [, y ]. Normálí rovce [] pro vyrovávací přímku je možé vyjádřt pomocí matcového vztahu 3

33 { 444 4 3 444 4 M L L 444 4 3 444 4 M M L L L A X A A T y y T y y y B A, (4.4) kde A je Jacobho matce (matce parcálích dervací jedotlvých hodot dle jedotlvých ezámých), X vektor ezámých a L tzv. vektor redukovaých měřeí. Po vyásobeí výše uvedeých matc je možo zapsat { 443 4 4 3 4 4 L A X A A T y y T y y B A. (4.5) Vektor ezámých lze potom určt ze vztahu ( ) L A A A X T T, (4.6) kde verzí matce je určováa pomocí determatu a matce subdetermatů y y y y B A.. (4.7) Výsledá směrce regresí přímky je tedy rova y y y A. (4.8) Teto vztah je možé zjedodušt redukcí jedotlvých souřadc k těžšt možy bodů [ ] y,. Hodota směrce přímky se traslací počátku soustavy ezměí a pro redukovaé souřadce platí y y. (4.9)

34 Po zjedodušeí tedy platí y y y A. (4.) Totožým postupem je možé určt směrc regresí přímky pro velču y y y y A. (4.) Př výpočtu koefcetu korelace je uté zajstt, aby obě směrce byly vztažeé ke stejé ose. Je tedy uté pro jedu směrc určt její doplěk do pravého úhlu A α tg, (4.) ( ) y A A cotg 9 tg α α. (4.3) Jak jž bylo výše uvedeo, je koefcet leárí korelace rove odmocě z podílu směrc regresích přímek y y y y y y y A A A A r. (4.4) Rozšířeím tohoto výrazu o

35 je možé vztah pro výpočet koefcetu leárí korelace vyjádřt pomocí výběrové kovarace y s a výběrových směrodatých odchylek s a y s y y s s s r. (4.5) 4.. Koefcet harmocké korelace Př odvozeí vztahu pro výpočet koefcetu korelace harmocké fukce je vycházeo z rovce regresí přímky zapsaé pomocí souřadc redukovaých k těžšt korelačího pole y B y A y +, (4.6) y y. (4.7) Redukovaé souřadce jsou rovy, y y y. (4.8) Pomocí rovce 4.7 je možé zapsat rovc -té opravy (vz rovce 4.3) jako y y y v. (4.9) Umocěím a sumací výše uvedeé rovce a vyjádřeím redukovaých souřadc dle rovc 4.8 lze popsat vztah pro součet čtverců oprav y y y y y v. (4.)

Teto výraz je možé zavést do rovce 4.4 a vyjádřt tak obecý vztah pro výpočet koefcetu korelace [] r vy v. (4.) y y Takto určeý koefcet korelace umožňuje pops eleárí korelačí závslost, tj. harmocké korelačí závslost. Nevýhodou užtí výše uvedeého vztahu je utost určeí regresí harmocké křvky, pomocí které jsou určováy hodoty oprav (hodoty odchylek jedotlvých bodů od regresí křvky ve směru osy č y). 4..3 Harmocká regresí aalýza Prcpem harmocké regresí aalýzy je proložeí harmocké křvky možou rových bodů o souřadcích [, y ]. Harmocká křvka je defováa harmockou fukcí π y A + B + C s + D, (4.) λ kde kostaty A, B, C a D představují polohu harmocké křvky a ose y, sklo osy harmocké křvky vzhledem k ose (leárí vlv), velkost ampltudy harmocké vly a posu počátku harmocké vly vzhledem k ose y (fázové posuutí). Kostata λ popsuje délku harmocké vly. Harmocká regresí aalýza je řešea metodou vyrováí měřeí zprostředkujících dle podmíky MNČ (vz rovce 4.). Vyrovávaým ezámým je čtveřce hodot A, B, C a D. Délka harmocké vly λ do vyrováí vstupuje pouze jako kostata, kterou je uté před výpočtem vhodě avolt. Rovc oprav je možé vyjádřt ve tvaru π v A + B + C s + D y. (4.3) λ 36

37 Teto eleárí vztah je uté learzovat (rovce apromovat Taylorovým polyomem). Learzovaé rovce oprav lze matcově zapsat jako L X A v + d, (4.4) 443 M 3 44444444 4 3 4444444 4 M M M M L X A v + + + + + + + y y y y y y D C B A D C D D C D D C D d d d d d cos s cos s cos s λ π λ π λ π λ π λ π λ π, (4.5) kde v je vektor oprav, A je Jacobho matce (matce parcálích dervací jedotlvých hodot dle jedotlvých ezámých), dx je vektor přírůstků jedotlvých ezámých a L je tzv. vektor redukovaých měřeí. Hodoty y jsou přblžé hodoty souřadc y jedotlvých bodů regresí křvky + + + D C B A y s λ π. (4.6) Zavedeím podmíky MNČ je možé určt ormálí rovce a vztah pro výpočet vektoru přírůstků ezámých ( ) L A A A X T T d. (4.7) Vyrovaé hodoty ezámých jsou získáy přčteím určeých přírůstků k počátečím přblžě voleým hodotám ezámých X X X d +, (4.8) + D C B A D C B A D C B A d d d d. (4.9) Z důvodu dosažeí dostatečě přesých vyrovaých hodot ezámých je uté celý výpočet opakovat. V každém ovém teračím kroku jsou za přblžé hodoty ezámých dosazováy vyrovaé hodoty ezámých z předchozího

kroku. Na závěr výpočtu jsou dle rovce 4.4 určey hodoty oprav, které ásledě vstupují do výpočtu koefcetu harmocké korelace (rov. 4.). 4..4 Testováí koefcetu korelace Pro ověřeí výzamost určeého koefcetu korelace je užto testu o estec koefcetu korelace ρ v základím souboru []. Př tomto testu je ověřováo, zda koefcet korelace r z výběru o rozsahu odpovídá základímu souboru s koefcetem korelace ρ. Nulová a alteratví hypotéza je tedy H H : ρ, : ρ. (4.3) Testovacím krterem je velča r t. (4.3) r Nulová hypotéza o estec ulového koefcetu korelace v základím souboru je zamítuta př t > t α /, kde t je krtcká hodota odpovídající pro příslušou α / hladu výzamost α Studetovu t-rozděleí s stup volost. Př vlastím prováděém testováí byla hledáa hlada výzamost α, př které by astala rovost t t α /. (4.3) Výsledky prováděého testovaí jsou součástí výpočetích protokolů o zaváděí leárí č harmocké závslost do souborů modelových dat. 38

5 Zavedeí korelačí závslost do modelových souborů Pro možost zkoumáí vlvu korelace přejímaých dat a statstckou přejímku srováváím je uté do modelových souborů (vz kap. 3) vést určtou korelačí závslost. Tato korelačí závslost je zaváděa pomocí změy velkost skutečých výškových odchylek v jedotlvých příčých řezech krytu vozovky pozemí komukace. Míra zaváděé korelačí závslost je postupě astavováa tak, aby vypočteý koefcet korelace modelovaého souboru odpovídal hodotám [.,.,.3,...,.9] r. Jak jž bylo uvedeo v odst. 4., je korelačí závslost v souboru výškových odchylek krytu vozovky pozemí komukace uvažováa pouze v podélém směru (ve směru výroby krytu vozovky). Skutečé výškové odchylky jsou v rámc jedotlvých příčých řezu vzájemě ezávslé a předpokládaá závslost vzká pouze mez celým příčým řezy. Z těchto důvodů jsou velkost skutečých výškových odchylek v rámc jedotlvých příčých řezů měěy kostatě. + Kotrolě měřeá místa Změa velkost skutečých výškových odchylek v příčém řezu Obr. 5. Změa velkost skutečých výškových odchylek v modelovém souboru 5. Vzk leárí korelačí závslost Míra leárí korelačí závslost dat v modelovém souboru skutečých odchylek závsí a velkost leárí systematcké odchylky daého souboru. Leárí systematcká odchylka je reprezetovaá směrcí regresí přímky. Z těchto pozatků tedy vyplývá, že míra leárí korelačí závslost modelového souboru skutečých odchylek přímo závsí a sklou regresí přímky proložeé modelovým daty. Cíleou změou velkost skutečých výškových odchylek lze sado mět 39

sklo regresí přímky v modelovém souboru, a tak do modelového souboru vášet leárí korelačí závslost. Velkost leárí systematcké odchylky, která je utá k dosažeí příslušé míry korelace dat v modelovém souboru, přímo závsí a velkost směrodaté odchylky tohoto souboru (vz odst. 3..), tj. a přesost jeho výroby. Jelkož je velkost směrodaté odchylky v modelovém souboru pevě staovea (vz odst. 3.3.3), eí její vlv a utou velkost leárí systematcké odchylky dále zkoumá. Př zaváděí leárí korelačí závslost do modelového souboru je využíváo metody umercké matematky, metody půleí tervalu. Pomocí této metody je možé a základě vstupího koefcetu leárí korelace určt přesé změy velkost skutečých výškových odchylek v modelovém souboru. Změou velkost skutečých výškových odchylek je do modelového souboru vesea leárí korelačí závslost dat, která přesě odpovídá zadaému koefcetu korelace. Př užtí metody půleí tervalu je postupováo dle ásledujícího postupu: a/ Určeí koefcetu korelace a směrce regresí přímky původích dat Určeí směrce regresí přímky A a koefcetu leárí korelace r původího ekorelovaého modelového souboru. Zadávaý koefcet korelace r Z musí splňovat podmíku r r. Z < b/ Určeí ma. koefcetu korelace a ma. směrce přímky posuů Rovc přímky, dle které jsou vypočtey změy velkost skutečých odchylek, lze zapsat ve tvaru ( s s ) B p A3 +. (5.) Hodota p představuje posu skutečých výškových odchylek v příčém řezu se stačeím s. Hodota B popsuje posu skutečých výškových odchylek v prvím příčém řezu se stačeím s. Směrce A 3 je volea tak, aby změěý modelový soubor odpovídal mamálímu koefcetu leárí korelace r 3 &. 4

c/ Určeí průměrého koefcetu korelace a průměré směrce přímky posuů Hodota průměré směrce přímky defující změu velkost skutečých výškových odchylek v souboru je určea artmetckým průměrem A A + A3. (5.) Dle vztahu ( s s ) B p A + (5.3) jsou určey ové posuy skutečých výškových odchylek v modelovém souboru. Pro ově vzklý soubor posuutých skutečých odchylek je vypočtea hodota koefcetu korelace r. d/ Posouzeí zadávaého koefcetu korelace Je-l zvoleý koefcet leárí korelace r Z rove ěkterému z vypočteých koefcetů ( r, r, r 3 ), je výpočet zastave. Výsledkem jsou posuy skutečých výškových odchylek odpovídající příslušému koefcetu korelace. V opačém případě je provedea změa vstupích parametrů r r > r Z < r Z A 3 A A A (5.4) a výpočet je opaková. Opakováí výpočtu je prováděo až do aplěí zvoleé vstupí podmíky ( r rz ) a alezeí výsledých posuů skutečých odchylek, které korespodují se zadaým koefcetem korelace. 5. Vzk harmocké korelačí závslost Míra harmocké korelačí závslost dat v modelovém souboru skutečých odchylek závsí a velkost harmocké systematcké odchylky daého souboru. Harmocká systematcká odchylka je reprezetovaá regresí harmockou křvkou, která je defováa harmockou fukcí (vz rov. 4.). Harmocká korelačí závslost je, jako v případě leárí korelačí závslost, zaváděa změou velkost skutečých výškových odchylek v modelovém souboru. Pro usaděí výpočtu jsou př zaváděí harmocké korelačí závslost do modelových souborů astavey ásledující zjedodušující předpoklady: 4

a/ Na modelová data epůsobí počátečí systematcká odchylka, A b/ Neí uvažová vlv leárí systematcké odchylky, B c/ Harmocká křvka eí vůč počátku souboru fázově posuuta, D Př dodržeí těchto podmíek je možé harmockou fukc vyjádřt vztahem π y C s. (5.5) λ Jak bylo jž uvedeo v odst. 4..3, délka harmocké vly λ vstupuje do výpočtů pouze jako voleá kostata. Z toho tedy vyplývá, že zaváděí harmocké korelačí závslost do souboru modelových dat je řízeo pouze změou velkost ampltudy harmocké vly, dle které jsou určováy změy velkost skutečých výškových odchylek v modelovém souboru. Stejě jako v případě leárí korelačí závslost, je velkost harmocké systematcké odchylky, která je utá k dosažeí příslušé míry korelace dat v modelovém souboru, přímo závslá a velkost směrodaté odchylky modelového souboru (vz odst. 3..). Jelkož je velkost směrodaté odchylky v modelovém souboru pevě staovea (vz odst. 3.3.3), eí její vlv a utou velkost harmocké systematcké odchylky dále zkoumá. Velkost ampltudy harmocké vly, která odpovídá zadávaému koefcetu harmocké korelace, je určováa pomocí umercké metody půleí tervalu. Př užtí metody půleí tervalu je postupováo dle ásledujícího postupu: a/ Určeí koefcetu korelace a ampltudy harmocké vly původích dat Určeí ampltudy harmocké regresí křvky C a koefcetu harmocké korelace r původího ekorelovaého modelového souboru. Zadávaý koefcet korelace r Z musí splňovat podmíku r r Z. < b/ Určeí ma. koefcetu korelace a ma. ampltudy harmocké vly Změa velkost skutečých výškových odchylek je určea vztahem p π C s ( s s ). (5.6) λ 3 4