FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA. Cvičení z matematiky s využitím systému MAPLE DOPLŇKOVÝ STUDIJNÍ MATERIÁL

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ JIŘÍ NOVOTNÝ MATEMATIKA Cvičení z matematiky s využitím systému MAPLE DOPLŇKOVÝ STUDIJNÍ MATERIÁL

c Jiří Novotný, Brno 2015

Obsah Úvod 5 1 Funkce v MAPLE 9 2 Křivky v MAPLE 12 3 Plochy v MAPLE 20 4 Dvojný integrál v MAPLE 29 5 Trojný integrál v MAPLE 38 6 Výpočet křivkového integrálu 1. druhu 49 7 Aplikace křivkového integrálu 1. druhu 59 8 Výpočet křivkového integrálu 2. druhu 67 9 Aplikace křivkového integrálu 2. druhu 77 10 Nezávislost na cestě, potenciál v MAPLE 86 11 Plošný integrál v MAPLE 99 12 Diferenciální rovnice 1. řádu v MAPLE 108 13 Diferenciální rovnice n-tého řádu v MAPLE 116 Řešení úkolů 121 3

4

Základní informace Úvod Kvalitní zvládnutí matematických postupů je předpokladem dalšího úspěšného studia odborných předmětů na technických vysokých školách. Ke zvýšení efektivity výuky matematiky na stavební fakultě VUT v Brně dochází k inovacím, které mají za cíl propojit pomocí využití matematického softwaru poznatky teoretického charakteru s jejich aplikacemi. Použití výpočetní techniky ve cvičeních pomůže při řešení některých úloh zkrátit a zjednodušit rutinní jednotvárné a zdlouhavé ruční výpočty. Informační technologie umožňují přechod od tradičních forem výuky, při kterých je posluchač často jen pasivním divákem, k metodám, které studenty aktivizují, rozvíjejí jejich kreativitu a operativní myšlení. V tom je neocenitelným pomocníkem vhodný matematický software. Osvědčeným aplikačním matematickým programovacím systémem je program MAPLE, jehož výrobcem je kanadská společnost Maplesoft Inc. Systém MAPLE je komplexní interaktivní programové prostředí modelující matematické operace se symbolickými výrazy, provádějící numerické výpočty s vysokou přesností a vizualizace funkcí, umožňující i programovat. MAPLE provádí přesně numerické výpočty s celými, racionálními i iracionálními čísly. Každý matematický výraz se snaží co nejvíce zjednodušit. MAPLE umožňuje řešení rovnic, práci s maticemi i definice funkcí. Výsledky je možné si nechat vykreslit pomocí grafů a animací. Nejnovější verze systému pomáhají vytvářet elektronické dokumenty zobrazující matematické výpočty a texty, komentáře i propracovanou počítačovou grafiku. Matematický software MAPLE obsahuje základní služby pro řešení rutinních úloh z různých oblastí matematiky. Pomáhá k řešení dílčích matematických problémů. Slouží především k samostudiu a k ověření správnosti ručního řešení úloh. Základy práce v MAPLE Práce se systémem MAPLE je jednoduchá a intuitivní, a je důležité, aby byla dodržena přesná syntaxe příkazů (zápis čárek, teček, středníků a závorek). Bez správného zápisu program příkaz neprovede. Systém vypisuje chybové zprávy (Error Messages) a varování (Warnings). V případě podivného chování programu raději vyčistíme vnitřní paměť pomocí příkazu restart. Pro práci se systémem MAPLE je vhodné používat anglickou klávesnici, protože se často používají její speciální znaky. Program MAPLE se spustí ze startovacího menu počítače nebo kliknutím na ikonu programu na ploše počítače. Dále popisujeme práci v grafickém uživatelském prostředí Standard Worksheet verze MAPLE 15 v režimu Document Mode. Menu zápisníku Standard Worksheet má nahoře tři vodorovné lišty hlavní menu, nástrojovou lištu a kontextovou lištu. Vlevo jsou palety a uprostřed je vlastní pole dokument, do kterého se zadávají příkazy, píší texty, a kde se realizují výpočetní a grafické akce. Dole je stavová lišta. Viz obr. 1. Pro rozlišení psaní obyčejného textu a formulací příkazů přepínáme v kontextové liště mezi mody Text a Math. V Math modu po stisknutí klávesy Enter dojde 5

Cvičení s MAPLE Obrázek 1: Okno systému k vyhodnocení příkazu. V Text modu Enter vede na nový řádek textu. Palety obsahují šablony na předdefinované symboly, zápisy, výrazy apod. Každá paleta obsahuje symboly příslušné skupiny. K vložení symbolu z palety do dokumentu stačí jen kliknout myší. Obecné barevně zvýrazněné symboly ve výrazu se dají podle potřeby měnit. Základní příkazy z hlavní knihovny můžeme používat ihned po spuštění systému. Pro práci se speciálními strukturami se používají příslušné balíky. Mapleovské dokumenty mají souborovou příponu mw. MAPLE umožňuje exportovat dokumenty i jako soubory jiných typů, např. HTML, PDF, LaTeX, pomocí Export As ze záložky File v hlavním menu. Vždy po spuštění systému se zobrazuje Startup Dialog zobrazující tipy pro práci se systémem. Viz obr. 2. Okno je třeba před začátkem práce zavřít. Součástí systému MAPLE je několik druhů nápovědy, která pomáhá pochopit a využívat prvky systému. Jde zejména o Maple Help se všemi dostupnými informacemi. Součástí je Quick Help, jejíž tabulka se objevuje v podobě černého okénka v každém novém zápisníku na pravé straně dokumentu. Viz obr. 2 i obr. 4. Také symbol? (otazník) spolu s názvem příkazu zobrazí nápovědu týkající se zadaného příkazu. Text nápovědy je v angličtině. Dalším druhem nápovědy je Maple Portal s vlastní ikonou na ploše počítače, 6

Základní informace Obrázek 2: Startup Dialog který obsahuje detailní popis práce se systémem. Viz obr. 3. Obrázek 3: Nápověda Maple Portal Hlavní náplní tohoto studijního textu je soubor 13 příkladů podrobně vyřešených systémem MAPLE. Struktura popisu řešení příkladů se skládá ze zadání, mapleovských výrazů a příkazů k jeho řešení zapsaných kurzívou uživatelem, modrým písmem psané odezvy systému, výsledků a obrázků jako výstupu systému MAPLE a poznámek a komentářů autora textu psaných obyčejným písmem. Pro procvičování jsou do textu také zařazeny 4 úkoly. Jejich řešení je uvedeno jako poslední kapitola textu. 7

Cvičení s MAPLE Funkce a jejich vizualizace Funkce se v systému MAPLE dají definovat více způsoby. Při explicitním zadání na klávesnici napíšeme jméno funkce, symbol přiřazení :=, argumenty funkce, šipku > a funkční předpis. Pro zjednodušení se dají použít šablony z palety Expression. Funkční hodnoty dostaneme zápisem jména funkce s hodnotami argumentů v závorce, přitom nemusíme zadávat jen číselné hodnoty. Výsledky mohou být zapsány nejen numericky, ale i symbolicky, nebo obecně. Funkce může být zadána také implicitně nebo parametricky. K nakreslení grafu funkce máme několik možností. Použít příkaz plot pro funkci jedné proměnné a plot3d pro funkci dvou proměnných. Pro precizaci nákresu je k dispozici řada parametrů měnících podobu grafu. Kliknout pravým tlačítkem myši na funkční předpis zapsaný do dokumentu a v kontextové nabídce zvolit Plots. Využít pomocník Plot Builder. Ten se dá vyvolat z hlavního menu v Tools, Assistants. Viz obr. 4. V systému MAPLE se dají také vytvářet animace. Animace je složena z několika grafů, které jsou po spuštění zobrazeny v posloupnosti za sebou. Pro jejich realizaci použijeme buď příkaz animate z balíku plots, nebo pomocník Plot Builder. Obrázek 4: Vyvolání Plot Builder 8

Funkce v MAPLE 1 Funkce v MAPLE 1. Funkce daná explicitně Jedná se o popis funkce pomocí funkčního předpisu. Funkce jedné proměnné f := x x 2 + 2 x x 2 + 2 (1.1) Jde o funkci popisující parabolu. K zápisu funkčního předpisu použita šablona f := a y a pro kvadrát šablona a b, obě z palety Expression. Každý modře zobrazený výsledek je číslován na konci řádku vpravo číslem v závorkách. Funkce dvou proměnných g := (x, y) x 2 + y 2 (x, y) x 2 + y 2 (1.2) Jde o funkci popisující kuželovou plochu. K zápisu zadání funkce použita šablona f := (a, b) z a pro odmocninu šablona a, obě z palety Expression. Funkce tří proměnných h := (x, y, z) x y z (x, y, z) xyz (1.3) Pro operaci součinu použita šablona a b z palety Expression. Výpočet funkčních hodnot f(0); f(1); f(pi) 2 3 π 2 + 2 (1.4) Funkční hodnoty funkce f definované vztahem (1.1). Více příkazů na jednom řádku oddělujeme středníkem. Pi značí Ludolfovo číslo. evalf(f(pi)) 11.86960440 (1.5) Příkaz evalf vyčíslí přibližnou hodnotu v pohyblivé řádové čárce. g(3, 4); g( 2, 3) 5 5 (1.6) 9

Cvičení s MAPLE Funkční hodnoty funkce g definované vztahem (1.2). evalf( 5) h(1, 2, 3); h(a, b, c) Funkční hodnoty funkce h definované vztahem (1.3). 2. Funkce daná implicitně 2.236067977 (1.7) 6 a b c (1.8) Jedná se o popis funkce pomocí rovnice, jejíž levá strana obsahuje funkci závisle i nezávisle proměnných. Implicitní zadání funkce jedné proměnné F (x, y) = 0 x 2 + y 2 1 = 0 Jde o rovnici popisující kružnici. x 2 + y 2 1 = 0 (2.1) (x 2 + y 2 ) 2 = x 2 y 2 (x 2 + y 2 ) 2 = x 2 y 2 (2.2) Jde o rovnici popisující Bernoulliovu lemniskátu. Implicitní zadání funkce dvou proměnných F (x, y, z) = 0 x 2 + y 2 + z 2 2 = 0 Jde o rovnici popisující kulovou plochu. 4x 2 + 9y 2 = 36(z 2 + 1) Jde o rovnici popisující plochu jednodílného hyperboloidu. 3. Funkce daná parametricky Jedná se o popis funkce pomocí parametrických rovnic. Rovinná křivka x = x(t), y = y(t) x = a (t sin(t)); y = a (1 cos(t)) x 2 + y 2 + z 2 2 = 0 (2.3) 4x 2 + 9y 2 = 36z 2 + 36 (2.4) x = a (t sin(t)) y = a (1 cos(t)) (3.1) Jde o rovnice popisující cykloidu. K zápisu funkcí sinus a kosinus použity šablony sin(a) a cos(a) z palety Expression. 10

Funkce v MAPLE x = 3 a t ; y = 3 a t2 t 3 +1 t 3 +1 x = 3 a t t 3 +1 y = 3 a t2 (3.2) t 3 +1 Jde o rovnice popisující Descartův list. Prostorová křivka x = x(t), y = y(t), z = z(t) x = 1 + t; y = 2 t; z = 1 t Jde o rovnice popisující přímku. x = 3 cos(t); y = 3 sin(t); z = 2 t Jde o rovnice popisující šroubovici. x = 1 + t y = 2 t z = 1 t (3.3) x = 3 cos(t) y = 3 sin(t) z = 2 t (3.4) Plocha x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v) x = 3 u; y = 4 v; z = 2 2 u 2 v Jde o rovnice popisující rovinu. x = 3 u y = 4 v z = 2 2 u 2 v (3.5) x = u + v; y = u v; z = u v Jde o rovnice popisující plochu hyperbolického paraboloidu. x = u cos(v); y = u sin(v); z = v x = u + v y = u v z = u v (3.6) x = u cos(v) y = u sin(v) z = v (3.7) Jde o rovnice popisující plochu šroubového konoidu. Tečku označující součin x = u cos(v) můžeme při zápisu vynechat, ale nahradit mezerou. 11

Cvičení s MAPLE 2 Křivky v MAPLE 1. Graf křivky dané explicitní funkcí f1 := x sin(x) x sin(x) (1.1) Sinusoida, která je grafem funkce f 1, je nakreslena pomocí kontextové nabídky pravého tlačítka myši na zápisu x sin(x), kliknutím na 2-D Plot v části Plots. f2 := x x 2 + 2 x x 2 + 2 (1.2) plot(f 2, 5..5, 1..16, title = Graf funkce f 2, titlefont = [HELVETICA, 12], labels = [x, y], labelfont = [HELVETICA, 10], color = green, thickness = 4, gridlines) Parabola, která je grafem funkce f 2, je nakreslena pomocí příkazu plot. Podoba výsledného obrázku je určena specifikací několika nepovinných parametrů. Rozsah proměnné x je od 5 do 5, rozsah proměnné y od 1 do 16. Obrázek je opatřen titulkem Graf funkce f 2, napsaný písmem Helvetica velikosti 12. Osy jsou popsány 12

Křivky v MAPLE x a y písmem Helvetica velikosti 10. Barva křivky je zelená, tloušťka čáry je 4 a je vykreslena mřížka. f3 := x piecewise(x < 0, 1, x = 0, 0, 1) x piecewise(x < 0, 1, x = 0, 0, 1) (1.3) f 3 je znaménková funkce sgn, která je příkladem parciálně definovaných funkcí. Ty zadáváme po částech příkazem piecewise. V závorce je napřed interval, pak funkční hodnota na něm. U poslední části stačí jen funkční hodnota. Graf nespojité funkce f3 nakreslíme po rozdělení na části bod a polopřímky. Oo := plot(<< 0 > < 0 >>, style = point, symbol = circle, symbolsize = 12) PLOT(...) (1.4) Do proměnné Oo je přiřazen graf počátku jako kroužek velikosti 12. P olo := plot(f 3, 5..5, 2..2, discont = true, scaling = constrained, thickness = 2) PLOT(...) (1.5) Do proměnné P olo je přiřazen graf polopřímek z funkce f3. Parametr discont = true zajišťuje nespojitost, scaling = constrained stejné měřítko na osách. K vykreslení grafu obou výrazů v jednom obrázku použijeme příkaz display z balíku plots. Balík otevřeme následujícím příkazem. with(plots) [animate, animate3d, animatecurve, arrow, changecoords, complexplot, complexplot3d, conformal, conformal3d, contourplot, contourplot3d, coordplot, coordplot3d, densityplot, display, dualaxisplot, fieldplot, fieldplot3d, gradplot, gradplot3d, graphplot3d, implicitplot, implicitplot3d, inequal, interactive, interactiveparams, intersectplot, listcontplot, listcontplot3d, listdensityplot, listplot, listplot3d, loglogplot, logplot, matrixplot, multiple, odeplot, pareto, plotcompare, pointplot, pointplot3d, polarplot, polygonplot, polygonplot3d, polyhedra supported, polyhedraplot, rootlocus, semilogplot, setcolors, setoptions, setoptions3d, spacecurve, sparsematrixplot, surfdata, textplot, textplot3d, tubeplot] (1.6) display([oo, P olo]) 13

Cvičení s MAPLE f4 := x tan(x) x tan(x) (1.7) Tangenta, která je grafem funkce f 4, je nakreslena pomocníkem Plot Builder. Ten je dostupný přes hlavní menu v Tools/Assistants. Do okna Interactive Plot Builder: Specify Expressions v Expressions po stisknutí tlačítka Add zapíšeme tan(x) a zmáčkneme Accept a dole OK. V dalším okně Interactive Plot Builder: Select Plot Type v Options navolíme atributy Range -5 to 5, Label y, Title Tangenta, 12, B, Line default, medium a zatrhneme Find Discontinuties. Dolním tlačítkem Plot necháme vykreslit a zapneme mřížku pomocí kontextové nabídky pravého tlačítka myši Axes, Toggle Gridlines. f := x x 2 2; g := x cos(x) x x 2 2 x cos(x) (1.8) plot ( [f, g], 2 π.. 2 π 3 3, 2.5..2.5, color = [red, green], thickness = 2) Grafy 2 funkcí f parabola, g kosinusoida zakresleny do jednoho obrázku pomocí příkazu plot s názvy funkcí v hranatých závorkách. 14

Křivky v MAPLE h := x cos(x) x plot(h,.., labels = [x, y], thickness = 2) x cos(x) x (1.9) Můžeme nechat zobrazit i neohraničené funkce definované na neohraničených intervalech. Je použit znak nekonečno z palety Common Symbols. 2. Graf křivky dané implicitně rovnicí x 2 + y 2 = 4 Kružnice se středem v počátku a poloměrem 2 je nakreslena pomocí kontextové nabídky pravého tlačítka myši část Plots, 2-D Implicit Plot, x,y. implicitplot(x 3 + y 3 5 x y + 1 5 2, thickness = 2) = 0, x = 3..3, y = 3..3, gridrefine = 15

Cvičení s MAPLE Křivka popsaná zadanou rovnicí je nakreslena pomocí příkazu implicitplot z balíku plots. Specifikace gridrefine = 2 vyhladí vykreslenou křivku. implicitplot([(y 1) 2 = 2 x + 1, x y = 0], x = 2..6, y = 2..6, scaling = constrained, numpoints = 900, font = [T IMES, 10], color = [red, green], thickness = 2) Dvě křivky parabola a přímka zakresleny do jednoho obrázku. Specifikován font os a vyhlazení nastavením vyššího počtu bodů numpoints = 900. 3. Graf křivky dané parametrickými rovnicemi x := 2 cos(t); y := 2 sin(t) 2 cos(t) 2 sin(t) (3.1) plot([x, y, t = 0..Pi], scaling = constrained, thickness = 2) 16

Křivky v MAPLE Horní půlkružnice se středem v počátku a poloměrem 2. V popisu rozsah parametru. x := t cos(t) 3 t cos(t) 3 (3.2) x := t sin(t) 3 t sin(t) 3 (3.3) plot([x(t), y(t), t = 0..2Pi], 1.5..1.5, 1.5..1.5, color = green, thickness = 3) Asteroida cyklická křivka, která vznikne odvalováním kružnice o poloměru a/4 uvnitř kružnice o poloměru a. V našem případě a = 1. plot([[3 cos(t), 2 sin(t), t = 0..2Pi], [s 2, s 3, s = 2..2]], color = [red, green], legend = [elipsa, semikubická parabola], thickness = 2) 17

Cvičení s MAPLE Dvě křivky v jenom obrázku s různými parametry. Elipsa se středem v počátku a poloosami a = 3, b = 2 a polokubická parabola. Specifikace legendy. polarplot(2θ, θ = 0..2π, axis[radial] = [color = blue], thickness = 2) Archimedova spirála je nakreslena pomocí příkazu polarplot z balíku plots. Jde o trajektorii bodu polopřímky rotující kolem pólu, rovnoměrně se od něho vzdalující. θ je polární úhel, zapsaný pomocí palety Greek, π je zapsáno pomocí palety Common Symbols. Je nastavena barva polární osy. spacecurve([t sin(t), 1 cos(t), 4 sin( t )], t = 0..2π, axes = normal, color = 2 red, thickness = 2) Prostorové křivky vykreslujeme pomocí příkazu spacecurve z balíku plots. Styl zobrazení os je nastaven na běžný systém axes = normal. spacecurve([4 cos 2 (t), 4 sin(t) cos(t), 4sin(t)], t = 0..2π, axes = framed, color = red, thickness = 2) 18

Křivky v MAPLE Zakreslena Vivianiho křivka - průsečnice koule s válcem, s lemujícími osami, axes = framed. spacecurve({[t cos(2πt), t sin(2πt), 2+t], [t cos(2πt), 2+t, t sin(2πt)], [2+t, t cos(2πt), t sin(2πt)]}, t = 0..10, numpoints = 500, orientation = [40, 70], style = line, axes = boxed, thickness = 3) Tři konické šroubovice s různými osami. Jde o trajektorii bodu, který se současně otáčí a zdvíhá na kuželi. Specifikace natočení souřadného systému s úhly ve stupních, třetí 0 pro osu x se nemusí zadávat. style = line znamená drátěný model, axes = boxed vede na vytvoření krabice. 19

Cvičení s MAPLE 3 Plochy v MAPLE 1. Graf plochy dané explicitní funkcí g1 := (x, y) sqrt(x 2 + y 2 ) (x, y) x 2 + y 2 (1.1) V zadání funkce g1 je pro odmocninu použit příkaz sqrt. x2 + y 2 Grafem funkce g1 je kuželová plocha a to její horní část nad vrcholem v počátku, s osou v ose z. Plocha je vykreslena pomocí kontextové nabídky pravého tlačítka myši na zápisu x 2 + y 2 kliknutím na část Plots, 3-D Plot, x,y. plot3d(g1, 2..2, 2..2, axes = normal, grid = [10, 10]) Plochu, která je grafem funkce g1, jsme vykreslili také pomocí příkazu plot3d. Jsou specifikovány rozsahy proměnných, s normálními osami a mřížka grid je jiná než přednastavená v předchozím nákresu. g2 := (x, y) x 2 + y 2 (x, y) x 2 + y 2 (1.2) plot3d(g2, 5..5, 5..5, axes = framed, color = red) 20

Plochy v MAPLE Grafem funkce g2 je plocha rotačního paraboloidu s vrcholem v počátku, s osou v ose z. Nákres je pomocí plot3d s vnějšími osami a v červené barvě. plot3d([g1, g2], 2..2, 2..2, axes = boxed, color = [blue, red]) Plochy, které jsou grafy předcházejících funkcí g1 a g2, jsou zakresleny v různých barvách do jednoho obrázku v krabicovém systému. g3 := (x, y) 1 x 2 +y 2 (x, y) 1 x 2 +y 2 (1.3) plot3d(g3, 0.01..0.01, 0.01..0.01, axes = framed) 21

Cvičení s MAPLE plot3d(g3, 1..1, 1..1, view = 0..10, axes = boxed) Grafem lomené funkce g3, která má v počátku nevlastní limitu, je plocha tzv. sopky. Podoba obrázku silně závisí na volbě rozsahu proměnných. Dá se vylepšit seříznutím pomocí parametru view, určujícím jaký rozsah v ose z bude vidět. g4 := y (3x 2 y 2 ) y(3x 2 y 2 ) (1.4) Grafem funkce g4 je plocha tzv. opičího sedla. Je vykreslena pomocí kontextové nabídky pravého tlačítka myši. Defaultně je mnohobarevná, stejně jako dřívější obrázky bez specifikace barev. 22

Plochy v MAPLE g5 := (x, y) cos(x y) (x, y) cos(xy) (1.5) plot3d(g5, 3..3, 3..3, grid = [49, 49], axes = boxed, scaling = constrained, style = patchcontour) Graf goniometrické funkce g5 je vykreslen ve stejnoměrném měřítku scaling = constrained, s vrstevnicemi style = patchcontour. To jsou spojnice bodů se stejnou funkční hodnotou. g6 := (x, y) 4 x 2 y 2 (x, y) 4 x 2 y 2 (1.6) plot3d(g6(x, y), x = 1 y 2.. 1 y 2, y = 1..1, style = wireframe, axes = framed, color = red, gridstyle = triangular, scaling = constrained) Grafem iracionální funkce g6 by byla horní polovina kulové plochy. Při zadaném vymezení proměnných jde o vrchlík nad kruhem x 2 + y 2 1. style = wireframe znamená drátěný model, gridstyle = triangular trojúhelníková síť, na rozdíl od defaultní obdélníkové u dřívějších obrázků. 23

Cvičení s MAPLE 2. Graf plochy dané implicitně rovnicí x 2 + y 2 + z 2 = 2 Rovnicí x 2 + y 2 + z 2 = 2 je zadána kulová plocha se středem v počátku a poloměrem 2. Při jejím znázornění pomocí kontextové nabídky pravého tlačítka myši, Plots, 3-D Implicit Plot, x,y,z, vychází poněkud hranatě. Proto je k lepšímu vykreslení použit příkaz implicitplot3d z balíku plots. V něm jsou nastaveny rozsahy proměnných a hustota mřížky. with(plots) : Napíšeme-li dvojtečku za příkaz, pak se vyhodnotí, aniž se zobrazí výsledek modrým textem. implicitplot3d(x 2 + y 2 + z 2 = 2, x = 2..2, y = 2..2, z = 2..2, axes = normal, grid = [25, 25, 25]) implicitplot3d(x 2 + y 2 = 4, x = 3..3, y = 3..3, z = 2..2, axes = framed) 24

Plochy v MAPLE Příkazem implicitplot3d je zakreslena rotační válcová plocha daná v prostoru rovnicí x 2 + y 2 = 4. Poloměr je 2 a osa je v ose z. obr1 := implicitplot3d(x 2 + y 2 + z 2 = 8, x = 3..3, y = 3..3, z = 3..3, axes = normal, grid = [15, 15, 15], color = red) P LOT 3D(...) (2.1) obr2 := implicitplot3d(x 2 + y 2 = 4, x = 3..3, y = 3..3, z = 4..4, axes = normal, grid = [15, 15, 15], color = blue) P LOT 3D(...) (2.2) display({obr1, obr2}) Pomocí příkazu display jsou do jednoho obrázku zakresleny kulová a válcová plocha rozlišeny barvou. Sféra má střed v počátku a poloměr 2 2, cylindr je z předchozího příkladu. implicitplot3d(2z 2 = x 2 + 4y 2 + 4, x = 8..8, y = 5..5, z = 5..5, axes = framed, grid = [25, 25, 25], style = patchcontour, color = red) Rovnicí 2z 2 = x 2 +4y 2 +4 je zadána plocha dvoudílného hyperboloidu. Poloosy jsou a = 2, b = 1, c = 2 a osa je v ose z. 25

Cvičení s MAPLE 3. Graf plochy dané parametrickými rovnicemi X := 3 cos(s) sin(t); Y := 3 sin(s) sin(t); Z := 3 cos(t) 3 cos(s) sin(t) 3 sin(s) sin(t) 3 cos(t) (3.1) plot3d([x, Y, Z], s = π.. π, t = π.. π, scaling = constrained, axes = normal) 6 2 4 3 Kousek kulové plochy se středem v počátku a poloměrem 3 popsaný sférickými souřadnicemi. s je úhel v půdorysu od 30 do 90, t je úhel od osy z od 45 do 60. plot3d([3 u, 4 v, 2 2 u 2 v], v = 0..1 u, u = 0..1, scaling = constrained, axes = boxed) Kousek roviny (vlastně trojúhelník) z kapitoly 1. Proměnná mez parametru v. cylinderplot(1, theta = 0..π, z = 2..2, style = patch, scaling = constrained) 26

Plochy v MAPLE Příkazem cylinderplot z balíku plots je zakreslena v cylidrických souřadnicích polovina válce o poloměru 1 a výšce 4. Theta udává rozsah úhlu v půdorysu, v z je rozsah výšky, style = patch zobrazí mřížku. sphereplot(1, theta = 0..2π, phi = 0.. π, style = patch, scaling = constrained) 4 Příkazem sphereplot z balíku plots je zakreslen ve sférických souřadnicích kulový vrchlík jednotkové koule. Theta udává rozsah úhlu v půdorysu, phi úhel od osy z. k := plot3d([4cos(u)sin(v), 4sin(u)sin(v), 4cos(v)], u = 0..2π, v = 0..π, color = Magenta ) P LOT 3D(...) (3.2) v := plot3d([2sin(s) + 2, 2cos(s), t], s = 0..2π, t = 5..5, color = Khaki ) P LOT 3D(...) (3.3) display(k, v) Pomocí příkazu display jsou do jednoho obrázku zakresleny kulová plocha k a válcová plocha v, zadané parametrickými rovnicemi, rozlišeny barvou. Sféra má střed v počátku a poloměr 4, implicitní popis x 2 + y 2 + z 2 = 16. Cylindr má poloměr 2 s osou posunutou o 2, implicitní popis (x 2) 2 + y 2 = 4. Průsečnicí těchto ploch je Vivianiho křivka z kapitoly 2. 27

Cvičení s MAPLE Úkol 1. Nakreslete v systému MAPLE následující útvary. 1. Kubická parabola 2. Hyperbola 3. Kardioida 4. Šroubovice 5. Elipsoid 6. Anuloid 7. Parabolický válec 8. Hyperbolický paraboloid 28

Dvojný integrál v MAPLE 4 Dvojný integrál v MAPLE 1. Vypočteme hodnotu dvojného integrálu z funkce f(x, y) = x na oboru A : x 1, y 0, y arctg x. Zobrazení integračního oboru with(plots) : p1 := implicitplot(x = 1, x = 2..2, y = 2..2, color = black) P LOT (...) (1.1) Přímka kolmá na osu x, zobrazena černě. p2 := plot(arctan(x), x = 2..2, y = 2..2, color = red) P LOT (...) (1.2) Graf funkce arkustangens, zobrazen červeně. p3 := plot(arctan(x), x = 0..1, y = 2..2, color = cyan, filled = true) P LOT (...) (1.3) Plocha nad osou x a pod grafem arctg x vybarvena azurově. display(p1, p2, p3) Popis integračního oboru A : 0 x 1, 0 y arctan(x) 0 x and x 1, 0 y and y arctan(x) (1.4) Výpočet integrálu f(x, y) dxdy na A 29

Cvičení s MAPLE with(student) [ D, Diff, Doubleint, Int, Limit, Lineint, Product, Sum, Tripleint, changevar, completesquare, distance, equate, integrand, intercept, intparts, leftbox, leftsum, makeproc, middlebox, middlesum, midpoint, powsubs, rightbox, rightsum, showtangent, simpson, slope, summand, trapezoid ] (1.5) Použit balík student obsahující příkaz Doubleint s parametry integrand, integrační proměnné a integrační obor, který slouží pro zápis dvojného integrálu. Doubleint(x, x, y, A) = 1 arctan(x) x dy dx 0 0 x dxdy = 1 4 π 1 2 (1.6) A Pravá strana výše zadané rovnice je vytvořena pomocí symbolů b f dx z palety a Expression. Dostáváme výsledek našeho integrálu. Další možnost výpočtu je pomocí příkazu MultiInt z balíku Student[MultivariateCalculus]. with(student[m ultivariatecalculus]) [ ApproximateInt, ApproximateIntTutor, CenterOfMass, ChangeOfVariables, Cross- Section, CrossSectionTutor, Del, DirectionalDerivative, DirectionalDerivativeTutor, FunctionAverage, Gradient, GradientTutor, Jacobian, LagrangeMultipliers, MultiInt, Nabla, Revert, SecondDerivativeTest, SurfaceArea, TaylorApproximation, TaylorApproximationTutor] (1.7) MultiInt(x, y = 0..arctan(x), x = 0..1, output = steps) 1 arctan(x) x dy dx 0 0 = 1 ( ) 0 xy y=0..arctan(x) dx = 1 ( x arctan(x) dx 0 ) = arctan(x) x 2 x + arctan(x) 2 2 2 x=0..1 1 π 1 (1.8) 4 2 Zde si můžeme nechat výpočet i rozkrokovat. Chceme-li výsledek desetinným číslem, použijeme příkaz evalf. Procento (%) odkazuje na posledně vypočítaný výsledek. evalf(%) 0.2853981635 (1.9) K výsledku vede ještě i postup založený na použití příkazu int z balíku VectorCalculus. with(v ectorcalculus]) [ & x, *, +, -,., <,>, < >, About, AddCoordinates, ArcLength, BasisFor- 30

Dvojný integrál v MAPLE mat, Binormal, Compatibility, ConvertVector, CrossProd, CrossProduct, Curl, Curvature, D, Del, DirectionalDiff, Divergence, DotProd, DotProduct, Flux, GetCoordinateParameters, GetCoordinates, GetNames, GetPVDescription, GetRootPoint, GetSpace, Gradient, Hessian, IsPositionVector, IsRootedVector, IsVectorField, Jacobian, Laplacian, LineInt, MapToBasis, Nabla, Norm, Normalize, PathInt, PlotPositionVector, PlotVector, PositionVector, PrincipalNormal, RadiusOfCurvature, RootedVector, ScalarPotential, SetCoordinateParameters, SetCoordinates, SpaceCurve, SurfaceInt, TNBFrame, Tangent, TangentLine, TangentPlane, TangentVector, Torsion, Vector, VectorField, VectorPotential, VectorSpace, Wronskian, diff, eval, eval- VF, int, limit, series ] (1.10) int(x, [x, y] = Region(0..1, 0..arctan(x)), inert ) : % = value(%) inert znamená neaktivní podobu, value hodnotu výsledku. 1 0 arctan(x) 0 x dy dx = 1 4 π 1 2 (1.11) 2. Vypočteme hodnotu dvojného integrálu z funkce f(x, y) = 2x y + 3 na oboru D : 0 x 4, 0 y x, y 4 x. Zobrazení integračního oboru solve(x = 4 x ) 2, 2 (2.1) Pomocí příkazu solve jsme určili x-ové souřadnice průsečíků přímky a hyperboly ohraničujících integrační obor. p4 := plot([x, 4 ], x = 1..7, y = 1..7, color = red) x PLOT(...) (2.2) Grafy přímky a hyperboly, zobrazeny červeně. p5 := implicitplot(x = 4, x = 1..7, y = 1..7, color = black) PLOT(...) (2.3) Přímka kolmá na osu x, zobrazena černě. p6 := plot(x, x = 0..2, y = 1..7, color = cyan, filled = true) PLOT(...) (2.4) Plocha nad osou x a pod přímkou y = x vybarvena azurově. p7 := plot( 4, x = 2..4, y = 1..7, color = blue, filled = true) x PLOT(...) (2.5) Plocha nad osou x a pod hyperbolou y = 4 x vybarvena modře. 31

Cvičení s MAPLE display(p4, p5, p6, p7) Popis integračního oboru D = D 1 D 2 D = D 1 D 2 (2.6) Integrační obor se skládá ze dvou částí. Zapíšeme jejich meze. D 1 : 0 x 2, 0 y x 0 x and x 2, 0 y and y x (2.7) D 1 : 2 x 4, 0 y 4 x 2 x and x 4, 0 y and y 4 (2.8) x Výpočet integrálu f(x, y) dxdy na D Doubleint((2x y+3), x, y, D) = 2 x (2x y+3) dy dx+ 4 4 x (2x y+3) dy dx 0 0 2 0 (2x y + 3) dxdy = 24 + 12 ln(2) (2.9) D Hodnota integrálu je počítána jako součet hodnot na jednotlivých částech. MultiInt(2x y + 3, y = 0..x, x = 0..2, output = steps) 2 x (2x y + 3) dy dx 0 0 = 2 (( 0 2xy 1 2 y2 + 3y ) ) y=0..x dx = 2 ( 3 0 2 x2 + 3x ) dx = ( 1 2 x3 + 3x2) 2 x=0..2 10 (2.10) 32

Dvojný integrál v MAPLE Rozkrokovaný výpočet pomocí příkazu MultiInt. MultiInt(2x y + 3, y = 0.. 4, x = 2..4, output = steps) x 4 4 x (2x y + 3) dy dx 2 0 = ( 4 (2xy 2 1 2 y2 + 3y ) ) y=0.. 4 dx x = 4 ( ) 2 8 8 + 12 x 2 x dx = ( 8x + 8 + 12 ln(x)) x x=2..4 Hodnotu výsledku vyjádříme také ve tvaru desetinného čísla. 12 ln(2)+14 (2.11) evalf(24 + 12 ln(2)) 32.31776617 (2.12) 3. Vypočteme hodnotu dvojného integrálu z funkce f(x, y) = sin(y 2 ) na oboru M : x 0, y x, y π. Zobrazení integračního oboru inequal({x 0, y x, y π}, x = 1..5, y = 1..5, optionsfeasible = (color = cyan), optionsexcluded = (color = white), labels = [ x, y ]) Integrační obor je znázorněn pomocí příkazu inequal. Vnitřek má azurovou barvu, vnějšek bílou, je specifikováno označení os. Popis integračního oboru M : 0 x π, x y π 0 x and x π, x y and y π (3.1) Popsáno jako elementární oblast I. druhu (vzhledem k x). 33

Cvičení s MAPLE M : 0 y π, 0 x y 0 y and y π, 0 x and x y (3.2) Popsáno jako elementární oblast II. druhu (vzhledem k y). Výpočet integrálu f(x, y) dxdy na M Doubleint(sin(y 2 ), x, y, M) = π 0 1 12 π ( π 3 hypergeom ([ 3 4, 1], [ 3 π x sin(y2 ) dy dx sin(y 2 ) dxdy = (3.3) M, 7, 2], 1π4) 6F resnels( 2 π) 2 π ) 2 4 4 evalf(%) sin(y 2 ) dxdy = 0.9513426816 (3.4) M Při prvním pořadí integrace výsledek není v konečném tvaru, dá se však numericky vyhodnotit. Doubleint(sin(y 2 ), x, y, M) = π 0 y 0 sin(y2 ) dx dy sin(y 2 ) dxdy = 1 2 1 2 cos(π2 ) (3.5) M evalf(%) sin(y 2 ) dxdy = 0.9513426804 (3.6) M Druhé pořadí integrace vede na přesný výsledek. V podobě desetinného čísla je zanedbatelný rozdíl na posledních dvou místech. MultiInt(sin(y 2 ), x = 0..y, y = 0..π, output = steps) π 0 Rozkrokovaný výpočet pomocí příkazu MultiInt. y 0 sin(y2 ) dx dy = π 0 (sin(y2 ) x x=0..y ) dy = π 0 sin(y2 ) y dy = cos(y2 ) 2 y=0..π 1 1 2 2 cos(π2 ) (3.7) int(sin(y 2 ), [x, y] = T riangle( 0, 0, π, π, 0, π ), inert ) : % = value(%) π π 0 x sin(y2 ) dy dx = (3.8) 1 π ( π 3 hypergeom ([ 3, 1], [ 3, 7, 2], 1π4) 6F resnels( 2 π) 2 π ) 12 4 2 4 4 34

Dvojný integrál v MAPLE Použití příkazu int na trojúhelníku vede také na neuzavřený tvar. 4. Vypočteme hodnotu dvojného integrálu z funkce f(x, y) = exp(x 2 + y 2 ) na oboru Ω : x 2 + y 2 1. Zobrazení integračního oboru implicitplot(x 2 + y 2 1, x = 1..1, y = 1..1, filled = true, view = [ 1.5..1.5, 1.5..1.5], coloring = [cyan, white]) Integrační obor je znázorněn pomocí příkazu implicitplot. Vnitřek má azurovou barvu, vnějšek bílou. Popis integračního oboru v kartézských souřadnicích Ω : 1 x 1, 1 x 2 y 1 x 2 1 x and x 1, 1 x 2 y and y 1 x 2 (4.1) Popis integračního oboru v polárních souřadnicích Φ : 0 r 1, 0 θ 2π 0 r and r 1, 0 θ and θ 2π (4.2) polygonplot([[0, 0], [2π, 0], [2π, 1], [0, 1]], color = pink, scaling = constrained, view = [ 1..8, 1..2], labels = [ theta, r ]) 35

Cvičení s MAPLE Růžový obdélník Φ, na který se při použití polárních souřadnic transformuje azurový kruh Ω, je zobrazen pomocí příkazu polygonplot, kde mj. zadáváme souřadnice vrcholů. Výpočet integrálu f(x, y) dxdy na Ω 1 x 2 Doubleint(e x2 +y 2, x, y, Ω) = 1 1 e x2 +y 2 dy dx 1 x 2 1 e x2 +y 2 dxdy = ( I erf(i 1 x 2 ) e x2 π ) dx (4.3) 1 Ω evalf(%) e x2 +y 2 dxdy = 5.398141569 (4.4) Ω Při výpočtu v kartézských souřadnicích je výsledek jen symbolicky, dá se však numericky vyhodnotit. Výpočet integrálu f(x, y) dxdy pomocí Φ H := Int(Int(e x2 +y 2, y = 1 x 2.. 1 x 2 ), x = 1..1) 1 1 1 x 2 1 x 2 e x2 +y 2 dy dx (4.5) K transformaci do polárních souřadnic využijeme příkaz ChangeOfVariables z balíku Student[M ultivariatecalculus]. ChangeOfV ariables(h, [cartesian x,y, polar r,θ ]) x=1 x= 1 y= 1 x 2 y= 1 x 2 e r2 r dr dθ (4.6) Dolní indexy zapíšeme pomocí nabídky Format, Character, Subscript v hlavním menu. Doubleint(r e r2, r, θ, Φ) = 2π 1 r 0 0 er2 dr dθ r e r2 drdθ = π + e π (4.7) Φ evalf( π + e π) 5.398141568 (4.8) Výpočet po transformaci do polárních souřadnic umožňuje získat přesný výsledek. MultiInt(e r2 r, r = 0..1, θ = 0..2π, output = steps) 2π 0 36 1 0 er2 r dr dθ

= 2π 0 = 2π Rozkrokovaný výpočet pomocí příkazu MultiInt. 0 ) 2 dθ ( r=0..1 1 + e 2 2) dθ ( e r2 int(e x2 +y 2, [x, y] = Circle( 0, 0, 1), inert ) : % = value(%) 1 0 Dvojný integrál v MAPLE = ( 1 2 + e 2) θ θ=0..2π π + e π (4.9) 2π 0 x e x2 dy dx = π + e π (4.10) Použití příkazu int na kruhu vede také na konečný výsledek. 6. Vypočteme objem tělesa Ω : 0 z xy, 2x x 2 + y 2 4x, y 0. Zakreslíme průmět Ψ tělesa Ω do půdorysny. k12 := implicitplot([x 2 + y 2 = 2x, x 2 + y 2 = 4x], x = 1..5, y = 3..3, color = NavyBlue, thickness = 2, gridrefine = 3, scaling = constrained): v1 := implicitplot(0, x = 0..2, y = 2x x 2.. 4x x 2, color = cyan): v2 := implicitplot(0, x = 2..4, y = 0.. 4x x 2, color = pink): display(k12, v1, v2, view = [ 1..5, 3..3]) V = [f(x, y) g(x, y)] dxdy = x y dxdy Doubleint(x y, x, y, Ψ) = 2 0 2x x 2 x y dy dx + 4 4x x 2 x y dy dx 2 0 x y dxdy = 10 (5.1) 4x x 2 Ψ 37

Cvičení s MAPLE 5 Trojný integrál v MAPLE 1. Vypočteme hodnotu trojného integrálu z funkce f(x, y, z) = 1 na oboru A : 0 z 9, x 2 + 3y 4, x 2 y 0. Hodnota integrálu vyjadřuje objem tělesa výšky 9, jehož stěny jsou tvořeny parabolickými válcovými plochami. Zobrazení integračního oboru Použijeme příkaz implicitplot3d z balíku plots. with(plots) : implicitplot3d([z = 0, z = 9, x 2 y, x 2 +3y 4], x = 1.5..1.5, y = 0.5..2.5, z = 1..10, transparency = 0.75, color = [gold, gold, blue, red]) Pro popis půdorysu tělesa si vypočteme x-ové souřadnice průsečíků parabol. solve ( x 2 = 4 1x2) 3 3 1, 1 (1.1) p1 := plot ([ 4 1 3 3 x2, x 2], x = 2..2, color = NavyBlue, thickness = 2 ) P LOT (...) (1.2) Paraboly budou v obrázku modře, obrazec mezi nimi vybarvíme azurově. Abychom toho dosáhli, transformujeme osy pomocí příkazu transform z balíku plottools. with(plottools) [arc, arrow, circle, cone, cuboid, curve, cutin, cutout, cylinder, disk, dodecahedron, ellipse, ellipticarc, hemisphere, hexahedron, homothety, hyperbola, icosahedron, line, octahedron, parallelepiped, pieslice, point, polygon, project, rectangle, reflect, rotate, scale, semitorus, sphere, stellate, tetrahedron, torus, transform, translate] (1.3) g := transform ((x, y) [x, y + x 2 ]) : 38

p2 := plot ( 4 3 4x2 3, x = 1..1, filled = true, color = cyan ) display(p1, g(p2), view = [ 2..2, 0.5..3]) Trojný integrál v MAPLE P LOT (...) (1.4) Popis integračního oboru A : 1 x 1, x 2 y 4 x2, 0 z 9 3 3 1 x and x 1, x 2 y and y 4 1 3 3 x2, 0 z and z 9 (1.5) Výpočet integrálu f(x, y, z) dxdydz na A K zápisu trojného integrálu použijeme příkaz Tripleint z balíku student s parametry integrand, integrační proměnné a integrační obor. with(student) : T ripleint(1, x, y, z, A) = 1 1 4 3 x2 3 9 x 2 1 dz dy dx 0 1 dxdydz = 16 (1.6) A Postup výpočtu si necháme rozkrokovat pomocí příkazu MultiInt z balíku Student[MultivariateCalculus]. with(student[m ultivariatecalculus]) : MultiInt(1, z = 0..9, y = x 2.. 4 3 x2 3, x = 1..1, output = steps) 1 4 3 x2 3 1 39 9 x 2 0 = 1 1 = 1 1 4 3 x2 3 x 2 1 dz dy dx (z z=0..9 ) dy dx 4 3 x2 3 x 9 dy dx 2

Cvičení s MAPLE = ( 1 1 = 1 9y y=x 2.. 4 3 x2 3 (12 1 12x2 ) dx = (12x 4x 3 ) ) dx x= 1..1 16 (1.7) 2. Vypočteme hodnotu trojného integrálu z funkce f(x, y, z) = z(x 2 + y 2 ) na oboru Ω : x 2 + y 2 z 1. Zobrazení integračního oboru plot3d([1, x 2 + y 2 ], x = 2..2, y = 2..2, axes = boxed, transparency = 0.75, color = [white, red], orientation = [20, 80]) Jde o kužel výšky 1. Ohraničující plochy jsou zakresleny pomocí příkazu plot3d, přičemž je nastavena i průhlednost a orientace os. x2 + y 2 = 1 x2 + y 2 = 1 (2.1) Rovnice průsečnice ploch. display(disk([0, 0], color = cyan)) 40

Trojný integrál v MAPLE Půdorysem je kruh. Střed je v počátku, poloměr 1 (lze v popisu disk vynechat). Popis integračního oboru v kartézských souřadnicích Ω : 1 x 1, 1 x 2 y 1 x 2, x 2 + y 2 z 1 1 x and x 1, 1 x 2 y and y 1 x 2, x 2 + y 2 z and z 1 (2.2) Popis integračního oboru v cylindrických souřadnicích H := x 2 + y 2 x2 + y 2 (2.3) ChangeOfV ariables(h, [cartesian x,y, polar r,θ ]) r2 cos(θ) 2 + r 2 sin(θ) 2 (2.4) simplify(%, assume = positive) r (2.5) Dolní mez proměnné z je popsána v polárních souřadnicích. Výraz je zjednodušen pomocí příkazu simplify. Φ : 0 r 1, 0 θ 2π, r z 1 0 r and r 1, 0 θ and θ 2π, r z and z 1 (2.6) Transformací do cylidrických souřadnic r, θ, z dostaneme místo kužele Ω klín Φ. implicitplot3d([z 1, z r, θ, θ 2π, r], r = 0..1, θ =.5..2π+.5, z = 0..1.5, axes = f ramed, transparency = 0.75, color = [white, red, blue, blue, gold], orientation = [20, 80]) Výpočet integrálu f(x, y, z) dxdydz na Ω T ripleint(z (x 2 + y 2 ), x, y, z, Ω) = 1 1 x 2 1 1 z (x 1 x x 2 + y 2 ) dz dy dx 2 2 +y 2 41

Cvičení s MAPLE z (x 2 + y 2 ) dxdydz = 1 12 π (2.7) Výsledek ještě vyjádříme desetinným číslem. Ω evalf(%) Ω z (x 2 + y 2 ) dxdydz = 0.2617993878 (2.8) MultiInt(z (x 2 +y 2 ), z = x 2 + y 2..1, y = 1 x 2.. 1 x 2, x = 1..1, output = steps) 1 1 x 2 1 1 z (x 1 x x 2 + y 2 ) dz dy dx 2 2 +y 2 Výpočet integrálu = 1 1 ( 1 x 2 z 2 (x 2 +y 2 ) 1 x 2 2 1 x 2 1 (x 2 +y 2 )(1 x 2 y 2 ) 1 x 2 = 1 = (( 1 1 = 1 = 1 ( z= x 2 +y 2..1 dy dx 2 y5 + ( 2x2 +1)y 3 + x2 (1 x 2 )y 10 6 2 (1 x2 ) 5/2 + 2( x2 + 2)(1 x 1 2 ) 3/2 5 ) dy dx ) ) y= 1 x2.. dx 1 x2 ) + x 2 (1 x 2 ) 3/2 dx 3 ) x= 1..1 1 π (2.9) 12 ( 4x(1 x2 ) 5/2 + (1 x2 ) 3/2 x + x 1 x 2 + arcsin(x) 45 18 12 12 f(x, y, z) dxdydz pomocí Φ G := Int(Int(Int(z (x 2 + y 2 ), x), y), z) z (x 2 + y 2 ) dxdydz (2.10) Budeme transformovat i integrand do cylidrických souřadnic. ChangeOfV ariables(g, [cartesian x,y,z, cylindrical r,θ,z ]) z r 3 drdθdz (2.11) T ripleint(z (x 2 + y 2 ), x, y, z, Ω) = T ripleint(zr 3, r, θ, z, Φ) z (x 2 + y 2 ) dxdydz = z r 3 drdθdz (2.12) Ω Φ T ripleint(z r 3, r, θ, z, Φ) = 1 2π 1 z 0 0 r r3 dz dθ dr 42

Trojný integrál v MAPLE z r 3 drdθdz = 1 12 π (2.13) Φ Výpočet rozkrokujeme. MultiInt(z r 3, z = r..1, r = 0..1, θ = 0..2π, output = steps) 2π 1 1 z 0 0 r r3 dz dr dθ = 2π ( ) 1 z 2 r 3 ) 0 0 2 dr dθ z=r..1 = 2π 1 r 3 (1 r 2 ) dr dθ 0 0 2 = ( 2π ( ) 1 0 12 r6 + 1r4) 8 r=0..1 dθ = 2π 0 = θ 24 1 dθ 24 Je patrné, že transformace podstatně zjednoduší výpočet. θ=0..2π 1 12 π (2.14) 3. Vypočteme hodnotu trojného integrálu z funkce f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 na oboru T : x 2 + y 2 + z 2 z. Zobrazení integračního oboru Integračním oborem je posunutá koule. Doplněním na čtverec určíme její střed a poloměr. K tomu použijeme příkaz CompleteSquare z balíku Student[P recalculus]. with(student[p recalculus]); [ CenterOfMass, CompleteSquare, CompositionPlot, CompositionTutor, ConicsTutor, Distance, FunctionSlopePlot, FunctionSlopeTutor, LimitPlot, LimitTutor, Line, LineTutor, LinearInequalitiesTutor, Midpoint, PolynomialTutor, RationalFunction- Plot, RationalFunctionTutor, Slope, StandardFunctionsTutor] (3.1) CompleteSquare(x 2 + y 2 + z 2 z, x, y, z) ( z 1 2) 2 + x 2 + y 2 1 4 (3.2) Takže střed koule má souřadnice [0, 0, 1 2 ] a poloměr je 1 2. implicitplot3d(x 2 +y 2 +z 2 = z, x = 1.. 1, y = 1.. 1, z = 0..1, axes = boxed, grid 2 2 2 2 = [25, 25, 25]) 43

Cvičení s MAPLE Průmětem koule do půdorysny je kruh se středem [0, 0] a poloměrem 1 2. x 2 + y 2 = 1 4 x 2 + y 2 = 1 4 (3.3) display(disk([0, 0], 1, color = cyan)) 2 Průmětem do roviny yz je posunutý kruh. 44

Trojný integrál v MAPLE Popis integračního oboru ve sférických souřadnicích ChangeOfV ariables(x 2 + y 2 + z 2 z, [cartesian x,y,z, spherical r,φ,θ ]) r 2 cos(φ) 2 sin(θ) 2 + r 2 sin(φ) 2 sin(θ) 2 + r 2 cos(θ) 2 r cos(θ) (3.4) simplify(%) r( r + cos(θ)) (3.5) S : 0 r cos(θ), 0 θ π, 0 φ 2π 2 0 r and r cos(θ), 0 θ and θ π, 0 φ and φ 2π (3.6) 2 Transformací do sférických souřadnic r, φ, θ dostaneme místo koule T zaoblený klín S. implicitplot3d([r cos(θ), r, θ, θ π, φ, φ 2π], r = 0.5..1.5, φ = 0.5..2π + 2 0.5, θ = 0.5..2, axes = framed, transparency = 0.75, color = [red, red, blue, blue, gold, gold]) Výpočet f(x, y, z) dxdydz na T převodem na g(r, φ, θ) J drdφdθ na S K := Int(Int(Int( x 2 + y 2 + z 2, x), y), z) x2 + y 2 + z 2 dxdydz (3.7) Transformujeme i integrand do sférických souřadnic. ChangeOfV ariables(k, [cartesian x,y,z, spherical r,φ,θ ]) r 3 sin(θ) dφdrdθ (3.8) T ripleint( x 2 + y 2 + z 2, x, y, z, T ) = T ripleint(r 3 sin(θ), r, θ, φ, S) x2 + y 2 + z 2 dxdydz = r 3 sin(θ) drdθdφ (3.9) T S 45

Cvičení s MAPLE T ripleint(r 3 sin(θ), r, θ, φ, S) = π 2 0 2π cos(θ) 0 0 r 3 sin(θ) dr dφ dθ r 3 sin(θ) drdθdφ = 1 10 π (3.10) S Výsledek vyjádříme i desetinným číslem. evalf(%) 0.3141592654 (3.11) Výpočet necháme rozkrokovat. MultiInt(r 3 sin(θ), r = 0.. cos(θ), φ = 0..2π, θ = 0.. π, output = steps) 2 π 2 2π cos(θ) r 3 sin(θ) dr dφ dθ 0 0 0 = ( π ) 2 2π r 4 sin(θ) 0 0 4 dφ dθ r=0.. cos(θ) with(v ectorcalculus]) : = π 2 0 = π 2 0 = π 2 0 2π sin(θ) cos(θ) 4 ( 0 sin(θ) cos(θ) 4 φ 4 = cos(θ)5 π 10 sin(θ) cos(θ) 4 π dφ dθ 4 ) dθ φ=0..2π dθ 2 θ=0.. π 2 1 π (3.12) 10 int( x 2 + y 2 + z 2, [x, y, z] = Sphere( 0, 0, 1 2, 1 2, [r, φ, θ]), inert ) : % = value(%) 1 2 0 π 0 2π 0 1 2 r2 4r 2 + 4r cos(θ) + 1 sin(θ) dθ dφ dr = 1 10 π (3.13) Příkaz int z balíku V ectorcalculus na sféře při výpočtu používá ještě posunutí. 4. Vypočteme moment setrvačnosti jednotkové homogenní koule vzhledem k přímce jdoucí jejím středem. Kouli K umístíme do počátku, přímka bude osa z a hustota σ(x, y, z) = k. K := sphere([0, 0, 0], 1) : display(k, scaling = constrained, style = patch, axes = normal, view = 1.5..1.5) 46

Trojný integrál v MAPLE Pro moment setrvačnosti pak platí následující vztah. I z = T ripleint (k (x 2 + y 2 ), x, y, z, K) I z = k (x 2 + y 2 ) dxdydz (4.1) Výpočet provedeme pomocí příkazu int. K int(k (x 2 + y 2 ), [x, y, z] = Sphere( 0, 0, 0, 1, [r, φ, θ]), inert ) : % = value(%) 1 π 2π r 2 k( r 2 ( 1 + cos(φ) 2 )) sin(φ) dθ dφ dr 0 0 0 = 1 π 0 0 2r2 k( r 2 ( 1 + cos(φ) 2 )) sin(φ) π dφ dr (4.2) 1 π 0 0 r2 ( r 2 ( 1 + cos(φ) 2 )) sin(φ) dφ dr 4 (4.3) 15 I z = 4 2kπ 15 I z = 8 kπ (4.4) 15 5. Vypočteme hodnotu trojného integrálu z funkce f(x, y, z) = xyz na oboru A : x 2 + y 2 + z 2 1, x 0, y 0, z 0. Integračním oborem je osmina koule se středem v počátku, poloměrem 1, umístěná v 1. oktantu. Výpočet provedeme transformací do sférických souřadnic. H := Int(Int(Int(x y z, x), y), z) x y z dxdydz (5.1) ChangeOfV ariables(h, [cartesian x,y,z, spherical r,φ,θ ]) r 5 cos(φ) sin(θ) 2 sin(φ) cos(θ) sin(θ) dφdrdθ (5.2) T ripleint(r 5 cos(φ) sin(θ) 3 sin(φ) cos(θ), r, θ, φ, B) = π π 2 2 1 0 0 0 r5 cos(φ) sin(θ) 3 sin(φ) cos(θ) dr dφ dθ r 5 cos(φ) sin(θ) 3 sin(φ) cos(θ) drdθdφ = 1 (5.3) 48 B 47

Cvičení s MAPLE Úkol 2. Vyřešte v systému MAPLE následující příklady. 1. Dvojný integrál z funkce f(x, y) = x + 2y na oboru A : x 5, y 2 4 + x. 2. Dvojný integrál z funkce f(x, y) = xy na oboru M : x 2 + y 2 R 2, y 0. 3. Trojný integrál z funkce f(x, y, z) = x 2 + y 2 na oboru D : 0 x 1, 2 y 5, 2 z 4. 4. Trojný integrál z funkce f(x, y, z) = 3z 2 na oboru T : x 2 + y 2 z 2 (x 2 + y 2 ). 5. Trojný integrál z funkce f(x, y, z) = x + y + z na oboru W : x 2 + y 2 + z 2 4, y 0, z 0. 6. Objem tělesa Ω : z x 2 y, z 0, x 2 y + 2 0, x + y 4 0. 48

Křivkový integrál 1. druhu 6 Výpočet křivkového integrálu 1. druhu 1. Křivkový integrál 1. druhu Základní popis a vztahy Int(f(x, y, z), s = gamma..``) Integrační obor γ f(x, y, z) ds (1.1) γ : x = x(t), y = y(t), z = z(t), a t b x = x(t), y = y(t), z = z(t), a t and t b (1.2) Výpočet křivkového integrálu ve skalárním poli převodem na určitý integrál with(student) : Int(f(x, y, z), s = gamma..``) = Lineint(f(x, y, z), x, y, z, t = a..b) γ f(x, y, z) ds = b a f(x(t), y(t), z(t)) ( d dt x(t)) 2 + ( d dt y(t)) 2 + ( d dt z(t)) 2 dt (1.3) Vzorec převodu zapsán pomocí příkazu Lineint z balíku student. 2. Vypočteme hodnotu křivkového integrálu z funkce f(x, y) = x 2 + y 2 na úsečce spojující body P = [1, 1] a Q = [3, 3]. Zobrazení integračního oboru with(plots) : P p := textplot([1.1, 1, P ], font = [TIMES, ROMAN, 14], align={above, RIGHT}) P LOT (...) (2.1) Qq := textplot([3.05, 3.05, Q], font = [TIMES, ROMAN, 14], align={below, RIGHT}) P LOT (...) (2.2) Us := plot([[1, 1], [3, 3]]) P LOT (...) (2.3) Zobrazíme úsečku s krajními body popsanými pomocí příkazu textplot z balíku plots. display(us, P p, Qq) 49

Cvičení s MAPLE Parametrizace a výpočet with(v ectorcalculus) : Výpočet se realizuje pomocí příkazu PathInt z balíku V ectorcalculus. Nejprve nastavíme souřadnice na rovinné zadání. SetCoordinates(cartesian[x, y]) cartesian x,y (2.4) Int(x 2 + y 2, s = gamma..``) = P athint(x 2 + y 2, [x, y] = Line( 1, 1, 3, 3 ), inert ) γ (x2 + y 2 ) ds = 1 0 4(1 + 2t)2 2 dt (2.5) Integračním oborem je úsečka. X = P + (Q P )t, 0 t 1 x(t) := 1 + 2t y(t) := 1 + 2t X = P + (Q P )t, 0 t and t 1 (2.6) t 1 + 2t (2.7) t 1 + 2t (2.8) Takto by se parametrizovala. x(t) 2 + y(t) 2 2(1 + 2t) 2 (2.9) To je vyjádření integrandu. d dt x(t) 2 (2.10) d dt y(t) 2 (2.11) 50

Křivkový integrál 1. druhu To jsou derivace proměnných podle parametru. 22 + 2 2 Mezivýpočet diferenciálu ds. 2 2 (2.12) 1 0 4(1 + 2t)2 2 dt 52 3 2 (2.13) Výpočet vzniklého určitého integrálu. evalf(%) 24.51303507 (2.14) Hodnota výsledku desetinným číslem. 3. Vypočteme hodnotu křivkového integrálu z funkce f(x, y) = x+y na obvodu trojúhelníka s vrcholy O = [0, 0], P = [1, 0], Q = [0, 2]. Zobrazení integračního oboru Oo := textplot([0.05, 0.2, O ], font = [TIMES, ROMAN, 14], align={above, RIGHT}) P LOT (...) (3.1) P p := textplot([1.05, 0.2, P ], font = [TIMES, ROMAN, 14], align={above, RIGHT}) P LOT (...) (3.2) Qq := textplot([0.05, 2.05, Q ], font = [TIMES, ROMAN, 14], align={below, RIGHT}) P LOT (...) (3.3) T roj := plot([[0, 0], [1, 0], [0, 2]], color = black) P LOT (...) (3.4) Zobrazíme trojúhelník s popsanými vrcholy. display(t roj, Oo, P p, Qq) 51

Cvičení s MAPLE Parametrizace a výpočet γ = γ 1 γ 2 γ 3 γ = union(γ 1, γ 2, γ 3 ) (3.5) Obvod se skládá ze 3 stran. γ 1 = OP : x(t) = t, y(t) = 0, 0 t 1 x(t) = t, y(t) = 0, 0 t and t 1 (3.6) Parametrizace a výpočet na straně OP d x(t) = 1, d y(t) = 0, ds = 1 dt dt 2 + 0 2 dt d x(t) = 1, d y(t) = 0, ds = dt (3.7) dt dt Int(x + y, s = OP..``) = Int(t, t = 0..1) OP (x + y) ds = 1 t dt (3.8) 0 1 0 t dt 1 2 (3.9) Parametrizace a výpočet na straně QP γ 2 = QP : x(t) = t, y(t) = 2 2t, 0 t 1 x(t) = t, y(t) = 2 2t, 0 t and t 1 (3.10) d x(t) = 1, d y(t) = 2, ds = 1 dt dt 2 + ( 2) 2 dt d x(t) = 1, d y(t) = 2, ds = 5 dt (3.11) dt dt Int(x + y, s = QP..``) = Int((2 t) 5, t = 0..1) QP (x + y) ds = 1 0 ( t + 2) 5 dt (3.12) 1 0 ( t + 2) 5 dt 3 2 5 (3.13) 52

Křivkový integrál 1. druhu Parametrizace a výpočet na straně OQ γ 3 = OQ : x(t) = 0, y(t) = t, 0 t 2 x(t) = 0, y(t) = t, 0 t and t 2 (3.14) d x(t) = 0, d y(t) = 1, ds = 0 dt dt 2 + 1 2 dt d x(t) = 0, d y(t) = 1, ds = dt (3.15) dt dt Int(x + y, s = OQ..``) = Int(t, t = 0..2) OQ (x + y) ds = 2 t dt (3.16) 0 2 0 t dt 2 (3.17) Součet hodnot integrálu na všech stranách trojúhelníka. 1 + 3 2 2 5 + 2 5 + 3 2 2 5 (3.18) Celkový výsledek. Int(x+y, s = gamma..``) = P athint(x+y, [x, y] = LineSegments( 0, 0, 0, 2, 1, 0, 0, 0 ), inert ) γ (x2 + y 2 ) ds = 1 4t dt + 1 ( t + 2) 5 dt + 1 (1 t) dt (3.19) 0 0 Výpočet pomocí příkazu PathInt na úsečkách používá jinou parametrizaci. 0 1 0 (4t + ( t + 2) 5 + 1 t) dt evalf(%) 5 + 3 2 2 5 (3.20) 5.854101966 (3.21) Hodnota výsledku desetinným číslem. 4. Vypočteme hodnotu křivkového integrálu z funkce f(x, y) = x 2 y na půlkružnici x 2 + y 2 = 4, y 0. Zobrazení integračního oboru x 2 + y 2 = 4 53

Cvičení s MAPLE Obraz celé kružnice. Parametrizujeme dolní půlkružnici. x(t) := 2 cos(t) y(t) := 2 sin(t) t 2 cos(t) (4.1) t 2 sin(t) (4.2) plot([x(t), y(t), t = π..2π], scaling = constrained) Parametrizace a výpočet γ : x(t) = 2 cos t, y(t) = 2 sin t, π t 2π x(t) = 2 cos t, y(t) = 2 sin t, π t and t 2π (4.3) d x(t) = 2 sin(t), d y(t) = 2 cos(t), ds = ( 2 sin(t)) dt dt 2 + (2 cos(t)) 2 dt d x(t) = 2 sin(t), d y(t) = 2 cos(t), ds = 2 sin(t) dt dt 2 + cos(t) 2 dt (4.4) Výpočet derivací a ds. Int(x 2 y, s = gamma..``) = P athint(x 2 y, [x, y] = Arc(Circle( 0, 0, 2), π, 2π, inert ) γ x2 y ds = 2π π 16 cos(t) 2 sin(t) sin(t) 2 + cos(t) 2 dt (4.5) Převod křivkového integrálu na určitý na oblouku kružnice příkazem PathInt. 2π π 16 cos(t) 2 sin(t) dt 32 3 (4.6) 54

Křivkový integrál 1. druhu Výsledek vzniklého určitého integrálu. evalf(%) 10.66666667 (4.7) Jeho desetinná hodnota. 5. Vypočteme hodnotu křivkového integrálu z funkce f(x, y) = x 2 na oblouku grafu funkce y = ln x, 1 x 3. Zobrazení integračního oboru f := x ln(x) x ln(x) (5.1) plot(f, 1..3) Zobrazení oblouku logaritmické křivky. Parametrizace a výpočet γ : x(t) = t, y(t) = ln t, 1 t 3 x(t) = t, y(t) = ln t, 1 t and t 3 (5.2) d dt x(t) = 1, d dt y(t) = 1 t, ds = 1 2 + ( 1 t )2 dt d dt x(t) = 1, d dt y(t) = 1 t, ds = 1 + 1 t 2 dt (5.3) Int(x 2, s = gamma..``) = P athint(x 2, [x, y] = P ath( t, ln t, t = 1..3), inert ) γ x2 ds = 3 1 t2 1 + 1 t 2 dt (5.4) Převod křivkového integrálu na určitý. 55

Cvičení s MAPLE 3 1 t2 1 + 1 t 2 dt evalf(%) 2 3 2 + 10 3 2 5 (5.5) 9.598116489 (5.6) Vyčíslení včetně desetinné hodnoty. 6. Vypočteme hodnotu křivkového integrálu z funkce f(x, y, z) = z2 x 2 +y 2 na na závitu šroubovice x = 2 cos t, y = 2 sin t, z = 2t, 0 t 2π. Zobrazení integračního oboru spacecurve([2 cos(t), 2 sin(t), 2t], t = 0..2π, axes = normal, color = red, thickness = 2) Oblouk šroubovice je zobrazen pomocí příkazu spacecurve z balíku plots. Parametrizace a výpočet γ : x(t) = 2 cos t, y(t) = 2 sin t, z = 2t, 0 t 2π x(t) = 2 cos t, y(t) = 2 sin t, z = 2t, 0 t and t 2π (6.1) (2t) 2 (2 cos(t)) 2 +(2 sin(t)) 2 4t 2 4 cos(t) 2 +4 sin(t) 2 (6.2) Parametrické vyjádření integrandu, které si necháme zjednodušit. simplify(%) t 2 (6.3) d x(t) = 2 sin t, d y(t) = 2 cos t, d z(t) = 2, ds = ( 2 sin(t)) dt dt dt 2 + (2 cos(t)) 2 + 2 2 dt d x(t) = 2 sin t, d y(t) = 2 cos t, d z(t) = 2, ds = 2 sin(t) dt dt dt 2 + cos(t) 2 + 1 dt (6.4) Derivace, diferenciál. 56

Křivkový integrál 1. druhu SetCoordinates(cartesian[x, y, z]) Nastavení souřadnic pro prostorové skalární pole. cartesian x,y,z (6.5) Int( z2, s = gamma..``) = P athint( z2, [x, y, z] = P ath( 2 cos t, 2 sin t, 2t, x 2 +y 2 x 2 +y 2 t = 0..2π), inert ) z 2 ds = 2π 8t 2 sin(t) 2 +cos(t) 2 +1 dt (6.6) γ x 2 +y 2 0 4 cos(t) 2 +4 sin(t) 2 Převod křivkového integrálu na určitý. ( 8t simplify 2 ) sin(t) 2 +cos(t) 2 +1 4 cos(t) 2 +4 sin(t) 2 2t 2 2 (6.7) Zjednodušení integrandu. 2π 2t 2 2 dt 0 16 3 2 π 3 (6.8) Výpočet určitého integrálu a jeho desetinné hodnoty. evalf(%) 233.8639840 (6.9) 7. Vypočteme hodnotu křivkového integrálu z funkce f(x, y, z) = 1 x 2 +y 2 na oblouku křivky γ : r(t) = (e t cos t, e t sin t, e t ), t 0, ln 2. Zobrazení integračního oboru spacecurve([e t cos(t), e t sin(t), e t ], t = 0.. ln(2), axes = boxed, color = red, thickness = 3) Výpočet Int( 1 x 2 +y 2, s = gamma..``) = P athint( 1 x 2 +y 2, [x, y, z] = P ath( e t cos(t), e t sin(t), e t, t = 0.. ln(2), inert ) 57

Cvičení s MAPLE 1 ds = ln(2) (e t ) 2 (cos(t) sin(t)) 2 +(e t ) 2 (sin(t)+cos(t)) 2 +(e t ) 2 dt (7.1) γ x 2 +y 2 0 (e t ) 2 cos(t) 2 +(e t ) 2 sin(t) ( 2 ) (e simplify t ) 2 (cos(t) sin(t)) 2 +(e t ) 2 (sin(t)+cos(t)) 2 +(e t ) 2, assume = positive (e t ) 2 cos(t) 2 +(e t ) 2 sin(t) 2 3 e t (7.2) ln(2) 0 evalf(%) 3 e t dt 1 2 3 (7.3) 0.8660254040 (7.4) 8. Vypočteme hodnotu křivkového integrálu z funkce f(x, y) = x 2 + y 2 na oblouku křivky γ : r(t) = (cos t + t sin t, sin t t cos t), t 0, 2π. Integračním oborem je evolventa kružnice se středem v počátku a poloměrem 1. Jde o dráhu koncového bodu napnuté niti odvíjející se z kružnice. plot([cos(t)+t sin(t), sin(t) t cos(t), t = 0..2π], color = red, legend = Evolventa, thickness = 2) Int(x 2 + y 2, s = gamma..``) = P athint(x 2 + y 2, [x, y] = P ath( cos(t) + t sin(t), sin(t) t cos(t), t = 0..2π, inert ) γ (x2 +y 2 ) ds = 2π ((cos(t) + t sin(t)) 2 + (sin(t) t cos(t)) 2 ) t 0 2 cos(t) 2 + t 2 sin(t) 2 dt (8.1) simplify(((cos(t) + t sin(t)) 2 + (sin(t) t cos(t)) 2 ) t 2 cos(t) 2 + t 2 sin(t) 2, assume = positive) t (1 + t 2 ) (8.2) 2π 0 t (1 + t 2 ) dt 4π 4 + 2π 2 (8.3) evalf(%) 409.3755731 (8.4) 58

Křivkový integrál 1. druhu 7 Aplikace křivkového integrálu 1. druhu 1. Vypočteme délku prostorové křivky γ : x = t sin t, y = 1 cos t, z = 4 sin t/2, 0 t π. Zobrazení integračního oboru with(plots) : Křivku zobrazíme pomocí příkazu spacecurve z balíku plots. spacecurve( [ t sin(t), 1 cos(t), 4 sin ( t 2)], t = 0..π, axes = normal, color = red, thickness = 2, font = [T IMES, ROMAN, 10]) Parametrizace a výpočet with(student) : Délka se počítá křivkovým integrálem z jednotkové funkce. L = Int(1, s = gamma..``) L = γ 1 ds (1.1) γ : x(t) = t sin t, y(t) = 1 cos t, z(t) = 4 sin ( t 2), 0 t π x(t) = t sin t, y(t) = 1 cos t, z(t) = 4 sin ( 1 2 t), 0 t and t π (1.2) Přepis zadání. d x(t) = 1 cos t, d y(t) = sin t, d z(t) = 2 cos ( t dt dt dt 2), ds = = (1 cos(t)) 2 + (sin(t)) 2 + ( 2 cos ( t 2 2)) dt Derivace a diferenciál. d x(t) = 1 cos t, d y(t) = sin t, d z(t) = 2 cos ( 1 t), ds = dt dt dt 2 = (1 cos(t)) 2 + sin(t) 2 + 4 cos ( 1 2 t) 2 dt (1.3) 59

Cvičení s MAPLE ( simplify (1 cos(t)) 2 + sin(t) 2 + 4 cos ( ) 1 t) 2 2 4 (1.4) Úprava výrazu pod odmocninou. with(v ectorcalculus) : Int(1, s = gamma..``) = P athint(1, [x, y, z] = P ath ( t sin t, 1 cos t, 4 sin ( 1 t), t = 0..π ), inert ) 2 γ 1 ds = π (1 cos(t)) 0 2 + sin(t) 2 + 4 cos ( 1 t) 2 2 dt (1.5) Převod křivkového integrálu na určitý. π 0 4 dt 2π (1.6) evalf(%) 6.283185308 (1.7) Výsledek i desetinným číslem. 2. Vypočteme hmotnost tenkého vlákna tvaru čtvrtelipsy x 2 /4 + y 2 = 1, x > 0, y > 0, je-li hustota σ(x, y) = xy. Zobrazení integračního oboru x 2 4 + y2 = 1 Rovnice zadává elipsu. Vzhledem k dalším podmínkám její část v 1. kvadrantu. e1 := plot([2 cos(t), sin(t), t = 0..2π]) P LOT (...) (2.1) 60

e2 := plot ([ 2 cos(t), sin(t), t = 0.. π 2 Po parametrizaci zobrazíme danou čtvrtelipsu. display([e1, e2], scaling = constrained) Křivkový integrál 1. druhu ] ), thickness = 3, color = blue P LOT (...) (2.2) Parametrizace a výpočet m = Int(σ(x, y), s = gamma..``) m = γ σ(x, y) ds (2.3) Hmotnost se počítá jako integrál funkce hustoty. γ : x(t) = 2 cos t, y(t) = sin t, 0 t π 2 x(t) = 2 cos t, y(t) = sin t, 0 t and t 1 2 π (2.4) d x(t) = 2 sin(t), d y(t) = cos(t), ds = ( 2 sin(t)) dt dt 2 + (cos(t)) 2 dt d x(t) = 2 sin(t), d y(t) = cos(t), ds = 4 sin(t) dt dt 2 + cos(t) 2 dt (2.5) Derivace a diferenciál. Int(xy, s = gamma..``) = P athint ( xy, [x, y] = P ath ( 2 cos t, sin t, t = 0.. π 2 ), inert ) γ xy ds = 1 2 π 0 2 cos(t) sin(t) 4 sin(t) 2 + cos(t) 2 dt (2.6) Převod křivkového integrálu na určitý. π 2 0 2 cos(t) sin(t) 4 sin(t) 2 + cos(t) 2 dt 14 9 (2.7) Hodnota i desetinným číslem. evalf(%) 1.555555556 (2.8) Předvedeme ještě druhý způsob výpočtu. 4 sin(t) 2 + cos(t) 2 = 1 + 3 sin(t) 2 4 sin(t) 2 + cos(t) 2 = 1 + 3 sin(t) 2 (2.9) 61

Cvičení s MAPLE Úprava integrandu. ( Int 2 cos(t) sin(t) ) 1 + 3 sin(t) 2, t = 0.. π 2 1 2 π 2 cos(t) sin(t) 1 + 3 sin(t) 0 2 dt (2.10) Výpočet integrálu provedeme substituční metodou pomocí příkazu Change z balíku IntegrationT ools. with(integrationt ools) [ Change, CollapseNested, Combine, Expand, ExpandMultiple, Flip, GetIntegrand, GetOptions, GetParts, GetRange, GetVariable, Parts, Split, StripOptions ] (2.11) Change value(%) ( ( Int 2 cos(t) sin(t) ) ) 1 + 3 sin(t) 2, t = 0.. π, 1 + 3 sin(t) 2 = u 2 u du (2.12) 1 3 4 1 Dospějeme samozřejmě ke stejnému výsledku. 14 9 (2.13) 3. Vypočteme hmotnost tenkého vlákna tvaru půlkružnice x 2 + y 2 = 2x, y > 0, je-li hustota v každém bodě úměrná vzdálenosti od počátku. Zobrazení integračního oboru implicitplot(x 2 + y 2 = 2x, x = 1..2.5, y = 1.5..1.5, gridrefine = 2) Zadanou rovnici upravíme doplněním na čtverec použitím příkazu CompleteSquare z balíku Student[P recalculus]. with(student[p recalculus]) : 62

Křivkový integrál 1. druhu CompleteSquare(x 2 + y 2 2x, x, y) (x 1) 2 + y 2 1 (3.1) Střed kružnice je tedy v bodě [1, 0] a poloměr 1. Po parametrizaci zobrazíme danou půlkružnici. plot([1 + cos(t), sin(t), t = 0..π], scaling = constrained) Parametrizace a výpočet m = Int(σ(x, y), s = gamma..``) m = γ σ(x, y) ds (3.2) Slovní zadání hustoty popíšeme matematicky. σ(x, y) = k x 2 + y 2 σ(x, y) = k x 2 + y 2 (3.3) with(student[m ultivariatecalculus]) : Jinou parametrizaci dostaneme převodem do polárních souřadnic. ChangeOfV ariables(x 2 + y 2 2x, [cartesian x,y, polar r,θ ]) r 2 cos(θ) 2 + r 2 sin(θ) 2 2r cos(θ) (3.4) simplify(%) r( r + 2 cos(θ)) (3.5) Na posunuté kružnici tedy r = 2 cos(θ). γ : x(t) = 2 cos(t) 2, y(t) = 2 sin(t) cos(t), 0 t π 2 x(t) = 2 cos(t) 2, y(t) = 2 sin(t) cos(t), 0 t and t π 2 (3.6) d x(t) = 4 cos(t) sin(t), d y(t) = 2 dt dt cos(t)2 2 sin(t) 2, ds = = ( 4 cos(t) sin(t)) 2 + (2 cos(t) 2 2 sin(t) 2 ) 2 dt d x(t) = 4 cos(t) sin(t), d y(t) = 2 dt dt cos(t)2 2 sin(t) 2, ds = = 16 sin(t) 2 cos(t) 2 + (2 cos(t) 2 2 sin(t) 2 ) 2 dt (3.7) Derivace a diferenciál. 63

Cvičení s MAPLE simplify(16 sin(t) 2 cos(t) 2 + (2 cos(t) 2 2 sin(t) 2 ) 2 ) 4 (3.8) Úprava argumentu odmocniny. (2 cos(t)2 ) 2 + (2 cos(t) sin(t)) 2 Úprava integrandu. 2 cos(t) 4 + cos(t) 2 sin(t) 2 (3.9) simplify(cos(t) 4 + cos(t) 2 sin(t) 2 ) cos(t) 2 (3.10) Int(k x 2 + y 2, s = gamma..``) = P athint(k x 2 + y 2, [x, y] = Arc(Circle ( 1, 0, 1), 0, π, inert ) γ k x 2 + y 2 ds = π 0 k (1 + cos(t) 2 ) 2 + sin(t) 2 sin(t) 2 + cos(t) 2 dt (3.11) Převod křivkového integrálu na určitý pomocí příkazu PathInt používá první parametrizaci s posunutím. simplify((1 + cos(t) 2 ) 2 + sin(t) 2 ) 2 + 2 cos(t) (3.12) Vede to na následující určitý integrál. π 0 k 2 + 2 cos(t) dt 4k (3.13) Při druhé parametrizaci bez posunutí dostaneme další integrál. π 2 0 4k cos(t) dt 4k (3.14) Hodnota výsledku je pochopitelně stejná, k je konstanta úměrnosti. 4. Vypočteme plošný obsah části válcové plochy x 2 + y 2 = 1 4 ohraničené rovinami z = 0 zdola a z = 3y shora. Zobrazení integračního oboru implicitplot3d ([ z = 0, z = 3y, x 2 + y 2 1 4], x = 1..1.5, y = 1..1, z = 0..2, axes = normal, transparency = 0.75, color = [green, blue, red]) 64

Křivkový integrál 1. druhu Zobrazeny roviny a válcová plocha. spacecurve ({[ 1 cos(t), 1 sin(t), 3 sin(t)], [ 1 cos(t), 1 sin(t), 0]}, t = 0..π, color = 2 2 2 2 2 red, axes = normal, thickness = 2) Zobrazena průniková křivka válce a šikmé roviny a řídící křivka, kterou je půlkružnice v půdorysu. Parametrizace a výpočet P = Int([f(x, y) g(x, y)], s = gamma..``) P = [f(x, y) g(x, y)] ds (4.1) γ Vzorec výpočtu. V našem případě f(x, y) = 3y, g(x, y) = 0. 4 x 2 + y 2 = 1, 4 (4.2) Integrační obor a jeho parametrizace. γ : x(t) = 1 cos t, y(t) = 1 sin t, 0 t π 2 2 x(t) = 1 cos t, y(t) = 1 sin t, 0 t and t π (4.3) 2 2 d x(t) = 1 sin(t), d ( y(t) = 1 cos(t), ds = 1 sin(t)) 2 ( dt 2 dt 2 2 + 1 cos(t)) 2 2 dt d x(t) = 1 sin(t), d y(t) = 1 cos(t), ds = 1 dt 2 dt 2 2 sin(t)2 + cos(t) 2 dt (4.4) Derivace a diferenciál. 65

Cvičení s MAPLE Int(3y, s = gamma..``) = P athint(3y, [x, y] = Arc(Circle( 0, 0, 1), 0, π, inert ) 2 γ 3y ds = π 3 sin(t) sin(t) 0 4 2 + cos(t) 2 dt (4.5) Převod křivkového na určitý integrál. π 0 3 4 sin(t) dt 3 2 (4.6) evalf(%) Výsledek. 1.500000000 (4.7) 5. Vypočteme délku asteroidy. Asteroida neboli hvězdice je rovinná křivka, se kterou jsme se seznámili ve 2. kapitole. 3 Dá se popsat implicitně rovnicí x2 + 3 y 2 = 3 a 2, a > 0, nebo parametricky x = a cos 3 t, y = a sin 3 t, t 0, 2π. Díky symetrii můžeme uvažovat jen čtvrtinu asteroidy. Pro výpočet délky křivky platí, jak víme, následující vzorec. L = Int(1, s = gamma..``) L = γ 1 ds (5.1) Křivkový integrál převedeme na jednoduchý určitý integrál. Int(1, s = gamma..``) = P athint(1, [x, y] = P ath ( a cos(t) 3, a sin(t) 3, t = 0.. π 2 ), inert ) γ 1 ds = 1 2 π 0 3 a 2 cos(t) 4 sin(t) 2 + a 2 sin(t) 4 cos(t) 2 dt (5.2) Zjednodušíme integrand. a2 ) simplify( cos(t) 4 sin(t) 2 + a 2 sin(t) 4 cos(t) 2, assume = positive a cos(t) sin(t) (5.3) Vypočteme vzniklý integrál. Protože 0 t π, absolutní hodnotu vynecháme. 2 1 2 π 0 cos(t) sin(t) dt 4 3 a 1 2 1 (5.4) 2 6 a (5.5) Délka celé asteroidy. 66

Křivkový integrál 2. druhu 8 Výpočet křivkového integrálu 2. druhu 1. Křivkový integrál 2. druhu Základní popis a vztahy with(student) : Pro zápis křivkového integrálu vektorové funkce potřebujeme ještě následující balík s nastavením matematické notace. with(p hysics[v ectors]) [ & x, +,., ChangeBasis, Component, Curl, DirectionalDiff, Divergence, Gradient, Identify, Laplacian, Nabla, Norm, Setup, VectorDiff ] (1.1) Setup(mathematicalnotation = true) [mathematicalnotation = true] (1.2) Int(f, r = γ..``) Zápis křivkového integrálu 2. druhu. γ f d r (1.3) f = P (x, y, z) i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k f = P (x, y, z)î + Q(x, y, z)ĵ + R(x, y, z)ˆk (1.4) Vektorová funkce a vektorový diferenciál. dr = dx i + dy j + dz k dr = dx î + dy ĵ + dz ˆk (1.5) Int(f, r = γ..``) = Int(P (x, y, z), x = γ..``) + Int(Q(x, y, z), y = γ..``) + Int(R(x, y, z), z = γ..``) f d r = P (x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz (1.6) γ γ γ γ Vektorový a rozepsaný tvar integrálu. γ := x = x(t), y = y(t), z = z(t), a t b γ := x = x(t), y = y(t), z = z(t), a t b (1.7) Integračním oborem je orientovaná křivka popsaná parametricky. Int(P (x, y, z), x = γ..``) = b P (x(t), y(t), z(t)) d x(t) dt a dt γ P (x, y, z) dx = b P (x(t), y(t), z(t)) ẋ(t) dt (1.8) a Int(Q(x, y, z), y = γ..``) = b Q(x(t), y(t), z(t)) d y(t) dt a dt 67

Cvičení s MAPLE γ Q(x, y, z) dy = b a Q(x(t), y(t), z(t)) ẏ(t) dt (1.9) Int(R(x, y, z), z = γ..``) = b R(x(t), y(t), z(t)) d z(t) dt a dt γ R(x, y, z) dz = b R(x(t), y(t), z(t)) ż(t) dt (1.10) a Výpočet se provádí převodem částí křivkového integrálu na určitý integrál. 2. Vypočteme hodnotu křivkového integrálu z vektorové funkce o složkách P (x, y) = x + y, Q(x, y) = y x na parabole y = x 2, 1 x 2 orientované souhlasně s růstem argumentu. Zobrazení integračního oboru a pole par := plot(x 2, x = 1..2, thickness = 2) P LOT (...) (2.1) vp1 := [x + y, y x] [x + y, y x] (2.2) with(plots) : vekpol1 := fieldplot(vp1, x = 1.1..2.1, y = 1..4.1) P LOT (...) (2.3) sip := arrow([1, 1], [1.1, 1.21], difference = true, color = red, width = 0.04, head width = 0.2) P LOT (...) (2.4) Zobrazíme kousek paraboly, šipkou je dána orientace, i rovinné vektorové pole pomocí příkazu fieldplot z balíku plots. display(par, sip, vekpol1, scaling = constrained) 68

Křivkový integrál 2. druhu Parametrizace a výpočet γ := x = t, y = t 2, 1 t 2 x = t, y = t 2, 1 t and t 2 (2.5) Při parametrizaci paraboly bereme x za parametr. d x(t) = 1, d y(t) = 2t dt dt d Derivace proměnných podle parametru. x(t) = 1, d y(t) = 2t (2.6) dt dt Int(f, r = γ..``) = Int(P (x, y), x = γ..``) + Int(Q(x, y), y = γ..``) f d r = P (x, y) dx + Q(x, y) dy (2.7) γ γ γ Obecný zápis křivkového integrálu v rovinném vektorovém poli. Int(x + y, x = γ..``) = Int(t + t 2, t = 1..2) γ (x + y) dx = 2 1 (t + t2 ) dt (2.8) Int(y x, y = γ..``) = Int((t 2 t) 2t, t = 1..2) γ (y x) dy = 2 1 2(t2 t)t dt (2.9) Převod částí křivkového integrálu na určitý integrál. with(v ectorcalculus) : SetCoordinates(cartesian x,y ) cartesian x,y (2.10) Nastavení souřadnic. LineInt(V ectorf ield( x + y, y x ), P ath( t, t 2, t = 1..2), inert ) 2 1 (t + t2 + 2(t 2 t)t) dt (2.11) Celkový převod křivkového integrálu na určitý pomocí příkazu LineInt z balíku V ectorcalculus. simplify(t + t 2 + 2(t 2 t)t) t t 2 + 2t 3 (2.12) Zjednodušení integrandu. 2 1 (t t2 + 2t 3 ) dt 6 (2.13) Vyčíslení hodnoty integrálu. 69

Cvičení s MAPLE 3. Vypočteme hodnotu křivkového integrálu z vektorové funkce o složkách P (x, y, z) = x, Q(x, y, z) = y, R(x, y, z) = x + y 1 na úsečce s počátečním bodem A[1,1,1] a koncovým bodem B[2,3,4]. Zobrazení integračního oboru a pole Aa := textplot3d([1.1, 1, 1.3, A ], font = [TIMES, ROMAN, 14, BOLD], align= {ABOVE, RIGHT}) P LOT 3D(...) (3.1) Bb := textplot3d([2.01, 3.01, 4.02, B ], font = [TIMES, ROMAN, 14, BOLD], align={below, RIGHT}) P LOT 3D(...) (3.2) Us := spacecurve([[1, 1, 1], [2, 3, 4]], thickness = 3, color = red) P LOT 3D(...) (3.3) vp2 := [x, y, x + y 1] [x, y, x + y 1] (3.4) vekpol2 := fieldplot3d(vp2, x = 0.5..2.1, y = 0.5..3.1, z = 0.5..4.1, grid = [6, 6, 6], thickness = 2) P LOT 3D(...) (3.5) Au := vector([1, 1, 1]) [ 1 1 1 ] (3.6) Bu := vector([2, 3, 4]) [ 2 3 4 ] (3.7) AB := arrow(au, Bu, shape = arrow, difference, color = blue, thickness = 3) P LOT 3D(...) (3.8) Zobrazíme orientovanou úsečku AB v prostoru a zadané prostorové vektorové pole pomocí příkazu fieldplot3d. display({vekpol2, Us, AB, Aa, Bb}, axes = framed) 70

Křivkový integrál 2. druhu Parametrizace a výpočet X = A + (B A)t, 0 t 1 X = A + (B A)t, 0 t 1 (3.9) Klasická parametrizace úsečky s daným počátečním a koncovým bodem. γ = AB : x(t) = 1 + t, y(t) = 1 + 2t, z(t) = 1 + 3t, 0 t 1 x(t) = 1 + t, y(t) = 1 + 2t, z(t) = 1 + 3t, 0 t and t 1 (3.10) d x(t) = 1, d y(t) = 2, d z(t) = 3 dt dt dt ẋ(t) = 1, ẏ(t) = 2, ż(t) = 3 (3.11) Derivace proměnných podle parametru. Int(f, r = γ..``) = Int(P (x, y, z), x = γ..``) + Int(Q(x, y, z), y = γ..``) + Int(R(x, y, z), z = γ..``) f d r = P (x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz (3.12) γ γ γ γ Zápis integrálu v prostorovém vektorovém poli. Int(P (x, y, z), x = γ..``) = Int(1 + t, t = 0..1) γ P (x, y, z) dx = 1 (1 + t) dt (3.13) 0 Int(Q(x, y, z), y = γ..``) = Int((1 + 2t) 2, t = 0..1) γ Q(x, y, z) dy = 1 (2 + 4t) dt (3.14) 0 Int(R(x, y, z), z = γ..``) = Int((1 + 3t) 3, t = 0..1) γ R(x, y, z) dz = 1 (3 + 9t) dt (3.15) 0 Převod částí na určitý integrál. SetCoordinates(cartesian[x, y, z]) cartesian x,y,z (3.16) 71

Cvičení s MAPLE Nastavení prostorových souřadnic. LineInt(V ectorf ield( x, y, x + y 1 ), Line( 1, 1, 1, 2, 3, 4), inert ) (6 + 14t) dt (3.17) 1 0 Celkový převod křivkového integrálu na určitý. 1 0 (6 + 14t) dt 13 (3.18) Výsledná hodnota integrálu. 4. Vypočteme hodnotu křivkového integrálu z vektorové funkce o složkách P (x, y) = 4 y, Q(x, y) = x na cykloidě x = t sin t, y = 1 cos t, 0 t 2π, orientované souhlasně s parametrickým vyjádřením. Zobrazení integračního oboru a pole cyk := plot([t sin(t), 1 cos(t), t = 0..2π], scaling = constrained, thickness = 2) P LOT (...) (4.1) vp3 := [4 y, x] [4 y, x] (4.2) vekpol3 := fieldplot(vp3, x = 0.4..6.5, y = 0.4..2.4) P LOT (...) (4.3) sip1 := arrow([3, 2], [3.2, 2], difference = true, color = red, width = 0.07, head width = 0.25) P LOT (...) (4.4) Zobrazíme oblouk cykloidy orientovaný šipkou a dané rovinné vektorové pole. display({cyk, sip1, vekpol3}, scaling = constrained) Parametrizace a výpočet γ : x(t) = t sin(t), y = 1 cos(t), 0 t 2π x(t) = t sin(t), y = 1 cos(t), 0 t 2π (4.5) 72

Křivkový integrál 2. druhu d x(t) = 1 cos(t), d y(t) = sin(t) dt dt ẋ(t) = 1 cos(t), ẏ(t) = sin(t) (4.6) Derivace. Int(f, r = γ..``) = Int(P (x, y), x = γ..``) + Int(Q(x, y), y = γ..``) f d r = P (x, y) dx + Q(x, y) dy (4.7) γ γ γ Zápis integrálu. Int(4 y, x = γ..``) = Int((4 (1 cos(t)))(1 cos(t)), t = 0..2π) γ (4 y) dx = 2π 0 (3 + cos(t)(1 cos(t))) dt (4.8) Int(x, y = γ..``) = Int((t sin(t)) sin(t), t = 0..2π) γ x dy = 2π 0 (t sin(t)) sin(t) dt (4.9) Převod částí. LineInt(V ectorf ield( 4 y, x ), P ath( t sin(t), 1 cos(t), t = 0..2π), inert ) 2π 0 ((3 + cos(t))(1 cos(t)) + (t sin(t)) sin(t)) dt (4.10) Celkový převod. simplify(((3 + cos(t))(1 cos(t)) + (t sin(t)) sin(t))) 2 2 cos(t) + sin(t) t (4.11) Zjednodušení integrandu. 2π 0 (2 2 cos(t) + sin(t) t) dt evalf(%) 2π (4.12) 6.283185308 (4.13) Výsledek včetně desetinné hodnoty. 5. Vypočteme hodnotu křivkového integrálu z vektorové funkce o složkách P (x, y, z) = x 2, Q(x, y, z) = y, R(x, y, z) = z na oblouku kružnice, který je průnikovou křivkou ploch x 2 + y 2 = z 2, z = 1, x > 0, y > 0, s počátečním bodem A[1,0,1] a koncovým bodem B[0,1,1]. Zobrazení integračního oboru a pole implicitplot3d([x 2 + y 2 = z 2, z = 1], x = 2..2, y = 2..2, z = 0.5..2, axes = boxed, transparency = 0.8, color = [blue, red], orientation = [20, 80], grid = [15, 15, 25]) 73

Cvičení s MAPLE Zobrazena kuželová plocha a rovina. spacecurve ( [cos(t), sin(t), 1], t = 0.. π, axes = normal, color = red, thickness = 3) 2 Integračním oborem je orientovaná čtvrtkružnice. Aa := textplot3d([1.1, 0, 1.1, A ], font = [TIMES, ROMAN, 14, BOLD], align= {ABOVE, LEFT}) P LOT 3D(...) (5.1) Bb := textplot3d([0, 1.1, 1.2, B ], font = [TIMES, ROMAN, 14, BOLD], align= {ABOVE, RIGHT}) P LOT 3D(...) (5.2) obl := spacecurve([cos(t), sin(t), 1], t = 0.. π, color = red, thickness = 4) 2 P LOT 3D(...) (5.3) vekpol4 := fieldplot([x 2, y, z], x = 1..1, y = 1..1, z = 1..1, grid = [5, 5, 5], thickness = 2) P LOT 3D(...) (5.4) Zobrazíme oblouk AB a dané prostorové vektorové pole. display({aa, Bb, obl, vekpol4}, axes = f ramed) 74

Křivkový integrál 2. druhu Parametrizace a výpočet γ : x(t) = cos(t), y(t) = sin(t), z(t) = 1, 0 t π 2 x(t) = cos(t), y(t) = sin(t), z(t) = 1, 0 t and t 1 2 π (5.5) Parametrizace čtvrtkružnice. d x(t) = sin(t), d y(t) = cos(t), d z(t) = 0 dt dt dt d x(t) = sin(t), d y(t) = cos(t), d z(t) = 0 (5.6) dt dt dt Výpočet derivací. Int(f, r = γ..``) = Int(P (x, y, z), x = γ..``) + Int(Q(x, y, z), y = γ..``) + Int(R(x, y, z), z = γ..``) f d r = P (x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz (5.7) γ γ γ γ Zápis integrálu. Int(P (x, y, z), x = γ..``) = Int ( ) cos(t) 2 ( sin(t)), t = 0.. π 2 P (x, y, z) dx = π 2 cos(t) 2 sin(t) dt (5.8) γ 0 Int(Q(x, y, z), y = γ..``) = Int ( ) sin(t) cos(t), t = 0.. π 2 Q(x, y, z) dy = π 2 sin(t) cos(t) dt (5.9) γ 0 Int(R(x, y, z), z = γ..``) = Int ( ) 1 0, t = 0.. π 2 R(x, y, z) dz = π 2 0 dt (5.10) γ 0 Převod částí na určitý integrál. SetCoordinates(cartesian[x, y, z]) cartesian x,y,z (5.11) LineInt ( V ectorf ield( x 2, y, z ), P ath ( ) cos(t), sin(t), 1, t = 0.. π 2, inert ) π 2 ( cos(t) 2 sin(t) + sin(t) cos(t)) dt (5.12) 0 Celkový převod. 75

Cvičení s MAPLE simplify( cos(t) 2 sin(t) + sin(t) cos(t)) sin(t) cos(t)(cos(t) 1) (5.13) Zjednodušení integrandu. with(integrationt ools) [ Change, CollapseNested, Combine, Expand, ExpandMultiple, Flip, GetIntegrand, GetOptions, GetParts, GetRange, GetVariable, Parts, Split, StripOptions ] (5.14) Change ( Int ( ) ) sin(t) cos(t)(cos(t) 1), t = 0.. π 2, cos(t) = u 1 u(u 1) du (5.15) 0 Zavedení substituce pomocí příkazu Change z balíku IntegrationT ools. 1 0 u(1 u) du 1 6 (5.16) evalf(%) Výsledek integrálu. 0.1666666667 (5.17) 6. Vypočteme hodnotu křivkového integrálu z funkce f = (y 2 z 2, 2yz, x 2 ) na oblouku γ : r(t) = (t, t 2, t 3 ), t 0, 1 orientovaném souhlasně s parametrickým vyjádřením. Nastavení souřadnic v prostoru. SetCoordinates(cartesian[x, y, z]) : Zápis zadaného integrálu. Int(f, r = γ..``) = Int(y 2 z 2, x = γ..``) + Int(2 y z, y = γ..``) + Int( x 2, z = γ..``) γ f d r = γ (y2 z 2 ) dx + γ 2 y z dy + γ x2 dz (6.1) Převod křivkového na určitý integrál pomocí příkazu LineInt z balíku V ectorcalculus. LineInt (V ectorf ield( y 2 z 2, 2 y z, x 2 ), P ath ( t, t 2, t 3, t = 0..1), inert ) 1 0 ( 2 t4 + 3 t 6 ) dt (6.2) Výpočet určitého integrálu. 1 0 ( 2 t4 + 3 t 6 ) dt evalf(%) 1 (6.3) 35 0.02857142857 (6.4) 76

Křivkový integrál 2. druhu 9 Aplikace křivkového integrálu 2. druhu 1. Vypočteme práci silového pole F = (y, x) podél horní části elipsy = 1 od bodu A[3,0] do bodu B[-3,0]. x 2 + y2 9 4 Zobrazení integračního oboru a pole with(plots) : el := plot([3 cos(t), 2 sin(t), t = 0..π], thickness = 3) P LOT (...) (1.1) Oblouk elipsy. Aa := textplot([3.3, 0.1, A ], font = [TIMES, ROMAN, 14, BOLD], align = {ABOVE, RIGHT}) P LOT (...) (1.2) Bb := textplot([ 3.3, 0.1, B ], font = [TIMES, ROMAN, 14, BOLD], align = {ABOVE, LEFT}) P LOT (...) (1.3) Počáteční a koncový bod. vp1 := [y, x] [y, x] (1.4) vekpol1 := fieldplot(vp1, x = 3.1..3.1, y = 1..2.5) P LOT (...) (1.5) Rovinné vektorové pole. sip := arrow([0.2, 1.99], [0, 2], difference = true, color = red, width = 0.1, head width = 0.25) P LOT (...) (1.6) Šipka orientace. display(aa, Bb, el, sip, vekpol1, scaling = constrained) 77

Cvičení s MAPLE Parametrizace a výpočet with(student) : with(p hysics[v ectors]) : Setup(mathematicalnotation = true) [mathematicalnotation = true] (1.7) W = Int(F, r = γ..``) W = γ F d r (1.8) Vzorec výpočtu práce. Int(F, r = γ..``) = Int(y, x = γ..``) + Int( x, y = γ..``) F d r = y dx + x dy (1.9) γ γ γ γ : x(t) = 3 cos t, y(t) = 2 sin t, 0 t π x(t) = 3 cos t, y(t) = 2 sin t, 0 t π (1.10) Klasická parametrizace elipsy. d x(t) = 3 sin t, d y(t) = 2 cos t dt dt ẋ(t) = 3 sin t, ẏ(t) = 2 cos t (1.11) Derivace. Int(y, x = γ..``) = Int(2 sin(t) ( 3 sin(t)), t = 0..π) γ y dx = π 0 6 sin(t)2 dt (1.12) Int( x, y = γ..``) = Int( 3 cos(t) 2 cos(t), t = 0..π) γ x dy = π 0 6 cos(t)2 dt (1.13) Převod částí křivkového integrálu na určitý integrál. with(v ectorcalculus) : SetCoordinates(cartesian x,y ) cartesian x,y (1.14) Nastavení souřadnic v rovině. LineInt(V ectorf ield( y, x ), P ath( 3 cos(t), 2 sin(t), t = 0..π), inert ) π 0 ( 6 sin(t)2 6 cos(t) 2 ) dt (1.15) Celkový převod příkazem LineInt. simplify( 6 sin(t) 2 6 cos(t) 2 ) 6 (1.16) 78

Křivkový integrál 2. druhu Zjednodušení integrandu. π 0 6 dt 6π (1.17) evalf(%) 18.84955592 (1.18) Výsledek i desetinným číslem. 2. Vypočteme cirkulaci vektorového pole f = (y(x 2 + 1), x(y 2 1)) podél kladně orientované hranice oblasti Ω : 0 x 1, 0 y 2. Cirkulace je hodnota křivkového integrálu 2. druhu na uzavřené křivce. Zobrazení integračního oboru a pole with(plottools) : l1 := arrow([0, 0], [1, 0], 0.03, 0.09, 0.03, color = red) P OLY GON S([[0., 0.01500000000], [0., 0.01500000000], [0.9700000000, 0.01500000000], [0.9700000000, 0.0150000000]], [[0.9700000000, 0.04500000000], [1., 0.], [0.9700000000, 0.0450000000]], COLOU R(RGB, 1.00000000, 0., 0.), ST Y LE(P AT CHN OGRID)), CU RV ES([[0., 0.01500000000], [0., 0.01500000000], [0.9700000000, 0.01500000000], [0.9700000000, 0.04500000000], [1., 0.], [0.9700000000, 0.04500000000], [0.9700000000, 0.01500000000], [0., 0.01500000000]]) (2.1) l2 := arrow([1, 0], [1, 2], 0.03, 0.09, 0.03, color = red) P OLY GON S([[1.015000000, 0.], [0.9850000000, 0.], [0.9850000000, 1.940000000], [1.015000000, 1.940000000]], [[0.9550000000, 1.940000000], [1., 2.], [1.045000000, 1.940000000]], COLOU R(RGB, 1.00000000, 0., 0.), ST Y LE(P AT CHN OGRID)), CU RV ES([[1.015000000, 0.], [0.9850000000, 0.], [0.9850000000, 1.940000000], [0.9550000000, 1.940000000], [1., 2.], [1.045000000, 1.940000000], [1.015000000, 1.940000000], [1.015000000, 0.]]) (2.2) l3 := arrow([1, 2], [0, 2], 0.03, 0.09, 0.03, color = red) P OLY GON S([[1., 2.015000000], [1., 1.985000000], [0.03000000, 1.985000000], [0.030000000, 2.015000000]], [[0.03000000, 1.955000000], [0., 2.], [0.03000000, 2.045000000]], COLOU R(RGB, 1.00000000, 0., 0.), ST Y LE(P AT CHN OGRID)), CU RV ES([[1., 2.015000000], [1., 1.985000000], [0.03000000, 1.985000000], [0.03000000, 1.955000000], [0., 2.], [0.03000000, 2.045000000], [0.03000000, 2.015000000], [1., 2.015000000]]) (2.3) l4 := arrow([0, 2], [0, 0], 0.03, 0.09, 0.03, color = red) P OLY GON S([[ 0.01500000000, 2.], [0.01500000000, 2.], [0.01500000000, 0.060000000], 79

Cvičení s MAPLE [ 0.0150000000, 0.06000000]], [[0.0450000000, 0.06000000], [0., 0.], [ 0.0450000000, 0.06000000]], COLOU R(RGB, 1.00000000, 0., 0.), ST Y LE(P AT CHN OGRID)), CU RV ES([[ 0.0150000000, 2.], [0.0150000000, 2.], [0.0150000000, 0.06000000], [0.0450000000, 0.06000000], [0., 0.], [ 0.0450000000, 0.06000000], [ 0.0150000000, 0.06000000], [ 0.0150000000, 2.]]) (2.4) Obdélník s orientovanými stranami. vp2 := [y (x 2 + 1), x (y 2 1)] [y (x 2 + 1), x (y 2 1)] (2.5) vekpol2 := fieldplot(vp2, x = 0.5..1.5, y = 0.5..2.5) P LOT (...) (2.6) Rovinné vektorové pole. display({l1, l2, l3, l4, vekpol2}, scaling = constrained) Parametrizace a výpočet γ = γ 1 γ 2 γ 3 γ 4 γ = γ 1 γ 2 γ 3 γ 4 (2.7) Obvod obdélníka je složen ze 4 stran. Strany parametrizujeme přirozeně jedna z proměnných bude parametr. Křivkový integrál na jednotlivých stranách převedeme na určitý. γ 1 = [0, 0], [1, 0] : x(t) = t, y(t) = 0, 0 t 1 x(t) = t, y(t) = 0, 0 t 1 (2.8) d dt x(t) = 1, d dt y(t) = 0 ẋ(t) = 1, ẏ(t) = 0 (2.9) Int(f, r = γ 1..``) = Int(0 t 0, t = 0..1) 1 γ 1 f d r = 0 dt (2.10) 0 80

Křivkový integrál 2. druhu γ 2 = [1, 0], [1, 2] : x(t) = 1, y(t) = t, 0 t 2 x(t) = 1, y(t) = t, 0 t 2 (2.11) d x(t) = 0, d y(t) = 1 dt dt ẋ(t) = 0, ẏ(t) = 1 (2.12) Int(f, r = γ 2..``) = Int(0 + t 2 1, t = 0..2) γ 2 f d r = 2 0 (t2 1) dt (2.13) 2 0 (t2 1) dt 2 (2.14) 3 γ 3 = [1, 2], [0, 2] : x(t) = t, y(t) = 2, 1 t 0 x(t) = t, y(t) = 2, 1 t 0 (2.15) Int(f, r = γ 3..``) = Int(2(t 2 + 1) + 0, t = 1..0) γ 3 f d r = 0 1 (2t2 + 2) dt (2.16) 0 1 (2t2 + 2) dt 8 3 (2.17) γ 4 = [0, 2], [0, 0] : x(t) = 0, y(t) = t, 2 t 0 x(t) = 0, y(t) = t, 2 t 0 (2.18) Int(f, r = γ 4..``) = Int(0 + 0, t = 2..0) 0 γ 4 f d r = 0 dt (2.19) 2 Celkový výsledek. 2 3 8 3 2 (2.20) Jiný postup výpočtu podle Greenovy věty. ( ) Int(f, r = γ..``) = Doubleint Q(x, y) P (x, y), x, y, Ω x y ( f d r = γ x Q(x, y) ) P (x, y) dxdy (2.21) y P := y (x 2 + 1) Ω P := y (x 2 + 1) (2.22) Q := x (y 2 1) Q := x (y 2 1) (2.23) Složky vektorového pole. 81

Cvičení s MAPLE Diff (P, y) = diff (P, y) Diff (Q, x) = diff (Q, x) Parciální derivace a jejich rozdíl. y 2 1 (x 2 + 1) (y y (x2 + 1)) = x 2 + 1 (2.24) (x x (y2 1)) = y 2 1 (2.25) y 2 2 x 2 (2.26) Int(f, r = γ..``) = Doubleint (y 2 2 x 2, x, y, Ω) f ( d r = γ y 2 2 x 2) dxdy (2.27) Převod křivkového integrálu na dvojný integrál. Ω Ω : 0 x 1, 0 y 2 0 x 1, 0 y 2 (2.28) 2 Doubleint (y 2 2 x 2, x, y, Ω) = 1 0 0 (y2 2 x 2 ) dydx ( y 2 2 x 2) dxdy = 2 (2.29) Výsledek, jehož dosažení si můžeme nechat rozkrokovat. with(student[m ultivariatecalculus]) : Ω MultiInt(y 2 2 x 2, y = 0..2, x = 0..1, output = steps) 1 2 0 0 (y2 2 x 2 ) dydx = 1 (( 1 0 3 y3 2y x 2 y ) ) y=0..2 dx ( 4 3 2x2) dx = 1 0 = ( 4 x 2 x3) 3 3 x=0..1 2 (2.30) 3. Vypočteme cirkulaci vektorového pole f = ( x 2 y, xy 2 ) podél kladně orientované kružnice se středem v počátku a poloměrem a. Zobrazení integračního oboru a pole kru := implicitplot(x 2 + y 2 = 1, x = 1.5..1.5, y = 1.5..1.5, thickness = 3, scaling = constrained) P LOT (...) (3.1) 82

Křivkový integrál 2. druhu Kružnici zobrazíme s poloměrem 1. vp3 := [ x 2 y, x y 2 ] [ x 2 y, x y 2 ] (3.2) vekpol3 := fieldplot(vp3, x = 1.5..1.5, y = 1.5..1.5) P LOT (...) (3.3) Zobrazíme dané vektorové pole systém šipek. sipk := arrow([0.1, 1], [0, 1], difference = true, color = red, width = 0.04, head width = 0.1) P LOT (...) (3.4) Šipka udává kladnou orientaci proti směru hodin. display(kru, sipk, vekpol3, scaling = constrained) Parametrizace a výpočet γ : x(t) = a cos t, y(t) = a sin t, 0 t 2π x(t) = a cos t, y(t) = a sin t, 0 t and t 2π (3.5) Klasická parametrizace kružnice. d x(t) = a sin t, d y(t) = a cos t dt dt ẋ(t) = a sin t, ẏ(t) = a cos t (3.6) Derivace. Int( x 2 y, x = γ..``) = Int ( (a cos(t)) 2 a sin(t)( a sin(t)), t = 0..2π) γ x2 y dx = 2π 0 a 4 cos(t) 2 sin(t) 2 dt (3.7) Int(x y 2, y = γ..``) = Int(a cos(t)(a sin(t)) 2 a cos(t), t = 0..2π) γ x y2 dy = 2π 0 a 4 cos(t) 2 sin(t) 2 dt (3.8) 83

Cvičení s MAPLE Převod částí křivkového integrálu na určitý. LineInt(V ectorf ield( x 2 y, x y 2 ), Circle( 0, 0, a), inert ) 2π 0 2a 4 cos(t) 2 sin(t) 2 dt (3.9) Výpočet příkazem LineInt. 2π 0 2a 4 cos(t) 2 sin(t) 2 dt Výsledek. ( Int(f, r = γ..``) = Doubleint f d r = γ Vzorec Greenovy věty. Ω x π a 4 2 (3.10) ) Q(x, y) P (x, y), x, y, Ω y ) dxdy (3.11) ( x Q(x, y) P (x, y) y P := x 2 y P := x 2 y (3.12) Q := x y 2 Q := x y 2 (3.13) Naše složky. Diff (P, y) = diff (P, y) Diff (Q, x) = diff (Q, x) Jejich parciální derivace a rozdíl. y 2 ( x 2 ) y ( x2 y) = x 2 (3.14) (x x y2 ) = y 2 (3.15) y 2 + x 2 (3.16) Převod na dvojný integrál na kruhu. Int(f, r = γ..``) = Doubleint (y 2 + x 2, x, y, Ω) f ( d r = γ y 2 + x 2) dxdy (3.17) Popis integračního oboru v kartézských souřadnicích Ω : a x a, a 2 x 2 y a 2 x 2 a x a, a 2 x 2 y a 2 x 2 (3.18) 84 Ω

Křivkový integrál 2. druhu Popis integračního oboru v polárních souřadnicích Φ : 0 r a, 0 θ 2π H := Int(Int(x 2 + y 2, y), x) 0 r a, 0 θ 2π (3.19) H := (y 2 + x 2 ) dy dx (3.20) ChangeOfV ariables(h, [cartesian x,y, polar r,θ ]) r 3 dr dθ (3.21) Transformace do polárních souřadnic. MultiInt(r 3, r = 0..a, θ = 0..2π, output = steps) 2π a 0 0 r3 dr dθ = ( ) 2π r 4 0 4 dθ r=0..a = 2π a 4 0 dθ 4 Rozkrokovaný výpočet. = a4 θ 4 θ=0..2π int(x 2 + y 2, [x, y] = Circle( 0, 0, a), inert ) : % = value(%) Výpočet příkazem int. a 0 Všechny postupy vedou na stejný výsledek. π a 4 2 (3.22) 2π 0 x 3 dy dx = 1 2 π a4 (3.23) 4. Vypočteme práci silového pole F = (x, y, xz y) na oblouku γ : r(t) = (t 2, 2t, 4t 3 ), t 0, 1 s počátečním bodem A[1,2,4]. Protože parametr bodu A je t = 1, je orientace nesouhlasná s parametrickým vyjádřením. W = Int(x, x = γ..``) Int(y, y = γ..``) Int(x z y, z = γ..``) W = x dx y dy (x z y) dz (4.1) γ γ γ SetCoordinates(cartesian[x, y, z]) : W = LineInt(V ectorf ield( x, y, x z y ), P ath( t 2, 2, 4t 3, t = 1..0), inert ) W = 0 1 (2t3 + 4t + 12 (4t 5 2t) t 2 ) dt (4.2) W = 0 1 (2t3 + 4t + 12 (4t 5 2t) t 2 ) dt 5 2 (4.3) 85

Cvičení s MAPLE 10 Nezávislost na cestě, potenciál v MAPLE 1. Nezávislost na integrační cestě Základní popis a vztahy with(student) : with(p hysics[v ectors]) : Setup(mathematicalnotation = true) [mathematicalnotation = true] (1.1) Vektorové pole. f = P (x, y, z) i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k f = P (x, y, z)î + Q(x, y, z)ĵ + R(x, y, z)ˆk (1.2) Podmínky nezávislosti. Diff (P, y) = Diff (Q, x), Diff (R, x) = Diff (P, z), Diff (Q, z) = Diff (R, y) P = Q, R = P, Q = R (1.3) y x x z z y f = grad U f = grad U (1.4) Výpočet hodnoty integrálu pomocí rozdílu potenciálu v koncovém a počátečním bodě cesty. Int(f, r = γ..``) = U(B) U(A) γ f d r = U(B) U(A) (1.5) 2. Vypočteme práci silového pole F = x i y j podél a) paraboly y = 1 + x2 x 2 +y2 od bodu A[2,5] do bodu B[0,1]; b) úsečky AB. Zobrazení integračního oboru a pole with(plots) : with(plottools) : Parabola. par := plot(1 + x 2, x = 0..2, color = blue, thickness = 2) P LOT (...) (2.1) 86

Křivkový integrál 2. druhu Orientovaná úsečka. us := arrow([2, 5], [0, 1], 0.04, 0.15, 0.04, color = red) P OLY GON S([[1.982111456, 5.008944272], [2.017888544, 4.991055728], [0.097888544, 1.151055728], [0.062111456, 1.168944272]], [[0.147082039, 1.126458980], [0., 1.], [0.012917961, 1.193541020]], COLOU R(RGB, 1.00000000, 0., 0.), ST Y LE(P AT CH N OGRID)), CU RV ES([[1.982111456, 5.008944272], [2.017888544, 4.991055728], [0.097888544, 1.151055728], [0.147082039, 1.126458980], [0., 1.], [0.012917961, 1.193541020], [0.062111456, 1.168944272], [1.982111456, 5.008944272]]) (2.2) Aa := textplot([2.05, 5.05, A ], font = [TIMES, ROMAN, 14, BOLD], align = {ABOVE, RIGHT}) P LOT (...) (2.3) Bb := textplot([ 0.1, 1.4, B ], font = [TIMES, ROMAN, 14, BOLD], align = {BELOW, LEFT}) P LOT (...) (2.4) Rovinné vektorové pole. [ ] vp1 := x, y x 2 +y 2 x 2 +y 2 [ x x, y 2 +y 2 x 2 +y 2 ] (2.5) vekpol1 := fieldplot(vp1, x = 1..2.5, y = 0..5.5) P LOT (...) (2.6) display(aa, Bb, par, us, vekpol1, scaling = constrained) Parametrizace a výpočet W = Int(F, r = γ..``) W = γ F d r (2.7) Vzorec výpočtu práce. 87

Cvičení s MAPLE a) Parabola γ 1 : x(t) = t, y(t) = 1 + t 2, t(a) = 2, t(b) = 0 x(t) = t, y(t) = 1 + t 2, t(a) = 2, t(b) = 0 (2.8) Přirozená parametrizace paraboly, x parametr. d x(t) = 1, d y(t) = 2t dt dt ẋ(t) = 1, ẏ(t) = 2t (2.9) Derivace. ( ) ( ) Int x, x = γ t x 2 +y 2 1..`` = Int, t = 2..0 t 2 +(1+t 2 ) 2 γ 1 x dx = 0 t x 2 +y 2 2 3t dt (2.10) 2 +1+t 4 ( ) ( ) Int y, y = γ x 2 +y 2 1..`` = Int (1+t2 ) 2t, t = 2..0 t 2 +(1+t 2 ) 2 γ 1 y dy = 0 2(1+t2 )t x 2 +y 2 2 3t dt (2.11) 2 +1+t 4 Převod částí křivkového na určitý integrál. with(v ectorcalculus) : SetCoordinates(cartesian x,y ) ( ( LineInt V ectorf ield x Převod příkazem LineInt. ( t simplify Zjednodušení integrandu. x 2 +y 2, 0 ) t 2(1+t2 )t 2 +(1+t 2 ) 2 t 2 +(1+t 2 ) 2 2 cartesian x,y (2.12) ) ) y, P ath( t, 1 + t 2, t = 2..0), inert x 2 +y ( 2 t t 2(1+t2 )t dt (2.13) 2 +(1+t 2 ) 2 t 2 +(1+t 2 ) 2 ) t(3+2t2 ) 3t 2 +1+t 4 (2.14) 0 2 t(3+2t2 ) 3t 2 +1+t 4 dt 29 1 (2.15) Vypočtená hodnota integrálu. with(integrationt ools) : 88

( ( ) Change Int t(3+2t2 ) 3t, t = 2..0 2 +1+t 4 Zavedení substituce. ), 3t 2 + 1 + t 4 = u 29 1 Křivkový integrál 2. druhu 1 u du 2 (2.16) 1 2 29 1 1 u du 29 1 (2.17) evalf(%) 4.385164807 (2.18) Výpočet po substituci a hodnota výsledku desetinným číslem. b) Úsečka γ 2 = AB : x(t) = t, y(t) = 1 + 2t, t(a) = 2, t(b) = 0 x(t) = t, y(t) = 1 + 2t, t(a) = 2, t(b) = 0 (2.19) Přirozená parametrizace úsečky, x parametr. d x(t) = 1, d y(t) = 2 dt dt ẋ(t) = 1, ẏ(t) = 2 (2.20) Derivace. ( ) Int x, x = γ x 2 +y 2 2..`` ( ) t = Int, t = 2..0 t 2 +(1+2t) 2 γ 2 x dx = 0 t x 2 +y 2 2 5t dt (2.21) 2 +1+4t ( ) ( ) Int y, y = γ x 2 +y 2 2..`` = Int (1+2t) 2, t = 2..0 t 2 +(1+2t) 2 γ 2 y dy = 0 x 2 +y 2 2 2 4t 5t dt (2.22) 2 +1+4t Převod částí křivkového integrálu na určitý. ( ) t simplify + 5t 2 +1+4t 2 4t 5t 2 +1+4t 5t+2 5t 2 +1+4t (2.23) Zjednodušení integrandu. ( Change Int ( ) 5t+2, t = 2..0 5t 2 +1+4t ), 5t 2 + 1 + 4t = v 29 1 89 1 v dv 2 (2.24)

Cvičení s MAPLE Substituce vede na stejný integrál jako u paraboly. ( ( ) ) LineInt V ectorf ield x, y, Line( 2, 5, 0, 1 ), inert x 2 +y 2 x 2 +y ( 2 1 2(2 2t) (2 2t) + 4(5 4t) dt (2.25) 2 +(5 4t) 2 0 ( simplify t + 5t 2 +1+4t ( ( Change Int ) 2 4t 5t 2 +1+4t (2 2t) 2 +(5 4t) 2 ) ) 4( 6+5t) 29 48t+20t 2, t = 0..1 29 1 4( 6+5t) 29 48t+20t 2 (2.26) ), 29 48t + 20t 2 = w 1 w dw 2 (2.27) Příkaz LineInt vede na jiný integrál, neboť používá jinou (klasickou) parametrizaci. Složitější integrand po substituci však dá známý stejný integrál. Obdržíme tedy stejný výsledek integrálu na parabole i úsečce. Proto přichází v úvahu nezávislost hodnoty integrálu na integrační cestě. P := Q := x x 2 +y 2 P := x x 2 +y 2 (2.28) y x 2 +y 2 Q := y x 2 +y 2 (2.29) Složky zadaného vektorového pole. Diff (P, y) = diff (P, y) y ( ) x x 2 +y 2 = xy (x 2 +y 2 ) 3/2 (2.30) Diff (Q, x) = diff (Q, x) x ( ) y x 2 +y 2 = xy (x 2 +y 2 ) 3/2 (2.31) Výpočet parciálních derivací. Splnění podmínky P y = Q x pro rovinné pole garantuje existenci potenciálu. V našem případě na oblasti mimo počátek platí nezávislost. Potenciál U určíme pomocí příkazu potential z balíku linalg. with(linalg) [ BlockDiagonal, GramSchmidt, JordanBlock, LUdecomp, QRdecomp, Wronskian, addcol, addrow, adj, adjoint, angle, augment, backsub, band, basis, bezout, blockmatrix, charmat, charpoly, cholesky, col, coldim, colspace, colspan, companion, concat, 90

Křivkový integrál 2. druhu cond, copyinto, crossprod, curl, definite, delcols, delrows, det, diag, diverge, dotprod, eigenvals, eigenvalues, eigenvectors, eigenvects, entermatrix, equal, exponential, extend, ffgausselim, fibonacci, forwardsub, frobenius, gausselim, gaussjord, geneqns, genmatrix, grad, hadamard, hermite, hessian, hilbert, htranspose, ihermite, indexfunc, innerprod, intbasis, inverse, ismith, issimilar, iszero, jacobian, jordan, kernel, laplacian, leastsqrs, linsolve, matadd, matrix, minor, minpoly, mulcol, mulrow, multiply, norm, normalize, nullspace, orthog, permanent, pivot, potential, randmatrix, randvector, rank, ratform, row, rowdim, rowspace, rowspan, rref, scalarmul, singularvals, smith, stackmatrix, submatrix, subvector, sumbasis, swapcol, swaprow, sylvester, toeplitz, trace, transpose, vandermonde, vecpotent, vectdim, vector, wronskian ] (2.32) potential(vp1, [x, y], U ) U true (2.33) x 2 + y 2 (2.34) Nalezený potenciál. x x 2 +y 2 dx x 2 + y 2 (2.35) y x 2 +y 2 dy x 2 + y 2 (2.36) Ruční výpočet sjednocením výsledků integrace. ( ( ) ) Change Int x, x, z = x 2 + y 2, z x 2 +y 2 ( ) 1 2 dz (2.37) z ( ) 1 2 dz z Integrace pomocí substituce. z (2.38) Int(f, r = γ..``) = U(B) U(A) γ f d r = x(b) 2 + y(b) 2 + x(a) 2 + y(a) 2 (2.39) Výpočet křivkového integrálu rozdílem hodnot potenciálu v koncovém a počátečním bodě. x(a) = 2, y(a) = 5, x(b) = 0, y(b) = 1 91

Cvičení s MAPLE x(a) = 2, y(a) = 5, x(b) = 0, y(b) = 1 (2.40) 0 2 + 1 2 + 2 2 + 5 2 1 + 29 (2.41) Stejný výsledek nezávislý na integrační cestě. 3. Vypočteme hodnotu křivkového integrálu z vektorové funkce o složkách P (x, y) = 2xy, Q(x, y) = x 2 + 9y 2 od bodu A[-1,-2] do bodu B[2,3]. Zobrazení integračního oboru a pole Ao := plot( 1 2, style = point, symbol = circle, symbolsize = 12) Ao := P LOT (...) (3.1) Bo := plot( 2 3, style = point, symbol = circle, symbolsize = 12) Bo := P LOT (...) (3.2) Body A, B jako kolečka. At := textplot([ 0.95, 2.05, A ], font = [TIMES, ROMAN, 14, BOLD], align = {BELOW, LEFT}) At := P LOT (...) (3.3) Bt := textplot([2.05, 3.05, B ], font = [TIMES, ROMAN, 14, BOLD], align = {BELOW, RIGHT}) Bt := P LOT (...) (3.4) Popis bodů písmeny. vp2 := [2x y, x 2 + 9y 2 ] vp2 := [2x y, x 2 + 9y 2 ] (3.5) vekpol2 := fieldplot(vp2, x = 1.5..2.5, y = 2.5..3.5) vekpol2 := P LOT (...) (3.6) Rovinné vektorové pole šipek. display(ao, At, Bo, Bt, vekpol2, scaling = constrained) 92

Křivkový integrál 2. druhu Výpočet P := 2x y 2x y (3.7) Q := x 2 + 9y 2 x 2 + 9y 2 (3.8) Složky pole. Diff (P, y) = diff (P, y) Diff (Q, x) = diff (Q, x) Splněna podmínka nezávislosti. potential(vp2, [x, y], V ) V y (2x y) = 2x (3.9) x (x2 + 9y 2 ) = 2x (3.10) true (3.11) x 2 y + 3y 3 (3.12) 2x y dx x 2 y (3.13) (x 2 + 9y 2 ) dy x 2 y + 3y 3 (3.14) Výpočet potenciálu V příkazem i sjednocením výsledku integrálů. Int(f, r = γ..``) = V (B) V (A) γ f d r = x(b) 2 y(b) + 3 y(b) 3 x(a) 2 y(a) 3 y(a) 3 (3.15) 93

Cvičení s MAPLE x(a) = 1, y(a) = 2, x(b) = 2, y(b) = 3 x(a) = 1, y(a) = 2, x(b) = 2, y(b) = 3 (3.16) 2 2 3 + 3 3 3 ( 1) 2 ( 2) 3 ( 2) 3 Hodnota daného integrálu rozdílem hodnot potenciálu. 119 (3.17) 4. Vypočteme hodnotu křivkového integrálu z vektorové funkce o složkách P (x, y, z) = 2xy, Q(x, y, z) = x 2 z, R(x, y, z) = 1 y od bodu A[1,0,0] do bodu B[2,-1,3]. Zobrazení integračního oboru a pole Aa := textplot3d([1.1, 0.1, 0.3, A ], font = [TIMES, ROMAN, 14, BOLD], align = {ABOVE, RIGHT}) P LOT 3D(...) (4.1) Bb := textplot3d([2.01, 1.01, 3.02, B ], font = [TIMES, ROMAN, 14, BOLD], align = {BELOW, RIGHT}) P LOT 3D(...) (4.2) body := pointplot3d([1, 0, 0], [2, 1, 3], color = [black, black], symbol = circle, symbolsize = 4, thickness = 15) P LOT 3D(...) (4.3) Zobrazení bodů. vp3 := [2x y, x 2 z, 1 y] [2x y, x 2 z, 1 y] (4.4) vekpol3 := fieldplot3d(vp3, x = 0.5..2.5, y = 1.5..1, z = 0.5..3.1, grid = [6, 6, 6], thickness = 2) P LOT 3D(...) (4.5) Zobrazení prostorového vektorového pole. display(aa, Bb, body, vekpol3, axes = f ramed) 94

Křivkový integrál 2. druhu Výpočet P := 2x y Q := x 2 z R := 1 y 2x y (4.6) x 2 z (4.7) 1 y (4.8) Složky zadaného vektorového pole. Diff (P, y) = diff (P, y) Diff (Q, x) = diff (Q, x) Diff (R, x) = diff (R, x) Diff (P, z) = diff (P, z) Diff (Q, z) = diff (Q, z) y (2x y) = 2x (4.9) x (x2 z) = 2x (4.10) x z (1 y) = 0 (4.11) (2x y) = 0 (4.12) z (x2 z) = 1 (4.13) Diff (R, y) = diff (R, y) y (1 y) = 1 (4.14) Výpočet potřebných parciálních derivací. Ověření splnění 3 podmínek pro prostorové pole zaručující existenci potenciálu. 95

Cvičení s MAPLE potential(vp3, [x, y, z], U ) U true (4.15) x 2 y z y + z (4.16) 2x y dx x 2 y (4.17) (x 2 z) dy (x 2 z) y (4.18) (1 y) dz (1 y) z (4.19) Potenciál U vypočten příkazem potential a potvrzen sjednocením výsledků integrálů. Int(f, r = γ..``) = U(B) U(A) γ f d r = x(b) 2 y(b) z(b)y(b) + z(b) x(a) 2 y(a) + z(a)y(a) z(a) (4.20) x(a) = 1, y(a) = 0, z(a) = 0, x(b) = 2, y(b) = 1, z(b) = 3 x(a) = 1, y(a) = 0, z(a) = 0, x(b) = 2, y(b) = 1, z(b) = 3 (4.21) 2 2 ( 1) 3 ( 1) + 3 1 2 0 + 0 0 + 0 2 (4.22) Výpočet křivkového integrálu rozdílem hodnot potenciálu. 5. Vypočteme práci silového pole F = ( 1, 1, ) x+y z z z na cestě z bodu A[1,-3,1] 2 do bodu B[4,-6,8]. Vzorec výpočtu práce. W = Int(F, r = γ..``) W = γ F d r (5.1) Zadání pole. vp4 := [ 1, 1, ] x+y z z z 2 vp4 := [ 1, 1, ] x+y z z z 2 (5.2) potential(vp4, [x, y, z], V ) true (5.3) Výpočet potenciálu. 96

Křivkový integrál 2. druhu V W = V (B) V (A) Práce rozdílem potenciálu. 4 + 6 1 3 8 8 1 1 evalf(%) x + y (5.4) z z W = x(b) z(b) + y(b) z(b) x(a) z(a) y(a) z(a) (5.5) 7 (5.6) 4 1.750000000 (5.7) Výsledek i desetinným číslem. 6. Vypočteme hodnotu křivkového integrálu z vektorové funkce o složkách P (x, y, z) = xz y 2, Q(x, y, z) = yz x 2, R(x, y, z) = xy z 2 od bodu A[1,1,1] do bodu B[2,-1,-4]. vp5 := [x z y 2, y z x 2, x y z 2 ] [x z y 2, y z x 2, x y z 2 ] (6.1) potential(vp5, [x, y, z], U ) false (6.2) Zadané vektorové pole není potenciální. Ukážeme, že nejsou splněny podmínky rovnosti parciálních derivací. P := x z y 2 x z y 2 (6.3) Q := y z x 2 y z x 2 (6.4) Diff (P, y) = diff (P, y) (x z y y2 ) = 2y (6.5) Diff (Q, x) = diff (Q, x) (y z x x2 ) = 2x (6.6) Takže hodnota integrálu závisí na integrační cestě. Pro výpočet je třeba cestu znát, nestačí jen počáteční a koncový bod. 97

Cvičení s MAPLE Úkol 3. Vyřešte v systému MAPLE následující příklady. 1. Křivkový integrál z funkce f(x, y) = x 2 y na oboru γ : obvod ABC, A[ 1, 0], B[1, 0], C[0, 2]. 2. Křivkový integrál z funkce f(x, y, z) = x + y na oboru γ : x = cos t, y = sin t, z = 2t, t 0, π. 3. Křivkový integrál z vektorové funkce f = (3 xy y 3, y 2 2xy) na kladně orientovaném obvodu čtverce s vrcholy A[0, 0], B[1, 0], C[1, 1], D[0, 1]. 4. Křivkový integrál z vektorové funkce f = r (pole radiusvektorů bodů) na oboru γ : x = cos t, y = sin t, z = 2t, z bodu A(t = 0) do bodu B(t = 2π). 5. Křivkový integrál z vektorové funkce f = (y 2 + 2xy, x 2 + 2xy + z, y + 3) na cestě z bodu A[1, 0, 0] do bodu B[1, 0, 4π]. 98

Plošný integrál 11 Plošný integrál v MAPLE 1. Plošný integrál Plošný integrál 1. druhu with(student) : Int(f(x, y, z), S =``(S)..``) u = f(x, y, z) (S) f(x, y, z) ds (1.1) u = f(x, y, z) (1.2) Skalární funkce zadávající skalární pole. with(p hysics[v ectors]) : Setup(mathematicalnotation = true) [mathematicalnotation = true] (1.3) (S) : r (u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) Ω r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), in(u, v, Ω) (1.4) Integrační obor, plocha daná parametricky. Int(f(x, y, z), S =``(S)..``) = Doubleint(f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) r (u, v) u r (u, v), u, v, Ω) v f(x, y, z) ds = f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) (S) u r(u, v) r(u, v) v dudv(1.5) (S) : z = g(x, y), (x, y) A Ω z = g(x, y), in(x, y, A) (1.6) Plocha daná explicitně funkcí. ( Int(f(x, y, z), S =``(S)..``) = Doubleint f(x, y, g(x, y)) 1 + (z x ) 2 + (z y ) 2, x, ) y, A f(x, y, z) ds = f(x, y, g(x, y)) 1 + z (S) x 2 + zy 2 dxdy (1.7) Výpočet se provádí převodem na dvojný integrál. Plošný integrál 2. druhu Int(f, S =``(S )..``) A 99

Cvičení s MAPLE (S) f ds (1.8) f = P (x, y, z) i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k f = P (x, y, z)î + Q(x, y, z)ĵ + R(x, y, z)ˆk (1.9) Vektorová funkce zadávající vektorové pole. (S ) : r (u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) Ω r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), in(u, v, Ω) (1.10) Integrační obor - orientovaná plocha daná parametricky. Int(f, S =``(S )..``) = Doubleint (( f. r (u, v)&x r (u, v)), u, v, Ω ) ( u v (S) f ds = f u r(u, v) ) r(u, v) dudv (1.11) v Výpočet se provádí převodem na dvojný integrál. Ω 2. Vypočteme hodnotu plošného integrálu z funkce f(x, y, z) = z x 2 +y 2 +1 na závitu šroubového konoidu x = u cos v, y = u sin v, z = v, 0 u 1, 0 v 2π. Zobrazení integračního oboru plot3d([u cos(v), u sin(v), v], v = 0..2π, u = 0..1, axes = boxed) Výpočet with(v ectorcalculus) : 100

Plošný integrál ( ) z SurfaceInt, [x, y, z] =Surface( u cos(v), u sin(v), v, u = 0..1, v = 0..2π) x 2 +y 2 +1 2 π 2 (2.1) Plošný integrál 1. druhu počítáme pomocí příkazu SurfaceInt z balíku V ectorcalculus. ( z SurfaceInt, [x, y, z] =Surface( u cos(v), u sin(v), v, u = 0..1, v = 0..2π), x 2 +y 2 +1 ) output = integral ( v simplify 1 2π v sin(v) 2 +cos(v) 2 +(cos(v) 2 u+sin(v) 2 u) 2 dv du (2.2) 0 0 u 2 cos(v) 2 +u 2 sin(v) 2 +1 ) sin(v) 2 +cos(v) 2 +(cos(v) 2 u+sin(v) 2 u) 2 u 2 cos(v) 2 +u 2 sin(v) 2 +1 v (2.3) Doubleint(v, u, v, Ω) = 1 2π v dv du 0 0 v dudv = 2 π 2 (2.4) Ω evalf(2 π 2 ) 19.73920881 (2.5) Podrobnosti převodu plošného integrálu na dvojný a jeho vyčíslení. 3. Vypočteme hodnotu plošného integrálu z funkce f(x, y, z) = xyz 2 na části kuželové plochy z = x 2 + y 2, 0 x 2, 0 y 1. Zobrazení integračního oboru plot3d( x2 + y 2, x = 0..2, y = 0..1, axes =framed, transparency = 0.85, color = ) red 101

Cvičení s MAPLE Výpočet ( ( SurfaceInt x y z 2, [x, y, z] =Surface x, y, x 2 + y 2, [x, y] = Rectangle(0..2, )) 0..1) 5 2 2 (3.1) Nejprve přímý výpočet, dále detailnější rozbor. ( ( SurfaceInt x y z 2, [x, y, z] =Surface x, y, x 2 + y 2, [x, y] = Rectangle(0..2, )) 0..1), output = integral ( simplify 1 + x2 + x 2 +y 2 ) y2 x 2 +y 2 1 2 x y 0 0 (x2 + y 2 ) 1 + x2 + y2 dx dy (3.2) x 2 +y 2 x 2 +y 2 2 (3.3) Úprava argumentu odmocniny. Doubleint( 2 x y (x 2 + y 2 ), x, y, A) = 1 2 0 0 2 x y (x 2 + y 2 ) dx dy 2 x y (x 2 + y 2 ) dxdy = 5 2 (3.4) 2 Ještě rozkrokování výpočtu. A with(student[m ultivariatecalculus]) : MultiInt( 2 x y (x 2 + y 2 ), y = 0..1, x = 0..2, output = steps) 2 1 0 0 2 x y (x 2 + y 2 ) dy dx = ( 2 2x ( 1 0 4 y4 + 1 2 x2 y 2) y=0..1 )dx = ( 2x 2 + ) 2x 3 dx 0 4 2 ( 2x 2 = + ) 2x 4 8 8 x=0..2 5 2 2 (3.5) evalf(%) 3.535533905 (3.6) 102

Plošný integrál 4. Vypočteme hodnotu plošného integrálu z vektorové funkce o složkách P (x, y, z) = yz, Q(x, y, z) = zx, R(x, y, z) = xy na části roviny x + y + z = 1 v 1. oktantu orientované nahoru. Zobrazení integračního oboru a pole with(plots) : troj := implicitplot3d(x+y+z = 1, x = 0..1.1, y = 0..1.1, z = 0..1.1, transparency = 0.7, color = red) troj := P LOT 3D(...) (4.1) vp1 := [y z, z x, x y] vp1 := [y z, z x, x y] (4.2) vekpol1 := fieldplot3d(vp1, x = 0.1..1.1, y = 0.1..1.1, z = 0.1..1.1, grid = [8, 8, 8], thickness = 3) vekpol1 := P LOT 3D(...) (4.3) display({troj, vekpol1}, axes = boxed) Parametrizace a výpočet x = u, y = v, z = 1 u v Ω : 0 u 1, 0 v 1 u x = u, y = v, z = 1 u v (4.4) 0 u and u 1, 0 v and v 1 u (4.5) F lux(v ectorf ield( y z, z x, x y, cartesian x,y,z ),Surface( u, v, 1 u v, u = 0..1, v = 0..1 u)) 1 8 (4.6) Plošný integrál 2. druhu počítáme pomocí příkazu Flux z balíku V ectorcalculus. 103

Cvičení s MAPLE with(linearalgebra) [ &x, Add, Adjoint, BackwardSubstitute, BandMatrix, Basis, BezoutMatrix, BidiagonalForm, BilinearForm, CARE, CharacteristicMatrix, CharacteristicPolynomial, Column, ColumnDimension, ColumnOperation, ColumnSpace, CompanionMatrix, ConditionNumber, ConstantMatrix, ConstantVector, Copy, CreatePermutation, Cross- Product, DARE, DeleteColumn, DeleteRow, Determinant, Diagonal, DiagonalMatrix, Dimension, Dimensions, DotProduct, EigenConditionNumbers, Eigenvalues, Eigenvectors, Equal, ForwardSubstitute, FrobeniusForm, GaussianElimination, GenerateEquations, GenerateMatrix, Generic, GetResultDataType, GetResultShape, GivensRotationMatrix, GramSchmidt, HankelMatrix, HermiteForm, HermitianTranspose, HessenbergForm, HilbertMatrix, HouseholderMatrix, IdentityMatrix, IntersectionBasis, IsDefinite, IsOrthogonal, IsSimilar, IsUnitary, JordanBlockMatrix, JordanForm, KroneckerProduct, LA Main, LUDecomposition, LeastSquares, Linear- Solve, LyapunovSolve, Map, Map2, MatrixAdd, MatrixExponential, MatrixFunction, MatrixInverse, MatrixMatrixMultiply, MatrixNorm, MatrixPower, MatrixScalarMultiply, MatrixVectorMultiply, MinimalPolynomial, Minor, Modular, Multiply, NoUserValue, Norm, Normalize, NullSpace, OuterProductMatrix, Permanent, Pivot, PopovForm, QRDecomposition, RandomMatrix, RandomVector, Rank, RationalCanonicalForm, ReducedRowEchelonForm, Row, RowDimension, RowOperation, Row- Space, ScalarMatrix, ScalarMultiply, ScalarVector, SchurForm, SingularValues, SmithForm, StronglyConnectedBlocks, SubMatrix, SubVector, SumBasis, SylvesterMatrix, SylvesterSolve, ToeplitzMatrix, Trace, Transpose, TridiagonalForm, UnitVector, VandermondeMatrix, VectorAdd, VectorAngle, VectorMatrixMultiply, VectorNorm, VectorScalarMultiply, ZeroMatrix, ZeroVector, Zip ] (4.7) u r (u, v) e x e z (4.8) v r (u, v) e y e z (4.9) Vektory parciálních derivací. CrossP roduct ( u r (u, v), v r (u, v)) 1 1 1 (4.10) Jejich vektorový součin pomocí příkazu CrossProduct z balíku LinearAlgebra. P (x, y, z) = y z, Q(x, y, z) = z x, R(x, y, z) = x y P (x, y, z) = y z, Q(x, y, z) = z x, R(x, y, z) = x y (4.11) P (u, v) = v (1 u v), Q(u, v) = u (1 u v), R(u, v) = u v P (u, v) = v (1 u v), Q(u, v) = u (1 u v), R(u, v) = u v (4.12) 104

Plošný integrál Vyjádření složek vektorové funkce pomocí parametrů. vf1 := V ectorf ield( v (1 u v), u (1 u v), u v ) (v (1 u v))ē x + (u (1 u v))ē y + (u v)ē z (4.13) vf2 := V ectorf ield( 1, 1, 1 ) DotP roduct(vf1, vf2) ē x + ē y + ē z (4.14) v (1 u v) + u (1 u v) + u v (4.15) Skalární součin vektorových polí dané vektorové funkce a vektorového součinu parciálních derivací pomocí příkazu DotProduct z balíku LinearAlgebra. F lux(v ectorf ield( y z, z x, x y, cartesian x,y,z ),Surface( u, v, 1 u v, u = 0..1, v = 0..1 u), output = integral) 1 1 u (v (1 u v) + u (1 u v) + u v) dv du (4.16) 0 0 Převod plošného integálu na dvojný integrál. MultiInt(v (1 u v)+u (1 u v)+u v, v = 0..1 u, u = 0..1, output = steps) 1 1 u (v (1 u v) + u (1 u v) + u v) dv du 0 0 = ( ( 1 v3 + (1 u)v2 + u ( ) v=0..1 u) v uv 1v2) + uv2 du 0 3 2 2 2 ( (1 u) 3 = ) 1 + u(1 u) 2 du 0 6 ) = ( (1 u)4 + u4 2u3 + u2 24 4 3 2 u=0..1 1 (4.17) 8 evalf(%) 0.1250000000 (4.18) Rozkrokovaný výpočet dvojného integrálu s výsledkem. 5. Vypočteme tok vektorového pole f = (xy 2, yz, x 2 z) vně uzavřenou plochou válce x 2 + y 2 = 4, z = 1, z = 3. Tok je hodnota plošného integrálu 2. druhu na dané ploše. Zobrazení integračního oboru a pole valec := implicitplot3d([z = 1, z = 3, x 2 + y 2 = 4], x = 3..3, y = 3..3, z = 0.5..3.5, transparency = 0.8, color = [gold, gold, red]) 105

Cvičení s MAPLE valec := P LOT 3D(...) (5.1) vp2 := [x y 2, y z, x 2 z] vp2 := [x y 2, y z, x 2 z] (5.2) vekpol2 := fieldplot3d(vp2, x = 2.5..2.5, y = 2.5..2.5, z = 0.5..3.5, grid = [8, 8, 8], thickness = 3) vekpol2 := P LOT 3D(...) (5.3) display({valec, vekpol2}, axes = boxed) Výpočet Int(f, S =``(S )..``) = T ripleint(divf, x, y, z, V ) (S) f ds = divf dxdydz (5.4) Gaussova-Ostrogradského věta pro výpočet toku uzavřenou plochou. V f := V ectorf ield ( x y 2, y z, x 2 z ) Nabla.f f := (x y 2 )ē x + (y z)ē y + (x 2 z)ē z (5.5) y 2 + z + x 2 (5.6) Výpočet divergence daného vektorového pole pomocí příkazu Nabla z balíku P hysics [V ectors]. G := Int(Int(Int(y 2 + z + x 2, x), y), z) (y 2 + z + x 2 ) dxdydz (5.7) Převod plošného integrálu na trojný integrál. 106

Plošný integrál V : 2 x 2, 4 x 2 y 4 x 2, 1 z 3 2 x 2, 4 x 2 y 4 x 2, 1 z 3 (5.8) Popis integračního oboru v kartézských souřadnicích. W : 0 r 2, 0 θ 2π, 1 z 3 0 r 2, 0 θ 2π, 1 z 3 (5.9) Popis integračního oboru v cylidrických souřadnicích. ChangeOfVariables(G, [cartesian x,y,z, cylindrical r,θ,z ]) (r 2 + z) r drdθdz (5.10) Transformace do cylindrických souřadnic. T ripleint((r 2 + z) r, r, θ, z, W ) = 2 0 2π 3 0 1 (r2 + z) r dz dθ dr (r 2 + z) r drdθdz = 32 π (5.11) Výpočet ještě rozkrokujeme. W MultiInt((r 2 + z) r, z = 1..3, r = 0..2, θ = 0..2π, output = steps) 2π 2 3 0 0 1 (r2 + z) r dz dr dθ = 2π 2 (r ( ) r 2 z + 12 z2) 0 0 z=1..3 dr dθ = 2π 2 (4r + 0 0 2r3 ) dr dθ Výsledek vyjádříme desetinným číslem. = 2π 0 = 2π 16 dθ 0 = 16 θ ( (2r 2 + 1 2 r4) r=0..2 ) dθ θ=0..2π 32 π (5.12) evalf(%) 100.5309649 (5.13) 107

Cvičení s MAPLE 12 Diferenciální rovnice 1. řádu v MAPLE 1. Vypočteme obecné řešení diferenciální rovnice y = 1 (4y 1). x Zápis zadání DR1 := diff (y(x), x) = 1 (4 y(x) 1) x d 4 y(x) 1 y(x) = (1.1) dx x V diferenciálních rovnicích je nutné psát y jako funkci proměnné x. Stanovení typu with(detools, odeadvisor) [odeadvisor] (1.2) Pro určení typu diferenciální rovnice slouží rádce spuštěný příkazem odeadviser z balíku DEtools. odeadvisor(dr1) [ separable] (1.3) Jde tedy o separovatelnou rovnici. Obecné řešení dsolve(dr1) y(x) = 1 4 + x4 C1 (1.4) Řešení vypočteme příkazem dsolve. C1 je integrační konstanta. 2. Vypočteme řešení diferenciální rovnice y = x + y splňující podmínku y(0) = 1 a nakreslíme směrové pole dané rovnice. Zápis zadání DR2 := diff (y(x), x) = x + y(x) d y(x) = x + y(x) (2.1) dx Rovnice a počáteční podmínka. P P 2 := y(0) = 1 y(0) = 1 (2.2) 108

Diferenciální rovnice Stanovení typu odeadvisor(dr2) [ [ linear, class A] ] (2.3) Jde o lineární rovnici. Obecné řešení dsolve(dr2) y(x) = 1 x + e x C1 (2.4) Partikulární řešení dsolve({dr2, P P 2}) y(x) = 1 x + 2 e x (2.5) Partikulární řešení dostaneme, když zadáme kromě rovnice i počáteční podmínku. Směrové pole with(detools) [ AreSimilar, DEnormal, DEplot, DEplot3d, DEplot polygon, DFactor, DFactor- LCLM, DFactorsols, Dchangevar, FunctionDecomposition, GCRD, Gosper, Heunsols, Homomorphisms, IVPsol, IsHyperexponential, LCLM, MeijerGsols, MultiplicativeDecomposition, ODEInvariants, PDEchangecoords, PolynomialNormalForm, RationalCanonicalForm, ReduceHyperexp, RiemannPsols, Xchange, Xcommutator, Xgauge, Zeilberger, abelsol, adjoint, autonomous, bernoullisol, buildsol, buildsym, canoni, caseplot, casesplit, checkrank, chinisol, clairautsol, constcoeffsols, convertalg, convertsys, dalembertsol, dcoeffs, de2diffop, dfieldplot, diff table, diffop2de, dperiodic sols, dpolyform, dsubs, eigenring, endomorphism charpoly, equinv, eta k, eulersols, exactsol, expsols, exterior power, firint, firtest, formal sol, gen exp, generate ic, genhomosol, gensys, hamilton eqs, hypergeomsols, hyperode, indicialeq, infgen, initialdata, integrate sols, intfactor, invariants, kovacicsols, leftdivision, liesol, line int, linearsol, matrixde, matrix riccati, maxdimsystems, moser reduce, muchange, mult, mutest, newton polygon, normalg2, ode int y, ode y1, odeadvisor, odepde, parametricsol, particularsol, phaseportrait, poincare, polysols, power equivalent, rational equivalent, ratsols, redode, reduceorder, reduce order, regular parts, regularsp, remove RootOf, riccati system, riccatisol, rifread, rifsimp, rightdivision, rtaylor, separablesol, singularities, solve group, super reduce, symgen, symmetric power, symmetric product, symtest, transinv, translate, untranslate, varparam, zoom ] (2.6) Směrové pole vytvoříme pomocí příkazu DEplot z balíku DEtools. Jedná se o množinu lineárních elementů diferenciální rovnice y = f(x, y), tj. šipek se středem v bodě [x, y] a směrnicí y (x). 109

Cvičení s MAPLE DEplot(DR2, y(x), x = 3..1.8, [y(0) = 1], colour = grey, linecolor = red) Červeně je v obrázku vyznačeno partikulární řešení úlohy. Tečna v každém bodě obsahuje příslušný lineární element. 3. Vypočteme obecné řešení diferenciální rovnice (x cos 2y+1)dx x 2 sin 2ydy = 0. Zápis zadání DR3 := x cos(2y(x)) + 1 x 2 sin(2y(x)) diff(y(x), x) = 0 x cos(2y(x)) + 1 x 2 sin(2y(x)) ( d dx y(x)) = 0 (3.1) Rovnici je potřeba zapsat ve tvaru obsahujícím derivaci funkce y. Stanovení typu odeadvisor(dr3) [ exact] (3.2) Jde o exaktní rovnici. Obecné řešení dsolve(dr3) ( ) y(x) = 1 π 1 arccos (2(x+ C1) 2 2 x 2 Pomocí příkazu dsolve získáme řešení v explicitním tvaru. (3.3) 110

Diferenciální rovnice Následuje simulace ručního výpočtu rezultující v řešení v implicitním tvaru. P := x cos(2y) + 1 Q := x 2 sin(2y) Diff (P, y) = diff (P, y) Diff (Q, x) = diff (Q, x) Ověření exaktnosti: P y = Q x. y x cos(2y) + 1 (3.4) x 2 sin(2y) (3.5) (x cos(2y) + 1) = 2x sin(2y) (3.6) x ( x2 sin(2y)) = 2x sin(2y) (3.7) with(linalg) : potential ([x cos(2y) + 1, x 2 sin(2y)], [x, y], U ) true (3.8) Výpočet kmenové funkce příkazem potential z balíku linalg. U Obecné řešení v implicitním tvaru 1 2 x2 cos(2y(x)) + x = C Kmenová funkce = konstantě. 1 2 x2 cos(2y) + x (3.9) 1 2 x2 cos(2y(x)) + x = C (3.10) 4. Vypočteme řešení diferenciální rovnice y = (2y + 1) cotg x splňující počáteční podmínku y(π/4) = 1/2 a vytvoříme animaci soustavy integrálních čar. Zápis zadání DR4 := diff (y(x), x) = (2y(x) + 1) cot x y(x) = (2y(x) + 1) cot x (4.1) d dx Funkce kotangens se zapisuje zkratkou cot. P P 4 := y( π 4 ) = 1 2 y( 1 4 π) = 1 2 (4.2) 111

Cvičení s MAPLE Stanovení typu odeadvisor(dr4) Obecné řešení [ separable] (4.3) dsolve(dr4) Vypočtené řešení si necháme zjednodušit. y(x) = 1 2 C1 cos(2x) 1 2 + 1 2 C1 (4.4) expand(subs(cos(x) 2 = 1 sin(x) 2, expand(%))) y(x) = C1 sin(x) 2 1 2 (4.5) Partikulární řešení dsolve({dr4, P P 4}) y(x) = cos(2x) + 1 2 (4.6) expand(subs(cos(x) 2 = 1 sin(x) 2, expand(%))) y(x) = 1 2 + 2 sin(x)2 (4.7) Dva tvary partikulárního řešení vycházející z různých tvarů obecného řešení se dají převést jeden na druhý. Definiční obor těchto funkcí představujících partikulární řešení dané rovnice je interval (0, π), protože funkce kotangens ze zadání není definována v celočíselných násobcích π. Animace Animace je složena z několika grafů, které se po spuštění zobrazí v posloupnosti za sebou. Vytvoříme ji pomocí příkazu animate z balíku plots. Parametr frames udává celkový počet snímků a trace počet křivek, které zůstanou kromě poslední zobrazeny po skončení animace. ( with(plots) : animate plot, [ C sin(x) 2 1, x = 5 π.. ] 5 π 2 4 4, C = 3..3, trace = 6, ) frames = 50 112

Diferenciální rovnice Výchozí stav po zadání příkazu. Animaci spustíme kliknutím pravým tlačítkem myši na obrázek a v kontextové nabídce zvolíme Animation, Play. Stav po skončení animace. I zde vytvořené funkce, aby byly řešením dané rovnice, musí být v π, 0, π přerušeny. 5. Vypočteme obecné řešení diferenciální rovnice x y + y ln x = y ln y. Zápis zadání DR5 := x diff (y(x), x) + y(x) ln x = y(x) ln y(x) x ( d dx y(x)) + y(x) ln x = y(x) ln y(x) (5.1) Stanovení typu odeadvisor(dr5) [ [ homogeneous, class A], dalembert ] (5.2) Jde o homogenní rovnici, která má obecně tvar y = f ( y x). Při ručním řešení ji pomocí substituce y = u převedeme na rovnici se separovanými proměnnými. x Obecné řešení dsolve(dr5) simplify ( ) x e 1 e C1 x y(x) = x (5.3) e 1 e C1 x x e 1 C1 x (5.4) Jednodušší tvar hledaného řešení. 113

Cvičení s MAPLE 13 Diferenciální rovnice n-tého řádu v MAPLE 1. Vypočteme řešení diferenciální rovnice y + 11y + 30y = 0 splňující podmínky y(0) = 2, y (0) = 4. Zápis zadání DR1 := diff (y(x), x, x) + 11 diff (y(x), x) + 30 y(x) = 0 d 2 y(x) + 11 ( d y(x)) + 30 y(x) = 0 (1.1) dx 2 dx Derivace neznámé funkce y proměnné x zapisujeme pomocí diferenciálů. P P 1 := y(0) = 2, D(y)(0) = 4 y(0) = 2, D(y)(0) = 4 (1.2) U rovnice 2. řádu jsou dvě počáteční podmínky. Určení typu with(detools, odeadvisor) odeadvisor(dr1) [odeadvisor] (1.3) [ [ 2nd order, missing x] ] (1.4) Přesněji jde o homogenní lineární rovnici 2. řádu. Obecné řešení dsolve(dr1) y(x) = C1 e 5x + C2 e 6x (1.5) Obecné řešení obsahuje dvě integrační konstanty. Partikulární řešení dsolve({dr1, P P 1}) y(x) = 16 e 5x 14 e 6x (1.6) Partikulární řešení má díky počátečním podmínkám konkrétní hodnoty integračních konstant. 2. Vypočteme řešení diferenciální rovnice y + 4y + 3y = e x sin x splňující podmínky y(0) = 1, y (0) = 0. 114

Diferenciální rovnice Zápis zadání DR2 := diff (y(x), x, x) + 4 diff (y(x), x) + 3 y(x) = e x sin(x) d 2 y(x) + 4 ( d y(x)) + 3 y(x) = e x sin(x) (2.1) dx 2 dx P P 2 := y(0) = 1, D(y)(0) = 0 Určení typu y(0) = 1, D(y)(0) = 0 (2.2) odeadvisor(dr2) [ [ 2nd order, linear, nonhomogeneous] ] (2.3) Jde o nehomogenní lineární rovnici 2. řádu se speciální pravou stranou. Obecné řešení dsolve(dr2) Partikulární řešení y(x) = e x C2 + e 3x C1 + 1 85 ex ( 6 cos(x) + 7 sin(x)) (2.4) dsolve({dr2, P P 2}) y(x) = 8 5 e x 9 17 e 3x + 1 85 ex ( 6 cos(x) + 7 sin(x)) (2.5) Ručně bychom řešili metodou neurčitých koeficientů. 3. Vypočteme řešení diferenciální rovnice y 2y + y = ex x. Zápis zadání DR3 := diff (y(x), x, x) 2 diff (y(x), x) + y(x) = ex x d 2 y(x) 2 ( d y(x)) + y(x) = ex (3.1) dx 2 dx x Určení typu odeadvisor(dr3) [ [ 2nd order, linear, nonhomogeneous] ] (3.2) Jde o nehomogenní lineární rovnici 2. řádu s obecnou pravou stranou. Obecné řešení dsolve(dr3) y(x) = e x C2 + e x x C1 + e x x ( 1 + ln(x)) (3.3) Ručně bychom řešili metodou variace konstant. 115

Cvičení s MAPLE 4. Vypočteme řešení diferenciální rovnice y 2y y + 2y = sin x splňující podmínky y(0) = y (0) = 1, y (0) = 0. Zápis zadání DR4 := diff (y(x), x, x, x) 2 diff ( (y(x), x, ) x) diff (y(x), x) + 2 y(x) = sin(x) d 3 d y(x) 2 2 y(x) ( d y(x)) + 2 y(x) = sin(x) (4.1) dx 3 dx 2 dx P P 4 := y(0) = 1, D(y)(0) = 1, D(D(y))(0) = 0 y(0) = 1, D(y)(0) = 1, D (2) (y)(0) = 0 (4.2) U rovnice 3. řádu jsou tři počáteční podmínky. Určení typu odeadvisor(dr4) [ [ 3rd order, linear, nonhomogeneous] ] (4.3) Jde o nehomogenní lineární rovnici 3. řádu se speciální pravou stranou. Obecné řešení dsolve(dr4) y(x) = 1 10 cos(x) + 1 5 sin(x) + C1 ex + e x C2 + C3 e 2x (4.4) Obecné řešení obsahuje tři integrační konstanty. Partikulární řešení dsolve({dr2, P P 2}) y(x) = 1 10 cos(x) + 1 5 sin(x) + 5 4 ex 1 12 e x 4 15 e2x (4.5) Ručně bychom řešili metodou neurčitých koeficientů. 5. Vypočteme řešení diferenciální rovnice y + 4y = 3 cos x + 6 sin x splňující podmínky y(0) = 0, y(π/4) = 2/2. Zápis zadání DR5 := diff (y(x), x, x) + 4 y(x) = 3 cos x + 6 sin(x) d 2 dx 2 y(x) + 4 y(x) = 3 cos(x) + 6 sin(x) (5.1) OP 5 := y(0) = 0, y ( ) π 4 = 2 2 y(0) = 0, y ( 1 4 π) = 1 2 2 (5.2) 116

Diferenciální rovnice Máme zadané okrajové podmínky. Určení typu odeadvisor(dr5) [ [ 2nd order, linear, nonhomogeneous] ] (5.3) Jde o nehomogenní lineární rovnici 2. řádu se speciální pravou stranou. Obecné řešení dsolve(dr5) y(x) = sin(2x) C2 + cos(2x) C1 + cos(x) + 2 sin(x) (5.4) Partikulární řešení dsolve({dr5, OP 5}) y(x) = sin(2x) 2 cos(2x) + cos(x) + 2 sin(x) (5.5) Řešení okrajového problému. 6. Vypočteme řešení diferenciální rovnice y (4) + 2y + 5y = 0. Zápis zadání DR6 := diff (y(x), x, x, x, x) + 2 diff (y(x), ( x, x, ) x) + 5( diff (y(x), ) x, x) = 0 d 4 d y(x) + 2 3 d y(x) + 5 2 y(x) = 0 (6.1) dx 4 dx 3 dx 2 Určení typu odeadvisor(dr6) [ [ high order, missing x] ] (6.2) Přesněji jde o homogenní lineární rovnici 4. řádu. Obecné řešení dsolve(dr6) y(x) = C1 + C2 x + C3 e x sin(2x) + C4 e x cos(2x) (6.3) Obecné řešení obsahuje čtyři integrační konstanty. 117

Cvičení s MAPLE Úkol 4. Vyřešte v systému MAPLE následující příklady. 1. Plošný integrál z funkce f(x, y, z) = xyz na části roviny x + y + z = 1 v 1. oktantu. 2. Hodnota toku polohového vektoru horní stranou úseku hyperbolického paraboloidu z = xy + 1 nad jednotkovým čtvercem. 3. Partikulární řešení diferenciální rovnice y = 2 y za podmínky y(1) = 1. 4. Obecné řešení diferenciální rovnice y y ( x = exp x 1 ). 2 x 5. Obecné řešení diferenciální rovnice (2x + 5y) dx + (5x + 4y) dy = 0. 6. Obecné řešení diferenciální rovnice y 3y + 3y y + 3 = cos x + exp ( x). 7. Partikulární řešení diferenciální rovnice y + y = 6x za podmínek y(0) = 0, y (0) = 1, y (0) = 1. 118

Řešení úkolů Řešení úkolů Úkol 1. 1. Kubická parabola f := x x 3 x x 3 (1) plot(f, 3..3, 6..6, title = Kubická parabola, titlefont = [HELVETICA, 10], thickness = 3, gridlines, labels = [x, y], labelfont = [HELVETICA, 10]) 2. Hyperbola g := x 1 x x 1 x (2) plot(g, 4..4, 4..4, discont = true, title = Hyperbola, titlefont= [Helvetica, 10], thickness = 3, gridlines, labels = [x, y], labelfont= [Helvetica, 10]) 119

Cvičení s MAPLE 3. Kardioida x := t (1 + cos(t)) cos(t) y := t (1 + cos(t)) sin(t) t (1 + cos(t)) cos(t) (3) t (1 + cos(t)) sin(t) (4) plot([x(t), y(t), t = 0..2π], 0.5..2.5, 1.5..1.5, thickness = 3, title = Kardioida, titlefont= [Helvetica, 10], labels = [x, y], labelfont= [Helvetica, 10], gridlines) Graf při parametrickém zadání. with(plots) : polarplot(1 + cos(θ), θ = 0..2π, thickness = 3) Graf při zadání v polárních souřadnicích. 120

Řešení úkolů 4. Šroubovice spacecurve([3 cos(t), 3 sin(t), 2t], t = 0..4π, axes = framed, color = red, thickness = 3, title = Šroubovice, titlefont = [Helvetica, 10]) 5. Elipsoid ( x implicitplot3d 2 + y2 + z2 = 1, x = 5..5, y = 3..3, z = 2..2, axes = 25 9 4 boxed, grid = [20, 20, 20], color = red, scaling ) = constrained, title = Elipsoid, titlefont = [Helvetica, 10], transparency = 0.35 6. Anuloid plot3d([(2+cos(v)) cos(u), (2+cos(v)) sin(u), sin(v)], u = 0..2π, v = 0..2π, axes = framed, color = red, scaling = constrained, title = Anuloid, titlefont = [Helvetica, 10], transparency = 0.35) 121

Cvičení s MAPLE 7. Parabolický válec implicitplot3d(y 2 = 2x, x = 1..3, y = 2..2, z = 1..5, axes = normal, title = Parabolický válec, titlefont = [Helvetica, 10], transparency = 0.85) 8. Hyperbolický paraboloid implicitplot3d(12z = 3x 2 4y 2, x = 8..8, y = 8..8, z = 6..10, axes = framed, style=patchcontour, grid=[50, 50, 50], color = red, title = Hyperbolický paraboloid, titlefont = [Helvetica, 10], transparency = 0.85) 122

Řešení úkolů Úkol 2. 1. Dvojný integrál z funkce f(x, y) = x + 2y na oboru A : x 5, y 2 4 + x. Zobrazení integračního oboru solve({x = 5, y 2 = 4 + x}) {x = 5, y = 3}, {x = 5, y = 3} (1.1) Průsečíky přímky a paraboly. with(plots) : p1 := implicitplot(x = 5, x = 5..6, y = 3.5..3.5, color = black, thickness = 2) P LOT (...) (1.2) 2) p2 := implicitplot(y 2 = 4 + x, x = 5..6, y = 3.5..3.5, color = red, thickness = P LOT (...) (1.3) p3 := implicitplot(y 2 4 + x, x = 5..5, y = 3.5..3.5, coloring = [cyan, white], filled = true, view = [ 5..6, 3.5..3.5]) P LOT (...) (1.4) display(p1, p2, p3) Popis integračního oboru A : 3 y 3, y 2 4 x 5 3 y and y 3, y 2 4 x and x 5 (1.5) Výpočet integrálu f(x, y) dxdy na A with(student) : 123

Cvičení s MAPLE Doubleint(x + 2y, x, y, A) = 3 5 3 y 2 4 with(student[m ultivariatecalculus]) : (x + 2y) dx dy (x + 2y) dxdy = 252 5 A (1.6) MultiInt(x + 2y, x = y 2 4..5, y = 3..3, output = steps) 3 5 (x + 2y) dx dy 3 y 2 4 = ( 3 ( 1 3 2 x2 + 2yx ) ) x=y dy 2 4..5 = ( ) 3 25 (y2 4) 2 + 2y( y 2 + 9) dy 3 2 2 = ( 9 2 y 1 10 y5 + 4 3 y3 1 2 y4 + 9y 2) y= 3..3 252 5 (1.7) evalf(%) 50.40000000 (1.8) 2. Dvojný integrál z funkce f(x, y) = xy na oboru M : x 2 + y 2 R 2, y 0. Zobrazení integračního oboru plot( 1 x 2, x = 1..1, y = 0..1, filled = true, view = [ 1.2..1.2, 0.4..1.2], color = cyan, scaling = constrained) R jsme zvolili 1. Popis integračního oboru v kartézských souřadnicích M : R x R, 0 y R 2 x 2 R x and x R, 0 y and y R 2 x 2 (2.1) 124

Řešení úkolů Popis integračního oboru v polárních souřadnicích N : 0 r R, 0 θ π 0 r and r R, 0 θ and θ π (2.2) plot(1, x = 0..π, y = 0..1, filled = true, color = pink, scaling = constrained, view = [ 1..4, 1..2], labels = [ theta, r ]) Opět je R=1. Obdélník je zobrazen jako výplň konstantní funkce. Výpočet integrálu f(x, y) dxdy na M R 2 x 2 Doubleint( x y, x, y, M) = R xy dy dx R 0 ( ({ R 1 x y dxdy = R 2 x R 2 + x 2 0 x ) R + 2 2 x 2 < 0 R 2 1 otherwise ({ M 2x 2 0 x )) R 2 x 2 < 0 dx (2.3) 1 otherwise Výpočet v kartézských souřadnicích nevede k výsledku. Výpočet integrálu f(x, y) dxdy transformací H := Int(Int( x y, y), x) x y dy dx (2.4) ChangeOfV ariables(h, [cartesian x,y, polar r,θ ]) r 3 cos(θ) sin(θ) dr dθ (2.5) Doubleint(r 3 cos(θ) sin(θ), r, θ, N) = π R 0 0 r3 cos(θ) sin(θ) dr dθ r 3 cos(θ) sin(θ) drdθ = 1 4 R4 (2.6) M 125

Cvičení s MAPLE MultiInt(r 3 cos(θ) sin(θ), r = 0..R, θ = 0..π, output = steps) π R 0 0 r3 cos(θ) sin(θ) dr dθ = ( ) π r 4 cos(θ) sin(θ) 0 4 dθ r=0..r = π cos(θ) sin(θ) R 4 dθ 0 4 = R4 signum(cos(θ) sin(θ)) cos(θ) 2 Transformace do polárních souřadnic umožní výsledku dosáhnout. 8 θ=0..π 1 4 R4 (2.7) 3. Trojný integrál z funkce f(x, y, z) = x 2 + y 2 na oboru D : 0 x 1, 2 y 5, 2 z 4. Zobrazení integračního oboru P LOT 3D(P OLY GONS([[0, 2, 2], [1, 2, 2], [1, 5, 2], [0, 5, 2]], [[0, 2, 2], [0, 5, 2], [0, 5, 4], [0, 2, 4]], [[1, 2, 2], [1, 5, 2], [1, 5, 4], [1, 2, 4]], [[0, 2, 2], [1, 2, 2], [1, 2, 4], [0, 2, 4]], [[0, 5, 2], [1, 5, 2], [1, 5, 4], [0, 5, 4]], [[0, 2, 4], [1, 2, 4], [1, 5, 4], [0, 5, 4]]), AXESST Y LE(F RAME), V IEW ( 0.5..1.5, 1..6, 1..5)) implicitplot3d([x, x 1, y 2, y 5, z 2, z 4], x = 0..1, y = 2..5, z = 2..4, axes = boxed, scaling = constrained) 126

Řešení úkolů with(plottools) : display(cuboid([0, 2, 2], [1, 5, 4]), scaling = constrained) Uvedeno několik možností zobrazení kvádru, který je integračním oborem. Výpočet integrálu f(x, y, z) dxdydz na D T ripleint(x 2 + y 2, x, y, z, D) = 1 0 5 2 4 2 (x2 + y 2 ) dz dy dx D (x 2 + y 2 ) dxdydz = 80 (3.1) MultiInt(x 2 + y 2, z = 2..4, y = 2..5, x = 0..1, output = steps) 1 5 4 0 2 2 (x2 + y 2 ) dz dy dx = 1 ( ) 5 (x 2 + y 2 ) z 0 2 dy dx z=2..4 = 1 5 0 2 (2x2 + 2y 2 ) dy dx = ( 1 (2x ) 2 y + 2y3) 0 3 y=2..5 dx = 1 0 (6x2 + 78) dx = (2x 3 + 78x) x=0..1 80 (3.2) 4. Trojný integrál z funkce f(x, y, z) = 3z 2 na oboru T : x 2 + y 2 z 2 (x 2 + y 2 ). Zobrazení integračního oboru plot3d([x 2 +y 2, 2 x 2 y 2 ], x = 1.2..1.2, y = 1.2..1.2, axes = boxed, transparency = 0.75, color = [white, red], orientation = [20, 80]) 127

Cvičení s MAPLE T je těleso ohraničené plochami dvou rotačních paraboloidů. Popis integračního oboru v kartézských souřadnicích x 2 + y 2 = 2 x 2 y 2 x 2 + y 2 = 2 x 2 y 2 (4.1) x 2 + y 2 = 1 x 2 + y 2 = 1 (4.2) Průsečnice ploch je kružnice. implicitplot(x 2 + y 2 1, x = 1..1, y = 1..1, filled = true, view = [ 1.2..1.2, 1.2..1.2], coloring = [cyan, white]) Průmětem do půdorysny je kruh se středem v počátku a poloměrem 1. T : 1 x 1, 1 x 2 y 1 x 2, x 2 + y 2 z 2 (x 2 + y 2 ) 1 x and x 1, 1 x 2 y and y 1 x 2, x 2 + y 2 z and z 2 x 2 y 2 (4.3) 128

Řešení úkolů Popis integračního oboru v cylindrických souřadnicích W : 0 r 1, 0 θ 2π, r 2 z 2 r 2 0 r and r 1, 0 θ and θ 2π, r 2 z and z 2 r 2 (4.4) Výpočet integrálu f(x, y, z) dxdydz na T T ripleint(3z 2, x, y, z, T ) = 1 1 1 x 2 1 x 2 2 (x 2 +y 2 ) x2 +y 2 3z 2 dz dy dx T 3z 2 dxdydz = 7 2 π (4.5) Rozkrokováním bychom viděli, že výpočet v kartézských souřadnicích je dlouhý a komplikovaný. Výpočet integrálu f(x, y, z) dxdydz transformací G := Int(Int(Int(3z 2, x), y), z) 3z 2 dxdydz (4.6) ChangeOfV ariables(g, [cartesian x,y,z, cylindrical r,θ,z ]) z r 3 drdθdz (4.7) T ripleint(3z 2, x, y, z, T ) = T ripleint(3z 2 r, r, θ, z, W ) 3z 2 dxdydz = 3z 2 r drdθdz (4.8) T W T ripleint(3z 2 r, r, θ, z, W ) = 1 2π 0 0 2 r 2 3z 2 r dz dθ dr r 2 3z 2 r drdθdz = 7 2 π (4.9) Po transformaci do cylindrických souřadnic je výpočet už snadný. MultiInt(3z 2 r, z = r 2..2 r 2, r = 0..1, θ = 0..2π, output = steps) 2π 1 2 r 2 3z 2 r dz dr dθ 0 0 r 2 = 2π ( ) 1 z 3 r 0 0 dr dθ z=r 2..2 r 2 = 2π ( ) 1 r (2 r 2 ) 3 r 6 dr dθ 0 0 W 129

Cvičení s MAPLE evalf(%) = ( 2π ( 1 0 4 r8 + r 6 3r 4 + 4r 2) ) r=0..1 dθ = 2π 0 = 7θ 4 7 dθ 4 θ=0..2π 7 π (4.10) 2 10.99557429 (4.11) 5. Trojný integrál z funkce f(x, y, z) = x + y + z na oboru W : x 2 + y 2 + z 2 4, y 0, z 0. Zobrazení integračního oboru implicitplot3d([x 2 + y 2 + z 2 4, y, z], x = 2..2, y = 2..2, z = 2..2, axes = boxed, transparency = 0.75, color = [white, red, blue]) Integračním oborem je čtvrtina koule se středem v počátku a poloměrem 2. Popis integračního oboru v kartézských souřadnicích plot( 4 x 2, x = 2..2, y = 0..2, filled = true, view = [ 2.5..2.5, 0.5..2.5], color = cyan, scaling = constrained) 130

K := Int(Int(Int(x + y + z, x), y), z) (x + y + z) dxdydz (5.5) Řešení úkolů Průmětem do půdorysny je půlkruh. W : 2 x 2, 0 y 4 x 2, 0 z 4 x 2 y 2 2 x and x 2, 0 y and y 4 x 2, 0 z and z 4 x 2 y 2 (5.1) Popis integračního oboru ve sférických souřadnicích ChangeOfV ariables(x + y + z, [cartesian x,y,z, spherical r,φ,θ ]) r cos(φ) sin(θ) + r sin(φ) sin(θ) + r cos(θ) (5.2) T : 0 r 2, 0 θ π, 0 φ π 2 0 r and r 2, 0 θ and θ π, 0 φ and φ π (5.3) 2 Výpočet integrálu f(x, y, z) dxdydz na W 4 x 2 T ripleint(x + y + z, x, y, z, W ) = 2 2 0 Přímý výpočet je velmi náročný. Výpočet integrálu f(x, y, z) dxdydz transformací W 4 x 2 y 2 0 (x + y + z) dz dy dx (x + y + z) dxdydz = 4 π (5.4) ChangeOfV ariables(k, [cartesian x,y,z, spherical r,φ,θ ]) r 3 (cos(φ) sin(θ) + sin(φ) sin(θ) + cos(θ)) sin(θ) dφdrdθ (5.6) T ripleint(x + y + z, x, y, z, W ) = T ripleint(r 3 (cos(φ) sin(θ) + sin(φ) sin(θ) + cos(θ)) sin(θ), r, θ, φ, T ) (x + y + z) dxdydz = T W r 3 (cos(φ) sin(θ) + sin(φ) sin(θ) + cos(θ)) sin(θ) dφdrdθ (5.7) T ripleint(r 3 (cos(φ) sin(θ)+sin(φ) sin(θ)+cos(θ)) sin(θ), r, θ, φ, T ) = π 2 0 (cos(φ) sin(θ) + sin(φ) sin(θ) + cos(θ)) sin(θ) dr dθ dφ π 0 2 0 r3 131

Cvičení s MAPLE r 3 (cos(φ) sin(θ) + sin(φ) sin(θ) + cos(θ)) sin(θ) dφdrdθ = 4 π (5.8) T Transformace do sférických souřadnic výpočet zjednoduší. MultiInt(r 3 (cos(φ) sin(θ) + sin(φ) sin(θ) + cos(θ)) sin(θ), r = 0..2, φ = 0..π, θ = 0.. π, output = steps) 2 π 2 π 2 0 0 0 r3 (cos(φ) sin(θ) + sin(φ) sin(θ) + cos(θ)) sin(θ) dr dφ dθ = π ( ) 2 π r 4 (cos(φ) sin(θ)+sin(φ) sin(θ)+cos(θ)) sin(θ) 0 0 4 dφ dθ r=0..2 = π 2 0 = π 2 0 π 0 ( 4(cos(φ) sin(θ) + sin(φ) sin(θ) + cos(θ)) sin(θ) dφ dθ ) 4 sin(θ)(sin(φ) sin(θ) cos(φ) sin(θ) + cos(θ) φ) dθ φ=0..π = π 2 (8 0 sin(θ)2 + 4 sin(θ) cos(θ) π) dθ = ( 4 sin(θ) cos(θ) + 4θ 2 cos(θ) 2 π) θ=0.. π 2 4 π (5.9) evalf(%) 12.56637062 (5.10) 6. Objem tělesa Ω : z x 2 y, z 0, x 2 y + 2 0, x + y 4 0. V = [f(x, y) g(x, y)] dxdy = x 2 y dxdy Určení souřadnic průsečíků zadaných křivek. solve({x 2 y + 2 = 0, x + y 4 = 0}, {x, y}) {x = 1, y = 3}, {x = 2, y = 6} (6.1) Popis integračního oboru Ψ, který je průmětem Ω do půdorysny. Ψ : 2 x 1, x 2 + 2 y 4 x 2 x and x 1, x 2 + 2 y and y x + 4 (6.2) Doubleint(x 2 y, x, y, Ψ) = 1 4 x 2 x 2 +2 x2 y dy dx x 2 y dxdy = 486 35 evalf(%) Ψ Ψ (6.3) x 2 y dxdy = 13.88571429 (6.4) 132

Řešení úkolů Úkol 3. 1. Křivkový integrál z funkce f(x, y) = x 2 y na oboru γ : obvod ABC, A[-1,0], B[1,0], C[0,2]. with(student) : with(v ectorcalculus) : SetCoordinates(cartesian[x, y]) : Integrační obor popíšeme pomocí stran trojúhelníka. Int(x 2 y, s = gamma..``) = P athint(x 2 y, [x, y] = LineSegments( 1, 0, 1, 0, 0, 2, 1, 0 ), inert ) γ x2 y ds = 1 0 dt + 1 2(1 0 0 t)2 t 5 dt + 1 0 t2 (2 2t) 5 dt (1.1) 1 ( 0 2(1 t) 2 t 5 + t 2 (2 2t) 5 ) dt 1 3 5 (1.2) Výsledek i desetinným číslem. evalf(%) 0.7453559923 (1.3) 2. Křivkový integrál z funkce f(x, y, z) = x + y na oboru γ : x = cos t, y = sin t, z = 2t, t 0, π. Integrační obor je oblouk šroubovice. SetCoordinates(cartesian[x, y, z]) : Int(x + y, s = gamma..``) = P athint(x + y, [x, y, z] = P ath( cos t, sin t, 2t, t = 0..π), inert ) γ (x + y) ds = π 0 (cos(t) + sin(t)) 4 + sin(t) 2 + cos(t) 2 dt (2.1) π 0 (cos(t) + sin(t)) 5 dt 2 5 (2.2) evalf(%) 4.472135954 (2.3) 133

Cvičení s MAPLE 3. Křivkový integrál z vektorové funkce f = (3 xy y 3, y 2 2xy) na kladně orientovaném obvodu čtverce s vrcholy A[0,0], B[1,0], C[1,1], D[0,1]. Zobrazení integračního oboru a pole with(plots) : with(plottools) : vp1 := [3 x y y 3, y 2 2x y] [3 x y y 3, y 2 2x y] (3.1) vekpol1 := fieldplot(vp1, x = 0.1..1.1, y = 0.1..1.1) P LOT (...) (3.2) ctverec := polygonplot([[0, 0], [1, 0], [1, 1], [0, 1]], color = pink, scaling = constrained, view = [ 0.3..1.3, 0.3..1.3], labels = [x, y]) P LOT (...) (3.3) display(ctverec, vekpol1, scaling = constrained) Výpočet příkazem LineInt LineInt(V ectorf ield( 3 x y y 3, y 2 2x y ), LineSegments( 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0 ), inert ) 1 3 dt + 1 0 0 (t2 2t) dt + 1 ( t 1) dt + 1 ( (1 0 0 t)2 ) dt (3.4) simplify(3 + t 2 2t 1 t (1 t) 2 ) 1 t (3.5) 1 0 (1 t) dt 1 2 (3.6) 134

Řešení úkolů Výpočet Greenovou větou P := 3 x y y 3 3 x y y 3 (3.7) Q := y 2 2x y diff (Q, x) diff (P, y) y 2 2x y (3.8) 2y + x + 3y 2 (3.9) with(p hysics[v ectors]) : Setup(mathematicalnotation = true) : Int(f, r = γ..``) = Doubleint ( 2y + x + 3y 2, x, y, Ω) f ( d r = ) γ 2y + x + 3y 2 dxdy (3.10) Ω : 0 x 1, 0 y 1 Ω 0 x 1, 0 y 1 (3.11) 1 1 ( 2y + x + 0 0 3y2 ) dy dx 1 (3.12) 2 4. Křivkový integrál z vektorové funkce f = r na oboru γ : x = cos t, y = sin t, z = 2t, z A(t = 0) do B(t = 2π). r je polohový vektor obecného bodu. Má souřadnice (x, y, z). γ je závit šroubovice. Int(r, r = γ..``) = Int(x, x = γ..``)+int(y, y = γ..``)+int(z, z = γ..``) r d r = x dx + y dy + z dz (4.1) γ γ γ γ γ : x(t) = cos(t), y(t) = sin(t), z(t) = 2t, 0 t 2π x(t) = cos(t), y(t) = sin(t), z(t) = 2t, 0 t 2π (4.2) SetCoordinates(cartesian[x, y, z]) : LineInt (V ectorf ield( x, y, z ), P ath ( cos(t), sin(t), 2t, t = 0..2π), inert ) 2π 0 4t dt (4.3) 2π 0 4t dt 8 π 2 (4.4) evalf(%) 78.95683523 (4.5) 135

Cvičení s MAPLE 5. Křivkový integrál z vektorové funkce f = (y 2 + 2xy, x 2 + 2xy + z, y + 3) na cestě z bodu A[1,0,0] do bodu B[1,0,4π]. Ověříme nejprve nezávislost na integrační cestě. P := y 2 + 2x y Q := x 2 + 2x y + z R := y + 3 y 2 + 2x y (5.1) x 2 + 2x y + z (5.2) y + 3 (5.3) Diff (P, y) = diff (P, y) Diff (Q, x) = diff (Q, x) Diff (R, x) = diff (R, x) Diff (P, z) = diff (P, z) Diff (Q, z) = diff (Q, z) Diff (R, y) = diff (R, y) Podmínky splněny. Existuje potenciál. with(linalg) : y (y2 + 2x y) = 2y + 2x (5.4) x (x2 + 2x y + z) = 2y + 2x (5.5) x (y + 3) = 0 (5.6) z (y2 + 2x y) = 0 (5.7) z (x2 + 2x y + z) = 1 (5.8) y (y + 3) = 1 (5.9) potential([p, Q, R], [x, y, z], U ) U true (5.10) y 2 x + x 2 y + z y + 3z (5.11) Int(f, r = γ..``) = U(B) U(A) γ f d r = y(b) 2 x(b) + x(b) 2 y(b) + z(b)y(b) + 3z(B) y(a) 2 x(a) x(a) 2 y(a) z(a)y(a) 3z(A) (5.12) 0 2 1 + 1 2 0 + 4π 0 + 3 4π 0 2 1 1 2 0 0 0 3 0 12 π (5.13) 136

Řešení úkolů Úkol 4. 1. Plošný integrál z funkce f(x, y, z) = xyz na části roviny x + y + z = 1 v 1. oktantu. Zobrazení integračního oboru with(plots) : implicitplot3d(x + y + z = 1, x = 0..1.1, y = 0..1.1, z = 0..1.1, transparency = 0.7, color = red, axes = boxed) Průmětem části roviny do půdorysny je trojúhelník s vrcholy [0,0], [1,0], [0,1]. Výpočet Platí z = 1 x y. with(v ectorcalculus) : Int(x y z, S =``(S)..``) =SurfaceInt(x y z, [x, y, z] =Surface( x, y, 1 x y, [x, y] = T riangle( 0, 0, 1, 0, 0, 1 )), inert ) (S) x y z ds = 1 1 x x y (1 x y) 3 dy dx (1.1) 0 0 1 1 x x y (1 x y) 3 dy dx 0 0 evalf(%) 1 120 3 (1.2) 0.01443375673 (1.3) 137

Cvičení s MAPLE 2. Hodnota toku polohového vektoru horní stranou úseku hyperbolického paraboloidu z = xy + 1 nad jednotkovým čtvercem. Polohový vektor má souřadnice (x, y, z). Pro jednotkový čtverec platí 0 x 1, 0 y 1. Zobrazení integračního oboru a pole hypar := implicitplot3d(z = x y+1, x = 0..2.5, y = 0..2.5, z = 0..3, transparency = 0.7, color = red) P LOT 3D(...) (2.1) vp := [x, y, z] [x, y, z] (2.2) vekpol := fieldplot3d(vp, x = 0.1..2.1, y = 0.1..2.1, z = 0.1..3.1, grid = [8, 8, 8], thickness = 3) P LOT 3D(...) (2.3) display({hypar, vekpol}, axes = boxed) Parametrizace a výpočet x = u, y = v, z = u v + 1 Ω : 0 u 1, 0 v 1 x = u, y = v, z = u v + 1 (2.4) 0 u and u 1, 0 v and v 1 (2.5) F lux(v ectorf ield( x, y, z, cartesian x,y,z ),Surface( u, v, u v + 1, u = 0..1, v = 0..1)) 3 4 (2.6) 138