Vliv kruhových otvorů na napjatost v deskách

Transkript

1 VŠB Technická univezit Ostv Fkult stojní Kted užnosti evnosti Vliv kuhových otvoů n njtost v deskách Effect of Cicul Holes on the Stte of Stess t the Pltes Student: Vedoucí bklářské áce: Lukáš Wwzczek D. Ing. Ludmil Adámková Ostv 0

2

3 Místořísežné ohlášení Pohlšuji že jsem celou bklářskou áci včetně říloh vcovl smosttně od vedením vedoucího bklářské áce uvedl jsem všechn oužité odkld litetuu. V Ostvě: odis uto áce 3

4 Pohlšuji že jsem bl seznámen s tím že n moji bklářskou áci se lně vzthuje zákon č. /000 Sb. utoský zákon zejmén 35 užití díl v ámci občnských náboženských obřdů v ámci školních ředstvení užití díl školního 60 školní dílo. beu n vědomí že Vsoká škol báňská Technická univezit Ostv (dále jen VŠB-TUO ) má ávo nevýdělečně ke své vnitřní otřebě bklářskou ácí užít ( 35 odst. 3). souhlsím s tím že bklářská áce bude v elektonické odobě uložen v Ústřední knihovně VŠB-TUO k nhlédnutí jeden výtisk bude uložen u vedoucího bklářské áce. Souhlsím s tím že údje o kvlifikční áci budou zveřejněn v infomčním sstému VŠB-TUO. blo sjednáno že VŠB-TUO v řídě zájmu z její stn uzvřu licenční smlouvu s oávněním užít dílo v ozshu odst. utoského zákon. blo sjednáno že užít své dílo bklářskou áci nebo osktnout licenci k jejímu vužití mohu jen se souhlsem VŠB-TUO kteá je oávněn v tkovém řídě ode mne oždovt řiměřený řísěvek n úhdu nákldů kteé bl VŠB-TUO n vtvoření díl vnložen (ž do jejich skutečné výše). beu n vědomí že odevzdáním své áce souhlsím se zveřejněním své áce odle zákon č. /998 Sb. o vsokých školách o změně dolnění dlších zákonů (zákon o vsokých školách) ve znění ozdějších ředisů bez ohledu n výsledek její obhjob. V Ostvě: odis uto áce Jméno říjmení uto áce: Lukáš Wwzczek Ades tvlého obtu uto áce: Hnojník 0 Hnojník

5 ANOTACE BAKALÁŘSKÉ PÁCE WAWZYCZEK L. Vliv kuhových otvoů n njtost v deskách bklářská áce. Ostv: VŠB Technická univezit Ostv Fkult stojní Kted užnosti evnosti 5 s. Vedoucí áce: Adámková L. Bklářská áce se zbývá vlivem kuhových otvoů n njtost v deskách. Páce je změřen konkétně n desku nekonečných ozměů s jedním kuhovým otvoem s dvěm kuhovými otvo stejné velikosti. Anltické řešení je ovedeno omocí Aiho funkce nětí v řídě desk s dvěm otvo je funkce definovná v komlení oměnné. V obou řídech jsou zhnuté možné zůsob ztížení. Poblemtik je tké řešen numeick metodou konečných vků v ogmu Ptn 0. Výsledk získné numeickou metodou jsou oovnán s výsledk nltickými. ANNOTATION OF THESIS WAWZYCZEK L. Effect of Cicul Holes on the Stte of Stess t the Pltes Bchelo Thesis. Ostv: VSB Technicl Univesit of Ostv Fcult of Mechnicl Engineeing Detment of Mechnics of Mteils 5. Thesis hed: Adámková L. Bchelo thesis dels with the effect of cicul holes on the stte of stess t the ltes. The wok is focused ticull on ltes of infinite size contining one cicul hole o two equl cicul holes. The nlticl solution is done using the Ai stess function in cse of lte contining two cicul holes the function is defined in comle vible. In both cses thee e included vious loding cses. The oblem is lso solved numeicll b finite element method using the softwe Ptn 0. The esults of numeicl solution e comed with the esult of nlticl solution. 5

6 Obsh Seznm oužitých znček smbolů... 7 Úvod... 9 Vliv konstukčních vubů n ůběh nětí... 9 Zákld teoie užnosti.... ozdělení úloh užnosti.... Zákldní ovnice teoie užnosti o ovinný stv njtosti....3 Okjové odmínk Anltické řešení s vužitím funkce nětí Aiho funkce nětí Funkce nětí v komlení oměnné... 7 Anltické řešení desk s jedním otvoem...8. Jednoosé ztížení Dvouosé ztížení....3 Čistý smk Tlk uvnitř otvou Stnovení součinitele koncentce nětí ři dvouosé njtosti Anltické řešení desk s dvěm otvo Numeické řešení Výsledk o nekonečnou desku s jedním otvoem Výsledk o nekonečnou desku s dvěm otvo... 7 Sovnání výsledku nltického numeického řešení Nekonečná desk s jedním otvoem Nekonečná desk s dvěm otvo Závě...8 Seznm oužité litetu

7 Seznm oužitých znček smbolů Oznčení Název Jednotk E Modul užnosti v thu [MP] G Modul užnosti ve smku [MP] Polomě otvou [mm] e eálná část komleního čísl [ ] T Objemové složk sil v oláních souřdnicích [N/m 3 ] U Komlení defomce X Y Objemové složk sil v ktézských souřdnicích [N/m 3 ] Pól bioláního souřdného sstému b nm nm Koeficient Aiho funkce nětí h Hloubk vubu [mm] Okjové odmínk v ktézských souřdnicích [MP] diusvekto oláního souřdnicového sstému [mm] u v w Složk osunutí z Os ktézského souřdnicového sstému z Komlení číslo [ ] z Komleně sdužené číslo [ ] Součinitel koncentce nětí [ ] Odchlk nětí [%] Komlení otenciál Poměná defomce [ ] 7

8 Oznčení Název Jednotk Součinitel závislý n tu ovinné úloh [ ] Součinitel oměné vzdálenosti středů otvoů [ ] Poisonovo číslo [ ] Polomě zkřivení kořene vubu [mm] Úhel oláního souřdnicového sstému [d] m Mimální nětí [MP] nom Nominální nětí [MP] Nomálové nětí v ktézských souřdnicích [MP] Nomálové nětí v oláních souřdnicích [MP] Nomálové nětí v bioláních souřdnicích [MP] Smkové nětí [MP] Biolání souřdnicový sstém Funkce nětí Llceův oeáto 8

9 Úvod Úkolem této áce je zjistit ost vliv kuhových otvoů n stv njtosti v deskách. Znlost řesné hodnot nětí je nezbtně nutná nejen o osuzování solehlivostí konstukcí le tké o ověřování řesnosti metod řešení. V teoii užnosti se v ůběhu nltického řešení zvádějí zjednodušení kteé do výsledku vnášejí učitou neřesnost. Obecně ve stojíenství je říustná odchlk do 0% ooti skutečnému stvu. U stojních součástí celků velkého význmů se nvíc ovádějí eeimentální zkoušk n otvzení sávnosti výočtu. Vliv konstukčních vubů n ůběh nětí U těles s náhlou změnou tvu nebo v okolí ůsobiště ztížení dochází ke změně ozložení nětí defomce. Náhlá změn tvu je oznčován jko konstukční vub. Mezi konstukční vub tří oszení záich dážk o eo otvo jiné. Změn nětí v okolí konstukčního vubu má lokální chkte. V dosttečné vzdálenosti od konstukčního vubu je ozložení nětí ovnoměné. Ob. Půběh nětí v okolí konstukčního vubu [8] Tuto skutečnost vjdřuje Sint-Venntův inci kteý je definován následovně: V dosttečné vzdálenosti od ůsobiště vnější síl řídně náhle změn tvu je ozložení nětí defomce nezávislé n zůsobu řiložení vnější síl řídně n změně tvu []. 9

10 Velikost změn nětí účinkem vubu lze vjádřit teoetickým součinitelem koncentce nětí kde n t m t (.) m je mimální nětí v kořeni vubu n je nominální nětí tj. nětí ve stejném místě součásti bez vubu. Teoetický součinitel koncentce nětí je závislý n oloměu zkřivení kořene vubu jeho hloubce h (Ob. ). V ůběhu 0. století bl oveden řd výzkumů z účelem stnovení velikosti teoetického součinitele koncentce nětí o nejběžnější t geometie konstukčních vubů v technické i. Ucelený řehled součinitelů koncentce nětí je uveden nř. v díle [5]. Ob. Ukázk výočtu teoetického součinitele koncentce nětí o vbné říd [8] 0

11 Zákld teoie užnosti Po řešení stvu njtosti v tělesech jsou nezbtné znlosti z teoie užnosti. V této kitole jsou shnut zákldní ozntk z teoie užnosti kteé jsou nezbtné o nltické řešení úloh.. ozdělení úloh užnosti Řešení stvu njtosti defomce obecných ostoových těles je velmi obtížné. V řídech kde je to možné se snžíme úlohu idelizovt n ovinnou. Tímto kokem získáme znčné zjednodušení. Vzhledem ke geometii řešeného oblému lze ovést i v tomto řídě idelizci n ovinnou úlohu. V teoii užnosti ozlišujeme následující dv zákldní říd ovinných úloh. ovinná defomce Hlvní odmínk ovinné defomce je b složk osuvu do jedné souřdnice bl nulová záoveň složk osuvů v osttních směech bl nezávislé n jedné souřdnici. Nříkld o souřdnici z lze tto odmínk vjádřit vzthem (.). v v w 0 u u (.) Příd ovinné defomce můžeme ředokládt u těles kteé mjí jeden ozmě znčně velký vzhledem k osttním všetřovné místo je v dosttečné vzdálenosti od konců těles. ovinná njtost Hlvní odmínk ovinné njtosti je b všechn složk nětí ůsobících n těleso bl ovnoběžné s jednou ovinou. Nř. o ovinu - můžeme tto odmínk vjádřit vzthem (.) (.) z z z Tento říd ovinné njtosti je u těles jejichž jeden ozmě je znčně mlý v oovnání s osttními.. Zákldní ovnice teoie užnosti o ovinný stv njtosti Zákldní ovnice teoie užnosti jsou tojího tu: Sttické ovnice ovnováh. Geometicko-defomční ovnice. Fzikální ovnice.

12 Po stnovení njtosti defomce je nezbtné oužití všech tů ovnic dolněných o okjové odmínk. Sttické ovnice ovnováh Sttické ovnice ovnováh vjdřují odmínk ovnováh n mlém elementu vjmutého z těles. Tv elementu je učen oužitým souřdným sstémem. ovnice ovnováh o ktézské souřdnice lze zst ve tvu [] 0 X 0 Y (.3) nebo v oláních souřdnicích učené ovnicemi [] 0 t t 0 T t t t. (.) V ovnicích (.3) (.) jsou objemové složk sil oznčené smbol X Y T. Geometické ovnice Cuchho geometické ovnice vjdřují vzth mezi osuv oměnými defomcemi. Po ovinnou úlohu se Cuchho ovnice zmenší n tři djí se vjádřit v ktézských souřdnicích soustvou ovnic [9] v u v u. (.5) Pořídě v oláních souřdnicích následovně [9] v v u u v u t. (.6) ovnice komtibilit Po ovinné úloh lze ovnice komtibilit ve složkách defomce vjádřit ve tvu [9] 0. (.7)

13 Doszením složek defomce (.) do ovnice (.7) jednoduché úvě můžeme vjádřit ovnici komtibilit ve složkách nětí též oznčovné jko Lévho odmínk ve tvu [9] X Y 0. (.8) Pokud budou deivce složek objemových sil nulové k v ktézských souřdnicích lze Lévho odmínku zst ve tvu [9] 0 (.9) ořídě v oláních souřdnicích [9] 0 t. (.0) Fzikální ovnice Fzikální ovnice (konstituční ovnice) definují důležité vzth mezi sttickými geometickými ovnicemi. Po lineání oblst užnosti ltí Hookeův zákon kteý lze zst o izotoní mteiál ovinný stv njtosti bez uvážení vlivu telot ovnicemi [9] E G E z E (.) nebo invezními vzth [9] E E E. (.).3 Okjové odmínk Okjové odmínk v lineání užnosti vjdřují zůsob jkým je těleso uchceno nebo ztíženo. Jsou nezbtné o stnovení integčních konstnt difeenciálních ovnic. Obvkle jsou učené osuv nebo ztížení n ovchu těles odle toho ozlišujeme následující t okjových odmínek. 3

14 Sttické okjové odmínk část ovchu těles je ztížen silovým účinkem (síl tlk moment). Geometické okjové odmínk n ovchu těles jsou ředesán složk osuvů. Smíšené okjové odmínk n učité části ovchu jsou známé záoveň sttické okjové odmínk. Tnsfomce nětí z ktézských souřdnic do oláních souřdnic Při řešení oblemtik stvu ovinné njtosti v okolí kuhových otvoů se oužívjí olání souřdnice. Ztížení v tkových řídech jsou ředesné v ktézských souřdnicích oto je nutné uvést ovnice o tnsfomci nětí z ktézských souřdnic do oláních souřdnic. Tnsfomční ovnice je uveden v [] ve tvu cos sin cos sin sin cos (.3) Tnsfomční ovnice (.3) ltí o úhel zkótovný od kldné os odle Ob. 3. Ob. 3 Tnsfomce nětí z ktézských souřdnic do souřdnic oláních

15 3 Anltické řešení s vužitím funkce nětí Použití funkce nětí o řešení stvu njtosti zvedl Mwell. Po ostoovou njtost definovl tři funkce nětí z z z 3. Deivcí funkcí nětí lze stnovit složk nětí ve všech bodech těles. Složk nětí získné z deivce funkcí nětí musí slňovt sttické ovnice ovnováh ovnice komtibilit. Nlezení tří funkcí nětí o ostoovou úlohu je velmi obtížné le odřilo se nlézt funkce nětí o učité říd ovinných úloh. U ovinných úloh se soustv tří funkcí nětí snižuje n jednu kteá je oznčovná jko Aiho funkce nětí. 3. Aiho funkce nětí Při řešení stvu njtosti u ovinných úloh je vhodné zvést Aiho funkci nětí. Funkce nětí v ktézských souřdnicích musí slňovt ovnice ovnováh (.3) ovnice komtibilit (.7). Složk nětí vjádřené v ktézských souřdnicích z Aiho funkce nětí jsou definovné deivcemi [9]. (3.) Doszením ovnic (3.) do ovnice komtibilit (.9) získáme bihmonickou ovnici [9] 0. (3.) Aiho funkce nětí je ted učen ouze jednou difeenciální ovnici. V učitých řídech ovinných úloh užnosti je vhodné zvést olání souřdnice k nlezení řešení. Složk nětí v oláních souřdnicích jsou vjádřené deivcemi [] (3.3) 5

16 6 Potom bihmonická ovnice v oláních souřdnicích má tv [] 0. (3.) Obecné Michellovo řešení O nlezení obecného řešení v oláních souřdnicích se zsloužil ustlský ofeso mtemtik John Hen Michell. Při obecném řešení bihmonické ovnice (3.) dosáhl Michell obecného tvu Aiho funkce nětí ve fomě [] sin cos cos log log cos log log log log log log n n n n n n n n n n n n n n n n n n n b b b b n b b b b b b (3.5) Konstnt n nm nm b jsou učen n zákldě okjových odmínek o dný konkétní řešený říd. Obecné Michellovo vjádření je eiodické kteé má obovské ktické vužití umožňuje sndné řešení o okjové odmínk vjádřené omocí Fouieov metod.

17 3. Funkce nětí v komlení oměnné Komlení oměnnou do mtemtické teoie užnosti ovinných úloh zvedl L. Kolosov N. I. Muskhelishvili. Metod je zložen n fomulci okjových odmínek v komlení ovině následné vužití velmi účinných mtemtických ostředků o řešení oblému v komlením obou. Funkce nětí vjádřená v komlení oměnné osktuje řešení o velké množství úloh užnosti. Vužití zhnuje úloh koucení ovinných úloh užnosti lomové mechnik nizotoních mteiálu. Kždá funkce nětí může být zsán ve tvu [] z z e z (3.6) kde e znmená eálnou část z komleního čísl z komleně sdužené číslo. Pokud je funkce nětí (3.6) vjádřen v závislosti n dvou libovolně zvolených funkcí komlení oměnné z z otom je nezbtné vjádřit tké nětí defomce ve tvu dvou komleních otenciálu. Oznčením komlení defomce v komlení oměnné zst ve tvu [] U u i v můžeme ole osuvů definovné z z z z GU (3.7) kde součinitel je závislý ouze n Poissonově čísle 3 o ovinnou defomci 3 o ovinnou njtost. (3.8) Kombince zákldních nětí ve tvu komleních otenciálu lze vjádřit ve tvu [] Funkce z i z z z z z z (3.9) jsou obecně oznčován jko Kolosov-Muskhelishviliho otenciál. Řešení oblému se následně edukuje n nlezení vhodného komleního otenciálu kteý slňuje dné okjové odmínk. 7

18 Anltické řešení desk s jedním otvoem Anltické řešení je ovedeno o desku nekonečných ozměů s jedním otvoem. Polomě otvou je dán ozměem. Řešení bude ovedené v oláních souřdnicích kde očátek souřdného sstému je totožný se středem otvou. Při řešení stvu njtosti jednotlivých řídů je oužitá Aiho funkce nětí. N zákldě tu úloh stnovených okjových odmínek se vbíjí člen z obecného Michellov řešení (3.5) kteé oisují stv njtosti dné úloh. Po desku nekonečných ozměů s jedním otvoem je ovedené nltické řešení o následující zůsob ztížení desk: Jednoosé ztížení Dvouosé ztížení Čistý smk Tlk uvnitř otvou. Jednoosé ztížení V vním řídě uvžujme desku nekonečných ozměů s kuhovým otvoem nmáhnou thovým nětím v jedné ose. Thové nětí zvedeme v ose oznčíme (Ob. ). Ob. Desk s jedním otvoem ztížená v ose Předokládejme že obvod otvou bude neztížený n desku bude ůsobit ouze už zmíněné thové nětí tnsfomčních vzoců (.3) v oláních souřdnicích. Pk okjové odmínk můžeme zst omocí 8

19 9 sin cos cos 0 0. (.) Po dnou úlohu z obecného Michellov řešení (3.5) odovídá Aiho funkce ve tvu cos log log (.) Složk nětí Aiho funkce nětí (.) jsou definovné vzoci sin 6 6 cos 6 log 3 cos 6 log (.3) Je-li v okjových odmínkách definovné ztížení v nekonečnu k v ovnici (.3) člen 3 jsou ovn nule. Zvedením okjových odmínek (.) získáme soustvu ovnic (.) o vjádření neznámých koeficientů. Pvní okjová odmínk v (.) bude slněn ouze tehd kdž budou ob člen nětí v vní ovnici (.3) ovn nule. : 0 6 : : 0 6 : 0 : 3 3 (.) Řešením této soustv ovnic získáme neznámé koeficient ve tvu 3 (.5)

20 Doszením koeficientu zátk do ovnic (.3) získáme složk nětí o dný říd Doszením sin cos cos do vzoců (.6) dostneme nětí n obvodu otvou 0 cos 0 (.6) (.7) Všechn nětí jsou ovn nule komě nomálového. Mimální hodnot nětí nstává o úhel / je ovn / 3 nok o úhel 0 nebo nstává minimum /. Půběh nomálového nětí je zobzen n Ob. 5 v závislosti n vzdálenosti olání souřdnice čeveně je znázoněn ůběh nětí o úhel / modře o úhel 0. Duhý gf (Ob. 6) vjdřuje velikosti nomálového nětí n obvodu otvou v závislosti n velikosti oláního úhlu. Ob. 5 Půběh nětí v závislosti n oloměu Ob. 6 Půběh nětí v závislosti n úhlu Z gfu (Ob. 5) je tné že s nůstjící vzdálenosti se hodnot nomálového nětí ustlují n konstntní hodnotě. Po úhel 0 je ustálená hodnot nětí ovná nule n ozdíl od úhlu / kde se hodnot ustluje n velikosti ztížení zdných v okjových odmínkách. 0

21 . Dvouosé ztížení Uvžujme říd nekonečné desk s kuhovým otvoem kteá je ztížená thovým nětím v obou osách (Ob. 7). Oznčme thové nětí v ose v ose. Ob. 7 Desk s jedním otvoem ztížen kombinovně v obou osách Předokládejme že obvod otvou bude neztížený desk bude ztížen ouze thovým nětím ( ) ( ) zst omocí tnsfomčních vzoců (.3) v oláních souřdnicích. Pk okjové odmínk můžeme 0 cos cos sin. (.8) V tomto řídě vužijeme stejný tv Aiho funkce jko je oužitý o ředchozí říkld v kitole.. Složk nětí jsou učen vzoci (.6) o doszení okjových odmínek dostneme

22 : 0 6 : : 0 6 : 0 : 3 3. (.9) Řešením této soustv ovnic získáme neznámé koeficient ve tvu 3 (.0) Zětným doszením koeficientu do ovnic (.3) můžeme zst složk nětí o dný říd sin 3 cos 3 cos 3. (.) Doszením do vzoců (.) dostneme nětí n obvodu otvou 0 cos 0 (.) Mimální hodnot nomálového nětí nstává o úhel / je ovn 3 m nok o úhel 0 nebo nstává minimum 3 min. Je-li desk ztížen stejně velkým nětí v nekonečnu v obou osách k nomálové nětí n obvodu otvou je konstntní nezávislé n hodnotě oláního úhlu. V tkovém řídě je mimální hodnot ovn /.

23 Půběh nomálového nětí je zobzen n Ob. 8 v závislosti n vzdálenosti olání souřdnice čeveně je znázoněn ůběh nětí o úhel / modře o úhel 0. Duhý gf (Ob. 9) vjdřuje velikosti nomálového nětí n obvodu otvou v závislosti n velikosti oláního úhlu. Ob. 8 Půběh nětí v závislosti n oloměu Ob. 9 Půběh nětí v závislosti n úhlu.3 Čistý smk U tohoto tu ztížení lze obecně ostuovt dvěm zůsob. V vním řídě je desk ntočen o úhel 5 uvžujeme ztížení smkovým nětí (Ob. 0). Duhý zůsob nhzuje smkové nětí kombincí ztížené ve dvou osách (Ob. ). Ob. 0 Ztížení smkovým nětím Ob. Ztížení kombinovné ve dvou osách 3

24 .3. Ztížení smkovým nětím Uvžujme nejdříve ztížení smkovým nětím o kteý můžeme vjádřit okjovou odmínku. Pomocí tnsfomčních vzoců (.3) lze dnou okjovou odmínku řest do oláních souřdnic sin sin cos 0 (.3) Po dnou úlohu z obecného Michellov řešení (3.5) odovídá Aiho funkce ve tvu b b b b sin (.) 3 Složk nětí Aiho funkce (.) jsou definovné vzoci 6b3 b b sin 6b3 b b sin 6b3 b b 6b cos (.5) Doszením okjových odmínek do ovnice (.5) získáme soustvu ovnic : : 6b3 b 6b b b 0 b 0 3 : b : b : b (.6) Řešením této soustv ovnic jsou neznámé koeficient ve tvu b b3 b. (.7)

25 5 Doszením koeficientu zátk do ovnic (.3) získáme složk nětí o dný říd cos 3 sin 3 sin 3 (.8) Doszením do vzoců (.8) dostneme nětí n obvodu otvou 0 sin 0 (.9) Mimální hodnot nomálového nětí nstává o úhel 0 (nebo / ) je ovn / nok o úhel (nebo 3 / ) nstává minimum /..3. Ztížení kombinovné ve dvou osách Altentivně můžeme ztížení čistým smkem nhdit kombincí ztížení ve dvou osách odle Ob.. Okjové odmínk jsou definovné ) ( ) (. Příd dvouosého ztížení je obecně vřešen v kitole. o thové nětí v obou osách. Náhdou thového ztížení z tlkové v ose ( ) v uvedeném řešení můžeme získt složk nětí o tento říd ve tvu sin 3 cos 3 cos 3. (.0) Doszením do vzoců (.0) dostneme nětí n obvodu otvou 0 cos 0. (.)

26 Mimální hodnot nomálového nětí nstává o úhel / je ovn 3 nok o úhel 0 nebo nstává minimum m min 3. Je-li desk ztížen stejně velkým nětí v nekonečnu v obou osách k nomálové nětí n obvodu otvou nbývá mim / minim /. Půběh nomálového nětí je zobzen n Ob. v závislosti n vzdálenosti olání souřdnice čeveně je znázoněn ůběh nětí o úhel / modře o úhel 0. Duhý gf (Ob. 3) vjdřuje velikosti nomálového nětí n obvodu otvou v závislosti n velikosti oláního úhlu. Ob. Půběh nětí v závislosti n oloměu Ob. 3 Půběh nětí v závislosti n úhlu 6

27 . Tlk uvnitř otvou V osledním říkldu uvžujme nekonečnou desku s kuhovým otvoem. N desku ůsobí uvnitř otvou tlkové nětí kteé je osově smetické konstntní velikosti. Ob. Desk s jedním otvoem ztížená tlkem uvnitř otvou Okjové odmínk o tento stv ztížení můžeme zst ve tvu 0 (.) Z obecného Michellov řešení (3.5) lze o dný říd zst Aiho funkci nětí ve tvu log log (.3) kde složk nětí jsou log 3 log. (.) Koeficient 3 bude oět oven nule otože je definován okjová odmínk v nekonečnu. Zvedením okjových odmínek (.) do složek nětí (.) dostneme soustvu ovnic : : 0 (.5) 7

28 o kteou lze stnovit neznámé koeficient ve tvu 0. (.6) Po doszení těchto koeficientů zátk do ovnice (.) získáme složk nětí 0. (.7) Půběh nomálového nětí je zobzen n Ob. 5 v závislosti n vzdálenosti olání souřdnice. Z gfu je zřejmé že největší hodnot nomálového nětí je n obvodu otvou je ovná /. S nůstjící vzdálenosti nětí klesá ž k nule o. Ob. 5 Desk s jedním otvoem ztížen tlkem uvnitř otvou 8

29 Shnutí výsledků nltického řešení nekonečné desk s jedním otvoem N závě v následující tbulce je uvedeno shnutí získných hodnot nomálového nětí z nltického řešení n obvodu otvou o úhl 0 /. Tb. Shnutí získných hodnot o nltické řešení desk s jedním otvoem Zůsob ztížení Pomě nětí / 0 / Jednoosý th - 3 Dvouosý th Čistý smk - Tlk uvnitř otvou 9

30 .5 Stnovení součinitele koncentce nětí ři dvouosé njtosti Uvžujme obecné ztížení desk s jedním otvoem hlvními nětími oznčme bod n obvodu otvou odle Ob. 6. Ob. 6 Ztížení desk s jedním otvoem hlvním nětím V kitole. je o tento říd odvozené nomálové nětí. Přeznčíme-li v ovnici (.) n n k dostneme o bod nětí (.8) bod nětí (.9). 3 (.8) 3 (.9) Oznčíme-li ijk velikost dílčího součinitele koncentce nětí kde vní inde znčí bod n obvodu otvou duhý smě nomálového nětí oslední inde nětí kteé dnou koncentci nětí zůsobilo. N zákldě tohoto oznčení můžeme ze vzoců (.8) (.9) vjádřit 3 3. Pokud dále oznčíme ik výsledný součinitel koncentce nětí k můžeme vzoce (.8) (.9) řest do tvu (.30) 30

31 nebo. (.3) Gfick jsou součinitele koncentce nětí (.3) zobzen n Ob. 7. Z gfu je tné že součinitel koncentce nětí závisí n njtosti ohbuje se v ozmezí t. V řídě kd se limitně blíží k nule k bsolutní hodnot nůstá do nekonečn součin k v intevlu / je ozhodující njtost v bodě. Podobně okud 0 je jejich součin je menší tkže v intevlu / je ozhodující njtost v bodě. než Ob. 7 Gfický ůběh součinitele koncentce nětí 3

32 5 Anltické řešení desk s dvěm otvo Poblemtice stnovení njtosti v nekonečné desce se dvěm otvo stejné velikosti se věnovl Ling kteý výsledk svého bádání ublikovl v [3]. Ve své áci oisuje komletně teoetický ostu nltického řešení včetně vjádření metických koeficientů v elicitní fomě. Funkce nětí je definován v bioláním souřdném sstému. Biolání souřdnice jsou vjádřen tnsfomční ovnici i coth i i (5.) kde oznčuje souřdnice ólu n ose 0. Ob. 8 Nekonečná desk obshující dv kuhové otvo Při nlýze nětí jsou uvžován tři stv ztížení jmenovitě všestnné thové ztížení ztížení v ose ztížení v ose. Mimální nětí je vočteno v závislosti n vzdálenosti středů otvoů. Tto vzdálenost mezi otvo je definován bezozměným součinitelem (Ob. 8) kteý udává vzdálenost středů otvoů v násobcích ůměu otvoů. Páce zhnuje i seciální říd kd dochází k tečnému dotku otvou. Hodnot mimálních nětí / [ ] jsou řevzt z ublikce [3] uvedené v Tb.. 3

33 Tb. Tbulk nětí nltického řešení o nekonečnou desku s dvěm otvo [3] Všestnné ztížení / [ ] Ztížení v ose / [ ] Ztížení v ose / [ ] 0 /

34 6 Numeické řešení Po numeické řešení úloh bl zvolen celosvětově nejozšířenější softwe Ptn ve vezi 0 kteý slouží jko e/ost-ocessing konečnovkové nlýz. Výhodou Ptnu je ozsáhlá nbídk odoovných řešičů nř MSC Nstn Mc Abqus Anss jiné. Úloh řešené v této áci jsou z oblsti lineání užnosti oto bl zvolen řešič změřený n lineání úloh MSC Nstn. Tvob modelu zdání okjových odmínek Při tvobě jednotlivých modelů lze vužít okjové odmínk smetie kteé zjednoduší geometii modelů n čtvtinu. Úloh je řešen jko ovinná oto model je tvořen ouze lochou. Dále bl model ozdělen řez n izometické loch b blo dosženo co nejkvlitnější sítě. Okjové odmínk jsou nezbtnou součástí kždé úloh. V řešených úlohách definujeme geometické okjové odmínk (dvě ovin smetie zbánění osuvu v ose z) sttické okjové odmínk (zůsob ztížení). Smetie je elizován odebáním osuvu ve směu nomál ovin smetie odebáním osuvu v ose z slníme duhou definovnou geometickou okjovou odmínku. Sttické okjové odmínk v řešených řídech jsou elizovné v softwu Ptn funkci Pessue n hnách D modelů kde hodnot Edge Pessue je nstvená n jednotkovou velikost [ ] u tlkového [ ] u thového ztížení. N ozdíl od nltického řešení kde jsme nemuseli definovt žádné mteiálové vlstnosti u numeického řešení jsou nezbtné o nlýzu. Mteiálové vlstnosti modelu uvžujeme ocel s modulem užnosti E 0000 [ MP] Poissonovou konstntou 03 [ ]. Úv modelu včetně zdných okjových odmínek je o nekonečnou desku s jedním otvoem zobzen n Ob. 9 o nekonečnou desku s dvěm otvo n Ob. 0. 3

35 Ob. 9 Schém čtvtin modelu desk s jedním otvoem včetně okjových odmínek dvojosý th Ob. 0 Schém čtvtin modelu desk s dvěm otvo o 5 včetně okjových odmínek o dvojosý th 35

36 Vtvoření sítě Velký důz se klde n výsledné hodnot nětí v okolí kuhového otvou s ostoucí vzdálenosti od otvou jejich význm klesá. Snhou blo nvhnout síť s ohledem n tento oždvek. V ámci řív řed síťováním bl nezbtné nstvit zjemnění sítě. Po oždovnou úvu sítě je v Ptnu dostuná funkce Mesh Seed tto funkce definuje n hnách modelu očet oužitých vků. V řešeném řídě jsou oužité dv t Mesh Seed to konkétně One W Bis Unifom. Unifom vtváří ovnoměně ozložení vků o celé délce křivk tento t je oužit n obvodu otvou. Duhý t One W Bis vtváří vk s ostoucí ořídě klesjící délkou hn vku. Tento t je v řešeném řídě výhodné oužít n obou ovinách smetie dosáhnout tím oždovného zjemnění v blízkosti otvou. S ohledem n ovedenou úvu sítě vtvoření isoemetických loch je oužitý isometický síťř. Ptn o vtvoření isometické sítě u dvou ozměných úloh má v nbídce dv t vků čtř-uzlový CQUAD tří-uzlový CTIA3. Geometie řešených úloh umožňuje oužít ob tto vk. Jelikož jsou všechn izometické loch čtřhnné bl zvolený čtř-uzlový vek CQUAD. Z důvodu ozdělení loch n jednotlivé izometické loch je nezbtné ovést equivlenci. Equivlence uvuje síť zůsobem že sloučí totožné uzl do jednoho tím vznikne sojení jednotlivých sítí v modelu. Vkeslení gfů Po gfické zobzení ůběhu složek nětí odél os smetie bl oužít softwe Mtlb. Ze softwu Ptn bl eotován hodnot globálních souřdnic uzlů odél os smetie jejích globální hodnot složek nětí. Tto dtové soubo bl dále zcovné v softwu Mtlb z účelem vtvoření jednotlivých gfů. Po názonost bl v gfech zvýzněn os smetie vznčen ozice otvou. V gfech se vkesluje složk nětí kolmé k dné ose. Konkétně o složku nětí se n vodoovné ose vnáší omě vzdálenosti / n svislé ose velikost oměu nětí. Podobně o složku nětí se vodoovnou osu vnáší velikost oměu nětí / n svislou osu omě vzdálenosti /. / 36

37 Ob. Model desk s jedním otvoem včetně sítě Ob. Model desk s dvěm otvo o 5 včetně sítě 37

38 6. Výsledk o nekonečnou desku s jedním otvoem Z MKP nlýz o jednotlivé stv ztížení bl vtvořen následující gf. V gfu n Ob. 3 je zobzen ůběh nětí o jednoosý th. Mim / 3 08 doshuje nětí ve svislé ose nok minim / 035 je dosženo ve vodoovné ose. V duhém gfu (Ob. ) je zobzen ůběh nětí o dvouosý th kde mimum nětí ve svislé ose je / 05 mim nětí ve vodoovné ose je / 05. Ob. 3 Jednoosý th Ob. Dvojosý th Dále n Ob. 5 je zobzen gf o desku ztíženou čistým smkem. V tomto řídě je mimální hodnot nětí o svislou osu ovná / 0808 minimum / 08 nstává ve vodoovné ose. Poslední gf (Ob. 6) zobzuje ůběh nětí o ztížení tlkem uvnitř otvou. Při tomto ztížení jsou ůběh složek nětí kolmých k jednotlivým osám stejné jejich mimum doshuje hodnot /

39 Ob. 5 Čistý smk Ob. 6 Tlk uvnitř otvou Ob. 7 Půběh nětí v okolí otvou o ztížení jednoosým them / 39

40 Ob. 8 Půběh nětí v okolí otvou o ztížení dvouosým them / Ob. 9 Půběh nětí v okolí otvou o ztížení čistým smkem / 0

41 Ob. 30 Půběh nětí v okolí otvou o ztížení tlkem uvnitř otvou / N závě v následující tbulce je uvedené shnutí získných hodnot jednotlivých složek nětí / ořídě odovídjících nětí z nltického řešení n obvodu otvou o úhl 0 /. Tb. 3 Shnutí získných hodnot o numeické řešení desk s jedním otvoem / Zůsob ztížení Pomě nětí Pomě nětí / 0 / / Jednoosý th Dvouosý th Čistý smk Tlk uvnitř otvou 055

42 6. Výsledk o nekonečnou desku s dvěm otvo Numeické řešení o nekonečnou desku s dvěm otvo je ovedeno o stejné hodnot lmbd zůsob ztížení jko u nltického řešení. V ámci této kitol jsou zobzen gf ůběhu nětí u nekonečné desk s dvěm otvo jejíž je ovn 5. Hodnot složek nětí o dlší řešené hodnot jsou uvedené v závěu této kitol. Uvžujeme-li thové ztížení jednotkové velikosti [ ] v ose k gf ůběhu složek nětí je zobzen n Ob. 3. U tohoto zůsobu ztížení mimální hodnotu nbývá nětí jeho velikost je 68. / Ob. 3 Lmbd 5 - ztížení v ose Ob. 3 Lmbd 5 - Půběh nětí o ztížení v ose /

43 V řídě nekonečné desk s dvěm otvo ztíženou thovým nětím jednotkové velikosti [ ] v obou osách je ůběh nětí zobzen n Ob. 33. Z gfu je tné že ve vodoovné ose smetie nstává největší zvýšení nětí. Hodnot složk nětí jsou ovné / Ob. 33 Lmbd 5 - ztížení v obou osách Ob. 3 Lmbd 5 - Půběh nětí o ztížení v obou osách / 3

44 U osledního zůsob ztížení uvžujeme jednotkové thové nětí [ ] v ose. Gf ůběhu složek nětí odél os smetie je zobzen n Ob. 35. K největšímu zvýšení nětí dochází ve vodoovné ose smetie kde hodnot nětí hodnot nbývjí / Ob. 35 Lmbd 5 - ztížení v ose Ob. 36 Lmbd 5 - Půběh nětí o ztížení v ose /

45 Výsledné hodnot numeického řešení o všechn hodnot násobků vzdálenosti středů otvoů zůsob ztížení jsou zznmenán v následující tbulce (Tb. ). Tb. Shnutí numeických výsledků o nekonečnou desku s dvěm otvo Všestnné ztížení Ztížení v ose Ztížení v ose / [ ] / [ ] / [ ] 0 /

46 7 Sovnání výsledku nltického numeického řešení Sovnání výsledku nltického numeického řešení je ovedené omocí vočítné odchlk. Odchlk výsledků je v tomto řídě stnoven odle následujícího vzoce Anltické řešení Numeické řešení 00 [%]. (7.) Anltické řešení 7. Nekonečná desk s jedním otvoem Tb. 5 Sovnání výsledku o nekonečnou desku s jedním otvoem Zůsob ztížení Anltické řešení / [ ] Numeické řešení / [ ] Odchlk % 0 / 0 / 0 / Jednoosý th Dvouosý th Čistý smk Tlk uvnitř otvou Nekonečná desk s dvěm otvo Tb. 6 Sovnání výsledků o nekonečnou desku s dvěm otvo ztíženou v obou osách Anltické řešení / [ ] Numeické řešení / [ ] Odchlk %

47 Tb. 7 Sovnání výsledků o nekonečnou desku s dvěm otvo ztíženou v ose Anltické řešení / [ ] Numeické řešení / [ ] Odchlk % / / / Tb. 8 Sovnání výsledků o nekonečnou desku s dvěm otvo ztíženou v ose Anltické řešení / [ ] Numeické řešení / [ ] Odchlk %

48 8 Závě Bklářská áce se zbývá stnovením vlivu kuhových otvoů n njtost v deskách. ozbo nětí je oveden o nekonečnou desku s jedním otvoem nekonečnou desku s dvěm otvo o ůzné vzdálenosti středů otvoů. V obou řídech jsou uvžovné možné zůsob ztížení. Ve všech okjových odmínkách uvžujeme jednotkové ztížení [ ] o sndnější oovnání. Páce je záoveň změřená n sovnání výsledků nltického řešení výsledků numeického řešení získných z ogmu Ptn 0. Nejdříve je nlzovná nekonečná desk s jedním otvoem u kteé bl uvžován čtři zůsob ztížení. Sovnání hodnot nltického numeického řešení je uvedené v Tb. 5. Největší lokální zvýšení nětí nstává u ztížení čistým smkem (Ob. 0). Konkétně u tohoto ztížení omě nětí nbývá hodnot u nltického řešení / 0808 u numeického řešení. Nok nejmenší lokální zvýšení nětí můžeme vidět u desk ztížené ouze tlkem uvnitř otvou kde omě nětí o celém obvodu otvou nbývá hodnot u nltického řešení 055 u numeického řešení. Thové ztížení v jedné ose vvodí u nltického řešení omě nětí 3 u numeického řešení 308 v řídě dvouosého thového ztížení nětí doshuje hodnot u nltického řešení 05 u numeického řešení. Mimální odchlk je 35% u jednoosého thu v místě minimální hodnot nětí. Ve zblých řídech ztížení jsou odchlk menší než % oto výsledk ovžujeme z řesné. Velikost odchlk může být zůsobená numeickou chbou. Duhá část áce je změřená n nekonečnou desku s dvěm kuhovými otvo u nichž jsou ozebán tří zůsob ztížení o celkem osm ůzných vzdálenosti mezi otvo. Vzdálenost mezi otvo je definován bezozměným součinitel (Ob. 8) kteý vjdřuje vzdálenost středů otvoů v násobcích ůměu otvoů. Hodnot nltického numeického řešení s jejich odchlkmi o nekonečnou desku s dvěm otvo jsou uvedené v Tb. 6. V řídě kd nekonečná desk s dvěm otvo je ztížená thovým nětím v obou osách nebo v ose dochází k etémnímu náůstu nětí v místě tečného dotku otvoů. Tkové usořádání otvoů nemá v technické i ultnění i z důvodu nedosttečného ostou o ovedení šoubového nebo nýtového sojení. / 8

49 V řídě thového ztížení v ose nstává mimum u nekonečné desk s dvěm otvo ve svislé ose otvou n jeho obvodě. Po hodnotu je lokální zvýšení nětí nejmenší doshuje násobku 59 velikosti ztížení s nůstjící vzdálenosti středů otvou se blíží hodnotě 3. Noti tomu thové ztížení v ose vvolává lokální zvýšení nětí ve svislé ose otvou n jeho obvodě velikost nětí je řibližně 3. Z výsledků vlývá že v řídě thového ztížení v jedné ose je nejvýhodnější usořádt otvo v ose ztížení. Při thovém ztížení v obou osách u nekonečné desk s dvěm otvo o hodnotu vzniká nejmenší lokální zvýšení nětí její velikost s nůstjící vzdálenosti středu otvoů klesá n řibližně. Odchlk o všechn řešené hodnot jsou menší než 7 % oto výsledk ovžujeme z řesné. Poovnáme-li mimální hodnot nětí n obvodu otvou v nekonečné desce s jedním otvoem s dvěm otvo se stejnými olomě stejným ztížením k s nůstjící vzdálenosti středů otvoů u nekonečné desk s dvěm otvo se hodnot nětí vzájemné blíží. U nekonečné desk s dvěm otvo od hodnot 8 zniká vliv duhého otvou velikosti nětí odovídjí hodnotám u nekonečné desk s jedním otvoem. 9

50 Seznm oužité litetu [] Kub Fntišek. Teoie užnosti vbné likce..vd. Ph: SNTL/ALFA s [] Timoshenko S.; Goodie J. N. Theo of Elsticit. nd ed. New Yok: McGw-Hill Book Comn [3] Timoshenko Stehen. Stength of Mteils: t II. nd ed. New Yok: D. Vn Nostnd Comn [] Dobovolný Bohumil. Pužnost evnost. díl Mtemtické zákld th tlk koucení..vd. Ph: Ústv o učebné omůck ůmslových odboných škol s. [5] Sevít.; Doležlová E.; Ch M. Teoie užnosti lsticit I..vd. Ph: SNTL/ALFA s [6] Němec J.; Dvořák J.; Höschl C. Pužnost evnost ve stojíenství..vd. Ph: SNTL s. ISBN [7] Höschl Cil. Pužnost evnost ve stojnictví..vd. Ph: SNTL/ALFA s [8] Kuče Josef. Úvod do mechnik lomu: Nestbilní lom ocelových těles ři sttickém dnmickém ztížení..vd. Ostv: VŠB TU Ostv s. ISBN [9] Lenet Jiří. Pužnost evnost II..vd. Ostv: VŠB TU Ostv s. ISBN [0] Lenet Jiří. Zákld mtemtické teoie užnosti..vd. Ostv: VŠB TU Ostv s. ISBN [] Sdd Mtin H. Elsticit: Theo Alictions nd Numeics. nd ed. Bulington: Acdemic Pess ISBN [] Bouchl Jiří. Funkce komlení oměnné. htt://mi.vsb.cz/ 0 50

51 [3] Ling C. B. On stesses in lte contining two cicul holes J. Al. Phsics [] Lenet Jiří. Pužnost evnost I. 3.vd. Ostv: VŠB TU Ostv 009. s. ISBN [5] Pilke W.; Pilke D. Peteson s Stess Concenttion Fctos. 3 d ed. New Jese: John Wile & Sons ISBN [6] Svin G. N. Stess Distibution Aound Holes. st ed. Kiev: Nukov Dumk Pess (English tnsl. NASA Technicl Tnsltion NASA TT F ) 5

52 Poděkování N tomto místě bch chtěl oděkovt vedoucí bklářské áce D. Ludmile Adámkové z odboné vedení osktování cenných d věnovnému čsu ři konzultcích. Její zkušenosti d bl cenným odkldem o vcování mé bklářské áce. 5