Komparace metod pro výpoet kapitálového požadavku pro tržní riziko Value at Risk 1, 2

Transkript

1 Komparace meod pro výpoe kapálového požadavku pro ržní rzko Value a Rsk, Dan Hojdar Fakula Socálních Vd Posupná globalzace a progresvní rs fnanních rh v posledních leech s vynul meznárodní sandardzac v oblas požadavk na kapálovou pmenos bank. eno vývoj byl v lednu 996 reflekován v úprav sandardy pro kapálovou pmenos vypracovanou BIS 3 (BIS, 996). Pro krední rzko byla zachována dívjší flosofe pomru zpsoblého kapálu k rzkov váženým akvm. Banky jsou však povnny p výpou kapálové pmenos zohledn rzko ržní, zn. rzko plynoucí z nepíznvých pohyb ržních cen. Pro kvanfkac kapálového požadavku (KP) nuného pro pokryí ržního rzka byl navržen sandardzovaný model podobající se modelu pro rzko krední. Zárove však mohou banky pejí na vlasní nerní modely kvanfkující ržní rzko. yo modely mohou brá v poaz korelace jak uvn, ak mez ídam jednolvých rzkových fakor (úrokové míry, smnné kurzy, ceny komod a akcí). Akcepování nerních model pro výpoe KP by mlo zvýš podny pro dverzfkac porfola a akvní nvesování bank do ízení rzka. o bylo hlavním zámrem BIS p novac zv. Cooke sandard pro krední rzko (BIS, 988) 4. Banka by ak spojla modely pro ízení porfola a jeho rzka s modely pro urení kapálu nuného pro peklenuí nepíznvých ržních podmínek bankrou frmy, kerá je dlužníkem banky. Koneným dsledkem by mohlo bý snížení požadovaných výnos vel banky, keí by ml lepší pehled o reálné rzkovos jejch nvesc, a ím ke zvýšení efekvní alokace akv. V ervnu roku 999 bylo vydáno opaení eské Národní Banky (NB, 999) o kapálové pmenos bank pro úvrové a ržní rzko, keré nabylo únos dnem prvního dubna 000. oo opaení je vyjádením snahy eské Republky v pblžování se k zákonm a normám Evropské Une. Pro eské banky ak nasávají dv zásadní oázky. První oázka je obecná a ýká se kvanfkace skueného ržního rzka na rzích relevanních pro jejch porfola. Druhá oázka se ýká volby písupu jakým bude banka poía kapálový požadavek, zda sandardním písupem njakým nerním modelem. Odpovd na yo oázky jsou základem pro následné nvesní rozhodování a pro akconáe banky, proože ovlvují pomr výnos na rzko, kerý je základním paramerem pro hodnocení efekvnos nvesc 5. ao práce je zkrácenou verzí dplomové práce (Hojdar, 000) psané v první polovn roku 999. Auor by chl podkova Oov Huákov z Commerzbank Capal Markes Easern Europe (CCMEE) za cenné ppomínky a dále samoné CCMEE za podporu p sažení da. Všechny chyby jsou mé vlasní. Adresa pro doazy a ppomínky: dan_hojdar@homal.com 3 Bank for Inernaonal Selemen (BIS) byla založena v roce 930 s cenrálou v Baslej. Mez její hlavní úkoly paí podpora kooperace mez cenrálním bankam a assence p meznárodních plabách. BIS dále vydává doporuení bankám a regulaním nsucím ohledn rzkového managemenu a kapálové pmenos. 4 Zajímavý lánek o posupném pesunu drazu BIS z komparably bankovních repor na jejch pesnos nap. v Rowe (000). 5 Podrobnj sandardní eore porfola (Markowz, 95, 959), (Sharpe, 964), (Alexander, Sharpe, 994), (Engle, 995a) aj.

2 ao práce se posupn dokne obou výše zmínných oázek, a o pouze s ohledem na rzkový fakor smnného kurzu. Proože je problemaka ržního rzka v R pomrn nová, bude první kapola vnována bžným meodám pro jeho mení Value a Rsk (VaR). V druhé kapole bude kráce popsána sandardzovaná meoda BIS (a NB) pro výpoe KP u rzkového fakoru smnného kurzu. Dále zde budou uvedeny kvanavní požadavky, keré BIS (a NB) vyžaduje p používání nerních model. Hlavním cílem éo práce (kapola 3) je charakerzova asové ady smnných kurz sední Evropy a z oho plynoucí dsledky pro mení ržního rzka. Práce se pokusí odhadnou jaký písup pro odhad VaR by byl v pípad porfola závslého pouze na rzkovém fakoru smnného kurzu nejlepší použí. Pokusí se aké nasín, zda je pro banku výhodnjší poía KP pomocí nerního modelu nebo sandardzované meody. Zárove srovná rozdílnou meodku pro výpoe KP mez BIS (996) a NB (999) a poukáže na plynoucí dsledky pro kompevnos eských bank s bankam z Evropské Une.. ržní rzko a Value a Rsk ržním rzkem se rozumí rzko plynoucí z nepíznvých pohyb ržních cen. V prbhu posledních dvace le se vyvnulo nkolk základních písup k mení a pedpovídání ržního rzka. Nejvíce se prosadla meoda nazývaná Value-a-Rsk (VaR). VaR je aková oekávaná zráa, kerá nebude v urém asovém nervalu za normálních ržních podmínek pesažena vícekrá než kolk odpovídá nervalu spolehlvos na kerém je VaR poíán 6. Vyjádení ržního rzka ve form VaR edy ukazuje, s jakou pravdpodobnosí bude pesažena jsá úrove zráy 7. Pokud je VaR na jeden den poíán na nervalu spolehlvos 95% a jeho hodnoa je 00,000K, poom v 95 pípadech ze 00 by zráa následujícího dne nemla pesáhnou 00,000K. Pblžn o edy znamená, že v pípad nemnících se ržních podmínek a sackého porfola bude zráy VaR (nebo vší) dosaženo jednou za dvace obchodních dní. Zíejší hodnoa porfola P zíra je náhodná promnná závsející na množn n rzkových fakor. mo rzkovým fakory mohou bý napíklad rzné úrokové míry, smnné kurzy, ceny akcí, ceny komod ad. Zsk nebo zráa porfola P je hodnoa porfola zíra mnus hodnoa porfola dnes. P spojé dsrbuní funkc P ak mžeme VaR na 95% nervalu spolehlvos vyjád jako negrál funkce pravdpodobnosního rozdlení P: [.] 95% = + pd P VaR kde p je pradpodobnosní rozdlení P, zn. husoa pravdpodobnos (Holon, 998). V prax se posupuje p odhadu VaR následovn:. Nejprve se odhadne n-rozmrné pravdpodobnosní rozdlení zmn n rzkových fakor. eno odhad mže bý založen napíklad na emprcké dsrbuní funkc rzkových fakor poskynué hsorckým day (vz. podkapola.: hsorcká smulace). Druhou možnosí pro odhad pravdpodobnosního rozdlení je kvalfkované posouzení, jak se jednolvé rzkové fakory chovají. Nejasj pedpokládaným rozdlením 6 Obvykle je používáno asové období jednoho dne a nerval spolehlvos v rozmezí od 95% (nap. v RskMercs od J.P.Morgan) do 99% (nap. BIS).

3 rzkových fakor je rozdlení (mul)normální. Paramery rozdlení jako varance a korelace se obvykle odhadnou z hsorckých ad rzkových fakor 8.. Za druhé odhadneme pravdpodobnosní rozdlení P, j. zmny hodnoy porfola do následujícího dne. K omuo rozdlení dospjeme na základ znalos pravdpodobnosního rozdlení rzkových fakor (bod ) a oceovacích funkcí vyjadujících závslos cen nsrumen v porfolu na cho rzkových fakorech. 3. Nakonec ešíme rovnc [.] pro neznámou VaR. V rzkovém managemenu se vyvnulo nkolk písup k poíání VaR. Pozasavíme se kráce u charakersky dvou, keré budeme v následující ás používa. Prvním písupem je paramercká delanormální meoda 9. Druhým písupem je hsorcká smulace.. Dela-normální meoda s kovaranní mací Nejjednodušší a výpoen nejrychlejší z paramerckých písup je dela-normální meoda (dále DN meoda). Základním pedpokladem DN meody je, že: ) rozdlení zmn rzkových fakor (RF) je (mul)normáln rozloženo a ) v porfolu se vyskyují pouze nsrumeny jejchž cena je (pes oceovací modely) lneárn závslá na zmnách RF. Popíšeme zde výpoe VaR pomocí DN meody pro porfolo mn. Zde je RF samoný smnný kurz. Zmna RF je výnos smnného kurzu. P nervalu spolehlvos (-p) spoeme VaR jednolvé mny jako krckou hodnou (q p ) násobenou cenou mny a pedpovdí smrodané odchylky výnosu. Maemacky zapsáno edy máme: [.] VaR p = q * P * σ 0<p< kde σ je pedpov smrodané odchylky spojého výnosu na píší období vypoená s nformacem, keré byly k dspozc v ase 0 a q p je krcká hodnoa oddlující 00*p-procenní kvanl sandardzovaného normálního rozdlení N(0,) píslušný požadovanému nervalu spolehlvos (-p), vz.defnce [.3]. Napíklad pro nerval spolehlvos (-p) = 95% je q p [.3] P( Z q ) = F( q ) = f ( z) dz p q p p p = kde Z je sandardzovaná náhodná velna. VaR je edy kvanlem pravdpodobnosního rozdlení zmny ceny mny, což je analoge rovnce [.]. 7 VaR se bere jako kladné íslo, když vyjaduje pravdpodobnos zráy, j. záporné hodnoy zmny porfola. 8 U odhadování varance mohou bý aké použa daa obsažená v cenách opcí, zv. mpled volales. 9 Dela-normální písup se nkdy éž oznauje jako varance-covarance písup pro zdraznní explcního vlvu kovaranní mace p odvozování modelu. Dáváme pednos oznaení dela-normální pro zdraznní, že meoda je pesná pouze v prvním pblížení (dela = první dervace ceny nsrumenu podle rzkového fakoru) a za dodržení pedpokladu normaly rozdlení zmn rzkových fakor. 0 K pedpovdím volal se vráíme v podkapole... 3

4 VaR porfola složeného ze 4 mn dosaneme jednoduše jako soue VaR každé mny upravený o dverzfkaní vlvy. V pípad, že jsou mez všem mnam dokonalé korelace (+), poom jsou dverzfkaní vlvy nulové. VaR pro porfolo ak musí bý vždy roven nebo menší sum VaR. Macov máme dva alernavní zápsy pro výpoe VaR porfola. Za prvé: [.4] p VaR = VaR R VaR kde VaR je defnován jako [.], znaí ranspozc vekoru a R je pedpov korelaní mace výnos: [.5] R ρ = ρ ρ, 3, 4, ρ ρ ρ, 3, 4, ρ ρ ρ,3,3 4,3 ρ ρ ρ,4,4 3,4. Druhý (ekvvalenní) záps pro výpoe VaR je rovnce [.6]: [.6] p VaR = q p P S R S P kde S je vercová mace s pedpovm smrodaných odchylek na dagonále a nulam jnde. Problémem DN meody je zejména její pedpoklad normaly rozdlení zmn RF. Jak uvdíme dále, rozdlení zmn RF mají obvykle slné chvosy (zv. lepokuross) a absoluní hodnoa q p je ak podhodnocena. o následn podhodnocuje VaR v [.] a [.6]. Napíklad lepokurcká rozdlení mají pro 95% nerval spolehlvos krckou hodnou vyšší než.645σ a VaR íslo by edy mlo bý násobeno vyšším fakorem (vyšší krckou hodnoou q p ). Druhým problémem je, že DN meoda pedpokládá pouze lneární nsrumeny, zn. nsrumeny u kerých se druhé a vyšší dervace podle zmn RF rovnají nule. Pokud jsou však v porfolu hojn obsaženy derváy (opce, warrany ad.), nabývají vyšší dervace na významu. Pedpoklad mnohorozmrn normáln rozložených zmn rzkových fakor pak jž není posaující k zajšní normálního rozložení zmny hodnoy porfola P. Z ohoo dvodu se aké nkdy DN meod íká paral valuaon mehod, kde slovo paral (ásená) znaí ohodnocování nsrumen pouze pes první dervace podle RF... Odhad kovaranní mace Kovaranní mace zmn RF je základním vsupem p výpou VaR dela-normální meodou. V éo podkapole s ukážeme, jak bude kovaranní mace odhadována v následující ás éo práce. ermín volala budeme v následujícím exu používa výhradn pro smrodanou odchylku mezdenní zmny RF. Defnujme její odhad jako: [.7] r = + σ = * r SR S = Σ je kovaranní mace. Pro zahrnuí vyšších dervací se používá zv. dela-gamma aproxmace. Její používání pro porfola s více nsrumeny však není prakcké, proože poe paramer, keré musíme odhadnou geomercky rose (Joron, 997). 4

5 kde [.8] r P = ln P a P je cena, zn. smnný kurz. RF je zde edy logarmus smnného kurzu. asové ady r vykazují obvykle sascky významnou auokorelac, napíklad (J.P.Morgan, 996), (Joron, 997). Pokud použjeme dnešní smrodanou odchylku podle [.7] jako nejlepší nesranný odhad pro zíejší volalu, poom se dopoušíme chyby nedocenním významu nformace o dnešní úrovn volaly. Jednou z možnosí jak odhad zlepš je zmn vážení rozpyl asové ady z armeckého na exponencální: N N [.9] k k σ = λ * λ k = k= Když N poom plaí, že: * ( r k + r ) kde 0<λ<. [.0] λ ( λ) N k k = Suma z rovnce [.0] normuje soue vah v rovnc [.9] na jedna. Sejný posup jako [.9] mžeme zvol u odhadování kovarancí (podrobnj J.P.Morgan, 996). Paramer λ (lambda) se nazývá decay fakor. S lambda blížícím se k jedné se exponencální vážení lnearzuje. Naopak, fakor výrazn menší než jedna dává velkou váhu nejnovjším dam opro dam sarším (vz. obrázek ). Proože exponencální vážení bere pro výpoe odhadu volaly (efekvn) mén da, bývá asová posloupnos odhad volaly více volalní (vz. obrázek ). Z oho plyne následn vší volala VaR. Obrázek : Závslos váh hsorckých da na velkos lambda Expone ncální váhy pro 00 hsorckých da Sáí da (dny) armecké váhy Zdroj: Vlasní výpoy. 5

6 Obrázek : Závslos pedpovd volaly na lambda Pedpov volaly pro RUB s rzným lambda lambda lambda Jan-00 7-Jan-00 -Feb-00 8-Feb-00 5-Mar-00 -Mar-00 6-Apr-00 -Apr-00 8-May-00 4-May-00 9-Jun-00 5-Jun-00 -Jul-00 7-Jul-00 -Aug-00 8-Aug-00 3-Sep-00 9-Sep-00 5-Oc-00 3-Oc-00 6-Nov-00 -Dec-00 8-Dec-00 3-Jan-0 9-Jan-0 4-Feb-0 0-Feb-0 8-Mar-0 4-Mar-0 Zdroj: Vlasní výpoy. P jednodenním odhadu volaly nebudeme brá v úvahu odchylky da od prmru, ale od nuly. Dvodem je znané zjednodušení výpo. Joron (995) poukazuje na fak, že druhý síanec v rovnc [.7] je k prvnímu u všny fnanních da v pomru 700 ku jedné a jeho zanedbání by ak nemlo zpsob znané vychýlení odhadu. Navíc p nejso a nepesnos odhadování prmru mže bý pesnjší nasav prmr na hodnou konzsenní s fnanní eorí (J.P.Morgan, 996), (Fglewsk, 994) 3. Výhodou exponencálního vážení je možnos jeho zápsu v rekurzvní form. Pokud napíklad chceme vyjád varanc následujícího období za použí nformací do asu, poom pouze lneárn zkombnujeme mnulou pedpov varance pro as a novou realzac (novac) výnosu na druhou. Formáln prezenuje uo myšlenku [.]: [.] σ = ( λ)* = ( λ) * r k= 0 k λ * r k + λ *( λ) *( r = ( λ)* + λ * r ( r + λ * r +...) +...) = λ * σ + ( λ) * r ao forma zápsu [.] známá jako exponencáln vážený klouzavý prmr (EWMA) bude používána pro odhadování jednodenních volal v éo prác. Záps [.] odpovídá náhodnému procesu GARCH, : [.] = α 0 + αε + βσ σ ε.. d., Ν(0,) s paramery α 0 =0, α =-λ a β = λ. eno náhodný proces pro varanc, kerý byl poprvé navržen v Bollerslev (986) je pro yo paramery nesaconární. Pozdj byly aplkovány nové saconármí modely, napíklad model IGARCH,. Pro svou jednoduchos se v souasné dob v prax používá EWMA [.]. eore ohledn GARCH modelu a jeho varan je k nalezení napíklad v Engle (995). 3 S prodlužováním období na keré dláme pedpovd klesá planos ohoo pedpokladu. Pro dlouhé období zaíná prmr posupn nabýva na významu vzhledem k volal. Dvodem je, že prmr rose v ase rychlosí, smrodaná odchylka pouze rychlosí. 6

7 ... Odhad parameru λ pro EWMA Pro exponencální vážení da je nuno pedem sanov paramer λ (decay fakor). Pro výbr parameru λ pro jednolvé sére bude v éo prác použa meodologe navržená v J.P.Morgan (996). Lambda bude vybrána maxmalzací pesnos pedpovd varance 4,5. Defnujme chybu v pedpovd varance jako: + [.3] ε = r σ Poom, pokud chceme aby byly velké odchylky penalzovány více 6, defnujeme krérum RMSE v (roo-meansquare-error of predced varance) a mnmalzujeme jej pes paramer λ: [.4] τ = mn ( RMSE ( λ)) = mn * ( ε ( λ) ) λ (0;) v λ (0;) kde = až poe analyzovaných asových ad (= poe nsrumen v porfolu). N = K získání konzsenní kovaranní mace je eba odhadnou unverzální lambda ( ~ λ ), keré budeme používa pro exponencální vážení všech rzkových fakor (smnných kurz). Nech Π je suma mnmálních RMSE v píslušejícím jednolvým opmálním odhadm lambda pro jednolvé sére ( λˆ ): N [.5] Π = τ = Defnujme relavní mnmální chybu θ a váhy φ : [.6] θ = τ / τ N = [.7] φ = θ / θ N kde = = φ N = Unverzální lambda ~ λ podle J.P.Morgan (996) je pak defnováno jako: N = ~ [.8] λ φ * ˆ λ = Φ Λ = V prax o znamená, že ím je odhad pedpokladem ve výrazu [.8] je, že λˆ pro danou sér pesnjší, ím více je zahrnu do ~ λ. Implcním λˆ (a edy GARCH modely) jsou pro všechny sére sejné. o je však velm nepravdpodobné, proože výnosy rzných fnanních ad mají rzná pravdpodobnosní rozdlení v 4 Pesnos pedpovd kovarancí edy sejn jako J.P.Morgan (996) hodno nebudeme. Pro každou sér fnanních da by bylo eba odhadnou paramery λ pro varanc a kovarance. Celkov by ak bylo eba odhadnou N*(N+)/ lambda. Vybrání N lambda pro N sérí da je ak znaným zjednodušením ohoo problému. Celkový poe odhadovaných paramer se ak sníží o N*(N-)/. 5 Proože nemáme dosaek da pro odhadnuí lambda ex ane, odhadujeme jej ex pos. VaR odhad podle DN meody poom používá nformac, kerou jsme v ase odhadu nemohl mí. Pokud by bylo lambda sablní v ase, poom oo prakcké zjednodušení nepedsavuje žádný sascký problém. o je aké náš dodaený pedpoklad. 7

8 závslos na paramerech daného rhu. Defnce [.8] má poom závažný nedosaek. Pedsavme s nsrumen, kerý má velce pesnou pedpov λˆ pro vlasní asovou adu. Poom bude mí oo lambda vysoké váhy pro výpoe lambda porfola. Pokud však eno fnanní nsrumen nemáme v porfolu, ml bychom jeho výpou ~ λ vynecha. Abychom se vyhnul omuo problému, defnujeme nové váhy ω : [.9] ω = P * φ / abs( P ) Φ N kde = = ω P je absoluní hodnoa pozce ve fnanním nsrumenu a abs(p ) je ransponovaný vekor cho absoluních hodno. Nové unverzální ~* λ závslé na srukue porfola pak defnujeme jako: N = ~ * [.0] λ ω * ˆ λ = Ω Λ = eno výpoe nezažuje rzkového managera žádným dodaeným výpoy. Pouze se zvýší poe násobení mac p výpou VaR, což v dnešní dob výkonných poía není žádný problém: p ) [.] VaR = q X ( Ψ * Y ) ( Ψ * Y X λˆ z Ψ = k l= 0 ( Ω l Λ) * ( Ω Λ) ( Ω Λ).. ( Ω Λ) 0 k ( Ω Λ) ( Ω Λ).. ( Ω Λ) 0 k ( Ω Λ) ( Ω ( Ω.. Λ) Λ) 0 k k...poe hsorckých da pro výpoe volaly Ψ..mace váh o k-ádcích a pou sloupcích rovných pou nsrumen v porfolu *...znaí soun po prvcích Y..mace hsorckých spojých výnos o k-ádcích a pou sloupcích rovných pou nsrumen v porfolu P..vekor hodno pozc v jednolvých nsrumenech o pou ádcích rovných pou nsrumen v porfolu q p..krcká hodnoa pro danný nerval spolehlvos (-p) (nap pro p = 5%).. Hsorcká smulace Podívejme se nyní na zásupce druhé skupny model nazývaných full valuaon mehods. Podsaa hsorcké smulace (dále HS) spoívá v aplkac hsorckých rozdlení zmn RF na zmnu hodnoy souasného porfola. Zmny RF edy bereme z hsore a pomocí oceovacích model zjšujeme jaký vlv by yo hsorcké zmny mly na hodnou souasného porfola. Požadovaný kvanl rozdlení zmn hodnoy porfola je pak odhadem VaR. V následujících výpoech bude VaR u hsorcké smulace poíán jako: 6 Logka za penalzací velkých odchylek více (vercem vzdálenos) mže bý napíklad následující. Pokud varanc znan nadhodnocujeme, poom vychází VaR vyšší než ve skuenos je. Výpoy regulaního požadavku jsou ak vyšší než za použí správného modelu. o mplkuje, že by banka mohla bý eorecky více vysavena pákovému efeku a kapál by mohl bý více využíván. Pokud naopak varanc výrazn podhodnocueme, poom bude regulaní požadavek násoben výšším mulplkavním fakorem z dvodu španých výsledk zpného esování (vz.dále). 8

9 [.] VaR = 0.5* S ( w) + 0.5* S ( w) w [ α* w] kde w 00,00,300. [α*w] Z [ α* w] + Promnná w znaí poe da (pozorovací okno), keré vsupují do hsorcké smulace, a α je hladna významnos pro VaR. S(.) znaí [α*w]-ý nejmenší výnos porfola z pozorovacího okna. Každý den vsupuje do okna hsorcké smulace nový výnos a sarý se vypouší. Rozdlení výnos porfola jednoduše sleduje hsorcké pravdpodobnosní rozdlení a zahrnuje ak jak slné chvosy (pokud se vyskyovaly v mnulos), ak vyšší ády clvosí na podkladové akvum u dervá (pokud je máme zahrnuy v oceovacím modelu). HS se snaží odhadnou asem nepodmínné skuené rozdlení výnos. Proože se jedná o meodu neparamerckou, je pro výpoe VaR obvykle poeba více da než pro paramerckou DN meodu (>00 u HS versus > 0 u DN meody). S rosoucím poem hsorckých da použých pro HS rose pesnos pedpovd VaR. HS je navíc je meodou robusní, proože napíklad p 95% nervalu spolehlvos není doena an p yech španých daech ze sa 7. Naopak DN meoda je vychýlena jž p jednom španém pozorování, proože je založena na smrodané odchylce poíané z celého souboru da 8. Hlavní výhodou hsorcké analýzy opro DN meod je, že rozdlení zmn rzkových fakor a/nebo rozdlení eoreckých zmn hodnoy porfola nemusí bý nun normální. Insrumeny v porfolu ak nemusí bý lneárn závslé na zmn RF. Obvykle se doporuuje používa pokud s nejsme js normalou výnos na rhu (emergng markes) a/nebo nemžeme provozova výpoen náronou Mone Carlo smulac (Dupre, 998) pro full valuaon 9. V prax se navíc hsorckou smulací dosahuje obvykle dobrých výsledk, napíklad (Hendrcks, 996), (Shmko, Humpreys a Pan, 998). Hsorcká smulace má adu krk. Hlavní námka smuje pro adapvním oekáváním. Je dskuablní do jaké míry mžou hsorcké nformace pomoc v pedpovd budoucnos. Zárove HS používá lneární vážení mnulých výnos. VaR poom není clvý na poslední vývoj rhu, což mže bý zvláš nepíjemné, když je volala auokorelována. P posupném posouvání pozorovacího okna da aké hrozí nebezpeí, že pokud je nejvzdálenjší zmna RF exrémní, poom mže její vypušní znan ovlvn odhad VaR. akovéo skoky v odhadech nejsou ím, co dává managerov nformace o pravdvém savu rhu a movy k rozhodování o alokac akv. ešením skok není an prodloužení pozorovacího okna da (vz. obrázek 3), proože poom mžeme zaí brá do úvahy daa, kerá jsou relevanní souasné suac na rhu. Významným nedosakem HS je aké poeba všího pou da, keré jsou aso nedosupná (zvláš na nov vznkajících rzích). 7 Pokud jsou oulery nespadajících do nervalu spolehlvos pouze chybou ve sbru da, poom je náš odhad VaR vychýlen smrem k pecenní rzka. 8 O pedpokladu µ=0 v podkapole.. výše. 9

10 Obrázek 3: Hsorcká smulace pro RUB Hsorcká smulace pro RUB Apr-98 Jul-98 Oc-98 Jan-99 Apr-99 Jul-99 Oc denní výnos 95%_HS00 95%_HS300 99%_HS00 99%_HS300 Poznámka: Vdíme, že hsorcká smulace je ím clvjší, ím mén da bere v úvahu, a ím vyšší je nerval spolehlvos. Zdroj: Vlasní výpoy..3 Zpné esování VaR uruje s jakou pravdpodobnosí bude pekroena jsá úrove zráy. Pokud je VaR poíán napíklad na 97.5% nervalu spolehlvos poom je oekáváno, že zráa vyšší než VaR by mla nasa pblžn 6 až 7krá za rok (p 50 obchodních dnech). Srovnávání denních hypoeckých zsk/zrá porfola (nemnícího se ze dne na den) s pedpovdí VaR se nazývá backesng nebol zpné esování modelu. Zpné esování modelu ak ukazuje, zda daný model adekván reflekuje rzko porfola. Napíklad pokud je VaR pekroen 3krá za rok, poom zamíneme hypoézu o správnos modelu na 99% nervalu spolehlvos. Jednosranná p-hodnoa se poíá z kumulavního bnomckého rozdlení jako: l n s [.3] p = s * α *( α) s= 0 n s kde α je hladna významnos (.5%), n je poe pedpovdí VaR (50) a l je poe pekroení VaR (3), j. poe denních zrá v ase (+), keré pekroly VaR spoený v ase. Grafcky je zpné esování ukázán na obrázku 3.. Kapálová pmenos Jak jž bylo uvedeno výše, kapálový požadavek (KP) se dovoluje poía bu sandardzovanou meodou nebo pomocí nerních model. Ped ím, než uvedeme kvanavní požadavky a zpsob vypou KP p použí nerních model, lusrujeme na jednoduchém píklad sandardzovanou meodu p rzkovém fakoru smnného kurzu 0. 9 V omo smyslu je doporuována regulí BIS. 0 Z dvodu omezeného prosoru a zamení éo práce se nebudeme sandardní meodou podrobnj zabýva. Zájemce odkazujeme na (Hojdar, 000), (NB, 999), (BIS, 996). Krka sandardzované meody napíklad v Hojdar (000). 0

11 Píklad : Výpoe KP pro rzko smnného kurzu sé pozce v jednolvých mnách v základní mn (mo K) EUR GBP CZK USD YEN PLN V každé zahranní mn se nejprve seou sé expozce a pevedou do základní mny (K). Dále se seou dlouhé a kráké sé expozce v jednolvých mnách. Vší z cho sou v absoluní hodno je násoben 8%. V omo pípad je KP spoen jako max(97, -57)*0.08 = 7.76 mo K. Pokud se banky rozhodnou používa nerní model k urení KP musí eno model splova podle BIS (996) mnmální kvanavním kréra : ) VaR by ml bý poíán denn a o na 99% jednosranném nervalu spolehlvos. ) Mnmální doba držení (lkvdace) porfola je 0 obchodních dní. Bankám je dovoleno poía VaR pro kraší dobu držení, s nunosí uprav výsledný VaR odmocnnou asu. 3) Volaly a korelace musí bý založeny mnmáln na jednom roku hsorckých pozorování. V pípad, že banka používá daa vážená, musí bý mnmální efekvní doba pozorování jeden rok, zn. že vážený prmr asového zpoždní musí bý mnmáln 6 msíc (cuj BIS, 996). Reguláor zárove mže po bance požadova poíání VaR založené na kraším hsorckém období pokud znan vzrose volala rhu. asové ady musí bý akualzovány mnmáln jednou za vr roku. 4) Bankám se dovoluje používa korelace mez jednolvým ídam rzkových fakor, pokud jsou yo k dspozc. 5) Banka musí na denní báz splova KP, poíaný jako: [.] KP = Max( k / 60 VaR, VaR ) 59 j= 0 j 3 kde k je je mulplkavní fakor nabývající hodno mez 3 až 4 v závslos na výsledcích zpného esování modelu (vz. abulka ). o slovy znamená, že KP se spoe jako vyšší íslo z: ) prmr VaR za posledních 60 obchodních dní násobený fakorem k ) VaR pedešlého dne. Zhodnocení a krka požadavk na nerní modely napíklad v Hojdar (000) nebo v Barone (998). Inerní modely musí dále splova kréra kvalavní povahy (BIS, 996), (NB, 999). Podle výzkumu provedeného Foregn Exchange Comee (FEC), kerá je souásí Fed se denní VaR po zapoení korelací mez ídam fakor sníží v prmru.krá (FEC, 995). 3 eská národní banka (NB, 999, ás, 59, písmeno ) požaduje poíání kapálového požadavku podle vzorce: 59 [.] KP = k * Max(/ 60 VaR j, VaR ) j= 0 Dvody odlšného výpou a mplkacem pro kapálový požadavek se budeme zabýva v další ás práce.

12 6) V pípad, že specfcké rzko není zahrnuo v nerním modelu, je poíáno pomocí sandardzované meody. 7) Inerní modely musí zahrnova nelneární rzko fnanních nsrumen, jako nap. gamma a vega u opcí. 8) Banky jsou povnny zpn esova své nerní modely 4, a o nejmén jednou za vr roku. Zpné esování modelu musí bý založeno mnmáln na posledních 50 výsledcích nerního modelu. VaR, upravený na jednodenní pohyby cen a kurz, se srovnává se a) skueným zskem/zráou následujícího dne a b) eoreckým zskem/zráou následujícího dne v pípad, že by se nezmnly pozce. Dvodem pro poíání dvou rzných ukazael je, že VaR je hodnoa, kerou mže porfolo zra bhem následujícího dne v pípad, že se nebudou mn pozce. V omo pípad je lepší ukazael b). o ale znamená, že VaR mže eorecky podhodnocova skuenou poencální zráu podhodnocováním rzka plynoucího z nra-denního obchodování. Z ohoo dvodu požaduje BIS po bankách zpn esova své modely podle ukazaele a). P poíání podle prvního pípadu a) je navíc pesnjší poía VaR kolem sední hodnoy denních výnos (DEaR) 5,zv. non-poson-akng ncome, proože rozdlení výnosu porfola není symercké kolem nuly a VaR by ak ml endenc rzko nadhodnocova. V pípad 50 obchodních dní a 99% nervalu spolehlvos je oekávaný poe vyjímek nespadající do nervalu (-VaR,+VaR) dv a pl. abulka ukazuje pímou úmrnos mulplkáoru k z [.] na pou pekroení VaR. eno mulplkáor je banka nucena používa pro následující období po provedení zpného esování. abulka : Závslos mulplkáoru na pekroení VaR p 50 pozorováních Poe vyjímek Mulplkáor k Kumulavní pravdpodobnos (%) 4 a mén % % % % % % 0 a více % Poznámka: Poslední sloupec znaí kumulavní pravdpodobnos (z bnomckého rozdlení), že se vyskyne mén nebo rovný poe vyjímek ve sloupc jedna za pedpokladu, že VaR model je správný. Jde edy o (-p) hodnou z rovnce [.3]. Zvyšování mulplkavního fakoru nasává v pípad, že poe vyjímek je vyšší (nebo sejný) než maxmální poe vyjímek oekávaných na 95% nervalu spolehlvos p použí správného modelu. Zdroj: BIS, 996a, vlasní výpoy. 4 Pro zpné esování vydala BIS zvlášní dokumen (BIS, 996a). 5 Ohledn ukazaele Daly-Earnngs-a-Rsk (DEaR) podrobnj napíklad J.P.Morgan (999).

13 9) Banky jsou povnny provád smulace exrémních scéná (zv. sresové esování) velm nepravdpodobných pohyb rhu (více než 3 smrodané odchylky zmn rzkových fakor). Obvykle se p sresovém scéna položí všechny korelace plus/mnus jedné (paralelní posun kvek a cen) a volaly se nasaví na vysokou hodnou odvozenou z hsorckých exrémních pohyb rhu. 3. Analýza smnných kurz a nerních model Následující emprcká ás je rozdlena posupn na: ) analýzu jednolvých asových ad výnos smnných kurz (podkapola 3.) a ) analýzu porfolí složených z cho analyzovaných mn (podkapola 3.). 3. Základní sascké znaky asových ad smnných kurz sední a východní Evropy Na analýzu asových ad spojých denních výnos smnných kurz použjeme denní daa z období 3.února 997 až 8.lsopadu 999, o jes celkem 700 hsorckých da. Všechny výnosy a následné výpoy jsou v základní mn CZK. esy provádíme a pror na 95% nervalu spolehlvos. Budeme sledova sedoevropské mny (HUF, PLN, SKK) a p hlavních svových mn (USD, EUR 6, JPN, GBP, CHF). Jako zdroj používáme ofcální kurzy NB. Navíc se pokusíme analyzova hlavní východoevropskou mnu RUB 7. Následující abulka ukazuje hlavní paramery výše zmínných fnanních ad spolen s p-hodnoam pro esování nulových hypoéz. abulka : Základní sasky jednolvých ad smnných kurz USD SKK HUF PLN RUB EUR GBP CHF JPY NORMAL Škmos Špaos D Agosno omnbus* p-hodnoa 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% N.A. Nepodmínná výbrová smrodaná odchylka N.A. Prmr 3.37E E E E E-03.4E E-04.8E E-04 - Obousranná p- hodnoa 9.8% 9.33% 45.50% 49.8% 8.4% 55.9% 7.46% 4.85% 9.3% N.A. * Defnce éo sasky k nalezení v D Agosno R.B., Belanger A., D Agosno R.B. Jr. (990). Nulová p-hodnoa éo sasky íká, že zavrhujeme hypoézu Ho: Analyzovaná daa pocházejí z normálního rozdlení. P výpou éo sasky se kombnují nformace obsažené v škmos a špaos. Zdroj: vlasní výpoy (SAISICA a NCSS). Podívejme se nejdíve, zda pedpoklad nulového denního výnosu podporují naše výsledky. Z abulky vdíme, že obousranná p-hodnoa pro nulovou hypoézu denní výnos je nula je vždy vyšší než 5%. Dokonce p 6 Pro kurz EUR do konce roku 998 budeme jako reprezenavní mnu považova DEM upravený konverzním fakorem Odvodnní ohoo pedpokladu napíklad v J.P.Morgan (998). 7 Proože NB neposkyuje ofcální kurzy pro RUB, zvoll jsme jako zdroj uzavírací kurzy mezbankovního rhu na REUERS. Daa jsme ak musel posunou o jeden den, proože vývoj na rhu pedchází vždy o jeden den ofcální kurz NB. Koace NB jsou vždy pro následující den. 3

14 jednosranné p-hodno es na obvykle požadovaném 95% nervalu spolehlvos projde. Pedpoklad nulového denního výnosu je ak v souladu s pozorovaným day. Saska D Agosno omnbus (D Agosno R.B., Belanger A., D Agosno R.B. Jr., 990) nám naznauje, že žádná z analyzovaných asových ad smnných kurz nepochází z normálního rozdlení. Pozvní škmos u všny da ndkují, že velké zmny cen se vyskyují asj v pravé ás funkce husoy. o znamená, že kvanl na levé sran pokrývá ve skuenos více zrá než bychom oekával p symerckém rozdlní a ndkuje obecn nadhodnocování VaR odhadu. Naopak, pozvní špaos napovídají, že výnosy jsou obvykle více nahušné kolem sední hodnoy a ve chvosech rozdlení (lepokuross) a odhady VaR jsou obecn podhodnocené. Celkový efek mžeme vysledova ze sask zpného esování (vz. dále). Následující abulka 3 povrzuje, že výnosy jsou nezávslé pes první momeny. Pouze RUB vykazuje sascky významné auokorelace výnos na 95% nervalu spolehlvos. Dvodem by mohla bý znaná nevyvnuos rhu, napíklad malá možnos prodej na kráko a problém lkvdy (vz. Wller D., 998). Nové nformace ak nejsou reflekovány v cen RUB okamž, ale pouze posupn, což je práv možnou pínou auokorelace. V hranaých závorkách jsou v abulce odlšeny auokorelaní koefceny a obousranné p-hodnoy, keré jsou sascky rozlšelné na 5% hladn významnos. Odhad auokorelaního koefcenu ρ k je defnován jako: [3.] ˆ ρ k = ( r = k + = r)( r k r) * ( k ) ( r r) kde k je poe zpoždní a r je prmr výnosu (J.P.Morgan, 996). Poznamenejme ješ, že p-hodnoa je za pedpokladu normaly a velkého vzorku pozorování spoena ze smrodané odchylky odhadu korelaního koefcenu defnované asympocky jako: [3.] SD = (Andl, 993). 4

15 abulka 3: Auokorelaní koefceny USD SKK HUF PLN RUB EUR GBP CHF JPY Lag k [-0.] [0.6] [-0.084] 0.08 [0.093] [-0.7] [-0.093] [-0.335] [-0.35] [0.57] [0.083] [0.44] Lag k Obousranná p-hodnoa 6.94% [0.33%] 46.3% 5.7% [0.00%] 6.84% 78.6% 38.59% [.60%] 64.% [.35%] 5.87% 94.66% 56.05% 9.0% 74.63% 89.45% 4.5% 3 9.6% 3.56% 6.8% 9.43% [0.0%] 9.64% 48.09% 3.99% [.35%] 4 8.% 74.85% 5.0% 60.5% [0.00%] 5.63% 9.67% 30.6% 3.6% % 35.60% 73.80% 90.39% [0.00%] 57.% 67.44% 97.0% 67.% % 83.78% 96.03% 88.97% 56.05% 9.79% 89.0% 6.6% 69.43% % 33.59% 73.8% 67.8%.36% 55.45% 55.4% 74.35% 73.46% % 9.50% 38.07% 63.9% [0.00%] 4.73% 87.80% 33.0% 45.6% % 6.90% 96.45% 98.93% [.8%] 46.73% 73.0% 50.35% 99.6% % 7.97% 8.5% 45.3% [0.0%] 7.% 79.3% 7.4% 67.83% Poznámka: Použo =700 da. Zdroj: Vlasní výpoy, SAISICA. Obrázek 4: Auokorelaní koefceny pro RUB RUB korelogram Rho Lag Poznámka: Vodorovné áry ohranují horní a dolní meze pro nezamínuuí hypoézy že výnosy nejsou auokorelované na 95% obousranném nervalu spolehlvos. Zdroj: Vlasní výpoy (SAISICA). 5

16 První dva ádky abulky 4 ukazují výsledky odhadu lambda pro EWMA u jednolvých asových ad. Meodologe odhadu λ (vz. podkapola...) u každé z analyzovaných asových ad je následující:. Pro dané λ spoíáme 450 odhad podmínné varance.. Poé spoeme 450 chyb v pedpovd varance podle [.3]) umocnných na druhou. Smrodaná odhylka chyby pedpovd varance je nám hledané RMSE v (λ) (vz. [.4]). 4. o provedeme 396krá pro každé λ z nervalu <0.6, 0.995> s erací Za opmální λ vybereme o, keré má nejmenší RMSE v. Mnmalzace je provádna ve Vsual Basc a v Excelu. abulka 4: Lambda a CM pro jednolvé ady smnných kurz USD SKK HUF PLN RUB EUR GBP CHF JPY Opmal Daa Lambda N.A. 450 τ = RMSE v.5e-04.97e E-05.6E-04 8.E E-05.08E E-05.8E Výnos /Sgma CM(5%) -.4 [-.567] -.6 [-.89] [-.94] CM(5%)/Oek..04 [.4].05 [.] [.4] CM(%) [-3.97] [-3.063] [-3.596] [-3.34] CM(%)/Oek..07 [.0].00 [.5] [.35] [.5] Zdroj: Vlasní výpoy (Vsual Basc a Excel97). Správnos pedpovd smrodané odchylky analyzujeme pes sandardzovaný výnos. Pokud pro každé odhadneme smrodanou odchylku podmínného rozdlení pesn, poom výsledné sandardzované výnosy budou rozdleny podle rozdlení Φ(0,). Výsledky prezenuje eí ádek abulky 4 a ukazuje, že rozdlení má skuen smrodanou odchylku velm blízkou jedné. I odchylka u RUB ndkující podhodnocování pedpovd volaly je malá 8. Další esem zkoumající obecn adekvános VaR zejména pro regulaní úely je zv. censored mean (CM), nkdy nazývaný expeced shorfall. Pokud pedpokládáme normální rozdlení, je podmínná sední hodnoa sandardzovaného výnosu, za pedpokladu, že je jsá hrance (VaR = kvanl q p ) pekroena, defnována jako: ϕ( q p ) [3.3] CM ( q p ) = * xϕ( x) dx = Φ( q ) Φ( q ) p q p p kde ϕ(.) je husoa a Φ(.) je kumulavní dsrbuní funce pro sandardzované normální rozdlení. Pro 90% nerval spolehlvos je CM =.063 a pro 95% nerval je CM =.338. Poslední y ádky abulky 4 ukazují CM pro jednolvé mny. Vdíme zde výraznou odlšnos mn z emergng markes. V hranaých závorkách jsou odlšeny podmínné výnosy pesahující o více než 0% oekávaný CM. Krom maarského fornu vykazují yo mny znan vyšší rzkovos ve chvosech rozdlení a z regulaního hledska jsou ak poencáln více nebezpené pro pípadnou nelkvdu nebo nesolvennos banky. 8 Napíklad J.P.Morgan zjšuje u MXN a ARS pro λ=0.94 smrodanou odchylku kolem í (J.P.Morgan, 996a). Je však nuné zdrazn, že J.P.Morgan nepoužl v éo sud pro mexckou a argennskou mnu opmálního odhadu lambda pro jednolvé asové ady. 6

17 .3. Zpné esování výsledk u jednolvých asových ad smnných kurz Na závr sude jednolvých ad prezenujeme zpné esování. Následující abulka 5 ukazuje závslos výše mulplkáoru na pou pekroení VaR na jednosranném 99% nervalu spolehlvos p 400 pedpovdích 9. BIS rozlšuje výsledky zpného esování model na zóny: zelená, žluá a ervená zóna. abulka 5: Závslos mulplkáoru na pekroení VaR p 400 pozorováních Poe vyjímek Mulplkáor k Kumulavní pravdpodobnos (%) Zóna 7 a mén % Zelená [] % % % Žluá [] % % 3 a více % ervená [3] Zdroj: Vlasní výpoy a BIS (996a). V zelené zón [] se považuje použý model za správný, ve žlué zón [] se považuje za pravdpodobn neadekvání, což se odráží ve zvyšujícím se mulplkáoru k. V ervené zón [3] je model povážován za španý a reguláor mže jeho další používání zakáza. Následující y abulky 6a-d ukazují jak se daa chovají p modelování rzným písupy VaR na 99% nervalu spolehlvos. Jde posupn o dela-normální meodu a hsorckou smulac založenou na 00, 00 a 300 hsorckých daech. V následujícím hodnocení jsou vynechány výsledky u RUB. Chování výnosu éo mny není sandardní a její zahrnuí do analýzy by znan vychýllo výsledky. O jeho píspvku k hodnocení meod pro výpoe VaR se zmíníme pozdj. Meodologe použá p výpoech v abulkách 6a-d je následující:. VaR je poíán na nervalu spolehlvos 99% pro jednodenní asový horzon.. Podmínná varance pro DN meodu je odhadována EWMA s lambda z abulky VaR u DN meody je poíán podle [.]. 4. VaR u HS je poíán podle [.]. 5. Jednosranná p-hodnou je poíána podle [.3]. 6. Mulplkáor je nasavován ex pos podle abulky 5. Zárove se pedpokládá, že banka musí splova kapálovou pmenos (upravenou mulplkáorem) po celé zkoumané období. ao nekonzsence by nemla mí vlv na samoné hodnocení modelu. Z hledska správnos použého modelu je relevanní, zda banka bude pla kapálový požadavek ped, nebo po provedení analýzy o správnos model, proože mžeme pedpokláda nekonený asový horzon a sále sejné fungování daného modelu v ase. 7. Kapálový požadavek je poíán pro jednodenní asové období podle meodky BIS [.] a NB [.]. Aby sploval výše uvedené požadavky BIS a NB (bod v podkapole.), musel by bý dále násoben 0. 7

18 abulka 6a: DN meoda VaR USD SKK HUF PLN RUB EUR GBP CHF JPY Prmr* Jednosr. p-hodnoa 99%.4% [0.78%] 5.0% [0.78%] [0.00%] 76.34% 0.96% 76.34% 56.75% Mulplkáor k NB (KP) 5.99% 5.99% 4.54% 5.88% 3.55% 4.4% 5.67% 4.96% 8.6% 5.69% BIS (KP) 99% 5.60% 5.53% 4.% 5.9% 3.8% 3.85% 5.6% 4.57% 7.65% 5.3% Lambda abulka 6b: HS 00 dní VaR USD SKK HUF PLN RUB EUR GBP CHF JPY Prmr* Jednosr. p-hodnoa 99% 0.96% 0.96% [.08%] [0.7%] [.08%] 0.96%.4%.4% 37.% Mulplkáor k NB (KP) 6.0% 7.94% 5.8% 7.07% 47.6% 4.3% 5.79% 5.08% 7.84% 6.6% 99% BIS (KP) 5.66% 7.09% 4.93% 6.39% 40.% 3.97% 5.47% 4.85% 7.47% 5.73% abulka 6c: HS 00 dní VaR USD SKK HUF PLN RUB EUR GBP CHF JPY Prmr* Jednosr. P-hodnoa 99% 0.96% [.08%] 5.0% [0.78%] [.08%] [.08%] 5.0%.4% 37.% Mulplkáor k NB (KP) 6.4% 7.65% 4.83% 7.49% 59.9% 4.56% 5.88% 4.8% 7.3% 6.% 99% BIS (KP) 6.5% 7.0% 4.6% 7.05% 53.76% 4.43% 5.75% 4.74% 7.7% 5.90% abulka 6d: HS 300 dní VaR USD SKK HUF PLN RUB EUR GBP CHF JPY Prmr* Jednosr. P-hodnoa 99%.4% 5.0%.4% 37.% [0.78%].4% 37.% 37.%.4% Mulplkáor k NB (KP) 6.59% 5.6% 4.7% 6.39% 63.6% 4.7% 5.9% 4.95% 7.8% 5.69% 99% BIS (KP) 6.44% 5.43% 4.58% 6.6% 58.% 4.% 5.85% 4.93% 7.05% 5.57% * Prmr je bez RUB. Zdroj: Vlasní výpoy (Vsual Basc a Excel97). V hranaých závorkách je oznaena p-hodnoa nžší než 5%. a následn v druhých ádcích abulek 6a-d ndkuje zvýšený mulplkáor k pazený podle abulky 5 a defnce [.3]. Souhrn nejdležjších výsledk z abulek 6a-d prezenuje abulka 7. abulka 7: Prmrné hodnoy bez RUB NB BIS NB více o k DN 5.69% ** 5.3% * 8.80% 3.3 ** HS % 5.73% 7.50% 3.3 HS 00 6.% 5.90% 3.73% 3.6 HS % * 5.57% **.5% 3.00 * Poznámka: Hvzdkou je zvýraznn nejlepší prmrný výsledek a dvma hvzdkama druhý nejlepší prmrný výsledek. Zdroj: Vlasní výpoy. Pokud hodnoíme pesnos pedpovd volaly, kerá je reflekována pes zpné esování v mulplkáoru pro kapálový požadavek k, poom nám jako nejlepší vychází nesporn HS založená na 300 daech (HS 300). Druhá nejlepší je DN meoda. Nejhorší výsledky poskyuje HS založená na 00 daech (HS 00). 9 Pokud je kumulavní pravdpodobnos vyšší než 95%, poom se zaíná mulplkavní fakor zvyšova nad. P pesažení 99.99% je mulplkavní fakor maxmální, j. y (BIS, 996). Ve žlué zón pedpokládáme, že p každé další vyjímce se mulplkavní fakor zvyšuje o jednu úrove. 8

19 Pokud hodnoíme jednolvé meody podle oho jak jsou nároné na kapálový požadavek, poom musíme rozlšova podle meodky výpou KP zda podle BIS, podle NB. Podle BIS meodky [.] je nejlepší DN písup následovaný HS 300. Podle meodky NB [.] vychází výpoe KP hsorckou smulací 300 a delanormální meodou prakcky sejn. Zárove je zajímavé s povšmnou závslos pomru KP mez NB a BIS. ím je pedpov volalnjší, ím je požadavek NB písnjší (zn., že je požadován vyšší KP). Kapálový požadavek je u NB velce volalní v ase (prosazuje se denní VaR ve vzorc [.]). U meodologe BIS se KP mní znan jen jednou za delší období (prosazuje se prmrný VaR ve vzorc [.]). eno rozdíl má prakcké dopady. Proože banka musí splova KP na denní báz, meodologe NB znamená, že banka musí denn upravova svj kapál adekvání pro výpoe KP. o je v prax nemožné. Navíc podsaa kapálu spoívá v jeho sabl a ne v jeho každodenním upravování. Z ohoo dvodu by banka musela drže vyšší než vypoený KP. Kapálové požadavky podle NB vypoené v abulce 6a-d by edy byly v prax ješ vyšší a zráa konkurenceschopnos by byla výraznjší než p srovnání eoreckých ísel spoených dvma rzným meodologem. Konzulace ohoo rozdílu s NB ukázala, že rozdílná meodologe je zapínna nesprávnou nerpreací BIS požadavk. ao práce se edy zárove snaží emprcky zdvodn, pro je nuná novelzace opaení NB ped jeho mplemenací do praxe v prbhu roku 000. Ppomeme, že kapálový požadavek pro ržní rzko smnných kurz u sandardního modelu musí bý mnmáln 8% pro dobu držení dese dn, zn. p použí pravdla odmocnny asu 8%/ 0 =.53% pro dobu držení jednoho dne. Kapálové požadavky v abulce 6a-d vypoené pomocí nerních model jsou mnohem vyšší než podle sandardzované meody (.53%). Dvodem je zejména, že zkoumáme pouze jednolvé mny a nebereme ak v poaz dverzfkaní efeky. Pokud se podíváme na RUB, poom naopak DN meoda a HS 300 vykazují horší výsledky než HS 00 a HS 00. Dvodem je, že HS 300 nezane bhem krze reagova dosaen rychle a nkolk koncenrovaných exrémních výnos na poáku krze pesahujících VaR zapíní špané výsledky zpného esování. Navíc se VaR v období po krz po dlouhou dobu pohybuje v nerealscky vysokých mezích. U DN meody je španý výsledek zapínný nepesn odhadnuým paramerem lambda. Odhad lambda je vychýlen k nžší hodno aby podmínná pedpovd volaly reagovala dosaen rychle na exrémní pohyby kurzu p srpnové krz v roce 998. Pro zbyek zkoumaného období však eno odhad (λ=0.694) není opmální. Jde o jsou obdobu leveraged pons u regresní analýzy a následné vychýlenos regresor. Lambda by ak bylo lepší odhadova njakou robusní meodou, zn. napíklad vynecháním exrémních výkyv rhu Analýza porfolí složených ze zahranních mn Po analýze jednolvých asových ad se pokusíme analyzova rozdíly v pesnos pedpovd VaR a ve výš KP p použí rzných meod pro poíání VaR u 6 porfolí vysavených pouze rzku smnného kurzu. Porfola byla vybrána ex ane s cílem nedopouše se vybírání srukury porfolí podporující jednu ze zkoumaným meod (DN meodu nebo HS). Zárove jsme se pokoušel u všny porfolí zachováva ad hoc logckou srukuru, zn. nesesavoval jsem nerealscká a náhodná porfola, a když ano, pak pouze pro demonsraní úely (kaasrofcké porfolo 0). Porfola a jejch srukuru ukazuje následující abulka Pro zajímavos zde odcujme závr ze sude o chování smnných kurz a akcí provedenou J.P.Morgan (996a)....je pochybné, že by jakýkolv model fungoval dobe bhem krzí, a proo je nejlepší nehodno model na základ výsledk v omo období. 9

20 abulka 8: Srukura porfolí Pops USD SKK HUF PLN RUB EUR GBP CHF JPY Porfolo Východní blok 5.00% 5.00% 5.00% 5.00% Porfolo Sední Evropa + USD 5.00% 5.00% 5.00% 5.00% Porfolo 3 Sední Evropa + EUR 5.00% 5.00% 5.00% 5.00% Porfolo 4 Všechno.%.%.%.%.%.%.%.%.% Porfolo 5 Sední Evropa 33.33% 33.33% 33.33% Porfolo 6 Západní blok 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% Porfolo 7 Pacfk 50.00% 50.00% Porfolo 8 DolarEuro 50.00% 50.00% Porfolo 9 Všechno RUB.50%.50%.50%.50%.50%.50%.50%.50% Porfolo 0 Západní Evropa 33.33% 33.33% 33.33% Porfolo Slovensko+ 0.00% 60.00% % % Porfolo.Sední Evropa % % % % 00.00% 00.00% 00.00% Porfolo 3.Sední Evropa % % % % 5.00% Porfolo 4 Euro % 00.00% % % % 00.00% 5.00% Porfolo 5 Polsko % % % 50.00% 50.00% Porfolo 6 Maarsko % % 65.00% % 60.00% Porfolo 7 MIX 0.00% 30.00% % 50.00% 50.00% % 50.00% Porfolo 8 Západní Evropa % 50.00% 50.00% 50.00% % % Porfolo 9 Spekulace 40.00% 0.00% 40.00% Porfolo 0 (Kaasrofa) % 00.00% Porfolo MIX % 0.00% % % 0.00% 0.00% 00.00% % 00.00% Porfolo MIX % % 50.00% % 0.00% 50.00% 00.00% % 0.00% Porfolo 3 MIX % 60.00% 60.00% 60.00% 0.00% 90.00% % % % Porfolo 4 MIX % % % % 0.00% % % % 0.00% Porfolo 5 MIX % 70.00% 70.00% 70.00% 0.00% % % 0.00% 00.00% Porfolo 6 MIX % 50.00% % 50.00% 0.00% % 00.00% 50.00% 0.00% Pro jednoduchos u porfola vždy pedpokládáme, že jednoka sms zahranních mn je fnancována jednokou CZK. Kapálové pmenos, keré poíáme níže, jsou vyjádeny v procenech z éo jednoky a naznaují ak mnmální podíl vlasního kapálu 3 p vorb daného porfola. Každý den je MM porfola nula a srukura porfola sejná. Každý den edy nvesujeme znovu sejné porfolo (zn., že mnulé zráy jsou pln realzovány). Ve všech výpoech budeme vynecháva porfolo 0, keré je zde prezenováno jenom pro demonsrac skuenos, že v krzových období nefunguje uspokojv žádný ze zkoumaných model pro odhad VaR. Odlšnos od meodologe použé pro jednolvé asové ady (abulka 6a-d) jsou následující:. VaR je poíán na nervalu spolehlvos 99% pro jednodenní asový horzon. Všechny kapálové požadavky jsou poíány pro desedenní dobu držení porfola s použím násobku 0.. Podmínná kovaranní mace pro DN meodu je odhadována EWMA s lambda podle [.8]. Pro DN * meodu je použo lambda podle [.0]. 3. VaR u DN a DN * meody je poíán podle [.6]. Appendx shrnuje výsledky pro jednolva porfola z abulky 8 p použí 5 rzných meod. Navíc zde ukazujeme KP podle sandardzované meody 3. 3 Vlasním kapálem zde budu mí na mysl kapál, kerý mže bý použ na splnní kapálového požadavku pro ržní rzko, zn. er, er a er 3 až do víše 50% er použého pro ržní rzko. Defnce v BIS (996). 0

21 Pokud jsou výsledky zpného esování ak špané, že mulplkáor vychází k=4, poom má regulaní nsuce právo zakáza používaný model. Porfolo 5, složené ze í mn sední Evropy, z ohoo pohledu dskvalfkuje používání HS 00 ješ ped podrobnjší analýzou výsledk. Výkonos model mžeme znovu (jako u jednolvých ad smnných kurz) hodno podle pesnos pedpovd a podle náronos na kapálový požadavek. Následující abulka 9 ukazuje souhrnné výsledky podle kerých hodnoíme pesnos pedpovd. abulka 9: Pesnos odhadování volaly u porfolí Mulplkáor k Prmr k Meoda Poe ve 5 porfolích DN meoda ** ** DN* meoda HS [] 3.4 HS HS 300 * * Poznámka: Hvzdkou je zvýraznn nejlepší prmrný výsledek a dvma hvzdkama druhý nejlepší prmrný výsledek. Zdroj: Vlasní výpoy. Vdíme, že nejlepší výsledky dává HS 300 sn následována DN meodou. Pozorovací okno HS má velký vlv na výsledky modelu. Vdíme, že výsledky HS 00 a HS 00 jsou opro osaním meodám velm špané. o je v souladu s vrzením z podkapoly., že pro odhadnuí nepodmínného pravdpodobnosního rozdlení zmn rzkových fakor je poeba více hsorckých da. Problémem u HS 300 však je, že dobré výsledky zpného esování jdou na úkor nadhodnocování rzka, a ím KP. P pohledu na abulku 0 vdíme, že KP u HS 300 je o 3% až 0% vyšší, než KP poíaný DN meodam. Dobré výsledky jsou edy zapínny nasavením vysokého VaR (a edy KP) po první vší flukuac výnosu porfola. eno odhad VaR je pak udržován na vysoké úrovn po celý zbyek sledovaného období, což zapíuje nepmen velký kapálový požadavek. Aby byl výpoe KP efekvní je nuné aby jeho vývoj kopíroval sn vývoj skueného rzka, zn., že jsou dležé nformace obsažené v posledním vývoj rhu. o mplkuje odhadování podmínných volal. abulka 0 shrnuje hodnocení model podle velkos kapálového požadavku. abulka 0: Prmrný kapálový požadavek pro porfola NB BIS NB více o DN meoda 4.9% *.93% * 9.36% DN* meoda 4.9% *.94% ** 9.9% HS % 5.3% 7.88% HS % 7.3% 4.44% HS % ** 6.49% 3.7% Poznámka: Hvzdkou je zvýraznn nejlepší prmrný výsledek a dvma hvzdkama druhý nejlepší prmrný výsledek. Zdroj: Vlasní výpoy. V abulce 0 vdíme, že nejmén efekvn se chová HS 00, a ne HS 300. o by mohlo poukazova na celkovou neadekvános HS 00. KP podle meodky NB je vždy vyšší než podle BIS, a o ím více, ím je odhad VaR volalnjší. 3 KP u sandardzované meody je sejná pro NB a BIS meodku, proože do výpou nevsupuje mulplkaní fakor k.

22 Podívejme se nyní znovu na abulky v Appendxu a na srovnání sandardzovaného písupu s nerním modely podle kréra velkos kapálového požadavku. Pro porfola složená pouze z dlouhých pozc v zahranních mnách je KP u nerních model nkolkrá vyšší. Dvodem je, že se nedosáhne dosaeného dverzfkaního efeku, proože korelace mez jednolvým mnam jsou pozvní. eno fak lusruje následující abulka. abulka : Nepodmínná korelaní mace výnos smnných kurz USD SKK HUF PLN RUB EUR GBP CHF JPY USD.00 SKK HUF PLN RUB EUR GBP CHF JPY Poznámka: abulka ukazuje nepodmínné korelace, zn. korelace spoené na konc období (bez použí EWMA). Ve skuenos se korelaní mace mní v ase (vz. obrázek 5). Nepodmínná korelaní mace je edy jakýms prmrem podmínných korelaních mac. Proože analyzovaná porfola mají v ase konsanní srukuru, je abulka dobrým popsem, jakým korelacím smnné kurzy v porfolu podléhají. Zdroj: Vlasní výpoy. Obrázek 5: Vývoj korelace vybraných mn v ase.000 Podmínné korelace Apr-98 0-M ay-98 0-Jun-98 0-Jul-98 0-Aug-98 0-Sep-98 0-Oc-98 0-Nov-98 0-Dec-98 0-Jan-99 0-Feb-99 0-Mar-99 0-Apr-99 0-M ay-99 0-Jun-99 0-Jul-99 0-Aug-99 0-Sep-99 0-Oc EURCHF USDHUF USDPLN USDRUB Poznámka: P EWMA bylo pro všechny asové ady použo λ=0.956 odhadnué podle [.8]. Pro lepší dverzfkac edy musíme porfolo kombnova z dlouhých a krákých pozc. Porfola až 6 (krom 9 a 0) byla sesavena pro eno úel. Z abulky vdíme, že nkerá z cho porfolí by podpola hypoézu, že nerní modely jsou úspornjší na KP (nap. porfolo, 7, 6). Celkov však výsledky nedávají

23 pesvdvou odpov na oázku zda jsou nerní modely pro výpoe KP lepší než sandardzovaná meoda. Dvodem je, že dverzfkace sále nedosáhla poebné nenzy 33. Pro celkové zhodnocení, zda je lepší používa nerní modely pro výpoy kapálových požadavk, by musela bý provedena komplexnjší a výpoen mnohem náronjší analýza se zahrnuím dalších rzkových fakor, zejména úrokových mr. Sandardzovaná meoda jednoduše síá kapálové požadavky vypoené z jednolvých rzkových fakor (smnný kurz, úroková míra...), zn., že pedpokládá mez mo rzkovým fakory korelac +. Lze oekáva, že u komplexn dverzfkovaného porfola, by práv dverzfkace mez jednolvým rzkovým fakory znan snížla celkový VaR poíaný nerním modely 34. Peso, že jsme eno dverzfkaní efek v naší smulac vynechal, vykazují nerní modely u nkerých porfolí lepší výsledky. o by mohlo poukazova na obecn planou nadazenos nerních model sandardnímu písupu. Obecn plaí, že sandardzovaná meoda se sává ím výhodnjší pro výpoe kapálového požadavku, ím je porfolo mén dverzfkováno. Používání sandardzované meody by ak mlo bý prvním varováním pro regulaní nsuc o poenconální nebezpenos dané banky pro sablu a hladké fungování fnanního sysému. 4. Závr ao práce se zabývá srovnáním nerních model a sandardzované meody navržené BIS pro výpoe VaR a kapálové pmenos. Jejím hlavním úkolem je zjs, zda nerní modely, jako dela-normální meoda a hsorcká smulace o 00, 00 a 300 hsorckých daech, fungují uspokojv pro smnné kurzy emergng markes, u kerých lze oekáva vyšší volalu a žší chvosy pravdpodobnosních rozdlení výnos než u výnos kurz vysplých rh. Hlavní výsledky éo práce se dají shrnou následovn. Výsledky povrzují, že smnné kurzy rh emergng markes mají žší chvosy nepodmínného pravdpodobnosního rozdlení než kurzy vysplých rh (vz. abulka ). Z oho aké plyne asjší pesáhnuí VaR pro jednolvé mny u kurz emergng markes (vz. ab. 6a-d). Výnosy kurz rh sední Evropy nevykazují auokorelac a chovají se ak podobn jako výnosy kurz vysplých rh. Naopak, u RUB byla denfkována auokorelace výnos ndkující nesandardní rh. Pro výpoe kapálového požadavku (KP) nerním modely se nejlépe jeví písup založený na kovaranní mac. V pípad použí hsorcké smulace je opmální použí nejdelší ze zkoumaných oken hsorckých výnos, zn. 300 hsorckých da. Kapálový požadavek podle meodologe eské národní banky je p použí nerních model písnjší než podle BIS a ukládá ak bance dodaenou záž, kerá by mohla bý komparavní nevýhodou p soužení bank založených v R se zahraním bankam. Banky by ak zakládaly svá sídla v zahraní, což by snžovalo HDP v R a daový píjem vlády. Navíc, rozdíl mez dvma meodologem je nejvyšší u volalních odhad VaR, zn. u delanormální meody, kerá dává nejlepší výsledky pro výpoe KP, a je edy hlavním kanddáem pro 33 Jak je vd z obrázku 5, srukuru porfola by bylo nuno mn v prbhu asu aby dverzfkace dosáhla poebné nenzy. o jsme z dvodu zachování objekvy výsledk nemohl dla. 34 V poznámce jsme jž uvádl, že podle FEC (995) se po zapoení korelací mez jednolvým ídam rzkových fakor sníží VaR pblžn.krá. o by odpovídalo snížení kapálového požadavku.krá. Naše porfola navíc neobsahují žádné derváy, keré mžou bý dále použy k dverzfkac a snžování VaR, a edy ke snžování kapálového požadavku. 3